高一对数函数教学设计

高一对数函数教学设计（通用13篇）

高一对数函数教学设计 篇1

高一数学《对数函数》教学方案设计

【学习引导】

一、自主学习

1. 阅读课本 练习止.

2. 回答问题

(1)课本内容分成几个层次?每个层次的中心内容是什么?

(2)层次间的联系是什么?

(3)对数函数的定义是什么?

(4)对数函数与指数函数有什么关系?

3. 完成 练习

4. 小结.

二、方法指导

1. 在学习对数函数时，同学们应从熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质.

2. 本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展开.同学们在学习时应该把两个函数进行类比，通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质

【思考引导】

一、提问题

1. 对数函数的自变量和函数分别在指数函数中是什么?

2.两个函数如果互为反函数，则他们的值域，定义域有什么关系?

3.是否所有的函数都有反函数?试举例说明.

二、变题目

1. 试求下列函数的反函数：

(1) ; (2) ;

(3) ; (4) .

2. 求下列函数的定义域:

(1) ; (2) ; (3) .

3. 已知 则 = ; 的`定义域为 .

【总结引导】

1.对数函数的有关概念

(1)把函数 叫做对数函数， 叫做对数函数的底数;

(2)以10为底数的对数函数 为常用对数函数;

(3)以无理数 为底数的对数函数 为自然对数函数.

2. 反函数的概念

在指数函数 中， 是自变量， 是 的函数，其定义域是 ，值域是 ;在对数函数 中， 是自变量， 是 的函数，其定义域是 ，值域是 ，像这样的两个函数叫做互为反函数.

3. 与对数函数有关的定义域的求法：

4. 举例说明如何求反函数.

【拓展引导】

一、课外作业：习题3-5 A组 1，2，3， B组1，

二、课外思考：

1. 求定义域： .

2. 求使函数 的函数值恒为负值的 的取值范围.

撰稿：熊秋艳 审稿：宋庆

参考答案

【思考引导】

二、变题目

1. (1) (2) (3) (4)

2. (1) (1，+) (2) ( ，+) (3)

3. ， (0，+)

【拓展引导】

当 时, 的取值范围是

当 时, 的取值范围是

高一对数函数教学设计 篇2

1. 教材的地位和作用

本节课选自李广全老师主编的高等教育出版社出版《数学》 (基础模块) 上册第四章《指数函数与对数函数》的第四节第二部分。对数函数是函数中又一类重要的基本初等函数, 它是在学习了对数以及指数函数的基础上引入的。是对数和指数函数知识的拓展与延伸, 也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解。对数函数的应用使学生的知识体系更加完整、系统, 同时它又是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具, 是学生今后学习其他函数应用的基础。

2. 教材处理

鉴于本专业学生的学习特点, 根据《教学大纲》的要求及本身对教材的理解, 笔者对教材内容稍作调整:降低教材的难度, 本节课系统地对对数函数进行实际应用, 这样能使学生有踮起脚尖够得着的感觉。

3. 教学目标

知识与技能: (1) 理解对数函数的性质; (2) 运用对数函数解决实际问题。

过程和方法:通过具体实例, 直观了解对数函数模型所刻画的数量关系, 初步理解对数函数的概念, 体会对数函数是一类重要的初等基本函数。

情感态度和价值观:利用对数函数的性质及应用, 提高学生分析问题、解决问题的能力。

4. 重点、难点

重点:对数函数性质的应用。

难点:运用对数函数解决实际问题。

二教学过程

为了体现以学生发展为本, 遵循学生的认知规律, 体现循序渐进与启发式的教学原则, 笔者进行了如下教法设计:在教师引导下, 创设情境, 通过开放性问题的设置来启发学生思考, 在思考中体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法, 使之获得内心感受。本节课遵循钱梦龙老师的“以学生为主体, 以教师为主导, 以训练为主线”的导读教学思想。教学方法上采用任务驱动法和发现法, 由浅入深, 层层铺垫, 引导学生逐一解决问题。

长期以来, 学生为什么对数学不感兴趣, 甚至害怕数学, 其中的一个重要因素就是数学离学生的实际生活太远了, 让学生感觉数学太死板。事实上, 数学学习应该与学生的生活融合起来, 从学生的生活经验和已有的知识背景出发, 让他们在生活中发现数学、探究数学、认识并掌握数学。

本节课的教学中安排了以下几个环节:

1. 创设情境, 兴趣导入 (3~4分钟)

教师:我们观看了以上的视频, 古董鉴别专家通过鉴别可以判断古董的真假, 从而使古董的本身价值有质的飞跃, 其实, 古董的真假我们也可以鉴别, 我们也是专家。

学生感觉到很惊奇, “我们也是专家?”

设计意图:通过生活中的实际问题设置, 勾起学生的好奇心, 提高学生的学习兴趣。

2. 质疑探究, 挖掘新知 (15~16分钟)

讲解古董鉴别的问题该如何解决, 教师出一道类似的习题, 由学生分析并解决。

例如, 碳-14的半衰期为5730年, 古董市场有一幅列奥纳多·达·芬奇 (1452~1519) 的绘画, 测得其碳-14的含量为原来的94.1%, 根据这个信息, 请从时间上判断这幅画是不是赝品。 (使用计算器)

解:设这幅画的年龄为x, 画中原来碳-14含量为a, 根据题意有, 消去a后, 两边取常用对数, 。

因为2009-503-1452=54, 这幅画约在列奥纳多·达·芬奇54岁时完成, 所以从时间上看不是赝品。

通过学生对数据的计算、整理、归纳、自主探究, 得出列奥纳多·达·芬奇画的年代真伪, 使学生认识到数学来源于实践, 并为实践服务。

设计意图:让学生从实际问题出发, 利用所学知识解决自然科学中的实际问题, 从中感受成就感, 提高学生学习数学的兴趣。

3. 运用知识, 强化练习 (18~20分钟)

为了使学生达到对知识的深化理解, 从而达到巩固提高的效果, 我特地设计了一组难度加深的即时训练题, 并且把课本的例题融入即时训练题中, 通过学生的观察尝试、讨论研究和教师引导来巩固新知识。

此环节设置为小组选答题, 每组派代表选择一道题, 由小组共同完成。

设计意图:通过形成性练习, 加深学生对对数函数性质的理解和熟练应用, 同时可以根据适实检测情况, 调节教学节奏。此部分习题为未知类型, 学生对此有好奇欲望, 更能促进其学习兴趣。

4. 评价 (3分钟)

根据各小组完成得分情况, 教师为小组排名, 并在平日成绩中加分。

5. 总结与布置作业 (2~3分钟)

总结:用问题概括总结本课内容, 进一步加固学生知识结构, 给学生自我总结和表现的机会。

设计意图:检验不同能力层次水平的学生是否完成本课教学目标。

三教学反思

通过教学实践我总结出, 任务驱动法是一种很好的教学方法, 对学生学习兴趣的提高和职业技能的培养都有很大的帮助, 体现了行动导向教学所提倡的“做中学、做中教”的理念。

《对数函数》教学设计 篇3

[关键词]指数函数；对数函数；反函数；合作；探究

一、教材分析

本节课是新课标高中数学必修一中第三章对数函数内容的第二课时，也就是对数函数的入门。对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数函的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。

二、学情分析

大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数函与指数函数的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数函数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。

三、设计思路

学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学，教学中我引导学生从指数函数出发，体会引入对数函数的必要性，实际上是渗透反函数的思想，利用指数函数的性质，研究对数函数的性质，提升学生逻辑思维能力。在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动，学生讨论的方式来加深理解，很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。

四、教学目标

1.理解对数函数的概念，理解对数函数的性质，掌握以上知识并形成技能。

2.通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想。

3.通过学生分组探究进行活动，掌握对数函数的重要性质。通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一。

4.培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。

五、重点与难点

重点 ：（1）对数函数的概念；（2）对数函数与指数函数的相互转化。

难点 ：（1）对数函数概念的理解；（2）对数函数性质的理解。

六、教学过程设计

1.复习导入

（1）复习提问：

问题1：指数函数y=ax的定义域为____；值域为______；当x值增大时，y值应如何变化？此函数图像还有那些特征？

学生1：定义域为R，值域为（0，+∞），当01时，当x增大时，y值应增大；

学生2：图象恒过（0，1）；图象恒x轴上方，并与x轴无限靠近；

学生3：当底数互为倒数，两函数图像关于y轴对称；当a>1时，底数越大图像越靠近y轴，当0

指数函数的图象和性质。

设计意图：设计的提问既与本节内容有密切关系，又有利于引入新课，为学生理解新知识清除了障碍，有意识地培养学生分析问题的能力。

问题2：指数函数y=ax，若把y看着已知值，解关于x的未知方程，则x=________；

学生1：x=loga y；；

教师：对于y在正实数集内的每一个确定的值，在实数集R内都有唯一确定的x值和它对应。根据函数的定义，这个式子确定了正实数集上的一个函数关系，其中y是自变量，x是因变量。函数x=logay（a>0且a≠1）叫做对数函数。习惯上把x当作自变量，y当作因变量，因此对数函数通常写成y=logax （a>0且a≠1）。教師板书对数函数定义；

数学定义：一般地，把函数y=logax （a>0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。

提问： （1）在函数中，为什么要限定a>0且a≠1？

（2）为什么对数函数y=logax （a>0且a≠1）的定义域是（0，+∞）？

学生1：（1）根据对数与指数式的关系，知y=logax可化为ay=x，由指数的概念，若使ay=x有意义，必须规定a>0且a≠1。

学生2：（2）因为y=logax可化为ay=x，不管y取何值，由指数函数的性质，ay>0，所以。

教师：上述同学分析的很到位，紧紧把握了对数函数形成过程，实际上对数函数和指数函数是等价的，只是形式发生变化，那么对数函数的性质也就可以转化到指数函数中去得到。如对数函数的定义域是，那么值域应该是多少？

学生：R；

问题3：研究对数函数y=logax的解析式，你能得到对数函数的图像会有哪些特征？

学生1：图像应该在y轴的右侧；

教师：为什么？

学生1：因为定义域为；

学生2：对数函数的值域为R；当a>1时，对数函数是增函数；当0

教师：为什么？

学生2：根据指对数互换关系式，可以转化为指数函数ay=x，当a>1时，指数函数是一个增函数，把y看成自变量，x看成因变量，y越大，x也会越大，反之，x越大，y也会越大；因此，对数函数是增函数；同理，当0

教师：为什么？

学生2：根据单调性等价性质；

教师：大家同意学生2的看法吗？

同学们：同意！

教师：我也同意学生2的看法，请为他精彩的回答鼓掌，（同学们都鼓掌），实际上学生2给我们提供了一个研究对数函数性质的一个方法；请问是什么方法？

学生3： 指对数互换，把对数函数转化成指数函数；

教师：说的非常好，利用这个方法，我们还能得到那些对数函数的性质？

学生4：对数函数是以y轴为渐近线。

教师：哪是为什么呢？

学生4：根据学生2提供的方法，实际就是把指数函数中的x和y互换，指数函数的图像是以x轴为渐近线，把x看成y，对数函数图像是以y轴为渐近线；再比如，指数函数图像恒过点（0，1），对数函数图像恒过点（1，0）；

教师：学生4已经很好揭示指数函数和对数函数的关系，请同学们课后认真思考对数函数和指数函数之间的微妙关系；我们刚才是通过对数函数的解析式了解到对数函数的性质，接下来，每位同学一定都很想知道对数函数图像到底长的是什么模样，我也从一个具体的例子出发来揭示对数函数的图像；

问题4：在同一坐标系作出对数函数的图像：

（1）y=log2x和 （2）y=log3x和

注：（同过这组例子让学生从两个角度画出对数函数的图像，一个利用对数函数的性质画图像，一个是利用描点法画函数图像。）

教师：通过这组图像同学们能得出什么样的结论，为什么？

学生5：对数函数y=logax的图像与的图像关于关于x轴对称，因为，所以自变量相同，函数值取相反数。

教师：大家同意学生5的看法吗？

同学们：同意！

教师：请同学们画出a>1，0

问题5：请同学们归纳一下这节课学到对数函数有哪些性质？

对数函数y=logax （a>0，且a≠1）性质如下：

（1）定义域：（0，+∞）；

（2）值域：R；

（3）图象位于y轴的右方，以y轴为渐近线；

（4）当0

（5）当a>1时，此函数在（0，+∞）上是增函数。

（6） 圖象恒过定点（1，0）。

（7）当a>1时，底数越大图象越靠近x轴；

（8）当0

例1。 求下列函数的定义域：

（1）y=log a x2（2）；

例2。（1）比较log 23与log 23。5的大小；

（2）已知，求m的取值范围。

思考题：求函数的定义域。

最后一个问题：

通过本节课的学习，你有哪些收获？

七、作业（略）

八、课后反思

高一对数函数教学设计 篇4

教学目标：知道指数函数与对数函数互为反函数 教学重点：知道指数函数与对数函数互为反函数 教学过程：

1、复习指数函数、对数函数的概念

2、反函数的概念：一般地，函数yf(x)中x是自变量，y是x的函数，设它的定义域为A，值域为C，由yf(x)可得x(y)，如果对于y在C中的任何一个值，通过x(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么x(y)就表示x是自变量y的函数。这样的函数x(y)yC叫函数yf(x)的反函数，记作：xf惯上，用x表示自变量，y表示函数，因此yf(x)的反函数xf11(y)。习

(y)通常改写成：yf1(x)

注：①明确反函数存在的条件：当一个函数是一一映射时函数有反函数，否则如yx2等均无反函数；

② 与互为反函数。

③的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域

3、奇函数若有反函数，则反函数仍是奇函数，偶函数若存在反函数，则其定义域为{0}；若函数yf(x)是增（减）函数，则其反函数yf4、求反函数的步骤：由yf(x)解出xf交换x,y，得yf111(x)是增（减）函数。

(y)，注意由原函数定义域确定单值对应；

(x)；根据yf(x)的值域，写出yf1(x)的定义域。

例

1、求下列函数的反函数： ①

保护原创权益净化网络环境

②

③

④ 解：略

课堂练习：教材第114页 练习A、B

小结：本节课知道指数函数与对数函数互为反函数 课后作业：略

对数函数及其性质教学反思 篇5

富县高级中学

王晓广

前段时间学校组织了这次“同课异构”活动，我接到通知有我后，紧张的撰写教案、制作课件后，我终于完成了前期的准备工作。端详着自己的教案，品味其中预设的高潮和亮点，走向了课堂。一定要上出自己的水平，让学生体验一下多媒体教学的魅力。

我这节课讲的是“对数函数及其性质”，有人说“课堂教学是学术研究的实践活动，既像科学家进入科学实验室，有像艺术家登上艺术表演的舞台，教学是一种创造的艺术，一种遗憾的艺术。”回顾这节课有成功之处，也有遗憾之处。通过这节课我有以下三点收获；

1.运用对媒体画出函数图像，让学生更直观的观察出对数函数的图像。对突破本节课的重、难点起了很大的帮助。

2.通过选取不同的底数a的对数图像，让学生类比研究指数函数图像及其性质分组探究对数函数的图像和性质。这个环节让学生合作学习，合作学习让学生感受到学习过程中的互助。还能让学生自己建构知识体系，没有传授也没有灌输。分类的思想学生在小学和初中就已经接触了很多，应该不陌生，但是要将其变成自己的学习方法、甚至能灵活运用，却不太容易。旧知要经常温习，已有的思想方法也要经常回顾。不同数学内容之间的联系和类比，有助于学生了解与中学数学知识有关的扩展知识及内在的数学思想，促使学生认真思考其中的一些问题，加深对其理解。

3.课件上重点内容的“强调”与“闪烁”。使用多媒体课件后，课堂教学的容量会大大增加，概念的呈现、过程的演示、例题的讲解将会变得得心应手。但千万别忘记对于重要的知识点、关键的词语要用特殊的字体、特别的颜色或制作特效加以强化。不过，“强调”与“闪烁”应该少而精，如果对呈现的内容都辅以特效，那么重点的内容就会在特效中淹没，所以特效的使用不宜太多。

通过这节课我也有以下几点遗憾;1.我明知课件的设计要注意整体性，即整个课件要保留“重要的板书”。无论课件的进程如何，都应能较好地体现教者的教学思路，同时让学生时刻能够看到重要的教学内容，让学生有“板书”可记。只有这样，我们的课件才起到既能代替传统意义的黑板，又能增加大量教学信息的作用。而自己制作课件的能力太差，课件都是拼凑起来的。

2.几何画板还不会用，函数的一些图像只能下载后再编辑。例如指数函数与对数函数图像的关系，达不到自己思路的效果。

3.多媒体操作不熟练。例如最后小结时，我本想由“记住对数函数的图像和性质”这句话链接到具体内容，但是操作过快而结束了。再播放时又从头开始了。

经过思考我觉得《对数函数的图像和性质》这节课按以下思路来讲：

一、导课。导入新课用复习指数函数的图像和性质，采用老师问学生答的方式。

二、画图像。讲授新课时先让学生画出对数函数的图像，学生肯定是用描点法，老师再用图像变换法（几何画板）给学生演示。

三、研究性质。得到函数图像以后，老师给出学生问题（定义域，值域，定点，单调性，对称性），要求学生按问题去研究性质。然后让学生逐个回答问题，老师最后总结性质。

四、应用。老师出示例题，检查学生对性质是否掌握。例题1求对数型复合函数的定义域。例题2比较同底数的两个对数的大小。例题3比较两个不同底数也不同真数的对数的大小。然后学生做同一类型练习题。

五、小结。让学生自己小结本节课的内容，老师补充。最后老师点出本节课所用的数学思想，让学生体验感受。

高一对数函数教学设计 篇6

数学组

张明

教学目标：会用对数函数的单调性解决问题，培养学生数形结合的能力;培养学生大胆尝试、团结合作的精神和严谨的态度，以及喜欢数学的兴趣与情感，帮助学生树立学好数学的自信心。

教学重点：对数函数单调性的应用 教学难点：底数a对对数函数的影响（Ⅰ）设置情景 复习回顾 师：前面我们学习了对数函数的单调性，请同学们回忆一下对数函数的单调性是如何描述的？ 生1：当a1时，对数函数ylogax在(0,)内是增函数；

当0a1时，对数函数ylogax在(0,)内是减函数 师：今天我们就利用对数函数的单调性来解决一些问题。（Ⅱ）探求与研究 问题1：（幻灯片1）

11已知0a1,b1且ab1,若mlogab，nloga，plogbbb则下列各式中成立的是()A.pmnB.mpnC.mnpD.pnm师：给大家一分钟的讨论时间，然后告诉我结果。

生2：首先观察m、n、p三个式子，可以判断出m0,n0,p10，然后再判断m与p的大小。p可以写成ploga11，此时m与p同底，然后比较b与的大小，因为aa1，因此mp，答案应为B。aa0,b0,ab1，所以b全体同学异口同声说：好！师：回答得非常好！那我们看，比较大小的实质就是“求同”，利用对数函数的单调性来比较。我们来看第二题 问题2：（幻灯片2）

求函数ylog0.2(x24x5)的单调区间生3：这是一个复合函数，首先要求定义域，我们可令ux24x5，则ylog0.2u在(0,)内是减函数，现在我们来求函数ux24x5的单调区间，易得u在(1,2)是增函数，u在(2,5)是减函数，所以，函数ylog0.2(x24x5)在(1,2]是减函数，在[2,5)是增函数。

师：看来大家对于求复合函数的单调区间问题掌握的很好，应该注意的问题也注意到了。提醒大家一句在求函数的单调区间时，若题中没给定义域，要先求定义域。这道题也是对数函数单调性的一个简单应用。我们来看第三题。问题3：（幻灯片3）

若函数yloga21(x)在其定义域内是减函数，则a的取值范围是()

A.|a|1B.|a|2C.|a|2D.1|a|2师：也给大家一分钟的讨论时间。

生4：我们可以把这个函数看作一个复合函数，令ux，则函数ux在(,0)

是减函数，若要使函数yloga21u在(,0)上是减函数，需满足a211，解之得|a|2。

师：他说的完全正确……，还没等我把话说完，一位同学站起来说：我还有一种解法，同学们都在注视着他。这位学生边板演边讲解 生5：我是从图像的角度考虑的。根据题意，我们可以画出函数yloga21(x)的草图，根据图像的对称性，可以画出函数ylog(a21)(x)关于y轴对称的函数ylog(a21)x的图像，知函数ylog(a21)x在(0,)是增函数，所以a211，即|a|2。

大家都为他的解法鼓起了掌

师：利用图像的对称性，运用的是数形结合的思想。妙！

我们回头看一下这三道题（比较两个数的大小，求复合函数的单调区间以及求参量的取值范围），最后都化归为对数函数的单调性问题来解决。

那么如何判断和证明以对数函数为载体的函数的单调性问题呢？先看第一道题。问题4：（幻灯片4）

。判断函数f(x)lg(x21x)(x0)的单调性并证明师：大家做完之后可以交流一下看法。

大约三分钟之后，一位同学站了起来，我示意他到前面来板演，边做边讲。生6：因为yx21在(,0)上是减函数，yx在(,0)上也是减函数，所以函数f(x)lg(x21x)在(,0)上是减函数。证明过程是这样的：根据函数单调性的定义，作差比较f(x1)-f(x2)与零的关系，转化成比较

x11x1x21x222与1的关系，利用不等式的基本性质可以得出

x11x1x21x222即f(x1)f(x2)0也就是f(x1)f(x2)，1，因此函数f(x)lg(x21x)在(,0)上是减函数。另一位同学霍地站起来，我还有一种证明方法。

师：好！快说！我们都在期待你的方法。生7：因为ylgx在(0,)是增函数，所以我们可以比较真数的大小，即比较x11x1与x21x2的大小，利用不等式的基本性质可知x11x1因此lg(x11x1)lg(x21x2)，即f(x1)22222x21x20，2f(x2)，所以函数f(x)lg(x21x)在(,0)上是减函数。

哗……一阵热烈的掌声。这时又有一位同学站起来了，大家都很惊诧。生8：能否利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明这道题。师：具体一点.生9：首先求这个函数的反函数，再证明反函数的单调性。大家议论开了：这种方法比较麻烦，而且容易出错。师：大家能否评价一下这三种做法。生10：第一种是根据对数函数单调性的定义来证明的，第二种也是从函数单调性的定义出发，直接比较f(x1)与f(x2)中真数的大小。第三种则是利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明的。相对来说，第二种方法比较好一些。

师：他说的非常好！第一种方法大家都容易想到的就是利用定义，第二种方法也是利用定义，只不过比较对象变了；第三种方法是利用互反的两个函数的关系来做的，想法很好。但运算量较大，而且容易出错。三种方法各有特点，可根据自己的情况适当选择。一般情况下，证明函数的单调性就是要利用函数单调性的定义。我们再来看第二题。（Ⅲ）演练与反馈 问题5：（幻灯片5）

函数f(x)logaxb(b0,a0,且a1)xb(1)求函数f(x)的定义域(2)判断函数f(x)的单调性并证明师：这是一道判断含参的函数的单调性问题，大家可以互相交流看法。然后告诉我你们的解题思路。生11：根据对数式真数大于零，可得x(,b)(b,)。证明单调性的方法同第4题，只不过需要对参数进行分类讨论。师：大家同意他的看法吗？ 学生齐声：同意。

师：我们再回头看一下判断和证明函数单调性的两道题，在证明函数单调性的时候，要事先在定义域中规定x1与x2的大小，无论我们用何种手段，只要能比较出f(x1)与f(x2)的大小，单调性就可判断。

总结：这5道题都是研究有关对数函数单调性的问题，我们处理的办法是从函数单调性的定义出发，这里对数函数只不过作为一个载体，最后都可归结为：以下三个结论，知其二，必知其一。

高一对数函数教学设计 篇7

指数函数和对数函数是数学函数教学课程中一个非常重要的内容, 两种函数类型有着必然的不同点, 还有很大的类似性和相关性.在中职教育的过程中, 指数函数和对数函数是我们在数学教学过程中所要面对的一个非常大的难点, 教师在教授的过程中, 往往会遇到一系列的问题.也正是由于这个原因, 作为中职院校的教师来讲, 必须要加强对自身教学方式与教学手段的钻研, 通过多种有效的手段改进中职数学教学过程中指数函数和对数函数的教学方法, 从根本上提高教学的实践性和有效性.

二、中职教育指数函数和对数函数的教学目标

中职教育的指数函数与对数函数的教学首要的目的就是要让学生从根本上理解和掌握指数函数和对数函数的相关的定义与性质, 能够看懂甚至绘制与之相关的图像, 进而要求他们能够在对性质和定义了解的基础上运用它们的原理解决一些初级的数学问题.由于指数函数和对数函数是两个互相联系的定义, 所以教师要指导学生在理解指数函数的基础上加强对对数函数的理解和应用, 要使他们认清两者之间的区别和联系, 理解它们的底数和定义域, 可以让学生绘制出与之相关的正确的图像.学生可以根据自己掌握的内容深层次地认识到两者的内涵和性质, 并最终根据自己的理解来解决一些较为实际的内容.在这个过程中, 教师要特别注意去提高学生的分析能力以及他们的观察能力, 可以通过对两个函数的相关图像进行对比和研究, 要求他们指出其中的不同, 使他们拥有简洁、对称的审美观念, 使他们认识到数学的深层次魅力, 从根本上调动起他们的兴趣, 提高他们的学习积极性.

三、中职教育“指数函数与对数函数”的有效性教学策略

无论是指数函数还是对数函数来讲, 它们都是函数中较为初等的一个类别, 在函数教学越来越艰涩的后续过程中, 打好指数函数与对数函数的教学基础就显得非常的重要.从另一个角度来看的话, 从根本上扎实地掌握指数函数与对数函数的应用原理, 学生可以及时发现函数的应用价值, 从而使他们对数学的函数学习产生浓厚的兴趣.从根本上来讲, 函数可以解决我们在现实生活之中遇到的许多的问题, 但是对于它的实践性要求比较高.我们从另一方面来理解的话, 无论是指数函数还是对数函数, 都是具有非常抽象意义的概念, 如果缺乏一定的理性思维能力, 学生在一般情况之下很难去透彻理解, 由于绝大多数同学都是第一次接触指数函数和对数函数的概念, 对于两个互为反函数的函数之间的微妙关系, 也很难理解和掌握, 更不用说利用它们来解决实际问题了, 这也是学生在学习指数函数与对数函数过程中所遇到的最大的问题.我们在引入概念的过程中, 应该注意从学生容易理解的部分开始出发, 运用它们对于函数的固有理解来加强他们对于指数函数和对数函数的认识, 同时需要注意的是, 在对图像进行处理的过程中, 我们不仅要让学生掌握底数, 而且对于不同的问题应该选择不同的底数, 如果将这些分析结果放入同一坐标系的话, 学生们也就可以非常容易地发现函数的图像所具有的特点, 从而可以很深层次地认识到函数的内涵, 最后理解它们的性质, 对于他们更好地学习有很强的辅助作用.

我们要认识到中职教学过程中学生自身的一些特点, 数学基础比较弱, 思考能力不强, 特别是抽象思维能力.所以, 在教学的过程中, 要做到因材施教最好提供更多的锻炼机会给学生, 让他们多动脑多动手.在课堂的教授过程中, 教师也不能满堂灌, 应该放手让学生自己去挖掘、去思考、去理解, 教师只能起到一个指引的作用, 不能做过多的干涉.教师这样做的目的可以在很大程度上开拓学生的思维能力, 从而提升他们对于数学的学习兴趣, 从而提高学生的学习能力.具体来讲, 作为中职数学教师, 应该从以下几个方面入手, 切实提高学生对指数函数和对数函数的理解能力:

1. 改变思路, 变被动为主动

在当下的教学环境之中, 培养学生的创造性思维被提上了一个高度, 教师也应该利用现代化的教学工具, 来为学生创造出轻松愉悦的学习环境, 在这个过程中, 情境教学和多媒体教学的手段都是非常有效的方式.举例说明, 教师在开始具体的授课之前, 可以利用多媒体手段为学生播放一些与指数函数和对数函数有关的动画, 可以让学生对这个概念有一个完整且深入的认识, 而且动画的效果可以在很大程度上提高学生的学习兴趣.这种手段可以在一定程度上将原来的枯燥无味的教授过程变成一个动态化的形式, 可以很好地引起学生的兴趣, 而且动态化的教学过程可以使学生能够对教学内容有更本质的了解, 可以弥补学生抽象思维能力不足的问题.

2. 有效传达函数理念, 让学生更容易进入函数思维的模式之中

我们学习数学, 最主要的是利用数学的模式来思考问题, 从而很简单地解决在日常生活中所遇到的一系列问题.在进行指数函数和对数函数的教学过程中, 最为主要的也是要培养学生的思维能力, 使他们能够在生活之中很自然而然地使用数学理念来解决问题.所以, 在进行教学的过程中, 要注意培养学生数形结合的思想, 使他们能够用创造性的、抽象化的思维模式来进行学习.

3. 充分使用信息化手段, 提升学生的学习兴趣

指数与对数函数的突破要点 篇8

学习基本初等函数时，要对如何运用所学的函数知识来研究一个具体函数的方法有较完整的认识.指数函数和对数函数的性质与底数a的取值有关，应注意分类讨论；在求解含有参数的指数函数、对数函数问题时，常运用化归思想，将复杂问题简单化，应注意数形结合、类比、换元等数学思想与方法的灵活应用.

重点：指数与对数的运算性质；指数函数与对数函数的概念、图象和性质．

难点：底数a对指数函数、对数函数的单调性的影响；指数函数、对数函数的性质的综合应用．

1. 比较大小

涉及指数值或对数值比较大小的问题，通常要借助指数函数或对数函数的单调性进行解决. 解决这个问题的前提是能化同底，或者考虑使用中间量，即让一个值大于中间量，一个值小于中间量，问题便能解决． 特别地，熟练掌握中间量“1”与“0”的应用，如1=a0=logaa，0=loga1等.

2. 函数图象

函数图象是函数的一种直观形象的表示，在同一坐标系可用直线x=1（y=1）区分不同底的指数函数（对数函数）． 函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础，要掌握好画图、识图、用图三个基本问题．

3. 底数范围

指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，特别是解决与指数函数、对数函数的单调性有关的问题时，首先要看底数a的取值范围，情形不明时，需分类讨论．

4.复合函数

指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数、对数函数的复合问题，一般采用换元处理，如：y=a2x+2ax－3，通常令t=ax（特别地，要注意新变量的取值范围）． 另外，复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径，对其单调性的判断常借助于“同增异减”这个性质．

思索 题目条件中给出的是两个超越方程，直接求出x1，x2的值不切实际． 如果从函数与方程思想切入，立足于指数函数与对数函数，将条件中的方程形式进行变形，分解出指数型或对数型函数，再利用数形结合的方法即可求解．

点评 在对简单复合函数的性质进行研究时，应该将其拆分成内函数与外函数，并分别研究内函数和外函数的性质，然后再根据复合规律加以判断． 对形如y=logaf（x）的复合函数的性质的研究，必须注意定义域对整个问题的影响，若字母a未定，还要对a的值分类讨论．

1. 夯实基础知识

对于指数函数与对数函数，要立足基础，从概念、图象和性质这三个方面理解它们之间的联系与区别，从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点、特殊区间理解它们的有关性质．

2. 突出思想方法

数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想是解决指数函数与对数函数的常用思想方法． 通过数形结合的方法研究函数的图象可以探索其性质，同样，利用函数的性质又可作出其图象. 如果指数函数的底数及对数函数的真数和底数含有参数，一般需要分类讨论． 函数与方程的关系密切，它们之间常常可以相互转化，特别是函数的零点与方程的根．

3. 重视交汇综合

重视知识与能力的交汇综合，一是各知识板块之间的交汇与融合，比如函数、数列、不等式，它们各自既具有独立意义，相互之间又存在着天然的、密切的联系，复习时要把它们看成一个整体来研究；二是按主题的整合，比如图象变换，涉及的知识包括二次函数的平移、函数的奇偶性、三角中的伸缩变换等，通过研究其主通性，再拓展到各类函数与图象、方程与曲线中去．

4. 研究真题考纲

对数函数及其性质 篇9

2.2对数函数及其性质

各位老师，大家好！今天我说课的内容是人教版必修

（一）对数函数及其性质第一课时,下面，我将从教材分析、教法分析、学法分析、教辅手段、教学过程、板书设计等六个方面对本课时的教学设计进行说明.一、教材分析

1、教材的地位和作用

函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一．本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的，因此既是对上述知识的拓展和延伸，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识．

2、教学目标的确定及依据

结合课程标准的要求，参照教材的安排，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，我制定了如下的教学目标：

(1)知识与技能：进一步理解对数函数的意义，掌握对数函数的图像与性质，初步利用对数函数的图像与性质来解决简单的问题。

(2)过程与方法：经历探究对数函数的图像与性质的过程，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力；渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法。

(3)情感、态度与价值观：在活动过程中培养学生的数学应用意识，感受获得成功后的喜悦心情，养成积极合作、大胆交流、虚心学习的良好品质。

3、教学重点与难点

重点：对数函数的意义、图像与性质．

难点：对数函数性质中对于在 与 两种情况函数值的不同变化．

二、教法分析

本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上，研究的第二类具体初等函数，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习的基础，鉴于这种情况，安排教学时，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，并在教学过程中渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法。

三、学法分析

本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：

(1)类比学习：与指数函数类比学习对数函数的图像与性质．

(2)探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出对数函数的图像与性质．

四、教辅手段

以学生独立思考、自主探究、合作交流，教师启发引导为主，以多媒体演示为辅的教学方法进行教学。

五、教学过程

根据新课标我将本节课分为下列五个环节：创设情境，引入新课；探究新知，加深理解 ；讲解例题，强化应用；归纳小结，巩固双基；布置作业，提高升华。

（一）创设情境，引入新课

本节课我是从在指数函数一节曾经做过的一道习题入手的。这样以旧代新逐层递近，不仅使学生易懂而且还体现了指对函数间的密切关系。我的引题是这样的： 引题：一个细胞由一个分裂成两个，两个分裂成四个„„依此类推，（1）求这样的一个细胞分裂的次数x与细胞个数y之间的函数关系式。（2）256个细胞是这个细胞经过几次分裂得到的？那么要得到1万，10万„个第一问学生很容易得出是指数函数：y=2x。再看第二问，通过思考学生分析出这是个已知细胞个数求分裂次数的问题即：已知y求x的问题，即:x=log2y,紧接着问学生：这是一个函数吗？将知识迁移到函数的定义，即对于任意一个y是否都有唯一的x与之相对应，为了方便学生理解，可以借助指数函数图像加以解释。得出x=log2y是一个函数，但它又和我们平时所见过的函数形式上不一样，我们习惯上用x来表示自变量，y来表示函数，所以可将它改写成y=log2x，这样的函数称为对数函数。这便引出了本节课的课题。

这样设计不仅学生容易接受而且虽然在过程中没有用反函数的概念，但却体现了求指数函数反函数的过程，这为后面学习反函数的概念做了铺垫。由于有了之前学习指数函数的基础，学生很容易就可归纳总结出：对数函数的一般形式：y=logax(a>0且a≠1)，并求出定义域（0，+∞）。由于对数函数是形式定义，所以让学生记住这个形式是由为重要的，可以让学生观察解析式的特点并可归纳总结出三条：

1、对数符号前系数为1；

2、底数是不为0的正常数；

3、真数是一个自变量x的形式。为了加深学生的记忆，我这里安排了一道辨析题：判断下列函数是否为对数函数：

这样学生就对对数函数的概念有了更准确的认知与理解。

（二）探究新知，加强理解

得到了对数函数的解析式，学生自然而然就会想到该研究它的图像了。我的想法是这样的：一方面描点法画图是学生需要熟练掌握的一类重要的画图方法，而且学生对自己画出的图像和归纳总结的知识记忆会更加深刻，所以我决定将课堂交给学生让他们自主探究，然后同学间互相讨论，并根据图像归纳出对数函数的性质。另一方面，研究对数函数图像主要是研究底数a对图像的影响，以及底数互为倒数的两个函数图像间的关系。所以我将所研究的问题分为以下3组：第一组：和 第二组： 和 第三组： 和。并且我将全班学生每6人分为一组，由组长负责分配，每个学习小组要把这3组图都画出来，画完后，组内讨论各组图像间的关系或特点并归纳总结出来。这样做的好处是：

1、可以大大节省画图时间，提高课堂效率；

2、这样相当于全班每一位同学，都对对数函数的这三组图像有了初步的感性认识，3、培养了学生团结协作，归纳总结及交流的能力。讨论完后，让几个组的学生代表将本组所画图像及归纳总结的规律用实物投影一一展示，教师将学生归纳总结出的共性的规律提炼出来，并问学生：这是通过具体的对数函数总结出的规律。那么是否适用于一般的情况呢？这时就需要教师用多媒体演示来辅助教学了。我是用几何画板做了一个底数a变化时图像也随着变化的课件。通过底数a的变化，会出现不同的对数函数图像，学生会发现无论a怎样变化，图像的特点与由特殊函数总结出的规律一样，所以可以由特殊推出一般结论。还可以得出对数函数图像其实分为以下两类：a>1和0

a>1 0

图

像

定义域

（0，+∞）值域

R 单调性

在 上为增函数

在 上为减函数 奇偶性

非奇非偶函数

至此，对数函数的图像及性质就由教师引导，学生自主探究归纳总结出来。下面 就是应用性质来解题了。

（三）讲解例题，强化应用 在这一部分我安排了2道例题。例1：求下列函数的定义域: 例2：比较下列各组数中的两个值的大小: 例1是对对数型函数定义域的考查。目的是让学生掌握形如：的函数求定义域只需f(x)>0即可。例2是比较两个对数值大小的问题。前两道题是直接利用函数单调性来比较，第3道题是为了让学生注意当底数不确定时，要有分类讨论的意识，第4道题是更上一层，底数真数都不相同时应如何处理，这四道题是层层深入，逐渐加深难度，通过这种变式教学可充分调动学生的解题积极性，调动他们的思维。

（四）归纳小结，巩固双基

归纳小结是巩固新知不可缺少的环节。本节课我让学生自主归纳，目的是培养学生的概括能力、语言表达能力，还能使学生将本节课的知识做简要的回顾。然后教师再将学生的发言做最后的小节。可以总结为：

在知识方面：（1）学习了对数函数的图像及其性质；（2）会应用对数函数的知识求定义域；（3）会利用对数函数单调性比较两个对数的大小。

思想方法方面:体会了类比、由特殊到一般、分类与整合、分类讨论的思想方法。

（五）布置作业，提高升华

最后一个环节是布置作业，这是一节课提高升华的过程，也是检验学生是否掌握了本节课的知识和思想方法的关键。本节课我安排了两个作业。必做题和思考题，其中思考题是让学生思考既然本节课我们一直是通过指数函数来研究对数函数的，那么他们之间有怎样的关系呢？

对数辅助函数在解题中的重要应用 篇10

关键词： 辅助函数 对数函数 导数 极值

对数函数有很多类型，但应用最广泛的是以e为底的对数，由于lnx的很好的特性，如：能够将连乘的函数化成和式；函数y=f（x）与函数lnf（x）有相同的单调性等，决定了对数辅助函数的重要地位和不可替代的作用.下面通过几个例子说明本文观点.

1.在求导数时的重要应用

（1）我们通常将形如u（x）的函数式称为幂指函数，这种函数在求导时既不能当成幂函数，又不能当成指数函数，所以在解题之前需要对其进行变形.

（2）如果函数涉及根号下连乘或连除，则可以通过对数变形成我们能够求导的形式，从很大程度上减少计算量.

本题还可以直接求导数，但是如果将题目复杂化，就必须通过取对数进行化简，本文就不再对更复杂的情形进行举例说明了.

2.在求极值中的使用

由于我们知道函数y=f（x）的单调性和相对数式lnf（x）的单调性相同，因此在遇到复杂的连乘函数求极值问题，可以通过转换成对数函数，将连乘转化为求和，再求极值，并且极值点和原函数的极值点相同.这方面的应用在概率论语数理统计的极大似然估计法中得到了充分应用.

也就是原来函数f（x）的极值点情况如上表所示.

注意：此题如果直接利用函数求导求极值会相当复杂，计算量会相当大，但是通过对数辅助函数可以很好地简化计算.

以上只对对数函数在解题方面的应用做了总结，事实上，对数函数作为辅助函数在证明中也有非常重要的应用，此处不再说明.

参考文献：

[1]同济大学数学系编.高等数学上册（第七版）[M].高等教育出版社，2014.

一类对数型函数的若干单调性 篇11

例比较大小: log23与log34

根据题目结构特征,如果我们知道了函数y = logx( x +1) 的单调性,问题就极易获解.

下证: 函数f( x) = logx( x + 1) 在 ( 1,+ ∞ ) 上是单调减函数.

大小显而易见,由此产生了解法一. 这里我们约定( 1,+ ∞ ) 是为了使结论充分成立,进而在进行探究.

证法2: 作差,判定符号易知数列an= logn( n + 1) 是递减数列. 由此产生解法二.

利用放缩法也可以获解: 因为

即log23 > log34由此产生解法三. 但这样的放缩法证题解题,思维隐蔽,难以切入.

不难看出,如果对数型函数f( x) = logx( x + 1) 的单调性已知,此类问题的求解就简洁明了,答案易于获得. 下面我们对这一类对数型函数在参数一定的范围内,当函数有意义的条件下,对其若干单调性进行探究并进行证明和应用.

一类对数型函数的若干单调性:

性质1函数f( x) = logx( x + a) ,若a > 0,则在x∈(0,1/e)上是单调增函数; 在x∈(1/e,+∞)上是减函数.

令g( x) = xlnx,则有g '( x) = ( xlnx) ' = lnx + 1即x∈( 0,1/e)时,g'( x) < 0,此时g( x) 为减函以x < x + a,所以xlnx > ( x + a) ln( x + a) ,即有f'( x) > 0,所以f( x) 为增函数;

当x∈(1/e,+ ∞ ) 时,g '( x) > 0,g( x) 为增函数函数,a > 0,所以x < x + a,所以xlnx < ( x + a ) ln ( x + a ) ,即f '( x) < 0,所以f( x) 减函数.

性质2函数f( x) = logx( ax + b) ,若a > 1,b > 1,则该函数在x∈( 1,+ ∞ ) 上是单调递减函数.

性质3函数f( x) = logx( ax + b) ,若,0 < a < 1,b < 0,则该函数在x∈( 1,+ ∞ ) 上是单调增函数.

性质4函数f( x) = logx( ax + b) ,若,a > 1,b > 1,则该函数在x∈( 0,1) 上是单调减函数.

例1比较大小: log35与log46.

解因为f ( x ) = logx( x + 2 ) 在a > 0时,x∈(1/e,+∞)上是减函数( 对数型函数的性质1) ,x1= 3,x2=4,所以log3( 3 + 2) > log4( 4 + 2) .

即有log35 > log46

例2把下列一组数按从小到大的顺序排列并进行证明:

解因为:而f( x) (1= logxx + 2在x∈(0,1/e)上是单调增函数( 对数型函数的性质1) ,而1/e>1/3>1/4,所以又因为函数f( x) = log 1/4x是单调减函数,所以

我们把对数函数中,底数和真数中都有变量时,定义该函数为对数型函数. 对于对数型函数的单调性,可按参数的范围进行分类,先利用换底公式,再利用导数的性质进行探究,从而得到了其若干单调性,又对其进行了举例应用,特别是此类数的大小比较,利用该对数函数型的单调性进行求解,简洁明了,易于获得答案,不失是一个好办法,供同仁参考.

摘要：本文从一道例题的求解,悟出了一类含参的对数型函数的若干单调性,并通过证明获得其正确性,进而应用该性质求解与此类问题相关的一些题目,体现了该性质的简洁性和实用性.也给此类对数型函数在参数设定范围的前提下,当函数有意义时的单调性作了定性.

指数与对数函数练习题 篇12

1.下列函数中，正整数指数函数的个数为

①y=1x;②y=-4x;③y=(-8)x.

A.0 B.1

C.2 D.3

解析：由正整数指数函数的 定义知，A正确.

答案：A

2.函数y=(a2-3a+3)ax(xN+)为正整数指数函数，则a等于 ()

A.1 B.2

C.1或2 D.以上都不对

解析：由正整数指数函数的定义，得a2-3a+ 3=1，

a=2或a=1(舍去).

答案：B

3.某商品价格前两年每年递增20 %，后两年每 年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是 ()

A.增加7.84% B.减少7.84%

C.减少9.5% D.不增不减

解析：设商品原价格为a，两年后价格为a(1+20%)2，

四年后价格为a(1+20%)2(1-20%)2=a(1-0.04)2=0.921 6a，

a-0.921 6aa100%=7.84%.

答案：B

4.某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本 为 ()

A.a(1+p%)元 B.a(1-p%)元

C.a1-p%3元 D.a1+p%元

解析：设现在成本为x元，则x(1-p%)3=a，

x= a1-p%3.

答案：C

5.计算(2ab2)3(-3a2b)2=________.

解析：原式=23a3b6(-3)2a4b2

=89a3+4b6+2=72a7b8.

答案：72a7b 8

6.光线通过一块玻璃板时，其强度要损失20%，把几块相同的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为1，通过x块玻璃板后的强度为y，则y关于x的函数 关系式为________.

解析：20%=0.2，当x=1时，y=1(1-0.2)=0.8;

当x=2时，y=0.8(1-0.2)=0.82;

当x=3时，y=0.82(1-0.2)=0.83;

……

光线强度y与通过玻璃板的`块数x的关系式为y=0.8x(xN+).

答案：y=0.8x(xN+)

7.若 xN+，判断下列函数是否是正整数指数函数，若是，指出其单调性.

(1)y=(-59)x;(2)y=x4;(3)y=2x5;

(4)y=( 974)x;(5)y=(-3)x.

解：因为y=(-59)x的底数-59小于0 ，

所以y=(-59)x不 是正整数指数函 数;

(2)因为y=x4中自变量x在底数位置上，所以y=x4不是正整数指数函数，实际上y=x4是幂函数;

(3)y=2x5=152x，因为2x前的系数不是1，

所以y=2x5不是正整数指数函数;

(4)是正整数指数函数，因为y=( 974)x的底数是大于1的常数，所以是增函数;

(5)是正整数指 数函数，因为y=(-3)x的底数是大于0且小于1的常数，所以是减函数.

8.某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为10 000 m2，每年增长10%，经过x年，森林面积为y m2.

(1)写出x，y之间的函数关系式;

(2)求出经过后森林的面积.(可借助于计算器)

解：(1)当x=1时，y=10 000+10 00010%=10 000(1+10%);

当x=2时，y=10 000(1+10%)+10 000(1+10%)10%=10 000(1+10%)2;

当x=3时，y=10 000(1+10%)2+10 000(1+10%) 210%=10 000(1+10%)3;

所以x，y之间的函数关系式是y=10 000(1+10%)x(xN+);

(2)当x=10时，y=10 000(1+10%)1025 937.42，

对数函数的单调性、奇偶性的运用 篇13

张军丽

一、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.1.比较下列各组数中的两个值大小：

(1)log23.4，log28.5

(2)log0.31.8，log0.32.7

(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1)

思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4

解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4

解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4

(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；

(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1

当0loga5.9

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则

所以，b1

所以，b1>b2，即举一反三：

【变式1】（2011 天津理 7）已知

A．

解析：另

B．，C．，则（）

D．，令b2=loga5.9，则

.当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9

当0

又∵为单调递增函数，∴

2.证明函数

故选C.上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设

举一反三：

【变式1】已知f(logax)=的单调性.解：设t=logax(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=logax为增函数，若t1

则

又∵y=log2x在即f(x1)

上是增函数.上是增函数

∴函数f(x)=log2(x2+1)在∵ 01，∴ f(t1)

解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵ y=≤4，∴ y≥

=-2，即函数的值域为[-2，+∞.(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即

再由：函数y=-1

二、函数的奇偶性

4.判断下列函数的奇偶性.(1)

(2)

.t(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由

所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称

又

所以函数

是奇函数；

总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由

以函数的定义域为R关于原点对称

即f(-x)=-f(x)；所以函数

所

又

.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.三、对数函数性质的综合应用

5．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现： 使u能取遍一切正数的条件是

.的解集为R，解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0

当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；

当a≠0时，有∴ a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数

a>1.a=0或

0≤a≤1，∴ a的取值范围为0≤a≤1.6．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；

(3)判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8))(a>1)，∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕

∴ S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).，又函数y=log2x

由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+在(0，+∞)上是增函数，∴ 0<2log2(1+)<2log2，即0(1+)-(1+)=16(+8a2>0，)=16·+8a1>0，a1-a2<0，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴ a1+a2+8>0，∴ 1<1+

<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)