推理证明练习

推理证明练习（通用8篇）

推理证明练习 篇1

推理与证明课后练习

一、选择题

1．观察下列各式：11，2343，345675，456789107，以得出的一般结论是()

A．n(n1)(n2)

B．n(n1)(n2)

C．n(n1)(n2)

D．n(n1)(n2)(3n2)n2(3n2)(2n1)2 (3n1)n2 2222，可(3n1)(2n1)

22．求证：3725，下述证明过程应用了()

A．综合法 B．综合法、分析法配合使用 C．分析法 D．间接证法 证明过程：因为37和2都是正数，所以为了证明372 只需证明725，展开得102222120,215，只需证明2125.因为2125，所以不等式37

2ab”假设的内容应是()ab3．用反证法证明“如果，那么

A．abB．ab

3333333abababbC． 且D． 或

4．用反证法证明：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎么染，至少有5个球是同色的。其假设应是()

A．至少有5个球是同色的 B．至少有5个球不是同色的C． 至多有4个球是同色的 D．至少有4个球不是同色的5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

3按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()

A．6n2 B．8n2 C．6n2 D．8n2

234749,7343,72401，„则72011的末两位数字为()6．观察下列各式

A．01 B．43 C．07 D．49

7.图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个

叠放的图形中，小正方体木块总数就是()

A．25 B．66 C．91 D．120

二、解答题

1b1aa0,b0且ab2,求证:,ab中至少有一个小于2.8．已知

9．求证： 5 > 227

10.若a、b、c是不全相等的正数．

求证：lg（a＋b）/2＋lg(b＋c)/2＋lg(c＋a)/2>lga＋lgb＋lgc.11.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则|FP1|、|FP2|、|FP3|之间有什么关系（梯形中位线）。

12.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an,并证明。

推理证明练习 篇2

1.(1)演绎推理是由一般到特殊的推理;(2)演绎推理得到的结论一定是正确的;(3)演绎推理一般模式是“三段论”形式;(4)演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.以上说法正确的有()

(A)1个(B)2个

(C)3个(D)4个

2.已知f(x)=e-x,则f'(-1)=()

3.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为()

(A)1 (B)(C)(D)

4.函数y=x-2sinx在(0,π)上的单调递增区间为()

(A)(B)

(C)(D)

5.当x∈[-1,2]时,若恒成立,则实数m的取值范围是()

(A)(B)(C)(D)(2,+∞)

6.方程x3-6x2+9x-10=0的实根的个数是().

(A)1 (B)2 (C)0 (D)3

7.函数f(x)的定义域为(-1,2),导函数f'(x)在(-1,2)内的图像如图1所示,则函数f(x)在开区间(-1,2)内有极小值点()

(A)1个(B)2个

(C)3个(D)4个

8.已知数列{an}满足a1=2,(n∈N*),则a2011的值为()

(A)-3 (B)(C)(D)2

9.过点(2,1)的曲线y=x3的切线的条数是()

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

10.由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形的面积的最小值为()

(A)(B)(C)(D)

二、填空题(本大题共5题,每小题5分,共25分.把答案添在答题卡的相应位置)

11.按一定规律排列的一列数依次为:,,按此规律排列下去,这列数中的第7个数是______.

12.若三角形内切圆半径为r,三边长为a,b,c,则三角形的面积,根据类比思想,若四面体内切球的半径为R,四个面的面积为S1,S2,S3,S4,则四面体的体积V=______.

13.已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比.如果车辆启动后车轮转动第一圈需要0.8 s,则转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度=_____.

15.若函数f(x)=loga(x3-ax)(0

三、解答题(本大题共6题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16.(本小题满分12分)求函数的单调区间和极值.

17.(本小题满分12分)已知a,b均为正数,求证:.

18.(本小题满分12分)某厂生产某种产品x件的总成本(万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,该厂产量定为多少件时总利润最大?最大总利润是多少?(利润=收入-成本)

19.(本小题满分12分)在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上式性质,相应地:在等比数列{bn}中,若b11=1,则存在怎样的等式?并证明你得到的等式.

20.(本小题满分13分)设函数f(x)=-x3+ax,x∈(0,1],a∈R.

(1)若a>3,试判定f(x)在(0,1]上的单调性,并证明你的结论;

(2)是否存在实数a,使当x∈(0,1]时,f(x)有最大值-1?

21.(本小题满分14分)设函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.

(1)当时,不等式f(x)

(2)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围.

参考答案

一、选择题.

1.(C) 2.(B) 3.(B) 4.(C) 5.(D) 6.(A) 7.(A) 8.(B) 9.(D) 10.(A)

二、填空题

三.解答题

16.解:增区间为(-∞,-1),(1,+∞);减区间为(-1,0),(0,1);极大值为-2,极小值为2.

17.解:两式相加可得所证不等式成立.

18.解:设总利润为y万元,由题意的,利用导数易得当产量x=25万件时,总利润最大,最大值为万元.

20.解(1)f'(x)=-3x2+a,因为x∈(0,1],a>3,所以f'(x)>0,f(x)在(0,1]上是增函数.

(2)当a>3时,f(x)在(0,1]上是增函数,f(1)=a-1=-1⇒a=0(舍去)

当0≤a≤3时,由无解.

当a<0时,f'(ax)<0,f(x)在(0,1]上是减函数,f(x)在(0,1]上无最大值.

推理证明练习 篇3

1 (选修22P61例2)三角形的内角和是180°,凸四边形的内角和是360°,凸五边形的内角和是540°……由此我们猜想：凸n边形的内角和是(n-2)×180°.

11 (改编)观察下列等式,试从中归纳出一般结论：

(1) 12=16×1×2×3, 12+22=16×2×3×5, 12+22+32=16×3×4×7, 12+22+32+42=16×4×5×9, …;

(2) 13=12, 13+23=(1+2)2, 13+23+33=(1+2+3)2, 13+23+33+43=(1+2+3+4)2, ….

12 (改编)因为an=(n2-5n+5)2时,有a1=a2=a3=a4=1,由此可猜想对任意的n (n∈N*), an=(n2-5n+5)2=1.

因为当n=0, 1, 2, 3, 4时,2n＜n2+8,由此可猜想对任意的n(n∈N*), 2n＜n2+8.

以上两个推理是归纳推理吗？所得的结论正确吗？你能得到什么结论(对这样的推理作出性质评估)？

13 (改编)在数列{an}中,a1=12,且(n+2)an+1=nan (n∈N*).

(1) 求a2, a3, a4的值;

(2) 试猜想{an}的通项公式,并给出证明.

2 (选修22P67第4题)(1) 证明：在等差数列{an}中,若m+n=p+q (m, n, p, q∈N*),则am+an=ap+aq;

(2) 通过对(1)的类比,写出等比数列{an}的一个猜想.

21 (改编)在等差数列{an}中,若am=a1+(m-1)d, an=a1+(n-1)d,则an-am=(n-m)d,从而an=am+(n-m)d,试进行类比,写出等比数列{an}的一个猜想.

3 (选修22P69例2)已知a, b, m均为正实数,b＜a,求证：ba＜b+ma+m.

31 (改编)已知数列{an}满足：a1=1, an+1=12an+n, n为奇数,

an-2n,n为偶数,设bn=a2n-2, n∈N*,求证：{bn}是等比数列,并求数列{bn}的通项公式.

4 (选修22P80例1)如图1,已知AB, CD相交于点O, △ACO≌△BDO, AE=BF,求证：CE=DF.

41 (改编)如图2,在△ABC中,BD⊥AC, CE⊥AB,点M, N分别为BC, DE的中点,求证：MN⊥DE.

42 (改编)已知a是整数.证明：若a2是偶数,则a也是偶数.

43 (改编)设函数f(x)对定义域内任意实数,都有f(x)≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立,求证：对定义域内任意实数,都有f(x)＞0成立.

5 (选修22P86例2)用数学归纳法证明：当n∈N*时,1+3+5+…+(2n-1)=n2.

51 (改编)已知正项数列{an}满足a2n≤an-an+1,求证：an＜1n.

52 (改编)设ai＞0 (i=1, 2, 3, …, n),且a1a2a3 … an=1,求证：(1+a1)(1+a2)(1+a3) … (1+an)≥2n.

6 (选修22P109例5)计算2-i3-4i.

61 (改编)若复数z满足zi=2+i,则z= .

62 (改编)复数1-i(1+i)2的虚部为 .

63 (改编)已知i是虚数单位,若a+bi4-i=3+2i (a, b∈R),则a+b的值是 .

7 (选修22P110练习第1题)计算：(1)22+22i2;(2) (1-i)4.

(选修22P111习题3.2第2题第(2)问)计算：32+12i-12+32i.

71 (改编)计算：-23+i1+23i+21+i2004+(4-8i)2-(-4+8i)211-7i.

72 (改编)已知虚数u满足u2=u-,求复数z=u1+u2+u2u+u3+u3u2+u4的值.

第Ⅱ部分(人教版教材)

1 (人教A版《选修22》第74页例3)

类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出关于空间中四面体性质的猜想.

（人教B版《选修22》第62页习题21.A第2题）

命题“正三角形内任一点到三边的距离等于常数”，对正四面体是否有类似的结论.

11 （改编）在直角三角形ABC中，AB⊥AC， AD⊥BC于D，则1AD2=1AB2+1AC2.在四面体ABCD中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由.

12 （改编）在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD=2.在四面体ABCD中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由.

2 (人教A版《选修22》第77页练习第2题)

观察下面的“三角阵”（图略），试找出相邻两行数之间的关系.

21 （改编）如图1所示的三角形数阵叫作“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的.

（1） 试找出相邻两行数之间的关系；

（2） 数阵的第7行第4个数是什么？

3 (人教A版《选修22》第98页复习参考题A组第1题)

观察下列图案（图略）中圆圈的排列规则，猜想第（5）个图形由多少个圆圈组成，是怎样排列的；第n个图形中共有多少个圆圈？

31 （改编）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1， 3， 6， 10…这样的数称为“三角形数”，而把1， 4， 9， 16…这样的数称为“正方形数”.如图2，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是 .

①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31；⑤64=28+36.

32 （改编）如图3是一个有n(n≥2)层的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，则这个点阵的点数共有 个.

4 (人教A版《选修22》第94页例1)

(人教B版《选修22》第72页例1)

用数学归纳法证明：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)6 (n∈N*).

nlc202309031239

41 （改编）用数学归纳法证明：12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)3 (n∈N*).

42 （改编）用数学归纳法证明：22+42+62+…+(2n)2=2n(n+1)(2n+1)3 (n∈N*).

5 (人教A版《选修22》第106页习题3.1第1（1）题)

(人教B版《选修22》第89页习题31第6（1）题)

求适合下列方程的实数x与y的值：(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i.

51 （改编）求适合下列方程的共轭复数x与y的值：(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i.

52 （改编）求适合下列方程的纯虚数x与y的值：(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i.



第Ⅰ部分

11 (1) 12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1);

(2) 13+23+33+…+n3=12n(n+1)2.

12 以上两个推理都是归纳推理,但两个推理所得到的结论都是不正确的.说明由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,不一定正确.

13 (1) a2=16, a3=112, a4=120;

(2) 猜想：an=1n(n+1) (n∈N*).

证明：因为(n+2)an+1=nan (n∈N*),所以an+1an=nn+2,则a1·a2a1·a3a2·a4a3·…·an-1an-2·anan-1=12×13×24×35×…×n-2n×n-1n+1=1n(n+1),即an=1n(n+1).

21 an=amqn-m.

31 设n=2k-1,则a2k=12a2k-1+2k-1, k∈N*.

当k≥2时,设n=2k-2,则a2k-2+1=a2k-2-2(2k-2),即a2k-1=a2k-2-4(k-1),所以当k≥2时,a2k=12［a2k-2-4(k-1)］+2k-1,即a2k=12a2k-2+1,所以当n≥2时,a2n=12a2n-2+1,即a2n-2=12 (a2n-2-2).

又bn=a2n-2, n∈N*, b1=a2-2=32-2=-12,即当n≥2时,bn=12bn-1,故数列{bn}是以-12为首项,12为公比的等比数列,故bn=-12·12n-1=-12n.

41 连结MD, ME,在Rt△BCD中,因为M为BC的中点,所以MD=12BC.同理,ME=12BC.所以MD=ME.

又N为DE的中点,所以MN⊥DE.

42 (反证法)设a=2m+1(m为整数),则a2=4m2+4m+1.

因为4m2+4m为偶数,所以4m2+4m+1为奇数,即a2为奇数,与条件矛盾,所以a也是偶数.

43 (反证法)假设函数f(x)对定义域内任意满足条件的实数x,都有f(x)＞0不成立,则存在实数x0,有f(x0)≤0成立.

因为函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x)≠0,所以f(x0)＜0,且f12x0≠0,则由题设可知f(x0)=f12x0+12x0=f12x0f12x0=f212x0>0,矛盾,故假设不成立,所以对定义域内任意实数x,都有f(x)＞0.

51 因为a2n＜an-an+1 (n∈N*),所以a21≤a1-a2,即a2≤a1-a21.

又a2＞0,所以a1-a21＞0,所以a1＜1,即n=1时,结论成立.

① 当n=2时,a2≤a1-a21=-a1-122+14≤14＜12,即结论成立.

② 假设当n=k (k≥2, k∈N*)时,结论成立,即ak＜1k.那么当n=k+1时,a2k≤ak-ak+1, ak+1≤ak-a2k=-ak-122+14 0＜ak＜1k≤12,故ak-a2k关于ak在0, 1k上为单调增函数,故ak+1＜1k-1k2=k-1k2＜1k+1,即结论也成立.

由①和②,可知对任意的正整数n (n≥2), an＜1n都成立.

综上所述,对任意的正整数n,an＜1n都成立.

注意 若取初始值n=1,则“a1-a21关于a1在(0, 1)上为单调增函数”不成立.

52 ① 当n=1时,不等式成立.

② 假设当n=k (k∈N*)时,不等式成立,即当ai＞0 (i=1, 2, 3, …, k),且a1a2a3…ak=1时,(1+a1)(1+a2)(1+a3) … (1+ak)≥2k.

那么当n=k+1时,再令ai＞0 (i=1, 2, 3, …, k+1),且a1a2a3 … ak+1=1,则ai (i=1, 2, 3, …, k+1)中必有两个数满足一个不小于1,另一个不大于1.为了书写方便,不妨设ak≥1, ak+1≤1,则(1-ak)(1-ak+1)≤0,即1+akak+1≤ak+ak+1,故2(1+akak+1)≤1+ak+ak+1+akak+1=(1+ak)(1+ak+1),于是(1+a1)(1+a2)(1+a3) … (1+ak)(1+ak+1)≥(1+a1)·(1+a2)(1+a3) … (1+ak-1)·2(1+akak+1)=2(1+a1)(1+a2)(1+a3)·… (1+ak-1)［1+(akak+1)］≥2·2k=2k+1,即不等式也成立.

综上所述,对任意的正整数n,不等式都成立.

61 1-2i.

62 -12.

63 19.

71 -1+i.

72 -3.

第Ⅱ部分

1 人教A版：略.

人教B版：正四面体内任一点到四个侧面的距离等于常数.

11 解：在四面体ABCD中，AB, AC, AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2=1AB2+1AC2+1AD2.

证明：如图4所示，连接BE交CD于F，连接AF.因为AB⊥AC, AB⊥AD,所以AB⊥平面ACD.

而AF平面ACD，所以AB⊥AF.

在Rt△ABF中，

AE⊥BF，所以1AE2=1AB2+1AF2.

在Rt△ACD中，AF⊥CD，

nlc202309031239

所以1AF2=1AC2+1AD2,

所以1AE2=1AB2+1AC2+1AD2，故猜想正确.

12 解：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM=3.

证明：设四面体内部一点O到四面体各面都相等的距离为d，则由题意知d=OM，设各个面的面积为S，则由等积法可得：4·13S·OM=13S·AM,4OM=AM=AO+OM，从而可得：AOOM=3.

2 人教A版：从第二行起，每一个数等于其肩上两数的和.

21 解：（1） 数阵的第n行有n个数且两端的数均为1n(n≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和；

（2） 由以上规律可知，第7行第1个数为17，第2个数为16-17=142，第3个数为130-142=1105，第4个数为160-1105=1140.

3 人教A版：a5=21, an=n2-n+1 (n∈N*).

31 解：这些“三角形数”依次是1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45， …,且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15+21=36, 28+36=64，只有③⑤是对的.

32 解：本题是数列问题，这个点阵从里到外每层的点数的个数为：1, 6, 12, 18, 24， …，可知，从第2层开始，构成公差为6的等差数列，所以

sn=1+(n-1)×6+(n-1)(n-2)2×6

=3n2-3n+1.

4 人教A版，人教B版：略.

41 证明：当n=1时，左边=1，右边=1，所以等式成立；

假设当n=k时，等式成立，即12+32+52+…+(2k-1)2=k(4k2-1)3,

则当n=k+1时，

左边=12+32+52+…+(2k-1)2+［2(k+1)-1］2=k(4k2-1)3+［2(k+1)-1］2=k(4k2-1)3+(2k+1)2=k(4k2-1)3+3(2k+1)23=(k+1)［4(k+1)2-1］3=右边.

综上可知，等式对所有的n∈N*都成立.

42 略.

5 人教A版，人教B版：x=1, y=7.

51 解：设x=a+bi (a, b∈R),则y=a-bi (a, b∈R),所以：

(3x+2y)+(5x-y)i=3(a+bi)+2(a-bi)+

［5(a+bi)-(a-bi)］i

=(5a-6b)+(4a+b)i

=17-2i,

所以5a-6b=17，4a+b=-2,所以a=529, b=-7829,

所以x=529-7829i, y=529+7829i.

52 解：设x=ai， y=bi (a, b∈R,且a, b≠0),则

(3x+2y)+(5x-y)i=3ai+2bi+(5ai-bi)i=b-5a+(3a+2b)i=17-2i,

所以-5a+b=17，3a+2b=-2，所以a=-3613, b=4113,

所以x=-3613i, y=4113i.

推理证明练习 篇4

(A)1M(B)2M(C)(1,2)M(D)(2,1)M 2.下列说法正确的是（）

Ａ．由归纳推理得到的结论一定正确Ｂ．由类比推理得到的结论一定正确

Ｃ．由合情推理得到的结论一定正确Ｄ．演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确

3.设全集U1,2,3,4,5,6，集合A1,2,3,,B2,4,5，则CU(AB)等于（）（A）2（B）6（C）1,3，4，5，6（D）1，3，4,5

－3+i

4.复数z＝的共轭复数是()

2+i

（A）2+i（B）2－i（C）－1+i（D）－1－i

5．下列推理是归纳推理的是（）（）A．A、B是定点，动点P满足|PA||PB|2a|AB|，得P点的轨迹是椭圆 B．由a11,an3n1，求出S1,S2,S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

C．由圆xyr的面积为r，猜想出椭圆D．利学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

xa



yb

1的面积为ab

6.若复数(m23m4)(m25m6)i是虚数，则实数m满足（）A.m1B.m6C.m1或m6D.m1且m67．设I=R，M={x|x<0},N={x|-1≤x≤1},则(CUM)∩N=()A.{x|0

D.{x|x≥-1}

A．“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”；B．“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”；C．“若(ab)cacbc” 类推出“abab（c≠0）”；

c

c

c

（ab）ab” 类推出“（ab）ab” D．“

nnnnnn

9．一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若将此若干个圈

依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（）A.12B.13C.14D.15

10、由a11，an1

3410

3an3an

1给出的数列an的第34项是().1

4104100

11．已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（）

A.B.C.D.A.x=-1，y=1B.x=-1，y=2C.x=1，y=1D.x=1，y=

212． “x=-1”是复数z(x21)(x1)i为纯虚数的（）

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 x2x20

13.已知不等式的解集是，则实数a的取值范围是()

xa

(A)a＞2(B)a＜1(C)a≥2(D)a≤1 14.已知复数z =(1 – i)(2 – i)，则| z |的值是

3i

15.已知i是虚数单位，则的实部为_______;虚部为_________

1i16．观察下列不等式：1

12,1

12131,1

1213

1732,1

1213

52,

则第6个不等式为________________________________

17．若复数z满足z(m2)(m1)i（i为虚数单位）为纯虚数，其中mR则z____

mm6

m

18．当实数m为何值时，复数z（Ⅲ）纯虚数？

(m2m)i为（Ⅰ）实数？（Ⅱ）虚数？

19.已知a,b,c成等比数列，a,x,b成等差数列，b,y,c成等差数列，求证：

20．若a10且a11，an1

a1

ax



cy

2

2an1an

(n1,2,，)(1)求证：an1an；(2)令，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an；(3)证

p

an

an

明：存在不等于零的常数p，使



推理与证明 篇5

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。推理与证明贯穿于数学的整个体系，它的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。

学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。

《新标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现---猜想---证明”，因而关注合情推理能力的培养实际上就是希望教师能够重视数学知识的产生和发展过程，发展学生的探究和创新精神。

推理与证明复数习题 篇6

1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件

2．类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是（）Ａ．连续两项的和相等的数列叫等和数列

Ｂ．从第二项起，以后第一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列 Ｃ．从第二项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列 Ｄ．从第一项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列

3．已知数列1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，，则数列的第k项是（）Ａ．akak1a2kＢ．ak1aka2k1 Ｃ．ak1aka2kＤ．ak1aka2k2

4.在等差数列an中，若an0，公差d0，则有a·4

a6a3·a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）Ａ．b4b8b5b7

Ｂ．b5b7b4b8Ｃ．b4b7b5b8

Ｄ．b4b5b7b8

5．（1）已知p3q32，求证

pq2，用反证法证明时，可假设pq2，（2）已知a，bR，ab1，求证方程x2axb0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设x1≥1，以下结论正确的是（）

Ａ．(1)与(2)的假设都错误Ｂ．(1)与(2)的假设都正确

Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确

6．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，ABa，CDb(ab)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m:n，则可推算出EF

manb

mn

．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD，BC相交于O点，设△OAB，△OCD的面积分别为S1，S2，EF∥AB且EF到CD与AB的距离之比为m:n，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是（）Ａ．S1nS2

nS1mS2

0

mSmn

Ｂ．S0

mn



7．用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n··13··(2n1)，从k到k1，左边需要增乘的代数式为（）Ａ．2k1

Ｂ．2(2k1)

Ｃ．

2k1

k1

Ｄ．

2k3

k1

8.下列表述正确的是（）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.9．观察数列1121231234

2213214321

，则数6将出现在此数列的第（）

Ａ．21项Ｂ．22项Ｃ．23项Ｄ．24项 10．正整数按下表的规律排列

12510173611188 71219142023 22

则上起第2005行，左起第2006列的数应为（）

213．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第n个图有an个树枝，则an1与an(n≥2)之间的关系是．

14．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为． 15．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．(请用反证法证明）

16.观察以下各等式：

sin2

300

cos2

600

sin300

cos600

34sin2200cos2500sin200cos500

4

sin2

150

cos2

450

sin150

cos450



3，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．

17．已知命题：“若数列a

n是等比数列，且an0，则数列bnnN)也是等比数列”．类

比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．

．已知abc，且abc

018

19.已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论。

1.若复数zm2

5m6

m3i是实数，则实数m

2.若复数za21(a1)i是纯虚数(其中aR)，则z=________.3.复数z=

2i,则z的共轭复数为__________ 4.若复数z1a2i, z234i，且z1

z为纯虚数，则实数a的值为2

5.复数

2i

1i

(i是虚数单位)的实部为6.已知复数zm2(1i)(mi)(mR),若z是实数，则m的值为。

7.已知

m

1i

1ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则z(mni)2在复平面内对应的点Z位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 8.复数z13i，z21i，则复数z1z在复平面内对应的点位于第__ ____象限．

9．数z

mi

1i

（mR，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

10．复数z11i,|z2|3，那么|z1z2|的最大值是。11.已知zC，且z22i1,i为虚数单位，则z22i的最小值是()

（A）2.（B）3.（C）4.（D）5.12.化简(cos225isin225)2(其中i为虚数单位)的结果为13.若z，则z100z50

1____________ 14.x1iy12i513i，则xy__________ 15.已知复数z满足zz10,z1

z1

是纯虚数，求复数z

16.已知复数z2

1m(4m)i,z22cos(3sin)i,(,mR,[0,

])，z1z2，求的取值范围。

逆向推理法证明立几中的垂直问题 篇7

一、准备知识

立体几何中的垂直问题通常有三类:证线与线垂直、线与面垂直、面与面垂直.在解决这些问题之前首先要熟记三个定理:

定理1如果平面外一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直, 那么这条直线垂直于这个平面. (简称:线线垂直, 线面垂直)

定理2如果一条直线与一个平面垂直, 那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都垂直. (简称:线面垂直, 线线垂直)

定理3如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直. (简称:线面垂直, 面面垂直)

其次, 要证明垂直问题就要熟知常用于推导垂直关系的条件, 除了题目直接告知的垂直关系, 还有以下几种常用来推导垂直的条件: (1) 等腰 (或等边) 三角形底边上的中线垂直于底边; (2) 正方形 (或菱形) 的对角线互相垂直; (3) 三边满足勾股数a2+b2=c2的三角形是直角三角形, 等等.

最后, 明确一个基本原则:在推理过程中如果要寻找某条直线, 总是优先考虑已有垂直关系的线.

二、实例分析

1. 证线面垂直

例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1, O是底ABCD对角线的交点, 求证:A1C⊥平面AB1D1.

从结论出发, 我们可以作出如下分析:

步骤1:要证线面垂直, 只要证线线垂直.首先在平面AB1D1的平面内找出两条相交直线与A1C垂直.我们的原则是优先考虑已有垂直关系的线, 在正方形中隐含着对角线互相垂直的关系, 平面AB1D1的三条边又都是正方形的对角线, 所以任选一条边, 其他的边只要同理证明就可以了, 这里我们选B1D1.

步骤2:下面证A1C⊥B1D1, 只要让B1D1垂直于一个平面, 这个平面要包含A1C, 又要包含它已经垂直的线A1C1, 很容易得到是平面A1C1C.

(记作:A1C⊥B1D⇐B1D1⊥平面A1C1C)

步骤3:重复步骤1, 要证B1D1⊥平面A1C1C, 只要证明B1D1与平面里两条相交直线垂直.已知B1D1与A1C1垂直, A1C是需要证明与之垂直的线, 那么只剩下CC1.恰好CC1是正方体的侧棱, 它垂直于面A1B1C1D1, 易证CC1⊥B1D1.

以上推理的思维流程图:

2. 证线线垂直

例2如右图, 已知矩形ABCD, 过A作SA⊥平面AC, 再过A作AE⊥SB交SB于E, 过E作EF⊥SC交SC于F.求证:AF⊥SC.

分析步骤1:要证线线垂直, 只要证线面垂直.AF和SC中先选出一条线, 让其垂直一个面.本着优先考虑已有垂直关系的线这一原则, 我们选择SC.下面寻找SC垂直的平面, 它要包含SC已经垂直的线EF, 也要包含它需要垂直的线AF, 那么就算不看图, 我们也能找出这个平面AEF.

(记为:AF⊥SC⇐SC⊥平面AEF)

步骤2:下面证线面垂直, 只要证线线垂直.欲证SC⊥平面AEF, 只要在平面里找出两条相交直线与SC垂直.已知SC已经垂直于EF, 而AF是需要证明与SC垂直的线因此不能用, 所以只剩下AE.

步骤3:重复步骤1, 要证明SC⊥AE, 就要确定其中一条线, 让其垂直一个面.由于SC的垂直关系在前面用过了, 所以这次选AE.AE所垂直的平面要包含它已经垂直的直线SB, 还要包含它需要垂直的直线SC, 所以可确定平面SBC.

(记为:SC⊥AE⇐AE⊥平面SBC)

步骤4:重复步骤2, 要证AE⊥平面SBC, 只要在平面里找出两条相交直线垂直于AE.AE已经垂直于SB, 而SC是需要证明和AE垂直的线, 不能选, 那么只剩下BC可能与AE垂直.

步骤5:重复步骤3, 要证AE⊥BC, 先确定一条线.由于AE的垂直关系前面已经用过, 所以这次选BC.BC所垂直的平面要包含AE, 还要包含它已经垂直的线AB.所以BC⊥平面ABE, 即BC⊥平面SAB.

(记为:AE⊥BC⇐BC⊥平面SAB)

步骤6:重复步骤4, 要证BC⊥平面SAB, 只要在平面里找出两条相交直线垂直于BC.BC已经垂直于AB, 平面里与AB相交的直线有AE和SA, AE是需要证明的线不能用, 只剩下SA.而题目已知SA⊥平面ABCD, 易证SA⊥BC.

以上推理的思维流程图:

3. 证面面垂直

例3如图, 已知AB$平面ACD, DE∥AB, △ACD是正三角形.求证:平面BCE$平面CDE.

分析要证明面面垂直, 只要在其中一个面里找出一条直线, 使它垂直于另一个面.但是题目中的垂直关系都集中在平面ACD中, 等腰△ACD的中线AF⊥CD, 同时AF⊥AB.因为AB∥DE, 所以AF⊥DE.易证AF⊥平面CDE.因此只要将AF移到平面BCE中就可以了.取CE中点G, 连接BG, 易证BG∥AF, 命题得证.

思维流程图:

三、一点感悟

证明垂直问题是立体几何中的重要内容, 通过垂直的性质和判定定理, 可以实现线面关系的转化.让学生学会从结论出发逆向推理, 会减少思维混乱, 无从下手的状况, 使思维更具条理性.本文所述的方法不以理解为技法, 而是对垂直关系的源头探求, 探求的依据就是性质和定理.

推理与证明考查热点 篇8

一、归纳推理

例1（2013湖北理科15）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻着色方案共有种.（结果用数值表示）

解析：设n个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为an，由图可知，

a1=2，a2=3，

a3=5=2+3=a1+a2，

a4=8=3+5=a2+a3，

由此推断a5=a3+a4=5+8=13，a6=a4+a5=8+13=21，故黑色正方形互不相邻着色方案共有21种.

点评：本题考查的是归纳推理.归纳推理是从个别事实中推演出一般性结论的推理，是从部分到整体，由个别到一般的推理.本题由题设中给出的图形，归纳发现从第三项起后一项是前两项的和，找到规律继而得出结论.

例2（2013陕西理13）观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第n个等式为.

解析：把已知等式与行数对应起来，则每一个等式左边式子的第一个数等于行数n，相加的数的个数是2n-1；等式右边都是完全平方数.

所以n+（n+1）+…+[n+（2n-1）-1]=（2n-1）2，

即n+（n+1）+…+（3n-2）=（2n-1）2.

点评：本题通过观察等号左边式子的变化规律和右边结果的特点，然后归纳出一般结论.行数、项数的变化规律是解答本题的关键.

二、类比推理

例3在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC=12（a+b+c）r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为”.

解析：三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中12类比为三维图形中的13，得V四面体ABCD=13（S1+S2+S3+S4）r.故填V四面体ABCD=13（S1+S2+S3+S4）r.

点评：本题利用类比推理得出结论.类比推理是由此及彼的推理，是两类类似的对象之间的推理.类比推理的关键是找到合适的类比对象，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质.类比问题常在等比数列与等差数列、平面几何与立体几何等内容中进行命题.

三、演绎推理

例4若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足1n[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≤f（x1+x2+…+xnn），称函数f（x）为D上的凸函数.现已知f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是.

解析：因为凸函数满足1n[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≤f（x1+x2+…+xnn），（大前提）

f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，（小前提）

所以f（A）+f（B）+f（C）≤3f（A+B+C3），（结论）

即sinA+sinB+sinC≤3sinπ3=332.

因此sinA+sinB+sinC的最大值是332.

点评：本题是演绎推理三段论的简单应用.从思维过程的指向来看，以“凸函数”的定义为大前提，正弦函数在（0，π）上是凸函数为小前提通过逻辑推理得出结论.

演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理.数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的.三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的逻辑结果.

例5求证：a，b，c为正实数的充要条件是a+b+c>0，且ab+bc+ca>0和abc>0.

分析：由a、b、c为正实数，显然易得a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，即“必要性”的证明用直接法易于完成.证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a、b、c是正实数，直接证明有些难度，需用反证法.

解析：（1）证必要性（直接法）：因为a、b、c为正实数，所以a+b+c>0，

ab+bc+ca>0，abc>0.

所以必要性成立.

（2）证充分性（反证法）：假设a、b、c不全为正实数（原结论是a、b、c都是正实数），由于abc>0，则它们只能是二负一正.

不妨设a<0，b<0，c>0，

又由于ab+bc+ac>0a（b+c）+bc>0，

因为bc<0，所以a（b+c）>0.①

又a<0，所以b+c<0.②

而a+b+c>0，所以a+（b+c）>0.

所以a>0，与a<0的假设矛盾.endprint

故假设不成立，原结论成立，即a、b、c均为正实数.

点评：1.一般的证明分为直接证明和间接证明两种，直接证明主要有综合法和分析法等方法，间接证明主要通过反证法.

2.反证法是一种重要的间接证明方法，在命题的证明时一般是“正难则反”，常见适用反证法证明的有以下六种情形：（1）易导出与已知矛盾的命题；（2）否定性命题；（3）唯一性命题；（4）至少至多型命题；（5）一些基本定理；（6）必然性命题等.

四、数学归纳法

例6已知n∈N*，求证：1·22-2·32+…+（2n-1）·（2n）2-2n·（2n+1）2=-n（n+1）（4n+3）.

解析：①当n=1时，左边=4-18=-14=（-1）×2×7=右边.

②假设当n=k（k∈N*，k≥1）时，等式成立，

即1·22-2·32+…+（2k-1）·（2k）2-2k·（2k+1）2=-k（k+1）（4k+3）.

当n=k+1时，

1·22-2·32+…+（2k-1）·（2k）2-2k·（2k+1）2+（2k+1）·（2k+2）2-（2k+2）·（2k+3）2

=-k（k+1）（4k+3）+（2k+2）[（2k+1）（2k+2）-（2k+3）2]

=-k（k+1）（4k+3）+2（k+1）（-6k-7）

=-（k+1）（k+2）（4k+7）

=-（k+1）[（k+1）+1][4（k+1）+3]，

即当n=k+1时成立.

综上所述，对一切n∈N*，等式成立.

点评：数学归纳法常用来证明与正整数有关的命题.在使用数学归纳法时要明确：（1）数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；（2）在运用数学归纳法时，要首先明确初始值n0的取值并验证n=n0时命题的真假；（3）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由k到k+1时命题变化的情况.

例7已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an=1n，f（n）=S2n，n=1

S2n-Sn-1，n≥2，

（1）计算f（1），f（2），f（3）的值；

（2）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.

解析：（1）由已知f（1）=S2=1+12=32，

f（2）=S4-S1=12+13+14=1312，

f（3）=S6-S2=13+14+15+16=1920；

（2）由（1）知f（1）>1，f（2）>1；下面用数学归纳法证明：当n≥3时，f（n）<1.

①由（1）当n=3时，f（n）<1；

②假设n=k（k≥3）时，f（n）<1，即

f（k）=1k+1k+1+…+12k<1，那么

f（k+1）=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1+12k+2=（1k+1k+1+1k+2+…+12k）+12k+1+12k+2-1k<1+（12k+1-12k）+（12k+2-12k）=1+2k-（2k+1）2k（2k+1）+2k-（2k+2）2k（2k+2）=1-12k（2k+1）-1k（2k+2）<1，所以当n=k+1时，f（n）<1也成立.

由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）<1.

所以当n=1和n=2时，f（n）>1；当n≥3时，f（n）<1.

点评：用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，本题就是第二种类型.对这种形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，然后用数学归纳法证明.

知能提升训练

1.观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为.

2.设函数f（x）=xx+2（x>0），观察：

f1（x）=f（x）=xx+2，

f2（x）=f（f1（x））=x3x+4，

f3（x）=f（f2（x））=x7x+8，

f4（x）=f（f3（x））=x15x+16，

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N+且n≥2时，fn（x）=f（fn-1（x））=.

3.试比较2n+2与n2的大小（n∈N*），并用数学归纳法证明你的结论.

参考答案

1. 43

2. x（2n-1）x+2n

3.解题指南：首先选用特值找到2n+2与n2的大小关系，然后作出猜想，再用数学归纳法证明猜想的结论.

解析：当n=1时，21+2=4>n2=1，

当n=2时，22+2=6>n2=4，

当n=3时，23+2=10>n2=9，

当n=4时，24+2=18>n2=16，

由此可以猜想，2n+2>n2（n∈N*）成立.

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，左边=21+2=4，右边=1，

所以左边>右边，

所以原不等式成立.

当n=2时，左边=22+2=6，

右边=22=4，所以左边>右边；

当n=3时，左边=23+2=10，右边=32=9，

所以左边>右边.

不等式成立.

（2）假设当n=k（k≥3，且k∈N*）时，不等式成立，

即2k+2>k2，那么当n=k+1时，

2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-2>2k2-2.

又因：2k2-2-（k+1）2=k2-2k-3

=（k-3）（k+1）≥0，

即2k2-2≥（k+1）2，故2k+1+2>（k+1）2成立.

原不等式成立.

根据（1）和（2）知，原不等式对于任何n∈N*都成立.

（作者：黄荣，如皋市第二中学）endprint

故假设不成立，原结论成立，即a、b、c均为正实数.

点评：1.一般的证明分为直接证明和间接证明两种，直接证明主要有综合法和分析法等方法，间接证明主要通过反证法.

2.反证法是一种重要的间接证明方法，在命题的证明时一般是“正难则反”，常见适用反证法证明的有以下六种情形：（1）易导出与已知矛盾的命题；（2）否定性命题；（3）唯一性命题；（4）至少至多型命题；（5）一些基本定理；（6）必然性命题等.

四、数学归纳法

例6已知n∈N*，求证：1·22-2·32+…+（2n-1）·（2n）2-2n·（2n+1）2=-n（n+1）（4n+3）.

解析：①当n=1时，左边=4-18=-14=（-1）×2×7=右边.

②假设当n=k（k∈N*，k≥1）时，等式成立，

即1·22-2·32+…+（2k-1）·（2k）2-2k·（2k+1）2=-k（k+1）（4k+3）.

当n=k+1时，

1·22-2·32+…+（2k-1）·（2k）2-2k·（2k+1）2+（2k+1）·（2k+2）2-（2k+2）·（2k+3）2

=-k（k+1）（4k+3）+（2k+2）[（2k+1）（2k+2）-（2k+3）2]

=-k（k+1）（4k+3）+2（k+1）（-6k-7）

=-（k+1）（k+2）（4k+7）

=-（k+1）[（k+1）+1][4（k+1）+3]，

即当n=k+1时成立.

综上所述，对一切n∈N*，等式成立.

点评：数学归纳法常用来证明与正整数有关的命题.在使用数学归纳法时要明确：（1）数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；（2）在运用数学归纳法时，要首先明确初始值n0的取值并验证n=n0时命题的真假；（3）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由k到k+1时命题变化的情况.

例7已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an=1n，f（n）=S2n，n=1

S2n-Sn-1，n≥2，

（1）计算f（1），f（2），f（3）的值；

（2）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.

解析：（1）由已知f（1）=S2=1+12=32，

f（2）=S4-S1=12+13+14=1312，

f（3）=S6-S2=13+14+15+16=1920；

（2）由（1）知f（1）>1，f（2）>1；下面用数学归纳法证明：当n≥3时，f（n）<1.

①由（1）当n=3时，f（n）<1；

②假设n=k（k≥3）时，f（n）<1，即

f（k）=1k+1k+1+…+12k<1，那么

f（k+1）=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1+12k+2=（1k+1k+1+1k+2+…+12k）+12k+1+12k+2-1k<1+（12k+1-12k）+（12k+2-12k）=1+2k-（2k+1）2k（2k+1）+2k-（2k+2）2k（2k+2）=1-12k（2k+1）-1k（2k+2）<1，所以当n=k+1时，f（n）<1也成立.

由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）<1.

所以当n=1和n=2时，f（n）>1；当n≥3时，f（n）<1.

点评：用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，本题就是第二种类型.对这种形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，然后用数学归纳法证明.

知能提升训练

1.观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为.

2.设函数f（x）=xx+2（x>0），观察：

f1（x）=f（x）=xx+2，

f2（x）=f（f1（x））=x3x+4，

f3（x）=f（f2（x））=x7x+8，

f4（x）=f（f3（x））=x15x+16，

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N+且n≥2时，fn（x）=f（fn-1（x））=.

3.试比较2n+2与n2的大小（n∈N*），并用数学归纳法证明你的结论.

参考答案

1. 43

2. x（2n-1）x+2n

3.解题指南：首先选用特值找到2n+2与n2的大小关系，然后作出猜想，再用数学归纳法证明猜想的结论.

解析：当n=1时，21+2=4>n2=1，

当n=2时，22+2=6>n2=4，

当n=3时，23+2=10>n2=9，

当n=4时，24+2=18>n2=16，

由此可以猜想，2n+2>n2（n∈N*）成立.

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，左边=21+2=4，右边=1，

所以左边>右边，

所以原不等式成立.

当n=2时，左边=22+2=6，

右边=22=4，所以左边>右边；

当n=3时，左边=23+2=10，右边=32=9，

所以左边>右边.

不等式成立.

（2）假设当n=k（k≥3，且k∈N*）时，不等式成立，

即2k+2>k2，那么当n=k+1时，

2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-2>2k2-2.

又因：2k2-2-（k+1）2=k2-2k-3

=（k-3）（k+1）≥0，

即2k2-2≥（k+1）2，故2k+1+2>（k+1）2成立.

原不等式成立.

根据（1）和（2）知，原不等式对于任何n∈N*都成立.

（作者：黄荣，如皋市第二中学）endprint

故假设不成立，原结论成立，即a、b、c均为正实数.

点评：1.一般的证明分为直接证明和间接证明两种，直接证明主要有综合法和分析法等方法，间接证明主要通过反证法.

2.反证法是一种重要的间接证明方法，在命题的证明时一般是“正难则反”，常见适用反证法证明的有以下六种情形：（1）易导出与已知矛盾的命题；（2）否定性命题；（3）唯一性命题；（4）至少至多型命题；（5）一些基本定理；（6）必然性命题等.

四、数学归纳法

例6已知n∈N*，求证：1·22-2·32+…+（2n-1）·（2n）2-2n·（2n+1）2=-n（n+1）（4n+3）.

解析：①当n=1时，左边=4-18=-14=（-1）×2×7=右边.

②假设当n=k（k∈N*，k≥1）时，等式成立，

即1·22-2·32+…+（2k-1）·（2k）2-2k·（2k+1）2=-k（k+1）（4k+3）.

当n=k+1时，

1·22-2·32+…+（2k-1）·（2k）2-2k·（2k+1）2+（2k+1）·（2k+2）2-（2k+2）·（2k+3）2

=-k（k+1）（4k+3）+（2k+2）[（2k+1）（2k+2）-（2k+3）2]

=-k（k+1）（4k+3）+2（k+1）（-6k-7）

=-（k+1）（k+2）（4k+7）

=-（k+1）[（k+1）+1][4（k+1）+3]，

即当n=k+1时成立.

综上所述，对一切n∈N*，等式成立.

点评：数学归纳法常用来证明与正整数有关的命题.在使用数学归纳法时要明确：（1）数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；（2）在运用数学归纳法时，要首先明确初始值n0的取值并验证n=n0时命题的真假；（3）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由k到k+1时命题变化的情况.

例7已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an=1n，f（n）=S2n，n=1

S2n-Sn-1，n≥2，

（1）计算f（1），f（2），f（3）的值；

（2）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.

解析：（1）由已知f（1）=S2=1+12=32，

f（2）=S4-S1=12+13+14=1312，

f（3）=S6-S2=13+14+15+16=1920；

（2）由（1）知f（1）>1，f（2）>1；下面用数学归纳法证明：当n≥3时，f（n）<1.

①由（1）当n=3时，f（n）<1；

②假设n=k（k≥3）时，f（n）<1，即

f（k）=1k+1k+1+…+12k<1，那么

f（k+1）=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1+12k+2=（1k+1k+1+1k+2+…+12k）+12k+1+12k+2-1k<1+（12k+1-12k）+（12k+2-12k）=1+2k-（2k+1）2k（2k+1）+2k-（2k+2）2k（2k+2）=1-12k（2k+1）-1k（2k+2）<1，所以当n=k+1时，f（n）<1也成立.

由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）<1.

所以当n=1和n=2时，f（n）>1；当n≥3时，f（n）<1.

点评：用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，本题就是第二种类型.对这种形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，然后用数学归纳法证明.

知能提升训练

1.观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为.

2.设函数f（x）=xx+2（x>0），观察：

f1（x）=f（x）=xx+2，

f2（x）=f（f1（x））=x3x+4，

f3（x）=f（f2（x））=x7x+8，

f4（x）=f（f3（x））=x15x+16，

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N+且n≥2时，fn（x）=f（fn-1（x））=.

3.试比较2n+2与n2的大小（n∈N*），并用数学归纳法证明你的结论.

参考答案

1. 43

2. x（2n-1）x+2n

3.解题指南：首先选用特值找到2n+2与n2的大小关系，然后作出猜想，再用数学归纳法证明猜想的结论.

解析：当n=1时，21+2=4>n2=1，

当n=2时，22+2=6>n2=4，

当n=3时，23+2=10>n2=9，

当n=4时，24+2=18>n2=16，

由此可以猜想，2n+2>n2（n∈N*）成立.

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，左边=21+2=4，右边=1，

所以左边>右边，

所以原不等式成立.

当n=2时，左边=22+2=6，

右边=22=4，所以左边>右边；

当n=3时，左边=23+2=10，右边=32=9，

所以左边>右边.

不等式成立.

（2）假设当n=k（k≥3，且k∈N*）时，不等式成立，

即2k+2>k2，那么当n=k+1时，

2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-2>2k2-2.

又因：2k2-2-（k+1）2=k2-2k-3

=（k-3）（k+1）≥0，

即2k2-2≥（k+1）2，故2k+1+2>（k+1）2成立.

原不等式成立.

根据（1）和（2）知，原不等式对于任何n∈N*都成立.