第二章推理与证明

第二章推理与证明（精选10篇）

第二章推理与证明 篇1

第二章推理与证明讲义

2.1合情推理与演绎推理

学习目标：

1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；

2．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理.重点：用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题.难点：用归纳和类比进行合情推理，做出猜想。

学习策略：

①合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势②合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理.不论是由大量的实例，经过分析、概括、发现规律的归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的类比，它们的共同点是，结论往往超出前提所控制的范围，所以它们是“开拓型”或“发散型”的思维方法.也正因为结论超出了前提的管辖范围，前提也就无力保证结论必真，所以归纳类比都是或然性推理.③演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中，所以它是“封闭型”或“收敛型”的思维方法.只要前提真实，逻辑形式正确，结论必然是真实的.知识要点梳理

知识点一：推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．

知识点二：合情推理根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。

1.归纳推理

（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。（2）一般模式：部分整体，个体一般

（3）一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同性质；

②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；

③检验猜想.（4）归纳推理的结论可真可假

归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.2.类比推理

（1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.（2）一般模式：特殊特殊

（3）类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象.（4）一般步骤：

①找出两类对象之间的相似性或一致性；

②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题（猜想）；

③检验猜想.（5）类比推理的结论可真可假

类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的对象；一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论不一定是正确的。

知识点三：演绎推理

（1）定义：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推

理，叫做演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

（2）一般模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式

① 大前提——已知的一般原理；

② 小前提——所研究的特殊情况；

③ 结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.（3）用集合的观点理解“三段论”若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质

（4）演绎推理的结论一定正确

演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是

正确的，它是完全可靠的推理。

规律方法指导

合情推理与演绎推理的区别与联系

（1）从推理模式看：

①归纳推理是由特殊到一般的推理．

②类比推理是由特殊到特殊的推理．

③演绎推理是由一般到特殊的推理．

（2）从推理的结论看：

①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。

②演绎推理所得的结论一定正确。

（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过

程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎

推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.经典例题透析

类型一：归纳推理

1．用推理的形式表示数列的前项和的归纳过程.举一反三：【变式1】用推理的形式表示等差数列1，3，5，„，（2－1），„的前项和的归纳过程.，计算

验证猜想的结论是否正确.的值，同时【变式2】设归纳结果所具有的性质，并用

2．平面内的1条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交

但不共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部

分？

举一反三：【变式1】图（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图形

（1）数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们将平面各分成了多少个区域？

（2）推断一个平面图形的顶点数，边数，区域数之间的关系.类型二：类比推理

3．在三角形中有下面的性质：

(1)三角形的两边之和大于第三边；

(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边；

(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；

(4)三角形的面积半径)．

请类比写出四面体的有关性质．，（为三角形的三边长，为三角形的内切圆

类型三：演绎推理

4．已知：在空间四边形∥平面中，、分别为、的中点，用三段论证明：

例4变式

2举一反三：【变式1】有一位同学利用三段论证明了这样一个问题：

证明：因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，„„„„大前提

而菱形是所有边长都相等的凸多边形，„„„„„„„„„„小前提

所以菱形是正多边形.„„„„„„„„„„„„„„„„„„结论

（1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？为什么？

【变式2】如图2-1-8所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求

证：ED=AF.2.2直接证明与间接证明

目标认知

学习目标：

1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法，了解间接证明的一种基本方法：反证法；

2．了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点.重点：

根据问题的特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.学习策略分析法和综合法在证明方法中都占有重要地位，是解决数学问题的重要思想方法。当所证命题的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明；当所证的命题与相应定义、定理、公理有直接联系时，常常采用综合法证明.在解决问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要找对、找全.它适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.知识要点梳理

知识点一：直接证明

1、综合法

（1）定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.（3）综合法的思维框图：用公理等，表示已知条件，为定义、定理、表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

（已知）（逐步推导结论成立的必要条件）（结论）

2、分析法

（1）定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.（2）分析法的基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.（3）分析法的思维框图：用

理等，表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：

（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）

（4）分析法的格式：要证„„，只需证„„，只需证„„，因为„„成立，所以原不等式得证。

知识点二：间接证明

反证法

（1）定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.（2）反证法的特点：反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.（3）反证法的基本思路：“假设——矛盾——肯定”

①分清命题的条件和结论．

②做出与命题结论相矛盾的假设．

③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．

④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．

（4）用反证法证明命题“

若

则”，它的全部过程和逻辑根据可以表示为：

（5）反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.规律方法指导

1.用反证法证明数学命题的一般步骤：

①反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；

②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；

③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.2.适合使用反证法的数学问题：

①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等；

②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.经典例题透析类型一：综合法

1．如图，设在四面体求证：垂直于中，，是的中点.所在的平面.举一反三：

【变式1在锐角三角形ABC中，求证：类型二：分析法

2．求证：

举一反三：

【变式1】求证：

类型三：反证法

3。设函数对任意举一反三：

【变式1】已知：，求证 都有在.内都有，且恒成立，求证：

第二章推理与证明 篇2

1.(1)演绎推理是由一般到特殊的推理;(2)演绎推理得到的结论一定是正确的;(3)演绎推理一般模式是“三段论”形式;(4)演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.以上说法正确的有()

(A)1个(B)2个

(C)3个(D)4个

2.已知f(x)=e-x,则f'(-1)=()

3.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为()

(A)1 (B)(C)(D)

4.函数y=x-2sinx在(0,π)上的单调递增区间为()

(A)(B)

(C)(D)

5.当x∈[-1,2]时,若恒成立,则实数m的取值范围是()

(A)(B)(C)(D)(2,+∞)

6.方程x3-6x2+9x-10=0的实根的个数是().

(A)1 (B)2 (C)0 (D)3

7.函数f(x)的定义域为(-1,2),导函数f'(x)在(-1,2)内的图像如图1所示,则函数f(x)在开区间(-1,2)内有极小值点()

(A)1个(B)2个

(C)3个(D)4个

8.已知数列{an}满足a1=2,(n∈N*),则a2011的值为()

(A)-3 (B)(C)(D)2

9.过点(2,1)的曲线y=x3的切线的条数是()

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

10.由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形的面积的最小值为()

(A)(B)(C)(D)

二、填空题(本大题共5题,每小题5分,共25分.把答案添在答题卡的相应位置)

11.按一定规律排列的一列数依次为:,,按此规律排列下去,这列数中的第7个数是______.

12.若三角形内切圆半径为r,三边长为a,b,c,则三角形的面积,根据类比思想,若四面体内切球的半径为R,四个面的面积为S1,S2,S3,S4,则四面体的体积V=______.

13.已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比.如果车辆启动后车轮转动第一圈需要0.8 s,则转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度=_____.

15.若函数f(x)=loga(x3-ax)(0

三、解答题(本大题共6题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16.(本小题满分12分)求函数的单调区间和极值.

17.(本小题满分12分)已知a,b均为正数,求证:.

18.(本小题满分12分)某厂生产某种产品x件的总成本(万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,该厂产量定为多少件时总利润最大?最大总利润是多少?(利润=收入-成本)

19.(本小题满分12分)在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上式性质,相应地:在等比数列{bn}中,若b11=1,则存在怎样的等式?并证明你得到的等式.

20.(本小题满分13分)设函数f(x)=-x3+ax,x∈(0,1],a∈R.

(1)若a>3,试判定f(x)在(0,1]上的单调性,并证明你的结论;

(2)是否存在实数a,使当x∈(0,1]时,f(x)有最大值-1?

21.(本小题满分14分)设函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.

(1)当时,不等式f(x)

(2)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围.

参考答案

一、选择题.

1.(C) 2.(B) 3.(B) 4.(C) 5.(D) 6.(A) 7.(A) 8.(B) 9.(D) 10.(A)

二、填空题

三.解答题

16.解:增区间为(-∞,-1),(1,+∞);减区间为(-1,0),(0,1);极大值为-2,极小值为2.

17.解:两式相加可得所证不等式成立.

18.解:设总利润为y万元,由题意的,利用导数易得当产量x=25万件时,总利润最大,最大值为万元.

20.解(1)f'(x)=-3x2+a,因为x∈(0,1],a>3,所以f'(x)>0,f(x)在(0,1]上是增函数.

(2)当a>3时,f(x)在(0,1]上是增函数,f(1)=a-1=-1⇒a=0(舍去)

当0≤a≤3时,由无解.

当a<0时,f'(ax)<0,f(x)在(0,1]上是减函数,f(x)在(0,1]上无最大值.

推理与证明 篇3

例1 设函数[f(x) (x∈R)]为奇函数，[f(1)=12]，[f(x+2)=f(x)+f(2)]，则[f(5)=]（ ）

A. [0] B. [1] C. [52] D. [5]

解析 法一：利用类比推理.

本题为抽象函数，只给出了性质，没有给出具体函数及特征，未给出解析式. 根据给出性质，与正比例函数相似，故可用正比例函数[y=kx]进行类比，由于[f(1)=12]，则[f(x)=12x]，该函数是奇函数，且满足[f(1)=12]， [f(x+2)=f(x)+f(2)]，即该函数符合题设条件，则[f(5)=52]，选C.

法二：利用演绎推理.

∵[f(x+2)=f(x)+f(2)]，令[x=-1]，

则[f(-1+2)=f(-1)+f(2)]，

∴[f(1)=f(-1)+f(2)]，

而[f(x) (x∈R)]为奇函数，[f(1)=12]，

则[f(-1)=-f(1)=-12]，

∴[f(2)=1]，∴[f(x+2)=f(x)+1]，

再令[x=1]得，[f(3)=f(1)+1=32]，

∴[f(5)=f(3+2)=f(3)+1]=[52]，选C.

点拨 本题的两种解题途径，其一是类比推理，其二是演绎推理；如果作为解答题，类比推理的结论是不可靠的，作为选择题，由于四个选项中只有一个是正确的，暗示着符合题目的条件任何函数[f(x)]，则[f(5)]的值不会改变，既然如此，可选取一个特殊函数即可. 对于抽象函数的问题可以通过类比方法得出结论. 几种常见的抽象函数的类比函数可见下表：

[函数[f(x)]满足的条件&可类比函数&[f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)]&正比例函数 [y=kx]&[f(x1+x2)=f(x1)f(x2)]&指数函数[y=ax]（[a>0]，且[a≠1]）&[f(x1x2)=f(x1)+f(x2)]&对数函数[y=logax]（[x>0)]&[f(x1x2)=f(x1)f(x2)]&幂函数[y=xn]&[f(x1)+f(x2)=2f(x1+x22)f(x1-x22)]&余弦函数[y=cosx]&]

例2 在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第[2,3,4,⋯]，[n]堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第[n]堆第[n]层就放一个乒乓球，以[f(n)]表示第[n]堆的乒乓球总数，则[f(3)=] ；[f(n)=] （答案用[n]表示）.

[…]

分析 要求出[f(3)]的值不难，但要求出[f(n)]的表达式，则必需寻找规律，能否从特殊到一般，探索其一般规律；如果[f(n)]的规律难找，可先求第[n]堆乒乓球的每一层的乒乓球的数量规律，然后再求这[n]层的乒乓球数量之和即为所求的[f(n)].

解 法一：利用归纳推理.

设第[n]堆底层的乒乓球的数量为[an],

则[a1=1]，[a2=1+2=3]，[a3=1+2+3=6]，…，

[an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2]，

根据题意，第[n]堆乒乓球的数量等于从第1堆开始到第[n]堆每堆最底层球数总和，即

[f(n)=a1+a2+⋯+an=12[(12+22+32+⋯+n2)+(1+2+3+⋯+n)]]

故[f(n)=12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)]

[=n(n+1)(n+2)6].

法二：利用递推关系.

由于第[n]堆底层的乒乓球的数量为

[1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=12(n2+n),]

而第2堆乒乓球比第1堆多一层，即多了第2堆的底层，则[f(2)-f(1)=12(22+2)]，

第3堆乒乓球比第2堆多一层，即多了第2堆的底层，则[f(3)-f(2)=12(32+3)]，

…

第[n]堆乒乓球比第[(n-1)]堆多了一层，即多了第[n]堆的底层，则[f(n)-f(n-1)=12(n2+n).]

以上[n]个不等式相加得

[f(n)-f(1)=12[(22+32+⋯+n2)+(2+3+⋯+n)],]

而[f(1)=1]，

故[f(n)=12[(12+22+32+⋯+n2)+(1+2+3+⋯+n)]]

[=12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)]

[=n(n+1)(n+2)6].

法三：利用组合数的性质.

设第[n]堆乒乓球底层的的数量为[an],

则[a1=1]，[a2=1+2=3]，[a3=1+2+3=6]，…

[an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=C2n+1]，

根据题意，第[n]堆乒乓球的数量等于从第1堆开始到第[n]堆每堆最底层球数总和，即

[f(n)=a1+a2+⋯+an=C22+C23+C24+⋯+C2n+1，]

而[C22=C33]，

则[f(n)=C33+C23+C24+⋯+C2n+1]

[=C24+⋯+C2n+1=⋯=C3n+2,]

因此[f(n)=n(n+1)(n+2)6].

法四：归纳—猜想—证明.

由于[f(1)=1=1×2×36]，[f(2)=4=2×3×46]，

[f(3)=10=3×4×56,]…

猜想[f(n)=n(n+1)(n+2)6].

下面用数学归纳法证明该结论.

（1）显然[n=1]时，猜想成立；

（2）假设[n=k]时猜想成立，

即[f(k)=k(k+1)(k+2)6]，

当[n=k+1]时，由法二知：

[f(k+1)-f(k)=12[(k+1)2+(k+1)]]

∴[f(k+1)=12[(k+1)2+(k+1)]+f(k)]

[=12[(k+1)2+(k+1)]+k(k+1)(k+2)6]

故[f(k+1)=16(k+1)(k2+5k+6)]

[=16(k+1)[(k+1+1][(k+1)+2],]

所以[n=k+1]时，猜想也成立.

综上，对任意正整数[n]猜想均成立，

因此[f(n)=n(n+1)(n+2)6].

点拨 本题是一道既考查合情推理能力又考查演绎推理能力的题. 寻找第[n]堆乒乓球每一层的数量规律，需要观察、归纳、猜想的思想，再求和时需要严密的逻辑推理. 法三中求和大胆联想到组合数，法四则利用归纳猜想，需要较强的数学领悟能力. 法三、法四供大家参考.

例3 已知[a、b、c∈(0,1)]，求证：[(1-a)b、][(1-b)c、][(1-c)a]不能同时大于[14].

证 法一：假设三式同时大于[14]，

即[(1-a)b>14,][(1-b)c>14,][(1-c)a>14.]

[∵ a、b、c∈(0,1)]，

[∴]三式同向相乘得[(1-a)b(1-b)c(1-c)a>164]，

又[(1-a)a≤(1-a+a2)2=14.]

同理[(1-b)b≤14,][(1-c)c≤14.]

[∴ (1-a)b(1-b)c(1-c)a≤164]，

这与假设矛盾，故原命题得证.

法二：假设三式同时大于[14]，

[∵ 00]，

[(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12,]

同理[(1-b)+c2>12,][(1-c)+a2>12,]

三式相加得[32>32]，这是矛盾的，

故假设错误，所以原命题正确.

点拨 “不能同时大于[14]”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明，即正难则反.

当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法.

用反证法的步骤是：

①否定结论[⇒A⇒B⇒C]；

②而[C]不合理[与公理矛盾,与题设矛盾,与假设自相矛盾;]

③因此结论不能否定，结论成立.

例4 用数学归纳法证明等式 ：

[1-12+13-14+⋯+12n-1-12n=1n+1+1n+2][+⋯+12n]对所以[n∈N]均成立.

证明 （1）当[n=1]时，

左式=[1-12=12]，右式=[11+1=12]，

∴左式=右式，等式成立.

（2）假设当[n=k(k∈N)]时等式成立，

即[1-12+13-14+⋯+12k-1-12k]

[=1k+1+1k+2+⋯+12k]，

则当[n=k+1]时，

[1-12+13-14+⋯+12k-1-12k+12k+1-12k+2]

[=(1-12+13-14+⋯+12k-1-12k)+12k+1-12k+2]

[=(1k+1+1k+2+⋯+12k)+12k+1-12k+2]

[=1k+2+1k+3+⋯+12k+1+(1k+1-12k+2)]

[=1k+2+1k+3+1k+4+⋯+12k+1+12k+2]

[=1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+⋯]

[+1(k+1)+k+12(k+1).]

即[n=k+1]时，等式也成立，

由（1）（2）可知，等式对[n∈N]均成立.

点拨 在利用归纳假设论证[n=k+1]等式成立时，注意分析[n=k]与[n=k+1]的两个等式的差别. [n=k+1]时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由[1k+1]变为[1k+2]. 因此在证明中，右式中的[1k+1]应与-[12k+2]合并，才能得到所证式. 因而，在论证之前，把[n=k+1]时等式的左右两边的结构先作分析常常是有效的.

由本例可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是[f(n)]与[n]的关系；二是[f(k)]与[f(k+1)]的关系.

例5 用数学归纳法证明：

[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12n-1)>2n+1][(n≥2,n∈N)].

证明 （1）当[n=2]时，

左式=[(1+11)(1+13)=83=649]，右式=[5]，

∵ [649>5]， ∴[649>5]，

即[n=2]时，原不等式成立.

（2）假设[n=k(k≥2, k∈Z)]时，不等式成立，

即[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12k-1)>2k+1],

则[n=k+1]时，

左边=[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12k-1)(1+12k+1)]

[>2k+1(1+12k+1)=2k+22k+1]

右边=[2k+3]，要证左边>右边，

只要证[2k+22k+1>2k+3]，

只要证[2k+2>(2k+3)(2k+1)]，

只要证[4k2+8k+4>4k2+8k+3,]

只要证4>3.

而上式显然成立，所以原不等式成立，

即[n=k+1]时，左式>右式.

由（1）（2）可知，原不等式对[n≥2，n∈N]均成立.

点拨 运用数学归纳法证明问题时，关键是[n＝k＋1]时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题. 在分析[f(k)]与[f(k+1)]的两个不等式，应找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式证明的方法. 本题关键是证明不等式[2k+22k+1>2k+3]. 除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决.

例6 已知[f(n)=1+12+13+14+⋯+1n(n∈N),]求证：[n>1]时，[f(2n)>n+22].

证明 （1）[n=2]时，

左式=[f(22)=f(4)=1+12+13+14=2512],

右式=[2+22=2]，

∵ [2512>2]， ∴ 左式>右式，不等式成立.

[n=3]时，

左式=[f(23)=f(8)=1+12+13+14+⋯+18],

右式=[3+22=52]，

左式-右式=[15+17-18>0]，

左式>右式，不等式成立.

（2）假设[n=k(k∈N, k≥3)]时不等式成立，

即[f(2k)=1+12+13+14+⋯+12k>k+22]，

当[n=k+1]时，

[f(2k+1)=1+12+13+14+⋯+12k+12k+1]

[+12k+2+⋯+12k+1]

[=f(2k)+12k+1+12k+2+⋯+12k+12k项]

[>k+22+12k+1+12k+1+⋯+12k+12k项]

[=k+22+2k2k+1=k+32=(k+1)+22,]

即[n=k+1]时，不等式也成立.

由（1）（2）可知，[n>1, n∈N]时，

都有[f(2n)>n+22].

点拨 注意[f(n)]的意义，它表示连续自然数的倒数和，最后一项为[1n]. 可以通过第一步验证中加强对[f(n)]的理解，本题中验证了[n=]2、3两个数值，正是由于此原因（当然不是必要的）. [f(2n)]的表达式应为[f(2n)=]1[+12+13+14+15+⋯+12n-1+12n]. 因此在归纳法证明中，重视第一步的验证工作，许多难题的特殊情形启发我们的思路，甚至蕴含一般情形的方法.

【专题训练九】

1. 下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）

A. 两条直线平行，同旁内角互补，如果[∠A]和[∠B]是两条平行直线的同旁内角，则[∠A+∠B=180°]

B. 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质

C. 某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人

D. 在数列[{an}]中，[a1=1,an=12(an-1+1an-1)][(n≥2)]，由此推出[{an}]的通项公式

2. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（ ）

A. 使用了归纳推理

B. 使用了类比推理

C. 使用了“三段论”，但大前提错误

D. 使用了“三段论”，但小前提错误

3. 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.

sin215°＋sin275°＋sin2135°＝[32]；

sin230°＋sin290°＋sin2150°＝[32]；

sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝[32]；

sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝[32].

4. 已知[a、b、c]都为正数，那么对任意正数[a、b]、[c]，三个数[a+1b、b+1c、c+1a]（ ）

A. 都不大于2 B. 都不小于2

C. 至少有一个不大于2

D. 至少有一个不小于2

5. 定义在[R]上的函数[f(x)]，满足[f(x+y)=f(x)+f(y)(x、y∈R)]，且[f(1 )=2]，那么在下面的四个式子：

①[f(1 )+2f(1 )+⋯+nf(1 )]；

②[fn(n+1)2]；

③[n(n+1 )]；

④[n(n+1)f(1 )].

其中与[f(1 )+f(2)+⋯+f(n)]相等的是（ ）

A. ①③ B. ①②

C. ①②③④ D. ①②③

6. 比较大小[7+6] [8+5]，分析其结构特点，请你再写出一个类似的不等式： ；请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，则该不等式可以是 .

7. 如果命题[P(n)]对[n=k]成立，则它对[n=k+2]也成立. 又若[P(n)]对[n=2]成立，则下列结论正确的是（ ）

A. [P(n)]对所有自然数都成立

B. [P(n)]对所有正偶数都成立

C. [P(n)]对所有正奇数都成立

D. [P(n)]对所有大于1的自然数都成立

推理与证明 篇4

初中新教材对推理与证明的渗透，也是从说理开始的，但内容比较少，也就是教材中的直观几何内容。很快便转向推理，也就是证明。刚开始推理的步骤，是简单的两三步，接着到四五步，后面还一定要求学生写清楚为什么。在学习这一部分内容的时候，好多学生在后面的括号里不写为什么，我便给他们举例小孩子学走路的过程，一个小孩刚开始学走路的时候，需要大人或其他可依附的东西，渐渐地，她会脱离工具自己走。学习证明的过程亦如此，起先在括号里写清为什么，并且只是简单的几步，然后证明比较难一点的，步骤比较多的。

随着社会的进步，中学教材加强了解析几何、向量几何，传统的欧式几何受到冲击，并且教材对这一部分的编排分散在初中各个年级，直观几何分量多了还加入了变换如平移变换、旋转变换、对称变换，投影等内容。老师们对内容的编排不太理解，看了专家的讲座，渐渐明白了：这样编排不是降低了推理能力，而是加强了推理能力的培养，体现了逐步发展的过程，把变换放到中学，加强了中学和大学教材的统一，但一个不争的事实是，对演绎推理确实弱了。

关于开展课题学习的实践与认识

新课程教材编排了课题学习这部分内容，对授课的老师，还是学生的学习都是一个全新的内容，怎样上好这部分内容，对老师、对学生而言，都是一个创新的机会。至于课题学习的评价方式，到现在为止，大多数省份还是一个空白，考不考?怎样考?学习它吧，学习的东西不能在试卷上体现出来，于是，好多老师对这部分采取漠视的处理方法;不学习吧，课本上安排了这部分内容。还有一部分老师觉得，课题学习是对某一个问题专门研究，很深!老师不知讲到什么程度才合理，学生不知掌握到什么程度。

经过几年的实践与这次培训的认识，我觉得课题学习是“实践与综合应用”在新课课程中的主要呈现形式，是一种区别于传统的、全新的，具有挑战性的学习，课本的编写者安排的主要目的是：

1.希望为学生提供更多的实践与探索的机会。

2.让学生通过对有挑战性和综合性问题的解决，经历数学化的过程。

3.让学生获得研究问题地方法和经验，使学生的思维能力、自主探索与合作交流的意识和能力得到发展。

4.让学生体验数学知识的内在联系，以及解决问题的成功喜悦，增进学生学习数学的信心。

5.使数学学习活动成为生动活泼的、主动的和富有个性的过程。

23.推理与证明138 篇5

1.合情推理：归纳推理与类比推理

（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理.(简称归纳)

归纳推理的几个特点;

①归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.②归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.③归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.归纳推理的一般步骤：

① 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ② 提出带有规律性的结论，即猜想； ③ 检验猜想。

（2）类比推理：在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式.(简称类比)

类比推理的几个特点;

①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.②.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.③类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能.类比推理的一般步骤：

① 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； ② 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ③ 检验猜想。

2.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．

（１）演绎推理是由一般到特殊的推理；（２）“三段论”是演绎推理的一般模式；

①大前提---已知的一般原理；②小前提---所研究的特殊情况；③结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

（3）三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.合情推理与演绎推理的区别:

①归纳是由特殊到一般的推理;②类比是由特殊到特殊的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正

确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.3.证明

（1）综合法

利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的综合法.特点:“由因导果”

（2）分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止的方法．特点：执果索因（3）反正法：

逆向推理法证明立几中的垂直问题 篇6

一、准备知识

立体几何中的垂直问题通常有三类:证线与线垂直、线与面垂直、面与面垂直.在解决这些问题之前首先要熟记三个定理:

定理1如果平面外一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直, 那么这条直线垂直于这个平面. (简称:线线垂直, 线面垂直)

定理2如果一条直线与一个平面垂直, 那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都垂直. (简称:线面垂直, 线线垂直)

定理3如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直. (简称:线面垂直, 面面垂直)

其次, 要证明垂直问题就要熟知常用于推导垂直关系的条件, 除了题目直接告知的垂直关系, 还有以下几种常用来推导垂直的条件: (1) 等腰 (或等边) 三角形底边上的中线垂直于底边; (2) 正方形 (或菱形) 的对角线互相垂直; (3) 三边满足勾股数a2+b2=c2的三角形是直角三角形, 等等.

最后, 明确一个基本原则:在推理过程中如果要寻找某条直线, 总是优先考虑已有垂直关系的线.

二、实例分析

1. 证线面垂直

例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1, O是底ABCD对角线的交点, 求证:A1C⊥平面AB1D1.

从结论出发, 我们可以作出如下分析:

步骤1:要证线面垂直, 只要证线线垂直.首先在平面AB1D1的平面内找出两条相交直线与A1C垂直.我们的原则是优先考虑已有垂直关系的线, 在正方形中隐含着对角线互相垂直的关系, 平面AB1D1的三条边又都是正方形的对角线, 所以任选一条边, 其他的边只要同理证明就可以了, 这里我们选B1D1.

步骤2:下面证A1C⊥B1D1, 只要让B1D1垂直于一个平面, 这个平面要包含A1C, 又要包含它已经垂直的线A1C1, 很容易得到是平面A1C1C.

(记作:A1C⊥B1D⇐B1D1⊥平面A1C1C)

步骤3:重复步骤1, 要证B1D1⊥平面A1C1C, 只要证明B1D1与平面里两条相交直线垂直.已知B1D1与A1C1垂直, A1C是需要证明与之垂直的线, 那么只剩下CC1.恰好CC1是正方体的侧棱, 它垂直于面A1B1C1D1, 易证CC1⊥B1D1.

以上推理的思维流程图:

2. 证线线垂直

例2如右图, 已知矩形ABCD, 过A作SA⊥平面AC, 再过A作AE⊥SB交SB于E, 过E作EF⊥SC交SC于F.求证:AF⊥SC.

分析步骤1:要证线线垂直, 只要证线面垂直.AF和SC中先选出一条线, 让其垂直一个面.本着优先考虑已有垂直关系的线这一原则, 我们选择SC.下面寻找SC垂直的平面, 它要包含SC已经垂直的线EF, 也要包含它需要垂直的线AF, 那么就算不看图, 我们也能找出这个平面AEF.

(记为:AF⊥SC⇐SC⊥平面AEF)

步骤2:下面证线面垂直, 只要证线线垂直.欲证SC⊥平面AEF, 只要在平面里找出两条相交直线与SC垂直.已知SC已经垂直于EF, 而AF是需要证明与SC垂直的线因此不能用, 所以只剩下AE.

步骤3:重复步骤1, 要证明SC⊥AE, 就要确定其中一条线, 让其垂直一个面.由于SC的垂直关系在前面用过了, 所以这次选AE.AE所垂直的平面要包含它已经垂直的直线SB, 还要包含它需要垂直的直线SC, 所以可确定平面SBC.

(记为:SC⊥AE⇐AE⊥平面SBC)

步骤4:重复步骤2, 要证AE⊥平面SBC, 只要在平面里找出两条相交直线垂直于AE.AE已经垂直于SB, 而SC是需要证明和AE垂直的线, 不能选, 那么只剩下BC可能与AE垂直.

步骤5:重复步骤3, 要证AE⊥BC, 先确定一条线.由于AE的垂直关系前面已经用过, 所以这次选BC.BC所垂直的平面要包含AE, 还要包含它已经垂直的线AB.所以BC⊥平面ABE, 即BC⊥平面SAB.

(记为:AE⊥BC⇐BC⊥平面SAB)

步骤6:重复步骤4, 要证BC⊥平面SAB, 只要在平面里找出两条相交直线垂直于BC.BC已经垂直于AB, 平面里与AB相交的直线有AE和SA, AE是需要证明的线不能用, 只剩下SA.而题目已知SA⊥平面ABCD, 易证SA⊥BC.

以上推理的思维流程图:

3. 证面面垂直

例3如图, 已知AB$平面ACD, DE∥AB, △ACD是正三角形.求证:平面BCE$平面CDE.

分析要证明面面垂直, 只要在其中一个面里找出一条直线, 使它垂直于另一个面.但是题目中的垂直关系都集中在平面ACD中, 等腰△ACD的中线AF⊥CD, 同时AF⊥AB.因为AB∥DE, 所以AF⊥DE.易证AF⊥平面CDE.因此只要将AF移到平面BCE中就可以了.取CE中点G, 连接BG, 易证BG∥AF, 命题得证.

思维流程图:

三、一点感悟

证明垂直问题是立体几何中的重要内容, 通过垂直的性质和判定定理, 可以实现线面关系的转化.让学生学会从结论出发逆向推理, 会减少思维混乱, 无从下手的状况, 使思维更具条理性.本文所述的方法不以理解为技法, 而是对垂直关系的源头探求, 探求的依据就是性质和定理.

推理与证明十策（上） 篇7

我们学习数学的一个重要的目的是提高推理论证能力，在小学，数学推理多为合情推理，看着像就差不多了，到了中学，随着思维能力的提高，逻辑推理的成分逐步提高，使推理论证逐步达到了主导地位.证明也成了学习与考试的重要内容，并且往往也是难点内容，如何证明问题？下面给出一些方法，当然，证明一个问题，常常需要多种方法并举才能达到目的。endprint

我们学习数学的一个重要的目的是提高推理论证能力，在小学，数学推理多为合情推理，看着像就差不多了，到了中学，随着思维能力的提高，逻辑推理的成分逐步提高，使推理论证逐步达到了主导地位.证明也成了学习与考试的重要内容，并且往往也是难点内容，如何证明问题？下面给出一些方法，当然，证明一个问题，常常需要多种方法并举才能达到目的。endprint

我们学习数学的一个重要的目的是提高推理论证能力，在小学，数学推理多为合情推理，看着像就差不多了，到了中学，随着思维能力的提高，逻辑推理的成分逐步提高，使推理论证逐步达到了主导地位.证明也成了学习与考试的重要内容，并且往往也是难点内容，如何证明问题？下面给出一些方法，当然，证明一个问题，常常需要多种方法并举才能达到目的。endprint

推理与证明知识点 篇8

数学推理与证明知识点总结:

推理与证明：①推理是中学的主要内容，是重点考察的内容之一，题型为选择题、填空题或解答题，难度为中、低档题。利用归纳和类比等方法进行简单的推理的选择题或填空题在近几年的中考中都有所体现。②推理论证能力是中考考查的基本能力之一，它有机的渗透到初中课程的各个章节，对本节的学习，应先掌握其基本概念、基本原理，在此基础上通过其他章节的学习，逐步提高自己的推理论证能力。第一讲 推理与证明

一、考纲解读：

本部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势。新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求，因此在复习中要重视合情推理与演绎推理。高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主，结合不等式进行考查。

二、要点梳理：

1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别事物，发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。

2.类比推理的一般步骤：

(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。

3.演绎推理

三段论及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。

4.直接证明与间接证明

①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。

②分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。分析法的思维特点是：执果索因。

③反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面(非A)是错误的，从而断定A是正确的，即为反证法。一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或结论以否定语句出现，或要讨论的情况复杂时，常考虑使用反证法。

主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。

实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

数列不等式推理与证明 篇9

理与证明

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在等比数列{aa

2n}中，若a3a5a7a9a11＝243，则a的值为()1

1A．9B．1

C．2D．

32．在等比数列{aaa

n}中，an>an7·a11＝6，a4＋a14＝5，则＋1，且a等于()16

A.23B.32

C16D．－563．在数列{aa－n}中，a1＝1，当n≥2时，an＝1＋aa

n－1n＝()

A.1

nB．n

C.1nD．n2

4．已知0

B．成等比数列

C．各项倒数成等差数列

D．各项倒数成等比数列

5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()

n-

1A．an＝2n－1B．an1

nn

C．an＝n2D．an＝n)

n2-6n

6．已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn＝的前n项和Sn中的最大值是()

A．S6

B．S

51

4

(n∈N*)，bn＝log2an，则数列{bn}

7．已知a，b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是()

11

A．a>bB.<

22

ab

C．lg(a－b)>0

aD.b

8．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是()11

A．(a＋b)ab≥

4B．a3＋b3≥2ab2 D.|a－b|ab

C．a2＋b2＋2≥2a＋2b

9．当点M(x，y)在如图所示的三角形ABC内(含边界)运动时，目标函数z＝kx＋y取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k的取值范围是（）

A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．[－1,1]

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,1)

lg|x|(x<0)10．设函数f(x)＝x，若f(x0)>0，则x0的取值范围是()

2－1(x≥0)

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

C．(－1,0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0，＋∞)

a2＋b

211．已知a>b>0，ab＝1，则的最小值是()

a－bA．2C．2D．1

12．下面四个结论中，正确的是()

A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n＝1,2，…)当n＝1时，恒为1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn1(n＝1,2…)当n＝1时，恒为1＋k

－

1111111

C．式子＋＋…＋n＝1,2，…)当n＝1时，恒为

1231232n＋1

111111

D．设f(n)＝n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋n＋1n＋23n＋13k＋23k＋33k＋4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上． 13．已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：(1)d<0；(2)S11>0；(3)S12<0；(4)数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是________．

14．在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有数列，k称为公差比．现给出下列命题：

(1)等差比数列的公差比一定不为0；(2)等差数列一定是等差比数列；

(3)若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列；(4)若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确的命题的序号为________． ＝q，(4)正确． 15．不等式

ax的解集为{x|x<1或x>2}，那么a的值为________． x－

1an＋2－an＋1

k(k为常数)，则称{an}为等差比

an＋1－an

x≥0

16．已知点P(x，y)满足条件y≤x

2x＋y＋k≤0k＝________.(k为常数)，若z＝x＋3y的最大值为8，则

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(2011·天津市质检)已知等差数列{an}的前三项为a－1，4,2a，记前n项和为Sn.(1)设Sk＝2550，求a和k的值；

S(2)设bn，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．

n

18．(12分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且2，an，Sn成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

b(2)若bn＝log2an，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.an

2bx

19．(12分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实

ax－1数x只有一个．

(1)求函数f(x)的表达式；

21(2)若数列{an}满足a1＝an＋1＝f(an)，bn＝1，n∈N*，证明数列{bn}是等比数列，3an

并求出{bn}的通项公式；

(3)在(2)的条件下，证明：a1b1＋a2b2＋…＋anbn<1(n∈N*)．

2x

20．(12分)已知集合A＝xx－21，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}







(1)求集合A，B；

(2)若B⊆A，求m的取值范围．

2a2

21．(12分)解关于x的不等式：x|x－a|≤(a>0)．

922．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品所消耗的电能和煤、所需工人人数以及所得产值如表所示：

第二章推理与证明 篇10

1 (选修22P61例2)三角形的内角和是180°,凸四边形的内角和是360°,凸五边形的内角和是540°……由此我们猜想：凸n边形的内角和是(n-2)×180°.

11 (改编)观察下列等式,试从中归纳出一般结论：

(1) 12=16×1×2×3, 12+22=16×2×3×5, 12+22+32=16×3×4×7, 12+22+32+42=16×4×5×9, …;

(2) 13=12, 13+23=(1+2)2, 13+23+33=(1+2+3)2, 13+23+33+43=(1+2+3+4)2, ….

12 (改编)因为an=(n2-5n+5)2时,有a1=a2=a3=a4=1,由此可猜想对任意的n (n∈N*), an=(n2-5n+5)2=1.

因为当n=0, 1, 2, 3, 4时,2n＜n2+8,由此可猜想对任意的n(n∈N*), 2n＜n2+8.

以上两个推理是归纳推理吗？所得的结论正确吗？你能得到什么结论(对这样的推理作出性质评估)？

13 (改编)在数列{an}中,a1=12,且(n+2)an+1=nan (n∈N*).

(1) 求a2, a3, a4的值;

(2) 试猜想{an}的通项公式,并给出证明.

2 (选修22P67第4题)(1) 证明：在等差数列{an}中,若m+n=p+q (m, n, p, q∈N*),则am+an=ap+aq;

(2) 通过对(1)的类比,写出等比数列{an}的一个猜想.

21 (改编)在等差数列{an}中,若am=a1+(m-1)d, an=a1+(n-1)d,则an-am=(n-m)d,从而an=am+(n-m)d,试进行类比,写出等比数列{an}的一个猜想.

3 (选修22P69例2)已知a, b, m均为正实数,b＜a,求证：ba＜b+ma+m.

31 (改编)已知数列{an}满足：a1=1, an+1=12an+n, n为奇数,

an-2n,n为偶数,设bn=a2n-2, n∈N*,求证：{bn}是等比数列,并求数列{bn}的通项公式.

4 (选修22P80例1)如图1,已知AB, CD相交于点O, △ACO≌△BDO, AE=BF,求证：CE=DF.

41 (改编)如图2,在△ABC中,BD⊥AC, CE⊥AB,点M, N分别为BC, DE的中点,求证：MN⊥DE.

42 (改编)已知a是整数.证明：若a2是偶数,则a也是偶数.

43 (改编)设函数f(x)对定义域内任意实数,都有f(x)≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立,求证：对定义域内任意实数,都有f(x)＞0成立.

5 (选修22P86例2)用数学归纳法证明：当n∈N*时,1+3+5+…+(2n-1)=n2.

51 (改编)已知正项数列{an}满足a2n≤an-an+1,求证：an＜1n.

52 (改编)设ai＞0 (i=1, 2, 3, …, n),且a1a2a3 … an=1,求证：(1+a1)(1+a2)(1+a3) … (1+an)≥2n.

6 (选修22P109例5)计算2-i3-4i.

61 (改编)若复数z满足zi=2+i,则z= .

62 (改编)复数1-i(1+i)2的虚部为 .

63 (改编)已知i是虚数单位,若a+bi4-i=3+2i (a, b∈R),则a+b的值是 .

7 (选修22P110练习第1题)计算：(1)22+22i2;(2) (1-i)4.

(选修22P111习题3.2第2题第(2)问)计算：32+12i-12+32i.

71 (改编)计算：-23+i1+23i+21+i2004+(4-8i)2-(-4+8i)211-7i.

72 (改编)已知虚数u满足u2=u-,求复数z=u1+u2+u2u+u3+u3u2+u4的值.

第Ⅱ部分(人教版教材)

1 (人教A版《选修22》第74页例3)

类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出关于空间中四面体性质的猜想.

（人教B版《选修22》第62页习题21.A第2题）

命题“正三角形内任一点到三边的距离等于常数”，对正四面体是否有类似的结论.

11 （改编）在直角三角形ABC中，AB⊥AC， AD⊥BC于D，则1AD2=1AB2+1AC2.在四面体ABCD中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由.

12 （改编）在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD=2.在四面体ABCD中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由.

2 (人教A版《选修22》第77页练习第2题)

观察下面的“三角阵”（图略），试找出相邻两行数之间的关系.

21 （改编）如图1所示的三角形数阵叫作“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的.

（1） 试找出相邻两行数之间的关系；

（2） 数阵的第7行第4个数是什么？

3 (人教A版《选修22》第98页复习参考题A组第1题)

观察下列图案（图略）中圆圈的排列规则，猜想第（5）个图形由多少个圆圈组成，是怎样排列的；第n个图形中共有多少个圆圈？

31 （改编）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1， 3， 6， 10…这样的数称为“三角形数”，而把1， 4， 9， 16…这样的数称为“正方形数”.如图2，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是 .

①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31；⑤64=28+36.

32 （改编）如图3是一个有n(n≥2)层的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，则这个点阵的点数共有 个.

4 (人教A版《选修22》第94页例1)

(人教B版《选修22》第72页例1)

用数学归纳法证明：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)6 (n∈N*).

nlc202309031239

41 （改编）用数学归纳法证明：12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)3 (n∈N*).

42 （改编）用数学归纳法证明：22+42+62+…+(2n)2=2n(n+1)(2n+1)3 (n∈N*).

5 (人教A版《选修22》第106页习题3.1第1（1）题)

(人教B版《选修22》第89页习题31第6（1）题)

求适合下列方程的实数x与y的值：(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i.

51 （改编）求适合下列方程的共轭复数x与y的值：(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i.

52 （改编）求适合下列方程的纯虚数x与y的值：(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i.



第Ⅰ部分

11 (1) 12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1);

(2) 13+23+33+…+n3=12n(n+1)2.

12 以上两个推理都是归纳推理,但两个推理所得到的结论都是不正确的.说明由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,不一定正确.

13 (1) a2=16, a3=112, a4=120;

(2) 猜想：an=1n(n+1) (n∈N*).

证明：因为(n+2)an+1=nan (n∈N*),所以an+1an=nn+2,则a1·a2a1·a3a2·a4a3·…·an-1an-2·anan-1=12×13×24×35×…×n-2n×n-1n+1=1n(n+1),即an=1n(n+1).

21 an=amqn-m.

31 设n=2k-1,则a2k=12a2k-1+2k-1, k∈N*.

当k≥2时,设n=2k-2,则a2k-2+1=a2k-2-2(2k-2),即a2k-1=a2k-2-4(k-1),所以当k≥2时,a2k=12［a2k-2-4(k-1)］+2k-1,即a2k=12a2k-2+1,所以当n≥2时,a2n=12a2n-2+1,即a2n-2=12 (a2n-2-2).

又bn=a2n-2, n∈N*, b1=a2-2=32-2=-12,即当n≥2时,bn=12bn-1,故数列{bn}是以-12为首项,12为公比的等比数列,故bn=-12·12n-1=-12n.

41 连结MD, ME,在Rt△BCD中,因为M为BC的中点,所以MD=12BC.同理,ME=12BC.所以MD=ME.

又N为DE的中点,所以MN⊥DE.

42 (反证法)设a=2m+1(m为整数),则a2=4m2+4m+1.

因为4m2+4m为偶数,所以4m2+4m+1为奇数,即a2为奇数,与条件矛盾,所以a也是偶数.

43 (反证法)假设函数f(x)对定义域内任意满足条件的实数x,都有f(x)＞0不成立,则存在实数x0,有f(x0)≤0成立.

因为函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x)≠0,所以f(x0)＜0,且f12x0≠0,则由题设可知f(x0)=f12x0+12x0=f12x0f12x0=f212x0>0,矛盾,故假设不成立,所以对定义域内任意实数x,都有f(x)＞0.

51 因为a2n＜an-an+1 (n∈N*),所以a21≤a1-a2,即a2≤a1-a21.

又a2＞0,所以a1-a21＞0,所以a1＜1,即n=1时,结论成立.

① 当n=2时,a2≤a1-a21=-a1-122+14≤14＜12,即结论成立.

② 假设当n=k (k≥2, k∈N*)时,结论成立,即ak＜1k.那么当n=k+1时,a2k≤ak-ak+1, ak+1≤ak-a2k=-ak-122+14 0＜ak＜1k≤12,故ak-a2k关于ak在0, 1k上为单调增函数,故ak+1＜1k-1k2=k-1k2＜1k+1,即结论也成立.

由①和②,可知对任意的正整数n (n≥2), an＜1n都成立.

综上所述,对任意的正整数n,an＜1n都成立.

注意 若取初始值n=1,则“a1-a21关于a1在(0, 1)上为单调增函数”不成立.

52 ① 当n=1时,不等式成立.

② 假设当n=k (k∈N*)时,不等式成立,即当ai＞0 (i=1, 2, 3, …, k),且a1a2a3…ak=1时,(1+a1)(1+a2)(1+a3) … (1+ak)≥2k.

那么当n=k+1时,再令ai＞0 (i=1, 2, 3, …, k+1),且a1a2a3 … ak+1=1,则ai (i=1, 2, 3, …, k+1)中必有两个数满足一个不小于1,另一个不大于1.为了书写方便,不妨设ak≥1, ak+1≤1,则(1-ak)(1-ak+1)≤0,即1+akak+1≤ak+ak+1,故2(1+akak+1)≤1+ak+ak+1+akak+1=(1+ak)(1+ak+1),于是(1+a1)(1+a2)(1+a3) … (1+ak)(1+ak+1)≥(1+a1)·(1+a2)(1+a3) … (1+ak-1)·2(1+akak+1)=2(1+a1)(1+a2)(1+a3)·… (1+ak-1)［1+(akak+1)］≥2·2k=2k+1,即不等式也成立.

综上所述,对任意的正整数n,不等式都成立.

61 1-2i.

62 -12.

63 19.

71 -1+i.

72 -3.

第Ⅱ部分

1 人教A版：略.

人教B版：正四面体内任一点到四个侧面的距离等于常数.

11 解：在四面体ABCD中，AB, AC, AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2=1AB2+1AC2+1AD2.

证明：如图4所示，连接BE交CD于F，连接AF.因为AB⊥AC, AB⊥AD,所以AB⊥平面ACD.

而AF平面ACD，所以AB⊥AF.

在Rt△ABF中，

AE⊥BF，所以1AE2=1AB2+1AF2.

在Rt△ACD中，AF⊥CD，

nlc202309031239

所以1AF2=1AC2+1AD2,

所以1AE2=1AB2+1AC2+1AD2，故猜想正确.

12 解：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM=3.

证明：设四面体内部一点O到四面体各面都相等的距离为d，则由题意知d=OM，设各个面的面积为S，则由等积法可得：4·13S·OM=13S·AM,4OM=AM=AO+OM，从而可得：AOOM=3.

2 人教A版：从第二行起，每一个数等于其肩上两数的和.

21 解：（1） 数阵的第n行有n个数且两端的数均为1n(n≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和；

（2） 由以上规律可知，第7行第1个数为17，第2个数为16-17=142，第3个数为130-142=1105，第4个数为160-1105=1140.

3 人教A版：a5=21, an=n2-n+1 (n∈N*).

31 解：这些“三角形数”依次是1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45， …,且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15+21=36, 28+36=64，只有③⑤是对的.

32 解：本题是数列问题，这个点阵从里到外每层的点数的个数为：1, 6, 12, 18, 24， …，可知，从第2层开始，构成公差为6的等差数列，所以

sn=1+(n-1)×6+(n-1)(n-2)2×6

=3n2-3n+1.

4 人教A版，人教B版：略.

41 证明：当n=1时，左边=1，右边=1，所以等式成立；

假设当n=k时，等式成立，即12+32+52+…+(2k-1)2=k(4k2-1)3,

则当n=k+1时，

左边=12+32+52+…+(2k-1)2+［2(k+1)-1］2=k(4k2-1)3+［2(k+1)-1］2=k(4k2-1)3+(2k+1)2=k(4k2-1)3+3(2k+1)23=(k+1)［4(k+1)2-1］3=右边.

综上可知，等式对所有的n∈N*都成立.

42 略.

5 人教A版，人教B版：x=1, y=7.

51 解：设x=a+bi (a, b∈R),则y=a-bi (a, b∈R),所以：

(3x+2y)+(5x-y)i=3(a+bi)+2(a-bi)+

［5(a+bi)-(a-bi)］i

=(5a-6b)+(4a+b)i

=17-2i,

所以5a-6b=17，4a+b=-2,所以a=529, b=-7829,

所以x=529-7829i, y=529+7829i.

52 解：设x=ai， y=bi (a, b∈R,且a, b≠0),则

(3x+2y)+(5x-y)i=3ai+2bi+(5ai-bi)i=b-5a+(3a+2b)i=17-2i,

所以-5a+b=17，3a+2b=-2，所以a=-3613, b=4113,

所以x=-3613i, y=4113i.