《点与圆的位置关系》教案设计

《点与圆的位置关系》教案设计（精选13篇）

《点与圆的位置关系》教案设计篇1

《点与圆的位置关系》教案设计

一、内容和内容解析

内容

探究点与圆的位置关系；过不在同一直线上的三点画圆；三角形的外心；反正法的逻辑关系。

2内容解析

点与圆的位置关系在圆的知识体系中有着非常重要的地位，它为后面直线与圆的位置关系学习作好铺垫。

本节，主要是从探究点与圆的位置出发，从而引出经过一个点、两个点、三个点画圆。在经过三个点画圆在探究中引出三角形外心的概念，以及反证法的证明思路。而知识的应用是检验学习效果的关键。

基于以上分析，本节的教学重点是：了解点与圆的位置关系，并能通过d与r的数量关系进行判断；会经过不在同一条直线上在三点用尺规作画圆；知道三角形外心的概念，以及外心是三角形三边垂直平分线的交点这一结论，并能进行简单应用。

二、目标和目标解析

目标)探究并了解点与圆的位置关系。

2)用尺规作图：过不在同一直线上的三点画圆。

3)知道什么是三角形的外心。

4)感知反证法的逻辑思路。)经历实验、证明的过程，培养学生分析、解决问题的能力，以及逻辑思维能力，进一步提高学生的数学学科素养。

2目标解析

目标（1）的具体要求是：通过实验及归纳，知道点与圆的三种位置关系，并能通过d与r的数量关系进行判断。

目标（2）的具体要求是：会利用尺规作图：过不在同一直线上的三点画圆。或是画三角形的外接圆，找残缺圆的圆心。

目标（3）的具体要求是：知道三角形外心的概念，以及外心是三角形三边垂直平分线的交点这一结论，并能进行简单应用。

目标（4）的具体要求是：了解反证法的证明思路，会确定一个命题结论的反面。

目标（）的具体要求是：让学生通过参与、观察、讨论的形式，经历猜想、验证、实验、证明的过程，共同探究点与圆的位置关系，过点画圆等问题，培养学生分析、解决问题的能力，以及逻辑思维能力，进一步关注学生的数学学科素养的培养。

三、教学问题诊断分析

对于九年级的学生而言，经过实验探究很容易得到点与圆的三种位置关系以及会用d与r的数量关系进行表示，知识的应用也不会有太多的问题，过三点画圆也是对以往知识的应用。但是对三角形外心及应用会和以往的知识混淆，而产成错误。另外反证法的证明思路学生初次接触不易理解，教师应该重点解读。

基于以上分析，本节的教学难点是：三角形的外心及应用；反证法的证明思路的理解。

《点与圆的位置关系》教案设计篇2

【教学目标】

1.结合图形辨认圆与圆5种位置关系, 根据具体图形说出相应的位置关系名称, 能类比直线与圆的位置关系, 通过公共点个数来决定圆与圆的5种位置关系.了解两圆外切, 内切与两圆圆心距d半径R和r的数量关系的联系.

2.经历探索两个圆之间位置关系的过程, 训练学生的探索能力.通过平移实验直观的探索两个圆之间位置关系, 发展学生的识图能力和动手能力操作.

3.通过探索圆与圆的位置关系, 体验数学活动充满着探索与创造, 感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.经历探究图形的位置关系, 丰富对现实空间及图形的认识, 发展形象思维.

【教学重点】

通过探索圆与圆的位置关系了解两圆外切, 内切与两圆圆心距d, 半径R和r的数量关系的联系.

【教学难点】

探索两个圆之间的位置关系, 以及外切, 内切与两圆圆心距d, 半径R和r的数量关系的过程.

【教学方法】

实验探索, 指导学生观察、实验、探究、归纳.

【教具准备】

多媒体课件、学生用表格、圆规, 铅笔, 尺子, 两个半径不一样的圆形纸片.

【教学设计】

一、激情导入, 动情入境

师:首先让我们一起来观看一组动画, 注意观察, 看你都发现了什么.

1. 大屏幕展示FLASH动画, 演示水滴下落的情境.

(通过动画演示水滴落入水中的情境, 展示给学生一个生动、形象的圆与圆位置关系的实际场景.导入新课寓趣味于其中, 既体现了数学源于生活, 又能激发学生的兴趣, 唤起他们的好奇心与求知欲.本环节的设计是通过生活中比较常见的水滴下落到水中形成的水波来创设情境, 能够让学生在开课伊始就入情入境.)

2. 提出问题.

师:回忆刚才的动画演示, 猜想一下, 我们这节课要研究的主题是什么?

学生试着说出本节课所要研究的主题———圆与圆的位置关系.

师:生活中存在着很多圆与圆的位置关系的实例, 你能根据你的生活经验找找看吗?

学生思考、回忆、寻找, 并试着谈出自己找到的有关圆与圆位置关系的实物.

(通过寻找生活中的圆与圆位置关系的实物, 再次加深对本节课所要研究内容的印象.)

师:今天老师也给大家带来了一些图片, 让我们来一起欣赏一下吧!

大屏幕展示教师带给学生的图片.总结图片中圆与圆位置关系在生活中的重要性.

(通过展示图片, 可以发现圆与圆的位置关系在我们的生活中起到一定的装点作用, 同时也有它的实用价值.本环节旨在让数学贴近生活, 既强化学习目标又激发学生的学习兴趣, 使学生的学习活动有鲜明的目的性.通过学生自己去找寻生活中圆与圆的位置关系来增强其对本节课学习内容的认识.并且学生能感悟数学来源于生活的客观真理.)

二、实验探究

1. 动手操作.

师:请同学们拿出课前准备好的两个半径不相等的圆, 放在桌面上, 固定其中一个圆不动, 在桌面上移动另一个圆, 观察两圆的位置关系和公共点的个数.

大屏幕展示自学探究内容:

(1) 观察两圆的位置关系和公共点的个数.

(2) 根据你的操作, 类比直线与圆的位置关系, 你能给他们分别命名吗?

(3) 在几种圆的位置关系中, 你都能得到哪些结论, 看哪一个组找得多.

2. 自学探究.

学生实验, 教师巡视学生的探究过程, 并给予相应的指导和帮助.

3. 小组汇报.

师:哪个小组愿意勇敢地到前面来汇报一下自己组的探究结果?

类比前两节研究点与圆的位置关系, 直线与圆的位置关系, 学生能够很容易对圆与圆的位置关系探究思路理解, 并进行操作.通过学生的亲自动手操作加强学生对两圆5种位置关系的认可.初步感知两圆的5种位置关系的客观事实.

(本环节设计意图是:主要培养学生的类比思想, 观察分析发现的能力.通过合作交流、自主评价, 改进学生的学习方式及学习质量, 激发学生的兴趣, 唤起他们的好奇心与求知欲, 点燃学生智慧的火花, 使学生积极思维, 勇于探索, 主动地去获取知识.)

通过自己的亲身体验总结一下圆一圆的位置关系.具体一点, 还能不能再细分一下? (预计学生会总结出两圆的位置关系有:相离、相交、相切3种) 从而得到两圆的5种位置关系:外离、内含、相交、外切、内切.

师:若两圆的半径相等, 那么这样的两圆是否也存在上面的5种位置关系呢?

学生在对相交这种位置关系产生质疑时, 教师可给予提示、引导、帮助、总结.让学生在猜想与探究的过程中, 体验成功的快乐, 培养他们主动参与、合作的意识, 勇于创新和实践的科学精神.

三、总结判定两圆的位置关系的方法

师:思考一下, 如何判定两个圆的位置关系呢?

教师利用课件展示两圆位置关系与两圆圆心距和两圆半径的大小关系.

圆与圆的位置关系从图形到概念再到交点个数和d与R与r的数量关系总结.

判定两圆的位置关系的方法:

两圆公共点的个数.

2. 根据圆心距和两圆半径的大小关系.

师:两个圆的位置关系会有第6种情况吗?两个圆的公共点会有3个吗?为什么?

练习:

1.看谁答得快:

两圆有两个交点, 则两圆的位置关系是____, 两圆没有交点, 则两圆的位置关系是_____, 两圆只有一个交点, 则两圆的位置关系是______.

2.当两圆外切, O1O2=10, r1=4时, r2=______;当两圆内切, O1O2=2, r1=5时, r2=_______.

3. 定圆O的半径是4厘米, 动圆P的半径是1厘米.

(1) 设⊙P和⊙O相外切, 那么点P与点O的距离是多少?点P可以在什么样的线上移动? (2) 设⊙P和⊙O相内切, 情况怎样?

四、相切两圆性质的探究

我们知道, 圆是轴对称图形.两个圆是否也组成一个轴对称图形呢?如果是轴对称图形, 那么它的对称轴是什么?

1. 在纸上选取外切、内切两个图形, 分别连接两个圆的圆心所在的直线.

2. 沿着圆心所在的直线对折一下, 你发现了什么?从中得出了什么结论?

3. 它的对称轴是什么?

4. 除了圆心外, 有没有特殊点在两圆的连心上?你能说出理由吗?

学生自行探究, 教师深入指导.最后教师利用多媒体课件形象的演示两圆相切的对称性.

结论1:两个相切圆组成轴对称图形, 对称轴是两圆连心线.

2:当两圆相切时, 切点一定在两圆连心线上.

(在经历“观察———猜测———探索———验证———运用”的过程, 渗透了从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化, 培养了学生的转化、思维能力.实现了感性到理性的升华, 凸现数学学习的本质, “数形结合”等数学思想.本环节设计意图是:让学生进一步理解性质与判定, 培养学生数形结合的思想, 通过定理的形象记法减轻学生的学习负担.另外, 通过对例题改造, 培养学生的运用意识, 提高解决实际问题的能力.)

五、例题精析

例1:如下图, ⊙O的半径为5cm, 点P是⊙O外一点, OP=8cm, 求: (1) 以P为圆心, 作⊙P与⊙O外切, 小圆P的半径是多少? (2) 以P为圆心, 作⊙P与⊙O内切, 大圆P的半径是多少?

(教师引导学生自行分析, 并板演解题过程.)

例2:两个同样大小的肥皂泡黏在一起, 其剖面如下图所示 (点O1、O2是圆心) , 分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线 (线段PQ称为两圆的公共弦) , TP, NP分别为两圆的切线.

(1) 上图中两圆的位置关是;

(2) 求∠TPN的度数?你是怎么想的?可以独立完成吗?

(3) O1O2与PQ有什么位置关系?一般情况下的两圆相交, (如下图) O1O2与AB又有什么位置关系?你发现了什么结论?

(解决生活实例问题, 创设了生活情境, 提供了探索的平台, 为学生创新能力的培养奠定了良好的基础.)

结论:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.

例3:两个圆的半径的比为2∶3, 内切时圆心距等于8cm, 那么这两圆相交时, 圆心距d的取值范围是多少?

(通过开放性习题解决部分学生“吃不饱”的问题.让每个学生都得到最大的发展.)

六、引导小结

本节课你学到了哪些知识?你运用了怎样的方法来获得这些知识?

出示本节课的收获对本节课的内容进行知识上的梳理.展示两圆5种位置关系中两圆半径与圆心距的数量关系表格.

(小结环节的设计, 目的是让学生在学完这节课之后, 对这节课进行一下反思, 从而养成反思归纳的好习惯.)

七、教师寄语

两圆位置有5种,

内外相交切含离.

切点必在连心线,

性质判定合一体.

圆的相切、相交的位置情况中, 弦心距、半径、弦常会构成直角三角形, 因此有关两圆的问题, 往往可化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决, 对这种“转化”的思想, 同学们要高度重视才行呀!

(教师寄语, 是通过口诀的形式, 将本节课的知识点概括出来, 便于学生记忆.)

【教学反思】

直击点与圆的位置关系篇3

毕达哥拉斯曾经说过：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆.”同学们，当你开始“圆”这一章的学习时就进入了一个神奇美丽的世界，让我们从学习点与圆的位置关系开始吧！

一、概念释疑

认真的你一定会注意到，在我们的书本上对“圆”给出了两种不同的定义：

1. 把线段OP绕着端点O在平面内旋转一周，端点P运动所形成的图形叫做圆.

2. 圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

对于第一种解释大家应该很容易理解，对于第二种定义同学们可能就不太好理解了.通俗地讲集合就是由具有同一属性的对象汇总成的集体，第二种定义的意思就是：圆，只有一个圆心，圆心到圆上各点的长都相等，并且到圆心的距离等于定长的点都在这个圆上.

二、概念拓展

如果我们在平面上画一个圆，我们可以知道平面内的点与这个圆存在三种位置关系：（1）点在圆上；（2）点在圆内；（3）点在圆外.

由此我们还可以得出两个结论：

1. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合.

2. 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合.

三、例题的拓展

苏科版《数学》教科书第39页尝试与交流：

如图1，线段PQ=2 cm.

（1）画出下列图形：

到点P的距离等于1 cm的点的集合；到点Q的距离等于1.5 cm的点的集合.

（2）在所画图中，到点P的距离等于1 cm，且到点Q的距离等于1.5 cm的点有几个？请在图中将它们表示出来.

（3）在所画图中，到点P的距离小于或等于1 cm，且到点Q的距离大于或等于1.5 cm的点的集合是怎样的图形？把它画出来.

【解析】（1）到点P的距离等于1 cm的点的集合是以P为圆心、1 cm长为半径的圆，到点Q的距离等于1.5 cm的点的集合是以Q为圆心、1.5 cm长为半径的圆，如图2-a；

（2）满足条件的点有两个，为（1）中两圆的交点M、N，如图2-b；

（3）由前面的概念可知这样的点既在☉P内或☉P上又得在☉Q外或☉Q上，即为如图2-c的阴影部分（包括边界）.

变式1 圆心位置、半径大小都确定

如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，E、F分别为AB、AC的中点，以B为圆心，BC为半径画圆，试判断点A、C、E、F与☉B的位置关系.

【解析】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=4，所以AB=8>4，则点A在☉B外；很明显，点C在☉B上；BE=AB=4，所以点E在☉B上；连接BF，在Rt△BCF中，BF >BC，所以点F在☉B外.

【点评】现在要判定平面内一点与圆的位置关系，除了通过画图，还可以通过比较该点到圆心的距离与半径的大小来判定，而后者以后会用得更多些.

变式2 圆心位置不变，半径改变

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4.以B为圆心、r为半径画圆，当r在什么范围时，点C在☉B内，点A在☉B外.

【解析】要使点C在☉B内，r>BC=4；要使点A在☉B外，r

变式3 圆心位置改变，半径不变

如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，点F为AC中点，点P为AB上一动点，以P为圆心、2为半径作☉P，当点P由B→A以1个单位每秒的速度运动（点P到A时运动停止）过程中，点F在☉P内有多少时间？

【解析】由勾股定理易知AC=4，则AF=2.过F作FH⊥AB，可得FH=<2，因此点F一定有一段时间在☉P内.此时只要弄清何时圆心P与点F的距离为2，如图6中的P1、P2的位置.利用勾股定理可得P1H=1，同理P2H=1，则P1 P2=2，而点P以1个单位每秒的速度运动，因此点F在☉P内共2秒.

变式4 圆心位置、半径大小都改变

如图7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，点F为AC中点，点P为AB上一动点，当点P由B→A以1个单位每秒的速度运动时（点P到A时运动停止），以P为圆心的圆的半径也由0开始以1个单位每秒的速度变大. 在这个过程中，点F在☉P内有多少时间？

【解析】如图8，根据变式3的运算结果，在Rt△AFH中，FH=，AH=3，则HB=5.假设点P运动t秒时点F正好在☉P上，则PB=PF=t，PH=5-t.在Rt△PFH中利用勾股定理可以算得t=2.8.接下来点F一直在☉P内，因此点F在☉P内共8-2.8=5.2（秒）.

同学们有没有发现上面的例子都是万变不离其宗——紧紧围绕着点与圆的位置关系，所以平时大家多积累一定能有更多收获！

（作者单位：江苏省常州市新北区龙虎塘中学）

高中数学圆与圆的位置关系教案篇4

教学要求：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系；教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系教学过程：

一、复习准备

1．两圆的位置关系有哪几？ 2．设两圆的圆心距为d.当dRr时，两圆

，当dRr时，两圆

当|Rr|dRr 时，两圆，当d|Rr|时，两圆

当dRr|时，两圆

３．如何根据圆的方程，判断两圆之间的位置关系？(探讨)

二、讲授新课：

1.两圆的位置关系利用半径与圆心距之间的关系来判断

例1.已知圆C1:x2y22x8y80，圆C2:x2y24x4y20，试判断圆C1与圆C2的关系？

C2方法

（一）（配方→圆心与半径→探究圆心距与两半径的关系）方法

（二）解方程组

探究：相交两圆公共弦所在直线的方程。

2．两圆的位置关系利用圆的方程来判断

方法：通常是通过解方程或不等式和方法加以解决（以例1为例说明）

AOBC1图1例2．圆C1的方程是:x2y22mx4ym250圆C2的方程是: x2y22x2mym230, m为何值时,两圆(1)相切.(2)相交(3)相离(4)内含

思路：联立方程组→讨论方程的解的情况（消元法、判别式法）→交点个数→位置关系）

练习：已知两圆xy6x0与xy4ym，问m取何值时，两圆相切。

例3．已知两圆C1:x2y24x2y0和圆C2:xy22y40的交点为A、B,（1）求AB的长；（2）求过A、B两点且圆心在直线l:2x4y10上的圆的方程.22222

3.小结：判断两圆的位置关系的方法:(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.(2)依据连心线的长与两半径长的和r1r2或两半径的差的绝对值的大小关系.三、巩固练习：

22221．求经过点M(2,-2),且与圆xy6x0与xy4交点的圆的方程

2．已知圆C与圆x2y22x0相外切,并且与直线x3y0相切于点Q(3,-3),求圆C的方程.22x3y24xy13．求两圆和的外公切线方程

直线与圆的位置关系教学设计篇5

教学目标：(一)教学知识点：

1.了解直线与圆的三种位置关系。2.了解圆的切线的概念。

3.掌握直线与圆位置关系的性质。(二)过程目标：

1.通过多媒体让学生可以更直观地理解直线与圆的位置关系。

2.通过让学生发现与探究来使学生更加深刻地理解知识。(三)感情目标：

1.通过图形可以增强学生的感观能力。

2.让学生说出解题思路提高学生的语言表达能力。教学重点：直线与圆的位置关系的性质及判定。

教学难点：有无进入暗礁区这题要求学生将实际问题转化为直线与圆的位置关系的判定，有一定难度，是难点。教学过程：

一、创设情境，引入新课

请同学们看一看，想一想日出是怎么样的? 屏幕上出现动态地模拟日出的情形。(把太阳看做圆，把海平线看做直线。)师：你发现了什么?

第 1 页(希望学生说出直线与圆有三种不同的位置关系，如果学生没有说到这里，我可以直接问学生，你觉得直线与圆有几种不同的位置关系。)让学生在本子上画出直线与圆三种不同的位置图。(如图)师：你又发现了什么?(希望学生回答出有第一个图直线与圆没有公共点，第二个图有一个公共点，而第三个有两个公共点，如果没有学生没有发现到这里，我可以引导学生做答)

二、讨论知识，得出性质

请同学们想一想：如果已知直线l与圆的位置关系分别是相离、相切、相交时，圆心O到直线l的距离d与圆的半径r有什么关系

设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r 让学生讨论之后再与学生一起总结出：当直线与圆的位置关系是相离时，dr 当直线与圆的位置关系是相切时，d=r 当直线与圆的位置关系是相交时，d 知识梳理：

直线与圆的位置关系图形公共点 d与r的大小关系相离没有 r 相切一个 d=r 相交两个 d

第 2 页

三、做做练习，巩固知识抢答，我能行活动：

1、已知圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离分别为(1)d=4.5cm(2)d=6.5cm(3)d=8cm，那么直线和圆有几个公共点?为什么?(让个别学生答题)师：第一题是已知d与r问直线与圆之间的位置关系，而下面这题是已知d与位置关系求r，那又该如何做呢?请大家思考后作答：

2、已知圆心和直线的距离为4cm，如果圆和直线的关系分别为以下情况，那么圆的半径应分别取怎样的值?(1)相交;(2)相切;(3)相离。

师：前面两题中直接告诉了我们是直线的问题，而下面的这题是在三角形中解决直线与圆的位置关系，看题：考考你

3.在Rt△ABC中，C=900，AC=3cm，BC=4cm.(1)以A为圆心，3cm为半径的圆与直线BC的位置关系是以A为圆心，2cm为半径的圆与直线BC的位置关系是以A为圆心，3.5cm为半径的圆与直线BC的位置关系是.师：同样地第一题是已知d与r问直线与圆之间的位置关系，而下面这题是已知d与位置关系求r，那又该如何做呢?(2)以C为圆心，半径r为何值时，⊙C与直线AB相切? 相离?相交?

第 3 页(请同学们思考讨论后，再请个别同学说出答案)总结：作题时要找出d与r中哪些量在变化，而哪些没有变化的。

比如日出就是r没有变化而d发生了变化。不管哪些变了，哪些没有变，总之d，r和位置关系中，已经两个都可以求第三个量。

四、联系现实，解决实际

在码头A的北偏东60方向有一个海岛，离该岛中心P的15海里范围内是一个暗礁区。货船从码头A由西向东方向航行，行驶了18海里到达B，这时岛中心P在北偏东30方向。若货船不改变航向，问货船会不会进入暗礁区? 让学生完整解答。

五、归纳总结，形成体系师：这节课你有何收获? 请个别学生回顾知识，教师再总结完整。

六、布置作业，课后巩固分层作业：

1.基础题：作业本(2)P21;

2.自选题：如图，一热带风暴中心O距A岛为2千米，风暴影响圈的半径为1千米.有一条船从A岛出发沿AB方向航行，问BAO的度数是多少时船就会进入风暴影响圈?

《点与圆的位置关系》教案设计篇6

接山一中刘翠华

一、教与学目标

1、探索切线的性质与判定。

2、通过应用切线的性质与判定，提高推理判断能力。

二、教与学重点和难点

重点：直线与圆相切的判定条件与圆的切线的性质。难点：直线与圆相切的判定与性质的应用。

三、教与学方法

自主探究，合作交流

四、教与学过程

（一）情境导入

我们已经掌握了“从直线与圆的公共点的个数”或“将圆心到直线的距离与半径相比较”两种方法来判断直线与圆相切。那么我们还能找到判定直线与圆相切的其他方法吗？观看课件问题导入。

（二）探究新知

探究一探索直线与圆相切的另一种判定方法

1、由圆心到直线的距离等于半径逆推可知：

在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离等于半径r，直线l与⊙O相切。

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线需满足两条： ①经过半径外端；②垂直于这条半径．

AlABlOO假设直线ｌ与OA不垂直，过圆心O作OB⊥ｌ，垂足为B．由于直线ｌ与⊙O相切，因此OB就是⊙O的半径．点B在⊙O上．这样直线ｌ与⊙O有A、B两个公共点．这与“直线ｌ与⊙O相切”矛盾．因此ｌ⊥OA．

这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立．

圆的切线垂直于经过切点的半径

2、小结：直线与圆相切的性质

⑴切线与圆有惟一的公共点；⑵圆心到切线的距离等于半径；⑶切线垂直于经过切点的半径。

3、学以致用

如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB,求证:AT是⊙O的切线.B

OTA

（三）、课堂小结

《点与圆的位置关系》教案设计篇7

高中数学新课标指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践等学习数学的方式．这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程．”复习课也不例外，如何在高三复习课上发挥学生的“再创造”显得尤为重要．笔者开了一堂“直线与圆的位置关系”的复习课，在“让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”方面作了探索，供同行们参考．

一、课堂实录

1. 问题引入

问题1．已知a, b为实数，r>0，判断直线l:ax+by=r2与圆C:x2+y2=r2的位置关系．

学生1：可以比较圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的大小，这里

老师：根据a2+b2=r2, a2+b2>r2, a2+b2<r2这三个式子，结合圆的方程，你能发现什么？

学生2：当点（a, b）在圆C上时，直线l与圆C相切；当点（a, b）在圆C外时，直线l与圆C相交；当点（a, b）在圆C内时，直线l与圆C相离．

2. 探究方法

老师：除了我们常用的代数法和几何法之外，上面结论也是判断直线与圆的位置关系的方法．

问题2．判断直线l:（2m-2) x+my-2=0与圆C:x2+y2=1 (m为实数）的位置关系．

学生3：直线l即当即m=0，或时，直线l与圆C相切；当, 即m<0, 或时, 直线l与圆C相切；当即时，直线l与圆C相交．

老师：对实数m的不同取值，直线l有什么特点？

学生4：把方程变形为m (2x+y）-2x-2=0，令直线l恒过定点 (-1, 2) .

问题3．求过点P（-1, 2）且与圆x2+y2=1相切的直线方程．

学生5：直线x=-1为一条切线．设另一条切线方程为y-2=k (x+1），即y=kx+k+2，把它代入圆方程，化简整理得（k2+1) x+2k (k+2) x+k2+4k+3=0，令Δ=4k2 (k+2) 2-4 (k2+1） (k2+4k+3）=0, 解得

学生6：直线x=-1为一条切线．设另一条切线方程为y-2=k (x+1），由圆心（0, 0）到该直线的距离是令解得所以

学生7：在问题2中令m=0或就得到两条直线

学生8：设所求切线方程为px+qy=1，则所以两条切线方程为x=-1和

3. 提出新问题

老师：上述问题中，设两个切点为A, B．求直线AB的方程（切点弦）．

学生9：-x+2y=1.

老师：请说明理由．

学生9：我用了切点弦的公式，就是若点P (a, b）在圆x2+y2=r2外，则过P的圆的切点弦方程为ax+by=r2．这是因为设PA, PB为圆两条切线，A (x1, y1）, B (x2, y2）为切点．

则直线PA:x1x+y1y=r2，直线PB:x2x+y2y=r2.

因为点P的坐标（a, b）满足直线PA与PB的方程，所以由此可见A, B的坐标均满足方程，由于两点确定一条直线．所以直线AB的方程为ax+by=r2.

老师：很好，我们已经知道若点P (a, b）在圆x2+y2=r2上，则过P的圆的切线方程为ax+by=r2．若点P (a, b）在圆x2+y2=r2外，则点P关于圆的切点弦方程为ax+by=r2．那么若点P (a, b）在圆x2+y2=r2内，方程表示为什么呢？

问题4．已知直线l： (2m+1) x+（m+1) y-3m-1=0 (m为实数），圆C:x2+y2=25.

(1）求证：不论m取何值，直线l与圆C恒交于两点．

(2）设圆C被直线l截得的动弦为AB，过A, B的圆C的切线交于动点M，求点M的轨迹方程．

学生10： (1）可知直线过顶点（2，-1），而点（2，-1）在圆C内，所以不论m取何值，直线l与圆C恒交于两点．

学生11： (2）设M (x0, y0），则M关于圆的切点弦AB方程为x0x+y0y=25，由于（2，-1）在AB上，则2x0-y0=25，即点M的轨迹为2x-y=25.

二、教学反思

曲线与方程是解析几何的核心内容，它沟通了几何中的曲线与代数中的方程的联系, 使得研究曲线的几何问题与研究代数的方程可以互相转化.直线与圆的位置关系又是曲线与方程的重要内容, 是平面解析几何的基础, 在高中数学中具有举足轻重的作用.

1.建构系统的知识, 体现教学螺旋上升

本节课从常规的方法入手, 既对高二的内容进行复习, 又在此基础上进行提高.在学生回顾了直线与圆位置关系的两种基本判断方法后, 提出了一种新的判断方法, 即根据点 (a, b) 在圆上、圆外、圆内来判定直线ax+by=r2与x2+y2=r2的位置关系.通过这样的过程让学生体会到高三复习不仅是知识的简单重复, 也不是难度的直接加深, 而是方法的新创造、知识的新拓展、原有疑问的解决并不断提出新问题的过程.教师用自己的探索引导学生的探索, 力求使学生做到:总复习全面化, 普通的知识规律化, 零碎的知识系统化, 在引导学生建构系统知识的同时体现了教学的螺旋上升.在问题3中, 学生8的解答是一种全新的方法, 也体现了这种探索取得了一定成效.

2.抓住问题的本质, 注重学生思维训练

本节课的四个问题以“切线“为主线, 在教学中通过引导学生抓住问题的本质, 注重了学生思维的训练.如问题3渗透了分类讨论, 数形结合等多种思想, 是一个较典型的问题, 在该问题的教学中设计了引导学生从多个角度探索, 只有从不同的角度去认识一个问题才能抓住问题的本质.又如在问题4轨迹方程的探求中, 纵向挖掘知识深度, 横向加强知识间的联系, 培养了学生的创新精神, 并且使学生的有效思维量加大, 随时对所学知识和方法进行回顾, 能力与知识的形成相伴而行, 这样的设计不但突出了重点, 更使难点的突破水到渠成.

3.解开缠绕的谜团, 引导学生不断探索

《圆与圆的位置关系》评课记录篇8

吴义国校长：

王华均老师的这节课体现了学生的主体地位，让学生在探究中亲历知识形成的过程，远比让学生直接但却被动地获取现成知识结论要更加具有深远的意义和影响，学生的观察、猜想、探索等其他各方面能力都能得到有效地开发和锻炼。

教学思路的层次、脉络清晰，实际运作效果也不错，达到了本节课的教学目的。

课堂上王老师精心选择了与日常生活密切相关的事物（如自行车、众志成城标志图、日全食图片等），使学生感受到数学知识就在身边，为培养学生用数学的观点和方法来分析问题解决问题的意识奠定了基础，确实费了一番心思。

本课努力为学生创设民主、和谐、宽松的学习氛围，使教学过程成为一个不断创设问题情境，和探索解决问题的过程，努力为学生提供充分的活动条件和活动空间。

本节课让学生通过移动硬币来探究圆与圆之间的位置关系，突破了以往直接给出概念或规律让学生被动接受知识的讲课方式，而是通过让学生自己动手主动探索的方法。因为学生已经有了点与圆、直线与圆的位置关系等基础。只要教师引导得当学生们是能够顺利进行探究的，只是王老师没敢放手让学生进行小组交流探究，否则效果会更好。当然真正让学生养成自主探索习惯并非一朝一夕练就的，需要循序渐进。

这节课还有两个小问题是以后要注意的：

一、教师语言要准确，如圆心距说成是“„„的线段（连线）”；

二、教师的语气、语调再有些变化会更好；以上是我个人的一些看法，不当之处请各位同仁批评指正，谢谢！许勤主任：

王华均老师这节课是圆与圆的位置关系，总体设计很好，主次分明，层次清楚。整个教学过程分三大板块：探求圆与圆的位置关系、寻找圆与圆的数量关系、利用有层次、有坡度、要求明确、题型多变的练习题巩固这种关系。整堂课有主有次，有高潮也有低谷„

课堂的闪光点：第一板块的知识的生成很精彩也很完善，分五步：第一步：学生动手操作、反复演示发现圆与圆之间不同的位置关系。说明教师具有先进的教学理念，充分发挥了学生的主体作用，调动了学生探求知识的积极性。

第二步：让学生板演展示自己的发现，共用了三个学生补充完毕。有比较才有发现，有失误才有成功。学生在探索中发现，在差异中寻求完善。

第三步：利用多媒体展示自然景观——日环食现象，充分体现刚才发现的圆与圆的不同位置关系。让学生感到数学就在身边，数学知识就来源与实际生活。并进一步用flash动画展示圆与圆的不同位置关系巩固学生的认知。多媒体运用的适时恰当，较好的扩充教学的信息量，发挥了多媒体对教学的辅助作用。

第四步：根据公共点的个数分类命名，并举出生活中的图片，让学生用眼睛观察并说出它们的位置关系的称呼。抽象的数学知识溶入生活画面让学生通俗易懂。

这一板块的教学充分体现了新课程的教学理念：“让学生在生动具体的情境中学习”“学生是数学学习的的主体，教师是组织者，引导者、合作者”课堂是学生的舞台，是主角。教师是敲边鼓的，是配角。

第三板块：题型组合设计较好，即可锻炼学生的逆向思维，又能发展空间想象力。不足之处：第二板块在教学方法上与第一板块不同，教师分析引导为主，学生旁听。这一块继续放手让学生探究效果会更好。

数学概念不严密：相切“圆与圆有唯一的公共点”说成“圆与圆有一个的公共点”, “公共点”说成“交点”

总之，本节课的教学体现了以学生为主体，以教师为主导，以思维训练为主线的教学模式，达到培养学生能力全面发展的教学目标。

刘寿林老师：

王华均老师讲的是《圆和圆的位置关系》一课，可以说非常成功。教学设计充分体现新的教学理念，重点突出、层次清楚、构思新颖，注重学生的主动参与、动手操作，让学生从中去体验学习知识的过程，同时，也培养学生的自主学习能力和创新意识。

我们数学组认为有以下几个亮点：亮点一：导课新颖

导入数学课寓趣味于其中，既体现了与地理学科的整合，又能激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲。用多媒体演示“日食”现象的动画，再抽象成几何图形，让学生比较生动直观的感受两圆运动过程中的几种位置关系，丰富学生对现实空间及图形的认识，建立空间观念，发展形象思维，同时也是对学生想象力的一种发散训练。

亮点二：运用类比法

用微机将两圆的五种位置关系进行分类，并类比直线与圆的位置关系，让学生思考分类标准，从而引导学生确定两圆位置关系的一种方法（交点个数）。让学生在猜想与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与、合作意识，勇于创新和实践的科学精神。亮点三：数形结和思想

在经历“观察──猜测探索──验证──应用”的过程，渗透了从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养了学生的转化、思维能力。实现了感性到理性的升华。

罗建老师：

课堂闪光：让学生经历操作、探究、归纳、总结圆和圆的位置关系的过程，培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力让学生在探索圆和圆的位置关系的过程中，学会运用数形结合的思想解决问题。让学生通过运用圆和圆关系的性质与判定解题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识。

真情商榷：

1、两圆的公共点的个数称为交点个数是否合适。

2、在两圆外切时探究两半径与圆心距的关系时直接说连心线过切点，所以圆心距等于半径和是否不妥，因为连心线过切点需要证明，没证明可以直接用吗？

何超老师：

本节课是学生在已掌握了点与圆的位置关系、直线和圆的位置关系等知识的基础上，进一步研究平面上两圆的不同位置关系。

值得欣赏的地方：

1．通过复习点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系，采用类比的思想，让学生猜测圆与圆有哪些位置关系。引出悬念，调动学生的学习积极性。

2．探讨圆与圆的位置关系时，借助学生手中的硬币，让学生动手、动脑，这样既形象直观，学生易于接受，又锻炼了学生的探索能力。

3．题目设计全面，训练适当，使学生在充分学习新知的基础上，达到了复习巩固。

4．教师运用数形结合的思想，使学生学会运用圆和圆的位置关系的性质解题，提高了学生解决问题的能力。

5．学生从探索两圆位置关系的过程中，体会运动变化的观点，量变与质变的观点，领悟数学之美，培养良好品质。

6.用数学的观点和思想方法解释生活中的问题这一理念得到了较好的落实，让学生感受到了生活中无所不在的数学知识。

值得商榷的问题：

1．对学生画图要求不严格，画圆时最好借助圆规。

2．观察圆和圆的位置关系时，时间把握不是很好，题目重复太多。

公开课评课现场

公开课

评课记录

学

校：鸡姑小学记录人：王华均时

《直线与圆的位置关系》说课稿篇9

《普通高中数学课程标准》指出：在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

二、教材分析：

1、教材的地位和作用：

《直线与圆的位置关系》这一节内容出现在必修2的第二章《平面解析几何初步》的第二节《圆与圆的方程》的第三小节的位置。就整套教材而言，《平面解析几何初步》一章的教学主要是让学生体会到用代数方法处理几何问题的思想，为选修教材中的《圆锥曲线与方程》一章打好基础。它是前两节《直线与直线方程》和《圆与圆的方程》的综合应用，也为后一小节《圆与圆的位置关系》提供研究方法的一个重要示例，是整个《平面解析几何初步》章节的重要内容，起着贯穿始终、应用反馈的重要作用，而且是贯彻“用代数方法处理几何问题”思想和“数形结合”方法的重要的反映内容和工具。在本章中的作用非常重要。

2、教材重点、难点

《点与圆的位置关系》教案设计篇10

本节课研究圆与圆的位置关系，重点是研究两圆位置关系的判断方法，并应用这些方法解决有关的实际问题。《圆与圆的位置关系》在旧教材中比重不大，但是在新课标中，被作为一个独立的章节，说明新课标对这一章节的要求已经有所提高。教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上得到圆与圆的位置关系的判断方法，北师大版教材中着重强调了根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系进行判断，对用方程的思想去处理位置关系没作要求，但用方程的思想来解决几何问题是解析几何的精髓，是平面几何问题的深化，它将是以后处理圆锥曲线的基本方法，因此，我增加了用方程的思想来分析位置关系，这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力，其基本思维方法和解决问题的技巧在今后整个圆锥曲线的学习中有着非常重要的意义。

作为解析几何的一堂课，判断圆与圆的位置关系，体现的正是解析几何的思想：用方程处理几何问题，用几何方法研究方程性质。所以我在教材处理上，对判断两圆位置关系用了方程的思想和几何两种方法，两种方法贯穿始终，使学生对解析几何的本质有所了解。

下面是我在设计这堂课时的一些想法。

第一，学生学习新知识必须在已有知识和经验的基础上自主建构与形成。所以，我一开始便提出了三个问题，即复习此节相关的知识点，通过问题解决，以旧引新，提出新的问题，以类比的方法研究圆与圆的位置关系。配合几何画板的动画演示，启发学生思考当初是怎样研究判断直线与圆的位置关系的方法?这种方法是不是同样可以运用到研究圆与圆的位置关系上来?能不能用来判断圆与圆的位置关系?使学生很自然地从直线与圆的位置关系的判断方法类比到圆与圆的位置关系的判断方法。

第二，新的课程标准非常重视学生的自主探究，这是学习方式的一次革命，老师的教授过程固然重要，但学生对知识的掌握是在学生自己对知识有体验、有独立的思考和探讨的基础上，才能成为可能。所谓“学在讲之前，讲在关键处”，学生先有一个对知识的认识过程，老师再在关键处进行讲解，使学生真正完成对知识感知、形成和巩固的过程，才是对知识最好的吸收。

第三，学生的学习是在教师引导下的有目的`的学习，从而教学的过程就是在教师控制下的学生自主学习和合作探究学习的过程，这个过程中的关键点是怎么样有效地控制学生自主学习和合作探究学习的时间和空间，在教学的过程中，我较好地处理了学生学习的空间与时间，既留给学生充分思考与探索的时间与空间，又严格限定时间，由此培养学生思维的敏捷性，提高课堂效率。

第四，把解决问题的步骤算法化，提前介入算法的思想，有利于后续学习，也有利于学生理清解决问题的思路和规范

解决问题的程序。

对于问题探究的题型选择的一些思考：第一个问题研究，侧重点之一是必须注意到相切的两种位置关系：内切与外切；侧重点之二在于如何找到这两个圆的圆心，是为了让学生回顾两相切圆心与切点在同一直线上这一条性质，由此得到圆心坐标。第二个问题研究是研究一个半径变化的圆与定圆相切，求题中参数变化的问题，这道题中同样要注意的是相切的两种情况，并且对于内切，要充分结合数形结合的思想，判断出两圆的半径大小关系。两题都有一定难度，处理时必须牢牢掌握知识，灵活运用。

上完这堂课有几个值得反思的问题：

1.设计思路。我在开始思考设计这个课题时，并不是很有把握。圆与圆的位置关系在教材中不如之前直线与圆位置关系的应用性广，有关它的题型受教学要求的局限，使教学设计增加了难度，但是运用已学的直线与圆的位置关系，用类比的方法去处理圆与圆的位置关系又是一个很好的材料，所以我采用了类比的思想，让学生自主探讨出圆与圆位置关系的判断方法，这也比再次独立研究圆与圆位置关系大大地缩短了时间，为后面节省了时间，这种思路是否可行?

2.时间把握。课前复习是有必要的，是为了学生类比旧知识，联想新知识，但复习旧知识的时间应该限定在三分钟以内，复习时间长会导致巩固练习的时间不足和问题展开不够充分。

《点与圆的位置关系》教案设计篇11

【学习目标】

1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内d

2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用． 3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念． 4．了解反证法的证明思想．

【学习过程】

一、温故知新：

（学生活动）请同学们口答下面的问题． 1．圆的两种定义是什么？

2．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？

3．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．

二、自主学习：

自学教材P97-----P99,思考下列问题：

1、点与圆的三种位置关系：（圆的半径 r,点P与圆心的距离为d）点P在圆外 点P在圆上 点P在圆内

2、自己作圆：（思考）

（1）作经过已知点A的圆，这样的圆能作出多少个？

（2）经过A、B两点作圆，这样的圆能作出多少个？它们的圆心分布有什么特点？

（3）经过A、B、C三点作圆，有哪些情况？三点应符合什么条件才能作圆？

3、什么叫三角形的外接圆？三角形的外心及性质？

4、教材是如何用反证法证明过同一直线上的三点不能作圆？反证法的证明思路是什么？（教师讲解）

三、典型例题：

例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．

（圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心）．

四、巩固练习：

教材P100练习

1、作图： 2、3题直接做在教材上。第4题口答

5、（教材P110习题24.2第1题）

五、教学反思：

【拓展创新】

1、A，B，C是平面内的三点，AB=3，BC=3，AC=6，下列说法正确的是（）

A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆上；

B．可以画一个圆，使A，B在圆上，C在圆外；

C．可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆外；

D．可以画一个圆，使B，C在圆上，A在圆内

2、（07年湖南株洲）已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm，则这个三角形的外接圆的面积为__________cm2.（结果用含π的代数式表示）

3．如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图所示，A、B、C•为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，•要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

【布置作业】教材 P110习题24.2第2、3题

《点与圆的位置关系》教案设计篇12

教案第九编解析几何主备人张灵芝总第46期

§9.4 直线、圆的位置关系

基础自测

1.若直线ax+by=1与圆x+y=1相交，则P（a，b）与圆的位置关系为.答案在圆外

2.若直线4x-3y-2=0与圆x+y-2ax+4y+a-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是.答案-6＜a＜4 3.两圆x+y-6x+16y-48=0与x+y+4x-8y-44=0的公切线条数为.答案 2 4.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+答案 512,3422222

22224x2有两个不同的交点，则k的取值范围是.5.(2008·重庆理，15)直线l与圆x+y+2x-4y+a=0(a＜3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为.答案 x-y+1=0 22例题精讲

例1 已知圆x+y-6mx-2（m-1）y+10m-2m-24=0（m∈R）.（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；

（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.（1）证明配方得：（x-3m）+［y-(m-1)］=25，设圆心为（x，y），则l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.（2）解设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为d=

3m3(m1)b10

2222

2x3mym1，消去m得

3b10.∵圆的半径为r=5，∴当d＜r，即-5

10-3＜b＜

510-3时，直线与圆相交；

289 当d=r,即b=±510-3时，直线与圆相切；-3或b＞5

-3时，直线与圆相离.3b10当d＞r，即b＜-51010（3）证明对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=，弦长=2r2d2且r和d均为常量.∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.2

2例2 从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x+y-4x-4y+7=0相切，求光线l 所在直线的方程.解方法一如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=率k反=3b33b3,根据光的反射定律，反射光线的斜.∴反射光线所在直线的方程为y=

3b3(x-b),即3x-(b+3)y-3b=0.∵已知圆x+y-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2），半径为1, 6(b3)23b9(b3)222∴=1,解得b1=-34,b2=1.∴kAB=-43或kAB=-34.∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法二已知圆C：x+y-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)+(y+2)=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切.5k5122222设l的方程为y-3=k(x+3),则=1,即12k+25k+12=0.22k∴k1=-43，k2=-34.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法三设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，b33kkk且后者与已知圆相切.∴2k2b121k,消去b得

5k51k21.即12k+25k+12=0,∴k1=-243,k2=-34.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.290 例3 已知圆C1：x+y-2mx+4y+m-5=0,圆C2：x+y+2x-2my+m-3=0,m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含？

解对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1:(x-m)+(y+2)=9;C2:(x+1)+(y-m)=4.222

2222222（1）如果C1与C2外切，则有2(m1)(m2)=3+2.(m+1)+(m+2)=25.m+3m-10=0,解得m=-5或m=2.∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切；（2）如果C1与C2内含，则有

22(m1)(m2)＜3-2.(m+1)+(m+2)＜1,m+3m+2＜0，222得-2＜m＜-1, ∴当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.例4 已知点P（0，5）及圆C：x+y+4x-12y+24=0.（1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为4（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解（1）方法一如图所示，AB=422

3，求l的方程；

3，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=2

3，圆x+y+4x-12y+24=0可化为（x+2）+（y-6）=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4，在Rt△ACD中，可得CD=2.设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.2k65k2由点C到直线AB的距离公式：=2，得k=

34.此时直线l的方程为3x-4y+20=0.(1)2又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0.则y-12y+24=0,∴y1=6+2∴y2-y1=

3,y2=6-2

3, 3,故x=0满足题意.∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.方法二设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,即y=kx+5, 291 联立直线与圆的方程ykx5x2y2,消去y得（1+k）x+(4-2k)x-11=0

①

4x12y240设方程①的两根为

2k4xx1221kx1,x2,由根与系数的关系得xx111221k2 ②

由弦长公式得1k|x1-x2|=(1k)[(x1x2)224x1x2]=4

3,将②式代入，解得k=

34，此时直线的方程为3x-4y+20=0.又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）,则CD⊥PD，即CD·PD=0，（x+2,y-6）·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x+y+2x-11y+30=0.2

2巩固练习

1.m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x+y=5.（1）无公共点；（2）截得的弦长为2；（3）交点处两条半径互相垂直.解（1）由已知，圆心为O（0，0），半径r=

m222

5, 圆心到直线2x-y+m=0的距离d==

2m5，(1)∵直线与圆无公共点，∴d＞r,即

m5＞

5,∴m＞5或m＜-5.故当m＞5或m＜-5时，直线与圆无公共点.（2）如图所示，由平面几何垂径定理知 r-d=1，即5-∴当m=±2222m52=1.得m=±25, 5时，直线被圆截得的弦长为2.（3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，292 ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，∴d=22r，即522m522·5,解得m=±

522.故当m=±22时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.2.从圆C：x+y-4x-6y+12=0外一点P（a，b）向圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|（O为原点）.求|PT|的最小值及此时P的坐标.解已知圆C的方程为(x-2)+(y-3)=1.∴圆心C的坐标为（2，3），半径r=1.如图所示，连结PC，CT.由平面几何知，|PT|=|PC|-|CT|=（a-2）+（b-3）-1.由已知，|PT|=|PO|，∴|PT|=|PO|，即（a-2）+（b-3）-1=a+b.化简得2a+3b-6=0.得|PT|=a+b=12***2

22222

192（13a-24a+36）.12136132当a=时，|PT|min=6131313()2436=,13.|PT|的最小值为，此时点P的坐标是12131813.3.求过点P（4，-1）且与圆C：x+y+2x-6y+5=0切于点M（1，2）的圆的方程.解方法一设所求圆的圆心为A（m,n)，半径为r,则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r，23n2C（-1，3），则m11122(m1)(n2)2

222因为圆C：x+y+2x-6y+5=0的圆心为22，(m4)2(n1)2r解得m=3,n=1,r=5,所以所求圆的方程为(x-3)+(y-1)=5.22方法二因为圆C：x+y+2x-6y+5=0过点M（1，2）的切线方程为2x-y=0, 所以设所求圆A的方程为x+y+2x-6y+5+(2x-y)=0, 因为点P（4，-1）在圆上，所以代入圆A的方程，解得=-4, 所以所求圆的方程为x+y-6x-2y+5=0.293 22224.圆x+y=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点.（1）当=3422时,求AB的长；

（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.解（1）当=34时，kAB=-1，001222直线AB的方程为y-2=-（x+1），即x+y-1=0.故圆心（0，0）到AB的距离d=12=，从而弦长|AB|=28=30.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2，y1+y2=4.x2y28,11由22x2y28,两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，即-2（x1-x2）+4（y1-y2）=0，∴kAB=12y1y2x1x212.∴直线l的方程为y-2=（x+1），即x-2y+5=0.回顾总结知识方法思想

课后作业

一、填空题

1.（2008·辽宁理）若圆x+y=1与直线y=kx+2没有公共点，则k的取值范围为.22答案(-3,3)2

2222.（2008·重庆理，3）圆O1：x+y-2x=0和圆O2：x+y-4y=0的位置关系是.答案相交

3.已知圆C：（x-a）+(y-2)=4(a＞0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2则a=.答案 222

3时，-1 294 4.（2008·全国Ⅰ文）若直线答案 1a2xayb1与圆x+y=1有公共点，则

1a21b2与1的大小关系是.1b2≥1 225.能够使得圆x+y-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的取值范围为

.答案（-35，-5）∪（5，35）

26.（2008·湖北理）过点A（11，2）作圆x+y+2x-4y-164=0的弦，其中弦长为整数的共有条.答案 32 7.设直线ax-y+3=0与圆（x-1）+(y-2)=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2答案 0 8.（2008·湖南文，14）将圆x+y=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是；若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是.2222

223，则a=.答案（x-1）+y=1

二、解答题 33或-33

9.已知圆C：x+y+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程.解 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1，或切线过原点.当切线不过原点时，设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得 2x-2（b-3）x+（b-4b+3）=0.或2x+2(c-1)x+(c-4c+3)=0, 由于相切，则方程有等根，∴Δ1=0，即［2(b-3)］-4×2×（b-4b+3)=-b+2b+3=0, ∴b=3或-1,Δ2=0,即［2(c-1)］-4×2×(c-4c+3)=-c+6c-5=0.∴c=5或1, 当切线过原点时，设切线为y=kx,即kx-y=0.k21k2

2222

222

222由=2，得k=2±6,∴y=(2±

6)x.故所求切线方程为：x+y-3=0，x+y+1=0，x-y+5=0，x-y+1=0,y=(2±

295

6)x.10.已知曲线C：x+y-4ax+2ay-20+20a=0.（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；

（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线C与x轴相切，求a的值.（1）证明曲线C的方程可变形为(x+y-20)+(-4x+2y+20)a=0，22xy2002

222由4x2y200,解得x4y2，点（4，-2）满足C的方程，故曲线C过定点（4，-2）.（2）证明原方程配方得(x-2a)+(y+a)=5(a-2), ∵a≠2时，5(a-2)＞0,∴C的方程表示圆心是（2a,-a),半径是设圆心坐标为（x,y），则有（3）解由题意得222222

5|a-2|的圆.12x2aya,消去a得y=-52512x,故圆心必在直线y=-x上.5|a-2|=|a|,解得a=.11.已知圆C：x+y-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.解假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m,圆C化为（x-1）+(y+2)=9,圆心C（1，-2），则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的交点即Nm1m1,2222

2,以AB为直径的圆经过原点，∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=

12m2，∴|AN|=

9(3m)2.又|ON|=(m12)2(m12)2，由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.∴存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1.12.设O为坐标原点，曲线x+y+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP22·OQ=0.22（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.解（1）曲线方程为（x+1）+(y-3)=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆.296 ∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m=-1.（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，∴设P（x1，y1）、Q(x2，y2)，PQ方程为y=-x+b.将直线y=-x+b代入圆的方程，得2x+2(4-b)x+b-6b+1=0.Δ=4(4-b)-4×2×(b-6b+1)＞0,得2-322

2＜b＜2+3

22.2由根与系数的关系得x1+x2=-(4-b),x1·x2=

b6b12.y1·y2=b-b(x1+x2)+x1·x2=

b26b12+4b.∵OP·OQ=0，∴x1x2+y1y2=0，即b-6b+1+4b=0,解得b=1∈(2-3∴所求的直线方程为y=-x+1.2,2+3