“直线与圆的位置关系”的教学设计（共13篇）
“直线与圆的位置关系”的教学设计 篇1
《直线与圆的位置关系》教学反思
《直线与圆的位置关系》是人教版九年级（下）第三章第一节的内容，它和点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系同是研究图形之间位置关系的重要内容。下面谈谈自己的做法和体会：
一、重视定义的形成和概括过程：
“直线与圆的位置关系”是由公共点的个数来定义的。定义的教学是在教师引导下，通过学生观察、思考、交流、概括等探究活动亲身经历概念的形成过程，形成新知识的建构。首先引导学生回忆点和圆的位置关系及判定方法，通过对已有研究方法的揭示，增强学生运用迁移方法研究新问题的意识。接着，借助多媒体引导学生观察并思考：在不同的位置关系下，直线和圆的公共点的个数有什么不同？从而引导学生揭示出直线与圆的位置关系与公共点的个数之间存在着对应关系的本质特征。到此，我并没有急于给出定义，而是进一步引导学生在定义的形成上下工夫，又提出两个问题：一是直线与圆有三个或三个以上公共点吗？二是通过刚才的研究，你认为直线和圆的位置关系可分为几种类型呢？分类的标准是什么？定义的教学不只是以直接感知教材为出发点，而是力图还原定义的形成过程，这样既加深了学生对定义本身的理解，又提高学生对定义形成过程中所涉及的思想、方法的认识。而多媒体课件在这里的作用主要是通过“直线动圆不动”“圆动直线不动”“圆心直线不动半径变”三种运动方式的演示，有效创设符合教学内容的情景，把知识的形成过程直观化，提高学生的兴趣，增强学生的参与性。
二、重视定理的发现和总结过程：
本课内容的第二个知识点是运用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定直线与圆的位置关系，并反过来得到直线与圆的位置关系下所具有的数量特征。难点是如何引导学生去发现隐含在图形中的这两个数量并加以比较，为此，我设计了一个问题串，以问题为导向，以探究问题的方式引导学生自学自悟，为学生提供了自主合作探究的舞台，闪现了学生思维创新的火花。引导1：通过刚才的研究我们知道，利用公共点的个数可以判定直线与圆的位置关系，请同学想一想，能否像判定点与圆的位置关系那样，通过数量关系来判定直线与圆的位置关系？
引导2：点与圆的位置关系的判定运用了哪两个数量之间的关系？直线与圆的位置关系中可以出现哪两个量呢？
引导3：如何用图形来反映半径和圆心到直线的距离这两个量呢？ 引导4：如何由数量关系并结合图形判定相应的位置关系呢？
引导5：运用数量关系判定直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，这两者之间有何区别与联系？
引导6：以上三个判定反过来成立吗？
通过以上问题，学生不仅加深了对判定直线与圆的位置关系的方法的理解，更重要的是使学生学会运用联想、化归、数形结合等思想方法去研究问题，这无疑促进学生在学会数学的过程中顺利地向“会学”的方向发展。而多媒体课件在这里的作用在于把“形”和“数” 的关系及其变化动态呈现在屏幕上，成为学生探索验证的好帮手。
三、尊重学生的主体地位：
教学设计应为学生自主学习，实现知识的建构服务。这节课为学生提供了大量问题情境、活动方式，使学生通过“做一做”“想一想”“练一练”“议一议”充分地实践与探索，不断地归纳与总结，引导学生发现规律、拓展思路。而多媒体的介入，为学生实现“意义建构”创设了更为逼真的“情景”，改善了认知环境，有利于提高课堂效率，有利于学生思维和技能的训练。如“议一议”：（1）已知⊙O半径为4cm，直线l上的点A满足OA=4cm，能否判定直线l和⊙O相切？为什么？（2）已知⊙O半径为4cm，直线l上的点A满足OA=5cm，能否判定直线l和⊙O相离？为什么？ 此题重在强调判定方法中圆心到直线的距离，利用多媒体演示，更直观地说明：（1）中当OA不是圆心到直线的距离时，直线l和⊙O相交；当OA是圆心到直线距离时，直线l是⊙O相切。（2）方法同（1），通过此题练习提高了学生思维的深刻性和批判性。
四、重视规律的揭示和提炼过程：
某个数学知识的教学可以在短期内完成，数学技能也可通过强化训练形成，而掌握学习的规律是一个长期渐进的过程，我认为教师在教学过程中应增强揭示规律的意识，引导学生从学习、研究的过程加以提炼，通过日积月累产生认识的飞跃。因此，在回顾与反思中，我组织学生以小组交流的形式讨论以下问题：一是通过刚才的学习，你对如何研究图形之间的位置关系有什么收获和体会？二是“点与圆的位置关系”与“直线与圆的位置关系” 有哪些联系？通过比较你有何启发？这一设计的做法虽小，作用却大，它使学生的认识上升到一个新的高度。也确保了学生在学会数学的过程中顺利地向“会学”的方向发展。
五、拓宽学习的时间和空间：
课后作业的设计不仅要达到巩固知识的目的，更重要的是有研究性和探索性。本节的课后作业有一道探究价值的题目：在Rt△ABC 中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，若要以C为圆心，R为半径画圆，请根据下列条件，求半径R的值或取值范围。
1、AB与圆相离
2、AB与圆相交
3、AB与圆相切。
学生需通过动手动脑来完成，使学生的探索精神由课内延伸到课外。多媒体课件的作用在于通过圆的半径的动态变化，为学生研究直线与圆的位置关系提供思路和分类方法。
总之，通过这节课的教学，力图达到以下三个目标：一是知识目标，就是使学生理解概念，掌握性质和判定并能够利用它们分析问题和解决问题；二是能力目标，培养学生运用迁移、联想、类比、化归、数形结合等数学思想方法发现问题解决问题的能力和创新能力；三是情感目标，通过学生的主动参与，在学会数学的过程中向“会学”的方向发展，培养运动、变化、发展的辨证唯物主义观点。
“直线与圆的位置关系”的教学设计 篇2
高中数学新课标指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践等学习数学的方式．这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程．”复习课也不例外，如何在高三复习课上发挥学生的“再创造”显得尤为重要．笔者开了一堂“直线与圆的位置关系”的复习课，在“让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”方面作了探索，供同行们参考．
一、课堂实录
1. 问题引入
问题1．已知a, b为实数，r>0，判断直线l:ax+by=r2与圆C:x2+y2=r2的位置关系．
学生1：可以比较圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的大小，这里
老师：根据a2+b2=r2, a2+b2>r2, a2+b2<r2这三个式子，结合圆的方程，你能发现什么？
学生2：当点（a, b）在圆C上时，直线l与圆C相切；当点（a, b）在圆C外时，直线l与圆C相交；当点（a, b）在圆C内时，直线l与圆C相离．
2. 探究方法
老师：除了我们常用的代数法和几何法之外，上面结论也是判断直线与圆的位置关系的方法．
问题2．判断直线l:（2m-2) x+my-2=0与圆C:x2+y2=1 (m为实数）的位置关系．
学生3：直线l即当即m=0，或时，直线l与圆C相切；当, 即m<0, 或时, 直线l与圆C相切；当即时，直线l与圆C相交．
老师：对实数m的不同取值，直线l有什么特点？
学生4：把方程变形为m (2x+y）-2x-2=0，令直线l恒过定点 (-1, 2) .
问题3．求过点P（-1, 2）且与圆x2+y2=1相切的直线方程．
学生5：直线x=-1为一条切线．设另一条切线方程为y-2=k (x+1），即y=kx+k+2，把它代入圆方程，化简整理得（k2+1) x+2k (k+2) x+k2+4k+3=0，令Δ=4k2 (k+2) 2-4 (k2+1） (k2+4k+3）=0, 解得
学生6：直线x=-1为一条切线．设另一条切线方程为y-2=k (x+1），由圆心（0, 0）到该直线的距离是令解得所以
学生7：在问题2中令m=0或就得到两条直线
学生8：设所求切线方程为px+qy=1，则所以两条切线方程为x=-1和
3. 提出新问题
老师：上述问题中，设两个切点为A, B．求直线AB的方程（切点弦）．
学生9：-x+2y=1.
老师：请说明理由．
学生9：我用了切点弦的公式，就是若点P (a, b）在圆x2+y2=r2外，则过P的圆的切点弦方程为ax+by=r2．这是因为设PA, PB为圆两条切线，A (x1, y1）, B (x2, y2）为切点．
则直线PA:x1x+y1y=r2，直线PB:x2x+y2y=r2.
因为点P的坐标（a, b）满足直线PA与PB的方程，所以由此可见A, B的坐标均满足方程，由于两点确定一条直线．所以直线AB的方程为ax+by=r2.
老师：很好，我们已经知道若点P (a, b）在圆x2+y2=r2上，则过P的圆的切线方程为ax+by=r2．若点P (a, b）在圆x2+y2=r2外，则点P关于圆的切点弦方程为ax+by=r2．那么若点P (a, b）在圆x2+y2=r2内，方程表示为什么呢？
问题4．已知直线l： (2m+1) x+（m+1) y-3m-1=0 (m为实数），圆C:x2+y2=25.
(1）求证：不论m取何值，直线l与圆C恒交于两点．
(2）设圆C被直线l截得的动弦为AB，过A, B的圆C的切线交于动点M，求点M的轨迹方程．
学生10： (1）可知直线过顶点（2，-1），而点（2，-1）在圆C内，所以不论m取何值，直线l与圆C恒交于两点．
学生11： (2）设M (x0, y0），则M关于圆的切点弦AB方程为x0x+y0y=25，由于（2，-1）在AB上，则2x0-y0=25，即点M的轨迹为2x-y=25.
二、教学反思
曲线与方程是解析几何的核心内容，它沟通了几何中的曲线与代数中的方程的联系, 使得研究曲线的几何问题与研究代数的方程可以互相转化.直线与圆的位置关系又是曲线与方程的重要内容, 是平面解析几何的基础, 在高中数学中具有举足轻重的作用.
1.建构系统的知识, 体现教学螺旋上升
本节课从常规的方法入手, 既对高二的内容进行复习, 又在此基础上进行提高.在学生回顾了直线与圆位置关系的两种基本判断方法后, 提出了一种新的判断方法, 即根据点 (a, b) 在圆上、圆外、圆内来判定直线ax+by=r2与x2+y2=r2的位置关系.通过这样的过程让学生体会到高三复习不仅是知识的简单重复, 也不是难度的直接加深, 而是方法的新创造、知识的新拓展、原有疑问的解决并不断提出新问题的过程.教师用自己的探索引导学生的探索, 力求使学生做到:总复习全面化, 普通的知识规律化, 零碎的知识系统化, 在引导学生建构系统知识的同时体现了教学的螺旋上升.在问题3中, 学生8的解答是一种全新的方法, 也体现了这种探索取得了一定成效.
2.抓住问题的本质, 注重学生思维训练
本节课的四个问题以“切线“为主线, 在教学中通过引导学生抓住问题的本质, 注重了学生思维的训练.如问题3渗透了分类讨论, 数形结合等多种思想, 是一个较典型的问题, 在该问题的教学中设计了引导学生从多个角度探索, 只有从不同的角度去认识一个问题才能抓住问题的本质.又如在问题4轨迹方程的探求中, 纵向挖掘知识深度, 横向加强知识间的联系, 培养了学生的创新精神, 并且使学生的有效思维量加大, 随时对所学知识和方法进行回顾, 能力与知识的形成相伴而行, 这样的设计不但突出了重点, 更使难点的突破水到渠成.
3.解开缠绕的谜团, 引导学生不断探索
“直线与圆的位置关系”的教学设计 篇3
一、知识目标
1.依据直线与圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标。
2.能熟练运用几何法或代数法判断直线与圆的位置关系。
二、能力目标
1.通过两种方法判断直线与圆的位置关系，进一步培养学生用解析法解决问题的能力。
2.通过两种方法的比较，培养学生分析问题和灵活应用所学知识解决问题的能力。
三、德育目标
通过小组讨论，培养学生的团队精神、合作意识、交流表达的能力。
【教学方法】
讲练结合小组合作探究。
一、教学对象分析
学生在初中对直线与圆的位置关系已有所了解，但不会根据直线与圆的方程来判断位置关系；学生喜欢交流，但对数学学科缺乏耐心。
二、教法、学法分析
1.针对学生的特点，打破以教师为主的课堂常规。课堂环节设置为：提出问题—小组讨论—成果展示—归纳总结。
本班有36名同学，将其分成六个小组。
2.在自主探究的基础上以小组合作的方式完成任务，学生有机会去思考，并会与他人合作共同解决问题。
【教学重点】
直线与圆的位置关系。
【教学难点】
直线与圆的位置关系的判断及应用。
【教具】
多媒体投影设备课件。
【教学过程】
导入新课：播放课件太阳冉冉升起的情景。（5分钟）
提出问题1：太阳与地平线之间的关系？
问题2：把太阳看作圆、地平线看作直线它们的位置关系又如何？
问题3：点到直线的距离公式是什么？
問题4：如何根据直线方程与圆的方程来判断直线与圆的位置关系？
问题5：直线和圆的位置关系有哪几种？每种关系中直线同圆的交点个数各是多少？
新课讲授：
一、提出问题，学生讨论
问题1：判断直线l：y=x+2和圆O：x2+y2=2的位置关系。（第一和第二小组讨论）
问题2：判断直线l：y=6-3x和圆O：x2+y2-2y-4=0的位置关系。（第三和第四小组讨论）
问题3：判断直线l：y=x+6和圆O：x2+y2-2y-4=0的位置关系。（第五和第六小组讨论）
说明：5分钟后，各小组推选一位同学在投影仪上展示讨论的结果并讲解分析过程。
展示的结果各种各样，师生共同总结归纳如下：
1.在同一坐标系中画出直线与圆的图形来判断位置关系。
2.将直线与圆的方程联立组成方程组，根据交点的个数来判断位置关系，称为代数法。
交点个数：0、1、2。
位置关系：相离、相切、相交。
3.依据圆心到直线的距离d与半径r之间的关系来判断，称为几何法。
当d>r时，直线与圆无交点，直线与圆的位置关系是相离。
当d=r时，直线与圆有1个交点，直线与圆的位置关系是相切。
当d 二、巩固练习 1.已知直线l：x+y+C=0和圆M：（x-1）2+（y+1）2=4，问C为何值时，直线l与圆M分别相交、相切、相离？ 教师提示：题中圆心坐标是什么？半径呢？圆心到直线l的距离是多少？直线与圆有什么位置关系？ 注意：解绝对值不等式易发生错误，要细心。（学生练习，教师巡视并个别指导） 抽出两个小组分别展示，师生共同评析。（10分钟） 2.已知圆x2+y2-2x+4y=0与直线y=kx+4，问k为何值时，直线与圆相交、相切、相离？（自习时再抽出两个小组分别展示） 三、小结（4分钟） 1.直线与圆的位置关系的代数解法。（解方程组） 2.直线与圆的位置关系的几何解法。（比较d与r的关系） （师生共同回顾本节所学内容） 四、布置作业（1分钟） 教材第100页习题第1～3题。 教材第100页习题第7，8题。 本节课研究圆与圆的位置关系，重点是研究两圆位置关系的判断方法，并应用这些方法解决有关的实际问题。《圆与圆的位置关系》在旧教材中比重不大，但是在新课标中，被作为一个独立的章节，说明新课标对这一章节的要求已经有所提高。教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上得到圆与圆的位置关系的判断方法，北师大版教材中着重强调了根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系进行判断，对用方程的思想去处理位置关系没作要求，但用方程的思想来解决几何问题是解析几何的精髓，是平面几何问题的深化，它将是以后处理圆锥曲线的基本方法，因此，我增加了用方程的思想来分析位置关系，这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力，其基本思维方法和解决问题的技巧在今后整个圆锥曲线的学习中有着非常重要的意义。 作为解析几何的一堂课，判断圆与圆的位置关系，体现的正是解析几何的思想：用方程处理几何问题，用几何方法研究方程性质。所以我在教材处理上，对判断两圆位置关系用了方程的思想和几何两种方法，两种方法贯穿始终，使学生对解析几何的本质有所了解。 下面是我在设计这堂课时的一些想法。 第一，学生学习新知识必须在已有知识和经验的基础上自主建构与形成。所以，我一开始便提出了三个问题，即复习此节相关的知识点，通过问题解决，以旧引新，提出新的问题，以类比的方法研究圆与圆的位置关系。配合几何画板的动画演示，启发学生思考当初是怎样研究判断直线与圆的位置关系的方法?这种方法是不是同样可以运用到研究圆与圆的位置关系上来?能不能用来判断圆与圆的位置关系?使学生很自然地从直线与圆的位置关系的判断方法类比到圆与圆的位置关系的判断方法。 第二，新的课程标准非常重视学生的自主探究，这是学习方式的一次革命，老师的教授过程固然重要，但学生对知识的掌握是在学生自己对知识有体验、有独立的思考和探讨的基础上，才能成为可能。所谓“学在讲之前，讲在关键处”，学生先有一个对知识的认识过程，老师再在关键处进行讲解，使学生真正完成对知识感知、形成和巩固的过程，才是对知识最好的吸收。 第三，学生的学习是在教师引导下的有目的`的学习，从而教学的过程就是在教师控制下的学生自主学习和合作探究学习的过程，这个过程中的关键点是怎么样有效地控制学生自主学习和合作探究学习的时间和空间，在教学的过程中，我较好地处理了学生学习的空间与时间，既留给学生充分思考与探索的时间与空间，又严格限定时间，由此培养学生思维的敏捷性，提高课堂效率。 第四，把解决问题的步骤算法化，提前介入算法的思想，有利于后续学习，也有利于学生理清解决问题的思路和规范 解决问题的程序。 对于问题探究的题型选择的一些思考：第一个问题研究，侧重点之一是必须注意到相切的两种位置关系：内切与外切；侧重点之二在于如何找到这两个圆的圆心，是为了让学生回顾两相切圆心与切点在同一直线上这一条性质，由此得到圆心坐标。第二个问题研究是研究一个半径变化的圆与定圆相切，求题中参数变化的问题，这道题中同样要注意的是相切的两种情况，并且对于内切，要充分结合数形结合的思想，判断出两圆的半径大小关系。两题都有一定难度，处理时必须牢牢掌握知识，灵活运用。 上完这堂课有几个值得反思的问题： 1.设计思路。我在开始思考设计这个课题时，并不是很有把握。圆与圆的位置关系在教材中不如之前直线与圆位置关系的应用性广，有关它的题型受教学要求的局限，使教学设计增加了难度，但是运用已学的直线与圆的位置关系，用类比的方法去处理圆与圆的位置关系又是一个很好的材料，所以我采用了类比的思想，让学生自主探讨出圆与圆位置关系的判断方法，这也比再次独立研究圆与圆位置关系大大地缩短了时间，为后面节省了时间，这种思路是否可行? 2.时间把握。课前复习是有必要的，是为了学生类比旧知识，联想新知识，但复习旧知识的时间应该限定在三分钟以内，复习时间长会导致巩固练习的时间不足和问题展开不够充分。 在思考直线和圆的位置关系时，我们可类似地把直线和圆的方程联立解方程组 方程组有一个解 《直线与圆的位置关系》说课稿 直线与圆相切 方程组没有解 《直线与圆的位置关系》说课稿 直线与圆相离 方程组有两个解 《直线与圆的位置关系》说课稿 直线与圆相交 二、例题讲解： 1、 让学生先自学例1并回答下列问题： (1) 第二小题中，消去x的步骤怎样?如何判断方程组有没有解? (2) 你认为这两种方法哪一种较简单，为什么? 答：(1)消去x的结果是 《直线与圆的位置关系》说课稿 ，一样可以判断和求解; (2)方法一较简单，因为方法二在求交点坐标时仍要解方程组。 2、例2设直线 《直线与圆的位置关系》说课稿 与圆 《直线与圆的位置关系》说课稿 相切，求实数 《直线与圆的位置关系》说课稿 的`值。 2、例3过点 《直线与圆的位置关系》说课稿 作 《直线与圆的位置关系》说课稿 圆的切线L,求切线L的方程. 4、 练习：课本第83页练习1、2 问题1涉及初中知识，可使得学生比较容易上手。 问题2体现了将几何问题代数化的思想。 问题3以前一章知识做类比，有利于培养学生类比归纳的能力。 通过前面对知识的分析，例题1对学生来说应该比较容易，又通过两个问题检查学生的理解程度。 例2建立直线与圆的深度理解 例3该例题有利于培养学生全面考虑问题的良好思维习惯。 通过两个课本练习，巩固直线与圆的位置关系的判断方法。 课堂小结 判断直线与圆的位置关系主要有以下两种方法： 1：方程组有一个解 《直线与圆的位置关系》说课稿 直线与圆相切 方程组没有解 《直线与圆的位置关系》说课稿 直线与圆相离 关键词：高中数学,直线与圆,位置,关系 直线与圆位置关系这章节要求学生掌握直线和圆的位置关系的性质和判定,因为它是本单元的基础,如:“切线的判断和性质定理”是在它的基础上研究的,也是高中解析几何中研究“直线和圆的位置关系”的基础。在对性质和判定的研究中,既要有归纳概括能力,又要有转换思想和能力,所以是本节的难点。另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点,与有一个公共点含义不同,这一点到直线和曲线相切时很重要,学生较难理解。 一、直线与圆位置关系的判断 直线与圆的位置关系的判断依据比较简单,直线与圆有两个公共点时,那么直线和圆相交;直线和圆有唯一公共点时,那么直线和圆相切;直线和圆没有公共点时, 那么直线和圆相离。 例如:设圆C的方程x2+y2-2x-2y-2=0,直线l的方程(m+1)x-my-1=0,对任意实数m,圆C与直线l的位置关系是_____。 分析:求出直线恒过的定点,确定点与圆心的距离与半径的关系,推出结论。 解:由直线l的方程(m+1)x-my-1=0,可得m(x-y)+x-1=0,直线恒过(1,1)点, 圆C的方程x2+y2-2x-2y-2=0,的圆心(1,1),所以圆C与直线l的位置关系是:相交。 故答案为:相交。 点评:本题主要考查直线与圆的位置关系,还考查了转化思想,将直线与圆的位置,转化为点与圆的位置来解决。 二、圆上的点到直线距离 求圆上的点到直线距离,学生在遇到没见过的题目时,往往不知道从何下手,点到直线的距离即点到直线的垂线段的长,何时达到最大或最小值,要引导学生观察、分析、猜测、验证、下结论。 例如:圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是_____。 分析:先看圆心到直线的距离,结果大于半径,可知直线与圆相离,进而可知圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径。解:圆心(0,0)到直线的距离为:,∴圆上的点到直线的最小距离为:5-1=4。 故答案为:4。 考点:直线与圆的位置关系 点评:本题主要考查了直线与圆的位置关系。考查了学生数形结合的思想,转化和化归的思想。 又如:圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是( ) 分析:此题考查解析几何初步中的圆和直线的相关知识、点到直线距离公式、数形结合能力和等价转化能力;圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是:圆心到直线的距离加上半径,此圆的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=1,圆心是(1,1),半径是1,所以,所以选B。 点评:本题主要考查直线与圆的位置关系,当考查圆上的点到直线的距离问题,基本思路是:先求出圆心到直线的距离,最大值时,再加上半径,最小值时,再减去半径。 三、截距相等问题 截距相等问题,首先考虑截距都为0的情况,截距不为0时要考虑符号必须相同,截距不同于距离,距离是非负的,而截距可以是负的。 例如:与圆(x-3)2+(y-3)2=8相切,且在x、y轴上截距相等的直线有( ) A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 分析:与圆(x-3)2+(y-3)2=8相切,且在两坐标轴上截距相等的直线,必有过原点的2条直线,还有斜率为-1的两条直线。 解:由圆的方程(x-3)2+(y-3)2=8,可得圆心坐标为C(3,3),半径是,由,故原点在圆外。当所求直线的方程的截距为0时,直线过原点,显然有两条直线满足题意。当截距不为0时,设所求直线的方程为:x+y=a(a≠0)。 则圆心到直线的距离,由此求得a=2,或a=10,由于满足题意a的值有2个,所以满足题意的直线有2条。 综上可得,与圆(x-3)2+(y-3)2=8相切,且在两坐标轴上截距相等的直线中,过原点的切线有两条,斜率为-1的切线也有两条;共4条。 故选A。 点评:考查学生理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径,灵活运用点到直线的距离公式解决实际问题。 四、直线与圆相交 例如:若直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=100相交于A,B两点,弦AB的中点为(-2,3),则直线l的方程为____。 分析:由圆的方程找出圆心C的坐标,连接圆心与弦AB的中点,根据垂径定理的逆定理得到此直线与直线l垂直,根据两直线垂直时斜率的乘积为-1,由圆心与弦AB中点的连线的斜率,求出直线l的斜率,再由直线l过AB的中点,即可得到直线l的方程。 解:由圆(x+1)2+(y-2)2=100,得到圆心C的坐标为(1,2),由题意得:圆心C与弦AB中点的连线与直线l垂直, ∵弦AB的中点为(-2,3),圆心C的坐标为(-1,2), ∴圆心与弦AB中点的连线的斜率为 ∴直线l的斜率为1,又直线l过(-2,3), 则直线l的方程为y-3=x+2,即x-y+5=0。 故答案为:x-y+5=0。 点评:本题是基础题,考查直线方程的求法,正确处理直线与圆的位置关系时解题的关键,考查计算能力。 [摘要]在数学学习中，学生对于概念的的获得、定理的运用通常通过解题来实现。为促进学生解题能力的形成，教师在实际教学中要善于运用解题思想进行教学。本研究利用波利亚的“怎样解题表”探究圆的标准方程，以期对教育者们有有一定的启示作用。 [关键词]解题教学；波利亚；启发性 【中图分类号】G633.6 波利亚的《怎样解题》以注重研究数学解题的思维过程为特色，在解题方面是数学启发法现代研究的先驱。波利亚认为学生不需要获得解决所有问题的万能方法，他强调数学思想和方法的教学，期望学生在分析解题的过程中形成自己的模式，以便在以后的解题过程中可以运用。根据之前成功的的模式和方法，波利亚总结出了一份“怎样解题表”，表中将解决问题分为四个阶段： 首先，我们必须了解问题，我们必须清楚的看到要求的是什么？ 其次，我们必须了解各个项之间有怎样的联系？未知数和数据之间有什么关系？为了得到解题的思路，我们应该制定一个具体的方案。 再次，实现我们的计划。 最后，回顾所完成的解答，对它进行检查和记忆。 直线与圆的位置关系这一内容，蕴含着丰富的数学思想.首先，直线与圆的位置这一几何特征，是通过点的坐标和直线、圆的方程来研究，体现了数形结合的思想方法.其次，从本节课知识的研究过程来看，由“几何问题（位置关系）”到“代数问题（坐标、方程、点到直线的距离公式、联立方程组等），再到“几何问题（分析代数结果的几何含义）”，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的转化过程，是转化思想的具体应用.本研究中，教师借助《直线与圆的位置关系》的教学对解题表中的四个阶段进行详细阐述，以供参考。 问题：一个小岛的周围有很多暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，30千米为半径的圆形区域内。现在，小岛位于轮船正西70千米处港口位于小岛正北40千米处，如果轮船沿直线回港口，是否会触礁？ 一、弄清题目 师：在这个问题中，已知条件有哪些？要求的问题是什么？ 生：已知条件是小岛和轮船，小岛和港口的相对位置及暗礁的分布区域，要求的是轮船直线返回会不会触礁。 师：怎么判断轮船会不会触礁？ 生：看轮船的航线与暗礁所在的圆形区域有没有交点，若有交点则会触礁，若无交点则不会触礁。 二、拟定计划 师：这就转化为了判断直线与圆的位置关系的问题，但是这道题里没有具体的点的坐标和圆的方程，你能把它转化为数学语言吗？ 生：建立以小岛为中心的直角坐标系，取正北方向为 轴的正方向，正东方向为 轴的正方向，则可以得到港口的坐标为 ，轮船的坐标为 ，圆的方程即为 。 师：那我们怎么判断直线与圆有无交点呢，我们之前解决过类似的问题没？ 生：前面学两条直线的位置关系时，联立两直线的方程，看有无公共解，若有，则有交点；若无，则无公共点。 师：我们这里要联立哪些图形的方程？ 生：轮船航线所在的直线方程和暗礁所在圆形区域的方程。 师：我们的已知条件是否充分，若不充分，还缺少什么？你能求得缺少的条件吗？ 生：已知条件不充分，缺少航线所在直线的方程，但是我们可以通过轮船和港口的位置获得所需直线的方程。 师：很好，有了直线和圆的方程之后，联系起来，我们就可以根据公共解的有无判断直线和圆的位置关系了，这是我们设想的计划。 三、執行计划 生：建立如图所示的直角坐标系，已知直线过点 和 ，则可以得到直线的方程为： ，联立直线与圆的方程： 求解即可。 四、回顾 师：你能从其它角度验证你的答案是否正确吗？ 生：我们还可以求圆心到直线的距离，根据距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系。 师：很好，这位同学从几何的角度对这个问题做了处理，这两种方法都是可行的，同学们可以课下进行检验两种方法做出的结果是否相同。同学们思考一下，若再碰到判断图形是否相交的问题，我们怎样进行解决？ 生：求出图形的解析式，联立起来，看是否有公共解即可。 波利亚解题表中最重视的是对学生思维的启发，主张苏格拉底的产婆式问答法。教师在教学过程中，不要基于表达自己的想法，要尽可能的使学生表达他们的想法。在这堂课中，教师使用的语言主要为提示语，如：已知条件有哪些？我们之前解决过类似的问题没？这些提示语的使用实际上是使解题者自我反思，自我诘问，有利于培养学生良好的解题习惯和反思习惯。因此，这种教学方法，无论是对激发学生学数学的兴趣，还是培养学生数学思维能力都具有重要的意义。 参考文献 [1]波利亚.怎样解题[M].科学出版社，1982. 一、内容和内容解析 内容 探究点与圆的位置关系；过不在同一直线上的三点画圆；三角形的外心；反正法的逻辑关系。 2内容解析 点与圆的位置关系在圆的知识体系中有着非常重要的地位，它为后面直线与圆的位置关系学习作好铺垫。 本节，主要是从探究点与圆的位置出发，从而引出经过一个点、两个点、三个点画圆。在经过三个点画圆在探究中引出三角形外心的概念，以及反证法的证明思路。而知识的应用是检验学习效果的关键。 基于以上分析，本节的教学重点是：了解点与圆的位置关系，并能通过d与r的数量关系进行判断；会经过不在同一条直线上在三点用尺规作画圆；知道三角形外心的概念，以及外心是三角形三边垂直平分线的交点这一结论，并能进行简单应用。 二、目标和目标解析 目标)探究并了解点与圆的位置关系。 2)用尺规作图：过不在同一直线上的三点画圆。 3)知道什么是三角形的外心。 4)感知反证法的逻辑思路。)经历实验、证明的过程，培养学生分析、解决问题的能力，以及逻辑思维能力，进一步提高学生的数学学科素养。 2目标解析 目标（1）的具体要求是：通过实验及归纳，知道点与圆的三种位置关系，并能通过d与r的数量关系进行判断。 目标（2）的具体要求是：会利用尺规作图：过不在同一直线上的三点画圆。或是画三角形的外接圆，找残缺圆的圆心。 目标（3）的具体要求是：知道三角形外心的概念，以及外心是三角形三边垂直平分线的交点这一结论，并能进行简单应用。 目标（4）的具体要求是：了解反证法的证明思路，会确定一个命题结论的反面。 目标（）的具体要求是：让学生通过参与、观察、讨论的形式，经历猜想、验证、实验、证明的过程，共同探究点与圆的位置关系，过点画圆等问题，培养学生分析、解决问题的能力，以及逻辑思维能力，进一步关注学生的数学学科素养的培养。 三、教学问题诊断分析 对于九年级的学生而言，经过实验探究很容易得到点与圆的三种位置关系以及会用d与r的数量关系进行表示，知识的应用也不会有太多的问题，过三点画圆也是对以往知识的应用。但是对三角形外心及应用会和以往的知识混淆，而产成错误。另外反证法的证明思路学生初次接触不易理解，教师应该重点解读。 赵龙波 江苏连云港东海县驼峰中学 圆与圆的位置关系教学案设计 江苏连云港东海驼峰中学 赵龙波*** [教学课题]苏科版九年级上册5.4圆与圆的位置关系(P138----140)[学情及学法分析] 因为学生课前已经自学了本节课的内容,对本节课的知识已经有了初步的了解，并且之前已经掌握了点和圆、直线和圆的位置关系,这样有利于学生用类比学习法学习本节内容。九年级学生有一定的观察分析能力、逻辑思维能力和数形结合的能力，但对于两个圆的圆心距与两圆半径和、半径差的绝对值这些抽象的、非直观的数量关系比较模糊。在教学中通过分组讨论和多媒体演示能够有效解决上述问题。 本节力图转变学生以往只是认真听讲、单纯记忆、练习巩固的被动学习方式。引导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的点拨使观察、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。[教学目标] 根据教材和学情分析，制定三维目标如下： 1.知识与技能目标：通过探索两圆的位置关系，了解两圆位置关系的定义，熟练掌握圆与圆的位置关系的性质及判定方法，并能在实际生活中加以应用。发展学生分类讨论的思想、数形结合的思想、运动变化、相互联系、类比转化的思想。 2.过程与方法目标：发展学生观察、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括的能力。 3.情感态度和价值观目标：通过学生自主探索与合作交流，培养学生与人合作、与人交流的良好品质，形成事物运动变化。培养用数学的意识，感受数学的美，激发学生对数学的热爱。 [教学重点]圆与圆的五种位置关系的性质和判定的探究及应用。[突破策略]学生主体，教师主导，注重类比迁移，加强变式巩固。[教学难点]圆与圆的位置关系的数量关系的发现。[分散策略]加强知识迁移转化，借助多媒体效果。 [突破难点的关键及策略]教学中充分利用多媒体演示，加强直观性，结合学生的动手试验,采用数形结合的方法加深学生对圆与圆的位置关系的理解。[教学过程] 一、学生小组交流自学成果，并加以讨论 二、小组展示小组自学见解，小组间互相讨论，教师点拨释疑 1．学生展示两圆的位置关系操作结果。 通过学生的展示、交流、讨论得出圆的五种位置关系。（教师无需发言） 2.学生描述圆的五种位置关系 教法处理：由于学生根据两圆公共点的个数加以描述圆的五种位置关系，虽然学生课前自主学习了，但是学生也不会太理解，教师此时要注意利用学生发挥集体合作精神，充分调动学生的学习积极性，让学生在思维火花的碰撞中，讨论得出圆与圆的五种位置关系的正确描述；如果学生还是不太理解，教师可以根据学生的学情，采用若下的教学引导法，教师引导，如果两圆有一个公共点，根据已学的直线与圆的位置关系的描述方法，我们只能够叫做两圆相切，但是它有存在两种情况，那么又当如何区分呢？教师可以示范性的描述两圆外切，并说明这样描述的理由，然后再次引导学生讨论交流便可以正确得到其它的描述了。这样的教学方法可以发展学生的思维能力，调动学习积极性和参与性。 3.学生展示两圆的位置关系与圆心距与两圆半径和差之间的大小关系 教法处理：教师根据学生的展示情况，利用几何画板课件加以辅助教学。利用几何画板的测量、计算功能，分别测量出两圆的半径和与差以及圆心距，让学生观察总结，尤其是两圆相交的情况。利用课件进行辅助教学有利于调动学生的学习兴趣，同时也能够将复杂、抽象的知识具体化和形象化，降低学生学习的难度。4.学生展示两圆的五种位置关系的相关性质。5.学生展示两圆的位置关系的判断方法。 三、应用于拓展 1．通过学生对例题和练习拓展的讨论交流扮演情况，教师获取学生对圆与圆的位置关系的掌握情况。 2．教师温馨提示：两圆相切包括外切和内切两种情况，解题时要注意进行分类讨论。 四、通过本节课的学习你有什么收获，还有什么疑惑？ 圆与圆的位置关系学习案设计 [自主学习课题] 苏科版九年级上册5.4圆与圆的位置关系(P138----140)[自主学习知识目标] 1.让学生观察两圆相对运动的过程，观察出确定“两圆位置关系”的关键两圆交点的个数，并且能够描述出两圆的位置关系的概念。2.让学生从静止的角度探索出“两圆半径与圆心距之间的数量关系”与“两圆位置”的联系。 3.在经历“观察、猜测、探索、验证、应用”的过程，渗透了从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养了学生的转化、思维能力。实现了感性到理性的升华。[自主学习情感目标] 1.通过合作交流、自主评价，改进学生的学习方式，及学习质量，激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲，点燃起学生智慧的火花，使学生积极思维，勇于探索，主动地去获取知识。 2.让学生在猜想与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与、合作意识，勇于创新和实践的科学精神。[自主学习能力目标] 1.通过本节课的学习，可培养学生空间想象能力，观察能力、探索能力、数形结合能力、归纳概括能力，并以之能力为载体培养学生思维能力及创新能力。2.培养学生运用运动变化的观点来分析、探讨问题的能力。[学习重点]圆与圆的位置关系的发现及确定方法 [自主学习难点]圆与圆的位置关系的数量关系的发现。 [自主学习方法]类比迁移法、数形结合法、自主探究学习方法等。[自主学习过程] 一、复习 1.回忆直线与圆的位置关系。 2.想一想直线与圆的位置关系的探究方法。3.请你应用类比迁移方法探究圆与圆的位置关系。 二、探究圆与圆的位置关系 1.操作：请同学们按照教材p138要求进行操作； 2.思考：两圆的位置发生了哪些变化？请在小组你讨论交流； 3.思考：两圆的位置变化的关键是什么？请在小组你讨论交流；（圆的位置变化的关键两圆公共点的个数变化） 4.分类讨论：根据两圆公共点的个数分两圆有几种位置关系？你能够正确的描述吗？ 根据两个圆的公共点的个数分两圆有 种位置关系？ 两个圆有 公共点，叫做两圆相交； 两个圆有 公共点，叫做两圆相切； 两个圆有 公共点，叫做两圆相离； 5.思考：单纯从两圆公共点的个数上描述两圆的位置关系严密吗？从操作、讨论、交流的结果上看两圆有五种位置关系，有两个公共点的只是种情况，但是有一个公共点的两种情况，哪么又当如何区分描述清楚这两种位置关系呢？无公共点呢？ 6.总结：两圆的位置关系的描述 三、探究两圆的五种位置关系与两圆的圆心距和两圆半径和差的大小关系 1.说明：两圆的圆心与圆心之间的距离称为圆心距； 2.观察：两圆的五种位置关系与两圆的圆心距d和两圆半径和R+r、差R-r的大小关系； 3.小组讨论交流； 4总结：如果两圆的半径分别为R、r，圆心距为d，那么 四、学生总结两圆位置关系的性质 两圆外离：两圆有 公共点；圆心距。 两圆外切：两圆有 公共点；圆心距。 两圆相交：两圆有 公共点；圆心距。 两圆内切：两圆有 公共点；圆心距。 两圆内含：两圆有 公共点；圆心距。 五、学生总结两圆的判断方法 如果两圆有 公共点，圆心距 ；则两圆外离。 如果两圆有 公共点，且 ；圆心距 ；则两圆外切。 如果两圆有 公共点，且 ；圆心距 ；则两圆相交。 如果两圆有 公共点，且 ；圆心距 ；则两圆内切。 如果两圆有 公共点，且 ；圆心距 ；则两圆内含。 六、学习两圆的位置关系的注意点 学习两圆的位置关系同学应当注意些什么呢？ 1.两圆的位置关系与两圆的公共点的个数有关，其中两圆有一个公共点时，两圆相切，分为外切和内切两种情况，其中两圆有两个公共点时，两圆相离，外离和内含两种情况。 2.两圆相切时，圆心距与两圆的半径和、差有两种情况，当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，当两圆内切切时，圆心距等于两圆半径之差。 七、自学教材P139例题 八、试一试：教材P140练习1 九、拓展与延伸：教材P140练习2 十、学习心得： 圆与圆的位置关系巩固案 一、填空题: 1．两圆的位置关系有五种，它们是、、、、。2．⑴ 两圆的半径分别是3cm、6cm，圆心距是10cm，则这两个圆的 位置关系是。 ⑵ 两圆的直径分别是6cm、10cm，圆心距是6cm，则这两个圆的位置关系是。 3．已知两圆半径分别为8、6,若两圆内切,则圆心距为______;若两圆外切,则圆心距为。 4.已知两圆的圆心距d=8,两圆的半径长是方程x2-8x+1=0的两根,则这两圆的位置关系是______。 5.圆心都在y轴上的两圆⊙O1、⊙O2，⊙O1的半径为5,⊙O2的半径为1,O1 的坐标为(0,-1),O2的坐标为(0,3),则两圆⊙O1与⊙O2的位置关系是______。 6.⊙O1和⊙O2交于A、B两点,且⊙O1经过点O,若∠AO1B=90°,那么∠AO2B 的度数是。 7.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切,点D在⊙C内, 点B在⊙C外,那么圆A的半径r的取值范围是_________。8.两圆半径长分别是R和r(R>r),圆心距为d,关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0 有相等的两实数根,则两圆的位置关系是_________。 二、选择题 9.下列说法中正确的是（） （A）若两圆没有公共点，则这两圆必外离 （B）若两圆只有一个公共点，则这两圆必外切 （C）若两圆有两个公共点，则这两圆必相交 （D）若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则这两圆必相交 10.已知小圆半径是大圆半径的三分之一，两圆的圆心距是小圆半径的两倍，那么这两圆的位置关系是（） （A）外切（B）相交（C）内切（D）内含 11.两圆的半径之比为3∶2，当两圆外切时圆心距为10cm，那么当两圆内含时，圆心距为（） 1. 直线[l]：[Ax+By+C=0]与圆[(x-a)2+][(y-b)2=r2(r>0)]的位置关系 （1）几何方法：圆心[(a，b)]到直线[Ax+By+C][=0]的距离[d=|Aa+Bb+C|A2+B2]，[d （2）代数方法： 由[Ax+By+C=0,(x-a)2+(y-b)2=r2]消元得到一元二次方程的判别式为△，则△>0[⇔]直线与圆相交；△＝0[⇔]相线与圆相切；△<0[⇔]直线与圆相离． 2. 圆的切线 （1）求过圆上的一点[(x0，y0)]的圆的切线方程 先求切点与圆心连线的斜率[k]，再由垂直关系知切线斜率为[-1k]，由点斜式方程可求得切线方程．如果[k＝0]或[k]不存在，则可直线得切线方程[x=x0]或[y=y0]． （2）求过圆外一点[(x0，y0)]的圆的切线方程 ①几何方法：设切线方程为[y-y0=k(x-x0)]，即[kx-y-kx0+y0=0]．由圆心到直线的距离等于半径，可求得[k]． ②代数方法：设切线方程为[y-y0=k(x-x0)]，即[y=kx-kx0+y0=0]，代入圆的方程，得到一个关于[x]的一元二次方程，由△＝0，可求得[k]． 经过圆外一点[P(x0，y0)]的圆的切线有两条，因此用点斜式或斜截式直线方程求切线时，若有两解，则所求两条切线方程可得；若仅有一解，则另一条必为[x=x0]． （3）从圆外一点[P(x1，y1)]引到圆[x2+y2+Dx+Ey+F=0]的切线，则点[P]到切点的切线长[d=x21+y21+Dx1+Ey1+F]． 3. 直线被圆截得的弦长 （1）几何方法：运用弦心距[d]、半径[r]及弦的一半构成直角三角形，计算弦长[|AB|=2⋅r2-d2]． （2）代数方法：运用韦达定理求弦长. [|AB|=[(xA+xB)2-4xA⋅xB](1+k2).] 例1 已知圆[C]:[(x+1)2+(y-2)2=20]，直线[l]：[mx-y+1-m=0]． （1）求证：不论[m]取什么实数，直线[l]与圆[C]恒交于两点； （2）求直线[l]被圆[C]截得的弦长最小时，此时圆上到[l]的距离为[5]的点有几个？ 解 （1）（方法一） [(x+1)2+(y-2)2=20,mx-y+1-m=0.] 联立得 [(1+m2)x2+2(1-m-m2)x+m2+2m-18=0.] △=[(8m-1)2+75>0]，恒成立，得证． （方法二）依题得[(x-1)m+(1-y)=0]，直线[l]恒过定点（1，1），圆C的半径[r=25]. 由于定点[A]到圆心[C]的距离[|AC|=5<25]，即定点[A]在圆[C]内，所以过[A]点直线[l]与圆[C]恒有两个交点． （2）由圆的几何性质知：当弦长[|MN|]最短时， [l]⊥[CA, d=|CA|=5]，[r=25]. 此时满足条件的点有3个． 点拨 求解直线与圆的位置关系问题，优先考虑几何法． 例2 设有半径为3km的圆形村落，[A、B]两人同时从村落中心出发，[B]向北直行，[A]先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿与村落围界相切的直线前进，后来恰与[B]相遇，设[A、B]两人的速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇？ 解 设[A、B]相遇在[M]处，速度为[3v、v,] 依题知[OMv=ON+NM3v,] [3OM＝ON+NM.] 如图，[OM=3cosθ]，[ON=3sinθ]，[NP=3tanθ]，[PM=3tanθ]， 所以[3×3cosθ=3sinθ+3tanθ+3tanθ,] 化简得 [3sinθ=cosθ+1.] 又 [sin2θ+cos2θ=1,] 解得 [cosθ＝45，OM＝154.] 故[A、B]相遇距村落中心[154]km，且位于村落中心正北方向[M]处． 点拨 应用题解题步骤——审题、建模、解模、还原. 例3 如图，已知位于[y]轴左侧的圆[C]与[y]轴相切于点（0，1），且被[x]轴分成的两段弧长之比为2∶1，过点[H(0，t)]的直线[l]与圆[C]相交于[M、N]两点，且以[MN]为直径的圆恰好经过坐标原点[O]． （1）求圆[C]的方程； （2）当[t=1]时，求出直线[l]的方程； （3）求直线[OM]的斜率[k]的取值范围． 解 （1）因为位于[y]轴左侧的圆[C]与[y]轴相切于点（0，1），所以圆心[C]在直线[y＝1]上． 设圆[C]与[x]轴的交点分别为[A、B]，由圆[C]被[x]轴分成的两段弧长之比为2∶1，得[∠ACB＝2π3]， 所以[CA＝CB＝2]， 圆心C（－2，1）， 所以圆[C]的方程为[(x+2)2+(y-1)2=4.] （2）当[t＝1]时，由题意知直线[l]的斜率存在． 设直线[l]的方程为[y=mx+1.] 解 [y=mx+1,(x+2)2+(y-1)2=4,] 得 [x=0,y=1] 或[x=-4m2+1,y=m2-4m+1m2+1,] 不妨令[M-4m2+1,m2-4m+1m2+1]，[N]（0，1）. 因为以[MN]为直径的圆恰好过[O]（0，0）. 所以[OM]·[ON]=[m2-4m+1m2+1]=0， 解得[m=2±3]. 所以所求直线[l]的方程为[y=(2+3)x+1]或[y=(2-3)x+1]. （3）设直线[MO]的方程为[y=kx]. 由直线[OM]为圆[C]的割线或切线，则[C]到[OM]的距离不大于2，知[|-2k-1|1+k2≤2]，解得[k≤34.] 考虑直线NO，[y=-1kx]，同理[-1kx≤34.] 解得[k>0]或[k≤-43.] 由（2）知[k＝0]也满足题意， 所以[k]的取值范围是[-∞,-43⋃0,34]. 点拨 直线与圆的问题要熟练应用数形结合的思想与方法． 例4 已知点[P(x,y)]在直线[x+2y=3]上移动，当[2x+4y]取最小值时，过点[P(x，y)]引圆[C]：[x-122+y+142=12]的切线，则此切线长等于( ) A．[12] B. [32] C. [62] D. [32] 解 由[x+2y=3]，又[2x+4y]≥[22x⋅4y]=[42]，取得最小值时[x=2y]，此时点[P32,34]，又圆心 [C12,-14]，[d=|PC|=2]，圆[C]的半径[r=22]，那么切线长为[d2-r2=62]，故选C. 点拨 利用重要不等式[a+b]≥[2ab]求最值，要注意等号成立的条件． 例5 直线[ax+by+c=0]与圆[x2+y2=9]相交于两点[M、N]，若[c2=a2+b2]，则[OM]·[ON]（[O]为坐标原点）等于（ ） A. －7 B. －14 C. 7 D. 14 解 记[OM]·[ON]的夹角为[2θ]，依题意得，圆心（0，0）到直线[ax+by+c=0]的距离等于[ca2+b2=1]， [cosθ=13]， [cos2θ＝2cos2θ－1＝][-79]，[OM]·[ON]＝3·3·[cos2θ]＝－7，故选A. 点拨 结合图形，利用圆的几何性质及向量的数量积公式解决问题． 二、圆与圆的位置关系 1. 用几何方法判断两圆的位置关系 两圆[(x-a1)2+(y-b1)2=r21(r1>0)]与[(x-a2)2+][(y-b2)2=r22(r2>0)]的圆心距为[d]， [d>r1+r2⇔]两圆外离； [d=r1+r2⇔]两圆外切； [|r1-r2| [d=|r1-r2|⇔]两圆内切； [0≤d<|r1-r2|⇔]两圆内含． 2. 用代数方法判断两圆的位置关系 方程组[x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,] 有两组不同的实数解[⇔]两圆相交； 有两组相同的实数解[⇔]两圆相切； 无实数解[⇔]两圆外离或内含． 例6 已知点[P(1,-2)]，以[Q]为圆心的圆[Q]：[(x-4)2+(y-2)2=9]，以[PQ]为直径作圆与圆[Q]交于[A、B]两点，连接[PA、PB]，则[∠APB]的余弦值为 ． 解 依题意可知：[QA⊥PA，QB⊥PB]，故[PA]、[PB]是圆[Q]的两条切线，[cos∠APB=1-][2sin2∠APQ]=[1-2⋅352]=[725]，故[∠APB]的余弦值为[725]. 点拨 利用圆的切线、半径构成的直角三角形及倍角公式解决问题． 例7 已知圆[O]的方程为[x2+y2=2]，圆[M]的方程为[(x-1)2+(y-3)2=1]．过圆[M]上任一点[P]作圆[O]的切线[PA]，若直线[PA]与圆[M]的另一个交点为[Q]，则当弦[PQ]的长度最大时，直线[PA]的斜率是 . 解 弦[PQ]的长度最大，则[PQ]为直径，此时[PA]即为直线[MA]，设直线[PA]的斜率为[k],直线[lPA:y-3=k(x-1)]，即[kx-y+3-k=0]，因为直线[PA]与圆[x2+y2=2]相切，所以圆心（0,0）到直线[PA]的距离为[2]，则[2=|3-k|k2+1]，解得[k＝1]或[k＝-7]. 点拨 分析图形的几何特征，可以寻找取最值的条件. 1．一条光线沿直线[2x-y+2=0]入射到直线[x+y-5=0]后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. [2x+y-6=0] B. [x-2y+7=0] C. [x-y+3=0] D. [x+2y-9=0] 2．已知圆[C:][(x-a)2+y2≤a2-1]的面积为[S]，平面区域[D：][2x+y≤4]与圆[C]的公共区域的面积大于[12S]，则实数[a]的取值范围是（ ） A. [(-∞，2)] B. [(-∞，2]] C. [(-∞，-1)⋃(1,2)] D. [(-∞，-1)⋃(1,2]] 3．在圆[x2+y2-2x-6y=0]内，过点[E]（0，1）的最长弦和最短弦分别为[AC和BD]，则四边形[ABCD]的面积为（ ） A. 5[2]B. 10[2] C. 15[2]D. 20[2] 4．设[P]为直线[3x+4y+3=0]上的动点，过点[P]作圆[C：x2+y2-2x-2y+1=0]的两条切线，切点分别为[A、B]，则四边形[PACB]的面积的最小值为（ ） A. 1B. [32] C. [23]D. [3] 5．若圆[C：(x-h)2+(y-1)2=1]在不等式[x+y+]1≥0所表示的平面区域内，则[h]的最小值为 . 6．已知圆[C]过点（1，0），且圆心在[x]轴的正半轴上，直线[l：y=x-1]被圆[C]截得的弦长为2[2]，则过圆心且与直线[l]垂直的直线的方程为 . [【参考答案】] 1. B 2. C 3. B 4. D 5. [2]-2 ●几何画板成功的创设了学习情境 建构主义的学习理论强调创设真实情境, 把创设情境看作是“意义建构”的必要前提和教学设计的最重要内容之一。而信息技术是创设真实情境的最有效工具。利用“几何画板”动态几何特征, 能够将数学现象和函数图象、几何图形显示于计算机屏幕之上, 使抽象的数学知识变得生动具体。本节课利用“几何画板”让所有的图形体都动起来, 通过平移、旋转、度量的方式。在这样的情境中学习, 能够激发学生的联想思维和学习几何的兴趣。学生从认知心理上有了参与感, 也就会怀着饱满的学习热情去积极思考问题, 发现规律。 ●几何画板成为意义建构的工具 知识的获得, 是一种运动的认知活动, 任何一个新知识的有意义获取, 必须在学生积极思维的参与下, 经历认知结构的调整和重新组合, 最终把新知同化纳人原认知结构中。在传统教学中, 学生较少主动参与, 更多的是被动接受;缺少自我意识, 多依附性。学生的学习被束缚在教材、教师和课堂的圈子里, 不敢越雷池半步, 主体的创设性受到压抑。 “几何画板”为学生主动建构新知提供了一个平台, 使其可以全身心地投入到整个学习过程中, 展示自己, 张扬自己。学生在“几何画板”平台下自己设定参数。自己提出问题, 设定自己的学习步骤, 通过鼠标拖动观察、体会图形数据变化, 进行归纳、总结, 完成意义建构的认知工具, 学习者从旁观者变成了参与者、开发者, 学生的学习过程、学习成果都从“几何画板”平台上反映出来。 ●几何画板成为合作学习的探讨工具 将“几何画板”软件安装在局域网中, 利用计算机网络环境, 采用学习伙伴、学习小组等形式, 可以让学生在“几何画板”平台下进行合作学习, 使其通过相互交流和共同探讨来解决问题。例如:在讨论“用三块大小相同的不等边三角形拼接成一个不重叠的图形, 这样的图形唯一吗?请说明拼接的理由”时, 学生开始的比较单一, 但是随着讨论的深入, 各种方法不断涌现, 很快学生找到了几乎所有的构图样式。在正方体中, 探讨各边所在直线之间的位置关系时, 探讨气氛特别浓, 从各个方面, 不同的角度去观察, 学生很快就发现了许多答案, 渐渐地, 空间中的直线问的位置关系就清晰了。 ●教师成功地调动了学生主动建构知识意义 主动建构知识意义是进行有效学习的根本途径。在本节课中, 教师利用各种教学手段, 积极引发学生的先前经验和直觉, 调动学生学习的积极性和主动性, 使其在学习活动中通过先前经验的重组和转化, 完成了预定的学习目标, 并让意义建构得以继续延伸。 教师成功地转换了自己在教学活动中的角度, 由知识的讲授者转变为学习的引导者、技术的指导者, 由在学生心目中的权威转化为学生学习活动中的平等伙伴。树立了“教即学, 学即教”的观念, 让学生真正意识到自己才是学习的主人。 教师的学生观得到了全面地转变:每个学生都可以实现主动学习。课堂上只有个性差异, 没有优劣与高下。大胆地放手让学生使用“几何画板”进行自主探索, 给予每个学生平等地参与和表现的机会, 使每个学生都获得了成功与进步的喜悦。 另外, 教师良好的引导了学生彼此问相互尊重, 平等相待。在利用“几何画板”自主合作学习的过程中, 学生和平相处, 他们在合作中互相理解, 互相激励, 互相欣赏, 相得益彰, 形成了和谐交流的学习气氛。 ●教师成功地创设了“多维互动”的学习氛围 所谓多维互动, 是指师生、学生之间以及人机之间在学习活动中的多边交互多向交流, 教师在师生互动、学生互动和人机互动上下功夫, 才能促成学生的自主合作学习。首先上课教师利用“几何画板”的动态特征, 将“几何画板”作为探讨工具, 使计算机成为学生学习的伙伴、顾问, 帮助学生解决问题;其次在鼓励学生之间的切磋、琢磨和质疑问题方面, 教师作了比较多的引导。每个学生都是具有独立个性和思维的人, 教师利用“几何画板”这一探讨工具激发了每个学生的思维积极性, 引发了学生质疑, 谈出自己的独到见解和认识, 同时上课时教师对学生的见解和认识由进行了反质疑, 在互相质疑中逐步形成统一认识, 求同存异。 《圆与圆的位置关系》公开课教案 ②直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，直线叫圆的切线，唯一的公共点叫做切点。 ③直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 ㈡重点、难点的学习与目标完成过程， ⒈利用z+z超级画板的变量动画，改变圆的半径的大小，使直线与圆的位置关系发生改变，并请学生识别，巩固定义。 ⒉提问：刚刚的变化，是什么引起直线与圆的位置关系的改变的?除从直线和圆的公共点的个数来判断直线和圆的位置关系外，是否还有其它的判定方法呢? ⒊教师引导学生回忆：怎样判定点和圆的位置关系?学生回答后，提出我们能否在这里套用? ⒋学生小组讨论后，汇总成果。引导学生从点和圆的位置关系去考察，特别是从点到圆心的距离与圆的半径的关系去考察。若该直线ι到圆心O的距离为d，⊙O半径为r，利用z+z的超级画板的变量动画展示，很容易得到所需的结果。 ①直线ι和⊙O相交d ②直线ι和⊙O相切d=r ③直线ι和⊙O相离d>r 提问：反过来，上述命题成立吗? ㈢尝试练习 ⒈练习一：已知圆的直径为12cm，如果直线和圆心的距离为 ⑴ 5。5cm; ⑵ 6cm; ⑶ 8cm 那么直线和圆有几个公共点?为什么? ⒉练习二：已知⊙O的半径为4cm，直线ι上的点A满足OA=4cm，能否判断直线ι和⊙O相切?为什么? 评析：利用“z+z”超级画板演示图形，并指导学生发现。当OA不是圆心到直线的距离时，直线ι和⊙O相交;当OA是圆心到直线的距离时，直线ι是⊙O的切线。 ⒊经过以上练习，谈谈你的学习体会。 强调说明定理中是圆心到直线的距离，这是容易出错的地方，要注意! ㈣例题学习(P104) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什么? ⑴ r=2cm ⑵ r=2。4cm ⑶ r=3cm ⒈学生独立思考后，小组交流。 ⒉教师引导学生分析：题中所给的Rt△在已知条件下各元素已为定值，以直角顶点C为圆心的圆，随半径的不断变化，将与斜边AB所在的直线产生各种不同的位置关系，帮助学生分析好，d是点C到AB所在直线的距离，也就是直角三角形斜边上的高CD。如何求CD呢? ⒊学生讨论，并完成解答过程，用幻灯机投影学生成果。 ⒋用z+z超级画板的变量动点，验证结果，巩固直线与圆的位置关系的定义。 ⒌变式训练：若要使⊙C与AB边只有一个公共点，这时⊙C的半径r有什么要求? 学生讨论，并用z+z超级画板的变量动画引导。 ㈣话说收获： 为了培养学生阅读教材的习惯，请学生看教材P。103—104，从中总结出本课学习的主要内容有： 四、作业 P105 练习2 【“直线与圆的位置关系”的教学设计】推荐阅读： 直线与圆的位置关系07-16 《直线与圆的位置关系》说课稿10-21 高一数学《直线与圆的位置关系》说课稿07-12 直线和圆的位置关系知识点07-28 初中数学复习教案直线和圆的位置关系11-19 初中数学《直线的位置关系》优秀教案08-12 直线与圆的方程教案08-24 点、直线、平面之间的位置关系知识点总结06-01 与圆有关的位置关系复习课教案06-01 匀变速直线运动速度与时间关系教学设计10-20“直线与圆的位置关系”的教学设计 篇4
《直线与圆的位置关系》说课稿 篇5
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