点、直线、平面之间的位置关系知识点总结

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结（共4篇）

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结 篇1

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结

立体几何知识点总结 1.直线在平面内的判定

(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.2.存在性和唯一性定理

(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；

(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；

(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质

(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段； 当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质

从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角 等角定理及其推论

定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线所成的角

(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法

①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角

(1)定义 和平面所成的角有三种：

(i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)取值范围0°≤θ≤90°(3)求解方法

①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理

斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角

(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是 0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角

①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：

(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法

(Ⅳ)根据特殊图形的性质(4)求二面角大小的常见方法

①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理 S′=S·cosα

其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离 点到平面的距离

(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法： 1)直接利用定义求

①找到(或作出)表示距离的线段； ②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离

(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.(2)求线面距离常用的方法

①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离(1)定义 个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.(2)求平行平面距离常用的方法 ①直接利用定义求

证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离

(1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.(2)求两条异面直线的距离常用的方法

①定义法 题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离 ③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结 篇2

●几何画板成功的创设了学习情境

建构主义的学习理论强调创设真实情境, 把创设情境看作是“意义建构”的必要前提和教学设计的最重要内容之一。而信息技术是创设真实情境的最有效工具。利用“几何画板”动态几何特征, 能够将数学现象和函数图象、几何图形显示于计算机屏幕之上, 使抽象的数学知识变得生动具体。本节课利用“几何画板”让所有的图形体都动起来, 通过平移、旋转、度量的方式。在这样的情境中学习, 能够激发学生的联想思维和学习几何的兴趣。学生从认知心理上有了参与感, 也就会怀着饱满的学习热情去积极思考问题, 发现规律。

●几何画板成为意义建构的工具

知识的获得, 是一种运动的认知活动, 任何一个新知识的有意义获取, 必须在学生积极思维的参与下, 经历认知结构的调整和重新组合, 最终把新知同化纳人原认知结构中。在传统教学中, 学生较少主动参与, 更多的是被动接受;缺少自我意识, 多依附性。学生的学习被束缚在教材、教师和课堂的圈子里, 不敢越雷池半步, 主体的创设性受到压抑。

“几何画板”为学生主动建构新知提供了一个平台, 使其可以全身心地投入到整个学习过程中, 展示自己, 张扬自己。学生在“几何画板”平台下自己设定参数。自己提出问题, 设定自己的学习步骤, 通过鼠标拖动观察、体会图形数据变化, 进行归纳、总结, 完成意义建构的认知工具, 学习者从旁观者变成了参与者、开发者, 学生的学习过程、学习成果都从“几何画板”平台上反映出来。

●几何画板成为合作学习的探讨工具

将“几何画板”软件安装在局域网中, 利用计算机网络环境, 采用学习伙伴、学习小组等形式, 可以让学生在“几何画板”平台下进行合作学习, 使其通过相互交流和共同探讨来解决问题。例如:在讨论“用三块大小相同的不等边三角形拼接成一个不重叠的图形, 这样的图形唯一吗?请说明拼接的理由”时, 学生开始的比较单一, 但是随着讨论的深入, 各种方法不断涌现, 很快学生找到了几乎所有的构图样式。在正方体中, 探讨各边所在直线之间的位置关系时, 探讨气氛特别浓, 从各个方面, 不同的角度去观察, 学生很快就发现了许多答案, 渐渐地, 空间中的直线问的位置关系就清晰了。

●教师成功地调动了学生主动建构知识意义

主动建构知识意义是进行有效学习的根本途径。在本节课中, 教师利用各种教学手段, 积极引发学生的先前经验和直觉, 调动学生学习的积极性和主动性, 使其在学习活动中通过先前经验的重组和转化, 完成了预定的学习目标, 并让意义建构得以继续延伸。

教师成功地转换了自己在教学活动中的角度, 由知识的讲授者转变为学习的引导者、技术的指导者, 由在学生心目中的权威转化为学生学习活动中的平等伙伴。树立了“教即学, 学即教”的观念, 让学生真正意识到自己才是学习的主人。

教师的学生观得到了全面地转变:每个学生都可以实现主动学习。课堂上只有个性差异, 没有优劣与高下。大胆地放手让学生使用“几何画板”进行自主探索, 给予每个学生平等地参与和表现的机会, 使每个学生都获得了成功与进步的喜悦。

另外, 教师良好的引导了学生彼此问相互尊重, 平等相待。在利用“几何画板”自主合作学习的过程中, 学生和平相处, 他们在合作中互相理解, 互相激励, 互相欣赏, 相得益彰, 形成了和谐交流的学习气氛。

●教师成功地创设了“多维互动”的学习氛围

所谓多维互动, 是指师生、学生之间以及人机之间在学习活动中的多边交互多向交流, 教师在师生互动、学生互动和人机互动上下功夫, 才能促成学生的自主合作学习。首先上课教师利用“几何画板”的动态特征, 将“几何画板”作为探讨工具, 使计算机成为学生学习的伙伴、顾问, 帮助学生解决问题;其次在鼓励学生之间的切磋、琢磨和质疑问题方面, 教师作了比较多的引导。每个学生都是具有独立个性和思维的人, 教师利用“几何画板”这一探讨工具激发了每个学生的思维积极性, 引发了学生质疑, 谈出自己的独到见解和认识, 同时上课时教师对学生的见解和认识由进行了反质疑, 在互相质疑中逐步形成统一认识, 求同存异。

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结 篇3

本文就《空间直线与直线之间的位置关系》一课的磨课、授课和课后反思小议概念教学中的一些问题。

一、课题：空间直线与直线之间的位置关系

参考很多教学设计发现其设计流程基本是大同小异：

1.课题引入：从立交桥、教室内部的线条（根据教材上所给）引出空间直线间的几种关系。

2.概念一：由引入得到不平行、不相交的两直线，提问：“给个怎样的名称好？”让学生自主给出异面的名称和定义。教师板书，对空间直线间的位置关系进行两类分类，并完成教材上的思考。

3.从初中学习的线线间平行的可传递性出发推广到空间，即给出公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4.利用公理4完成例2的教学内容。

5.给出等角定理、异面直线所成角的定义及相关的概念。

6.小结。

二、质疑

质疑一：上述流程是一个中规中矩的过程，整个教学设计看似完成了教学内容，但就教学的四维目标和重难点的突破来看，实在很难达到预期的效果。

质疑二：关于教材思考一的处理，这是一个关于平面翻折的问题，而平面翻折问题是培养学生空间想象能力的一个重要载体。但是经过分析后决定把这个例题简化处理，因为学生的思维水平和空间想象能力在这个时候还处于直观感知的阶段，让他们做理性的分析显然是超前的。

质疑三：异面直线的定义中“不同在任何一个平面”怎么讲。对刚接触立体几何的学生来说，由于缺少足够的理论体系的支持，这个问题对他们而言其实也是一个说不清、道不明的概念。所以处理成了“既不平行，也不相交”的一种空间直观。

质疑四：等角定理的顺序，教材中是先给出等角定理后给出异面直线所成角的概念。讨论后认为，这个定理是为了说明角的唯一性而给出的，它起到的其实相当于“引理”的作用，但是，高等数学中的一种严密的逻辑结构，对高中生来说却不是那么好接受的，因此将定理后移，使之成为一个唯一性的必要定理。

三、定课

针对这些情况，在对教材内容做了详细研究后做出了一系列的改动。设计如下：

1.课题引入：平面中的直线与直线之间的位置关系有哪几种？其关系其实在平面的一个非常基本的图形——正方形中可以清楚直观地表示。（平行和相交）通过类比空间，我们用正方体来研究，看看空间的直线到底有哪些关系。

2.提出问题：平面中的两直线有几种位置关系？（例如正方形中）那么空间中的两条直线呢？（将正方形空间化成立方体）对比正方形中的关系：平行和相交。对剩下的直线提出问题。还有一类既不平行也不相交的直线，给出异面直线名称，师生共同完成异面直线的定义。利用上面给出的问题，通过直观感知和操作确认，完成定义中的“不同在任何一平面”的难点突破。

空间直线的分类：（1）从共面异面角度来区分，分异面直线和共面直线。其中共面直线又包含平行直线、相交直线。（2）从交点的个数角度来分：没有交点和有且只有一个交点的情况。其中没有交点包含平行直线、异面直线；有且只有一个交点的情况是相交直线。

3.公理4：

回顾例1中找平行直线的方法，得出平行公理。引导学生形成理性地发现问题及解决问题的能力。（板书平行公理，平行公理的数学表示，平行的可传递性）利用平行公理完成课本例2的证明。接着追问：当空间四边形对角线相等的时候，四边形是一个什么四边形？再进一步创设问题：怎样再增加条件，使四边形成为一个正方形？（学生直观给出，引出异面直线所成角的概念）

4.异面直线所成角。

由例2的追问引发了学生的思考，并提出了异面直线所成角的概念。在平面中角是用來度量直线倾斜程度的量，那么空间两直线是不是也有这样的量呢？（学生直观感知空间角的存在）给出空间角的概念。从角的唯一性出发，给出等角定理。（直观感知，不证明。）由点0的任意性，最简单的找角的办法就是在一条直线上找一个点，定为0，将另一条直线平移过来，从而完成异面直线所成角的作法。

5.知能提升。

在我们的学生了解并掌握了如何找异面直线所成角这个方法之后，完成例3这个问题。学生不管是知识方面还是能力方面都得到了真真的提升。

6.小结升华。

学生小结本节课的主要内容及相应要注意的事项。

7.作业。

四、反思

以建构主义理论为指导，我们的课堂应当从学生已有知识出发进行一系列的设计，我们的问题不能高于也不能低于学生的既有知识，要设计一个最近发展区，这也是一种有效的预设，本文从学生已有的平面几何中的线线关系进行设问，并通过平面几何问题空间化，引出空间中的直线与直线之间的位置关系的问题，这既契合学生的思维发展规律，也符合课堂教学的要求，是一种华丽的生成，教材和课标的问题设置都是以长方体为载体，也为课例的设计提供了一个很好的思路。

教学有法，但教无定法，只有结合实际，从学生的认知规律和思维发展出发，细细地研读教材和课标，仔细地磨课，很多课虽然看上去山穷水尽，但是转眼间又会柳暗花明。

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结 篇4

空间几何体的教学，侧重空间想象能力的培养，空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力。主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系;画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换;对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志。

根据这一界定，还有人教版必修2教材的编排上，对空间几何体的认识，从外部整体的认识到内部零件组成的认识过程，我认为，在学习知识前，①先让学生以小组的形式，分工用厚纸皮做长方体、圆柱、椎体、棱台，用十二支吸管做一个正方体模型(这要求每两人可共用一个，这些都成为今后教学的模型)，通过动手做模型，搭建思维的空间框架，同时通过做模型，学生了解这些模型的结构特征，为学习第一章做了良好的铺垫(如结构、三视图，表面积);②要求从书中找出二十个图，让学生画图形，学生自己先感觉，在平面上怎么去画出空间的立体图形，使学生在学空间几何体之前，自己先感受空间图形，希望他们尽快从二维走向三维，有利于第二章的教学，帮助学生完成了具体模型到抽象直观图的认识过程。人教版必修2编排上，很大篇幅都是采用长方体来解读空间中的直线与直线、直线与面、面与面之间的位置关系，让学生使用自己的作品，帮助自己建立空间想象，使学生养成动手习惯，当遇到无图的题目时，利用手中的笔(线)、本(面)，能摆出题设的模型，如需要，还能画出;当遇到有图的题目时，如分不清，能动手摆出大概的模式，帮助自己分清。