实变函数论教案第四章

实变函数论教案第四章（精选4篇）

实变函数论教案第四章 篇1

证明题由直线上互不相交的开区间作为集合A的元素，则A至多为可数集。证明区间上的单调增加函数的不连续点最多只有可数多个。设{A|},{B|}是两个集族.若,AB,且

AA,BB,(,,), 则AB.

4设f:XY, 则f是单射当且仅当A,BX,f(AB)f(A)f(B).5 设M[0,1]是[0.1]上全体实函数所成之集, 证明M[0,1]2证明数轴上一切闭区间所成之集的基数为c.设ABc,则Ac或Bc设f:XY, 则f是单射当且仅当AX,Af1[0,1].[f(A)].设f:XY, 则f是单射当且仅当AX,f(XA)f(X)f(A).10 设f:XY,f(X)YCY,f[f1(C)]C.设A是可数集,则A的一切有限子集所成之集是可数集.12证明每一个闭集必是可数多个开集的交集。

13证明f(x)为[a, b]上连续函数的充要条件是对任意实数c，集E{x|f(x)c}和

E1{x|f(x)c}都是闭集。明直线上非空开集的任何两个不同的构成区间必不相交。间（a,b）上任何两个单调函数，若在一稠密集上相等，则它们有相同的连续点． 16 证明xExE{x}证明E为闭集.证明f(x)为(a,b)上连续函数的充要条件是对任意实数c，集E{x|f(x)c}和

E1{x|f(x)c}都是直线上的开集。证明xEd(x,E{x})0.证明任何非空闭集可表示为可数个开集的交.证明Rn中的孤立点集至多可数.

实变函数论教案第四章 篇2

一、实变函数的特点

知己知彼才能百战不殆, 在学习的过程当中, 会发现这是一门复杂难懂的课程, 该课程的特点是:应用范围广、内容抽象、理论严谨、概念性强;并且不难发现, 该课程虽然归属数学专业, 但是关于计算的内容几乎为零。最主要的内容是由其本身的定义、定理所组成的一套理论体系。并且在推论的过程中, 需要运用较多的定理加以证明, 对逻辑思维能力要求比较高, 在一些定理的证明中, 推论过程相对杂, 逻辑性缜密、证明过程复杂, 对于刚入门的学生来说, 确实是一门高难度的数学课程。

针对实变函数抽象复杂的特点, 学好这门课程就必须有掌握好扎实的理论基础知识, 并利用实变函数的特点, 培养自身的思维创新能力。从入门之初起便要探索实变函数整一套课程的理论体系以及脉络。

二、学习实变函数的意义

1、实变函数作为高校数学专业的基础课, 具有十分重要的现实意义, 它严密而抽象的方法与理论渗透于许多应用性十分广泛的数学分支, 如现代概率论、现代控制论、微分方程与泛函分析等。实变函数理论由于具有较高的抽象性, 这使得多数初学者刚一接触实变函数, 就产生畏惧心理, 甚至失去了继续学习的动力。所以, 高校教师应善于应用多种有效的教学方法, 让高校学生在实变函数的学习过程中领会到实变函数极富创造力的新方法、新技巧与新思想。

2、激发高校学生学习实变函数的兴趣兴趣是最好的老师, 有了学习实变函数的兴趣, 学生才会主动学习和创新。如果没有兴趣, 那么学习也就成了被动的、简单的知识堆砌和模仿。激发高校学生学习具有高度抽象性的实变函数理论, 应做到以下几点:.教师必须让高校学生充分认识到实变函数的重要性, 让他们明白学习实变函数的必要性, 使学生了解实变函数在现代数学与现代分析中的重要地位及现实意义很多同学对于在实践中如何应用知识都比较感兴趣, 他们经常会思考这些高度抽象知识的用处, 以及耗费较大精力来学习这些知识与进行理论研究是否具有一定的现实意义。

我们在大学当中学到的积分被称为“黎曼积分”, 由于在积分和极限换序以及微积分理论中存在着许多的不足的地方, 从而, 研究学家们变创造出了勒贝格积分, 以此来克服了黎曼积分的许多不足之处, 这些全新的理论就是实变函数的核心内容。

在实际的的学习当中, 很多人会提出, 实数函数如此抽象, 他的实际作用是什么?前面提到过, 想要能够出色的学好实变函数, 就必须有良好的逻辑思维能力, 在这一方面, 实变函数课程里涉及到大量证明, 学生们认真严谨的学习态度和逻辑思维能力起着不可估量的作用, 在未来更多的工作路上, 绝大部分的数学科同学们将来从事的工作应该会和数学有关, 实变函数在未来的工作之路上, 将会起到非常直接有效的作用。对于数学专业的学生来数, 学习实变函数的目的就显而易见了起来。

三、学习实变函数的重要性

洛阳师范学院数学科学院的苏孟龙博士就曾经提到过:对于这样一门抽象的实变函数, 如何在课堂中对学生讲清楚一些定义、定理的含义以及作用是非常重要的事情。例如:苏博士在课堂当中, 对测度这一个比较重要的概念就从不同的角度去进行了全面详细的讲解。最开始, 苏博士会让同学们了解为什么要引入测度这一概念, 即在定义勒贝格积分时出现的特殊集合, 因为无法用传统的测量工具去测量, 所以引入了测度这一概念。接下来, 就会介绍引入测度的两种不同方法:第一种方法是先引入外侧度, 如若外侧度满足卡拉泰奥多利条件, 则称集合的测度是存在的;第二种方法就是同时引入内侧度和外侧度, 当内外测度相等的时候, 就说明集合的测度是存在的。第三步就是对勒贝格外测度、测度的定理进行进一步的深入解释, 并且又说明了测度的发展由来以及历史, 说明了其传统的体积、博雷尔测度、勒贝格测度和勒贝格测度以及抽象测度的区别和联系。引出的一系列的例子, 很容易的就让同学们对测度这个概念有了更进一步深入的理解。

四、实变函数简单化的方法以及例子

在理清学习实变函数的目的和要求以后, 教师在引导学生学习过程中应该运用一些方法去让同学们更好的理解:运用图解的方式便于学生的理解, 因为过于复杂, 如果运用大量的图像就会使得每一个定理更容易理解。在学习实数函数的过程当中, 会出现到大量的证明, 对于初学者来说, 是一件很苦恼的事情, 如何做到简单易懂, 是初学者都希望的事情。在涉及到实数函数的每一个定理时, 都力争做到仔细, 详尽。就会对日后学习的定理证明难度降低, 使得每一个过程都衔接的紧密妥当, 没有过度较大的跨越性, 从而使得每一个证明都比较简单易懂。可以举个计较常用的定理:

比如:讲解集合的“对等和基数”章节时, 给出一个有限集合M={a1, a2, …, an}, 提问学生该集合为什么共有这些个元素?你是如何得到的?学生们回答是用数的办法得到的。此时, 老师就要顺着学生的回答接着提问。第一, “数”集合的元素, 其本质是什么?集合的元素进行“数”。这无形中就给集合的每个元素进行了编号, 最后一个元素n, 既表该集合的第n个元素, 同时也表示该集合共有n个元素, 这样任何有限集合都可以可以采用“数”的办法来确定元素的个数, 同时也得出元素有限的集合可以和自然数的某一段一一对应。第二, 确定集合的元数采用数的方法是否一定可行?对于无限集合采用“数”元素个数的办法是行不通的.这就促使我们去思考两个无限集合如何判断其元素多少, 接着把前面“数”集合元素的本质告知, 就是需找一对一的对应。通过以上的介绍很容易引出本节的内容, 所谓集合的“对等”就是彼此可以一一对应的集合, 所谓集合的“基数”就是彼此对等集合的元素的个数。

摘要：本文通过对实变函数的这门课程的分析, 对实数函数的特点、教师在施教过程中对实数函数入门应该具备什么样的理论知识, 总结了学习实变函数的一些方法和注意事项。

关键词：实数函数,教学特点

参考文献

[1]卢同善:《实变函数课的教材编写思路研究》, 《高等理科教育》, 2003. (6) 71。

《幼儿园课程论》第四章教案 篇3

（五）授课课题：中外著名的幼儿园课程方案及课程改革动向 授课时间： 6月9日 第14教学周 星期六 上课时间8:00-11:00 13:0-16:00授课班级：2011秋、2012春学前教育专科。

授课类型：理论课

教学目标、要求：了解国外和中国著名的幼儿园课程模式;了解国外幼儿园课程的发展趋势；了解我国幼儿园课程改革的简要历史过程及发展趋势。

教学重点、难点：了解国外和中国著名的幼儿园课程模式及我国幼儿园课程改革的简要历史过程及发展趋势。

学时安排: 8学时 教学手段：多媒体教学 教学过程：

1、引言

导入新课，回顾上节课授课内容：第三章我们学习了的学科领域课程和综合性课程，这是幼儿园课程中常见的两种课程类型，我们掌握了两种课程的特点、设计原则，掌握了两种课程的优点和不足之处。本章我们要了解国外和中国著名的幼儿园模式和幼儿园课程改革的简要历史过程及发展趋势。

2、教学内容要点

本章首先介绍了国内外几种比较著名的幼儿园课程方案，希望通过这些实例帮助大家更具体地了解实践中的幼儿园课程，并进而更深

入地理解前面所学的一些理论性内容。之后，本章科要展望了国外幼儿园课程的发展趋势，回顾了我国幼儿园课程改革的简要历史过程并同样对我国的幼儿园课程的发展动向作了介绍，希望以此帮助大家对幼儿园课程的未来有个初步的把握。

第一节 国外幼儿园课程方案

一、斑克街早期儿童教育方案 其基本理念是儿童认知发展是与其社会化的过程不可分离的，托幼机构是社会的一部分，它与家庭和社会其他机构分担对儿童的教育职责，它不应被看作“学科”的地方。因此，教育的目标应依据发展的过程，而不是特定的学业成就。

二、直接教学模式 它的主要目标是帮助儿童获得进入小学所需要的读、写、算的基本技能，并通过学业上的成就，发展儿童的自信心，增强自尊心。

三、蒙台梭利课程模式 以培养儿童成为身心均衡发展的人为目标，通过作业的方式，让儿童把内在的生命力表现出来，在作业过程中培养儿童的注意力，在自由和主动的活动中让儿童自我纠正，使儿童在为其设置的环境中成为具有物质的人。

四、海伊斯科普课程 其课程的实施是由“计划-做-回忆”三个环节以及其他一些活动组成。课程不要求购置和使用特殊的材料，作为典型的教育方案，它唯一的花费在于为儿童设置学习环境。

五、方案教学 它不是一种教育儿童的新方法，它是进步主义教育运动的一个重要组成部分。

六、瑞吉欧教育体系 它是一系列的幼儿学校，在这些学校中，每个孩子在智力、情感、社会性和首先潜力都得到精心 的培育和引导。学校的主要教育手段和工具吸引着孩子们在一些诱人的长期方案中流连忘返，这些方案都是在优美、健康和充满爱意的环境中进行的。

第二节 中国著名的幼儿园课程方案

一、陈鹤琴的“五指活动课程” 以五个边为一体的手指比喻课程内容的五个方面，虽有区分，却是整体的、连通的，以此说明他所谓的五指活动课程的特征。

二、张雪门的“行为课程” 认为生活即是教育，五六岁的孩子们在幼稚园生活的实践，就是行为课程。行为课程完全根据生活，它从生活而来，从生活而开展，也从生活而结果，不像一般完全限于教材的活动。

第三节 当前的幼儿园改革动向

一、国外幼儿园的发展趋向 课程多元化；保育和教育相整合；课程全纳化；课程综合化；课程个性化；课程科技化和信息化。

二、中国幼儿园课程改革的历史和发展动向 幼儿园课程管理多元化、自主化；幼儿园课程改革更多地将立足点放在儿童一边；0-6岁学龄前儿童教育课程一体化；幼儿园课程与社区教育和服务相融合；重视教师职业水平的提高。

3、总结

本章首先介绍了国外一些著名的幼儿园课程方案，这些方案都包括了社会背景和理论基础以及目标、内容、方法和评价等方面，这些课程方案可为幼儿园课程的理论研究和实践提供启示，但不应僵化地

被使用。当前国内外的幼儿园课程仍存在不少有争议的问题，所以，各自呈现出了不同的发展趋势。

作业布置：

1、蒙台梭利课程中教师的作用主要表现为什么？

特征函数在实变函数教学中的应用 篇4

下面我们分三部分来论述特征函数在集合和函数的转化, Lebesgue测度与Lebesgue积分之间转化中的桥梁作用;以及探讨了特征函数在积分理论的应用。

1 特征函数联系集合的极限运算与函数极限的运算

下面定理表明特征函数架起了集合极限运算与函数极限运算的桥梁。

定理1[1]设An是一集合列则

定理的证明可参考[2]或[3]。定理1的两个等式左端是集合的极限, 右端是函数的极限, 定理1表明:通过特征函数可以很巧妙的把集合的极限和函数的极限联系起来。

2 特征函数与可测函数的联系

可测函数是Lebesgue积分的积分函数, 可测函数在实变函数中的地位, 相当于连续函数在经典数学分析中的地位。

可测函数的定义就是用可测集来表示的, 从而由集合的可测性可以判定函数的可测性。其次, 连续函数一定可测, 反之则不然。从这个意义上说可测函数是连续函数的推广。我们知道, 连续函数列的极限不一定是连续的, 与连续函数不同, 可测函数列的极限函数仍是可测函数, 可测函数对极限的封闭性为我们的分析和推导带来极大的便利。下面我们讨论特征函数与可测函数的关系。

首先, 可测集上的特征函数就是可测函数。这可以从下面的例子得以验证。

例1设, 是A的特征函数, 则在Rn上可测当且仅当A是可测集。事实上, 由特征函数的定义可知, 对任意的实数a, 有

由可测函数的定义可知, 经典的数学分析中常碰到的函数基本上都是可测函数。因此要构造一个不可测的函数是比较难, 由例1得到启示, 很多情况下我们构造的不可测函数就是定义在不可测集上的特征函数。

其次, 特征函数可以表示一类特殊的可测函数-简单函数, 特征函数的线性组合就是简单函数。

最后, 也是最重要的是, 简单函数的极限可以表示任何的可测函数。具体叙述成下面定理。

定理2[1]设是可测函数。则存在简单函数列处处收敛于并且若有界, 则上述的收敛是一致的。

定理的证明可以在任何一本实变函数教材中找到, 故省略。由定理2, 容易得到如下推论:设是一给定函数。则为可测函数的充要条件是存在简单函数列处处收敛于

定理2事实上给出了可测函数的一个构造性的特征。

归纳起来, 我们得到特征函数和可测函数的关系图:特征函数 (线性组合) 简单函数可测函数。

3 特征函数与可积函数的联系

定理2表明, 一个非负可测函数可以用一列单增的非负简单函数来逼近。而非负简单函数往往是比较容易处理的。这样, 我们在研究可测函数的某些性质时, 可以先考虑非负简单函数, 通过取极限的过程, 得到非负可测函数的相应的性质。而一般的可测函数有可以表示成正部和负部这两个非负可测函数的差。因此又可以得到关于一般可测函数相应的结果。这种方法在研究可测函数的积分性质时常常用到。

首先特征函数与Lebesgue可积函数的关系可以从Lebesgue积分的定义方式给了我们非常清晰的证明思路, 就是从特殊到一般的层进式思路, 可表示成:特征函数非负简单函数非负可测函数一般可测函数。这种几乎程序化的方法在实变函数中随处可见, 特别是在处理有关可积函数的逼近的问题中, 本质上这种方法就是利用了非负简单函数在可积函数中稠密的性质, 称为稠密性方法。

其次, 特征函数在测度和积分两者的转换中扮演着桥梁的作用。这可以下面的简单的事实来说明:由此可以解决很多联系测度与积分的问题。下面给出两个例子。

例3[2]设是E上的非负可测函数, En是E的一列可测子集, 使得

证明令, 由En的单增性, 容易知道gn是一列非负单增的可测函数, 由定理1, 可知其收敛函数为因此可以直接对gn用Levi单调收敛定理, 得

说明:上述例子说明, 利用特征函数可以简单的证明非负可测函数关于集合的连续性。

以下再给一个例子, 说明特征函数在测度与积分转化中的作用。

例4[3]设En是E的一列可测集, 使得则对几乎处处的, 只属于有限个En。

证明由已知由逐项积分定理, 知从而对几乎处处的这就说明只属于有限个En。

说明:从上述例子的证明过程, 我们发现问题的关键在于将测度转化为积分, 然后利用可积函数的性质, 再还原成测度的性质。

关于特征函数在实变函数应用还有很多, 教师通过在教学过程中要重视特征函数在教学中的作用, 让学生开阔思路、积极参与课堂教学。由于特征函数结构非常简单, 学生容易掌握, 因此可以把特征函数的应用作为一个专题课, 在课堂上讨论, 由学生动手查资料、总结、写报告, 这样一方面避免了实变函数教学陷入枯燥、晦涩、难懂的尴尬局面, 另一方面提高了学生学习兴趣的同时, 又提高学生自学能力、科研能力, 这是一举多得的好方法。

参考文献

[1]侯友良.实变函数论[M].武汉:武汉大学出版社, 2008.

[2]周民强.实变函数解题指南[M].北京:北京大学出版社, 2007.