直接证明--综合法与分析法

直接证明--综合法与分析法（通用11篇）

直接证明--综合法与分析法 篇1

直接证明与间接证明——综合法与分析法参考答案

课堂合作探究

1、A2、B3、A4、证明：



(ab(ab)

2a0,b0

a

b0,00

基础训练

1、C2、C3、D4、B5、C6、C 能力提升

1、证法一：

a,b,c,是不等的正数，且abc

1

 111111111111()()()2bc2ac2ababc证法二：

a,b,c,是不等的正数，且abc1



1a1b1cabcaabcbabccbccaabbcca2caab2abbc2 

2、(a

ab







1aba2)(bab21b)1ab2(ab)ba1ab(ab)(ab)2ab1ab(ab)2ab11ab(ab1)

1ab

(ab)

222222a0,b0,ab1ab,141

91641)42

54(ab1)2916ab((ab1)1

ab3、要证即证即证22

即证：a即证a3a2a1 即证：a(a3)(a2)(a1)

即证：a3aa3a3

即证：03

上述不等式显然成立，所以原不等式成立22 2

直接证明--综合法与分析法 篇2

1 对象与方法

1.1 研究对象

采用方便取样的方法选取北京市某军队三级甲等医院住院的普通成年患者,不包括儿科和重症监护室病房的患者,以及有精神疾患的患者。所选患者在观察测算当天(上午8:00至次日上午8:00)未发生入院、出院、手术、转科和外出做检查,测算当天没有离开自己所在的病房。研究共选取25个病房364例患者,其中手术病房12个共176例患者(48.35%),非手术病房13个共188例(51.65%);男199例(54.67%),女165例(45.33%);年龄(17～89)岁,平均年龄(53.34±23.67)岁。

1.2 研究工具

1.2.1 患者一般情况量表

此量表包括患者的姓名、床号、年龄、科室、诊断、入院日期、护理等级、有无手术等一般资料。

1.2.2 Barthel指数评定量表

应用Barthel指数评定量表观察测算当天患者的自理能力(Activities of Daily Living,ADL)的高低。量表包括10项内容,每项根据是否需要帮助及其需要帮助的程度计为(0、5、10、15)分不等,总分100分,得分越高,独立性越强,依赖性越小。总分60分以上为ADL 1,生活基本自理;(60～41)分者为ADL2,生活需要帮助;(40～21)分者为ADL3,生活需要很大帮助;20分及以下者为ADL4,生活完全需要帮助[2]。

1.2.3 急性生理功能和慢性健康疾病状况评估系统2(APACHEⅡ)[3]:

用来测量病人严重程度。主要包括急性生理评分(APS)、年龄评分和慢性健康评分(CPS)。疾病严重程度1级(病情较轻,(

1.2.4 自行设计的“病人基本护理需求与直接护理时间观测表”

将病人的基本护理需求分为生命体征、饮食与排泄、清洁、活动、给药等10项内容。根据临床实际,依照直接护理的定义,即任何需要直接与病人接触或需病人在场方能进行的操作[4],将这10项基本护理需求所涉及的直接护理操作项目列出,设计出直接护理项目表,并由7位临床护理专家进行评价修改一致后形成包括68项的“病人直接护理项目表”。

1.3 研究方法

采用观察法记录和测量病人直接护理需求的项目、频次及所需的时间。测算前1天观察员评估病人的Barthel指数和APACHEⅡ的分值,然后根据患者的各项得分对患者进行分类,分类方法是综合ADL和疾病严重程度两项的评估等级,如一患者的ADL等级为ADL2级,疾病严重程度为1级,那么分类就属于21这一类,依此类推。接着根据分类情况抽取患者,采用方便抽样的方法每类患者抽取(2～3)名患者,并预测病人在未来24小时内需要的直接护理项目及此项目将发生的最少频次。计时员于第2天早7时40分到达指定病房,了解患者病情及护理需求,于早8点正式开始计时。计时采用秒表计时,计时方法为从护士进入病房与病人开始交流时开始,到完成直接护理操作离开病房时终止。所有的直接护理操作均由注册护士完成。在实际测量中新产生的直接护理项目和需求也一并测算并记录。最后,每一科室总患者直接护理时间的计算为每类患者直接护理时间的总和,全院的直接护理总时间为各科室总直接护理时间的相加。

计时员为大专以上的30名护理实习学员,在临床实习均在8个月以上;观察员为各临床科室工作5年以上的护师,在研究开始前统一对计时员和观察员进行了培训,使其了解研究目的与方法,明确各自职责和任务,掌握各特殊情况的处理原则与方法。

1.4 统计方法

应用SPSS13.0统计软件包进行数据统计与处理,方法采用描述性分析、方差分析、t检验和多元回归分析。

2 结果

2.1 不同ADL等级和疾病严重程度病人的直接护理时间

在优质护理服务规范要求下,我院住院患者24h直接护理时间平均需求为(125.58±43.44)分钟,内科患者直接护理时间为(116.78±31.23)分钟,外科患者直接护理时间为(132.11±33.27)分钟,两者差异具有统计学意义(t=4.54,P<0.001)。单因素方差分析结果显示,不同ADL等级和不同疾病严重程度病人24h所需直接护理时间差异具有统计学意义(P<0.05)见表1。

2.2 各护理等级病人直接护理时间

一级护理直接护理时间为(148.16±18.79)分钟,二级护理直接护理时间为(104.97±14.58)分钟,三级护理直接护理时间为(70.94±10.65)分钟。单因素方差分析结果显示,不同护理等级病人24h所需直接护理时间差异具有统计学意义(f=8.608,P=0.004)。不同科室同一护理等级病人24h所需直接护理时间比较见表2。

2.3 直接护理时间的多元回归分析

以患者的直接护理时间为因变量,以患者的ADL等级、护理等级、疾病严重程度、住院天数、疾病种类为自变量,进行多元回归分析,方差分析显示回归方程具有统计学意义(F=6.811,P=0.000),其中患者的ADL等级、护理等级、疾病严重程度3个变量进入回归方程,见表3。

由表3可知,患者24h的直接护理时间与ADL等级、疾病严重程度呈正相关,与护理等级呈负相关。回归方程模型评价,决定系数R2=0.391,说明ADL、疾病严重程度、护理等级能解释患者直接护理时间总变量的39.1%。

3 讨论

3.1 患者直接护理时间需求

卫生部在启动“优质护理服务示范工程”活动之后,先后下发了《综合医院分级护理指导原则(试行)》、《住院患者基础护理服务项目(试行)》、《基础护理服务工作规范》和《常用临床护理技术服务规范》等,明确了活动的标准和要求。我院根据这些规范和要求,针对患者的ADL等级和疾病严重程度对患者的直接护理需求进行预测,然后对直接护理时间进行测量。我院测得患者直接护理时间平均需求为(125.58±43.44)分钟,较林菊英[5]1980年对7所医院护理工时测定所测得的时间20分钟呈成倍增加;与王雪莲[6]等测得平均每位患者直接护理时间48分钟相比,也有显著差异;较李金娜[7]等所测得整体护理病区患者直接护理时间88.4分钟也有明显增加。患者直接护理时间的增加与“优质护理服务示范工程”活动的开展有关,也最终体现了卫生部开展此次活动的目的“夯实基础护理,提高护理质量;把时间还给护士,把护士还给病人”。

3.2 不同病种、ADL等级、疾病严重程度和护理等级直接护理时间

本研究表明,不同科室患者直接护理时间比较有显著差异(t=4.54,P<0.001),说明病种不同,患者直接护理时间不同。李亚洁[8]等测得ADL1-3级患者24h直接护理时间分别为(14.04、21.09、29.16)分钟;王雪莲[6]等测得ADL1-4级患者24h直接护理时间分别为(28、62、73、101)分钟;本次研究测得ADL1-4级患者24h直接护理时间分别为(74.34、94.53、128.79、207.72)分钟。相比之下,本研究所测得时间要多,根本原因在于优质护理服务的标准和要求,要求把护士还给病人,以往可能由护工或者家属完成的生活护理,现在均由护士执行,使得由护士完成的直接护理时间增多。本研究证明,不同ADL等级、疾病严重程度和护理等级直接护理时间有差异(P<0.05),与王雪莲[6]等研究结果一致,与蔡虻[9]等研究结果相符。本研究还证明,内外科同一护理等级病人24h直接护理时间不同,有显著差异(P<0.05),与李亚洁[8]等研究结果不一致,与周素鲜[10]研究结果一致。究其原因,一部分是因为医师对分级护理的知识了解不够,据王淑琴等[11]研究显示:医师对分级护理依据完全了解者为20.63%,部分了解者为79.37%。另一个原因可能因为临床护士短缺,护士忙于完成治疗,不能满足患者个性化护理需求。

3.3 患者直接护理时间影响因素分析

刘华平[12]和肖凌凤[13]等发现,同一护理操作所需时间在不同专科间存在显著差异。O’Brien-Pllas等[14]的研究也证实,患者疾病分类解释了19%的护理工作强度的差异。本研究也证实了内外科患者直接护理时间有显著差异,可见,疾病种类是影响直接护理时间的一个因素。有研究显示[9],病人24h所需的直接护理时间与ADL呈负相关,与疾病严重程度呈正相关。本研究证明,病人24h所需的直接护理时间与ADL等级、疾病严重程度呈正相关,与护理等级呈负相关。此结果与前一研究结果似乎相反,其实不然。因为前一研究结果直接护理时间与ADL呈负相关,ADL指的是ADL评估的得分,而本研究得出的结果直接护理时间与ADL等级呈正相关,ADL指的是ADL评分后所归属的类别,其两结果的实质是一致的。李亚洁[8]研究显示,直接护理时间与护理等级关系不确切,本研究分析表明,直接护理时间与护理等级呈负相关,表明护理等级越高,病人直接护理时间越少。

患者直接护理时间除了受到患者疾病种类、疾病严重程度、自理能力以及护理等级因素的影响外,还受到护士因素的影响,如护士的操作熟练程度、护士的知识结构与工作能力等均会影响到患者的直接护理时间。

3.4 对优质护理服务的启示

直接证明与间接证明 篇3

综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.

1. 综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法.

用[P]表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，[Q]表示所要证明的结论，则综合法可表示为：

[[P⇒Q1]→[Q1⇒Q2]→[Q2⇒Q3]→…→[Qn⇒Q]]

说明 （1）综合法格式：从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出待证的结论. 它的常见书面表达形式为“因为……，所以……”或“[⇒]”.

（2）综合法是“由因导果”，此法的特点是表述简单，条理清晰.

（3）在解决数学问题时，往往先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把题目中隐含的条件明确地表示出来.

例1 设[x、y、z]均为正实数，且[xyzx+y+z][=1]，求证：[x+yy+z2].

分析 本题需先将条件变形，再利用基本不等式证明.

证明 ∵[xyzx+y+z=1]，∴[x+y+z=1xyz].

∴[x+y+zy=1xyz⋅y=1xz].

即[xy+y2+yz=1xz]，

∴[xy+y2+yz+xz=1xz+xz2]，

即[x+yy+z2].

点拨 这个问题有点巧妙，为了应用均值不等式，不仅从已知条件和要证的结论中发现它们内在的联系，而且灵活地添项，使得证明过程格外简洁.

2. 分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.

用[Q]表示要证明的结论，则分析法可表示为：

[[Q⇒P11]→[P1⇒P2]→[P2⇒P3]] →…→得到一个明显成立的条件

说明 （1）分析法的思维特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，逐步推理实际上是寻求它的充分条件. 分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件，因此分析法又叫做逆推证法或执果索因法.

（2）分析法格式：“要证……，只需证……”或“[⇐]”.

例2 已知[ΔABC]的三个内角[A、B、C]成等差数列，记[A、B、C]的对边分别为[a、b、c].求证：[1a+b+1b+c=3a+b+c].

分析 从待证等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证等式出发，分析其成立的充分条件.

证明 要证[1a+b+1b+c=3a+b+c]，

只需证[a+b+ca+b+a+b+cb+c=3]，

即证[ca+b+ab+c=1]，

也就是证[cb+c+aa+b=a+bb+c]，

即证[c2+a2=ac+b2].

∵[ΔABC]的三个内角[A、B、C]成等差数列，

∴[B=60∘].

由余弦定理，有[b2=c2+a2-2cacos60∘]，

即[b2=c2+a2-ca]，亦即[c2+a2=ca+b2].

因为[c2+a2=ca+b2]成立，

所以[1a+b+1b+c=3a+b+c]成立.

点拨 分析法是思考问题的一种基本方法，可以减少分析问题的盲目性，容易明确解决问题的方向.分析法证明的步骤是：未知→需知→已知，在表述中“要证”“只需证”“即证”这些常用词语是不可缺少的.

3. 分析综合法

在解决问题时，我们经常把分析法和综合法结合起来使用. 根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论[Q]；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论[P].若由[P]可以推出[Q]成立，就可以证明结论成立.

用[P]表示已知条件、定义、定理、公理等，用[Q]表示要证明的结论，则上述过程可表示为：

[ [P⇒P1→P1⇒P2→⋯→Pn⇒P]

[⇓]

[Q⇒Q1→Q1⇒Q2→⋯→Qm=Q]]

说明 分析综合法一般有两种方式：一种是先以分析法为主寻求证题思路，再用综合法有条理地表述证题过程.这是因为，就表达过程而言，分析法叙述繁琐，文辞冗长；综合法表述简单，条理清晰.因此，分析法利于思考，综合法宜于表达.另一种是将分析法与综合法结合起来使用，用来证明某些更复杂的问题.

例3 设[a、b、c]均为大于1的实数，且[ab=10]，求证：[logac+logbc4lgc].

证明 要证[logac+logbc4lgc]，

只需证[lgclga+lgclgb4lgc]，

又[c>1]，∴[lgc>0].

∴只需证[1lga+1lgb4]，

即证[lga+lgblgalgb4].

又∵[ab=10]，∴[lga+lgb=1].

∴只需证[1lgalgb4].

又∵[a>1]，[b>1]，∴[lga>0]，[lgb>0].

∴[0

∴[1lgalgb4].

因为[1lgalgb4]成立，所以原不等式成立.

点拨 粗略一看，这里好像纯粹是分析法，其实不然，中间还同时使用了综合法. 一般地，证题时每一步到底使用何种方法没有明确的规定，主要是看证题的需要，有时是综合中带分析，有时是分析中带综合，或者综合与分析相互渗透.

例4 在两个正数[x]、[y]之间插入一个实数[a]，使[x]、[a]、[y]成等差数列，插入两个实数[b]、[c]，使[x]、[b]、[c]、[y]成等比数列.求证：[a+12b+1c+1].

分析 本题主要考查联合运用分析法和综合法来证明问题.解题的关键是同时从已知条件与结论出发，寻求其间的联系.

证明 由条件得，[2a=x+y,b2=cx,c2=by.]消去[x]、[y]，

即得[2a=b2c+c2b]且有[a>0,b>0,c>0].

要证[a+12b+1c+1]，

只需证[a+1b+1c+1]，

又[b+1+c+12b+1c+1]，

∴只需证[a+1b+1+c+12]，

即证[2ab+c].

而[2a=b2c+c2b]，只需证[b2c+c2bb+c]，

即证[b3+c3=b+cb2+c2-bcb+cbc]，

即证[b-c20].

因为[b-c20]显然成立，

所以[a+12b+1c+1]成立.

点拨 比较复杂的问题要求分析法、综合法交互运用，但表述要自然清晰、简洁明了.本题对数列知识、均值不等式的运用和代数式的恒等变形都进行了深入的考查.

二、间接证明

反证法是间接证明的一种基本方法，是数学家最有力的一件“武器”. 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

说明 （1）用反证法证明命题“若[p]则[q]”的过程如下：肯定条件[p]否定结论[q]→导致逻辑矛盾→“既[p]又[¬q]”为假→“若[p]则[q]”为真.

（2）反证法证明的步骤如下：

①反设：假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真.

nlc202309040930

②归谬：从假设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果.

③存真：由矛盾结果，断定假设不真，从而肯定原结论成立.

（3）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.

（4）宜用反证法证明的题型有：①一些基本命题、基本定理；②易导出与已知矛盾的命题；③“否定性”命题；④“唯一性”命题；⑤“存在性”命题；⑥“至多”“至少”类的命题；⑦涉及“无限”结论的命题等.

例5 若[a、b、c∈0,2]，则[a2-b,b2-c,][c2-a]不可能都大于1.

分析 命题中的结论就是[a2-b>1,][b2-c>1,c2-a>1]不可能同时成立，即至少存在一个式子小于或等于1，显然命题的结论有多种可能性，而结论的否定只有一种情形：[a2-b,b2-c,c2-a]都大于1，所以宜用反证法证明.

证明 假设“[a2-b,b2-c,c2-a]不可能都大于1”不成立，

即[a2-b,b2-c,c2-a]都大于1成立，

即[a2-b>1,b2-c>1,c2-a>1]，

∴[a2-b⋅b2-c⋅c2-a>1].①

∵[a、b、c∈0,2]，

∴[2-b>0,2-c>0,2-a>0].

∴[0

即[0

同理，[0

∴[0

即[0

①与②矛盾，∴假设不成立，

∴原命题成立.

例6 如图，已知平面[α]∩平面[β][=]直线[a]，直线[b⊂α]，直线[c⊂β]，[b⋂a=A]，[c]∥[a].求证：[b]与[c]是异面直线.

分析 直接证明两条直线异面有困难，可考虑用反证法，否定结论“[b]与[c]是异面直线”时有两种情况：[b]与[c]平行或[b]与[c]相交，通过推理与证明，这两种情况都不成立.

证明 假设[b]、[c]不是异面直线，

则[b]∥[c]或[b⋂c=B].

（1）若[b]∥[c]，∵[a]∥[c]，∴[a]∥[b]，与[a⋂b=A]矛盾，∴[b]∥[c]不成立.

（2）若[b⋂c=B]，∵[c⊂β]，∴[B∈β].又[A∈β]，[A]、[B∈b]，∴[b⊂β].

又[b⊂α]，∴[α⋂β=b].又[α⋂β=a]，∴[a]与[b]重合，这与[a⋂b=A]矛盾，∴[b⋂c=B]不成立.

∴[b]与[c]是异面直线.

点拨 本题除了考查反证法，还需熟练应用立体几何的知识，解题时要注意分类讨论，因为[b]、[c]是异面直线的否定有两种情况：平行或相交，故应分别推出矛盾，问题才得以解决.

直接证明(分析法) 篇4

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：基本不等式的形式？

2.讨论：如何证明基本不等式

二、讲授新课：

1.教学例题： ab(a0,b0).2

例1

.练习：求证：当a1

例2．如图，已知AB,CD相交于点O，△ACO≌△BDO,AE=BF,求证：CE=DF.2．练习：

① 设a, b, c是的△ABC三边，S

是三角形的面积，求证：c2a2b24ab.② 已知a0,2ca

b，求证：cac

第2讲 直接证明与间接证明 篇5

【2013年高考会这样考】

1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有高档题．

2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法．

【复习指导】

在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的．

基础梳理

1．直接证明

(1)综合法

①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→„→Qn⇒Q

(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．

(2)分析法

①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→„→

得到一个明显成立的条件.2．间接证明

一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒„⇒t

.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．

一个关系 综合法与分析法的关系

分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基

础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．

两个防范

题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．

证„”“就要证„”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)p＝＋，q＝ma＋nc正数)，则p、q的大小为()．

A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不确定

解析 q＝ ab＋＋cd≥ab＋2abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d均为mn

madabc＝ab＋cd＝p，当且仅当＝ nm

答案 B

2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()．

A．a＞b

C．a＝b

解析 a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，当x＜0时，0＜b＜1.∴a＞b.答案 A

3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()．

A．a，b，c都是奇数

B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

解析 ∵a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确．

答案 D

4．(2012·广州调研)设a、b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()．

A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0D．b＋a＞0

解析 ∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0.答案 D B．a＜b D．a≤b

5．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确．

例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时应分：假设________和________两类．

答案 ∠BAP＝∠CAP ∠BAP＞∠CAP

考向一 综合法的应用

a2b2c2【例1】►设a，b，c＞0，证明：a＋b＋c.bca

[审题视点] 用综合法证明，可考虑运用基本不等式．

证明 ∵a，b，c＞0，根据均值不等式，a2b2c2有＋b≥2a，c≥2b＋a≥2c.bca

a2b2c2三式相加：＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)． bca

当且仅当a＝b＝c时取等号．

a2b2c2即＋a＋b＋c

.bca

综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．

11【训练1】 设a，b为互不相等的正数，且a＋b＝1，证明：＞4.ab

1111ba·证明 (a＋b)＝2＋2＋2＝4.ababab

11又a与b不相等．故＞4.ab

考向二 分析法的应用

a＋mb2≤a＋mb.【例2】►已知m＞0，a，b∈R，求证：1＋m1＋m

[审题视点] 先去分母，合并同类项，化成积式．

证明 ∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，2

2故原不等式得证．

逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．

【训练2】 已知a，b，m都是正数，且a＜b.a＋ma求证：b＋mb

a＋ma证明 要证明，由于a，b，m都是正数，b＋mb

只需证a(b＋m)＜b(a＋m)，只需证am＜bm，由于m＞0，所以，只需证a＜b.已知a＜b，所以原不等式成立．

(说明：本题还可用作差比较法、综合法、反证法)

考向三 反证法的应用

【例3】►已知函数f(x)＝ax＋x－2(a＞1)． x＋

1(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

(2)用反证法证明f(x)＝0没有负根．

[审题视点] 第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x0＜0后，应推导出x0的范围与x0＜0矛盾即可．

证明(1)法一 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0.所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因为x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以

x2－2x1＋1－x1－2x2＋13x2－x1＝0，x2＋1x1＋1x2＋1x1＋1

于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x1－2＞0，x2＋1x1＋1x2－2x1－2－＝x2＋1x1＋1

故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

法二 f′(x)＝axln a＋30，x＋1∴f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

x0－2x0－2(2)假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－又0＜ax0＜1，所以0＜－x0＋1x0＋1

11，即＜x0＜2，与x0＜0(x0≠－1)假设矛盾．故f(x0)＝0没有负根．

当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜

用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．

【训练3】 已知a，b为非零向量，且a，b不平行，求证：向量a＋b与a－b不平行． 证明 假设向量a＋b与a－b平行，即存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)成立，则(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，∵a，b不平行，1－λ＝0，λ＝1，∴得 1＋λ＝0，λ＝－1，

所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立．

规范解答24——怎样用反证法证明问题

【问题研究】 反证法是主要的间接证明方法，其基本特点是反设结论，导出矛盾，当问题从正面证明无法入手时，就可以考虑使用反证法进行证明.在高考中，对反证法的考查往往是在试题中某个重要的步骤进行.【解决方案】 首先反设，且反设必须恰当，然后再推理、得出矛盾，最后肯定.【示例】►(本题满分12分)(2011·安徽)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明l1与l2相交；

(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．

第(1)问采用反证法，第(2)问解l1与l2的交点坐标，代入椭圆方程验证．

[解答示范] 证明(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1＝k2，(2分)

代入k1k2＋2＝0，得k21＋2＝0.(4分)

这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．(6分)

y＝k1x＋1，(2)由方程组 y＝k2x－1，

解得交点P的坐标(x，y)为k＋ky＝k－k.21

212x＝，k2－k1(9分)

22k2＋k12从而2x＋y＝2k－k＋ 21k2－k122

2228＋k22＋k1＋2k1k2k1＋k2＋4＝＝1，k2＋k1－2k1k2k1＋k2＋4

此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．(12分)

用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)

必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．

【试一试】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．

[尝试解答](1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.1又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，2

11所以{an}是首项为1，公比为an＝－.22

直接证明--综合法与分析法 篇6

1.教学目标

1．知识与技能

（1）了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．（2）了解综合法和分析法的思维过程和特点． 2.过程与方法

（1）通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．

（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．

3.情感、态度及价值观

通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．

2.教学重点/难点

重点：综合法和分析法的思维过程及特点。难点：综合法和分析法的应用。

3.教学用具

多媒体、板书

4.标签

教学过程

1．和

是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．

2．综合法是从

出发，经过

，最后达到待证结论．

3．分析法是从

出发，一步一步寻求结论成立的________，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实.答案：综合法分析法 已知条件 逐步的推理 待证结论 充分条件

【复习引入】

【师】证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识。合情推理分为归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法——直接证明与间接证明。今天我们先学习直接证明。

新知探究

一、综合法

1、引例探究

证明下列问题：已知a,b>0,求证： 问题1：其左右两边的结构有什么特点？

【生】右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.问题2：利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与这两个数的积的不等关系？ 【生】基本不等式 问题3：步骤上应该怎么处理？ 【解答过程】 证明 因为：所以因为所以因此

问题4：讨论上述证明形式有什么特点？

【生】充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法的特点

2、形成概念

1.定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.2.思维特点：由因导果，即由知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

3.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)

3、应用举例

例1在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b，c,且A,B,C成等差数列, a, b，c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.【问题启发】

1、本题中涉及到哪几块知识？

2、从这些已知条件，可以得到什么结论？

3、怎样把它们转化为三角形中边角关系？

【分析】本题注意三个问题：首先将文字语言转化为符号语言；同时注意边角关系的转化；同时注意挖掘题中的隐含条件（内角和为）【规范解答】

证明：由 A,B, C成等差数列，有 2B=A + C ．

因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=

．

由①②，得B=.由a, b，c成等比数列，有由余弦定理及③，可得

.再由④，得，因此...从而A=C.由②③⑤，得 A=B=C=

所以△ABC为等边三角形． 【小结】综合法的证明步骤如下：

(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；

(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．

二、分析法

1、引例探究 证明下列问题：求证:

问题1：讨论：能用综合法证明吗？ 【生】不好处理

问题2：如果从结论出发，是否能寻找结论成立的充分条件？ 【生】可以

问题3：步骤上应该怎么处理？ 【解答过程】 证明：因为所以要证只需证展开得 只需证 只需证因为 显然成立

都是正数，所以

问题4：讨论上述证明形式有什么特点？

【生】（让充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法的特点。）

【师】在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。此时我们就可采用分析法。

2、形成概念

1.定义：一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法。

2.思维特点：执果索因,步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法。

3.框图表示：(用Q表示要证明的结论,Pn表示充分条件)

4.分析法的书写格式：

3、应用举例 例2在锐角【问题启发】

1、有直接可以化简的公式吗？ 中,求证:

2、可以运用什么思想处理正切？（切弦互化）

3、最终可以用哪个公式来处理此题？

【分析】本题中如果只站在切的角度很难处理，所以我们用到了切化弦，毕竟弦的公式涉及的也多一些，我们平常也跟熟悉一些。然后运用分析法结合我们所需要证的目标来达成。【规范解答】 证明:要证明只需证

为钝角

恒成立

因为A、B为锐角,所以只需证只需证因为C为锐角,所以所以【小结】分析法要注意怎样处理好书写的格式，一般是从结论入手“要证—只需证—而某某结论显然成立”这种格式。

三、综合法与分析法的综合应用

【师】问题1：请同学们总结一下综合法的特点？ 【生】

1、综合法证明是证明题中常用的方法。从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论。

2、综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等。还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来。

3、综合法可用于证明与函数、三角、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题。

【师】问题2：请同学们总结一下分析法的特点？ 【生】

1、分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知p1p2，直到所有的已知P都成立；

2、分析证明题时要同样注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等。

3、分析法也常用于证明与函数、三角、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题

【师】问题3：请同学们思考如果既要对一个题目做到既要好分析，又要好写步骤应该怎样处理？ 【生】比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（可以用在草纸用分析法，在卷面上用综合法）例3.已知

【小结】 用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：

课堂小结

1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.课后习题 1．下列表述：

①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正确的语句有

()A．2个

B．3个C．4个

D．5个

直接证明--综合法与分析法 篇7

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）Ａ．充分条件

Ｂ．必要条件

Ｃ．充要条件Ｄ．等价条件

2．下列给出一个分析法的片断：欲证θ成立只需证P1成立，欲证P1成立只需证P2成立，则P2是θ的一个（）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件

4． 3.设a，b，c，d，m，nR，P

Q）Ａ．P≥QＢ．P≤Q

Ｃ．PQ

Ｄ．PQ

x

4.已知函数f(x)12，a，bRfab

，A2，Bf，Cfab

ab，则A，B，C的大小关系（）

Ａ．A≤B≤CＢ．A≤C≤B

Ｃ．B≤C≤A

Ｄ．C≤B≤A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．写出用三段论证明f(x)x3sinx(xR)为奇函数的步骤是．

6．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为．

三、解答题(共70分)

7.（15分）设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a

3＋b3

＞a

2bab2

8.（20

分）设

32x2，求证：2x12x33x8

9．(20分)设a,b,c为任意三角形边长，Iabc,Sabbcca，试证：3SI

4S

10.（15分）在△ABC

(abc)(abc)3ab2

中，已知，且

Ac．判断B△ABC的形状．C

2.2直接证明与间接证明答题纸

得分：

一、选择题

二、填空题 5．6．

三、解答题 7.8.9.10.2.2直接证明与间接证明答案

一、选择题

1.A

2.A解析：∵欲证θ成立只需证P1成立，∴P1⇒θ.∵欲证P1成立只需证P2成立，∴P2⇒P1，∴P2⇒θ.∴P2是θ的一个充分条件.3.B 4.A

二、填空题

5.满足f(x)f(x)的函数是奇函数，大前提

f(x)(x)3sin(x)x3sinx(x3sinx)f(x)，小前提

所以f(x)x3sinx是奇函数．结论

6.三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心

三、计算题

7.解：证明一：(分析法)

要证a+b＞abab成立，只需证(a+b)(a-ab+b)＞ab(a+b)成立，即需证a-ab+b＞ab成立。(∵a+b＞0)只需证a-2ab+b＞0成立，即需证ab＞0成立。

3322

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以ab＞0显然成立，由此命题得证。

证明二：(综合法)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴ab＞0，即a-2ab+b＞0

亦即a-ab+b＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a-ab+b)＞(a+b)ab即a+b＞abab，由此命题得证。

abab222)8．证明：由于a,bR时，(，得ab2(ab)223

那么，2x33x2(2x3153x)242x

2x1242x2(4x4242x)2x228

上述第一个不等式中等号成立的条件为：2x3153xx185[32,2] 故原不等式成立。

9.证明：由于I2

(abc)2a2b2c22ab2bc2caa2b2c22S

欲证3SI

4S，只需3Sa2b2c22S4S，只需证Sa2

b2

c2

2S，即abbccaa2

b2

c2

2ab2bc2ca； 只需证a2

b2

c2

abbcca且a2

b2

c2

2ab2bc2ca； 先看

a2b2c2abbcca，只需证2a22b22c22ab2bc2ca(ab)2(bc)2(ca)20，显然，此式成立，再看a2

b2

c2

2ab2bc2ca，只需证a2

abacb2

abbcc2

bcca0； 只需证a(abc)b(bac)c(cba)0；

只需证abc且bca且cab，由于a,b,c为三角形边长，显然，结论成立； 故3SI

24S

10.解：∵ABC180°，∴sinCsin(AB)． 又2cosAsinBsinC，∴2cosAsinBsinAcosBcosAsinB，∴sin(AB)0．

又A与B均为△ABC的内角，∴AB． 又由(abc)(abc)3ab，得(ab)2c23ab，a2b2c2ab，又由余弦定理c2a2b22abcosC，得a2b2c22abcosC，∴2abcosCab，cosC，∴C60°． 又∵AB，∴△ABC为等边三角形．

直接证明--综合法与分析法 篇8

一、选择题：

1．用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（）

Ａ．将结论与条件同时否定，推出矛盾Ｂ．肯定条件，否定结论，推出矛盾

Ｃ．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用 Ｄ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件 2．下列表述正确的是()

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．

13．对a、b∈(0，＋∞)，a＋b≥2ab(大前提)，x＋2x(小前提)，所以x＋2(结论)．以上

xxx

推理过程中的错误为()

A．大前提B．小前提C．结论D．无错误

4.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09和字母AF共16个计数符号，例如，用十六进制表示,则（）A．6EB．72C．5FD．B0

5．已知m1，ab，则以下结论正确的是（）Ａ．ab

Ｂ．ab

Ｃ．ab

Ｄ．a，b大小不定

)，观察下列几个式子：x6．已知x(0，∞x

a

≥n1(nN)，则a是（）nx

n

14xx

4≥2，x22≥3，…，类比有xx22x

Ａ．nＢ．NＣ．n

1Ｄ．n1

7．如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2008次跳后它将停在的点是()

A．1B．2C．3D．4

二、填空题

8．若三角形内切圆的半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积等于Sr(abc)，根据类

2比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R，四个面的面积分别是S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V．

tan20tan20tan60tan60tan101； 9．观察：①tan10

tan10tan10tan75tan75tan51．②tan5由此猜出一个一般式为

10．定义集合A，B的运算：A⊗B＝{x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，则A⊗B⊗A＝____________.x111．方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝且x1＝1000，xn＋1＝1a(x＋2)fxn

(n∈N*)，则x2011＝________.12.如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，...，4无名指，5小指，6无名指，一直数到2008时，对应的指头是(填

指头的名称).三、解答题

13．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．

.14．设a,b,c都是正数，求证

3315．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.通过观察上述两等式的规律，22

请你写出一般性的命题，并给出证明．

16．ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：111111。2a2b2cabbcca113abbcabc

直接证明--综合法与分析法 篇9

13.3 直接证明与间接证明

一、选择题

1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理()

A 小前提错B 结论错

C 正确D 大前提错

解析 大前提，小前提都正确，推理正确，故选C.答案 C

2．在用反证法证明命题“已知a、b、c∈(0,2)，求证a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)不可能都大于1”时，反证时假设正确的是()

A．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都小于

1B．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大于

1C．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都不大于

1D．以上都不对

解析 “不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.答案 B

3．下列命题中的假命题是()．

A．三角形中至少有一个内角不小于60°

B．四面体的三组对棱都是异面直线

C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点

D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数

解析 a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误． 答案 D

4．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()．

A．不成立B．成立C．不能断定D．能断定 解析 ∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．

又∵an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列．

答案 B

1115．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋b＋c＋)． bca

A．都大于2B．都小于

2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2 解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，11111a＋b＋c＋a＋b＋＋＋＝＋＋ ∴bcaab

1c＋≥6，c

当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案 D

6．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()

A．a＞b

C．a＝bB．a＜bD．a≤b

解析 ∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案 A

7．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝()．

A．nB．n＋1C．n－1D．n2

解析 由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝„＝n.答案 A

二、填空题

8.用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为.解析 由反证法的定义可知，否定结论，即“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”.答案 a、b都不能被3整除

9．要证明“3＋7＜25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)．

①反证法，②分析法，③综合法．

答案 ②

10．设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)

12解析 若a＝b＝a＋b>1，2

3但a<1，b<1，故①推不出；

若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；

若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；

若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；

对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案 ③

11．如果aa＋bb＞b＋a，则a、b应满足的条件是________． 解析 首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.要使aa＋bb＞b＋a，只需(aa＋bb)2＞(ab＋ba)2，即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.答案 a≥0，b≥0且a≠b

12．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：

①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；

②a>b与a

③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．

其中判断正确的是_______．

解析①②正确；③中a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.选C.答案 ①②

三、解答题

13．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，113a＋bb＋ca＋b＋c试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．

解析 A、B、C成等差数列．

证明如下：

∵

∴

∴113＋＝，a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c＋＝3.a＋bb＋cc

a＋bb＋c＋a＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得

a2＋c2－b2ac1cosB＝ 2ac2ac

2∵0°

|a|＋|b|14．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：2.|a＋b|证明 a⊥b⇔a·b＝0，|a|＋|b|要证2.|a＋b|只需证|a|＋|b2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．

15．若a、b、c是不全相等的正数，求证：

lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c.证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b2ab＞0，b＋c2≥bc＞0，a＋c2ab＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立．

∴a＋bb＋cc＋a2·2·2＞abc成立．

上式两边同时取常用对数，a＋bb＋cc＋a＞lg(abc)，得lg222

∴lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c.16．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.1(1)证明：是f(x)＝0的一个根； a

a1(2)试比较与c的大小；

(3)证明：－2＜b＜－1.解析(1)证明 ∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，c11又x1x2＝x2＝≠c，aaa

1∴是f(x)＝0的一个根． a

11(2)假设＜c，又＞0，aa

由0＜x＜c时，f(x)＞0，111知f＞0与f＝0矛盾，∴c，aaa

11又∵≠c，∴＞c.aa

(3)证明 由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a＞0，c＞0，∴b＜－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为

bx1＋x2x2＋x21x＝－＝＜＝x2＝ 2a22a

b1即－＜.又a＞0，2aa

直接证明--综合法与分析法 篇10

1.比较法、分析法、综合法证明不等式

“比较法”、“分析法”、“综合法”是不等式的证明最基本的三种方法，是高考考查的重要思维方法，虽然证明不等式的方法灵活多样，但都是围绕这三种基本方法展开。

一.比较法（作差比较或作商比较）

1）作差比较法：要证不等式abab，只需证ab0ab0即可。其步骤为：作差、变形、判断符号（正或负）、得出结论。

2）作商比较法：若b0，要证不等式ab，只需证

作商、变形、判断与1的大小、得出结论。

222222例1.设abc，求证：bccaabbccaab aa1，欲证ab，需证1。其步骤为：bb

证：bc2ca2ab2b2cc2aa2bcba2b2c2abc2b2c 

cb[a2bcabc] cbabac

abc,cb0,ab0,ac0，故cbabac0，即bccaabbccaab 22222

2【评注】用比较法证明不等式的关键是变形，变形的目的为了第三步判断服务，作差变形的方向主要是因式分解和配方。作商比较法在证明幂、指数不等式中经常用到，同时应注意作商法时除式的正负。

二.分析法

从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为判断这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件已具备，那么就可以断定所证不等式成立。

2ab例2．已知ab0，求证：8aab abab28b

222ab证：要证8aab abab28b

2ab只需证8aab

222ab，8b

ab0，只需证ab

22aa2ab

22b，即ab

2a1a2 欲证ab

2a1，只需证a2a，即a显然成立。

欲证ab

22a1，只需证a2，即ba显然成立。a2ab1成立，且以上各步都可逆，故原不等式成立。

【评注】分析法是“执果索因”，重在对命题成立条件的探索，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件。叙述虽繁锁，但也要注意书写的严谨规范，“要证”、“只需证”这样的连接关键词不可缺少。

三.综合法

它是一种“由因执果”的证明方法，即从一个已知或已证明的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推出欲证的不等式。

例3.若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg

证：要证lgabbccalglglgalgblgc 222abbccalglglgalgblgc成立 22

2即证lgabbccalgabc成立。222

abbccaabc成立。222只需证

abbccaab0,0,ca0，222

abbccaabc0成立（*）222

又a,b,c是不全相等的正数，（*）式等号不成立，原不等式成立。

【评注】综合法实质上是分析法的逆过程，在实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即用分析法分析，用综合法书写。也可证明过程中即使用分析法，又结合综合法来证明不等式成立。

2.换元法证明不等式

换元法是指对结构比较复杂、量与量之间关系不太直观的命题，通过恰当引入新的变量，来代换原命题中的部分式子，通过代换达到减元的目的，以达到简化结构、便于研究的形式。换元法在不等式的证明中应用广泛，常采用的方法有：（1）三角换元法、（2）均值换元法、（3）几何换元法及（4）增量换元法。

一.三角换元法：

把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决。

2222例1.已知a，bR，且ab1，求证：a2abb

2证明：设arcos，brsin，其中r1，0，2

2222222则a2abbrcos2rsincosrsin 

r2cos2r2sin2

2rsin2242

a22abb22，原不等式得证。

2.均值换元法：

使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。

例2.已知a，bR且ab1，求证：a2b22225 2

证明：因为a，bR且ab1，所以设a

211t，bt(tR)222

则：a2b22211t2t2 22

2255tt22

25252t222

即abb2

3.几何换元法：

在△ABC中，ABc，BCa，CAb，内切圆交AB、BC、CA分别于D、E、F，如图，则可设axy，byz，czx，其中x0，y0，z0。几何换元法能达到利用等式反映出三角形任意两边之和大于第三边的不等关系的功效。2225，原不等式得证。2

例3.设a，b，c为三角形三边，求证：abc3 bcaacbabc证明：设axy，byz，czx，其中x，y，z0

则abcxyyzzx bcaacbabc2z2x2y

1xzyzyx 2zxxyxy

1xzyzyx2223 2zyxyzx

原不等式得证。

4.增量换元法：

若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一个变量。例4.已知a2，b2，求证：abab

证明：设a2m，b2n，显然m0，n0

则abab2m2n2m2n

4mn42m2nmn mnmn0

直接证明--综合法与分析法 篇11

1．已知复数z满足z34i，则数z在复平面内对应的点位于()

A．第一象限

2.若集合P

A．Q

3．复数B．第二象限C．第三象限D．第四象限 x|x4，Qx|x24，则（）PB．PQC．PCRQD．QCRP 5的共轭复数是（）34i

34A．34iB．i 5

54．“x2”是“x24x40”的()C．34iD．34i 55

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5.由平面内性质类比出空间几何的下列命题，你认为正确的是（）。

①过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直。

A．①B．①②C。①②③D．②③

6．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是（）

A．原命题真，逆命题假

C．原命题与逆命题均为真命题

2B．原命题假，逆命题真 D．原命题与逆命题均为假命题 7.复数(aa2)(a1)i(aR)）

A.a0B.a2C.a1且a2D.a

18．已知条件p:x2，条件q:5x6x2，则p是q的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

9.下面几种推理是类比推理的是（）

A.两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则 AB180.B.由平面向量的运算性质，推测空间向量的运算性质.C.某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员.D.一切偶数都能被2整除，210．已知数列

有sn1sn100100是偶数，所以2能被2整除.an的各项均为自然数，a11且它的前n项和为sn，若对所有的正整数n，(sn1sn)2成立，通过计算a2,a3,a4然后归纳出sn=（）

(n1)22n1n(n1)2n1A．B．C．D2222

11.实数x、y满足(1i)x(1i)y2，则xy的值是

12.已知全集UR，集合Ax|x22x30，Bx|2x4，那么集合(CUA)B=

13．设z32i，复数z和在复平面内对应点分别为A、B,O为原点，则AOB的面积为

14．若关于x的不等式ax26xa20的解集是(1,m)，则m

15．已知集合Axxa1，Bxx25x40，若AB，则实数a的取值范围是

16．把正整数按下面的数阵排列，2

3456

78910

111213141

5„„„„„„

则第20行的最后一个数字为

17．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且

18.已知a＞0，设命题p：函数ya在R上单调递增；命题q：不等式ax

对xR恒成立。若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围。(0,4)

19.已知函数x22xyilog2x8(1log2y)i，求z． ax1＞0f(x)A,函数g(x)lg[x2(2a1)xa2a]的定义域集合是B.（1）求集合A、B;（2）若AB=B,求实数a的取值范围．

9.已知直线a，b，平面，且b，那么“a//b”是“a//α”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

1、如图所示，U是全集，A,B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（）

A、ABB、ABC、B

2.使不等式x

A2CUAD、ACUB C3x0成立的必要不充分条件是（）B0x30x4 0x2 D

x0，或x

310．在ABC中，若ACBC,ACb,BCa，则

ABC的外接圆半径

r，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体若SA则四面体SABC的SABC中，、SB、SC两两互相垂直，SAa,SBb,SCc，外接球半径R

A

B

已知集合C

D

Ax|x1，Bx|xa，且ABR，则实数a的取值范围是

_______________

1.给定两个命题 P：对任意实数x都有ax2ax10恒成立；Q：关于x的方程x2xa0有实数根.如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．

已知sin与cos的等差中项是sinx，等比中项是siny.（1）试用综合法证明：2cos2xcos2y；

1tan2x1tan2y(kZ)，试用分析法证明：（2）若x,yk.21tan2x2(1tan2y)

设命题P：关于x的不等式a

2x2ax2a2>1(a>0且a≠1)为{x|-a

如果P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围

解：简解：P：01/2;P、Q中有且仅有一个为真∴0

19.已知Ax|xa|4，Bx|x2|3.（I）若a1，求AB；