非平稳性

非平稳性（共7篇）

非平稳性 篇1

1 时频分析方法

1.1 短时傅里叶变换

利用傅里叶变换方法将信号变换到频域,其频域表达可反映信号的全部信息,而且信号的时域表达可以应用傅里叶反变换来实现。相应的能量分布表示为信号傅里叶变换的模平方X(ω)2,又称为功率谱。如图1 所示,信号x(t)是由三个不同频率的正弦波组成,由图可知,从傅里叶功率谱中,可以明显看出信号中的3 个不同的频率值。但傅里叶功率谱仅表达出3 个不同频率的能量分布,对局域性的信号特征缺乏描述。

所谓短时傅里叶变换,即通过在时间轴上连续滑动窗口,可得到一个时频分布。但由于短时傅里叶变换需假设分析测试的数据是分段平稳的,本身这个假设就难以佐证。

其定义为:

其中s(t)为待分析信号,g(t-τ)为滑动时间窗。滑动时间窗的长窄决定了频率分辨率和时间分辨率的高低,这种矛盾就导致短时傅里叶变换的应用受限,该方法多用来定性分析语音模型。

1.2 小波变换

小波分析的本质是窗口可调的傅里叶分析,定义如下:

其中 Ψ*(·)为基本小波函数;a为伸缩因子,b为平移因子,1/a变量为频率值。式(1)的物理解释即:在t=b时间尺度a上的“能量”。

小波变换与短时傅里叶变换适用单一的分析窗不同,小波变换在高频处使用短窗函数,在低频处使用长窗函数。虽然小波变换无自适应性,不过小波分析仍是最好的非平稳数据分析方法。

在信号处理中,信号的时频分布,即用二次型的时频表示来描述信号的能量密度分布,典型的是Wigner-Ville分布。但这些变换的本质还是以傅里叶变换为基础,不能从根本上克服傅里叶变换的弊端。

2 Hilbert变换及Hilbert谱

Hilbert变换定义要求实信号的复信号表达具有数学物理意义,即对于表达一个信号来讲,瞬时频率、瞬时相位瞬时幅值、信号的瞬时量等参量,用来表达或描述非平稳信息至关重要。

2.1 Hilbert变换

通常,Hilbert变换的定义以下式给出:

其中,P为广义积分的Cauchy主值,由(2)、(3)两式可写出下如下极限形式:

此外,Hilbert变换也可以写成卷积的形式:

x(t)与y(t)构成一个Hilbert变换对:,其中y(t)为x(t)的Hilbert变换,而x(t)为y(t)的Hilbert逆变换,

2.2 Hilbert谱

反映一个实信号x(t)的Hilbert谱,首先求出x(t)的Hilbert变换,然后以极坐标的形式构造出x(t)的解析信号:

根据上式(4)可得到x(t)的瞬时幅值、相位及频率:

故可以将原始信号表示成如下形式:

根据上式(6),信号x(t)表示在联合的时间—频率平面上将瞬时幅值a(t) 的轮廓反应在一个三维图内。信号x(t)的这种时频表示即为其Hilbert谱,H(t,ω),其定义为:

其中,a(t)与 ωi(t)分别由上式(5)得到。

若基于Hilbert变换定义的瞬时频率具备明确的物理意义,信号x(t)必须满足一定的限制条件。

3 算例分析

以一个“单分量”信号为例,该信号具有明确解析表达式,应用Morlet小波分析、Fourier谱分析、Hilbert谱和基于Hilbert变换的瞬时频率的物理意义进行验证对比研究。

假定一个余弦信号,在5.0s前的信号频率是3.0Hz,在5.0s处该信号频率陡变为1.6Hz,其解析表达式为:

其中,f1=3.0Hz,f2=1.6Hz。

如图2 所示为信号的时域波形,图3 的Hilbert谱清晰准确地反应突变前后的频率以及频率突变的时刻节点,其Hilbert谱将原始信息直观的反应在时频平面内。而图4 中的Morlet小波谱与Hilbert谱对比,小波谱的泄漏现象明显,这就导致小波谱低估真实频率处的能量。

4 结语

综上所述,Fourier谱分析很难直观反映非平稳信号的时变特征,常用于处理平稳信号。小波分析的结果受到选择的小波基和尺度影响,虽然有能量泄漏和明显的Gibbs现象,但小波分析仍不失为有效的处理非平稳数据的方式之一。Hilbert谱分析的对比小波谱有更高的时频分辨率,而且对比小波谱来说,Hilbert谱中的频率误差可弱化处理。

参考文献

[1]葛哲学,陈仲生.Matlab时频分析技术及其应用[M].北京:人民邮电出版社,2006.

[2]王文圣,丁晶,李跃清.水文小波分析[M].北京:化学工业出版社,2005.

[3]张志涌.精通MATLAB6.5[M].北京:北京航空航天大学出版社,2003.

[4]徐春光.非平稳信号的时频分析与处理方法研究[D].西安:西安电子科技大学,1999.

[5]于德介,程军圣,杨宇.Hilbert能量谱及其在齿轮故障诊断中的应用[J].湖南大学学报:自然科学版,2003(4):47-50.

干摩擦振子的非平稳随机响应分析 篇2

干摩擦结构对机械设备和建筑系统振动特性的影响不可忽视。一方面, 干摩擦结构在工程中常用于减振抗震, 如汽轮机叶片摩擦耗能减振、建筑物摩擦抗震等;另一方面, 机械结构中的干摩擦常会引起设备的异常振动。因此, 人们对随机激励作用下干摩擦系统的动力学特性开展了大量研究。

白鸿柏等[1]考虑干摩擦元件的立方非线性因素给出了计算随机激励下干摩擦振动系统响应的KrylovBogoliubov方法, 并分析了立方非线性因素对响应特性的影响。戎海武等[2]基于Krylov-Bogoliubov平均法得到了窄带随机噪声参数激励下干摩擦系统的随机微分方程, 利用线性化和矩阵方法给出了系统稳态矩阵的近似计算公式, 并研究了参数对系统响应的影响。卢耘耘[3]采用本征函数展开法求解地震激励下摩擦滑动问题, 得到了精确的非平稳反应解析解。本文针对随机激励作用下单自由度干摩擦振动系统的振动响应特性, 应用虚拟激励法和Newmark-LCP非光滑数值算法进行数值仿真研究, 分析了干摩擦阻尼对随机响应的影响。

2 随机激励下干摩擦振子动力学方程

受随机力作用的单自由度干摩擦振子如图1所示。振子质量为m, 弹簧刚度为k, 粘性阻尼为c。

干摩擦振子受到的非平稳随机激励的加速度如下式:

其中xr (t) 是平稳高斯过滤白噪声随机过程, 其自谱密度为

式中, ωr为随机激励卓越频率, ζr为等效运动阻尼。

随机激励作用下干摩擦振子的动力学方程为

应用Newmark-线性互补方法[7]求解上式, 就可以得到干摩擦振子的响应。求解时基本参数为:m=1kg, k=1×104N/m, c=500N·s/m, ωr=18.85rad/s, ζr=0.65, t1=3s, t2=13s, cr=0.26。白噪声频率覆盖范围ωr∈[0, 400]rad/s, 计算频率间隔为Δω=0.1rad/s。对于每一个ω, 计算时间为[0, 30]s, 时间步长为Δt=1.5×10-3s。摩擦力遵守集值库仑定律, 并规定最大静摩擦力等于滑动摩擦力, 摩擦系数μ=0.1。

3 仿真结果及分析

图2给出了非平稳随机激励下单自由度干摩擦振子的位移和速度响应曲线, 图中不同的曲线表示不同压紧力情况下的响应曲线。可以看出, 随着摩擦力增大, 位移响应幅值明显减小, 振动相位延迟。

从速度响应曲线可以看出, 当压紧力大小不同时, 滑动阶段开始的时间点不同。压紧力增大会导致粘着时间增长, 压紧力为0.4N时的粘着时间 (tb-ta) 小于压紧力为0.8N时的粘着时间 (tc-ta) 。但滑动阶段结束的时间点却是一致的 (td) 。td与ta一样, 均为粘着阶段的开始点。

4 结论

在干摩擦力的作用下, 振子的随机响应中会出现“粘滑”现象。随着摩擦力增加, 振子响应幅值和时变方差都减小, 并且在较宽的频率范围内, 干摩擦都能抑制振子的随机响应。因此, 在实际机械设备和建筑结构中, 可以采用干摩擦阻尼器对风载、地震等随机激励引起的振动进行控制。

参考文献

[1]白鸿柏, 张培林, 黄协清.干摩擦振动系统随机激励响应的Krylov_Bogoliubov计算方法[J].振动与冲击, 2000, 19 (2) :83-85.

[2]戎海武, 王向东, 徐伟, 等.窄带随机噪声作用下单自由度非线性干摩擦系统的响应[J].物理学报, 2009, 58 (11) :7558-7564.

[3]卢耘耘.地震激励下摩擦滑动问题的精确解[J].振动与冲击, 1987, 6 (4) :45-53.

[4]欧进萍, 王光远.结构随机振动[M].北京:高等教育出版社, 1998:122-129.

[5]林家浩, 张亚辉.随机振动的虚拟激励法[M].北京:科学出版社, 2004:60-76.

[6]赵岩, 林家浩, 曹建华.转子系统的平稳/非平稳随机地震响应分析[J].计算力学学报, 2002, 19 (1) :7-11.

非平稳性 篇3

近年来,随着电力电子技术的发展,大量的电力电子器件和非线性元件在电网中投入使用,使电网中产生了大量的高次谐波,电网波形畸变日趋严重,给电力系统带来了很大的“电网污染”。因此,对谐波问题的研究具有十分重要的意义。而关于谐波的问题涉及多个方面,其中谐波检测是谐波问题的一个重要分支,也是解决其他谐波问题的重要前提。理论和实践证明,谐波检测的精度和动态响应速度与检测方法密切相关。

目前,在电力系统稳态谐波检测中大多采用傅里叶变换及其改进算法,它可以准确地检测出平稳波形中各次谐波的幅值和相位,精度较高。然而电力系统中的谐波信号更多地是非平稳谐波信号,传统的傅里叶变换总是假设信号是周期性的,因此,使用傅里叶变换对非平稳信号进行检测可能使结果不正确。而且,傅里叶变换存在着时频局部化的矛盾[1],即对信号的表征要么完全在时域,要么完全在频域,它不能揭示某种频率分量出现在什么时候以及该频率随时间变化的情况。所以对于非平稳谐波的检测必须采取其他方法。

本文就是针对这些问题,分析了两种非平稳谐波检测方法:短时傅里叶变换(ShortTimeFourier Transform,STFT)和小波变换(WaveletTransform,WT)。首先论述了采用STFT和WT进行谐波检测的基本原理,然后在Matlab环境下对两种方法进行了仿真。仿真结果表明,两种方法均可以达到检测非平稳谐波的目的,但又各有优缺点*。

2 两种谐波检测方法的基本原理

2.1 基于短时傅里叶变换的谐波检测原理

为了克服傅里叶变换时频局部化的矛盾,Gabor提出了短时傅里叶变换[2]。短时傅里叶变换是研究非平稳信号使用广泛的一种方法。它的基本思想是用一个随时间滑动的分析窗对非平稳信号进行加窗截断,将非平稳信号分解成一系列近似平稳的短时信号,然后用傅里叶变换分析各短时平稳信号的频谱。

设分析窗为w(t),非平稳信号x(t)的短时傅里叶变换定义为:

设分析窗的带宽为Δω,加窗截断相当于提取信号x(t)在时间范围和频率范围之间的信息。随着分析窗在时间和频率方向的移动,就可以检测出谐波信号的所有信息[3]。

由于需要处理的是离散信号,因此需要对非平稳信号进行离散化,离散STFT变换为:

STFT克服了FFT不能同时进行时域和频域局部分析的矛盾,由于其时-频窗口固定不变,当要求时-频窗口具有自适应性时,STFT就不能满足了。

2.2 基于小波变换的谐波检测原理

为了克服傅里叶变换没有任何局部化特性和短时傅里叶变换固定分辨率的缺陷,提出了一种小波变换算法。它在时域-频域同时具有良好的局部化性质,在时域和空间域能自动调节取样的疏密。它可以用长的时间间隔来获得更加精确的低频率的信号信息,用短的时间间隔来获得高频率的信号信息。小波变换特别适用于对突变的和时变的非平稳谐波的分析,它可以检测出信号的突变点,由此可以判断出电力系统的故障状态[4]。

令ψ(t)∈L2(R)(L2(R)表示能量有限的信号空间),其傅里叶变换为ψ(ω)。当ψ(ω)满足允许条件时,ψ(t)称为一个基本小波或母小波。将母函数ψ(t)伸缩和平移后,就得到一个小波基函数,即。其中,a为尺度参数,b为位置参数。与此相对应,在频域上则有。可以看出,当a减小时,时域宽度减小,而频域宽度增大,而且ψa,b的窗口中心向ω增大方向移动。这说明小波的局部是变化的,在高频时分辨率高,在低频时分辨率低[5]。

给定一个基本小波函数,一维连续信号x(t)的连续小波变换为:

将a和b取作a=a0j,b=la0jb0,j,l∈Z,就可得到信号的离散小波变换,如:

小波多分辨率分析是把信号X分解成低频a1和高频d1两部分,在分解过程中,低频a1失去的信息由高频d1捕获。在下一层分解中,又将a1分解成低频a2和高频d2两部分,低频a2中失去的信息由高频d2捕获[6]。如此类推下去,可以得到信号越来越精细的时频描述。其分解图如图1所示。将低频段上的分量看成基波分量,高频段上的分量看成各次谐波分量,完成对谐波信号的检测及分析。

3 Matlab仿真结果及分析

设非平稳谐波模型为:

采样频率fs=3 200Hz,采样点数为1 024点。

3.1 基于短时傅里叶变换的仿真结果及分析

为了进行对比,首先用傅里叶变换方法对模型进行仿真,仿真结果如图2所示。

从幅度谱中可以得到所含信号的幅度信息,但是基波幅值为0.69,三次谐波幅值为0.16,与原信号模型中基波幅值1和三次谐波幅值0.5相差太远,另外从幅度谱中不能反映间断点的存在,也不能定位间断点产生的时刻。对于此种信号,采用傅里叶变换将达不到目的,需要采用其它方法。

应用短时傅里叶变换的仿真结果如图3所示。从色谱图中可以看出,短时傅里叶变换具有时频局部化特性,能看出信号的间断点的时间范围,但看不出间断点发生的时刻。另外其时域分辨率和频域分辨率不能兼顾(这是由不确定性定理决定的),分析窗长度的选择与离散STFT变换的时域分辨率和频域分辨率密切相关。若分析窗长度大,则时域分辨率差,频域分辨率高,反之,则时域分辨率高,频域分辨率低。

3.2 基于小波变换的仿真结果及分析

应用小波变换的仿真结果如图4所示。从所得的波形图的高频部分cd1即波形的细节部分很容易发现间断点的位置,这是因为有间断点的地方存在一个冲击信号。

根据多分辨率小波分解对信号频带划分可知,cd1~cd4、ca4中信号所对应的频带分别为(单位:Hz):[0,800],[0,400],[0,200],[0,100],[100,200],因此从小波分解的系数中可以重构得到基波及谐波的信号。由于150Hz的频率包含在高频系数cd4的频带内,因此,由cd4可以重构出该信号中所含有的三次谐波,另外50Hz的频率包含在低频系数ca4的频带内,由ca4可以重构出基波信号,重构波形及重构误差如图5所示。

从小波分析的图形上不容易观察得到准确的幅值信息,而且小波变换需要根据谐波的最高次数才能确定分解的层数,运算量较大。表1为谐波能量比较表,从表1可以看出经小波变换重构后的基波和三次谐波的能量与实际能量是有误差的。

4 结论

(1)对于非平稳谐波,FFT变换显得无能为力。使用短时傅里叶变换,可以克服FFT变换的缺陷,解决了时频局部化的矛盾,但是其时域分辨率和频域分辨率不能兼顾,另外需要一个合适的窗才能达到满意的效果。

(2)使用小波变换对非平稳谐波进行检测,可以从高频部分中明显看出信号的突变点,还可以重构出基波和各次谐波,但是不能直接得到频谱信息,需要根据所含谐波的最高次数才确定分解的层数,运算量较大。另外重构后的信号能量与实际有所偏差。因此不适合直接分析电网中的谐波,特别是当信号中含有很多谐波分量的情形。

短时傅里叶变换和小波变换都具有分析非平稳谐波的能力,但两者都存在不足之处,我们可以根据不同的情况选择不同的谐波检测方法,也可以利用两者的优势,对谐波进行联合检测,这将是本人下一步研究的重点。

摘要：针对传统的傅里叶变换对于检测非平稳谐波存在的缺陷,分析了两种非平稳谐波检测方法:短时傅里叶变换和小波变换。首先介绍了短时傅里叶变换和小波变换谐波检测方法的基本原理,然后通过Matlab使用上述两种方法对非平稳谐波模型进行了仿真。理论分析和仿真结果表明,两种方法均可以达到检测非平稳谐波的目的,但又各有优缺点。

关键词：傅里叶变换,非平稳谐波检测,短时傅里叶变换,小波变换

参考文献

[1]BARROS J.Analysis of Harmonics in Power Systems Using theWavelet-Packet Transform[J].IEEE,2008,57(1):113-116.

[2]张伟.基于变换的谐波检测方法[J].电力学报,2006,21(1):21-22.

[3]祁才君.数字信号处理技术的算法分析与应用[M].北京:机械工业出版社,2005:233-243.

[4]陈玉东,施颂椒,翁正新.动态系统的故障诊断方法综述[J].化工自动化及仪表,2001,28(3):1-14.

[5]王松,石双双,李德和.一种基于小波的电网谐波检测新方法[J].系统仿真学报,2009,21(3):815-816.

非平稳性 篇4

1948年维格纳分布开始应用于信号分析中,这种时-频的分析方法具有一系列特有的优良性质。

设f(t)是确定性复信号函数,其变换定义为

由上式可知,时间函数的维格纳分布是在时间轴上左移与其调制函数在时间轴上右移之乘积的傅立叶变换,所得到的是时间和频率的二元函数,所以是一种时-频域描述信号的表达式。

但是由于维格纳分布的时域和频域变换局部化矛盾的自然结果,不能在时域和频域获得高分辨率,不可能对某个确定的时-频点分派一个精确的能量值,并且由于其存在的频域混叠,不适合描述瞬态变换剧烈的时变信号。

小波方法是在时间与频率域上对信号进行分析,它能有效地区分信号中的突变成分和噪声。它的多分辨率、去相关性、选基灵活性等特点都能更好地去除噪声并刻画信号的非平稳特征。

与小波变换相比,小波包变换具有把随尺度参数增大而变宽的频谱窗口进一步分割变细的优良性质,小波包分析提供了一种比小波分析更为灵活的分析手段,它对上一层信号的低频部分和高频部分同时进行细分,具有更为精确的局部分析能力,从而克服了小波变换的不足,小波包变换是小波变换的进一步发展和完善。我们在对小波包系数进行消噪处理的基础上,从小波包能量的角度建立了小波包能量去噪法,用仿真试验验证了此方法的有效性,并与传统阈值去噪相比较,证明其优越性。

1 小波包变换

正交小波分解中,只对信号的低频部分进行递推分解,导致了高频部分的频率分辨率较低,但小波包分析对此缺点进行了改进,同时对低频和高频部分进行分解。

在多分辨分析中,,说明多分辨分析是按照不同的尺度因子j把Hilberjt∈z空间L2(R)分解为所有子空间Wj(j∈Z)的正交和,其中Wj为小波函数ψ(t)的小波子空间。然后再对小波子空间按照二进制进行频率的细分,这样可以提高频率分辨率。

设{VK}是L2(R)的多分辨分析空间序列,现将尺度子空间Vj和小波子空间Wj用一个新的子空间来表示,若令

则空间L2(R)子空间的正交分解Vj+1=Vj⊕Wj,即可以用Ujn的分解统一表示为:U0j+1=Uj0⊕Uj1

定义子空间Ujn是函数un(x)的闭包空间,而Uj2n是函数u2n(x)的闭包空间,且un(x)存在着两尺度关系:

其中μ0(x)=u2n(x),μ1(x)=u2n+1(x)则:

定义的μn(x),n=l或n=2j+1,j=0,1,2………称为关于正交尺度函数的小波包。

联系多分辨率分析,由此得到小波包的分解式

小波包分解系数的重构算法可描述为:

记Hn,k=hk-2n,Gn,k=gk-2n,则有矩阵

其中,G*、H*分别是H、G的对偶算子。

式(4)即重构算法,分解后的序列可一步步恢复出原始信号。

2 小波包能量消噪的基本算法

含噪声信号经小波变换后得到离散细节信号(小波系数)和离散逼近信号(尺度系数)。噪声的离散细节信号的幅度和方差随着小波变换级数的增长会不断减小。对于所有的尺度,白噪声的离散细节信号的系数方差随着尺度增加会有规律地减小,但有用信号的小波变换平均功率与尺度没有什么关系[3]。同样,对应于信号的离散细节信号幅度和方差也不会随着尺度的增加而减小。所以利用这一特性,小波包能量去噪的过程就是首先对信号进行多层小波包分解,然后利用其中几个能量较大的小波包重构原始信号,以此达到消噪的目的。

其中f(t)为含噪信号,s(t)为原始信号,n(t)为噪声,消噪过程实际上就是从被噪声污染的信号f(t)中提取原始信号s(t)的过程。小波包能量法的具体步骤如下:

(1)选择适当的小波基和小波分解的层数,把含噪信号f(t)进行小波包分解到j层,得到2j个小波包。

(2)求解这2j个小波包的能量,能量定义为Eji=∑(cji)2,cji为第j层第i个小波包的系数。Eji为第j层第i个小波包的能量。并按能量大小将小波包排序。

(3)对应确定性信号,取前N个能量大的小波包来进行重构,使重构信号s′(t)与原始信号s(t)之间的均方误差MSE达到最小,使下式成立:

信号经过小波包分解到j层之后,小波包包含了信号某一特定时频窗中的信息,但不是所有小波包都包含有用信息,所以对于不确定信号,利用小波包分解的这一特性,选取若干个信息较多的小波包来重构信号,对非平稳振动信号进行特征提取,也取得较好的效果。

3 计算实例

以下是采用的Heavy sine、Bumps两种原始信号做检测信号,分别用小波包能量法和regrsure硬阈值去噪,如图1和图2所示,信噪比如表1。

再用实际采集信号分别用小波能量去噪和阈值去噪相比较,本文采用的是对梅山钢铁厂风机的故障监测信号,在风机两边的轴承上分别以水平和垂直两个方向安置速度传感器,正常工况下,风机的转速为1250r/min,电机转速为1480r/min,测得风机振动位移峰峰值小于50μm,现在检测到的故障位移峰峰值达到了200μm,含噪原始故障信号和去噪后信号如图3。

对原始信号和去噪后信号分别做功率谱分析如图4,由工况信号频谱图判断,风机故障有可能是不平衡造成的,在现场的在线动平衡后,风机振动位移峰峰值达到正常状态,故障排除。

4 结论

从表1的信噪比中可以看出,利用小波包能量去噪法能够有效地提高去噪信号的信噪比。而在实际的风机动平衡测试信号的去噪中,能够较好地去除噪声,并保留故障特征信号,说明该方法简单可行。

摘要：在机械故障诊断中,对故障信号的消噪处理,一直是其重要内容之一。工程中设备运行状态多样,有着大量的非平稳动态信号,但传统的信号处理方法在处理非平稳信号上有所不足。利用小波包分解信号,白噪声的方差和幅值随小波尺度的增加而减小,但是信号的方差和幅值和小波变换无关。按照信号能量的观点,首先把信号进行多层小波包的分解,然后利用其中几个能量大的小波包来重构原始信号。利用该方法在测试信号的去噪处理中,同传统的阈值去噪相比较,该方法可以有效地消除白噪声的干扰,计算简单且有较好的消噪效果。

关键词：非平稳信号,小波包变换,能量,阈值,消噪

参考文献

[1]杨军,姚家奕,张淑清.小波变换用于信号消噪[J].燕山大学学报,1999,23(1):88-89.

[2]杨福生,小波变换的工程分析与应用[J].北京:科学出版社,2000.

[3]Grossmann A.Wavelet transform and edge detection[M]//Hanzewinkel M.ed.Stochastic processes in physics and engineering.Dodrecht:Reidel,1986.

[4]Donoho D L,De noising by soft-thresholding[J].IEEE Transactions on Information Theory,1995,41(3):613-627.

非平稳性 篇5

数据显示，4月份，在中国非制造业PMI各单项指数中，新出口订单、存货、从业人员、供应商配送时间和业务活动预期指数与上月相比回升。其中，从业人员指数升幅最大，幅度为1个百分点;其余指数小幅回升。新订单、中间投入价格、收费价格指数和在手订单指数环比有所下降。其中，中间投入价格和收费价格指数降幅最大，超过2个百分点;新订单指数降幅为1.1个百分点。

中国物流与采购联合会副会长蔡进认为，4月份，非制造业商务活动指数有所回落，但仍保持平稳增长水平。

非平稳性 篇6

时间序列预测的主流方法之一是数理统计学[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]。非平稳时间序列“长期趋势+ 季节性+ 剩余的随机波动”的分解,是多领域预测应用中最成功的一种分解[8]。从理论角度看,综合Wold的平稳时间序列分解定理,以及1961 年的Cramér非平稳时间序列分解定理,也会给出这样的一种正交分解[2,5,10]。

对数变换是消除“长期趋势”的经典方法之一[1,2,3,4,8]。对公路短时交通流的预测实践表明,对数变换还能提高“季节性”和“剩余的随机波动”的预测准确率。具体说,就是能够降低交通流预测的均方误差( MSE) ,但会引起平均误差( ME) 的轻微增加。对数变换可以看成一种点对点的滤波,能够有效抑制异常数据不利影响的扩散[11]。对数变换还能明显抑制“剩余的随机波动”的波动幅度,从而提高输入到预测模型的时间序列的( 某种推广的意义下) “信噪比”。直观示例请参见文献[11]的图1和图6。简言之,除了消除趋势作用外,点对点滤波、增加“信噪比”是对数变换新发现的良性作用[11]。

目前,关于对数变换抑制“剩余的随机波动”的波动幅度的定量研究还很少。目前常见的是对数变换消除趋势性的直观说明和示例[1,2,3,4,8]。只有2008 年Cryer和Chan在文献[4]里采用泰勒级数展开的前两项,推导过时间序列Yt经过对数变换log( Yt) 后的近似的数学期望和方差。log( Yt) 泰勒展开的前两项是常数项和线性项,不能有效反映对数变化的非线性作用。本文拟采用log( Yt) 泰勒展开的前四项来分析“对数变换降低非平稳时间序列预测的均方误差,但引起平均误差轻微的增加”的预测效果,并通过预估平均误差来抵消平均误差的增加。即“剩余的随机波动”经过对数变换后的数学期望和方差的解析分析,并用数值实验和公路交通流预测实例加以验证。

1 数学准备

记x,y和 θ 是实数变量; xi,vi,ui,εi是时间序列,i,t,n = 1,2,…,为正整数; a,b是实数参数,并且b > 0; X,Y是实数随机变量,μ,σ2分别是数学期望和方差,下标表示进一步的说明。下文中,为符合相关参考文献的记法,log表示自然对数ln。

1. 1 2008 年Cryer和Chan的近似数学期望和方差

对于实数随机变量Yt> 0,t = 1,2,…,记其数学期望和标准差分别是:

则随机变量log( Yt) 的数学期望和方差是:

式( 1) 由如下的在点的泰勒级数展开式前两项得到:

可见,2008年Cryer和Chan的对数变换的数学期望和方差[4],是从log(Yt)泰勒展开的前两项得出的。该前两项是常数项log(μt)和线性项,且线性项的数学期望为0。因此仅靠前两项不能解释“平均误差轻微的增加”现象,只能解释“降低预测的均方误差”。只有增加到第三项及以上,才能同时解释这两种现象。

1. 2 对数函数的泰勒展开式

实数函数y = f( x) 在x0点展开的泰勒展开式如下:

其中,n! 表示n的阶乘,f( n)( x0) 是在点x0处泰勒展开的微分系数,拉格朗日余项中的 θ 是介于x0和x之间的一个数值。

本文需要的对数函数在x0点展开的泰勒展开式如下:

其中,收敛域,θ 是介于x0和x之间的实数。

1. 3 “趋势+ 季节+ 剩余随机波动”分解以及Wold和Cramér的分解定理

综合Wold平稳时间序列分解定理和Cramér非平稳时间序列分解定理,给定的非平稳时间序列可以被唯一正交地分解为:

其中,vi是确定性分量,ui是纯粹的非确定性分量,εi~ WN( 0,σ2) 是高斯白噪声。

预测应用中经典的“长期趋势+ 季节性+ 剩余的随机波动”分解中,“趋势项+ 季节项”是vi,“剩余随机波动”是ui+ εi,即非确定性分量和高斯白噪声之和。

在实际预测中,vi和ui可以通过对数变换及其逆变换有效预测出。但是高斯白噪声 εi经过对数变换后会造成一个不大的系统误差,因为E[log( aεi+ b) ] < log( b) 会引起一个小负数E[log( aεi+ b) ] - log( b) 。估计E[log( aεi+ b) ] - log( b) 是本文的研究目的之一,这不仅可以解释预测中“平均误差轻微的增加”现象,还可以通过高斯白噪声的分离方法预估这个小负数,进而校正未来的预测值以期消除E[log( aεi+ b) ] - log( b)的不利影响。

2 对数变换的系统误差的理论解释

E[log( aεi+ b) ] < log( b) 会引起对数变换的系统误差( 平均误差) 。这个不大的误差以前被忽略了,包括2008 年Cryer和Chan的著作[4]。在公路交通流预测中,我们发现这个平均误差的绝对值可达0. 5% 以上。为进一步提高非平稳时间序列的预测准确率和稳健性,必须考虑这个E[log( aεi+ b) ] <log( b) 引起的系统误差。

为实际意义明确,同时便于与Cryer和Chan的结果对照,本文采用与他们相同的对数函数的泰勒展开式。为保证对数变换后的数值仍然为实数,这里采用log( a Xi+ b) ,并要求a Xi+ b >0 且b > 0。Xi为原始的非平稳时间序列,其包含一个高斯白噪声εi。

2. 1 Cryer和Chan采用的泰勒展开式

Cryer和Chan所用的log( a Xi+ b) 在点 μ = E( Xi) 的泰勒展开式如下:

其中,收敛域,θ 是介于 μ 和Xi之间的实数。

如果( a Xi+ b) > 0,那么log( a Xi+ b) = log| a Xi+ b |。用log| Yi|代替log |a Xi+ b |,可证log( a Xi+ b) 是收敛的,正如log |Yi|是收敛的一样[12]。在预测应用中, Yi形式的变换不能一一对应地得到| ± Xi|的反变换,所以log( a Xi+ b) 比log| Yi|更便于实际预测应用。

2. 2 对数变换的数学期望和方差

由泰勒展开的前四项推导出的数学期望E[log( a Xi+b) ]是:

因为式( 7) 中余项的数学期望总是负数,所以:

可见,对数变换后,预测的系统误差( 平均误差) 是E[log( a Xi+b) ] - log( b) < 0。假如非平稳时间序列中的高斯白噪声可以分离出,则可通过“对数变换和反变换预测的预测结果+|E[log( a Xi+ b) ] - log( b) |”,即可足够好地消除对数变换引起的系统误差。由于|E[log( a Xi+ b) ] - log( b) |通常是常数( 至少在指定的预测窗口里) ,这个补偿不引起均方误差的变化。

由泰勒展开的前四项推导出的方差Var[log( a Xi+ b) ]是:

综上所述,由泰勒展开的前四项可以充分解释“对数变换降低非平稳时间序列预测的均方误差,但引起平均误差轻微的增加”的现象。取前四项不仅比取前三项更准确,更重要的是前四项的“拉格朗日余项的数学期望总是负数”,可以更合理地估计对数变换引起的系统误差。

2. 3 数值试验

为检验用泰勒展开的前四项推导出的数学期望和方差的近似程度,即式( 7) 和式( 9) 的准确性,这里采用一个由实际的物理设备产生的样本容量为3980 的高斯白噪声 εi~ WN( 0,1) ,直接代入log( a Xi+ b) 进行数学期望和方差的计算。参数a =[0. 1,5. 0],b = [1. 5,50],并且a Xi+ b > 1。这里a、b的范围是根据公路交通流、风电、电力短期负荷预测的实际要求选取的。

图1( a) 是前四项推导出的数学期望,即式( 7) ,随参数a、b的变化; ( b) 是( a) 中的数值和直接采用log( a Xi+ b) 进行数值计算得出的期望之间的相对误差。类似地,图2 是式( 9) 随参数a、b的变化的相对误差。

可见,式( 7) 给出的数学期望,以及式( 9) 的方差在大多数情况下是足够精确的。

3 交通流预测

短时公路交通流数据采用的是参考文献[11,13]中数据。对数变换采用log( 3xi+ 20) 。采用五种预测模型进行交通流预测: 三阶AR自回归模型预测方法( AR3) 、一阶移动平均法( MA1) 、二阶移动平均法( MA2) 、一次指数平滑法( ES1) 、二次指数平滑法( ES2) 。某天交通流包含上升、高峰、下降阶段的直接预测,经过log( 3xi+ 20) 后的预测误差的统计见表1,各误差的单位是“辆”。

(单位:辆)

对于该交通流,式( 7) 给出的数学期望是- 2. 5459,其绝对值大于表1 里| ΔME | 的最大值0. 6207。该交通流里包含的高斯白噪声的方差 σ2由双正交小波bior 6. 8 去噪得到,其对应的预测的误差MSE = 6. 5280[14,15,16,17,18,19,20]。

根据式( 1) ,即Cryer和Chan由泰勒展开式的前两项计算得到的数学期望近似为0[4],不能解释 ΔME。

4 结语

对数变换除了消除非平稳时间序列中“长期趋势”的作用外,还被发现可以减小“季节性”和“剩余的随机波动”的波动范围,从而增加预测的准确性( 减小均方误差) 和稳健性。

本文采用对数变换的泰勒级数展开前四项,推导了高斯白噪声经过对数变换之后的数学期望和方差。从而解释了“对数变换降低非平稳时间序列预测的均方误差,但引起平均误差轻微的增加”的预测效果。采用高斯白噪声分离方法,可以预估给定对数变换引起的平均误差,进而在预测结果中有效地挽回这个误差,达到同时降低MSE和ME的效果。

非平稳性 篇7

发动机冷试概念是指点燃式内燃机在不点火的状态, 通过驱动马达倒拖发动机旋转, 利用冷试台架内分布的专用传感器采集相关测试信号, 由冷试软件处理形成曲线图并与专业人员设定的窗口进行匹配, 判断发动机是否合格的测试工艺。

采集的信号中, 发动机缸盖振动信号本质上属于非平稳信号, 分析这类信号常用方法有短时傅里叶变换 (STFT) 、Wigner-Ville分布、小波变换及小波能量商[1]。振动信号频带能量分布可作为发动机状态故障诊断的相关参数和特征向量。

实验对象为479QE型号四缸发动机, 数据由TIG公司发动机冷试平台提供。数据分别为发动机缸盖、进气口和排气口振动信号。信号采样频率204.8k Hz, 转速为150r/min与1500r/min。

1振动信号时频分析

STFT基本思想是把非平稳信号看成短时平稳信号的叠加, 通过时域加窗来实现其短时性, 即短时傅里叶变换 (STFT) 。给定非平稳信号s (t) ∈L2 (R) 与窗函数h () , 定义[2]

如图1 (a) 发动机转速150r/min, 依次为缸盖、进气口和排气口振动信号;图1 (b) 转速1500r/min, 依次为缸盖、进气口和排气口振动信号, 信号均为发动机冷试旋转2圈数据。对2圈数据分割为一圈数据并得到其STFT, 平滑函数为N/4的Hamming窗, 图2 (a) 、图2 (b) 为转速150r/min、1500r/min下缸盖信号的时间-频率-幅值三维图。

图2 (a) 表明150r/min转速下, 整个时间分布有0至0.2相对频率 (0至4000Hz) 信号, 在时间序列2300左右有较不真实的全频段信号, 幅值约为0.3;图2 (b) 表明1500r/min转速下, 整个时间序列分布有0至0.1相对频率 (0至2000Hz) 信号, 且幅值较大约为4至8, 但高频成分的概貌观察已经丧失。说明STFT在频率分辨率有较大不足。

2 Wigner-Ville分布 (WVD)

Wigner-Ville是一种能量型时频联合分布[3], 对信号s (t) 的Wigner-Ville分布 (WVD) 定义为 (2) 式。 (3) 式说明两信号存在交叉项, 交叉项幅值可达自项的两倍。

图3为150r/min缸盖振动信号WVD, 表明信号能量在整个频带均有分布, 在频率和时间边缘分布较好, 时间序列2500附近有较大的幅值变化, 观察结果与STFT相一致, 但WVD分布有严重的交叉项, 在时频域内有较多不真实信号能量, 使得无法提取信号的特征。

3小波变换

将任意L2 (R) 空间函数z (t) 在小波基下展开, 称作函数z (t) 的连续小波变换 (CWT)

由定义 (4) 式知, 小波变换具有尺度a和平移参数b两个参数[4]。

图4 (a) 为150r/min转速下缸盖信号基于WT变换的时间-频率-幅值三维图 (上) 和二维图 (下) 。图4 (a) 表明在时间序列2300左右有较宽频带信号, 观察与STFT分析结果相同, 但相对STFT在5000Hz处有清晰的幅值起伏;小波分解细节图4 (b) , 细节d1, d2也表明信号在时间序列2300和时间序列4000有较大幅值, d4和d5细节对应高频信号幅值的起伏。这证明小波变换相对STFT和WVD有较好的分辨率, 且可以由粗到细观察信号特征。

4小波能量商

一维离散小波, 只对低通滤波器输出进行分解, 小波包分解则对高频部分进行二次分解, 使低、高频都有良好的分辨率[5]。小波能量商是在小波包分解结构上构造的无量纲指标。首先对信号进行小波包分解, 分解层数为N, 分解重构后小波包系数为XNt, 设各自频带信号SNi对应的能量ENi为:

图5表明150r/min下缸盖信号能量分布较均匀, 与STFT和CWT得出的结论相同, 即在时间序列2300全频段存在信号。1500r/min下缸盖信号、进气口和排气口信号的能量均集中在低频段, 高频段能量较少, 与我们的感性判断吻合。由此可以得出结论, 小波包分解构成的小波能量可以作为发动机状态的特征向量, 在进行故障诊断时, 可直接作为神经网络输入或特征值使用。

5结语

本文对TIG公司发动机冷试数据进行了分析研究, 使用分析方法如STFT, Wigner-Ville分布、小波变换和小波包能量商。结果表明STFT、WV、及WT均能够一定程度上给出信号的时频分布, 但STFT频率分辨率有限, WV分布存在交叉干扰项, 小波变换能够在各个尺度对信号进行观察, 小波包能量商能够清楚的观察其能量分布, 能够作为发动机状态的特征向量。

参考文献

[1]程道来, 仪垂杰, 郭健翔, 等.基于Wigner-Ville分布和Wavelet时间尺度的飞机非平稳抖杆背景声分析[J].机械工程学报, 2007, 43 (5) :150-154

[2]向玲, 唐贵基, 胡爱军.旋转机械非平稳振动信号的时频分析比较[J].振动与冲击, 2010, 29 (2) :42-45

[3]葛哲学, 陈仲生.Matlab时频分析技术及其应用[M].北京:人名邮电出版社, 2006:15-17

[4]臧玉萍, 张德江, 王维正.基于小波变换技术的发动机异响故障诊断[J].机械工程学报, 2009, 45 (6) :239-245

[5]任庆霜, 司景萍, 梁洪波, 等.基于振动信号的发动机故障诊断方法分析[J].公路与汽运, 2010, (3) :22-25