平稳小波变换论文（精选7篇）
平稳小波变换论文 篇1
随着网络通信技术的飞速发展,社会各个领域之间多媒体数据的交互日益频繁,非法篡改数据的现象时有发生。因此迫切需要一种方法来维护创作者的知识产权。
为了有效地解决这个问题,学者们提出了数字水印技术。数字水印可以有效地保护创作者的合法权益,其通过嵌入算法将具有特殊作用的水印隐藏在数字媒体信息中,用于数字媒体信息的版权保护和内容认证。
在众多水印算法中,变换域算法凭借其良好的特性得到了学者们广泛的重视,近几年的研究成果大多是基于变换域展开的。在一系列变换域技术中,小波变换因为具有良好的时频局部化等众多优点,经常被应用到数字水印领域中,很多学者将离散小波变换(DWT)和奇异值(SVD)技术相结合, 产生了不少有价值的研究成果[1,2,3,4]。其中文献[1]首先对水印图像进行置乱处理并将原始载体图像进行分块,从载体图像中找到最佳水印嵌入子块,然后对最佳子块进行小波变换, 同时对子块的低频系数进行奇异值分解,最后将水印嵌入各载体图像子块的奇异值中,实现了图像水印嵌入。文献[2]先对整个图像应用三级离散小波变换,然后在低频和中频区域分别嵌入水印,最后由提取出的3份水印生成第4份水印作为最终检测水印。文献[3]通过将图像分块并计算每块图像的最大奇异值,再将变换后的水印嵌入最大奇异值,从而得到带水印的图像。文献[4]算法先对载体图像进行n层的离散小波变换,然后随机选取其中的部分或全部子带形成参考子带并进行SVD分解,最后将置乱处理后的水印嵌入奇异值矩阵中。文献[1-4]代表的这一类算法在提取水印时都需要原始图像和水印的参与,属于非盲水印算法。非盲水印算法需要更多的存储空间,应用受到一定的限制。因此,近年来盲水印算法受到越来越多的关注。
文献[5]提出了一种基于小波域的盲数字水印算法,具有一定的抗噪声、JPEG压缩和滤波等攻击能力,能够较好地达到水印嵌入透明性和鲁棒性的平衡。文献[6]提出一种基于提升小波变换的盲水印算法,该算法水印嵌入强度是自适应的,在多种攻击下具有较强的鲁棒性和可识别性。文献[7]基于离散余弦变换(DCT)提出了一种盲水印算法。算法通过将载体图像进行分块和DCT系数的提取,然后采用正负量化规则来进行水印的嵌入。文献[8]提出了一种改进的DCT的自适应盲数字水印。DCT块的DC分量利用奇偶量化法嵌入水印,AC分量利用确定固定系数法嵌入水印,实现了水印的盲检测。
本文的主要贡献在于,基于平稳小波变换提出了一种新的盲水印算法。和已有算法相比,本文算法加入水印后对原始图像的影响很小,并且具有较强的鲁棒性。
1图像的平稳小波变换
平稳小波变换(Stationary Wavelet Transform,SWT)[9]和经典的离散小波变换(Discrete Wavelet Transform,DWT)最大的不同点在于:DWT变换在对信号滤波后需要进行下采样, 容易造成图像的不稳定性[10];而SWT变换不对高通和低通滤波器的输出系数进行下采样。所以和DWT相比,SWT具有冗余性与平稳不变性的优势[11]。
对于给定的信号f (t) ,SWT分解公式如下[12]
式中:*代表卷积操作;Hj代表低通滤波器;Gj代表高通滤波器。
对一幅图像进行一次平稳小波变换后,产生4个子带图像:1个近似子带(LL1)和3个细节子带——垂直子带(LH1)、 水平子带(HL1)和对角子带(HH1)。近似子带LL1集中了原始图像的大多数能量,是最逼近原始图像的子图。一级平稳小波变换过程如图1所示。
2水印的嵌入与提取
2.1水印的嵌入
在本文所 提算法中 ,原始图像 选择256灰度等级(N×N )的标准图像I,二值水印图像大小为N/8×(N/8)。
其步骤可总结如下:
1)对I进行一层平稳小波变换(SWT),得到不同频率的各层子带,选择LL1子带作为嵌入区域。
2)对LL1子带进行N/8×(N/8)分块,得到×个分块,从每个分块中 选择一位 作为嵌入 位 ,记为Sn(n = 1,2,3,···,N/8×(N/8)),在本文算法中,统一设定每个分块的[4,4]位为嵌入位。
3)运用乘性准则嵌入水印
式中:α 为嵌入强度因子;w(i,j ) 为水印值。
4)利用公式,计算嵌入水印后所有嵌入位数值平均值,其中
5)根据式(4)比较每个嵌入位数值和平均值的大小关系,数值存入c(m,1) , m= 1,2,3,⋯,N/8×(N/8))
6)利用步骤5)得到的c(m,1) 和w(i,j ) 进行异或操作,得到提取水印密钥k(i,j ) 。
2.2水印的提取
本文算法提取水印的具体步骤如下:
1)对待测图像I*进行一层平稳小波变换(SWT),得到LL1。
2)利用公式,计算LL1中水印嵌入位的数值平均值,其中
3)根据式(5)比较每个水印嵌入数值和平均值的大小关系,得到c'(m,1)
4)用c'(m,1) 和k(i,j ) 进行异或操作,得到提取出的水印g(i,j ) 。
3实验结果与分析
本文实验采用MATLAB7.0进行仿真,原始图像采用512×512像素的Lena,boat,peppers,baboon标准灰度图像,水印图像采用64×64像素的“苏州大学”字的二值图像。采用Sym2平稳小波对原始图像进行一级分解与重构,嵌入强度因子 α 取值0.01。对图像质量的评价标准采用峰值信噪比PSNR,水印检测结果的评价标准采用提取出来的水印W* 和原始水印W之间的相似度NC进行衡量。
表1给出了未经任何攻击提取出的水印参数,NC依次为0.999 2,0.999 8,0.999 8,0.999 4,都没有达到1,但偏差很小,影响很细微,可以忽略。PSNR值依次为64.205 8,63.511 5, 65.359 6,63.984 1,高于已有的绝大多数文献,因此本文算法嵌入的水印信息对原始图像影响很小,并且可以正确提取。
表2中给出了4幅加水印后的测试图像经受各种类型攻击的详细参数。图2a给出了原始图像和原始水印,图2b~2h则给出部分攻击后采用本文的盲检测算法提取出的水印,可以看出提取出的水印辨识度较高。
表3~5是本文算法和文献[3,5,7]算法的比较。文献[3] 的测试图像使用的是256×256的cameraman图像,水印是32× 32的二值图像“暨”字,加入水印后图像的PSNR值为37.466 0。 为了和文献[3]进行比较,本文也使用了相同的测试图像及水印,本文的PSNR值为63.910 1,要远远高于文献[3],从表3中可以看出,除了剪切攻击外,其他各项攻击测试本文算法均要优于文献[3]。
和本文一样,文献[5]和文献[7]属于盲水印算法,文献[5] 和文献[7]的测试载体图像都使用的是512×512的Lena图像, 水印分别使用的是64×64的二值图像“浙江大学”及“和”字, 加入水印后图像的PSNR值分别为47.619 3和37.787 3。本文构造了和文献[5]和文献[7]相同的水印进行测试,本文算法加入水印后图像的PSNR为64.322 4和64.155 1。从表4可以看出,本文算法在各种攻击下的表现要优于文献[5]。和文献[7]相比,只有JPEG压缩攻击和高斯噪声攻击效果略低于它,而其他攻击效果均高于文献[7]。
4结语
本文提出了一种基于SWT的盲水印算法。该算法通过对原始图像进行一级平稳小波变换(SWT),并将得到的低频近似区域进行分块,然后从每个分块中选择一个嵌入位完成水印的嵌入。后续的操作则通过计算所有嵌入位的平均值,并比较每个嵌入位和平均值的大小关系,进而得到密钥,利用密钥实现了水印的盲检测。和已有的算法相比,本文提出的盲水印算法不但具有较好的保真度,对于各种攻击也具有较强的鲁棒性。将来的主要工作在于研究嵌入位的不同选择对于实验结果的影响,以找到更加有效的方法来实现水印嵌入。
摘要：为了解决一般数字水印算法无法在水印鲁棒性和不可感知性之间达到较好平衡的问题,提出一种基于平稳小波变换的盲水印嵌入算法。不同于常见的基于离散小波变换(DWT)的数字水印技术,该方案先对原始图像进行一级平稳小波变换(SWT),再将得到的低频近似区域进行8×8分块,从每个分块中选择一个嵌入位嵌入水印。通过计算所有嵌入位数值的平均值,并比较每个嵌入位数值和平均值的大小关系,计算得到密钥,利用密钥实现了水印的盲检测。实验结果表明,提出的盲水印算法不但具有较好的保真度,对于各种攻击也具有较强的鲁棒性。
关键词：数字水印,平稳小波变换,保真度,鲁棒
平稳小波变换论文 篇2
1948年维格纳分布开始应用于信号分析中,这种时-频的分析方法具有一系列特有的优良性质。
设f(t)是确定性复信号函数,其变换定义为
由上式可知,时间函数的维格纳分布是在时间轴上左移与其调制函数在时间轴上右移之乘积的傅立叶变换,所得到的是时间和频率的二元函数,所以是一种时-频域描述信号的表达式。
但是由于维格纳分布的时域和频域变换局部化矛盾的自然结果,不能在时域和频域获得高分辨率,不可能对某个确定的时-频点分派一个精确的能量值,并且由于其存在的频域混叠,不适合描述瞬态变换剧烈的时变信号。
小波方法是在时间与频率域上对信号进行分析,它能有效地区分信号中的突变成分和噪声。它的多分辨率、去相关性、选基灵活性等特点都能更好地去除噪声并刻画信号的非平稳特征。
与小波变换相比,小波包变换具有把随尺度参数增大而变宽的频谱窗口进一步分割变细的优良性质,小波包分析提供了一种比小波分析更为灵活的分析手段,它对上一层信号的低频部分和高频部分同时进行细分,具有更为精确的局部分析能力,从而克服了小波变换的不足,小波包变换是小波变换的进一步发展和完善。我们在对小波包系数进行消噪处理的基础上,从小波包能量的角度建立了小波包能量去噪法,用仿真试验验证了此方法的有效性,并与传统阈值去噪相比较,证明其优越性。
1 小波包变换
正交小波分解中,只对信号的低频部分进行递推分解,导致了高频部分的频率分辨率较低,但小波包分析对此缺点进行了改进,同时对低频和高频部分进行分解。
在多分辨分析中,,说明多分辨分析是按照不同的尺度因子j把Hilberjt∈z空间L2(R)分解为所有子空间Wj(j∈Z)的正交和,其中Wj为小波函数ψ(t)的小波子空间。然后再对小波子空间按照二进制进行频率的细分,这样可以提高频率分辨率。
设{VK}是L2(R)的多分辨分析空间序列,现将尺度子空间Vj和小波子空间Wj用一个新的子空间来表示,若令
则空间L2(R)子空间的正交分解Vj+1=Vj⊕Wj,即可以用Ujn的分解统一表示为:U0j+1=Uj0⊕Uj1
定义子空间Ujn是函数un(x)的闭包空间,而Uj2n是函数u2n(x)的闭包空间,且un(x)存在着两尺度关系:
其中μ0(x)=u2n(x),μ1(x)=u2n+1(x)则:
定义的μn(x),n=l或n=2j+1,j=0,1,2………称为关于正交尺度函数的小波包。
联系多分辨率分析,由此得到小波包的分解式
小波包分解系数的重构算法可描述为:
记Hn,k=hk-2n,Gn,k=gk-2n,则有矩阵
其中,G*、H*分别是H、G的对偶算子。
式(4)即重构算法,分解后的序列可一步步恢复出原始信号。
2 小波包能量消噪的基本算法
含噪声信号经小波变换后得到离散细节信号(小波系数)和离散逼近信号(尺度系数)。噪声的离散细节信号的幅度和方差随着小波变换级数的增长会不断减小。对于所有的尺度,白噪声的离散细节信号的系数方差随着尺度增加会有规律地减小,但有用信号的小波变换平均功率与尺度没有什么关系[3]。同样,对应于信号的离散细节信号幅度和方差也不会随着尺度的增加而减小。所以利用这一特性,小波包能量去噪的过程就是首先对信号进行多层小波包分解,然后利用其中几个能量较大的小波包重构原始信号,以此达到消噪的目的。
其中f(t)为含噪信号,s(t)为原始信号,n(t)为噪声,消噪过程实际上就是从被噪声污染的信号f(t)中提取原始信号s(t)的过程。小波包能量法的具体步骤如下:
(1)选择适当的小波基和小波分解的层数,把含噪信号f(t)进行小波包分解到j层,得到2j个小波包。
(2)求解这2j个小波包的能量,能量定义为Eji=∑(cji)2,cji为第j层第i个小波包的系数。Eji为第j层第i个小波包的能量。并按能量大小将小波包排序。
(3)对应确定性信号,取前N个能量大的小波包来进行重构,使重构信号s′(t)与原始信号s(t)之间的均方误差MSE达到最小,使下式成立:
信号经过小波包分解到j层之后,小波包包含了信号某一特定时频窗中的信息,但不是所有小波包都包含有用信息,所以对于不确定信号,利用小波包分解的这一特性,选取若干个信息较多的小波包来重构信号,对非平稳振动信号进行特征提取,也取得较好的效果。
3 计算实例
以下是采用的Heavy sine、Bumps两种原始信号做检测信号,分别用小波包能量法和regrsure硬阈值去噪,如图1和图2所示,信噪比如表1。
再用实际采集信号分别用小波能量去噪和阈值去噪相比较,本文采用的是对梅山钢铁厂风机的故障监测信号,在风机两边的轴承上分别以水平和垂直两个方向安置速度传感器,正常工况下,风机的转速为1250r/min,电机转速为1480r/min,测得风机振动位移峰峰值小于50μm,现在检测到的故障位移峰峰值达到了200μm,含噪原始故障信号和去噪后信号如图3。
对原始信号和去噪后信号分别做功率谱分析如图4,由工况信号频谱图判断,风机故障有可能是不平衡造成的,在现场的在线动平衡后,风机振动位移峰峰值达到正常状态,故障排除。
4 结论
从表1的信噪比中可以看出,利用小波包能量去噪法能够有效地提高去噪信号的信噪比。而在实际的风机动平衡测试信号的去噪中,能够较好地去除噪声,并保留故障特征信号,说明该方法简单可行。
摘要：在机械故障诊断中,对故障信号的消噪处理,一直是其重要内容之一。工程中设备运行状态多样,有着大量的非平稳动态信号,但传统的信号处理方法在处理非平稳信号上有所不足。利用小波包分解信号,白噪声的方差和幅值随小波尺度的增加而减小,但是信号的方差和幅值和小波变换无关。按照信号能量的观点,首先把信号进行多层小波包的分解,然后利用其中几个能量大的小波包来重构原始信号。利用该方法在测试信号的去噪处理中,同传统的阈值去噪相比较,该方法可以有效地消除白噪声的干扰,计算简单且有较好的消噪效果。
关键词：非平稳信号,小波包变换,能量,阈值,消噪
参考文献
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平稳小波变换论文 篇3
1 主元分析
主元分析方法是将多个相关的变量转化为少数几个相互独立的变量的一种有效方法。对于复杂的研究对象, 为了获取充分信息以便对问题做出比较可靠的推断, 往往选择多个变量去进行观测, 每个变量都在不同程度上反映所研究问题的信息。但是变量个数太多使数据维数增高, 导致计算量庞大而且复杂, 增加分析问题的复杂性, 这是影响数据处理速度的主要因素。要解决这个问题, 就需要对高维数据进行降维。主元分析就是满足这些要求的一种数学方法。它采用SVD技术将多个相关的变量 (设为m个) 转化为少数几个相互独立的变量 (设为k个, k
T2图描述了主元模型内部主元向量模的波动情形, 对于第i时刻的过程变量向量Xi, T2统计量的定义为:
其中ti是Tk矩阵中的第i行, Tk由构成主元模型的k个主元的得分向量所组成, λ是由与前k个主元所对应的特征值所组成的对角矩阵。显然, Ti2也是多个变量共同累加的标量, 因此它也可以通过单变量控制图的形式来监控多变量工况。T2图通过主元模型内部的主元向量模的波动来反映多变量变化的情况。
为了利用主元模型对生产过程进行监控, 需要由过程正常运行的数据来确定过程运行的控制限。
常用的统计有Hotelling T2统计和Q统计两种, 本文只考虑Hotelling T2统计。如果过程正常运行下的测量数据X满足正态分布, 则主元t应满足
式中
其中∧为主元的方差阵, ∧=diag{λ1, ∧λi, ∧, λk}, λi为X的协方差阵的第i大特征根;n是用来建立主元模型的样本个数, k是主元模型中所保留的主元个数, α是指检验水平 (或称为显著性水平) , Fk, n-1, α是对应于检验水平为α, 自由度为k, n-1条件下的F分布临界值, 可从统计数表中查到。所以置信度为α的Hotelling T2统计量的上限UCL为
在正常的工作情况下, Hotelling T2统计量值应位于UCL限下。当T2值超过了T2控制限时, 说明过程中出现了不正常的情况。
2 离散平稳小波变换
离散平稳小波变换, 也称平移不变小波变换, 其单步的分解算法如图1所示。
其中Fj, Gj为每次分解用到的滤波器, 同离散小波变换不同的是, 这里变换后的近似系数和细节系数并没有进行下采样, 所以仍然是原信号的长度, 这里使用的滤波器在不同层次分解上是不同的, 每一步的滤波器计算如图2所示:第j+1步采用的滤波器是第j步滤波器的上采样。
在初始状态, cA0=s, F=Lo D, G=Hi D, 随着分解步数的增加, 滤波器也逐步变大。
3 多尺度离散平稳小波主元分析方法
主元分析方法已广泛应用于多变量过程的故障诊断中, 但是传统的主元分析方法只适于分析故障或干扰仅存在于某一固定尺度或频率段上的数据。实际过程中获取的数据, 不仅故障可能发生在不同的时—频范围内, 而且统计过程的能量或功率谱也可能随着时间或频率的改变而改变。为了满足既要减少误差又要顾及数据的多尺度特性, 美国的Bakshi于1998年提出了多尺度主元分析 (Multi-scale Principal Component Analysis, MSPCA) 。MSPCA把PCA捕捉线性变量相关性的能力以及小波变换提取变量局部特征和近似分解变量自相关性的能力综合起来, 以便更有效地分析和监测实际过程变量。Bakshi将多尺度主元分析用于过程运行监测, 分别对动态系统和催化裂化装置 (FCCU) 工业过程进行了仿真研究, 结果表明多尺度主元分析能正确监测过程运行状况。本文在Bakshi提出的MSPCA基础上, 对MSPCA做进一步的改进, 提出了多尺度离散平稳小波主元分析方法。常规的MSPCA在对每个尺度建立PCA模型时, 要对数据进行小波变换, 而小波变换后得到的尺度系数因为下采样, 所以尺度系数依次减少一半, 因此它需要应用滑动窗来抵消下采样, 使尺度系数与原数据一致。而离散平稳小波变换后的尺度系数并没有进行下采样, 因此不需要进行多余的处理, 可直接进行下一步的分析。
首先, 选择反映过程正常运行的历史数据作为多尺度离散平稳小波主元分析的模型数据;接着, 选择适当的小波函数对每个变量的所有采样点进行离散平稳小波变换;然后, 对每个尺度建立PCA模型时, 除最高尺度逼近外, 仅对每个尺度的细节建立PCA模型, 如图3所示。最后, 判断在哪些尺度上有显著事件发生, 将这些尺度上的小波系数进行重构, 然后再计算重构后信号的PCA。
多尺度离散平稳小波主元分析算法如下:
(1) 模型的建立:
(1) 采集正常操作过程数据;
(2) 对数据进行L级离散平稳小波变换;
(3) 对各尺度细节建立PCA模型。
(2) 过程监测:
(1) 根据统计指标Hotelling T2是否超限决定各个尺度是否含有重要信息;
(2) 由含有重要信息的尺度细节和最高尺度逼近来重构原始数据的单尺度估计;
(3) 建立相应的单尺度PCA模型, 并把新数据投影到该模型上;
(4) 计算单尺度模型的控制限。
这里需要注意的就是分解尺度的问题。实际应用过程中, 只有选择合适的小波分解尺度, 才能更好地提取信号的内在特征。通常, 分解尺度L根据L=log2n-5 (n为样本个数) 来确定, 但有些特殊的场合就要采用交叉有效性检验 (Cross-Validation) 方法。
4 应用实例
4.1 Tennessee Eastman (TE) 过程
TE过程[5,6]是一个化工生产过程。它是由美国Eastman化学公司的过程控制小组的J.J Downs和E.F Vogel提出的, 这个案例很适合研究过程控制技术。
TE过程有五个主要的操作单元:反应器、冷凝器、汽/液分离器、循环压缩机和汽提塔。TE过程的流程图由图4给出。TE过程共有4个反应, 生成两种产物, 同时存在的还有一种副产物和一种惰性物。反应变量共8个:A、C、D、E为原料 (气体) ;B为惰性物质;F为反应副产品 (液体) ;G、H为反应产品 (液体) 。化学反应式如下:
其中 (g) 表示气体, (liq) 表示液体。所有的反应都是不可逆的放热反应, 反应速率是温度的函数。反应产品G的反应的活化能较高, 因此对温度更加敏感。另外, 这些反应对反应浓度来说, 可以近似成一阶系统。
TE过程包含12个作为操作变量的阀门和41个可供监控的测量变量。TE模型包括20种预先设定好的故障方式 (见表1) 。
4.2 仿真结果及分析
本文选择了Lyman提出的控制结构进行仿真。训练集和测试集中的数据包含了所有的操作变量和测量变量, 除了反应器的搅拌器的搅动速度, 总共有m=52个观测变量 (不包含搅动速度是因为没有对它进行控制) 。在某特定时刻的观测向量表示为:
训练集中的数据由21次不同的仿真运行数据构成。一次仿真运行 (故障0) 是在没有故障的情况下发生的;其他20次仿真运行 (故障1-20) 中的每一个都是在不同故障下发生的, 每次对应着表5-8的一个故障。每次运行仿真时间都是25小时。仿真开始时没有故障情况, 故障是在仿真时间1小时的时候引入的。对于每一次运行所产生的观测数据总数是n=500。
测试集中的数据也是由21次不同的仿真运行数据构成, 这些仿真运行直接对应着训练集的运行 (故障0-20) 。每次运行的仿真时间都是48小时。仿真在无故障情况下开始, 故障在仿真时间8小时的时候引入。每隔三分钟的采样间隔来采集仿真数据。每一次运行所产生的观测数据总数n=960。下面选取故障4和故障5进行个案的仿真研究。
(1) 故障4的个案仿真研究。
故障4涉及反应器冷却水入水口温度的一个阶跃变化。故障4的明显效应是引起了反应器冷却水流速的阶跃变化。当故障发生时, 反应器中的温度会突然升高这要通过闭环控制进行补偿。这个故障发生以后, 其他的50个测量变量和控制变量仍保持稳定;故障4与正常运行条件下相比, 每个变量的均值和标准差的变化小于2%。这使得对这个故障的检测和诊断具有挑战性。
对故障4, 我们采用主元分析和多尺度离散平稳小波主元分析进行故障监测。故障监测结果如图5所示。图中直线代表控制限, 曲线代表Hotelling T2值。从图5中可以看出, 常规的主元分析方法根本不能监测出有故障发生。而多尺度离散平稳小波主元分析虽在第3小时至第4小时的Hotelling T2值明显超过控制限, 出现了一定的误报, 在第8小时后有几处的Hotelling T2值出现在控制下面, 出现了一定的漏报, 但总的说来, 多尺度离散平稳小波分元分析方法还是能够监测出故障。
(2) 故障5的个案仿真研究。
故障5包括冷凝器冷却水入口温度的一个阶跃变化。这个故障的显著影响是引起冷凝器冷却水流量的阶跃变化。当故障发生时, 从冷凝器出口到汽/液分离器的流速也增加, 这导致汽/液分离器的温度增加, 并且分离器冷却水出口温度也是如此。控制回路能够补偿这个变化, 并使分离器中的温度返回到设置点。达到稳定状态所需的时间大约是10小时, 至于剩下的50个被监测变量, 32个变量具有相似的过渡过程, 大约在10小时之后达到稳定。
对故障5, 我们仍然采用主元分析和多尺度离散平稳小波主元分析进行故障监测。故障监测结果如图6所示。图中直线代表控制限, 曲线代表Hotelling T2值。从图6中可以看出, 在第8小时后, 多尺度离散平稳小波主元分析的T2统计量明显地超过了控制限, 因而可以很明显地监测出故障, 而主元分析的T2统计量却在第9小时才明显超过了控制限而且在第小时时统计量又落在了控制限的下面, 因此在第18小时后, 用主元分析就不能监测出故障。由此看来, 多尺度离散平稳小波主元分析方法在故障监测方面有很好的表现。
5 结论
基于主元分析和小波变换的基本理论, 本文提出一种新的基于离散平稳小波变换和主元分析相结合的多尺度离散平稳小波主元分析进行故障监测的算法。针对TE过程的两种故障, 分别应用主元分析和多尺度离散平稳小波主元分析两种方法做仿真实验。仿真实验结果表明:与主元分析相比, 多尺度离散平稳小波主元分析能有效地检测和识别过程中的故障减少误报警提高了过程监测的可靠性
参考文献
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平稳小波变换论文 篇4
作为解决数字产品版权保护问题的重要手段, 数字水印技术非常值得我们关注。它利用人类的听觉和视觉特性, 在保证从感觉和统计上都是不可察觉的情况下, 往视音频媒体里嵌入与视音频媒体无法分开的信息, 从而跟踪视音频媒体的使用情况, 并借助相关技术手段来保证视音频得到合法使用。
音频数字水印的基本思想是:利用人类的听觉特性, 在保证从感觉和统计上都是不可察觉的情况下, 向数字音频数字产品中嵌入水印信息 (可以是版权标志、用户序列号或者是产品的相关信息) , 并使得该信息一直“粘”在音频媒体上, 无法分开[1]。这样我们就可以一直跟踪音频媒体的使用情况, 对其版权进行有效的保护。
2、离散小波变换概述
离散小波变换相当于对信号进行具有低通和高通性质的双通道滤波处理, 其低通滤波器输出的信号是原始信号的近似信号, 高通滤波器输出的是原始信号的细节信号。经一次DWT变换, 把原信号的频带分为高频和低频相等的两部分, 第二次变换后, 低频部分频带又被等分为高频和低频部分。在实际应用中, 大多数信号低频部分表示的是其原始信号的特征, 高频部分和扰动、噪音等联系在一起[2]。如果除去高频部分, 原始信号的基本特征依然能够保留。低频部分表示的是其原始信号的轮廓、特征, 而高频部分往往是表示的细节。所以, 我们选择将水印嵌入到经DWT处理后的低频部分, 来提高算法的稳健性能。
3、水印图像置乱
通过置乱的方法可以把要嵌入的水印图像的像素在整体数量不变的原则下把顺序打乱。通过水印图像像素的错乱分布来提高水印的鲁棒性。其方法有很多种, 比如有、Hilbert、Arnold、幻方、混沌、图像仿射变换等等置乱技术有很多种, 从容易实现及计算量小的方面考虑, 本论文取用基于Arnold变换的置乱方法[3]。
4、水印算法流程图
(1) 嵌入水印算法流程图如图1所示。
(2) 提取水印算法流程图如图2所示。
5、算法实现
(1) 原始音频分段处理:设A是原始音数据, 根据音频文件类型可以把其分为两个部分AH和AL:A=AH+AL, AH是和文件属性相关的部分, 对其可以不做处理。AL为能够嵌入水印的部分, 长度为L, 若a (I) 为AL第I个数据幅值, 可表示为:A={a (I) , 0I
(2) 水印图像处理:我们选取的水印为大小为64×64的二值图像, 可表示为:M={m (I, j) , 0≤I<64, 0≤j<64}m (I, j) ∈{0, 1}。将原始水印图像的二维数据变为一维数据, 则处理后的水印信号可以表示为:V={v (k) =m (I, j) , k=I×64+j, k=64×64}
(3) 水印置乱:为了使水印有更好的鲁棒性, 对嵌入的水印进行置乱处理, 在这里对图像进行了Arnold进行置乱, 置乱次数n, 可以作为提取水印的密钥 (key) 。
(4) 原始音频信号小波分解:选择合适的小波基进行一维小波三级分解, 如公式:D L=D W T (A L) =CA3+CD3+CD2+CD1。c A3、c D3是三级分解的近似分量和细节分量, c D2和c D1是二级和一级小波分解的细节分量。由于小波分解的近似分量是信号的低频部分, 往往是最重要的, 水印嵌入在这部分可以增强水印的稳健性。因此, 提取这部分小波系数来进行下一步的变换。
(5) 水印信号的嵌入:令CK=CA3这里通过修改系数来进行水印的嵌入, 设C k*为嵌入水印后的音频信号, 则利用乘性规则得到C k*如公式 (1) 。
公式 (1) 中的a是大于0的比例因子, 通过调节它的大小, 在具有听觉不可见性的同时, 又能保证所水印的信号强度, 以便能准确的把嵌入的水印从音频信号中提出, 又不会影响其他系数值的大小。
(6) 离散小波逆变换:以C*代替cA3, 得到嵌入水印后的小波, 变换可以描述为:A’L=C*+cD3+cD2+cD1, 然后坐DWT变换, 变换后就能得出时域中包含数字水印的音频信号:A’L=IDWT (D’L) 。将A’L替换AL就能得出最终包含水印信息的音频:Aw=AH+A’L。
(7) 水印的提取:通过排序选择长度满足水印长度的Csk, 进行水印提取, 根据水印嵌入的位置和原始音频信号的Ck, 依据乘性规则逆向求解公式 (2) 可得到数据序列。
(8) 逆置乱:将得到的序列{v’ (k) }进行逆置乱, 得到水印信号的一维序列{v (k) }。
(9) 升维处理:对水印序列{v (k) }作升维处理见公式 (3) , 将一维的序列变为二维的图像:Ws={ws (I, j) =vk, 0≤i≤M1-1, 0≤j≤M2-1, k=I×M1+j} (3)
6、结语
本文对变换域内, 对离散小波域的音频水印算法的进行了研究与实现。利用离散小波变换和离散小波逆变换, 将水印图像经过置乱处理后嵌入到音频信号中并提取。笔者将该算法通过仿真软件实现水印图像的嵌入, 音频信号的小波变换, 水印图像的嵌入及提取。并且在各种攻击下对水印的鲁棒性进行了测试。从实验结果分析出该水印算法有较好的鲁棒性。
摘要：本文提出基于离散小波域的音频水印算法。对要嵌入水印的音频数据进行小波变换三级分解。水印图像经过置乱处理后, 再进行降维处理按乘性规则嵌入到经过三级DWT分解的近似分量中, 然后和三级DWT的细节分量一起经过逆变换处理产生嵌入水印的音频信号。通过上述过程的逆变换从嵌入水印的音频信号中提取出水印。
关键词：变换域,离散小波变换,音频,水印算法
参考文献
[1]刘海燕.数字音频水印主要算法的研究与比较[J].计算机应用研究, 2007.24 (9) :136~139.
[2]鲁晓斌.音频数字水印算法研究[J/OL].1994-2006China.
平稳小波变换论文 篇5
医学图像融合技术是当代医学图像处理领域的前沿课题, 也是当前国内外研究的热点。目前的医学成像模式可分为两类:解剖成像和功能成像。临床上通常需要对一个病人进行多种模式或同一模式的多次成像, 医学影像技术中的x线、CT (Computed Tomography) 、MRI (Magnetic Resonance Imaging) 及超声等属于解剖成像, 分辨率高, 可为人体提供比较详细的人体解剖信息结构;PET (Positron Emission Tomography) 、SPECT (Single Photon Emission Computed Tomography) 、FMRI (Functional Magnetic Resonance Imaging) 等技术则属于功能成像, 分辨率较低, 但可为临床提供丰富的人体代谢信息。把各种医学图像的信息有机地结合起来, 完成多模式图像融合, 不仅可以优势互补, 而且还有可能发现新的有价值的信息[1]。
医学图像融合方法种类繁多, 近年来, 随着科研人员对小波技术研究的进一步深入, 小波技术在图像融合中得到了充分地利用。杨立才[2]和孙海静[3]都对用小波变换和小波包变换所产生的融合效果进行了比较, 两篇文献所采用的数据均为CT图像和MRI图像。进行比较时前者的客观评价指标包括平均梯度、均值、标准差、信息熵和相关系数, 后者的客观评价指标包括信息熵、均方根误差、峰值信噪比和最大互信息, 两篇文献的比较结果都显示小波包变换的融合效果优于小波变换的。张颖[4]和康圣[5]详细介绍了常用的十多种客观评价图像融合质量的方法。本文分别利用小波变换和小波包变换对CT和PET图像进行融合, 并用常用的十多种客观评价指标评价融合质量, 以便分析当对CT和PET图像进行融合时, 小波包是否也优于小波。
1 材料与方法
本文用小波变换和小波包变换对已经配准好了的CT和PET图像进行融合, CT图像为8位位图, PET图像为24位真彩色图像, 进行小波变换和小波包变换时, 所用的小波函数为db2, 对图像进行2层分解。
1.1 小波变换与小波包变换的区别
小波变换把图像分解成低频和高频两个部分, 低频部分表征图像缓变的区域信息, 高频部分表征图像边缘等突变的细节信息。在分解过程中, 低频中失去的信息由高频捕获, 在下一层分解中又将上一层的低频部分分解成低频和高频两部分, 同样, 在这一层低频中失去的信息也由高频捕捉, 依此类推, 可以进行更深层次的分解。由于小波分解只是对低频部分进一步分解, 而高频部分不再分解, 所以采用小波变换将会失去由高频捕捉的部分细节信息。小波包分析能够将图像信号频带进行多层次划分, 对小波变换没有细分的高频部分进一步分解, 从而弥补了小波变换丢失的高频信息[2]。孙海静[3]介绍了小波变换和小波包变换对医学图像进行融合时的具体实现过程。
1.2 融合规则
对源图像A、B分解后的低频部分CL, A、CL, B取平均值作为融合后图像F的低频部分CL, F, 即:CL, F= (CL, A+CL, B) /2。
对源图像A、B分解后的高频部分CH, A、CH, B分别进行3*3区域标准差计算, 取标准差大的高频部分作为融合后图像F的高频部分CH, F, 即:
STDA、STDB分别为源图像A、B在3*3区域的标准差。
1.3 融合质量评价指标
采用熵、交叉熵、互信息、均值、标准差、均方误差、梯度差、相关系数、峰值信噪比和空间频率来评价融合质量。在这些指标中, 均方误差和峰值信噪比都需要理想的融合图像, 由于没有该CT和PET图像的理想融合图像, 求峰值信噪比需要用到均方误差, 将融合图像分别与CT和PET图像之间的均方误差的平均值作为所求的均方误差值, 再利用所得的均方误差值求峰值信噪比。求交叉熵和相关系数时, 将融合图像分别与CT和PET图像之间的交叉熵和相关系数的平均值作为所求的交叉熵和相关系数。所用评价指标的数学表达式可参考文献[4]和[5]。
2 试验结果及分析
2.1 试验结果
待融合的源图像CT图像和PET图像如图1 (a) 和1 (b) 所示, 用小波变换方法融合后的图像如图1 (c) 所示, 用小波包变换融合后的图像如图1 (d) 所示。
用1.3节中介绍的融合质量评价指标对图1 (c) 和图1 (d) 进行比较, 得到的结果如表1所示, 表1中的r、g、b分别为融合图像的红色、绿色、蓝色分量。
2.2 结果分析
从表中的数据可以看出, 小波包变换的熵值比小波变换的大, 可认为小波包变换所包含的图像信息较丰富。小波包变换的交叉熵比小波变换的大, 因此用小波包变换所得的融合图像与源图像对应像素之间的差异较大。小波包变换的互信息值比小波变换的大, 表明用小波包变换所得的融合图像从源图像中所获取的信息量更大。小波包变换的峰值信噪比较小波变换的略小, 可知用小波变换所得的图像失真程度略小。小波包变换的空间频率比小波变换的小, 即用小波包所得的融合图像活跃度比小波变换的小。小波包变换的相关系数比小波变换的大, 说明用小波包变换所得的融合图像与源图像的相关程度高。小波包变换的均值比小波变换的略大, 可认为用小波包变换所得的融合图像比小波变换的明亮。小波包变换的均方误差和小波变换的大致相同, 因此用这两种变换所得的融合图像与源图像在信息上的相似程度大致相同。小波包变换的标准差略小于小波变换的, 即用小波变换所得的融合图像的像素灰度离散特征较小波包变换的明显。小波包变换的平均梯度小于小波变换的, 表明用小波变换所得的融合图像的细节清晰度较高。
3 结束语
由分析结果可知, 用小波变换对CT和PET图像进行融合所得的效果与用小波包变换对CT和PET图像进行融合所得的效果相比, 用小波包变换所得的图像信息较丰富、从源图像中所获取的信息量更大、与源图像的相关程度高且比小波变换的明亮, 但用小波变换所得的图像与源图像对应像素之间的差异较小、所得的图像失真程度略小、活跃度较大、像素灰度离散特征较明显、细节清晰度较高, 另外, 用小波变换进行图像融合处理时, 算法较用小波包的简单。因此, 在对CT和PET图像进行融合时, 小波包并不一定更占优势, 要根据自己的实际需求来决定选择使用小波变换还是小波包变换。
摘要：分别用小波变换和小波包变换对CT和PET图像进行融合, 用常用的十种图像融合质量评价指标对融合效果进行比较。结果表明小波包变换的融合质量评价指标只有部分是优于小波变换的。在对CT和PET图像进行融合时, 小波包并不一定更占优势, 要根据自己的实际需求来决定选择使用小波变换还是小波包变换。
关键词：小波变换,小波包变换,图像融合,CT,PET
参考文献
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[4]张颖.医学图像融合及融合质量评价研究[D].西安:西安电子科技大学电路与系统专业, 2009:33-49.
平稳小波变换论文 篇6
数字音频水印的分类方法有很多种,一般根据嵌入水印时对音频信号的处理方式不同,可以将水印算法分为时域水印算法和变换域水印算法。时域水印算法复杂度较低,但是水印脆弱,变换域算法复杂度较高,水印鲁棒性好。
倒谱域的水印算法即属于变换域范畴,由于信号倒谱系数具有很大的不相关性,且倒谱能量主要集中在零点附近,使得倒谱变换已成为语音信号分析中的一种强有力的工具,成为近年来研究者的一个研究方向。
文献[1]利用在受到攻击时,音频信号倒谱系数变化很小的特征,结合具有纠错能力的BCH码,进行水印的嵌入和提取。文献[2根据倒谱系数的特性及人耳听觉系统的掩蔽特性(HAS),结合扩频的方法嵌入水印。文献[3]将时域中的突变点作为水印帧的起始点,先计算出每帧的倒谱系数均值,然后将该帧内的每个倒谱系数减去该均值,进行水印的嵌入。文献[4]采用统计均值处理法嵌入水印,实验表明算法具有良好的鲁棒性和不可感知性。文献[5]提出一种复倒谱域的自适应音频盲水印技术,采用原始音频的一个或两个特征参数估计引起失步的参数,在水印检测前利用估计的参数对其进行同步恢复,重新获得检测和嵌入的同步。文献[6]依据音频信号掩蔽度的大小,选取嵌入帧和调整嵌人强度,采用统计均值的调制方法,实现了水印的嵌人位置和嵌人强度两方面的自适应嵌人。
为了能充分利用倒谱系数的特征,本文算法将倒谱系数两端较大的值截取掉,只取中间平稳部分的系数,利用统计均值思想,同时结合小波变换,实现了很好的仿真结果。
2 信号的倒谱变换
假设信号s(n)的傅立叶变换为S(w),则信号s(n)的倒谱变换如下:
图1为一段信号的倒谱系数分布图。
从图1可看出,信号的倒谱能量主要集中在零点附近,而且两端倒谱系数分布不平稳,算法正是利用了倒谱系数的这种性质。
2.1 算法描述
首先先将载体信号进行小波分解,选择低频区域数据,然后进行倒谱变换嵌入水印。其次对低频区域数据进行倒谱变换,同时去掉倒谱系数两端起伏较大的部分,取中间平稳的部分,然后利用统计均值思想对倒谱系数进行修改,从而嵌入水印,嵌入流程如图2所示。
3水印的嵌入和提取
3.1 水印的嵌入
1)水印图像的降维。实验中的原始水印w是二维图像,要将其嵌入到一维数字音频信号s(n)中,必须进行降维处理,将其转化为一维序列p,即
2)将载体分段。假设音频信号的总采样点数为L,每段采样点数为L1,总段数N=floor(L/L1)。
3)对嵌入水印的段进行小波分解。
4)取低频系数并对其进行倒谱变换。
5)去掉倒谱系数首尾不平稳的部分。算法去掉倒谱系数首尾各10个采样点。
6)利用统计均值思想处理倒谱系数得到倒谱系数的相对值。
7)嵌入水印。设定阈值T,对相对倒谱系数进行微调修改,得到第j段信号最终的倒谱系数,从而实现水印的嵌入,嵌入公式如下:
8)重构音频信号。用Matlab提供的icceps()函数实施逆倒谱变换,用waverec()函数进行小波重构。最后将嵌入水印的信号放回原来的段中。
3.2 水印提取
嵌入”1”时,第j段最终的倒谱系数均值大于0。同理嵌入”0”时,第j段最终的倒谱系数均值小于0。故提取公式如下:
4 仿真实验
实验中采用的水印为一个35×36的单色二值图像,音频载体为单声道WAVE语音文件,采样频率为44.1kHz,量化精度为16bit,长度为4分钟,T=0.028,L1=4096。
为消除主观因素的影响,使用互相关系数NC对原始水印与提取的水印的相似度做客观评价。互相关系数NC为:
4.1 仿真结果
为了检验水印的健壮性,对已嵌入水印的音频进行常见的攻击仿真实验。
而在倒谱域算法中,还有一种常见的算法,其基本思想是把音频信号划分为包含相同采样点的若干帧,对指定帧实施复倒谱变换,将倒谱系数均值与阈值进行比较,结合水印序列的值,调整倒谱系数的均值来嵌入水印。
笔者在研究倒谱域算法时,也对其进行了Matlab实现,在NC和BER两个标准下,将实验结果对比如表1所示。
从对比可看,本文算法将倒谱变换和小波变换结合起来,充分利用了两者的优点,获得了较好的仿真结果。
5 结束语
本文提出了一种基于小波变换的倒谱域数字音频水印算法。算法将倒谱变换与小波变换相结合,充分利用了小波变换和倒谱变换的特性,选择小波低频区域,去掉倒谱系数两端不平稳部分,同时结合统计均值思想,获得了较好的仿真结果。
通过实验仿真证明,水印通过该嵌入算法,嵌入水印后的语音与原始语音在听觉上基本一致,并且在抵抗常见信号处理,如滤波、加噪、重采样、重量化、有损压缩和音量变化等方面表现出良好的稳健性。
参考文献
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[5]张力,钱恭斌,纪震,李霞.复倒谱域自适应音频盲水印技术[J].计算机工程,2007,33(4).
浅析小波变换理论及其应用 篇7
小波变换的发明来自于J.Morlet (法国地球物理学家) , 他为了改善短时傅里叶变换 (STFT) 依赖于窗位置和频率分量的分析方法, 对窗函数进行收缩与平移构造的基函数变换, 用于地震波和石油勘探的研究, 改善了傅里叶变换的高频分量只有较短时间分辨的缺点, 正是由于这种收缩与平移构成了小波变换的基础。
作为当前科学和工程领域的使用频繁和的技术热点和手段, 小波变换对于信号分析和图像处理具有自己的特点, 具有广泛的应用价值。S.Mallat提出了小波变换的马拉特快速算法, 因此增加了小波变换的实用性。[1]
由于小波变换在不同时频采用不同划分方式, 所以具有频率局域性的特点。小波理论是傅立叶分析的新发展, 既有傅里叶变换的优点, 又弥补了它的不足, 拓展了应用领域, 一切傅里叶变换应用的领域均适用于小波变换。尤其在当今高速发展的通信领域, 很多技术方案都采用小波变换算法, 实现信号的高速传输。
1 小波变换的原理
小波变换对于函数非均匀地划分时间轴和频率轴, 一般对高频分量分析时采用短的时间窗口, 对低频分量分析时采用长时间窗口。这样在所能得到的时频区都能获得比较好的的时间和频率分辨率。
小波变换的基本形式是一个函数与某个基函数的进行评议伸缩后再乘积的一种积分运算, 该基函数称为小波包。傅里叶变换的基函数是时间属于 (-∞, +∞) 的函数eiωx, 而小波变换的基函数是带有紧支集的母函数, 然后对该基函数进行伸缩和平移, 从而得到一个小波包序列进行小波变换。和傅里叶变换一样, 小波变换也分为连续的和离散的, 这里简单介绍一下连续小波变换。
连续小波变换其正变换为:
其中, a为与频率相关的伸缩因子, b为时间平移因子。
逆变换为:
的选取选取很重要, 常常取决于实际应用。小波函数在几何形状上一般都具有两个基本特点[2]:必须是振荡函数和迅速收敛的函数。在选取或自己构造小波函数时, 必须遵循以上两个准则。伸缩因子和时间平移因子的不同选择会造成小波函数的函数形式很大的变化。
2 小波变换的特点
小波变换在时域频域具有局域性的和多分辨率分析的特点, 将信号分解为对数中具有相同大小子频带的集合, 像一个“数学显微镜”, 通过基函数伸缩和平移再和原信号进行积分构成, 分解为一系列具有不同空间分辨率、不同频率特性和方向特性的子带信号, 这些子带信号具有良好的时域、频域等局部特征, 实现对信号时间、频率的局部化分析, 而这是傅里叶变换分析所不能的, 也是小波变换的最大特点。同时, 小波变换保留了傅里叶正反变换的完美的对称性。
在短时傅里叶变换中, 采用了窗函数g (t) , 对于线性平稳信号分析较好, 而对于信号变换剧烈则显力不从心, 小波变换较好地解决了时频分辨率的矛盾, 巧妙地采用非均匀地划分视频段, 利用了非均匀分布的分辨率, 在低频段用高的频率分辨率和低的时间分辨率, 在高频段则采用低的频率分辨率和高的时间分辨率。也就是说和STFT不同, 频率越高, 伸缩尺度因子越大, 宽度越窄, 反之宽度越宽。[3]在时频分辨率上得到一个较好的平衡结果。
短时傅里叶变换是正交的, 时宽频宽乘积比较大, 而小波变换并不要求正交性, 视频宽度乘积可以变得更小, 展开系数的能量集中。小波变换在时域、频域中的窗宽是可调的, 高频时取小的窗宽, 低频时取大的窗宽。这种方法对随时间变化剧烈的信号在分析上有明显的优越性。
3 小波变换的应用
小波变换在实际工程应用中具有特别的价值, 广泛应用于神经网络, 信号分析, 图像识别, 语音合成, 检测去噪等方面, 成为这些领域的研究热点。
基于小波的神经网络是当前研究的热门课题, 1992年就有学者把小波变换和神经网络结合起来[4], 避免BP网络结构设计的盲目性, 通过仿真结果可以说明, 设计的小波网络比前向神经网络精度高, 而且优点很快显示出来, 具有分层、多分辨率和局部学习等等特点, 结构清晰, 具有明确的全局和局部误差估计, 可以利用一些快速方法使得计算复杂性较低, 良好的自适应性等。此外, 小波变换还应用在与模糊逻辑, 与专家系统的结合等几个领域, 也在国内受到重视, 具有不错的推广应用价值。[5]
在检测领域中, 小波变换可以对心血管音、脑电位、晚电位等生物医学信号进行分析, 所得尺度谱的分辨率比一般谱图的分辨率要高, 一些研究中的实验结果表明, 尤其对于生物检测中的瞬态信号, 经过小波变换后更易提取以及分析[6]。图像边沿检测是可以应用小波变换的另一个方面, 在计算机图像视觉技术中, 边沿具有突变性, 小波变换具有检测局部突变的能力, 因此是检测边沿的良好工具。
在图像去噪领域, 研究者也应用小波变换方法来帮助去噪, 取得不错的效果。在一幅图片中, 有许多点是噪声引入的极值, 通常噪声干扰引入的极值数值较小, 而边沿引起的极值数值较大, 因此类似滤波器, 设置一个阈值, 较小极值点的地方进行滤除, 而较大极值点连接成的图形得以保留, 这部分即是不同分辨率下图像中主要物体的边沿, 最后通过提取边沿结果重建原始图像。[7]
小波变换在数据传输领域则是它在光域或4G关键技术的OFDM中的使用。OFDM可以采用傅里叶变换或者小波变换, 采用傅里叶变换的OFDM需要插入循环前缀来保证数据传输的准确, 这样对于一个带宽一定的系统, 增大了传输信号的传输负担, 相应必须增大模数转换器和数模转换器的采样速率, 浪费了宝贵的带宽资源, 而通过小波变换的OFDM调制技术则不需插入循环前缀, 传输时划分的子信道以小波包为基函数进行调制, 生成正交信号排列, 传输速度和传输质量的提升效果都很显著。
4 总结
小波变换是从傅里叶变换发展而来, 从本质上说, 小波变换的存在和证明都依赖于傅里叶变换, 其自身使用存在一定局限性, 并不能取代傅里叶变换, 这两种工具都有着无可取代的价值。
正因为小波变换的时频局域性, 在理论研究和工程应用方面得到更多的应用并成为人们的研究焦点, 例如在信号处理, 图像处理, 模式识别, 故障检测等很多领域有着骄人成果和广阔的发展前景。
尤其当前电子就算就时代, 利用很多计算机软件的强大运算能力, 更能方便的进行小波变换而不用去考虑计算量, 例如有的研究者就用MATLAB实现小波变换模块, 在实验平台上根据实验结果直接进行工程分析[8]。
摘要：本文介绍了小波变换的发展历史, 基本原理, 比较了小波变换与傅立叶变换的各自不同的特点, 讨论了当今传输系统中小波变换的应用, 通过这些介绍分析, 得出小波变换算法在信号处理、瞬态分析、图像处理等方面的优势, 最后对小波变换理论的发展及其应用前景作了展望。
关键词：小波变换,傅里叶变换,OFDM,模式识别,神经网络
参考文献
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