小波变换极大值

2024-09-19

小波变换极大值（共6篇）

小波变换极大值篇1

摘要：小波变换对信号的跳变点和奇异点有很好的检测能力,其应用相当广泛。数字信号在码元边界上由于幅度、频率或相位的变化而产生变化,利用小波变换的模极大值方法可以对数字通信信号的码元跳变点进行检测。计算机仿真结果表明,该方法对码元的跳变点检测具有很高的精确性。

关键词：小波变换,数字通信信号,码元跳变点,模极大值

0 引言

小波变换分析法广泛应用于机械故障点检测、电力系统故障点检测、脑电图心电图异常检测以及地震信号的检测等。长期以来,傅里叶变换是研究信号跳变性和奇异性的主要工具。根据信号的傅里叶变换趋于零的快慢可以推断出信号是否具有跳变性和奇异性,以及跳变性和奇异性的强弱。但是傅里叶变换缺乏空间局部性,它只能确定一个信号跳变性和奇异性的整体性质,而难以确定跳变点和奇异点在空间的位置和分布情况。小波分析具有空间局部化性质,利用小波变换来分析信号的跳变性和奇异性空间位置是比较有效的。

Mallat S[1]和O Rioul[2]等人将小波变换分析方法用于故障点的检测,国内也有孙成祥[3]、袁海英[4]等人将此方法应用于故障点的检测。另外国外Accame M,Francesco G B[5]等人以及国内的田岩岩、齐国清[6]等人将小波变换应用于图像信号的处理。K.C.Ho,W.Prokopiw和Y.T.Chan[7]将小波变换分析法用于数字通信信号的处理,他们是通过分析数字通信信号经过小波变换后取得的幅度值来达到分析数字信号的目的。刁彦华[8]、田岩岩[6]利用小波变换的模极大值对信号进行分析,前者利用小波变换的模极大值检测故障点,后者利用小波变换的模极大值对图像信号进行处理。

在数字通信信号中,同一码元内或者相邻码元相同时,信号小波变换的幅度为恒定值。如果数字通信信号的小波变换区间存在码元变化,则小波变换后的幅度值取决于前后码元的幅度、频率或相位大小。本文利用小波变换模极大值的方法来判别数字通信信号码元的跳变点。通过检测数字通信信号的码元跳变点可以进一步分析出信号的码元速率、码元宽度等重要的通信信号信息,有利于对通信信号的进一步识别与处理。

1 数字信号的小波分析

1.1 小波变换原理

“小波”是在有限时间间隔内进行传播然后衰减的,基本小波(也叫母小波)函数Ψ(t)在实轴(-∞,+∞)上,它满足以下两个特性:

①Ψ(t)的积分等于:

∫ $_{- \infty}^{+ \infty}$ Ψ(μ)=0 (1)

②Ψ(t)的均方积分等于1:

∫ $_{- \infty}^{+ \infty}$ Ψ2(μ)=1 (2)

小波变换的定义是把基本小波函数Ψ(t)做位移τ后,再在不同尺度下与待分析的信号做内积:

上标表示复数共轭。

1.2 基于小波变换模极大值检测原理

信号跳变点的位置有时是由小波变换的过零点反映的,有时是由其极值点反映的。一般地说根据过零点作检测不如根据极值点。过零点易受噪声干扰,而且有时过零点反映的不是跳变点,而是信号在慢变区间的转折点。

图1中函数θ(t)为高斯函数,与信号函数s(t)卷积得出图1中的第二个图形。其中高斯函数θ(t)的表达式为:

可以看出,信号s(t)*θ(t)只有两个跳变点,分别在t1和t3时刻,过零检测出现三个过零点,其中t2时刻并不是信号的跳变点,其反映的是s(t)*θ(t)的转折点。因此过零检测存在误差,本文采用小波变换模极值点来检测数字通信信号码元的跳变点。

要使极值检测有效,选取的母小波必须满足以下条件:首先,母小波应是某一平滑函数的一、二阶导数;其次,尺度α必须适当。符合这一条件的母小波如表1所示:

由于前面三种小波系的母小波没有明确的解析表达式,本文选用解析表达式较为简单的Gaussian小波系的gaus2小波作为母小波。gaus2小波是高斯函数的二阶导数,其表达式为:

其图形如图2所示。

1.3 数字通信信号的码元跳变检测

下面以二进制幅度键控(BASK)信号为例。对于BASK信号,载波幅度随着通信信号序列的变化而改变,其表达式可写为:

SBASK(t)=B(t)cos(2πfct) (6)

式中fc为载波频率,B(t)是一个二进制序列:

uTs(t)为单位幅度的矩形函数,其支撑区间为[0,Ts],Ts是信号的码元周期。在本文fc取值为1,An取二进制数字0和1,且出现概率分别是P和1-P。BASK信号的小波变换表示为:

考虑在时间间隔ti-1<t<i(i+1)内的BASK信号。假设信号码元在时刻ti信号幅度发生跳变,跳变幅度a=Ai+1-Ai-1,其中i是一个整数,则在时间ti-1信号的小波变换为:

在时间ii+1信号的小波变换为:

在ti时刻码元跳变处的小波变换为:

由(8)～(10)式可以看出,BASK信号小波变换在同一码元或者相邻码元相同时,小波变换系数值为恒定。当小波函数覆盖信号跳变位置时,小波变换系数值发生变化,且与前后码元的小波变换系数值不相同。

在某一尺度α0下,如果存在一点(α0,τ0)使得 $\frac{\partial W_{s} (α_{0}, τ_{0})}{\partial τ} = 0$ ,则称点(α0,τ0)是局部极值点,且 $\frac{\partial W_{s} (α_{0}, τ_{0})}{\partial τ} = 0$ 在τ=τ0上有一个模极大值点。如果对τ0的某一邻域内的任意点τ,有Ws(α0,τ)≤Ws(α0,τ0),则称(α0,τ0)为小波变换的模极大值点。BASK信号在码元跳变处的小波变换模值为:

假设在ti时刻信号码元从“1”跳变到“0”,则由(6),(7)式,可得(12)式为:

对τi的偏微分为:

选择适当尺度ai,使 $\frac{\partial W_{s} (α_{i}, τ_{i})}{\partial τ} = 0$ ,则BASK信号小波变换的模取得极大值,即码元在该处发生跳变。运用此结论,可对数字通信信号波形进行小波分析,以此来判别数字通信信号码元的跳变点。

对于加噪声的BASK信号,其表达式为:

XBASK(t)=SBASK(t)+n(t)=B(t)cos(2πfct)+n(t) (15)

其中SBASK(t)为BASK信号表达式,n(t)为高斯白噪声。加噪BASK信号的小波变换为:

其中WBASK(α,τ)和ξ(α,τ)分别是信号和噪声的小波变换。小波变换可以把噪声均匀地分布在频率轴,因此有一定的降噪性能。噪声n(t)的gaus2小波变换ξ(α,τ)可以表示为:

这表明gaus2小波对噪声有一定的抑制作用。

2 实验仿真

为了说明用小波变换模极大值来判断数字通信信号码元跳变点的有效性,用计算机仿真BASK信号,并用小波变换来分析判断BASK信号码元的跳变点。令BASK信号码元为:10010110。其中,“0”的码元幅度为0,“1”的码元最大幅度为1。无噪声的BASK信号仿真如图3所示。

由图3可以看出,使用小波变换模极大值法,可以明显地判别出BASK信号码元的跳变点。由于其在跳变处分析数据取得极值,因此可在时域上准确地判读出码元跳变的时间。

图4为加噪的BASK信号小波分析码元跳变检测图,其信噪比(SNR)分别为5dB和15dB。在加入噪声后,使用小波变换模极大值法虽然有噪声影响,但仍可以判别出BASK信号码元的跳变点,证明了此方法在信号含噪情况下的有效性。

在分类仿真实验中,分别对BASK,2FSK,2PSK及16QAM信号进行了800个采样点的100次仿真实验。图5标示了在不同信噪比下,本文提出的方法对数字通信信号码元跳变点的准确检测概率。

2FSK信号的码元跳变点由频率变化引起,2PSK信号的码元跳变点由相位变化引起,16QAM信号的码元跳变则是由于幅度和相位的联合变化引起的。从图5可以看出,利用小波变换的模极大值方法,在高斯噪声环境下,即使在小信噪比的情况下,仍可得到比较高的码元跳变检测率,证实了基于小波变换的数字通信信号的码元跳变检测的有效性。

3 结束语

利用小波变换,提出了针对数字通信信号码元跳变检测的方法:采用某一平滑函数(Gaussian函数)的二阶导数作为母小波(gaus2),对数字通信信号进行小波变换,在码元跳变处小波变换的模取得极大值,通过检测极大值来判断码元跳变点。并通过仿真实验证明了该方法检测数字通信信号码元跳变点的准确性。

不同的数字通信信号是由于不同的原因产生码元跳变,通过进一步分析码元跳变点,运用统计模式识别方法或决策理论方法,可以进一步判断出数字通信信号的码元宽度、符号率、通信类型等重要的通信信号信息,在通信对抗中具有重要的应用价值。

小波变换极大值篇2

关键词：小波变换,模极大值,边缘提取

0 引言

现代遥感技术为我们提供了一种新的重要的获取信息的手段,通过对遥感影像不同地物边缘特征的提取来生成各种专题地图,满足不同用户的需求。遥感图像边缘特征的提取在测绘界、计算机图像处理领域都是研究的热点,传统的边缘提取算法是以原始影像为基础,但是噪声信号和边缘信号没有严格的区分开,直接使用边缘提取算子,利用临近边缘地方的一阶和二阶方向导数的变化即梯度来检测边缘,如robers算子、canny算子、Kirsch算子等差分算子以及曲线拟合法来提取,所以提取出来的边缘信息携带噪声。

影像边缘的种类一般是灰度值变化的转折点和突变点,利用小波变换对突变信号的敏感性和去噪的有效性以及在时域和频域能有很好的边缘定位能力,将小波变换用来进行边缘检测,1992年S.Mallat利用二阶中心B样条小波实现了多尺度边缘提取,为小波边缘提取奠定了基础[1],随后出现了很多改进的算法,如构造新的小波基函数、阈值的自适应选取等。本文在小波变换的模极大值点对应于信号的突变点的基础上,通过改进二进制小波变换的阈值算法检测这些模极大值点的位置来确定遥感影像的边缘。

1 基于小波变换模极大值的理论基础

1.1 小波变换模极大值用于信号多尺度边缘检测的可行性

设平滑函数为θ(t),则,一个函数f在尺度s下的边缘定义为f*θs(t)的局部突变点,,小波变换的系数为:

公式(1)表明小波变换系数对于边缘检测突变点的敏感性,通过图1可知,通过小波变换Wf(s,u)的模值的极大值对应的点就是边缘检测点,随着尺度的增加,边缘信号变的比较稳定但是边缘定位精度不高。

1.2 小波变换的模极大值多尺度边缘检测的方法

对于图像f(x,y)具有N×N个像素,即f(x,y)={dxy}1≤x,y≤N此时,最多只需要在log,N+1个尺度上对f(x,y)进行分解,选择二维平滑函数构造离散滤波器,即在尺度2j上,二进制小波变换为:

点(x,y)的模值为[2]:

梯度与水平轴的夹角(相角)为:

变化剧烈的边缘点是沿着(2)式方向为局部极大值的那些点,是f(x,y)*(x,y)中具有灰度变化的点的集合,的大小反映f(X,y)*(x,y)在点(x,y)灰度变化的剧烈程度,完全刻画了f(x,y)*(x,y)的灰度变化特征,在可能的边缘集合Pj{Pj(x,y)}1≤x,y≤N,如果(x,y)为

模极大值点,则Pj(x,y)=1,否则pj(x,y)=0。但是仅沿着尺度搜索小波模极大值对于奇异性检测还是不充分,还需要从模极大值的衰减性计算函数在一点的Lipschitz正则性

1.3小波模极大值与Lipschitz的关系

设0≤a≤1,函数f(x)在[a,b]上有一致Lipschitz指数a的充要条件是存在一个常数A>0,使得,小波变换满足[3]

这样以相应尺度的对数log2s (这里的s为2j)和极大模的对数为横纵坐标拟合得到的直线斜率即为Lipschitz指数。由此可知,对于连续信号,函数f(x)的Lipschitz指数a>0,该函数的小波变换模极大值将随着尺度的增大而增大,对于噪声,其Lipschitz指数为负,并且随着尺度的增大,小波变换系数却是减小的。这样就可以根据信号和噪声的小波变换系数随尺度变化的不同传播特征将它们区分开来。

2基于小波变换模极大值改进阈值算法遥感影像边缘提取

不同来源的遥感影像经过图像纠正融合后,含有丰富的地物信息,通过对各尺度小波变换模极大值的边缘提取,得到各个地物轮廓边界,但是有界变差的含噪影像,在小波基下取阈值会产生极小化的风险,如果选择不合适的阈值,太大将会使影像的边缘变的粗大模糊,反之会使边缘变的太细小,甚至出现断裂的情况,根据遥感影像的实际特点,改进的阈值算法如下:

(1)将不同遥感来源的遥感图像进行重采样、纠正和融合处理。

(2)选择合适的小波函数进行二进制小波变换,一般为4～5个尺度,按照公式(2)计算得到、

(x,y)由公式(3)和(4)得到相应的模极大值(即待选的边缘点的集合)和相角A2jf(x,y),确定梯度方向和沿此方向的模极大值。

(3)去除那些随尺度增加而模极大值急剧减小的点,即粗噪声,根据阈值方法,发挥大小尺度的优势。对各尺度上的边缘图像进行综合,得到精确的单边像素宽的边缘:

①首先利用Lipschitz指数根据信号和噪声的小波变换系数随尺度变化的不同传播特征将它们区分开来。其次从各个尺度的模极大值平均值作为阈值A,若极点对应的幅值的绝对值小于A,则去掉该极值点,否则予以保留,作为待选点和传播点,模极大值所对应的点的集合为Pj={Pj=Pj (x,y))1≤x,y≤N。

②对于模极大值在某个较大阈值以上的Pj中部分点肯定是边缘,相应较小阈值以下的Pj中部分点肯定不是边缘,介于两者之间的对应的点可能是边缘也可能是噪声,存在一定的模糊性,这种点我们称为“第三类”点,记为Cj={Cj (x,y)}1≤x,y≤N其中CjPj。

③对Cj中的点进行边缘提取,采取的原理是任何边缘与边缘走向垂直的方向都有一个局部峰值这个特点[4],可在与边缘垂直方向上选一个小直线邻域,即与边缘垂直方向的直线上,该点的两个方向相邻的两个或三个点,若此点至少在一个方向上的小邻域中是极大值,则是边缘,否则就不是,具体满足以下的点:

公式(6)中ε为任意小的正数,对于水平方向的边缘点或者垂直方向的边缘,选取模值不少于其上下邻域或左右领域严格大于其中之一的点。

④对通过步骤②、③得到的模极大值对应的点采用分段三次样条插值算法进行小波系数重构,得到单边像素的遥感影像边缘。

3 实验结果

我们用融合后多光谱TM图像和SPOT图像进行边缘提取,几种方法提取的结果如图2所示,在提取边缘的时候应该尽可能的取真实边界,同时不丢失边缘信息。可以看出Robers[5]简单算子提取后的边缘很模糊,几乎无法分清地物的类别边界,也无法区别边缘和噪声,canny算子检测到的边缘比较明显,但是噪声也比较大,利用本文基于小波变换模极大值改进阈值算法遥感影像边缘提取边缘,不仅噪声小,而且体现了图像原有的纹理特征和边缘特征,取得了比较理想的效果。

4 结束语

基于小波变换的模极大值改进阈值算法用于遥感影像边缘提取,克服了其它算法不考虑边缘之间的联系,无法区分边缘和噪声等缺点[6],是对得到的模极大值进一步筛选,滤波器系数简单,计算量小,得到了轮廓清晰的边缘,为下一步各项专题图的制作奠定了基础。但是模极大值改进阈值算法提取边界,没有进一步区分边界的结构,所以会检测出所有的边界,而小波变换的阶梯型边缘检测算法[7],可抑制其它的边缘结构,比较有效的根据需要提取边缘,结合快速度的边缘计算,将是未来小波用于图像边缘提取的发展方向。

参考文献

[1]胡学鹃，阮双琛，刘承香．基于小波变换的近红外图像特征提取方法[J]．深圳大学学报(理工版)，2006，23(2)：102～105．

[2]李弼程，罗建书．小波分析极其应用[M]．北京：电子工业出版社，2003：136～137．

[3]徐晨，赵瑞珍，甘小冰．小波分析应用算法[M]．北京：科学出版社，2004：92～93．

[4]袁野，欧宗瑛．基于小波变换和模糊算法医学图像边缘检测算法[J]．2002：504～507．

[5]Rafael C G，Richard EW．数字图像处理(第二版)[M]．北京：电子工业出版社，2004(英文版)．

[6]陈武凡．小波分析极其在图像处理中的应用[M]．北京：科学出版社，2002：184～187．

基于小波模极大值的信号重建篇3

工程技术中有许多信号重建的应用, 如在噪声中提取有用信号的信息, 然后根据此信息恢复原信号;或者恰当地选取信号的有用信息, 尽可能的用最少的信号信息恢复原信号, 即信息压缩。传统的信号重建主要基于信号的Naiquist采样定理, 其重建的数学表达式为

其中是最为常用的一种等间距插值函数, T表示采样周期。信号重建的过程可以看作是根据已知的一系列观测数据构成的有限集合。时域重建技术有一定的局限性, 而小波变换不仅可以把信号变换到时频域空间, 还可以随信号频率分量的不同对信号做由粗到精的多分辨率分析, 非常适合处理像心电信号、语音信号等一类的信号, 小波变换一直是人们在时频域处理技术中所研究的重点。

2 利用小波变换的模极大值

给定一个基本函数, 则的小波变换定义为:

如果用于小波变换的小波函数是某一个低通函数的一阶导数或一阶导数, 那么小波变换的结果将体现出信号的极值点或转折点, 信号的极值点或转折点称作信号的奇异点, 体现了信号的主要特征, 由于信号的极值点更稳定, 更适合用来做小波分析。设为x (t) 的小波变换。若x (t) 在t0处有一个奇异点, 且t是t0附近的点, 若

那么 (a, t0) 是WTx (a, t) 的模极大值点, |WTx (a, t0) |是相应的模极大值。

3 交替投影算法下的模极大值重建信号

小波变换的模极最大值体现了信号的全部特征, 可用于重建信号。首先由模极大值构造小波变换系数, 然后由小波变换系数重构原信号。设一信号的小波变换Sj (t) 和x (t) 的小波变换在处有相同的模极大值, 并且在之外无模极大值, 则Sj (t) 就是x (t) 的重建信号的小波变换。

为了由模极大值重建原信号, 一个直接的方法就是找到一个函数, 使其小波变换与原信号小波系数模极大值在相应的位置上有相同的值。为提高精度, 此函数在定义域上要满足范数最小的条件。Mallat提出的交替投影算法满足以上要求。令V是L2 (R) 空间上所有函数的二进小波变换组成的空间, K是的序列所构成的空间, 满足

再令Γ表示K中的元素所构成的子集, 满足条件:

于是Sj (t) 就是空间的函数序列, 同时在空间上求出一个元素, 使 (4) 式最小化, 可以通过在空间V和Γ上交替投影来实现。设PV和PΓ分别是序列x (t) 向V和Γ空间作正交投影的投影算子, 则是空间V和Γ之间的交替投影算子, Pn是P的n次迭代。可以证明, 对于任一序列, 有

若x的起始值是K中的零元素, 则交替投影收敛于中范数最小的元素, 这就实现了信号小波系数的重构。

4 交替投影算法重建信号的仿真

为了分析交替投影重构信号的性能, 对Matlab工具箱中提供的Blocks信号和一段心电信号进行重构;另外还对这两种信号作基于公式 (1) 的重构, 并将重构信号与原信号做了误差比较。图1中, (a) 图所示的是一段心电信号, (b) 图所示的是一段Blocks信号。 (c) 图和 (d) 图分别为使用交替投影算法重构的心电信号和Blocks信号, (e) 图和 (f) 图分别为基于Naiquist采样定理重构的心电信号和Blocks信号。由图可见, 采用交替投影算法重建信号时, 心电信号的重建效果比Blocks信号的好, 这说明信号在不连续点处的重构质量不理想, 而在连续区域的重构效果较好。但基于Naiquist采样定理重构的信号不但有时移, 而且当差值信号选取不当时, 会造成重建信号的失真, 总之不如交替投影算法重建效果。

5 结语

基于小波变换的交替投影法重建信号叫适合于信号的重建, 但也有其局限性:信号在不连续点处的重构效果不理想, 在连续区域的重构效果较好, 这是因为高频信号在一个周期内的采样点相对比较少, 包含的信息量少, 所以, 重构质量不如低频部分。由于心电信号的连续性较好, 因此使用该方法作重建还是较为理想的。

摘要：信号重建在工程技术中有很多应用, 目前有多种信号重建的方法, 如Naquist法、小波变换法等等。本文首先阐述小波理论, 分析了模极大值与小波系数之间的内在关系, 然后说明利用小波模极大值作信号重建的交替投影算法, 最后用仿真说明利用小波变换的模极大值原理重构信号的实际意义。

关键词：小波变换,模极大值,交替投影,信号重建

参考文献

[1]丁玉美, 等.数字信号处理——适于离散随机信号处理[M].西安电子科技大学出版社, 2002.

[2]胡广书.数字信号处理——理论、算法与实现[M].清华大学出版社, 2003.

[3]成礼智, 王红霞, 罗永.小波的理论与应用[M].北京:科学出版社, 2004.

小波变换极大值篇4

基于内容的图像检索—CBIR (Content Based Image Retrieval) 技术在对海量图像数据进行检索时是一个非常有效的途径。而形状特征是图像的核心特征之一, 在众多的描述图像形状特征的算法中, 小波模极大值不变矩算法[1,2]倍受关注。经过小波模极大值变换后, 图像信息虽然得到了压缩, 但是仍然存在噪声点和冗余信息。因此, 为了准确提取图像的边缘点, 本文提出了一种改进的小波模极大值不变矩算法。改进后的算法不仅有效地去除了图像边缘的噪声点, 而且可以尽可能地使低分辨率上已经使用过的信息不再被高分辨率下所使用, 可以使新得到的模图像更能表现图像内部的重要特征。

1传统的小波模极大值不变矩算法

小波模极大值不变矩算法首先对灰度图像进行小波变换, 得到多尺度的边界图像, 再利用不变矩算法提取每一尺度边界图像的特征[3,4]。

若 $θ (x, y)$ 在整个平面上积分为1, 且它沿x或y在无限远处收敛为0, 则定义如下两个小波函数:

$ψ^{(1)} (x, y) = \frac{\partial θ (x, y)}{\partial x} ψ^{(2)} (x, y) = \frac{\partial θ (x, y)}{\partial y}$ (1)

对于任意二维图像函数的小波变换有两个分量, 其在尺度s=2j时定义如下:

$\begin{array}{l} (\begin{array}{l} W_{2^{j}}^{1} f (x, y) \\ W_{2^{j}}^{2} f (x, y) \end{array}) = 2^{j} (\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x} (f * θ_{2^{j}}) (x, y) \\ \frac{\partial}{\partial y} (f * θ_{2^{j}}) (x, y) \end{array}) \\ = 2^{j} \nabla (f ⨂ θ_{2^{j}}) (x, y) (2) \end{array}$

可以看出, 式 (2) 中小波变换的两个分量正比于梯度分量 $▽ (f ⨂ θ_{2^{j}}) (x, y)$ 的两个分量, W $_{2^{j}}^{1}$ f (x, y) 和W $_{2^{j}}^{2}$ f (x, y) 分别反映图像灰度沿 (x, y) 方向的梯度, 梯度矢量的模等于:

$W_{2^{j}} f (x, y) = \sqrt{| W_{2^{j}}^{1} f (x, y) |^{2} + | W_{2^{j}}^{2} f (x, y) |^{2}}$ (3)

梯度矢量和水平轴的夹角称为幅角, 幅角的大小为:

$A_{2^{j}} f (x, y) = \arg (W_{2^{j}}^{1} f (x, y) + i W_{2^{j}}^{2} f (x, y))$ (4)

经小波变换后, 图像剧烈变化的点是沿着梯度方向, 模为局部极大值的那些点[5,6]。

2改进后的小波模极大值不变矩算法

2.1利用小波变换后信号的奇异性去除噪声点

图像的噪声点引起的模值和图像边缘点的局部模极大值都比较大。所以, 采用传统的固定阈值算法, 不能有效地去除图像中的噪声点。而传统的低通滤波去噪方法, 虽然能够去除噪声点, 但同时也使图像边缘变得模糊。因此本文选用既能去除噪声, 又不损失边缘的小波去噪方法。小波变换模极大值在多尺度上的表现和信号的奇异性与Lipschitz指数有着密切的联系。二维图像函数的一致性可以用Lipschitz指数α来测定[7]。

设f (x, y) ∈L2 (R) , W2jf (x, y) 是f (x, y) 的小波变换模极大值, 则f (x, y) 在某开区间 (a, b) 上为Lipschitz指数α的充要条件是:存在常数K, 使得∀ (x, y) ∈ (a, b) , 在2j尺度下有: $| W_{2^{j}} f (s, t) | \leq Κ (2^{j})^{α}$ 。

由上述定理, 可以得到小波变换模极大值在不同尺度有下面的规律:α>0, 小波变换模极大值随尺度增加而增加;α<0, 小波变换模极大值随尺度增加而减小;α=0 (对应阶跃情况) , 小波变换模极大值不随尺度变化而改变。

由于白噪声的Lipschitz指数为负值, 图像边缘Lipschitz指数为正值, 因此, 可以通过区分信号和噪声的奇异值来分辨它们, 得到对应于图像边缘的奇异点, 达到自适应降噪的目的。

2.2动态确定阈值

对于传统的小波模极大值不变矩算法还有一个弊端就是选取合适的阈值是一项重要而困难的任务。阈值太小, 将得到很多伪边缘点, 阈值过大又将漏掉许多真实的边缘点。另外小波变换后的各个子图像还存在着信息冗余, 理想的情况应该是低分辨率上已经使用过的信息不再被高分辨率所使用, 也就是说如何使高分辨率下的小波模图像尽可能地显示图像的重要特征, 提高图像检索精度。提出一种动态确定阈值的方法, 即利用前一尺度模图像的平均模值作为下一尺度模图像的阈值, 只保留当前尺度下模极大值大于阈值的那些模值, 而且随着分辨率的增加, 阈值不断的改变。下面给出算法的主要步骤:

(1) 对图像做四层小波分解, 得到多尺度的小波模图像。本算法共求出4幅模图像, 分别在j=0, 1, 2, 3时得到。

(2) 求出这4个小波模图像的梯度模局部极大值, 并记录下这些极大值点的位置。

(3) 根据小波变换模极大值在多尺度上的表现与Lipschitz指数的关系, 找出小波变换模极大值随着尺度增加而增加的那些点的位置和模值, 去除图像的噪声点。

(4) 求出整幅图像模极大值的平均值, 把它作为大尺度下模图像的阈值, 然后计算这一尺度图像的模局部极大值大于阈值的点的位置和模值, 并计算这个模图像的局部极大值的平均值。

(5) 将步骤 (4) 中求出的平均值作为阈值, 然后记录下一个尺度模图像的局部极大值大于阈值的点和相应的模值, 然后计算这一尺度下模图像的平均模值, 并将这一平均值作为新的阈值。直到求出所有模图像中的局部极大值。

(6) 根据记录下来的模极大值, 计算每一幅模图像的7个不变矩, 4个子图像上的不变矩共同组成这个图像的特征向量。

(7) 归一化特征向量, 将处理后的结果作为图像的特征值。

3实验及结果

图1表示一幅汽车图像在4个尺度上的模局部极大值点。两者对比可以看到利用改进后的算法得到的4个子图像不仅有效地去除了噪声点, 而且图像中显示的信息大幅度减少, 所剩下来的局部极大值, 能更好地体现图像中发生突变的点。

下面对汽车图像库进行图像检索实验。检索结果如图2所示, 左起第一幅图像为样本图像, 其余图像按输出位置从左到右, 从上到下的顺序, 相似性依次递减。从两次检索算法对比曲线图可以看出, 在相同的查全率下, 动态确定阈值的算法的检索准确率要高于传统算法的检索准确率。

4结论

文章提出了一种改进的小波模极大值不变矩算法。利用信号的奇异性与Lipschitz指数的关系, 有效地去除图像边缘的噪声点, 并且采用动态确定阈值的方法, 利用前一个尺度模图像的平均模值作为下一尺度下的模图像的阈值。这样做可以尽可能地使低分辨率上已经使用过的信息不再被高分辨率下所使用, 可以使新得到的模图像更能表现出图像内部的重要特征。最后对各个尺度下的模图像提取边界不变矩特征, 不变矩具有旋转、尺度、平移不变性, 提高了算法的鲁棒性。

参考文献

[1]章毓晋.基于内容的视觉信息检索[M].北京:科学出版社, 2003:122-126.

[2]Cyganski D, Vazr R.ALinear Signal Decomposition Approach to Affine Invariant Contour Identification[J].Pattern Recognition, 1995, 12:1845-1853.

[3]Flusser G, Suk T.Pattern Recognition by Affine Moment Invariants[J].Pattern Recognition, 1993, 1:167-174.

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[6]姚玉荣, 章毓晋.利用小波和矩进行基于形状的图像检索[J].中国图象图形学报, 2000, 3 (5) :206-210.

小波变换极大值篇5

点目标红外图像是由背景和噪声以及点信号的叠加组成的。背景信号和噪声以及点信号的光滑度是不一样的, 即它们的奇异性是不同的, 而奇异性不同的信号的小波变换在不同的变换尺度下其小波变换的局部模极大值的变化规律是不同的, 所以利用这一性质来进行背景的提取, 进而利用原始信号和被提取的背景信号的差图来检测出点目标。

1.1 奇异信号在小波变换下的特性

小波变换对信号奇异点非常敏感, 因而对突变信号的分析尤为有效, 它己成功地应用于边缘检测和时变信号的检测, 信号的局部奇异点特性可以用Lipschitz指数来描述。

若在x0的某一邻域内有:|Wf (s0, x) |≤|Wf (s0, x0) |, 则称 (s0, x0) 为小波变换的极大值点, 若二维相平面 (s, x) 上的某一曲线上的点均是模极大值点, 则称该曲线为极大值线。极大直线上的小波模值和x0点上的Lipschitz指数存在关系:

|Wf (s, x) |≤ksn, k为正整数。当x→0是, 极大值线上的x→x0

由以上结论知, 如果找到二维相平面的极大值线, 根据其模值变化率和时间坐标的渐进性可确定相应奇异点的位置x0和a。

(1) 信号小波特性

常用信号的Lipschitz指数是大于零的, 因而其极大值点的幅度随尺度减小而减小, 在较小的n个尺度上, 模极大值点个数基本相等。

(2) 噪声小波特性

假设n (x) 为实的, 广义平稳的白噪声, 方差b2·Wn (s, x) 。为它的小波变换, 那末, E (|Wn (s, x) |2) 正比于1/s。

如果n (x) 是高斯白噪声, 则在给定的尺度上Wn (s, x) 也是一个高斯过程, 小波变换模极大值点的平均密度反比尺度s。

白噪声几乎是处处奇异的, 一致Lipschitz指数为-1/2-εε≥0。因而随s的减小, 噪声的局部模极大值逐渐增大, 这和信号是截然不同的。因此, 通过观察不同尺度上的小波变换模极大值的渐变规律、模极大值的分布规律、估计奇异点的位置和其Lipschitz指数, 即可将信号与噪声分离, 实现小波去噪。

1.2 基于模极大值的信号重建

由前可知, 信号的奇异点携带着信号的重要信息, 而奇异性由小波变换的模极大值表示。根据Meyer的证明, 模极大值点不能提供信号的完全表示, 但可提供近似的表示, 所以可以利用Mallet算法来重构图像。

1.3 二维图像的小波变换及分析

为了将小波变换应用于图像处理, 须将小波变换由一维推广到二维。对于行列可分离的二维小波变换来说, 从一维推广到二维是直接的。二维可以看作在行和列分别做小波变换, 其二维分解如图1 (取两级尺度) 所示:

上图是一幅图像的两级尺度变换。分解后的子图像形成一个塔形结构, 每层有3个子图像, 随着阶数的增加, 图像的空间分辨率依次在行和列上各下降2倍。在这个塔形中, S2是由尺度函数提取的图像的低频子图, Gp1和GG2是小波提取的图像的对角线方向的子图, HG1和HG2是小波提取的水平方向的高频子图, GH1和GH2是小波提取的垂直方向的高频子图。这样一幅空域图像就按照这样的塔式分解投影到不同的尺度空间中, 这样我们便可以按照信号, 噪声由于其不同的奇异性造成它们的模值大小, 方向在不同的尺度变化中其规律是不同的这一特点来进行信号、噪声的分析。

1.4 红外图像的小波变换及点目标的检测

如前所述, 红外图像可以看作是背景信号, 噪声和点目标信号的叠加。而点目标信号可以近似看作为一个冲激信号, 由信号的奇异性与信号尺度变化中模极大值的变化规律可知, 噪声和冲激这两种信号类型它们的小波变换模极大值都随着尺度s的增大反而减小, 而背景信号的小波变换模极大值随着尺度s的增大而增大, 所以, 我们把点目标检测问题转化为两步来求解。第一步, 利用背景信号小波变换模极大值在不同的尺度上的变化规律和噪声的不同先提取出背景信号。第二步, 从原始信号和背景信号的差图中提取出点目标信号 (当然还可能包括个别大的噪声点, 但是它比原始的噪声要少得多, 可以利用多幅图像来处理) 。

对于整个的处理过程我们按以下的步骤进行:

(1) 对红外图像进行二维小波变换, 我们的目的是先求出背景信号, 去除噪声和冲激信号。所以小波变换尺度个数以最大尺度上, 背景信号的极值点的模值和密度占优且背景信号的重要奇异点不丢失为准, 所以这里取4个尺度为例。

(2) 设最大尺度2J上的模极大值点的最大幅度为M, 那末将幅度低于M/J的模大值去掉, 因为在这些点上噪声占优。

(3) 对于尺度2J上的每一个极大值点 (x0, y0) , 用以下方法确定尺度2J+1上的“繁殖”点。

(a) 设 (x0, y0) 前后的极大值点分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2) , (x1, y1) 对应的“繁殖”点为 (x′1, y′1) , 则 (x0, y0) 对应的“繁殖”点在L={[max (x1, x′1) , x2], [max (y1, y′1) , y2]上寻找。

(b) 在L2上与 (x0, y0) 同符号的点[ (a0, b0) , (a1, b1) , …, (an, bn) ]中, 如果 (at, bt) 满足

(at-x0) 2+ (bt-y0) 2≤ (aj-x0) 2+ (bj-y0) 2, i, j=1, 2…, n, j≠i那末, (at, bt) 为 (x0, y0) 的“繁殖”点。

(d) 设 (x′1, y′1) 为 (x0, y0) 的“繁殖”点, 如果 (x′1, y′1) 的幅度是 (x0, y0) 的两倍, 那末, (x′1, y′1) 将是噪声的极大值点而被去掉, 否则将作为一个点对而得到保留[ (x0, y0) , (x′0, y′0) ]。

(e) 重复以上的过程直到23, 22。

(f) 在保留的点对中, 如果存在[ (x1, y1) , (x′1, y′1) ], [ (x′1, y′1) , (x″1, y″1) ]…..那末 (x1, y1) , (x′1, y′1) , (x″1, y″1) 将作为背景信号极大值线的点而保留, 不满足以上的点将去掉。

(g) 把第一个尺度上的极大值点去掉, 将第二个尺度上的极大值点的分布及幅度复制到第一个尺度上去。

(h) 将保留的极值点用Mallet重建算法来恢复灰度信号。

1.5 仿真分析效果图

(1) 原始图像是一个128×128×8bit的图像, 首先对它进行4层尺度变换, 见图2、图3。

(2) 计算小波的模极大值图, 见图4。

(3) 求解背景信号模极大值图, 见图5。

(4) 恢复的背景信号, 见图6。

(5) 在差图信号中利用门限来提取点目标信号, 见图7。

可以看出, 利用二维小波变换来提取点目标信号是可行的, 它不要求图像是平稳的, 而且算法也比较简单, 且也不要求较大的信躁比。今后发展的方向是基于小波变换, 利用点目标信号本身的特性来直接提取它。

2 硬件实现可行性探讨

2.1 待改进的实现方法

近年来小波变换因其在时频平面不同位置具有不同的分辨率而广泛应用到图像处理当中, 但将小波变换应用到基于红外图像目标的检测算法当中, 则运算量大, 往往难以满足实时性等系统要求, 故而小波变换受硬件发展水平的限制, 一直未广泛应用到实际中。在实际的应用中, 我们采取了DSP+FPGA的方案来设计整个红外成像系统, 如图8所示。

该实现方案以FPGA为系统核心, 通过AD采样器对模拟的CCD探测器进行采样, 再送到DSP处理器中进行FIR低通滤波和直方图增强等图像图理方法, 最后再通过视频编码器编码后送到监视器显示。经过实践验证, 该系统运行正常, 基本满足要求, 但在信噪比很差的环境下, 图像指标则有时不能满足要求。

2.2 采用模极大值小波算法提高去噪性能

随着电子芯片器件的发展, 特别是FPGA芯片的发展, 速度更快、内存容量更大及适合DSP算法结构的集成, 使得在硬件上实时实现小波算法成为可能。李佳、葛军等 (中科院) 率先采用Xilinx公司Virtex-Ⅱ系列FPGA实现了Mallat离散算法的小波分析, 并且取得了非常不错的效果, 参见文献[3]。

在本系统中后期改进中, 鉴于DSP处理器资源还有剩余, 且DSP处理器比FPGA更适合做信号处理, 可以考虑在DSP中增加模极大值小波算法来提高去噪性能, 即在DSP中内嵌Mallat算法。

3 结束语

本文深入探讨了红外成像系统中的点目标检测课题, 讲述小波分析的基本理论, 并重点介绍基于模极大值的小波去噪算法的实现原理以及仿真效果, 利用小波的多尺度特性能凸显出有用的信息这一特点, 适合于应用在低信噪比环境下检测目标。以往由于电子芯片器件资源的限制, 小波分析算法运算量较大, 难以满足实时性等系统要求, 在实际应用中较少采用。随着电子芯片器件的发展, 特别是FPGA、DSP芯片的发展, 硬件芯片已经完全有能力胜任小波分析算法 (如Mallat离散算法) , 这将成为今后红外点目标检测的有效手段之一。

参考文献

[1]徐晨, 赵瑞珍, 甘小冰.小波分析·应用算法[M].北京:科学出版社, 2004.

[2]李粥程, 罗建书.小波分析及其应用[M].北京:电子工业出版社, 2003.

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[5]史凌峰.一种红外弱小目标检测新方法[J].红外技术, 2003 (3) .

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[7]叶增军, 王江安, 阮玉, 等.海空复杂背景下红外弱点目标的检测算法[J].红外与毫米波学报, 2000 (2) .

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[10]Ye Zengjun, Wang Jiangan, Ruan Yu, Jiang Yi, Zou Yonghua.Infrared clutter rejection in detection of point targets.SPIE.2000.Vo1.4077.

初等变换求极大无关组方法讨论篇6

一、初等变换

1、定义:对矩阵施以以下三种变换, 称为矩阵的初等变换:

(1) 交换矩阵的两行 (列) (称作交换变换)

(2) 以一个非0数k乘矩阵的某行 (列) (称作数乘变换)

(3) 矩阵的某行 (列) 加上另一行 (列) 的k倍 (称作倍加变换)

若对矩阵的行 (列) 施行上述三种初等变换则叫初等行 (列) 变换。

2、记号:

(1) 交换矩阵的第i行 (列) 与第j行 (列) :ri←→rj或ci←→cj

(2) 数k乘矩阵的第i行 (列) :kri或ci

(3) 矩阵的第i行 (列) 加上第j行 (列) 的k倍:ri+krj或ci+kcj

3、后面用到的几个矩阵:

(1) 阶梯形矩阵:满足下面的条件的矩阵叫阶梯形矩阵:非零行的首非零元下方的元素全为0, 且零行在最下方。

(2) 行最简形矩阵:若阶梯形矩阵满足下列条件:非零行的首非零元全是1, 且所在列其余元素全为0, 则这样的阶梯形矩阵叫行最简形矩阵。

(3) 准阶梯形矩阵:只需再作几次行交换变换即可化成阶梯形矩阵的矩阵, 叫准阶梯形矩阵。

二、用初等变换求向量组的极大无关组

利用初等变换法求向量组的极大无关组, 主要是将向量组构成矩阵, 再利用矩阵的初等变换化成阶梯形矩阵, 从而加以判断。常用方法主要有下列四种:

1、方法一:列向量组行变换法

具体求解过程:即将向量组以列向量构成矩阵, 再用初等行变换将其化成阶梯形矩阵, 阶梯形矩阵中的非零行的首非零元所在列对应的向量构成向量组的极大无关组。若还需用极大无关组表示向量组的其余向量, 则可再对阶梯形矩阵作行变换, 化成行最简形矩阵, 则可求出相应系数。

此法的依据是初等行变换不改变列向量间线性关系。这是最常用、最基本的方法, 也是从求解线性方程组中总结出来的一种实用方法。

例1求下列向量组的一个极大无关组:α1= (1, 1, 1, 1, 1) , α2= (3, 2, 1, 1, -3) , α3= (0, 1, 2, 2, 6) , α4= (5, 4, 3, 2, -1) 。

解:将向量组作为列向量构成矩阵A, 作行变换化成阶梯形矩阵。

显然, r (A) =r (B) =3, 向量组的极大无关组含3个向量, 矩阵B的三个非零行的首非零元所在列对应的向量α1, α2, α4构成向量组的一个极大无关组。当然, α1, α3, α4也是向量组的一个极大无关组。若需将向量α3用极大无关组α1, α2, α4来线性表示出来, 即求相关系数, 只需对矩阵B再从下往上作初等行变换, 化成行最简形矩阵, 即可求得:

矩阵C中第三列元素分别是其所在行首非零元所在列对应的向量的系数。故有α3=3α1-α2+0α4=3α1-α2

2、方法二:行向量组列变换法

具体求解过程:与方法一类似, 只是稍作改变, 将向量组以行向量构成矩阵, 再用初等列变换将其化成列阶梯形矩阵, 阶梯形矩阵中的非零列的首非零元所在行对应的向量构成向量组的极大无关组。

此法的依据是初等列变换不改变行向量间线性关系。

例2求下列向量组的一个极大无关组:

由矩阵B可知r (A) =r (B) =2, 向量组的极大无关组含2个向量, 矩阵B的两个非零列的首非零元所在行对应的向量α1, α2构成向量组的一个极大无关组。当然, α1, α3与α1, α4也分别是向量组的极大无关组。

上面两种方法没有本质区别, 都是在向量组的分量间进行线性运算, 从而进行判断。运用上面两种方法, 还可以很容易找到其他的极大无关组。目前也有直接在向量间作线性运算, 从而确定向量间线性关系。

3、方法三:行向量组行变换法

具体求解过程:即将向量组以行向量构成矩阵, 再用初等行变换将其化成阶梯形矩阵。这种方法实际上是在向量间直接作线性运算, 从而确定向量间线性关系, 方法简便易懂。矩阵的行初等变换不会改变矩阵的秩, 也就不会改变向量组的秩, 此种方法目前有一些教材在使用, 但此方法的可行性、严密性还需探讨, 在实际应用中还存在一些问题, 还需进一步完善。矩阵的行初等变换不会改变矩阵的秩, 也就不会改变向量组的秩, 但有可能改变向量间线性关系, 如行交换变换。下面用两个例子加以分析。

例3求下列向量组的一个极大无关组:α1= (1, 1, 1, 1, 1) , α2= (3, 2, 1, 1, -3) α3= (0, 1, 2, 2, 6) , α4= (5, 4, 3, 2, -1) 。

由矩阵B可知r (A) =r (B) =3, 向量组的极大无关组含3个向量, 矩阵B的三个非零行所对应的向量α1, α2, α3构成向量组的一个极大无关组。

但实际上, 向量α1, α2, α3构成向量组却是线性相关的, 因为

显然r (α1, α2, α3) =2<3,

故向量α1, α2, α3是线性相关的。

那么。出现错误的原因是什么呢?注意到在解题过程的最后一步, 是交换了第三行与第四行, 即是交换了向量α3, α4的位置, 才造成了上面的错误。实际上, 向量α1, α2, α4才构成向量组的一个极大无关组。

解决办法:不能作行交换变换。理由:交换行, 则交换了向量的位置, 若多次交换后, 很难确定非零行对应的向量, 操作上容易发生错误。

那么, 在对行向量组作初等行变换的过程中, 不作行交换变换, 是否就不会出错了呢?再看下面的例子:

例4求下列向量组的一个极大无关组:

由矩阵B可知r (A) =r (B) =3, 向量组的极大无关组含3个向量, 矩阵B的三个非零行所对应的向量α1, α2, α3构成向量组的一个极大无关组。

但实际上, 向量α1, α2, α3构成向量组却是线性相关的, 因为容易看出α1=α2+α3

上面的解题过程中, 并没有作行交换变换, 但仍然导致了错误, 问题出在何处呢?实际上, 在初等行变换中, 行交换变换并不独立, 可由多次倍加变换与倍乘变换得到行交换变换。如下所示:

故即使未作行交换变换, 也可能出现隐性的行交换变换。那么, 怎样解决这个问题呢?从上面的变换中可以看到, 要出现隐性的行交换变换, 这需要既有从上到下作倍加变换 (即用上面的行乘某个非零数再加到下面的行) , 又有从下到上作倍加变换才能实现。因此, 只需要限定倍加变换的方向即可避免行交换变换的发生, 要么只能从上到下作行倍加变换, 要么只能从下到上作行倍加变换。同时, 若既有从上到下作倍加变换, 又有从下到上作倍加变换, 还可能导致向量间线性关系被改变, 导致求出的极大无关组却可能本身线性相关。

重新求解例4

三个非零行对应的向量为:α1, α2, α4, 就构成向量组的一个极大无关组。

从上面的正确解法还可以看到, 用行向量构成矩阵, 用初等行变换求极大无关组时, 不必过于强调将矩阵化为阶梯形矩阵, 可以只将矩阵化成准阶梯形矩阵, 尽量避免行交换。

下面, 进一步讨论阶梯形矩阵中零行所反映的实质。为方便描述, 看得更清楚, 将例4正确解法中的向量线性变换在矩阵右侧明确表示出来:

最后一个矩阵中的零行表示的是α3-α1+α2=0或α3-α1+α2+0α4=0, 这个式子实际上是给出了向量间线性关系式, 由于矩阵的秩为3, 故向量组的一个极大无关组由3个向量组成, α1, α2, α3中任意两个与α4一起都可以构成向量组的一个极大无关组, 故本题一共有3个极大无关组。由此可见, 求向量组的极大无关组实质上并不是找非零行对应的向量 (如上例中非零行只能说明α1, α2, α4-α2线性无关) , 实际上应该找零行对应的向量关系, 由此可以求出所有的极大无关组。只不过, 一般情形下大家解题时都未重视或没有写出来而已。

4、方法四:行向量组初等变换法

具体求解过程:将向量组以行向量构成矩阵, 再用初等变换将其化成阶梯形矩阵, 既可以有初等行变换, 也可以有初等列变化。作行变换时不能作行交换变换, 倍加变换只能从上到下或从下到上。由于初等列变换不会改变行向量间线性关系, 在作行变换过程中可以任意做列变换, 二者结合起来, 计算量会小一点, 应该会更快捷一些。

例5求下列向量组的一个极大无关组:

解:

显然, α1, α2构成一个极大无关组。

上面的解题过程就是先作列交换变换, 后作行变换, 这样可以避免一开始就出现分数运算。

参考文献

[1]张肇炽.关于用初等变换求向量组的极大无关组.高等数学研究.2003

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