最大值原理

最大值原理（共7篇）

最大值原理 篇1

生产者生产某种商品的目的是为了获取利润。事实上, 实行利润最大化策略又分为两个步骤:第一步是选择能够带来最大利润的产量;第二步是对前一步确定的产量实现成本最小化。只有掌握了投入与产出的关系, 才能真正实现利润最大化。

一、利润最大化和成本最小化的检验分析

在经济学研究过程中, 对数学经济模型的分析比较常用的是比较静态分析法和对偶分析法。

(一) 一阶条件的比较静态分析法。

下面我们以两种投入的模型为例来讨论利润最大化问题。设某种商品的价格为p=1, 由此得到利润最大化的表达式为Maxf (x1 (w1, w2) , x2 (w1, w2) ) -w1w2-w2x2, 分别对其中的w1和w2求偏导数可得出利润最大化的一阶条件。在一阶条件的基础上再分别对w1和w2求偏导数, 可以得到利润最大化的二阶条件: 它说明了生产者如何随着价格的变动来用一种投入代替另一种投入。

利用相同的方法也可以研究成本最小化问题。我们假设投入为两种物品, 成本最小化的表达式可以表示为L (λ, x1, x2) =w1x2+w2x2-λ (f (x1 (w1, w2, y) , x2 (w1, w2, y) ) -y) , 从中可以得到成本最小化的一阶条件, 在一阶条件的基础上再对求偏导数, 可以类似的得到成本最小化的替代矩阵

(二) 代数的比较静态分析法。

定理一: (利润最大化弱公理) 设价格向量为pt, 产出向量为yt (pt) , 其他产出向量为ys, (t, s=1, …, T) , 如果生产者想要使利润最大化, 那么在价格为pt时、生产者产出量为yt时的利润水平, 至少与生产者选择其他产出水平时的利润水平是一样的, 即pty≻ptys (t, s=1, …, T) 。

定理二: (成本最小化弱公理) 设产出向量为yt, 要素价格向量为wt, 要素水平为xt, (t, s=1, …, T) , 如果生产者想要使成本最小化, 那么在价格为wt时、生产者的投入为xt时的成本水平, 应当小于等于产出至少同样多的产品时任何其他的投入成本, 即wtxt≺wtxst, s=1, …, T。

由定理一可以知道价格变动的向量和与其相关联的净产出变动的向量, 他们的内积一定是非负的。而定理二说明的是需求向量与价格向量永远朝相反的方向发展。

(三) 对偶分析法。

对于某个给定的数据的集合, 如果满足利润最大化弱公理或满足成本最小化弱公理, 就总可以找到一种方法, 通过这种方法能够看到生产者的选择是利润最大化选择还是成本最小化选择, 进而可以通过构造出生产集合的外界和内界, 确定某种方法真实的集合。通过分析, 我们可以得到利润最大化条件下生产集合的内界YI的凸单调壳和外界YO, 从而YO和YI就形成了该种方法的真实生产集合的最紧密的外界和内界。同样也可以形成成本最小化条件下生产集合的内界YI的凸单调壳和外界YO, 从而YO和YI就可以形成该种方法真实生产集合的最紧密的外界和内界。

二、利润函数与成本函数

(一) 总成本和边际成本。

边际成本从不同的角度和需要可以有不同的解释, 其一是指每增加1单位产量时所增加的成本, 直观的可以表述为生产最后一单位产量Q=6时所花费的成本;其二是说假设要计算Q=5.5产量时的边际成本, 可以先计算时的边际成本, 然后再计算Q=7.5时的边际成本, 最后取两个边际成本的平均值作为Q=7时的边际成本。后一种边际成本的近似值要比前一种得到的边际成本的近似值好;其三是说边际成本是产量Q发生微小变动时所引起的总成本TC的变动, 即undefined。这是对边际成本比较真实的一种解释。

(二) 总收益和边际收益。

因为在自由竞争的条件下, 个别生产者的行为对市场价格是不会产生什么影响的, 所以某种商品的价格对于生产者来说, 在某段时间内是不会改变的。为了表示生产者的总收益和平均收益, 我们设某种产品的价格为A, 该商品的产量为Q, 那么总收益的表达式就是TR=AQ;平均收益的表达式就是undefined。从2.1中可以知道边际收益可以理解为每增加1单位产量所增加的收益, 也就是总收益曲线的斜率, 所以边际效益也就是增加的1单位产量的价格A, 在这里边际效益就是平均效益, 但需要指出的是, 这个结论并不是总成立的, 因为现实中还有许多因素会对其产生影响。

(三) 最大利润原则。

边际收益等于边际成本 (MR=MC) 时, 厂商可以得到最大利润。设某商品的市场价格为A, 边际成本函数是MC=a Q2+b Q+c (其中a, b, c均为常数) , 那么有边际收益MR=A, 根据最大利润原则, 可以得到获得最大利润时的产量。值得注意的是, 通过图像进行研究时, 表示边际成本的曲线和表示边际收益的曲线可能有不止一个交点, 当交点个数多于一个时, 生产者获得最大利润的点是指, 表示边际成本的曲线从下方和表示边际收益的曲线相交的交点。

(四) 利用边际成本函数推导供给函数。

首先假设某生产者的边际成本函数表达式为MC=a Q2+b Q+c, 总成本函数表达式为TC=AQ3+BQ2+CQ+D, 市场价格为P。在自由竞争条件下, MR=P。根据利润最大化原则 (边际收益等于边际成本) , 可得到价格函数的表达式就是成本函数的表达式, 即P=a Q2+b Q+c (P≥Pv) 。其中Pv是平均可变成本曲线AVC的最低点。通过总不变成本D和总可变成本函数TVC=a Q3+b Q2+c Q, 可得到平均可变成本AVC的函数表达式。又因为平均可变成本的曲线和边际成本的曲线的交点, 就是平均可变成本的最低点, 令边际成本函数等于平均可变成本函数, 将得到的生产者的产量值代入平均可变成本方程中, 可以得到停止生产时的AVC值。设停止生产时的MC值或AVC值是Y, 则生产者的供给函数为:P=aQ2+b Q+c (P≥Y) (1) Q=0 (P

(五) 利润最大化的条件。

假设某种产品的总收益函数为TR=R (Q) , 总成本函数为TC=C (Q) , 利润函数为π=π (Q) , 根据利润等于总收益与总成本的差可得到利润的函数表达式, 由此进一步可以得到利润最大化的一阶条件:π' (Q) =R' (Q) -C' (Q) =0, 即R' (Q) =C' (Q) 。又因为R' (Q) 是边际收益MR, C' (Q) 是边际成本MC, 由此可以证明当边际收益等于边际成本时生产者可以得到最大利润。继续通过利润函数研究一下利润最大化的二阶条件:π″ (Q) =R″ (Q) -C″ (Q) <0, 即R″ (Q)

三、结语

利润最大化问题与成本最小化问题是微观经济学中的基本问题, 通过对利润最大化问题和成本最小化问题的比较分析, 我们可以深刻的体会到:对于这样两个不同的问题, 在分析研究过程中所涉及到的问题的提出、研究方法和思路、检验方法等诸多方面都存在着很多相似之处。

参考文献

[1].张立军.西方经济学几个重要原理的数学分析[J].北京工业职业技术学院学报, 2004

[2].阿燃燃, 佟东.高级微观经济学中利润最大化和成本最小化之比较.云南财贸学院学报

[3].武康平.高级微观经济学[M].北京:清华大学出版社, 2002

最大值原理 篇2

基于最大流原理的湖泊系统富营养化新模型

针对目前现有的湖泊富营养化模型的`不足,以最大流原理为基础,以自组织特征映射神经网络(SOM)为算法实现手段,从复杂系统结构演化的角度提出了一个新的湖泊系统的富营养化模型;进而使用该模型对我国10个湖泊进行了富营养化评价并和以往的评价方法作了详细比较,结果表明该方法具有较好的合理性和可操作性.由于该模型从一定程度上体现了湖泊富营养化系统的演化动力学机理和湖泊系统时空演变特性,因此,不仅在评价上有较大的优越性,在湖泊富营养化发展变化状态的预测上也具有潜力.

作 者：韦海英 柴立和 WEI Haiying CHAI Lihe 作者单位：天津大学环境科学与工程学院,天津,300072刊 名：科技导报 ISTIC PKU英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY REVIEW年，卷(期)：25(2)分类号：P3关键词：富营养模型 统计力学 最大流原理 复杂系统

最大值原理 篇3

最大转矩作为三相异步电动机(以下简称电机)的一项重要指标,在许多行业如船舶设备中做为重点考核项目被列入认证规范。对于中小型电机或在实验设备允许的条件下可以通过测功机或从转矩—转速曲线上直接读取;对于某些大型或者短时工作制下运行的电机,由于其较大功率输出,受设备限制往往无法直接测量电机最大转矩值。基于圆图法的原理,GB/T 1032—2005提供了利用圆图计算法求取电机最大转矩的计算公式[1],该方法简洁、快速,相比几何作图误差较小。而作为国家标准,GB/T 1032—2005并未对圆图计算法作更多的理论解释,本文的目的就在于从理论上建立从圆图法到圆图计算法二者之间的联系,并且通过试验验证,从而更深刻的理解并在实践中推广这一计算方法。

2 电机圆图法

2.1 圆图原理[2]

对于LR串联电路,当电源电压U1、频率f1及感抗X保持不变,而电阻值R在0～+∞之间变化时,其电流矢量轨迹将是一个以U1/X为直径的圆(见图1)。证明如下。

当R=0时,回路电流I=U1/X,表现为纯感性,即对应图1几何长度中,当电阻R=r时,,在阻抗三角形△OBC中,,分别表示电阻、电抗及阻抗的几何长度,φ为功率因数角。

根据几何及电路关系:

可见的大小表示了该回路在阻抗为Z时的电流J1,φ为电流I1滞后电压矢量U的角度,所以矢量OD表示了该情况下的电流矢量。可以推想,当R在0～+∞之间变化时,其电流矢量末端必然落在该圆上。

而电机等效电路图中的转子支路则满足这一特性,转子支路的电流矢量轨迹将是一个以U1/XK为直径的圆,其中XK为电机堵转电抗等效值。

2.2 电机圆图法[3]

图2是电机圆图,首先根据空载、堵转电流确定圆心,然后作出电机圆图。那么当电机处于不同工作状态时,电机转子电流将是以O'起点的一簇矢量,其末端在圆周之上。而定子电流是励磁电流与转子电流的矢量和,将是一簇以O为起点的矢量,其末端也必将落在圆周之上。

电机圆图中各线段长度乘以不同比例尺即可表示不同的电机参数,在此定义Ki(A/mm)、Kp(W/mm)与KT(N·m/mm)分别表示电流、功率和转矩比例尺。

1)O':理想空载点,转子电阻+∞,电流为0。

2)K:额定短路点,该点由短路试验数据根据公式IKN=IK (UN/UK)以及PKN=PK (UN/UK)2计算得到。

3)A:最大转矩点,Tmax=KTAM。

4)圆图中的几何关系:C为圆心,,与半圆切于A点。

3 圆图计算法

圆图计算中电压、电流和电阻均为相值;功率为三相功率。以下推导过程中的符号定义均参考GB/T 1032—2005。

3.1 测量参数的换算

该圆图由电机额定空载试验以及推导额定短路试验所得参数绘制,因此首先建立该已知参数与圆图之间的对应关系。

3.1.1 由空载试验求得的参数

空载电流的有功分量:

空载电流的无功分量:

3.1.2 由堵转试验求得的参数

堵转电流:

堵转功率:

堵转电流的有功分量:

堵转电流的无功分量:

3.2 圆图几何关系的换算

3.2.1 确定半径

根据空载以及短路试验得到的电流分量式(1)～式(4)可以得到如下几何关系。

堵转转子支路电流无功分量:

堵转转子支路电流有功分量:

I2K即为堵转时转子支路的电流。

设∠KO'B=φ1,圆图半径为rc,则可根据△KO'R与△KO'B的几何关系得出:

令

则

3.2.2 确定电磁功率线

电机在堵转时其功率只有3部分组成:定子铜损耗、铁心损耗以及转子铜损耗[4],根据已知的I2K及假设的堵转转子功率因数角φ2K可得以下功率平衡方程:

又因为

经推导后可以得到以下关系

3.2.3 中间参数

可以证明△MO'C与△MAC全等,因此

因为

所以

3.2.4 求取最大转矩

根据三角关系可以求得

最大转矩时转子电磁功率:

额定电磁功率按照下式求取:

结合式(5)、式(6)可得电机最大转矩标幺值:

式中:CT为电机容量系数。

Tmax=K·TN

至此,GB/T 1032—2005关于异步电动机最大转矩的圆图计算法中每一个公式都经过了验证。

4 计算结果分析

GB/T 1032—2005中关于圆图计算法确定电机最大转矩的前提要求是:短路试验需要在2～2.5倍额定电流下进行,原因在于电机过载时电流有可能达到额定电流的2～3倍,此时磁路趋于饱和,因此堵转试验额定电流所得参数所做出的圆图不能确切的反映过载时电机工作状况[4]。

为了验证该方法的准确度,随机抽取5台电机型式试验报告,对比直接测量(转矩转速仪法)结果与计算结果之间的差异,参照表1。

5 结论

GB/T 1032—2005所提供的计算公式在保证准确的前提下极大地简化了过程,同时随着计算机程序语言的普及,通过一个小小的计算程序,圆图计算法可以更加快速的完成。

圆图法与圆图计算法做为非直接测量电机性能参数的重要方法,在不增加额外投资成本的情况下为处理某些特殊测试情况提供了解决方案。具有较强的实用性、简便的操作性以及很高的推广价值。

参考文献

[1]GB/T 1032-2005.三相异步电动机试验方法.

[2]王益全,张炳义.电机测试技术[M].北京:科学出版社, 2004.

[3]才家刚.电机试验手册[M].北京:中国电力出版社,1993.

最大值原理 篇4

新巴塞尔新资本协议把操作风险纳入资本协议框架下, 要求银行除了为信用风险和市场风险之外, 还必须为操作风险也分配资本金[1]。操作风险的度量是操作风险资本金分配的前提, 新巴塞尔协议从监管的角度提出了度量操作风险的思路, 给出了3种计算方法 (i) 基本指标法 (BIA) 、 (ii) 标准法 (STA) 、 (iii) 高级计量法 (AMA) 。基本指标法和标准法适用于小银行, 且缺乏风险敏感性;同时新巴塞尔资本协议鼓励大银行开发适合自己的高级计量法, 目前最常用的高级计量法有内部计量法、记分卡法、损失分布法等[2]。

虽然高级计量法包含很多方法, 但是迄今为止研究最广泛的是损失分布法[2]。损失分布法 (LDA) 是一种精算方法, 很早就被用在保险方面。它主要利用历史数据来估计损失事件发生频率和损失金额程度的概率分布函数, 有了对这两个属性的估计之后, 操作风险的在险值 (VaR) 通过一年整体操作风险损失分布的99.9%置信水平下的值表示[1]。它优点在于强调建模, 通过计算VaR直接衡量非预期的损失, 但是难点在于如何确定损失程度的假设分布。而在求解操作风险的年度损失数额的时候, 损失程度分布的精确性对结果的影响远远大于损失频率分布[2], 因此如何得到拟合准确度高的损失程度分布又是很重要的问题。围绕这个重点和难点, 周好文等通过假定损失程度分布服从对数正态分布, 通过蒙特卡罗仿真得出了各置信水平下一年期的银行内部欺诈带来的损失金额[3]。Matthias Degen1等根据操作风险的尖峰厚尾的特性和g-h分布的统计特性, 使用了g-h分布来度量操作风险程度损失[4]。Bank of Japan分别使用对数正态分布、Weibull分布、广义Pareto拟合损失程度分布, 发现求解出的风险值差异很大, 认为单一分布不能完全拟合数据, 为提高拟合效果采用对数正态分布和广义Pareto分布分别拟合损失的体部和尾部[5]。Bocker Klaus利用损失分布法计算操作风险VaR时, 假设低频高额损失服从广义Pareto分布, 高频低额损失服从正态分布[6]。Neslehova等在损失分布方法基础上, 采用极值理论, 利用广义Pareto分布来逼近损失程度分布的尾部情况[7]。刘睿等在损失分布法的框架下, 采用极值理论中的POT模型合并处理损失程度和损失频率分布, 从而获得总和损失的尾部估计[8]。司马则茜, 李建平等在假定损失程度分布尾部为广义Pareto分布的基础上, 引入随机和模型计算在险值[9]。

以上方法对于损失程度分布估计都是基于传统参数估计的方法, 缺点在于需要根据操作风险损失数据的特点做出假设, 分布选择带有主观的成分, 容易导致计算的结果也受主观影响, 造成偏差或者不确定性, 同时由于参数求解方法不同 (如采用极大似然估计、矩估计或最小二乘得到不同的分布参数) 也会导致结果的较大变化[5]。

为避免传统参数估计中的分布选择的主观导致的结果偏差, 得到拟合更准确的分布, 本文提出了基于最大熵的非参数分布估计方法。

最大熵的思想认为我们所求解的损失概率分布应该是在满足约束条件下 (我们通过观测知道的统计损失信息) 的离均匀分布最近的分布, 这样的分布很好的拟合了已知数据 (满足约束条件) 同时又对未知数据保持最大的不确定性 (即在约束条件下离均匀分布最近) , 这样的思想与我们的常识是相一致的。反映最大熵思想的数学模型等价于求解一个数学规划问题。最大熵思想的非参数估计方法将对损失概率分布由主观的人为假定转变为客观的求解一个数学规划问题, 自然就不涉及分布选择的问题, 也不涉及求解参数等问题。该方法可以得到拟合程度较高的分布, 同时能够避免上面提出的传统参数估计的主观分布假定的问题。因为计算简便, 适用性强, 最大熵方法被应用于许多领域[10,11]。

国内学者曾将信息熵应用于风险分析领域[12,13], 但应用于操作风险度量方面的文献较少, 张晨等采用将信息熵概念引入到不确定性多属性评价决策模型中, 建立了我国商业银行操作风险的多属性评价方法[14], 但主要是采用记分卡法, 相对损失分布法而言, 记分卡法本身无法具体量化操作风险的大小。

本文在损失分布法的框架下, 借助基于最大熵原理的非参数估计方法对损失程度分布进行了计算, 用中国商业银行数据进行实证研究, 计算出中国商业银行操作风险损失和资本金, 并对结果进行了压力测试, 说明了该方法在操作风险度量中的实用性和有效性。

1 基于最大熵原理的损失分布方法

标准的损失分布方法假设发生次数和严重程度是独立的, 即分别分析频率分布和程度分布。然后将频率分布和程度分布通过一定的方法 (比如蒙特卡罗模拟) 集成起来得到一年的操作风险损失分布, 从而计算操作风险的大小。这种计算操作风险的分析方法类似于保险索赔的分析框架[15]。本研究将采用在险值 (VaR) 、条件在险值 (CVaR) 和监管资本 (RC) 来表示风险。为了表示损失分布法, 假设操作风险1年的损失数量用L表示, 那么:

$\text{L}={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{Ν}}\text{X}}{}_{\text{i}}(1)$

其中Xi表示第i次的损失数量;N表示1年发生操作风险的次数。

1.1节介绍了基于最大熵原理求解损失程度分布的方法, 1.2节介绍了损失频率分布的求解方法, 1.3节介绍了基于最大熵原理的损失程度分布和损失频率分布集成方法, 求解年度操作风险损失方面的具体步骤, 并给出了在险值 (VaR) 、条件在险值 (CVaR) 和监管资本 (RC) 这些风险指标的求解方法。

1.1 基于最大熵原理的损失程度分布估计方法

信息熵模型是1948年Shannon在创立信息论时建立的, 是一个量度随机事件不确定性的指标[16];Jaynes将其推广至统计物理领域并提出最大熵原理:对于给定信息最小化有偏分布即最大化熵值, 并证明了最大熵原理在选择具体的f (x) 时是一个合理的标准, 最优分布可由最大化熵这个原则来实现[17]。

最大熵的思想认为我们所求解的损失概率分布应该是在满足约束条件下 (我们通过观测知道的统计损失信息) 的离均匀分布最近的分布。在操作风险损失中, 由于我们所得到的损失数据是有限的, 在没有其他更多的信息的情况下, 我们应该尽可能从已知数据挖掘信息, 而对未知数据保持最大的不确定性, 即在满足已知数据的基础上认为其他情况发生的机会都应该是相同的;估计的损失分布也随着样本数据的添加 (外来的信息) 越来越趋向于更加精确的分布, 这样的思想与我们的常识是相一致的。反映最大熵思想的数学模型等价于一个求解带约束条件的数学规划问题, 通过引入拉格朗日乘子很容易得到解析解。该方法将对损失概率分布求解由人为主观假定转变为客观的求解一个数学规划问题, 自然就不涉及分布选择和参数求解的问题。

操作风险每次损失的金额是个随机事件, 我们设操作风险损失金额为随机变量x, 其损失概率密度函数为f (x) , 该随机事件的不确定性大小可以用熵H (x) 来描述, 我们这里采用总体矩来作为约束条件表示已知的统计信息, 构建最大熵非参数分布估计模型 (最大熵模型) :

$\text{m}\text{a}\text{x}\text{i}\text{m}\text{i}\text{z}\text{e}\text{Η}(\text{x})=-{\displaystyle \underset{\text{R}}{\int }\text{f}}(\text{x})\text{l}\text{n}\text{f}(\text{x})$dx (2)

$\begin{array}{l}\text{s}.\text{t}.{\displaystyle \underset{\text{R}}{\int }\text{x}}{}^{\text{i}}\text{f}(\text{x})\text{d}\text{x}=\text{μ}{}_{\text{i}}‚\text{i}=0‚1‚2‚3\cdots \text{m}(3)\\ {\displaystyle \underset{\text{R}}{\int }\text{f}}(\text{x})\text{d}\text{x}=1‚\text{f}(\text{x})\ge 0(4)\end{array}$

式中, m为所用矩的阶数, 实际计算时我们用样本矩的值$\text{μ}{}_{\text{i}}=\text{A}{}_{\text{i}}=\frac{1}{\text{n}}{\displaystyle \sum _{\text{k}=1}^{\text{n}}\text{x}}{}_{\text{k}}{}^{\text{i}}$代替 (3) 式左边总体矩的值, μ0=1。如果除了概率公理性 (非负性和归一性) 条件外, 没有任何已知信息时, 概率分布应该为均匀分布;当存在统计矩条件的约束时, 概率分布应该是在约束下离均匀分布最近的分布, 熵值度量了在已知信息下获得的损失分布偏离均匀分布的程度。

由于最大熵模型的数学形式为一个变量可分离的凸规划问题, 因此通过拉格朗日函数的驻值调节, 就可以很容易的求得其解析形式的全局最优解。采用拉格朗日乘子法对 (2) 求解, 设拉格朗日乘子为λ0, λ1……λm (m为所用矩的阶数) , 则损失概率密度函数形式为

$\text{f}(\text{x})=\exp \left(\text{λ}{}_0+{\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{m}}\text{λ}}{}_{\text{i}}\text{x}{}^{\text{i}}\right)(5)$

求这些乘子的一种方法, 是先把乘子表示的概率公式带入统计矩约束, 然后解由此得到的非线性方程组。对于m+1个未知的拉格朗日系数λ0, λ1……λm, 解以下m+1个非线性方程组:

$\text{G}{}_{\text{i}}(\text{λ})={\displaystyle \underset{\text{R}}{\int }\text{x}}{}^{\text{i}}\exp \left(\text{λ}{}_0+{\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{m}}\text{λ}}{}_{\text{i}}\text{x}{}^{\text{i}}\right)\text{d}\text{x}=\text{μ}{}_{\text{i}}(6)$

这一非线性方程组没有解析解, 需要采用非线性最优化的技术求解, 我们可以采用牛顿迭代法求解[18,19], 将得到的拉格朗日乘子λ0, λ1……λm代入 (5) , 就可得到损失程度分布的概率密度函数表达式。

为了从理论上确定是否所求的概率密度函数能反映随机变量真实的概率特性和对原数据的拟合效果, 在此选用Kolmogorov-Smirnov (KS) 检验法对该分布进行拟合优度检验[20]。

1.2 损失频率分布估计方法

操作风险事件的损失程度用合适的连续性分布描述, 而操作风险每年发生的次数 (损失频率) 通过离散型分布来描述。常用的损失频率模型主要有泊松分布和负二项分布两种, 在求解年度操作风险损失的过程中, 这两种分布的选择对结果的影响不大, 更远远小于损失程度分布的精确程度对结果的影响[2], 所以本文仍然采用常用的损失频率分布, 其中泊松分布能够很好的描述一段给定的时间间隔、一段距离或者一个区域中发生随机事件次数的一种分布, 所以在本研究中采用泊松分布对操作风险发生的频率进行拟合。

泊松分布中, 如果在给定时间区间内事件的期望发生次数为λ, 那么发生x次 (x是非负整数, x=0, 1, 2, …) 的概率为:

$\text{f}(\text{x})=\frac{\text{e}{}^{-\text{λ}}\text{λ}{}^{\text{x}}}{\text{x}！}$ (7)

泊松分布的期望和方差都等于参数λ, 即E (x) =V (x) =λ。若在[T1, T2]时间区间内, 样本x (=x0, x1, x2, …xn) 包含了所有的操作风险损失数据, 那么频率分布参数λ可以通过最大似然函数估计方法求得, 即:

$\widehat{\text{λ}}=\widehat{\text{λ}}{}_{\text{Μ}\text{L}\text{E}}(\text{x})=\frac{\text{n}}{\text{Τ}{}_2-\text{Τ}{}_1}$ (8)

1.3 基于最大熵原理的年度操作风险损失估计方法

操作风险的频率分布和程度分布已经得到, 接下来就是将两种分布结合得到一年的操作风险的整体风险损失分布, 从而计算操作风险大小 (例如在险值VaR等) 。一年操作风险的随机损失和L=X1+…+Xn (其中N服从泊松分布) 的累计分布函数为:

FL (x) =Pr (L≤x) =∑∞n=0pnPr (L≤xN=n) =∑∞n=0pnF${}_{\text{X}}^{*\text{n}}$ (x) (9)

其中FX (x) =Pr (X≤x) 是基于损失程度Xi的累计分布函数, 可以由最大熵模型求出的概率密度函数f (x) 积分求得;F${}_{\text{X}}^{*\text{n}}$是损失程度X累计分布函数的n重卷积。一年操作风险损失分布是操作风险频率分布和程度分布的集成, 从数学推导上表现为程度分布的n重卷积, 但是, 在实际中很难得到解析解。本文采用Monte Carlo模拟的近似算法求解一年操作风险损失分布。

基于最大熵原理的损失分布法求解操作风险损失的具体步骤如下:

(1) 用最大熵模型求出操作风险损失程度的分布 (最大熵分布) ;

(2) 用泊松分布拟合频率分布;

(3) 通过蒙特卡罗模拟方法得到一年操作风险损失分布, 就可以根据整体损失分布计算操作风险和资本金。其中蒙特卡罗模拟的步骤详细见参考文献[21]。

巴塞尔委员会规定在计算银行操作风险监管资本金时, 要求资本金涵盖操作风险的期望损失和非期望损失, 除非银行有理由说明自己的期望损失已经得到很好的处理, 同时监管资本金要大于一年整体操作风险损失分布的99.9%置信水平下的值[1]。

若监管资本金包含操作风险的期望损失和非期望损失, 那么一年的监管资本是:

VaR=F${}_{\text{L}}^{-1}$ (0.999) (10)

虽然VaR以简单的方式给出了风险的表达, 但是它不是一致性测度, 不具有次可加性[22], 本文同时选用满足次可加性的CVaR来度量操作风险。CVaR被定义为:

CVaR0.999=E (XiXi>VaR0.999) (11)

若银行有充足的理由说明自己的期望损失已经得到很好的处理, 那么在高级计量法中银行操作风险的监管资本 (RC) 等于非预期损失 (UL) , 是VaR与EL的差。即:

RC=UL=VaR-EL (12)

其中, FL代表一年期操作风险的损失分布的累计分布函数;F-1是FL的反函数。

2 实证研究

为验证模型的有效性, 我们进行了实证研究, 2.1节是通过最大熵模型得到的具体损失程度分布, 2.2节为具体的损失频率分布, 2.3节得到了具体的年度操作风险损失和监管资本。

2.1 求解损失程度分布

由于很难获得我国商业银行内部的操作风险损失事件数据, 我们尽可能收集了国内外媒体公开报导的我国商业银行操作风险损失事件, 收集到的损失事件共860起, 时间跨度为1995～2006年。由于数据有限, 将国内所有的商业银行作为一个整体来考虑它的操作风险, 这些商业银行客户群体具有相似性, 又处于同样的社会、文化、政治、法律与政策环境之下, 因此将它们作为一个整体考虑也具有合理性。

图1给出了我国商业银行操作风险损失金额的直方图, 可以看出由于损失金额的变化幅度非常大, 而大部分的损失都位于2000万以下, 如果直接对它的概率分布进行估计, 牛顿迭代法这种数值解法会因为数值范围过大而无解或者解无法收敛, 为了采用这种数值解法求解, 我们需要将数据的值控制在一定范围内, 于是考虑取损失金额的对数值, 考察损失对数值的概率分布, 图2是损失金额的自然对数。

根据这860个损失样本, 首先依据 (3) 式计算各阶的原点矩, 作为约束条件, 然后按照本文第二部分介绍的方法求解 (2) 式, 就可以获得最大熵模型估计的损失分布概率密度函数。表1列出了常用的原点矩阶数m=5时最大熵模型求解的概率密度函数的系数, 代入 (5) 式即可得到具体概率密度函数表达式f (x) =exp (-4.4330+0.8893*x-0.0587*x2-0.0124*x3+0.0019*x4-7.9650e-05*x5) ;图3表示当m=5时, 计算出的概率密度函数曲线。

然后, 采用KS检验法对最大熵分布概率密度函数进行检验, 给定显著性水平α=0.05, 样本容量为n=860, KS检验表上的临界值为D860, 0.05=0.0461, 表2是KS检验的结果。作为对比, 本文也采用了常用的对数正态分布、Weibull分布、指数分布拟合数据 (此时常用分布拟合的数据采用的是取对数前的原始数据) 并进行KS检验。从表2中的KS检验结果, 可以看出Weibull分布、指数分布都不能通过KS检验。我们将最大熵分布和常用的对数正态分布的KS结果对比, 可以看出采用最大熵分布, 比常用的对数正态分布更加符合原始数据分布, 更好的拟合了样本, 反映了样本真实情况。

进一步的, 将最大熵分布与常用的对数正态分布进行QQ图的比较。图4分别是最大熵分布和对数正态分布的QQ图, 从QQ图我们可以看出在尾部数据的拟合上, 最大熵拟合的程度较对数正态分布更好, 更能反映尾部的特征。

从KS检验和QQ图的结果来看, 相比对数正态分布最大熵分布在中部和尾部的拟合都是比较好的, 最大熵分布的方法更符合数据分布, 但是用最大熵计算得到的概率密度分布只是充分反映了原来样本数据包含的所有信息, 若要准确估计未来较长时间的年度损失, 仍需要加入大量的历史最大数据, 以进一步提高估计的精度。最大熵分布得到的尾部极值远远小于对数正态分布, 这有很大一部分原因是对数正态分布曲线的外延性能, 但是实际上在没有历史最大数据的支持下, 按照对数正态分布得到的曲线是否可信、合理, 存在很大的不确定性, 容易过高的估计风险, 相反由最大熵得到的结果较为接近历史样本序列的最大值, 与实际较为符合。

从最大熵分布和其他常用分布对损失数据的拟合程度上看, 最大熵的拟合效果是最好的, 拟合准确性是最高的, 因此采用最大熵分布更能够精确求解资本金。

2.2 求解损失频率分布

根据第二部分估计操作风险频率分布的方法, 从1995～2006年我们搜集到的操作风险损失事件共860件, 根据公式 (8) , 最大似然情况下损失次数为71 (860/12) , 故采用的泊松分布参数为71, 即操作风险发生次数服从Poisson (71) 。

2.3 求解年度操作风险累积损失和监管资本

根据巴塞尔新资本协议的要求和建议, 本文选用99.9%的置信水平确定经济资本。在得到频率分布和损失程度分布以后, 进行10万次的蒙特卡罗模拟, 得到了年度操作风险累积损失并得出在不同置信度水平下的监管资本。

我们计算了操作风险的VaR、RC、CVaR值, 从表3可以看出, 如果银行可以证明已对预期损失 (操作风险损失值的均值12亿元) 在日常经营中进行了防范, 那么当置信水平为90%时, 我国商业银行为应对操作风险需要拨备的资本金为136.29 (148.29-12.0) 亿元;置信水平为99.9%时, 则需拨备资本金411.26 (423.26-12.0) 亿元。

相比起中国银行业的总资产和其他常用分布得到的结果, 这里求得的资本金数额偏小, 最重要的原因仍然在于数据的缺乏。最大熵的估计方法是根据已知的数据, 通过检验和它的拟合程度来进一步的估计损失, 而对未知的数据保持最大的不确定性, 在拟合精确度上比常用的分布拟合的更好, 但是还是要随着样本数据的加入才会更加得到更加精确的估计结果。另一方面, 我们在进行最大熵估计的时候, 为了使用数值解法数据采用了对数值, 也对结果造成了一定的影响。

为了能更好的验证我们的模型, 我们将采用压力测试的手段加入外部的极端操作风险损失数据, 以此来检验模型在出现极端损失情况下的表现。

3 压力测试

由于操作风险损失数据的稀少, 为了更好的验证模型的实用性, 同时也为了更好的验证鲁棒性和敏感性, 检验模型在极端情况下的表现, 我们加入了国外的极端损失数据并进行压力测试, 这是最常用来验证模型有效性的工具之一。传统所谓的压力测试 (stress testing) 是指将整个金融机构或资产组合置于某一特定的极端市场情况下, 然后测试该金融机构或资产组合在这些关键市场变量突变的压力下的表现状况。银行的压力测试通常包括信用风险、市场风险、操作风险等方面内容, 测试的质量取决于构造合理、清晰、全面的情景。本文原来的数据集中最大损失为100亿元, 因此选用过去20年中外国银行业操作风险的3件远远大于100亿的极端事件作为情景, 具体数据见表4。每次加入一个极端事件到原始数据中, 重新计算操作风险的VaR和VaR的变化率如表5。

注:在计算时按照美元兑人民币汇率为8;欧元兑人民币汇率为10进行换算。

从表5的3种情景分析可知每种情景在不同的置信区间下都对操作风险的VaR产生了正影响, VaR的变化在7.92%～131.34%之间;在同一置信区间下, 随着极端损失值的增加, 操作风险的VaR的变化率也随着增加, 因此基于最大熵的损失分布法具有很好的风险敏感性;同时在巴塞尔新资本协议要求的99.9%置信区间下, 操作风险的VaR的增加大于实际的加入的操作风险的极端损失, 操作风险的VaR覆盖了实际的损失, 即如果在历史数据中存在这种极端损失, VaR值可以在满足一般的年度损失外, 还可以覆盖因为这种突发的极端事件带来的重大损失;所以有理由相信基于最大熵的损失分布法在度量操作风险时同时具有敏感性和鲁棒性。

4 结论

本文采用了基于最大熵的非参数估计的损失分布法, 度量了商业银行的操作风险, 最大熵方法估计的损失程度分布比常用的对数正态分布更好的拟合了样本, 反映了损失样本的真实情况。本文通过用中国商业银行数据进行实证研究, 计算出中国商业银行操作风险损失和资本金, 并对结果进行了压力测试, 说明了该方法的实用性和有效性。本文给出了一种新的操作风险度量的方法, 随着添加更多的损失数据, 该方法能够给出更为精确的操作风险损失大小, 为银行和监管机构度量操作风险提供了一种新的思路。

最大值原理 篇5

关键词：代建制,政府投资工程,最大熵原理,风险分析

0 引言

代建制的实施是我国政府投资管理体制的一项重大改革。但政府投资工程实施代建模式从实际运行的经验来看, 其中一些风险还是很值得关注的, 代建项目从立项到完工之间, 经过的中间环节较多, 其中涉及到的中介机构也较多, 这就使得在各种环节中的不确定性因素增大, 一些中介机构和代建单位、施工方和供应商之间, 利益关系错综复杂, 在一些环节, 缺乏详细的规范标准, 这就使得项目的施工过程变得充满不确定性因素, 并且代建工程的施工时间较长, 这就使得相关的风险持续时间长, 一些大规模的工程, 其风险涉及的金额巨大, 基于这种情况对政府投资工程进行风险评价十分重要。

近年来, 随着矩分析方法和熵理论的日臻完善, 可将信息熵、概率论和风险估计结合起来, 建立最大熵原理风险评价模型[1,2]。本文将政府投资工程风险系统划分为经济、自然、法律、技术、社会五个子系统, 辩识出风险因子, 通过模型分析, 得到政府投资工程经济效益的风险特性, 为正确决策提供科学的依据。

1 最大熵原理风险评估模型的构建

熵 (entropy) 一词的西文源自于希腊语“τρoπη”, 意为变化之意, 表示变化之容量。最大熵原理是在1957年由E.T.Jaynes提出的, 其主要思想是, 在只掌握关于未知分布的部分知识时, 应该选取符合这些知识但熵值最大的概率分布。依照现代熵的观点, 当利用最大熵原理这一数学方法时, 实质上是承认物质系统内的熵 (这可能是某些熵中的一种) 自动地处于约束条件所允许的最大取值状态。

在对政府投资工程进行风险分析时, 面临的一个主要问题是, 相关风险变量的资料或信息统计并不是很全面, 政府投资的大型工程, 涉及到的相关信息太过庞杂, 在提取有效信息过程中, 缺乏标准和依据。其随机特征一般都是无先验样本, 而只能获得它的一些数字特征, 如均值μ, 或者方差σ, 或其他的一些统计数据, 所以要考察某个风险变量的概率分布, 必须服从已知的信息 (如均值、方差) 作为约束条件[3]。可将信息熵、风险估计和概率论方法有机地联系起来, 建立最大熵风险估计模型:先验信息构成求极值问题的约束条件, 由最大熵准则得到随机变量的概率分布。因此在对政府投资工程进行风险分析时最大熵问题可以描述为一个数学规划模型:

R为随机变量的定义域或变化范围的集合。m为随机变量的矩的阶数。Mi为随机变量X的第i阶原点矩。f (x) 为随机变量X的密度函数。K为常数。

为了求解方便, 我们令k=1。首先用拉各朗日乘法原理, 建立拉各朗日函数, 目的为了把它转换为无约束的问题。

若使上式取最大值, 则两边对f (x) 求导, 并令其等于0, 则可以求得:

然后将f (x) 代入约束方程 (公式2-3) 可以解得:

由公式 (4) - (6) 可得:

令每个Mi所造成的残差分别记作Ri, 利用最小二乘法原理可求出所有残差造成的最小残差平方和的最小值minRi2, 可得到各个λi的近似解。这是一个非线性优化问题, 如求出的风险变量的概率函数f (x) 的误差小于允许误差时, 即可认为式 (7) 收敛。

随机变量X的各阶矩Mi, 下面简单介绍求解。设风险变量X有n个相互独立的影响因素, 它们的期望值是, 则:

为了推导方便, 设x1和x2的中心矩为μkr。

则M1可变为:

同理可以得出M2:

第三阶矩M3:

2 政府投资工程主要风险概率分布

在大型政府投资项目开发的过程中, 风险影响因素广泛而复杂, 将所有的风险因素一律进行量化和分析既没必要也不可能, 因为很多因素还没找到量化的途径和方法, 存在量化的困难;另一方面对风险因素不分轻重的量化和分析会带来很大浪费和麻烦, 可能得不偿失。所以一般只对影响政府投资工程主要目标的重要的风险因素进行定量化分析。在本文中将政府投资工程风险划分为经济、自然、法律、技术、社会五类风险。它们的概率分布主要有平均分布、三角分布、正态分布等三类。

3 实例分析

某政府投资工程存在经济、自然、法律、技术、社会等五项风险。经过专家打分, 风险因子数值如表1所示。

项目的净现值与风险因素的关系如下:

由标准正态分布和三角分布可得出期望值和方差:

该项目的各年现金流量表, 如表2所示。

由公式 (11) 可知:NPV1=G (μ1, μ2, μ3, μ4, μ5) =5.556千万元。由公式 (8) (9) (10) 可得:M1=6.271, M2=57.4171, M3=67.755。

将三阶矩带入公式 (7) , 用matlab求解, 可得:

把λ1, λ2, λ3带入公式 (5) 求得:

于是可得所求的目标风险函数经济净现值的最大熵概率密度分布函数为:

该密度函数分布图像如图1所示。

则该工程的投资失败率

4 结语

本文根据最大熵原则建立了政府投资工程最大熵风险分析模型, 由此得到风险指标最大熵密度函数的具体数学表达式, 利用熵权来表示各指标的客观权重, 利用专家打分法得出各指标的主观权重, 这样综合考虑了主观与客观两方面的因素, 简单及可操作性强, 为进一步对风险指标的深入分析及风险决策研究奠定了良好的基础, 为项目投资决策的科学化、定量化提供了一种新的思路。

参考文献

[1]James E Smith.Moment Methods for decision Analysis[J].Management Science, 1993, 39 (3) :340-358.

[2]希德尔J N.工程概率设计:原理和应用[M].北京:科学出版社, 1989:98-106.

最大值原理 篇6

本研究以闸水位为例,结合信息熵和最大熵原理的思想, 侧重寻找一种与样本数据拟合精度较高,且能够反映出其分布特点的概率密度函数研究方法,旨在为水工结构规范修订和水闸可靠度设计做一些基础研究工作和提供科学依据。

1信息熵和最大熵原理

1.1信息熵

1948年,美国电气工程 师香农 (Shannan C.E.)在研究信 息的不确定性时,把通讯过程中信源讯号的平均信息量称为信息熵。如果把一个离散信源表示为:

当随机变量X取值xi的先验概率为pi(i=1,2,3,…,n)时, 则:

定义随机不确定性的测度:

为熵,为便于运算,取其为:

对于连续信源,若设x的分布以概率密度函数p(x),则连续函数x的熵表达式为:

1.2最大熵原理

1957年,Jaynes提出一个 统计推理 准则———最大熵原 理[7,8,9],即根据部分信息进行推理时,当已知信 息的熵为 最大时,该组概率分配是唯一 的无偏分 配。在数据不 充分的情 况下,采用最大熵原理确定随机变量概率密度函数的思想是:在只有已知部分数据的情况下,选择熵最大的解就意味着对未知部分作最少的假设,由此确定的解是最不带倾向性的体分布形式及参数[5]。

最大熵原理可表示为:

式中:x代表可观测的函数值;μ代表相应的均值。

1.3闸水位概率密度函数的确定

(1)闸水位概率密度函数模型的确定。根据最大熵原理的思想,建立闸水位概率密度函数模型:

约束条件为:

式中:p(x)为闸水位概率密度函数;R为积分空间;n为所用矩的阶数;mi为第i阶原点矩,其值可由样本数据计算出来。

采用拉格朗日乘子法解决该等式约束条件下多变量函数的寻优问题。设拉格朗 日函数为L,拉格朗日 乘子为λ0,λ1, …,λm,对于等式约束的极值问题式(11)、(12)、(13)就有:

得:

这就是闸水位最大熵概率密度函数的解析形式。

(2)算法实现。将式(12)~(15)进行微分处理,得到:

为了便于建立优化函数表达式,令:

式中:ri为每项的残差。

利用非线性规划求R的最小值。当R<ε或所有的|ri|<ε 时即认为式(17)收敛,从而求解出λ1,λ2,…,λm和λ0。这样就求出了全部的待估计的分布参数,代入式(15)即可求出随机变量概率密度函数的解析表达式。

2算例

巴盟永济第2节制闸最早于1965年修建,运行多年后,于2004年重建,为整体开放式水闸。闸室共2孔,每孔设1扇铸铁闸门,每扇闸门 配一手电2用螺旋式 启闭机。闸门尺寸 为2.5m×3.0m,自重3.25t;启闭机重0.5t。闸室底板顺水流方向长7.5m,底板厚0.8m,中墩厚1.0m。闸墩上游侧布置机架桥及启闭机房 (24 m2),下游侧布 置交通桥,桥面净宽 为4.5m,汽-10标准。闸室上下游两岸与渠道连接段为悬臂式钢筋混凝土圆弧翼墙。地基允许承载力为140kPa,土层凝聚力为15kPa,地基土内摩擦角为25°。

根据文献[10]提供的统计资料,对该闸1995-2001年上游水位资料进行分析,采用上述最大熵方法分析闸水位熵概率密度函数,并结合统计直方图,对其匹配情况作一些比较,得到结果(见图1)。与其相对应的熵概率密度函数的解析表达式为:

若采用传统的假设检验法(以K-S法为例)研究该随机变量概型,发现它对正态分布不拒绝,则对应的正态概率密度函数的解析表达式为:

利用闸水位的熵概率密度函数计算出水位的均值及方差, 将其代入极限状态方程,利用规范介绍的JC分析闸室的抗滑稳定可靠性。选择闸上设计水位为2.6m,闸下无水的工况,得到闸室的失效概率为3.605 5×10-3。

可见,利用最大熵原理确定随机变量概率密度函数是可行的,从理论上说,它更能代表母本本身的分布规律和特点。

3结论

最大值原理 篇7

本文的主要结论是①存在最优税收率, 它使得整个经济处于平稳最优增长状态, 并且使得个人消费和公共消费总效用达到最大状态。②政府可以根据最优税率适当地调整税收政策, 当政府制定的税收率高于最优税收率时, 此时适当的提高税收有利于经济政治, 当某一期的值远高于最优税率时, 降低税收更利于经济增长。

1 模型构造及求解

1.1 模型构造

下面构造一个封闭的离散时间宏观动态经济系统模型:

生产函数:

Y=F (K1, K2, L) (1)

其中:Y为国民生产总值, 即Y=GNP

K1为公共部门固定资本存量

K2为企业及个人部门固定资本存量

L为年末从业人口数

本文采用CD生产函数 (即柯布-道格拉斯生产函数) 近似描述上试:

Y=AKundefinedKundefinedL1-a-b (2)

设GNP中有T X GNP用于公共事业, T为各种税收总量占GNP的比重 (0

G=e1×TY (3)

其中, e1是比例系数, 它为外生政策变量, 其大小待计算确定。

税收总量中另一部分用于公共投资I1:

I1= (1-e1) ×TY (4)

国民生产总值GNP在扣除税收之后余下 (1-T) Y, 其中一部分用于个人消费C:

C=e2× (1-T) Y (5)

另一部分用于企业或个人部门的投资I2:

I2= (1-e2) × (1-T) Y (6)

e2同e1是比例系数, 为外生政策变量, 其大小待计算确定。

公共固定资本存量K1 (t) 的变化由下试描述:

K1 (t-1) =K1 (t) -δK1 (t) +I1 (t) (7)

上式标明, 第t+1年固定资本K1 (t+1) 等于原有固定资本K1 (t) 减去固定资本折旧额δK1 (t) , 再加上固定资本投资I1 (t) , δ为折旧率。

个人或企业固定资本存量K2 (t) 的变化由下试描述:

K2 (t+1) =K2 (t) -δK2 (t) +I2 (t) (8)

(8) 式意义与 (7) 式类似。

由 (4) 和 (7) 可得状态方程:

K1 (t+1) = (1-δ) K1 (t) + (1-e1) ×TY (9)

由 (5) 和 (8) 可得另外一个状态方程:

K2 (t+1) = (1-δ) K2 (t) + (1-e2) × (1-T) Y (10)

假设就业人口按增长率n增长:

L (t) = (1+n) tL (0) (11)

其中, L (0) 为t=0时就业人口数。

式 (1) ～ (11) 构成了一个生产、消费、积累的封闭型 (没有考虑国际贸易) 的离散时间宏观总量经济模型。

要探讨最优税收政策, 首先要构造系统的目标。在第t个时间周期, 公共消费G (t) , 个人消费为C (t) 。人均公共消费为G (t) /C (t) , 人均个人消费为C (t) /L (t) , 那么在第t个时间周期效用是人均公共消费与人均个人消费的函数, 效用函数同样为柯布-道格拉斯函数:

undefined (12)

本文假设人均公共消费与人均个人消费对效用函数的权重一样, g=0.5.

社会目标值应是当前效用与未来效用之间的加权和。若认为当前效用与未来效用一样重要, 则权重为1, 那么总目标值U为:

undefined (13)

在此模型中, T, e1, e2, 为外生政策变量。求解最优总税率T以及最优比例e1, e2的数学模型为:

undefined

其中, 资本存量K1 (t) 、K2 (t) 为系统状态变量;T, e1, e2, 为外生政策变量, 即系统控制输入变量, 为本文待求变量。

1.2 庞德里亚金极大值原理求解模型

首先构造哈密尔顿函数, 参考 (14) 式得H:

undefined]+λ2 (t+1) [ (1-δ) K2 (t) + (1-e2) × (1-T) Y] (15)

将 (3) 和 (5) G和C代入 (15) 式得:

根据离散时间动态系统庞得里亚金极大值原理, 模型必须满足如下条件:

(a) 控制输入应满足:undefined

(b) 拉格朗日算子应满足:undefined

(c) 系统满足状态方程:

由上面三个条件可推导出T, e1, e2的三个关系式 (具体推导过程略) :

undefined

由上面三个T, e1, e2关系式, 可得出:

undefined

2 实证分析

2.1 指标解释

Y为国民生产总值, 即Y=GNP (选取1992-2001年20年数据, 来源中经网)

L为年末从业人口数, 具体指一定年龄以上, 有劳动能力, 从事一定社会劳动, 并取得劳动报酬或经营收入的人员。 (选取1992-2001年20年数据, 来源中经网)

K1为公共部门固定资本存量, 指公共部门在某一时点上的资本总量。采用永续盘存法估算得出。

K2为企业及个人、部门固定资本存量指企业及个人、部门在某一时点上的资本总量。

2.2 模型OLS估计

模型:Y=AKundefinedKundefinedL1-a-b

设定的柯布-道格拉斯生产函数, 规模报酬不变。

对生产函数两边取对数, 得到回归模型:

lny=lna+alnk1+blnk2+ (1-a-b) L (18)

利用1992～2001年的数据, 国民生产总值Y与年末从业人口数L (来源:中经网) 和折算出的公共部门资本存量K1和个人及企业部门固定资本存量, 利用Eviews软件对 (18) 式模型进行最小二乘估计。

用普通最小二乘法求估计的回归方程结果如下:

R2=0.998 0 F=269.576 8 DW=1.703 8 T=20 (括号内为t的检验值)

对 (19) 式进行t检验和F检验, 上式通过t检验和F检验。可知年末从业人口数、公共部门固定资本存量和企业及个人部门固定资本存量对国民生产总值有显著影响。说明我们构造的模型成立, 得出的计量结果是有经济意义的。

通过 (19) 式可得出a=0.133 6 b=0.725 6。由 (12) 式本文假设人均公共消费与人均个人消费对效用函数的权重一样, g=0.5

通过得出的啊a, b, g值求解17式, 得出:T=0.204 0

e1=0.345 1 e2=0.088 4

3 结语

本文证明了存在最优税收率, 它使得整个经济处于平稳最优增长状态, 并且使得个人消费和公共消费总效用达到最大状态。当税收低于最优税率时, 增加税收有利于经济增长;当税收高于税收率时, 再增加税收只会阻碍经济增长;当经济处于最优税收率这个邻域时, 经济处于平稳最优增长状态。

参考文献

[1]张金水.经济控制论—动态经济系统分析方法与应用[M].北京:清华大学出版社, 2000.

[2]张荣, 刘星.动态最优税率设计问题:一个Stackelberg微分对策模型[J].经济研究, 1999 (4) .

[3]赵怀章.实用市场经济数学模型[M].上海:同济大学出版社, 1997.

[4]肖晴初.动态均衡经济系统最优税率确定[J].经济济研究, 2007 (2) :43-51.