最大团问题论文

2024-06-27

最大团问题论文（通用5篇）

最大团问题论文篇1

0 引言

最大团问题是一类NP完全问题,也被称为最大独立集问题。它的应用领域包括市场分析、方案选择、信号传输、计算机视觉和故障诊断等。研究它有很大的理论价值和实践价值。传统的确定性算法不能有效地进行求解最大团问题,因此好多学者提出了各种各样的启发式算法求解该问题。目前国内使用启发式算法求解最大团问题的研究还处于起步阶段[1]。

蚁群算法是一种新型仿生类进化算法,是继模拟退火、遗传算法、禁忌搜索等之后的又一启发式智能优化算法,具有很强的通用性和鲁棒性。意大利学者Dorigo M等于1991年最早提出蚁群算法,1992年,Dorigo M又在其博士论文中进一步阐述其核心思想[2]。蚁群算法成功地应用于求解TSP、二次分配、着色、车辆调度、集成电路设计及通信网络负载等问题。蚁群算法从提出到现在,因其在求解组合优化问题中突出表现,吸引了人们的极大关注。

1 基本蚁群算法

蚂蚁有能力在没有任何提示下找到从其巢穴到食物源的最短路径,并且能随环境的变化,适应性地搜索新的路径,产生新的选择。根本原因是蚂蚁在寻找食物源时,能在其走过的路上释放一种特殊的分泌物一信息素,随着时间的推移该物质会逐渐挥发,后来的蚂蚁选择该路径的概率与当时这条路径上该物质的强度成正比。当一条路径上通过的蚂蚁越来越多时,其留下的信息素也越来越多,后来蚂蚁选择该路径的概率也越高,从而更增加了该路径的信息素强度。而强度大的信息素会吸引更多的蚂蚁,从而形成一种正反馈机制。通过这种正反馈机制,蚂蚁最终可以发现最短路径[3]。

以TSP为例说明基本蚁群算法ACO(ant colony optimization)。TSP描述为,已知n个城市及各城市间的距离,求一条经过各城市一次且仅一次的最短的Hamilton回路。

设有n个城市,m只蚂蚁,任意两城市ij之间的距离为d(i,j),τ(i,j)表示两个城市ij之间信息素的浓度。初始时刻,各信息素的浓度相同。蚂蚁k从城市i转移到另一个城市j的概率为,其计算式如式(1)所示。其中,J(k)为蚂蚁k在城市i时,还没有访问过的城市集合。启发函数η(i,j)=1/d(i,j)。α、β、ρ为参数。

信息素更新式为式(2)。其中,T(i,j)表示城市i,j之间的信息素的浓度,1-ρ(0<ρ<1)表示信息素的挥发程度,Δτ(i,j)=1/lmb,lmb为一代中蚂蚁找到的最短路经的长度。信息素的处理方式为:一代中仅对周游路径长度最短的蚂蚁所经过的路径进行信息素的修改增加,其余衰减,Δτ(i)=1/lmb,lmb为一代中蚂蚁找到的最短路径的长度。

算法ACO简单描述如下:

①初始化。设定各参数值,蚂蚁个数m,最大进化代数Nc,信息素τ(i,j)=1。

②每只蚂蚁独立地构造一个解。蚂蚁k随机选择一个城市i作为起点,开始周游。根据概率公式(1)计算概率,按概率大者选择下一个城市j,蚂蚁k从i转移到下一个城市j。若蚂蚁k周游的当前路径长度大于本代求得最短路径长度,结束此只蚂蚁的周游,否则,继续寻找下一个城市,直到蚂蚁k访问完所有的城市。

③若m只蚂蚁都构造完成各自的解,则转④,否则转②。

④根据周游路径长度最小的蚂蚁,按式(2)及信息素的处理方式进行全局信息素更新。

⑤若满足结束条件,则输出最优解,否则GKN=CEN+1,转②。结束条件为GEN>Nc或当前解已稳定。

2 最大团问题

给定一个无向图G=(V,E)。如果U⊆V,且对任意u,v∈U有(u,v)∈E,则称U是G的一个完全子图。G的完全子图U是G的一个团,当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。G的最大团是指G中所含顶点数最多的团[4]。

在图1无向图G中,子集{1,2}是G的一个大小为2的完全子图。这个完全子图不是一个团,因为它包含于G的更大的完全子图{1,2,5}之中。{1,2,5}是G的一个最大团。{1,4,5}和{2,3,5}也是图G的最大团[4]。

3 求解最大团问题蚁群算法

3.1 求解最大团问题蚁群算法中各元素的定义

本文提出求解最大团问题蚁群算法ACOMCP(ant colony optimization of solving maximum clique problem)。在ACOMCP中,每个顶点作为一个信息素载体,信息素积累在顶点上;一代迭代后,每只蚂蚁构造出一个可行解(团),第k只蚂蚁形成团U,U={xk1,xk2,…,xks},其中,xkj=i表示第k只蚂蚁第j次选中顶点i,|U|表示第k只蚂蚁构造的团所包含的顶点数,即团的阶数。

设无向图G=(V,E),有n个顶点,图的存储结构采用邻接矩阵arcs,arcs(i,j)=1表示顶点i和顶点j相邻接,arcs(i,j)=0表示顶点i和顶点j不相邻接。顶点i的度数为degree(i)。启发函数η定义为和顶点相关联的边数,即顶点的度数,η(i)=degree(i)。目标函数为各蚂蚁构造的团中,团的阶数|U|的最大值。

蚂蚁k求解时,从一个顶点i转移到下一个顶点j的概率,按式(3)计算,其中,τ(j)为t时刻积累在顶点j上的信息素的浓度,J(k)为蚂蚁k可以转移的下一个顶点的集合。集合J(k)中的每个顶点j要满足三个条件:①顶点j不包含在蚂蚁k形成的当前解{xk1,xk2,…,xkx}中;②顶点j和蚂蚁k已求得的当前解中的每个顶点相邻接;③顶点j和i邻接,即arcs(i,j)=1。

信息素的更新仅采用全局更新的方式,一代中仅对所含顶点数最多的团中所含的顶点进行信息素的修改增加,其余衰减。更新为式(4),其中,lmb为一代中蚂蚁找到的顶点数最多的团的阶数。

其中:

顶点i属于一代中蚂蚁找到顶点数最多的团

3.2 对基本蚁群算法的改进

根据式(1)计算出集合J(k)中所有顶点的概率,基本蚁群算法一般是选取概率大者作为下一个顶点。这样虽然强化了启发函数和信息素的引导,但是,容易出现停滞现象,过早地收敛于局部最优解。在蚁群算法中,信息素的加强形成正反馈机制,从而使可行解一步一步地向好解进化。同时也要增加搜索的随机性,兼顾解空间的各种情况,才能搜索到较好解,冲出局部最优解,向全局最优解进化。

基于上述分析,最大团问题蚁群算法改进蚂蚁选择下一个顶点的方式,采用最大原则或轮盘赌两种选点方式:给定参数q0(0≤q0<1),生成随机数q(0≤q<1)。

(1)当q≤q0时,蚂蚁按最大原则选点,按式(5)计算,蚂蚁选取[τ(j)]α×[η(j)]β达到最大的集合J(k)中的顶点。

(2)当q>q0时,按概率算式(3)计算集合J(k)中所有顶点的概率,然后采用轮盘赌的方式选点,这样既兼顾了概率大小,又增加了搜索的随机性。轮盘赌的伪代码描述如下:

①生成一随机数r,0≤r<1,j=0,f=pj;

②如果f≥r,则转④;

③j=j+1 f=f+pj,转②;

④选取点j,输出,结束。

对上述给定的参数q0采用动态改变的方式。在进化的前期,由于初始信息素匮乏,信息素还不能很好地起到引导作用,q0取较大的值,这样蚂蚁较多按最大原则选点,减少蚂蚁的盲目搜索,蚂蚁容易找到较好的解,缩短搜索时间,加快收敛速度。在进化的后期,q0取较小的值,蚂蚁较多依据概率按轮盘赌方法选取下一个顶点,增加搜索的随机性,能有效地突破局部最优解,改善停滞现象,向最优解转化。

3.3 最大团问题蚁群算法分析

求解最大团问题蚁群算法描述如下:

①初始化。设定各参数的值,蚂蚁的个数m,最大进化代数Nc,当前进化代数GEN=0,各顶点初始信息素的浓度τ(i)=1,i=1,2,…,n。

②蚂蚁k(k=1,2,…,m)随机选择一个顶点i为初始起点,放入解向量,solutions(1)=i,tabu(i)=1,团的阶数s=1。

③每只蚂蚁独立地构造一个团。生成蚂蚁k从顶点i可转移的下一个顶点的集合J(k);若J(k)为不空,生成随机数q,若q≤q0,蚂蚁按最大原则选点j,否则,蚂蚁按轮盘赌的方式选点j;将顶点j放入蚂蚁k求得的解soluions中,tabu(j)=1,团的阶数s=s+1。如此循环,直到蚂蚁k可转移的下一个顶点的集合J(k)为空。q0进化初期取值较大,后期较小,动态变化。

④若蚂蚁k形成的团的阶数大于当代最优团的阶数,保存k形成的团为当代最优团。

⑤若m只蚂蚁都构造完成各自的团,则转⑥,否则转②。

⑥根据本代的最优团,按(4)式进行全局信息素更新。

⑦若本代最优团阶数大于进化以来的全局最优团阶数,保存本代最优团为全局最优团。

⑧若达到一定的代数或解已稳定,则输出最优解;否则GEN=GEN+1,转②。

在求解TSP问题基本蚁群算法ACO中,算法的时间复杂度T(n)=O(Nc·n2·m);空间复杂度S(n)=O(n2)+O(n·m)[10]。ACO和ACOMCP的时间复杂度比较如下:在初始化步骤上,ACO为O(n2),ACOMCP为O(n);在每只蚂蚁独立构造一个解步骤上,ACO为O(n2),ACOMCP为O(n2);在信息素更新步骤上,ACO为O(n2),ACOMCP为O(n)。在ACOMCP中,虽然总体时间复杂度没变,但在初始化,信息素更新步骤上,从ACO的O(n2)降低到ACOMCP的O(n)。在ACOMCP中,启发函数、信息素、解向量、概率、禁忌表均为一维向量,空间复杂度S(n)=O(n)。因此,最大团问题蚁群算法时间复杂度T(n)=O(Nc·n2·m);空间复杂度S(n)=O(n)。

4 仿真实验

实验数据来源分为二部分:第一部分采用美国离散数学及理论计算科学中心DIMACS提供的DIMACS基准图中的keller4实例和keller5实例。DIMACS基准图可通过登录ftp://dimacs.Rutgers.edu/pub/challeng/或者http://dimacs.Rutgers.edu/challenges/获得。实例keller4和keller5数据在ftp://dimacs.Rutgers.edu/pub/challeng/graph/contributed/shor/中。

第二部分实验数据采用文献[5,6,7,8,9]提供实例数据。

实验运行环境为:Pentium 4,2.26G CPU,512M内存,jdk1.6.0_11,Eclipse-SDK-3.4.1,Java编程。实验参数:蚂蚁数m=n,α=1,β=1,p=0.9,τ_max=1,τ_min=0.00000001,最大进化代数为200,q0在进化初期取0.8,中期取0.6,后期取0.4。

实验比较回溯算法[4]和最大团问题蚁群算法的求解质量和求解时间。在求解质量上,ACOMCP取得了回溯算法精确求解得到的最优值,全部最优解。但在求解时间上,当问题规模较大时,ACOMCP求解时间远远小于回溯算法,取得较好的效果。实验结果如表1-表3和图2所示,其中,时间单位均为秒,代数为蚂蚁求得最优解进化的平均代数。

用文献[5,6,7,8,9]提供的实例对ACOMCP、回溯算法进行测试,表1给出求解结果比较,其中,时间均为求得一个最优解的平均时间。结果表明,ACOMCP均容易求得其最优值和最优解。

用DIMACS基准图中的keller4和keller5测试实例对ACOMCP和回溯算法分别进行测试,表2、表3和图2给出这些实例的部分测试结果。实验结果可以看出,ACOMCP可以求得基准图的最优值和不同的最优解,取得较好的结果,实证了ACOMCP求解的有效性和高效性。

表2中,DIMACS阶数为当前国际上对基准图测试得到的最大团阶数的最优值;回溯算法时间为求得一个最优解的平均时间;ACOMCP个数为ACOMCP求得的不同最大团的个数,ACOMCP时间为在连续10次求解中,求得第一个最优解所用的平均时间,如Keller-5实例,求得第一个最优解的平均代数为71代,每代进化的平均时间为11.4989秒,ACOMCP时间为71×9阶数为27的10个不同的最大团在表3中给出。

图2中,横坐标表示ACOMCP进化的代数,纵坐标表示团的阶数,图2反映了ACOMCP求解过程中团的阶数随代数的变化情况,算法在第73代已达到了稳定,求解效率较高。

5结论

本文研究利用蚁群算法求解最大团问题,提出了求解最大团问题蚁群算法。应用蚁群算法原理及算法模型对求解最大团问题进行建模,定义了最大团问题蚁群算法中的各元素。对基本蚁群算法进行改进,改进蚂蚁选择下一个顶点的方式,依据动态参数,采用最大原则或轮盘赌方式。这样,在进化前期蚂蚁较多按最大原则选点,蚂蚁容易找到较好的解,减少蚂蚁的盲目搜索,缩短搜索时间,加快收敛速度;在进化后期,蚂蚁较多依据概率按轮盘赌方法选取下一个顶点,既兼顾了概率大小,又增加了搜索的随机性,兼顾解空间的多种情况,有效改善蚁群算法易于过早地收敛于局部最优解的缺陷。对ACOMCP进行分析,其时间复杂度为0(Nc·n2·m),空间复杂度为O(n)。仿真实验比较ACOMCP和回溯算法及文献[5-9]的结果,并用DIMACS基准图中的keller4和keller5测试实例对ACOMCP、回溯算法进行测试。实验结果表明,ACOM-CP算法取得较好的求解速度和求解质量。将最大团问题蚁群算法和其它算法融合,进一步改进算法的求解效率和求解质量,是需要进一步研究的问题。

摘要：最大团问题是一种典型的NP完全问题,是图论中一个经典的组合优化问题。研究将蚁群算法应用于求解最大团问题,提出一种求解最大团问题蚁群算法。通过定义最大团问题蚁群算法中的各元素,并改进了蚂蚁搜索解的方法,有效地改善蚁群算法易于过早地收敛于局部最优解的缺陷。仿真实验表明,图中的顶点数较多时,也取得了较好的结果。

关键词：最大团问题,蚁群算法,最大团问题蚁群算法

参考文献

[1]周旭东,王丽爱,陈岐.启发式算法求解最大团问题研究[J].计算机工程与设计,2007,28(18):4329-4332.

[2]Dorigo M.Optimization learning and nature algorithms[D].PhD.Thesis, Department of Electronics,Politecnico di Milano,Italy,1992.

[3]丁建立,陈增强,袁著祉.遗传算法与蚂蚁算法的融合[J].计算机研究与发展,2003,40(9):1351-1356.

[4]王晓东.计算机算法设计与分析[M].2版.北京:电子工业出版社,2005:141-143.

[5]刘怀义,杨小帆,孙丽萍,等.用带非线性自反馈的神经网络求解最大团问题[J].重庆大学学报:自然科学版,2007,30(9):60-62.

[6]韩爱丽,杨志敏.HEWN算法的复杂性分析--点商榷意见[J].软件学报,2002,13(12):2337-2342.

[7]贾晓峰,郭廷花,续晓欣.关于最大团问题的一种新算法[J].中北大学学报:自然科学版,2006,27(2):180-182.

[8]钱晓锋,郁松年,徐炜民.一种借助邻接矩阵求任意图最大团的方法[J].计算机工程与应用,2001,23:103-105.

[9]李燕,王秀峰.DNA计算方法[J].计算机科学,2004,31(5):142-143.

[10]段海滨.蚁群算法原理及应用[M].北京:科学出版社,2005:40-42.

最大团问题论文篇2

1、乡镇团委任期如何规定？

按照十六大团章规定，“支部委员会、总支部委员会由团员大会选举产生，每届任期两年或三年，其中大、中学校学生支部委员会每届任期一年”。因此，乡镇团委每届任期两年或三年，为使乡镇团委换届选举与其他选举年份相符，一般为每三年换届选举。

2、应到会代表人数的规定？

出席会议的代表超过代表总数的五分之四会议有效，否则不能召开代表会议。

3、团委换届选举时，是否可以留出委员空额？

团委换届选举时，不应留出委员空额。在选举时，如果当选名额少于应选名额，对不足的名额应另行选举。

4、团代会的选举由谁主持？

团员大会的选举应该由上一届团的委员会主持，但由于团委书记要作工作报告，乡镇又没有其他人员，为了提高选举的规范性，可由乡镇主管领导主持。

5、选举人是否应当按照规定的应选名额选举？

每次选举，应选人名额是确定的。选举人应当按照规定的应选名额选举。如选票上所选人数多于应选名额，为无效票；少于或等于应选名额，为有效票。

6、在选举中，被选举人获得的赞成票等于实到会有选举权人数的半数，能否当选？不能当选，必须超过半数，始得当选。

7、获得赞成票超过实到会有选举权人数半数的被选举人在票数相等不能确定谁当选时怎么处理？

获得赞成票超过实到会有选举权人数半数的被选举人，最后几名因得票数相等不能确定谁当选时，应就票数相等的几名被选举人重新进行投票。重新投票时，不论被选举人所得赞成票是否超过半数，均以得票多者当选。

8、选举结束后选票如何处理？

选举结束后，应将团代表大会所用的各种选票分别整理封存，并用团委印章加封，交团县委或乡党委统一保管。未经组织允许，任何个人不得私自查阅选票。选票应保留半年以上，超过时间即可按要求销毁。计票结果和选举结果应交档案部门永久保存。

9、乡镇团委应当设立哪些委员？

乡镇团委人数，应根据团员人数多少和工作需要来确定，我县乡镇团委一律由5人组成，分别设书记、副书记、组织委员、宣传委员、文体委员。

10、如何计算选举票数？

基于最大团问题的两种解法篇3

最大团的定义:给定无向图G= (V, E) 。如果, 且对任意, 则称U是G的完全子图。G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。

如果且对任意, 则称U是G的空子图。G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。对于任一无向图G= (V, E) 其补图G= (V1, E1) 定义为:V1=V, 且当且仅当。

2、最大团问题算法设计思想

2.1 最大团问题的回溯算法

2.1.1 回溯算法设计思想

设当前扩展结点Z位于解空间树的第i层。在进入左子树前, 必须确认从顶点i到已选入的顶点集中每一个顶点都有边相连。在进入右子树前, 必须确认还有足够多的可选顶点使得算法有可能在右子树中找到更大的团。在具体实现时, 用邻接矩阵表示图G.。整型树组V返回所找到的最大团。V[i]=1, 当且仅当顶点i属于找到最大团。无向图G用邻接矩阵存储如图1。

2.1.2 回溯算法程序设计

最大团问题的回溯解法, 部分代码如下。

2.1.3 运行结果, 如图2

2.2 最大团的问题的优先队列分支限界算法

2.2.1 优先分支限界算法思想

在扩展内部结点时, 首先考察左子树结点, 在左子树结点i加入到当前团中, 并检查该顶点与当前团中其他顶点之间是否有边相连。当顶点i与当前团中的所有顶点之间都有边相连, 则相应的左子树结点是可行结点, 否则就不是可行结点。为了检测左子树结点的可行性, 算法从当前扩展结点开始向根结点回溯, 确定当前团中的顶点, 同时检查当前团中的顶点与顶点i的连接情况。如果经检测, 左子树结点是可行结点, 则将它加入到子集树中并插入活结点优先队列。接着算法继续考察当前扩展结点的右子树结点。当upperSize>bestn时, 右子树中可能含有最优解, 此时将右子树结点加入到子集树中并插入到活结点优先队列中。

2.2.2 优先队列分支限界算法程序设计

最大团问题的分支限界解法, 部分代码如下。

2.2.3 运行结果:如图3

3、结语

该两种算法的特点是: (1) 思路简单, 易于程序实现; (2) 无复杂运算, 生成邻接矩阵算法所占用的空间显然为O (n2) 。不同的是最大团问题的回溯算法所需的计算时间显然为O (n2n) , 优先队列分支算法所需的计算时间为O (2n) 。

参考文献

[1]王晓东.算法分析与设计[M].北京:清华大学出版社, 2003.1.

[2]刘景.计算机算法引论-设计与分析技术.科学出版社, 2003.6.

最大团问题论文篇4

《没有问题就是最大的问题》一书给我们阐述了这样一个观点：有问题是一种常态，而没有问题则是一种病态。问题的提出和解决是促进个人和组织进步的一种动力。作者江珊写的是企业管理，其道理却可应用于工作生活的各个方面。我个人觉得主要有以下三个方面的启迪：

启迪之一：要努力提高发现问题的能力

江珊先生在书中讲到:“发现问题是成长的第一步，不会发现问题,企业的发展就永远只能原地踏步，不会有任何提高”。

要善于发现问题。首先要培养对待问题的心态。要有自我否定的意识，要树立持续改进的观念，要确立没有解决不了的问题，只有不想解决问题的人的理念；其次要敢于正视差距和问题，绝不能害怕问题，逃避问题。

要善于思考。著名科学家爱因斯坦说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”。我们要善于观察和发现问题，不被当前的表面现象和假象所迷惑；要勤于思考，通过多问几个为什么，进行“去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里”的逻辑加工工作。

启迪之二：要努力提高分析和研究问题能力

江珊先生在书中讲到：“发现问题只是解决了问题的一半”。发现问题是基础与前提，通过分析和研究问题,透过事物的现象看到其本质，形成科学的决策,才能为解决问题奠定良好的基础。

分析和研究问题要抓住热点、难点、关键问题。江珊先生在书中提到:“追查问题发生的根源,探寻问题背后的潜在因素”。对各级机关公务员而言,就是要分析和研究当前“保增长、促发展，保民生、促和谐”的惠民举措，实实在在解决一些群众普遍反映、基层强烈呼吁、社会各界关注的热点、难点和关键问题。

分析和研究问题必须要从传统的思维定式中解放出来。我们不能拘泥于老框框办事，要换个角度分析和研究问题，换个位置分析和研究问题，要冲破原有的思维模式，要以创新精神发现新情况，以全新思维研究新特点，以开阔视野探索新途径，以创新方法解决新问题。

启迪之三：要努力提高解决问题的能力

发现问题、分析问题的目的是为了解决问题。只有把握解决问题的方法，达到提升解决问题的能力。

要把握时效性。江珊先生在书中讲到：“速度是解决问题的必杀技。如果你不能以超越自已的速度解决遇到的问题，就要被对手超越”。对出现的苗头性、倾向性和潜在性问题，要早察觉、早发现，切实把问题化解在萌芽状态、化解在基层。对刚发生的问题，要作出及时准确的研判，落实对策。对一时不能解决的问题，要尽量减少问题的负面反响，直至落实解决问题的举措。对已解决的问题，要组织“回头看”检查，杜绝再次发生的可能，反思是否持续改进的更好的办法。

要把握处理问题的方法。对涉及全局性的重要问题，要坚持发扬民主，集思广益，决策意见形成后执行要到位;对棘手疑难问题，要迎难而上，敢想敢干，不推不拖，不靠不等，抓住问题的关键;对于可能发生的突发性事件,要预先建立完备的应急方案，一旦发生问题，要采取果断措施，启动预案，迅速处理。