收敛性测试

2024-12-13

收敛性测试（精选7篇）

收敛性测试篇1

近年来,有关牙槽嵴低平的无牙颌下颌骨生物力学的研究逐渐成为研究热点,众多学者采用了多种方法建立了无牙颌下颌骨的有限元模型[1,2,3]。但是由于受到建模方法的制约,目前所建立的无牙颌下颌骨模型还未能完全重现下颌骨的复杂形态,使有限元模型的几何精度受到一定的影响,而模型的几何精度会对以后的分析计算产生较大影响。本研究基于CT序列图像,运用逆向工程原理建立了无牙颌下颌骨的三维有限元模型;并首次采用收敛性测试以评价模型的精度,从而为更深入的研究无牙颌下颌骨生物力学特征及口腔生物力学打下基础,并为以后类似的建模提供借鉴。

1 材料与方法

1.1 样本来源及CT扫描

选择1 名下颌骨牙槽嵴低平( Lekholm和Zarb分类法属于C级[4])的无牙颌患者,要求身体健康,无颞下颌关节疾患,愿意配合本研究的男性(76 岁)作为志愿者。测试对象取仰卧位,头部固定,扫描标志线与眶耳平面平行。使用GE公司LightSpeed 16排螺旋CT,以层厚0.625 mm由髁突顶端至颏部下缘进行横断面扫描,扫描后的CT图像以DICOM格式保存(图 1a)。

1.2 有限元模型的建立

先在图像处理软件Photoshop中分割CT图像把下颌骨部分分离出来,并保存为JPG格式。运用自编的数字图像处理程序对分割后的图像进行边缘检测,提取二维边界坐标,将提取到的坐标按层距转化为三维格式,形成点云文件(图 1b)。以点云形式输入到逆向工程软件Geomagic中,经历点阶段、多边形阶段、成形阶段3 个处理阶段。在其点云自动形成三角面片(图 1c),然后对曲面域基于曲率划分,将生成的曲面转化成连续的非均匀有理B样条(NURBS)曲面(图 1d)。分别对松质骨和整体进行建模,自动生成实体模型后,将实体模型导入有限元分析软件Ansys中进行组装和布尔运算,对其应用二阶四面体结构实体单元SOLID92进行网格划分,生成最终三维有限元模型。并使用壳单元对黏膜区域进行网格划分。所有组织考虑为连续、均质、各向同性的线弹性材料,皮质骨弹性模量为13.7 GPa,泊松比为0.3; 松质骨弹性模量为1.38 GPa,泊松比为0.3; 黏膜弹性模量为3.52 MPa,泊松比为0.45[5]。

a: CT图片; b:点云; c:三角面片; d:NURBS曲面

1.3 用收敛性测试评价模型的精度

1.3.1 本研究按以下模型参数(表 1)建立6

个模型,以进行收敛性测试(图 2,其中图 2f为基准模型)。由于收敛性测试是比较模型网格精度对计算精度的影响,我们尽量简化模型的其他细节,以体现对精度影响的最主要因素,所以测试时不包括黏膜。

其中单元警告率是指网格划分过程中产生的不良网格数

1.3.2 模型收敛性测试

在相同边界条件下,所有模型(图 2)给予 3 种工况加载计算。所设边界条件:双侧髁突、下颌角咬肌附着区给予刚性约束[6]。加载条件分别为:①下颌中线处牙槽嵴顶竖直向下100 N力荷载;②与①加载点相同位置竖直向下0.04 mm位移荷载;③右侧下颌骨体部中心位置向左100 N力荷载。

计算过程为根据实体模型选取8 个测试位置,每个位置所在单元的三维应力和von Mises应力为评价指标。在假定基准模型结果为正确结果的情况下,考察其他模型结果与正确结果相对差距K。K=(具体模型结果-基准模型结果)/基准模型结果×100%

2 结果

通过直接采集CT图像的DICOM数据运用逆向工程原理成功构建了无牙颌下颌骨三维有限元模型。所建模型形态清晰、解剖标志明显、细微结构均能表现出来(图 3)。

收敛性测试所形成的曲线如图 4所示。在本研究建模方法和划分单元类型的情况下,下颌骨模型单元数至少为16 692(自由度数目至少多于56 007)时,曲线趋缓,偏离基准结果的百分比较小。可以认为在综合考虑计算成本和计算精度的情况下,单元数为16 692是较理想的建模的单元数,如图 2d所示。

a:有限元模型断面 b:整体有限元模型

3 讨论

3.1 无牙颌下颌骨的建模方法

传统的无牙颌下颌骨的建模方法多用标本模型切片或直接测量标本的三维坐标,建立三维有限元模型[7]。这些方法需要反复操作耗费大量的人力和时间,并且难以精确表达实体的细微结构。目前构建无牙颌下颌骨的方法主要是采集CT图像,描记外形轮廓线,然后在有限元软件中建立有限元模型。但是在描记过程中轮廓线的获取费时费力,使模型精度受到一定的影响。本研究直接采集基于CT图像的DICOM数据,运用逆向工程原理重建实体模型,在此基础上建立了无牙颌下颌骨三维有限元模型,避免了反复操作造成的部分数据和信息的失真或丢失,提高了模型的

a:三维位移收敛曲线; b:等效应力收敛曲线

几何精度。逆向工程是“由已有产品回溯产品设计思路”的过程,主要用于制造业,是对现有实体,利用三维数字化测量设备精确、快速测得轮廓的几何数据,并加以建构、修改、编辑生成通用输出格式的曲面数字化模型。其中软件Geomagic 是一款常用的逆向工程软件,具有强大的三维曲面构建功能。具有算法相对稳定、曲面质量好、表达能力强的特点,是现代曲面造型中最为广泛使用的软件[8]。近年来逆向工程设计理念渗入到医学领域,在有限元建模中逐渐应用。白石柱等[9]应用类似的技术建立了无牙颌上颌骨和颅骨的三维有限元模型,而国内文献尚未见到应用此方法建立无牙颌下颌骨模型的。采用此方法建立的模型具有精度高、建模速度快、图像直观等优点,可以为今后建立类似的模型提供一定帮助。

3.2 关于模型的收敛性测试

收敛性测试是评价有限元模型精度的一种方法。模型的精度对有限元的结果影响很大。建立的有限元模型的精度如何,是每个研究者首先关心的问题。影响有限元模型的精度的因素有建模的方法和网格划分密度等[10]。一般来说网格数越多,模型的精度越高。但过多的网格会造成大量的计算资源浪费,使计算成本增加。如何在综合考虑计算成本和计算精度情况下确定一种合适的网格划分,就需要借助有限元的收敛性测试来实现。因为有限元模型是真实系统的数学抽象,所提供的数值解只能是趋近精确解。通过收敛性测试找出合适的网格划分,可以使以后的有限元计算分析结果更趋于真实情况。在工业领域收敛性测试已有开展,但在医学领域仅有少数人用这种测试方法来评价有限元模型的精度[10]。本研究首次采用此测试来评价无牙颌下颌骨模型的精度,通过比较不同网格划分的模型与基准模型在三维位移和等效应力方面偏离基准结果的百分比来确定合适的网格划分。从图 4可以看出不同加载类型对收敛性在特定指标的数量上略有影响,但不影响收敛的趋势。图 4a所示:无论工况1还是工况2、3随着自由度的增加,偏离基准的比例虽不完全相同但都是逐渐减小的趋势;对相同的评价指标,收敛性基本不受加载位置和方向的影响,如本研究中集中力载荷为下颌中线处牙槽嵴顶竖直向下和右侧下颌骨体部中心位置向左对位移和应力的收敛性都没有明显影响。这为我们今后在同一模型上施加其他载荷计算后的结果评价提供良好的参考依据。通过对图 4a和4b比较,不同评价指标的收敛性质很不相同,应力指标的收敛性不如位移好。应力的变化曲线从自由度数目为7 944到自由度数目为29 499时变化不稳定,从自由度数目为56 007(即单元数为16 692)以后曲线才有一定的规律;而位移的曲线始终随着自由度的增加,曲线斜度逐渐减小。从收敛性曲线还可以发现,不同加载类型对收敛性在特定指标的数量上略有影响,但不影响收敛的趋势,不同加载位置对模型的收敛性影响不大,说明用模型的收敛性测试可以作为其他计算结果精确性的有效评价方式。在本课题建模方法和划分单元类型下,下颌骨模型的单元数目至少16 692才可能得到可靠的结果。

4 结论

运用逆向工程原理可以重建无牙颌下颌骨三维模型,收敛性测试可以用于评价无牙颌下颌骨有限元模型的精度。

摘要：目的:建立无牙颌下颌骨三维有限元模型并评价其精度。方法:对患者的无牙颌下颌骨CT扫描直接采集DICOM数据,通过自编的数字图像处理程序和Geomagic软件重建实体模型,在此基础上通过Ansys软件建立无牙颌下颌骨的三维有限元模型;并对模型进行收敛性测试以评价其精度。结果:建立了无牙颌下颌骨三维有限元模型。经收敛性测试,在综合考虑计算成本和计算精度的情况下,单元数为16692的模型是较理想的模型。结论:运用逆向工程原理可以重建无牙颌下颌骨三维模型,收敛性测试可以用于评价其模型的精度。

关键词：下颌骨,三维有限元,逆向工程,收敛性测试

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差分遗传算法收敛性研究篇2

关键词：遗传算法,差分遗传算法,差分进化

0 引言

遗传算法(Genetic Algorithm,GA)由美国教授Holland于1975年根据生物进化过程和遗传机制基本知识而提出,是建立在随机选择和遗传学基础上的并行寻优算法[1]。遗传算法虽具有很好的全局搜索能力,但同时也存在一些自身的局限性。初始种群是随机生成的,寻优方向不确定且不断发生变化,复杂度较大,存在局部收敛造成的“早熟”现象[2],致使输出的局部最优解并非全局最优,只能作为问题的近似局部最优解,给实际应用问题带来很大不足。本文引入差分思想,在传统遗传算法的基础上进行改进,通过交叉率、缩放因子和种群规模大小3个控制参数来实现,在生成初始种群后采用差分思想进行变异、交叉操作,产生试验个体,在父代个体与试验个体之间根据适应度大小进行排序,保留适应度较高的个体,实现种群的进化。差分进化算法原理简单、易于理解和实现,本文通过实验表明其运行结果可靠、鲁棒性强、收敛速度快,能更好地保持群体的多样性,同时具有更高的全局寻优能力,可在很多领域得到广泛应用。

1 基本差分进化遗传算法

1.1 差分进化算法

差分进化算法[3](Differential Evolution Algorithm,DE)是1996年由Rainer Storn等提出,正如其它演化算法,差分算法是一种基于实数编码的、随机的,基于群体差异的并行直接搜索算法,它可对非线性的不可微连续空间函数进行最小化。从整体来看,它与遗传算法有很大的相似之处,同样差分算法也存在着变异、交叉和选择操作,但是它又不同于遗传算法。

与传统进化算法相比,差分进化算法保留了基于种群的全局搜索策略和实数编码,变异操作是个体算术组合的结果,并使用一对一的替换方式,只有在子代个体优于父代个体时才进行替换,很大程度上降低了遗传操作的复杂性。

1.2 差分进化算法基本思想

差分进化算法的基本思想[4]是根据父代个体间的差分向量执行变异、交叉和选择操作,是从某一随机产生的初始种群开始,在初始种群中选取任意两个个体的差向量作为一个基本个体,选择出的其余个体为参照个体,将差向量加权后按照一定的规则与第三个个体求和产生变异个体,接着按一定的概率,变异个体与某个预先确定的目标个体之间进行交叉操作,生成一个试验个体。如果试验个体的适应度值大于与之相比较的目标个体的适应度值,则在下一代中就用该试验个体取代目标个体;否则,保存目标个体。在每一代的进化过程中,每一个体向量作为目标个体一次,通过反复地迭代进行,保留优良个体,引导搜索过程逼近全局最优解,实现种群进化[5],如图1所示。

2 差分算法基本操作

差分进化算法的主要步骤与其它进化算法基本一致,主要包括变异(Mutation)、交叉(Crossover)、选择(Selection)3种操作。与传统遗传算法不同的是操作的执行顺序,差分算法先进行变异操作,然后利用变异个体与父代进行交叉操作,最后执行选择操作,选择出适应度高的个体作为新一代个体[6]。

种群初始化:设种群规模M,在n维空间中,随机生成初始种群Xi.(0)以及初始种群的第i个个体的第j个基因Xij(0)分别表示如下:

其中,i=1,2,...,M;j=1,2,...,n;xijmax和xijmin分别是第j个样本个体的取值范围,rij是[0,1]上的一随机数。

设当前进化代数为t,Xi(t)=(xti1,xti2,...,xtin)T为种群中的第i个个体,最大迭代代数为t-max,对于每个个体依次进行编译、交叉、选择操作[7]。

2.1 变异操作(Mutation)

变异操作是差分进化的主要操作,它是基于群体的差异向量来修正各个体的值,从初始种群中随机选择两个不同的个体,然后将它们的差向量加权后按一定的准则与第3个个体向量求和产生新个体的过程。

随机选择3个样本个体Xa、Xb、Xc且i≠a≠b≠c,生成的新的变异个体用Vij来表示,则变异操作为:

其中,j=1,2,...,n;Xbj(t)-Xcj(t)为差异向量,η∈(0,2)为变异算子,a、b、c为小于M的随机整数。

2.2 交叉操作(Crossover)

为了弥补局部早熟收敛造成种群的多样性减弱问题,在初始种群中随机选择两个父代个体的差向量来执行交叉操作,交叉后生成的变异个体Vij与另一个预先确定的目标个体进行交叉操作生成试验个体。

设rij(0≤rij≤1)是一随机数,k(0≤k≤1)为执行交叉操作的交叉算子,试验个体为Tij,r(i)(1≤r(i)≤n)是随机整数,以确保Ti至少可以从变异个体Vi中获得元素,具体操作如下:

若rij≤k或j=r(i),则

若rij>k且j≠r(i),则

2.3 选择操作(Selection)

差分进化算法的选择策略是从父代个体Xi和试验个体Ti中选择一个适应度值最好的作为下一代个体Xi(t+1)。设适应度函数Fit(f(s))=f(s),为了确定Xi(t)是否成为下一代成员,对向量Ti(t+1)和目标向量Xi(t)的适应度值进行比较:

3 差分算法与传统遗传算法收敛性对比

为了对差分进化遗传算法的性能进行定性评价[8],选择典型的Benchmarks函数,对差分进化算法和传统遗传算法的收敛性进行对比。本文选择典型的Sphere函数和Rosenbrock函数,通过对差分进化遗传算法和传统遗传算法的进化代数和适应度函数值之间的对应函数关系进行分析对比[9,10]。结果表明,在同样的环境条件下,差分进化遗传算法在适应度值收敛于0时,进化代数明显要少于传统遗传算法,并且程序的运行时间也相应缩短。

图2和图3是差分进化算法与遗传算法分别在Sphere和Rosenbrock函数下的函数值与种群的迭代数进化曲线。在种群个体数M=100,每个个体编码的维度n=25的情况下,设定最大迭代数初始值t-max=3 000,交叉因子η=0.3,交叉率k=0.7,可以看出,差分进化算法的收敛速度迅速,进化初期函数值变化幅度较大,浮动逐渐缓慢,直到趋于稳定状态。相比差分进化算法,遗传算法在相同参数条件下的收敛速度较缓慢。在相同硬件设施下,从程序运行速度来看,差分进化遗传算法和传统遗传算法在Sphere函数下的程序运行时间分别为16.255 304ms和22.635 745ms;而Rosenbrock函数下,程序的运行时间分别为17.986 915ms和24.414 156ms,由此可知,使用差分进化算法时,程序的运行速度明显比遗传算法要快,降低了算法的时间复杂度。

图4和图5分别是两种算法在种群规模、个体编码维度、最大进化代数以及交叉率不变的情况下,将其交叉因子变为η=0.5。可以看出,差分进化的收敛速度较之前变得缓慢,但随着其进化的进行,函数值不再随着进化代数的增长而改变,而是逐渐趋于0,收敛到稳定状态,在一定程度上表明变异因子对收敛速度的影响,且变异率越大,收敛速度越缓慢。相比差分进化算法,遗传算法在相同参数条件下的收敛速度更显得缓慢。从程序的运行速度进行分析,Sphere函数下,差分进化算法的程序运行时间为15.350 498ms,而遗传算法的运行时间为21.824540ms;Rosenbrock函数下差分进化与传统遗传算法的运行时间分别为13.540 887ms、20.451 731ms。同样可知,相同参数条件下,差分进化的性能比传统遗传算法的性能更优。

4 结语

由Matlab实验测试结果可知,差分进化遗传算法在传统遗传算法的基础上进一步提高了算法的全局寻优能力,在交叉因子一定的情况下,变异因子越大收敛速度越缓慢,而种群规模会影响程序的运行时间。本实验仿真验证了差分进化遗传算法的有效性,从实验对比数据可以看出,该算法在求解最优解的过程中,相比传统遗传算法,差分进化算法在迭代次数较少的情况下就可以达到稳定状态,在较短时间内就能够搜索到较高精度的解,程序运行速度也明显提高。因此,本文提出的算法具有较强的全局搜索能力,同时缩短了算法的搜索时间,在一定程度上降低了算法的复杂度。

参考文献

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改进人工鱼群算法及其收敛性分析篇3

作为一种新颖的群体智能算法,人工鱼群[1—8]AFS(Artificial Fish Swarm)算法由文献[1]于2002年首次提出,很快便受到国内外学者的重视,并针对该算法展开了相关的研究。相关研究表明,该算法具有较快的收敛速度,以及不需要相关的先验知识,对参数初始值不敏感等特点[1]。

在文献[1]中,作者对AFS算法的原理进行了相关说明以及设计原理,并应用该算法求解属于NP-Hard的组合优化问题,获得较好的求解效果,证明了该算法的有效性;在文献[2]中,作者在鱼群算法的后期每隔一定的代数,引入一次单纯形算子,替换掉原来大量聚集在非极值点附近的人工鱼个体,有效提高了局部搜索精度,提高了解质量;在文献[3]中作者针对鱼群算法中的两个主要参数视野、步长进行了改进,使两个参数在进化过程中逐步减小,提出了一种简化的自适应鱼群算法,实验证明该算法的收敛速度比原始鱼群算法有较大提高;文献[4]则提出了一种多鱼群协同的人工鱼群算法,并用于实现对连续空间变量的分类规则提取问题[4];文献[5]将模糊理论与人工鱼群算法融合提出了一种模糊自适应的人工鱼群算法;文献[6]针对人工鱼群算法求解多峰函数时难以发现全部最优的弱点,将小生境技术和模拟退火技术融入人工鱼群算法之中,同时加入变异算子和小生境半径自动生成机制,实验结果表明算法在求解多峰函数时非常有效;文献[7]应用人工鱼群算法解决支持ABC的QOS单播路由机制,取得了不错的效果。文献[8]利用有限马尔科夫链理论分析了鱼群算法的进化过程,得出结论鱼群算法是全局渐进收敛的。

与众多的群体智能算法一样,人工鱼群算法通过模拟自然界中具有生命的群体行为协作求解,缺少严格的数学理论支撑,所以群体多样性的保持能力成为了限制该算法求解能力的关键因素。鱼群算法前期收敛速度较快,能够迅速靠近最优解,但是后期往往容易陷入局部极值,存在求解精度低等问题。为了克服此缺点,在算法的后期依据种群拥挤度引进小生境排挤机制,提出一种小生境自适应人工鱼群算法(NAFS)。

1 小生境人工鱼群算法

1.1 小生境算法

源于生物学中的小生境[6]指的是具有同类特征的生物聚集在一起,形成一个相似的生活环境。该技术应用于计算科学中,可以将具有相同特征的数据划归一类、不同特征的数据分离开,避免大量数据在局部最优点附近聚集。

在小生境技术中有三种种群选择策略。分别是基于预选择机制、基于排挤机制、基于共享机制。这里主要应用基于排挤机制选择策略。

基于排挤机制的选择策略如下:

(1)设置排挤因子CF(2 or 3);

(2)在群体中随机选择1/CF个群体参与排挤运算;

(3)产生新个体成员,计算新个体与排挤成员之间的海明距离;

(4)利用新产生的个体排挤掉一些与排挤成员相类似的个体。

1.2 原始AFS算法

人工鱼群算法通过模拟鱼群的觅食、聚群、追尾等行为,利用鱼群间的相互协作来达到求取问题最优解。算法分为三个步骤:觅食行为、聚群行为、追尾行为。算法的主要参数如下:

visual—鱼的视野范围;

λ—拥挤因子(0<λ<1);

step—移动步长;

try_number—尝试次数。

将鱼所处位置的食物浓度设为f(X),即待求解目标函数,当前鱼个体的状态表示为X=(X1,X2,…,Xn)。以求解minf(X)为例,鱼群算法的流程描述如下。

1.2.1 自由游动

设鱼的当前状态为Xi,在没有执行其它任何行为的时候,鱼个体在自己视野范围visual内随机游动。

1.2.2 觅食行为

设鱼的当前状态为Xi,在其视野范围visual之内随机选择一新状态Xj,如果f(Xj)<f(Xi),则鱼向该状态移动一步;否则,重新选择一个新的Xj,进行尝试。如果尝试try_number次后仍然不能移动,则将鱼随机移动一步。

1.2.3 聚群行为

设鱼的当前状态为Xi,在其视野范围visual内搜索聚集鱼群的中心位置Xc,并探测附近的同伴个数s。如果s/N<λ,表示该中心位置不拥挤,如果此时f(Xc)<f(Xi)则鱼向该方向前进一步,否则执行觅食行为。

1.2.4 追尾行为

设鱼的当前状态为Xi,在其视野范围visual内搜索最优的鱼个体Xmin。设Xmin视野领域内的伙伴数为s',如果f(Xi)>f(Xmin)并且s'/N<λ,表明该位置食物较多,并且不够拥挤,则当前鱼向该位置前进一步,否则继续执行觅食行为。

1.2.5更新公告板

设置一个公告板,用于记录鱼群内历史最佳鱼的状态Xgbest。各人工鱼每迭代一次都检查自身状态,如果f(Xi)<f(Xgbest)成立,则将Xgbest修改为Xi。

1.3 AFS算法改进

AFS早期收敛速度较快,能够迅速找到问题的粗略解,而在算法的后期由于鱼群大量的聚集,鱼群多样性降低,容易出现鱼群聚集于局部最优解的现象。源于此,引入公式2描述鱼个体之间的聚集程度,并根据鱼群的聚集程度来决定是否执行小生境算法排挤。

式(2)中,fk是鱼个体的适应度函数值,favg是鱼个体的适应度平均值。显然,α2的值越小,说明鱼的聚集程度越高;当其为0时,则算法要么是已经全局收敛完毕,要么收敛于局部最优。

设阈值β为较小的一个值,当α2<=β时,引入小生境机制,随机生成现有鱼个体数目20%的新鱼个体,将不符合条件的20%鱼个体排挤掉,以维持种群的多样性。

算法标记为NAFS,描述如下:

算法1.NAFS算法

1.在解空间内随机初始化鱼群个体;

2.参数初始化;

3.While(终止条件不满足)

4.do begin

5.自由游动;

6.觅食操作;

7.聚群操作;

8.追尾操作;

9.if(α2≤β)then执行小生境排挤算法;

10.endwhile

11.cout<<求解结果。

2 NAFS的全局收敛性证明

为了证明群体智能算法的全局收敛性,主要采用的方法包括有限马尔科夫链技术[8—11]和随机泛函理论[12—14]等。通过分析1.3节中的NAFS算法,可知该算法采用精英保留策略,以个体鱼所在位置食物浓度评价鱼个体状态的优劣,鱼个体的进化序列必然是一个单调非递增的序列。

另外,鱼群算法中的鱼个体均通过随机游动产生新状态,该操作类似于遗传算法中的变异操作,而这种变异的目的是为了产生更加优异的新状态,保证算法向全局最优解进化,故应用随机泛函理证明NAFS的收敛性。

不失一般性,现假定使用f(x)为最小优化函数,解空间则表示为:

Ω={X|X=(x1,x2,…,xk)}∧Li≤xi≤Ui,i=1,2,…,k},是一个k维欧式空间Rk的有界子集,其中Li<Ui,令,则。

定义1[13]设X是一个非空集合,d是一个X×X到R的映射,当且仅当X集合中任意的元素x,y,z,满足如下要求:

(1)d(x,y)≥0(其中d(x,y)=0,当且仅当x=y);

(2)d(x,y)=d(y,x);

(3)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。

则称为d为X上的度量(或称为距离函数),称为(X,d)为度量空间。

定理1[13]若(X,d)为一个度量空间,x,y,z,x1,y1为X中的任意元素,则具有如下性质。

(1)|d(x,z)-d(y,z)|≤d(x,y);

(2)|d(x,y)-d(x1,y1)|≤d(x,x1)+d(y,y1)。

定义2[13] 若(X,d)是度量空间,{xn}是(X,d)中的任一序列,对于任意的ε>0,存在正整数N,使得对于n>N有d(xn,x)<ε成立,则称序列{xn}在(X,d)中收敛于x。

定义3[13] 若(X,d)是度量空间,{xn}是{X,d}中的任一序列。若对于任意的ε>0,存在正整数N,使得一切m,n>N,有d(xm,xn)<ε,则称序列{xn}是(X,d)中的cauchy序列。若{X,d}中的每一个cauchy序列都收敛,则称(X,d)为完备度量空间。

定义4[13] 设(X,d)是完备度量空间,对于映射f:X->X,若存在任意的ε∈(0,1),使得对于任意的x,y满足d(f(x),f(y))≤ε*d(x,y),则称f为压缩映射。

定理2[13] 设(X,d)为完备度量空间,f:X→X为一压缩映射,则f有且仅有一个不动点x*属于X,并且对于任意的x0∈X,满足:

其中f0(x0)=x0,fk+1(x0)=f[fk(x0)]。

定理3 当t→$时,NAFS算法是渐进全局收敛的。

(1)鱼群个体通过觅食操作来调整自身的状态向最优解靠近,即以概率β产生新的状态集合Ω'。(Ω',B,μ)表示一个完全概率测度空间,B是非空抽象集合Ω'上的某些子集构成的σ-代数,μ为B上的概率测度,Xj是随机生成的visual内的新状态,则应用如下公式描述这一过程:

显然,该映射是一个随机映射。

(2)算法通过聚群操作、追尾操作和排挤操作,生成下一代种群,为简便操作,称之为选择算子SO,可以看做是解空间上的映射,如下描述:

σ2:G2→G。(注:因为上述这些操作中均存在两两比较,所以原始状态标记为G2)

对于鱼群中任意的两个个体鱼存在:

(3)NAFS进化过程实质就是一个通过上述(1)、(2)两个算子映射过程的逆序合成,即是一个作用于当前种群P的映射过程,表示如下:

g是产生新状态的一个基本操作。

各代群体中的最优个体的适应值序列{f[Xbest(t)]}(1≤t≤Tmax)必是一个单调非递增序列。

通过上述关于鱼群的算子定义、分析可知,NAFS算法每一次迭代均使新种群在总体上较上一次种群更加趋优,故对于随机映射σ=(σ1°σ2):Ω'×G→G,存在一个非负随机变量ε∈(0,1)使得下式成立:

NAFS的映射σ=(σ1°σ2):Ω'×G->G是一个随机压缩映射。

根据定理2可知,必然存在一个唯一的随机不动点x*满足σ(g,x*)=x*,即:成立,说明NAFS是渐进全局收敛的,定理得证。

3 仿真实验

计算机硬件配置为AMD TL—6双核CPU,主频为2.0 G,内存为2 G。软件配置操作系统windows xp sp3,编程环境为开源免费的code::block。参与对比的算法包括AFS、差异演化算法(DE)、粒子群算法(PSO)等算法。对比的项目包括:最大值、最小值、平均值、标准差。AFS、NAFS算法均单独运行30次,实验结果列于表2中,其中DE和PSO的数据来自于文献[15]。测试用的Benchmark函数如下:

Rosenbrock function

从表1中提供的NAFS算法的测试数据可以看出,NAFS算法在求解能力上明显要较原始AFS算法提高了很多,也比DE和PSO算法优越许多。这充分说明,针对该算法的改进是卓有成效的。加入小生境排挤机制,在算法后期提高了种群的多样性,使得算法能够进行比较全面的解空间搜索,求解精度得以提高。从均方差的数据可以看出,NAFS算法较AFS等算法有更强的鲁棒性。

4 结论

针对人工鱼群算法容易陷入局部最优、求解精度低的缺点,在鱼群算法的后期根据鱼群的聚集程度引入小生境排挤机制,排挤掉一部分状态相近的个体鱼,同时随机增加一部分新个体,保持了种群的多样性。通过应用理论分析和在Benchmark函数上的实验,证明该算法具有较好的全局收敛能力、较高的求解精度和较强的鲁棒性,可以应用于求解高维优化问题。如何解决小生境算法的执行随机性,将是进一步的研究方向。

量子遗传进化算法的收敛性研究篇4

量子计算与遗传算法的结合量子遗传算法 (Quantum Genetic Algorithm, 简称QGA) 从20世纪90年代后期开始, Narayanan将量子多宇宙理论引入遗传算法, 提出了多宇宙量子衍生遗传算法, Han等提出量子衍生演化算法, 它首次将量子的概率幅表达引入遗传算法[1]。后来许多研究者在算法上又进行了相应改进, 并用实验结果证明更好。但是遗传算法的随机性不好把握, 收敛方向无法进行有效控制, 容易陷入局部最优等问题还是不易克服。面对遗传算法的各种问题, 学者们开始探索并构建新的算法模型。近年来, 学者们相继提出多种方法来改进量子遗传算法收敛性。比如引入免疫算子, 或者通过对量子旋转门的旋转角及旋转参数进行调节来改进算法收敛性[2]。本文针对背包问题提出引入惩罚函数来对收敛性进行研究, 并通过实验来对比效果。

1 量子遗传算法

遗传算法的缺点[3]包括:编码不规范及编码存在表示的不准确性;单一的遗传算法编码不能全面地将优化问题的约束表示出来;效率比其他传统的优化方法低;容易出现过早收敛;对算法的精度、可信度、计算复杂性等方面, 还没有有效的定量分析方法。

量子遗传进化算法是量子计算与遗传算法相结合的产物。目前, 这一领域的研究主要集中在两类模型上:一类是基于量子多宇宙特征的多宇宙量子衍生遗传算法 (Quantum Inspired Genetic Algorithm) , 另一类是基于量子比特和量子态叠加特性的遗传量子算法 (Genetic Quantum Algorithm, GQA) [4]。

1.1 量子遗传算法流程

量子遗传进化算法求解问题的基本步骤[5,6]:

(1) 进化代数初始化:t=0。

(2) 初始化种群Q (t) 。

(3) 由Q (t) 生成P (t) :随机产生一个[0, 1]的数, 若它大于|αit|2取1, 否则取0, 然后, 对这一组解进行适应度评估, 记录下最佳适应度个体作为下一代演化的目标值。

(4) 对各个状态计算适应度。

(5) 记录最佳个体及其适应度值。

(6) While (不满足终止条件) do

begin

A.t=t+1;

B.对种群Q (t) 中每个个体实施一次测量, 得到一组状态P (t) ;

C.对每个状态计算适应度;

D.依据一定的调整策略, 利用量子旋转门操作和量子非门对种群个体进行更新, 得到子代种群Q (t+1) ;

E.记录下最佳个体及其适应度。

End

算法如图1所示。

1.2 量子遗传算法的收敛性

研究者针对算法的收敛性[7]提出过很多种方法, 其中就有调整旋转角及其参数的方法。量子遗传算法通过量子门来更新下一代染色体, 量子门可根据具体问题进行选择。目前已有的量子门有很多种, 根据量子遗传算法的计算特点, 选择量子旋转门较为合适。 (αi, βi) 为染色体的第i个量子比特, θi为旋转角, 其大小和方向根据一个事先设计的调整策略而确定。公式如下:

旋转角的选择策略如表1所示。

旋转角θi=s (αiβi) Δθ, s (αiβi) 和Δθ分别代表旋转的方向和角度, 其值根据表1的选择策略确定。该调整策略是将个体qjt当前的测量值的适应度f (xi) 与该个体当前的目标值f (bi) 的适应度值进行比较, 如果f (x) >f (b) , 则调整qjt中相应位量子比特 (xi≠bi) , 使得几率幅对 (αi, βi) 向着有利于xi出现的方向演化;反之, 如果f (x)

上文已经提到量子遗传算法是通过量子旋转门[10]来产生下一代染色体。量子旋转门亦可采用下式:

其中, θ为旋转角度, 其取值为θ=ω*f (αi, βi) , ω是一个与算法收敛速度有关的系数, 如果ω取值很大, 那么算法搜索网格就会很大, 容易出现早熟现象即算法容易收敛于局部的极值点。如果ω取值太小, 算法速度太慢, 甚至可能会出现停滞状态。ω取值往往与适应度值有关。

2 通过实例研究收敛性

2.1 背包问题算法

常规应用于背包问题的量子遗传进化算法有一个修复的过程以确保背包容积的限制, 算法如下;

开始t←0

初始化种群Q (t)

对初始种群观察, 得到一组状态P (t)

修复P (t)

评估P (t)

从P (t) 中选择好的解到B (t) 中

当不满足终止条件时

t←t+1

通过测量Q (t-1) 的状态得到P (t)

修复P (t)

评估P (t)

更新Q (t)

从B (t-1) 和P (t) 中选择好的解到B (t) 中

从B (t) 中选择最好的解b

当满足条件时局部或者全局的将b或bjt放置B (t) 中

结束

2.2 引入惩罚函数

本文在上述算法中引入惩罚功能, 则价值f (x) 表示为:

其中, Pen (x) 起到惩罚功能, 本文选用了以下两种惩罚函数:

其中, ρ是装进背包中所有物体的价值除以质量的值中最大的一项。

为了让量子遗传进化算法适时的结束, 因此需要一个终止条件。最优解概率表示如下:

并且:

则终止条件描述如下:

其中, 0<γ0<1, γ0对算法处理时间影响很大, 表2为在500个物品的背包问题中改变γ0观察其对终止状况的影响。

由表2知, 如果γ0≥0.1, 所有结果趋近相同γ0=0.9, 但是在γ0=0.9处大概是在γ0=0.1处的2.5倍。

为了设计一个新的终止标准, 量子比特收敛Cb被定义如下:

或者;

其中, q是量子比特个体, (αi, βi) 是第i个量子比特, 则收敛条件可以写成:

如果Cav为0.99, 则表示99%的个体趋近于正解, 表3说明了γ的改变。

2.3实验结果

如图3所示, 横坐标为进化的代数, 纵坐标为平均适应度值, 其中的上部分曲线为使用随机修复的量子遗传算法, 中部分曲线为使用线性惩罚的量子遗传算法, 下部分曲线为使用对数惩罚的量子遗传算法。通过引入结束条件, 算法都提前得到了最优解, 使用修复方法的解适应度值2940更好, 并且找到最优解的速度更快, 使用线性惩罚函数的算法其次, 使用对数惩罚函数的算法最优解较差, 速度也最慢, 中间还甚至产生了几个不合格的解。

3 结束语

本文对遗传算法及量子遗传算法进行了介绍, 量子遗传算法通过量子旋转门替代遗传算法的选择、交叉、变异来更新染色体, 其收敛性远远优于遗传算法。本文提及了几种常用于改进量子遗传算法收敛性的方法, 并通过背包问题实例观察引入惩罚函数及结束条件对收敛性的影响, 并得出结论:引入结束条件可以提前结束算法得到最优解, 引入线性惩罚函数后算法的收敛性要优于引入对数函数后的算法, 但是不如使用随机修复的算法更快, 获得的最优解更好。

参考文献

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我国中部地区经济增长收敛性分析篇5

经济增长的相关研究一直是经济研究的主题之一,其中经济增长的收敛性问题为众多的经济学家所关注。20世纪60年代,以索罗和斯旺为代表的经济学家创立了新古典经济增长理论。该理论认为:由于在生产中资本边际报酬递减规律的存在,当资本存量增加时,经济增长会放缓,最终会停止增长。起初人均资本占有量少的地区可以获得较高的资本收益,从而比经济发达地区有更高的经济增长速度,因此经济欠发达地区可以利用这种“追赶效应”向发达经济体收敛。关于经济增长收敛性的存在与否,其收敛的内在机制、影响收敛的静态和动态解释变量的选取问题一直是西方区域经济学研究的热点。

目前研究经济增长收敛性主要集中在两大类:β-收敛和σ-收敛。其中β-收敛又分为绝对β-收敛和条件β-收敛。β表示趋同速度,可用收敛半生命周期表示;σ表示地区人均收入的离散程度,即地区差异。Sala-i-Martin认为,绝对β-收敛是指在技术,制度,文化偏好相似的区域有相似的稳态,期初人均产出(人均收入)和其经济增长速度存在负相关关系,即各个经济单元向同一人均收入水平发展的趋势。经历一个较长时期,世界各国地区间的人均收入水平的差异将消失。条件β-收敛指区域间存在技术、制度、偏好等差异,从而具有不同的稳态,经济增长速度和距离稳态的距离呈正相关关系。Σ-收敛指不同经济单位的人均GDP离散程度随着时间而下降,说明这些经济单位存在收敛。俱乐部收敛指在技术、制度、文化、偏好等相似特征前提下,初期经济水平接近的经济集团各自内部的不同经济系统之间有着相似的经济稳态,各个集团分别向各自的经济稳态收敛。

张胜、郭军等分析全国的省际收敛性问题,得出了在改革开放前全国的区域经济增长存在绝对收敛,而在改革开放后不存在绝对收敛的结论,造成“富省愈富穷省愈穷”的原因在于东部比中西部有更高的人均资本以及其他生产要素的投入,使东部比中西部有更高的稳态值,经济增长速度更快。肖红珊等人通过萨拉伊—马丁模型对中部县域经济收敛性问题的研究发现,2000—2004年中部县域经济发展存在极强的收敛性,影响其经济增长的因素包括:起初人均GDP和起初人力资源禀赋等。李竟成和赵守国以中部5省为例实证分析了影响经济增长路径的选择问题。研究表明,对中部5省经济增长的影响因素主要是城市化水平、第三产业人数、进出口总额等。综合以上研究,笔者发现目前对区域经济增长收敛性的研究主要集中在较宏观的国家层面上,或者是在县域层面或单个省市层面,少有单独研究中部6省经济增长收敛性的问题。笔者拟运用经典的收敛模型分析中部6省区域经济收敛性,判断其收敛态势,并期望这一研究能为中部地区的崛起提供另一个全新的视角。

2 实证分析

2.1 数据说明

本文数据主要来源于各省统计年鉴(1997—2007年)和各省年度统计公报,以后行文中不再做重复说明。数据采集以中部地级及地级以上城市为统计基本单元。考虑到不同年份物价指数的影响和不同年份可比价格问题,文中均采用基年法或其它替代方法进行换算和调整,以剔除物价因素的影响。

2.2 σ-收敛分析

经济增长地区性的σ-收敛是指各地区人均GDP的绝对差异程度的变化过程。Theil指标法能较好地反映各经济带之间及经济体内部人均GDP的差异程度,能较好地描述区域经济增长的σ-收敛。本文采用Theil指数分析法,泰尔指数是由泰尔利用信息理论中的熵概念来计算收入不平等而得名。假设U是某一特定事件A将要发生的概率,P(A)=U。这个事件发生的信息量为E(U)肯定是U的减函数,用公式表达为:E(U)=log(1/u);当有n个可能的事件1,2,…,n时,相应的概率假设分别为U1,U2,…,Un,Ui≥0,并且∑Ui=1。

本文采用的Theil计算公式为:T=∑(gi/G)×log[(gi/G)/(pi/P)]。式中,T为Theil系数,测度中部地区总体差异。gi为第i个省的GDP值;pi为第i个省的人口值;G为中部6省的GDP总值,P为中部总人口。对TheilXI系数进行分解,得到如下公式:

T=Tb+Tw=Tb+∑Gi×Tw(i) (1)

式中,Tw(i)=∑(g(i)/(Gi)×log[(g(j)/Gi)/(p(j)/Pi)] (2)

Gi=∑g(j);i=1,2,3,4,5,6;j=1,2,3…18 (3)

Pi=∑p(j);i=1,2,3,4,5,6;j=1,2,3…18 (4)

式中,Tb为省际差异;Tw为省内差异,等于各省内部差异Tw(i)的加权和;Gi为第i个省份GDP占中部GDP总和的份额;g(j)为第j个地级及以上城市GDP占中部地区GDP总和的份额;Pj为第j个地级及以上城市人口占中部总人口的份额。在实际对数运算过程中均以e为底。

由表2可知,1997—2004年中部地区各省内部经济差异是产生中部经济差异的主要贡献因子,其贡献率一直保持在60%以上。这7年间各省内部经济差异逐步缩小的同时省际间的经济差异却呈现稳步上升趋势。2004年之后省际间差异是中部经济差异的主要贡献,其贡献率均在58%以上。Tw值和Tb值在1997年的绝对差最大,为0.0701;1997—2003年省内经济差异成绝对主导,平均贡献率为72.4%;随后两者贡献率差值逐步缩小,持续到2007年的0.02,是最大贡献率差值0.56(1997年)的3.6%。T值总体上可反映中部地区σ收敛的变化趋势,11年间T值总体呈现缩小趋势,说明中部地区经济增长出现了明显的σ收敛。

2.3 β-收敛分析

β收敛值是期初人均产出水平较低的经济体趋于在人均产出增长率和人均资本增长等项目上比期初人均产出水平较高的经济体以更快的速度增长。目前β收敛性分析主要是以巴罗回归方程和MRW分析框架为主,分析工具主要集中在横截面和面板时间系列分析。近年来有不少学者以核密度估计为手段进行增长分布分析,也得出了与预期相一致的收敛结果。本文引用Barro和Sala-i-Martin经典模型:

[ln(Yit/Yi,t-T)]/T=Xi*+[(1-е-βt)/T]

×ln(Yi*/Yi,t-T)+μit (5)

式中,T为观察期;Yi,t-T和Yi分别指观察期的初始和期末人均GDP;Xi*指稳态的人均增长率;Yi*为稳态的人均GDP;μit表示随机误差项;β为向稳态收敛的速度。若β为正值则说明发生了明显的收敛,β越大,表明收敛趋势越强。将(5)式进行化简可得到:

[ln(Yit/Yi,t-T)]/T=α-[(1-е-βt)/T]

×lnYi,t-T+μit (6)

式中,α=Xi*+[(1-е-βt)/T]lnYi*为一常数,即稳态值和时间趋势对各地区都相同。根据(6)式可估计β。(6)式测算的是无条件收敛,即绝对收敛。实际经验和实证研究告诉我们,经济增长不仅与期初的人均产出水平有关,还与各地区的资源禀赋、工业化、城市化等影响经济体长期发展的动态因素有关,因此还必须考虑各经济体间具有各自稳态的条件收敛。(6)式加入条件距阵Ψit得到:

[ln(Yit/Yi,t-T)]/T=α-[(1-е-βt)/T]

×lnYi,t-T+λΨit+μit (7)

式中,λ为待估系数,Ψit为衡量各经济体经济稳态的一组条件因子。本文选取中部各省工业化、城市化、开放度、创新能力、政府行为、信息化等指标作为决定中部地区经济稳态的条件。经济增长的过程伴随着工业化,工业化意味着要素投入从农业中流向回报率高的工业部门,由工业总产值占GDP的比例测度;城市化的实质是非农人口的城市化,它是资本流、人力流、信息流、技术流等产生集聚在空间上的直接反映,采用非农人口占总人口比例来表示;政府是资源配置的执行者,政府调控有助于资源的优化配置,是经济增长在制度层面上的保障,用政府转移支付占GDP比重来度量;信息化使生产要素加速流动,扩展了技术进步的技术性溢出,对经济增长有重要的促进作用,采用邮电业务总量与GDP总量的比来表示;开放度即区域对外开放的程度,表现为区域商品、要素跨越区域界限的流动程度,区域开放度越大,参与国际分工程度越深,出口量也越大,从而该地区经济增长速度越快,采用进出口总额占全国GDP的比重来表示;创新能力的提升是区域经济发展的持续动力,采用中部各省年专利申请量占全国专利申请总量的比例表示。

注:所用软件为Eviews 5.0,括号内数值为显著水平。

分析表明β值为正,说明1997—2007年中部地区的确出现了较为明显的绝对收敛趋势,其中β系数的t检验值为3.231,相伴概率为0.307,可认为通过显著性检验,且回归的拟合优度为0.476(调整后),基本可以接受。同时,将该收敛系数与国内其他学者的研究对比:京津冀地区1998—2003年经济趋于发散;泛珠三角1990—2000年β收敛系数为-0.0324;西部10省区1978—2003年β收敛系数为-0.011;中国1990—2000年间经济增长长期存在发散趋势,发散速度为0.1005。相比之下发现,在中国其他地区经济增长多数处于发散的大趋势下中部地区经济增长却存在绝对β收敛,且收敛速度高于中国其他区域或整个国家层面的发散速度。

注:所用软件为Eviews 5.0,括号内数值为显著水平。6项指标在计算前均进行了对数化,以消除共线性影响。

加入条件变量后模型(7)显然比模型(6)具有更高的拟合优度。分析结果可知,影响中部地区经济收敛性的首要因素是工业化水平,加入工业化这一条件后,β估计值达到0.048。影响中部地区经济收敛性的另一重要因素是创新能力。其中政府行为的引入使β值减小到0.019,显然政府的过度干预使中部地区经济反而出现发散,即差异扩大化,其他引入条件对中部地区经济收敛均有不同程度的促进作用。这说明城市化、工业化、信息化、创新能力、对外开放度等动态变量是影响中部地区经济收敛的重要变量,如果政府在适度调控的前提下控制以上动态变量,即可促使中部各省经济收敛于各自的稳态。

3 结论与启示

由以上分析可知,1997—2007年中部地区经济总体差异呈现缩小态势,即出现了σ-收敛。通过进一步检验发现,中部地区在此11年间还存在β条件收敛,影响其收敛性的动态变量有工业化、城市化、创新能力、开放度、信息化,通过控制这些变量,中部各省可实现经济收敛。

如何提升中部地区整体竞争力和缩小各省之间的经济差异,是中部崛起发展战略需要解决的重点问题。结合本文的研究有如下启示:①在中部崛起发展战略中,应将促进新型工业化的发展放在首要位置。工业化是实现地区经济腾飞的必要条件,历史经验和实证分析都表明,只有走新型工业化道路才能实现经济快速增长。中部地区工业化水平较低,可实现跨越式发展,相对沿海工业化发达地区具有“后发优势”,重点应放在调整中部地区工业产业布局和工业结构上,减少中部各省工业产业趋同所造成的资源浪费和低效率,争取在工业价值链的下游有所突破。②应高度重视中部地区科技创新能力的提升。传统研究认为,人力资本禀赋和城市化是影响中部经济收敛的决定因素,而忽略了科技创新对中部经济增长的重大促进作用。特别是经济全球化大背景下,科技创新已经成为提升区域综合竞争力和实现跨越式发展的关键因素。创新能力的提升主要靠教育,中部地区教育资源优越,拥有众多国家重点高校和科研机构,重点应加快产学研的一体化,加大科研资金的投入和加快科技园等技术孵化基地的建设,发挥企业创新主体的作用。③中部地区应加快城市化的建设,特别是武汉城市圈和长株潭城市带的建设,发挥中心城市的辐射和带动作用;同时应放宽户籍限制,促进农村人口向城市人口的有序流动、转化。④中部各省应重视城乡发展差距。以促进经济协调发展,加大政府对县级财政的支持,大力发展县域经济和农村经济,以现存优势资源为依托,开展“错位”竞争,打造特色产业。重点扶持农村集体经济,充分挖掘农村巨大的潜在市场。⑤应加强信息化建设和对外开放的力度,促进中部地区生产要素与外部合理的双向流动,积极吸引国外资本的进入,扩大对外贸易。建立和完善信息产业和信息化区域合作机制问题,决定按照“市场主导、政府推动、优势互补、联动发展”的原则,加快区域内的信息产业和信息化建设,充分发挥信息产业和信息化的带动作用。同时,中部地区应建立更为开放的市场,优化投资环境,要立足于国内和国际两个市场,鼓励中部有实力的大型国有企业走出去。

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收敛性测试篇6

关键词：金融相关比率,四分位距,基尼系数,泰尔指数

习近平总书记2014年5月考察河南时, 首次明确地用“新常态”来概括中国经济新的阶段性特征, 而新常态最主要的特征是经济潜在增长速度的台阶式下降。在改革开放最初的30多年里, 中国经济一直保持的高速的增长, 创造了世界经济发展的奇迹, 而江苏正是中国这一轮经济增长中的领头者之一.作为东部先发省份, 江苏经济发展水平常年保持在全国各省份前列。但同时, 其内部区域发展差距问题的存在也阻碍着江苏区域经济的协调可持续发展。

金融作为现代经济的核心, 它通过资源配置、风险管理、信息提供给等途径深刻影响着国民经济的各个方面, 其对于地区经济发展的重要性不言而喻。因此, 研究和分析区域金融发展的差异性问题, 可以据此采取有效措施, 充分发挥金融对经济的支持作用。随着中国发展进入新常态, 以及国家“一带一路”、长江经济带等重大战略的制定和实施, 江苏需要在新阶段、新区域战略下实现新的突破, 其中必然离不开金融对实体经济的支持。

一、数据与指标选择

1. 金融发展指标选择

关于江苏省金融发展水平的指标选择, 本文遵循目前国内研究的主要选择, 即以戈登斯密斯提出的FIR (金融相关比率) 作为衡量区域金融发展水平的基本指标, FIR即某一时点上现存金融资产总额 (含重复计算部分) 与国民财富 (实物资产总额加上对外净资产) 之比。一般而言, 金融发展水平越高, 金融相关比率的值也越高。在实际的指标计算中, 由于数据的可得性等问题, 一般将金融资产总额简化为年末金融机构存贷款余额之和, 将国民财富简化为国内生产总值GDP, 即:

其中, S和L分别代表地区金融机构年末的存款余额和贷款余额。而数据的来源主要为江苏省历年的统计年鉴。

2. 研究区域单元选择

关于研究的区域单元选择, 考虑到如果以地级市作为基本单元, 期样本量不足以充分反映各地发展的差距问题, 同时也可能会出现市强县弱, 或者市弱县强的现象, 数据便无法全面反映市域范围内的真实发展情况, 容易以整体代替了局部。而选择将地级市市辖区与县及县级市作为共同的基本区域单元, 可以兼顾细致与全面来反映各地级市和全省的金融发展情况。因此, 本文选择江苏省域范围内的各地级市市区及县和县级市为基本单元, 以2013年行政区划为标准, 共计58个区域单元。

二、江苏区域金融发展差异的测度

1. 区域金融发展水平差距测度指标

测度发展水平差距的常用指标有基尼系数 (Gini Coefficient) 、泰尔指数 (Theil Entropy Index, TEI) 、变异系数 (Coefficient of Variation, CV) 和赫芬达尔—赫希曼指数 (Hirfindhal-Hirschman Index, HHI) 等。

表1列举了各个指标的计算公式。其中, 基尼系数是比例数值, 最初用来衡量地区的人均收入差距。其取值范围为0到1, 其值越接近1说明差距越大, 接近0则说明接近绝对平等。泰尔指数是在熵指数的基础上提出的, 熵指数反映收入分布偏离完全平等的状态。泰尔指数经常被用来衡量个人或者地区之间不平等度, 其取值范围为0到1, 地区之间绝对平等时, 泰尔指数值为0, 地区之间差距很大时, 其值为1。

变异系数用来描述数据分布的差距程度, 其绝对值越大, 说明数据分布的差距程度也越大。赫芬达尔—赫希曼指数的取值范围则为1/n到1之间, 当区域发展指标之间完全不平衡时, 该指数取值为1;反之, 完全平衡则取值为1/n, 当地区数量n很大且各地区之间发展趋于平衡之时, 赫芬达尔—赫希曼指数取值趋向于0。

2. 江苏区域金融发展差异的测度

四分位距是一组数据中第三分位数和第一分位数之间的差值, 通过计算江苏各县市1995-2013年历年金融相关比率FIR的四分位距可以看出, 各地区金融发展水平的四分位距大部分年份都在增长, 说明数值的变异在增大。但是, 与此同时, 各县市金融相关比率的均值每年也在增长, 从1995年的1.06上升到2013年的1.75, 说明江苏大部分县市的金融发展水平整体上每年都呈增长态势, 不能据此判断各地区金融发展水平的差距到底是扩大了还是缩小了。因此, 需要通过一些测度数据差异的指标来衡量。 (如图一)

表2列出了测度江苏区域金融发展差异主要四个指标之间的相关性, 其相关性是通过计算皮尔逊相关系数得到的, 可以看出去, 各个指标之间高度相关, 两两之间的相关系数全部在0.95以上, 表明它们的变动趋势基本保持一致。

同时, 从图二基尼系数、泰尔指数、变异系数和赫芬达尔—赫希曼指数的变化趋势, 也可以直观的看出, 各条曲线的趋势基本保持一致。从各个指数的趋势来看, 江苏各县市金融发展水平在每一年都呈现出一定的差异性, 但差异程度不同。整体上来说, 其差异具有扩大的趋势。在1995-2013年的近二十年期间, 各指标的数值均出现过阶段性的下降, 分别是1995至1997年、2002年至2005年, 以及2009年至2013年。尤其是近几年来, 一直都是下降的态势, 这在一定程度上说明近几年来江苏各县市金融发展差异有所缩小。 (如图二)

3. 江苏各县市金融发展β收敛性分析

所谓区域金融发展的收敛性是建立在区域经济收敛性的基础之上的, 它是指随着区域经济增长趋于收敛, 区域金融的发展也趋近于一个稳态, 落后经济体金融发展速度高于发达经济体, 即金融系统的增长速度与其初始期的静态指标之间存在负相关关系, 随着时间的推移, 各经济体金融发展差距呈现出逐渐缩小的趋势。金融发展的β收敛即金融发展增长率与初始水平负相关, 也就是落后地区金融发展速度快于发达地区。

β收敛还有绝对收敛和条件收敛之分, 绝对收敛指各区域之间金融发展仅取决于初始资本水平的不同, 条件收敛则指的是除了初始资本水平之外, 还有诸如制度环境、地理条件和资源禀赋等因素的影响。β绝对收敛的检验方程为:

其中, β=1-eλt, λ为收敛速度;yi T+t和yit分别是i地区金融发展水平的期末和期初值。如果β的估计值为负数, 即代表区域金融发展存在β收敛;反之, 如果β的估计值为正数, 则不存在β收敛。

利用β绝对收敛检验模型对1995-2013年江苏各县市的金融相关比率进行模拟分析, 得到的β估计值为-0.31773, 在5%的置信区间内显著, 但是模型的拟合优度不高, 这说明, 1995-2013年, 江苏各县市金融发展存在着有限程度的β绝对收敛, 即初始年份1995年金融发展水平较低的地区有着相对金融发达地区较快的发展速度, 但是这一现象还不足以在短时间内改善江苏各县市金融发展不协调的现状。

三、结论与建议

通过对江苏各县市金融发展相关比率数据的相关统计指标分析, 结果表明, 江苏省大部分县市自1995年以来, 其金融发展水平整体上基本从呈增长态势。各地区之间的差异在1995年至2013年的近二十年间的总体趋势是有所扩大, 只是在期间有阶段性的缩小。值得一提的是, 自2008和2009年的金融危机之后, 泰尔指数等相关指标显示, 江苏各县市金融相关比率的地区差异在缩小。

而为了进一步探求江苏各县市金融发展的变化趋势, 以1995年为初始年份, 通过β绝对收敛模型检验发现, 江苏各县市在1995至2013年的时间段存在着一定程度上的β绝对收敛, 初始年份发展水平较低的地区呈现出一定的对发达地区的追赶, 但是这种追赶的效果并不明显。在此分析结果的基础上, 本文提出以下相关的对策建议:

1. 培育构建多级区域性金融中心, 发挥其辐射带动作用

金融中心是资金融通和聚散的枢纽, 它是在具有一定经济基础的区域上形成的, 是各金融机构、金融业务、金融资源等按市场原则在空间上自由转移和优化配置中形成的, 而构建完善的金融中心则需要具备市场和政策等多重因素。江苏省内有多个城市可以形成不同等级的区域性金融中心, 苏南地区的主要城市旨在努力进入发展新阶段, 并带动辐射半径内地区实现金融发展水平的提高。其中, 南京作为长三角地区的核心城市之一, 应当形成金融总部集聚区, 接受上海辐射的同时, 走与上海差异化和互补化的道路。苏州近些年来发展迅速, 其应当利用临近上海的空间区位优势, 接受上海的金融辐射, 成为上海国际金融中心的配套服务基地。苏中地区应该充分利用地缘优势, 接受上海和苏南地区金融中心的辐射, 形成全方位、多层次的金融服务体系。

2. 加大对落后地区的政策支持力度, 加快区域金融发展收敛速度

苏北地区经济发展速度较快, 各项经济指标增幅高于全省平均水平, 但是其金融发展水平仍低于全省平均水平。应加大对苏北地区的财政支持力度, 制定相应的优惠政策, 吸引更多金融资源向该地区聚集, 加快对发达地区的追赶步伐。同时, 在苏北广大的农村地区, 农村经济发展的重要制约因素就是资金短缺, 因此应该通过政策导向, 拓宽资金来源渠道, 有利支持苏北地区农村经济金融的发展。

3. 充分利用区位优势, 积极融入国家新的区域发展战略

国家正在积极实施长江经济带和“一带一路”重大战略, 而江苏空间区位优势明显, 长江黄金水道穿境而过, 东部海岸线狭长, 苏北地区更是亚欧大陆桥的东方起点。江苏应该充分利用这些区位优势, 积极响应并融入国家区域发展新战略, 而融入新战略, 离不开金融的支持。中央也多次在经济工作会议和政府报告等文件中提及, 要围绕服务实体经济进行金融改革, 充分发挥金融对实体经济的促进和支持作用。因此, 江苏应该充分响应国家政策, 并且因地制宜的制定相关金融改革措施, 充分考虑金融的空间差异性, 实现金融的区域内的协调发展, 从而更好地服务于区域新战略顺利实施。

4. 加强区域金融的区际合作, 特别是不同发展水平地区之间的合作

区域金融的合作涉及范围很广, 对于已经具备一定现实条件、有坚实基础的领域, 可以大力开展合作, 并积极探索新的合作方法和机制;对于不具备现实基础的领域, 可以进行前期的理论探讨和调查研究, 认识现状, 为后期的合作打下基础。区际金融合作可以以金融为纽带, 充分发挥金融的资源配置功能, 带动区域内全方位的经济合作, 推动区域产业结构调整和升级, 优化资源配置, 实现区域经济合作和协调发展。

参考文献

[1]黄桂良.粤港澳区域金融发展收敛研究[M].北京:经济科学出版社, 2013:13.

[2]丁兆浩, 吕勇斌.中国农村金融发展收敛性的空间计量分析[J].湖北经济学院学报, 2012 (3) :51-53.

[3]高丽娜, 朱舜.泛长三角经济一体化视角下的安徽省域经济空间结构优化研究[J].上海经济研究, 2009 (2) :66-73.

[4]王庆喜, 蒋烨, 陈卓咏.区域经济研究实用方法:基于Arc GIS, Geo Da, 和R的运用[M].北京:经济科学出版社, 2014.

[5]张广凤.江苏区域金融发展的收敛性分析[J].商业时代, 2011 (31) :134-135.

[6]慕丽杰.中国区域金融非均衡发展研究[M].北京:经济科学出版社, 2013.

离散元胞蚂蚁算法及其收敛性篇7

组合优化问题在现实领域中有着许多广泛的应用, 因而寻找其实际而有效的算法就显得颇为重要。遗传算法、模拟退火算法、蚂蚁算法等一系列来自自然界的演化型算法, 在一系列困难的组合优化问题 (TSP, QAP, JSP等) 求解中已取得了成效。

蚂蚁算法是由意大利学者Colorni等人[1]于1991年通过模拟自然界中蚂蚁的寻径行为提出的一种基于种群的启发式仿生进化算法, 许多学者从不同的角度对其进行了研究[2,3,4,5,6,7,8,9], 并将其应用于许多实际领域[10,11,12,13] 。

元胞自动机是冯诺伊曼最早提出, 沃尔夫勒姆等人使其成为一种可模拟复杂结构和过程的模型[14], 并已应用于许多实际领域[15,16,17,18,19]。离散元胞蚂蚁算法是一种新型的仿生算法, 它利用元胞在离散元胞空间的演化规律和蚂蚁寻优的特点, 为解决实际问题提供了一种优化方法。

以下首先给出离散元胞蚂蚁算法, 然后对算法的收敛性进行了论证, 最后给出一些数值仿真。

1 元胞自动机原理

冯诺伊曼最初提出元胞自动机是为研究复杂系统的行为提供一种构架。元胞自动机是一个时间、空间离散的动力系统。元胞自动机由规则网格中的元胞组成, 每个元胞的状态是k个有限状态之一。元胞自动机中的元胞状态依据一个已定义的局部规则, 即按照相邻元胞和元胞本身的前一时刻的值同步更新。

从集合论角度元胞自动机有着严格地描述和定义[20]。用数学符号来表示, 标准的元胞自动机是一个四元组:

A= (Ld, S, N, f ) 。

这里, A代表一个元胞自动机系统;L表示元胞空间, d是一正整数, 表示元胞自动机内元胞空间的维数; S是元胞的有限、离散状态集合; N表示一个邻域内所有元胞的组合 (包括中心元胞) ; f表示将SN映射到S上的一个局部转换函数.可以记为:

f:S $_{t}^{Ν}$ → St+1。

对元胞空间内的所有元胞, 独立施加上述局部函数, 则可得到全局的演化。

2 离散元胞蚂蚁算法原理

元胞是元胞自动机的最基本的组成部分。元胞空间是元胞的集合。以TSP问题为例, 阐述离散元胞蚂蚁算法的数学描述。

G= (V, E) 为赋权图, V 顶点集, E为边集, arc (i, j) 连结i和j节点, 并且有赋值dij = d (i, j) 。

经典的TSP问题可写为如下的数学规划模型

min Z= $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} d_{i j} x_{i j}$

$s . t {\begin{cases} \sum_{j = 1}^{n} x_{i j} = 1, i \in V \\ \sum_{i = 1}^{n} x_{i j} = 1, j \in V \\ \sum_{i \in S} \sum_{j \in S} x_{i j} \leq | S 1 | - 1, \forall S 1 \subset V \\ x_{i j} \in {0, 1} \end{cases}$

定义1 给定城市元素的集合C = { c1, c2, …, cn }, 则C中的任意排序组合的集合为元胞空间, 可表为:

L={CellX= (c1, …, ci, …, cj, …, cn) |, ci∈C, ci≠cj, i, j=1, 2, …, n}。

其中每一个组合CellX为元胞。

定义2 元胞邻居采用扩展Moore邻居类型

NMoore={CellY|diff (CellY-CellX) ≤r;CellX, CellY∈L}其中diff (CellY-CellX) ≤r为两个组合排序的差异, 若无差异为0, 有差异时, 最小为2。r为差异的程度, 现r为2。

定义3 蚂蚁的相邻结点的转移概率定义为

$Ρ_{i j} = \frac{[τ_{i j}]^{α} [η_{i j}]^{β}}{\sum_{k} [τ_{i k}]^{α} [η_{i k}]^{β}}$ 。

其中, ηij为边弧 (i, j) 的能见度 (visibility) , 即1/dij, τij为边弧 (i, j) 的轨迹强度 (intensity) , α为轨迹的相对重要性 (α≥0) , β为能见度的相对重要性 (β≥0) 。

定义4 信息素强度更新方程为:τ $_{i j}^{n e w}$ =ρτ $_{i j}^{o l d}$ +∑k △τ $_{i j}^{k}$ , 其中, △τ $_{i j}^{k}$ 为蚂蚁k于边弧 (i, j) 上留下的单位长度轨迹信息素数量,

$Δ τ_{i j}^{k} = {\begin{cases} Q / d_{i j}, 若 (i, j) 在最优路径上； \\ 0 ‚ 其他。 \end{cases}$

Q为体现蚂蚁所留轨迹数量的一个常数, ρ体现强度的持久性 (0≤ρ<1) 。

定义5 元胞演化规则, 依据元胞邻居的定义计算其邻居的目标解, 比较元胞和其邻居的差异, 选择最好的目标解。

于是, 元胞蚂蚁算法主要步骤可用以下流程图描述叙述如下:

Step 1 nc←0; (nc为迭代步数或搜索次数) 各τij和△τij的初始化, 将m个蚂蚁置于n个顶点上;

Step 2 将各蚂蚁的初始出发点置于当前解集中;对每个蚂蚁k (k=1, …, m) , 按概率P $_{i j}^{k}$ 移至相邻结点cj, 将顶点j置于当前解集;

Step 3 计算各蚂蚁的目标函数值Zk (k=1, …, m) , 记录当前的最好解;

Step 4 按元胞邻居的定义, 在邻居范围内演化, 记录最好解;

Step 5 按更新方程修改轨迹强度;

Step 6 对各边弧 (i, j) , 置△τij←0; nc←nc+1;

Step 7 若nc<预定的迭代次数且无退化行为 (即找到的都是相同解) , 则转步骤2;

Step 8 输出目前的最好解。

对于元胞蚂蚁算法实现的描述, 可知, 当选择差异的程度为2时, 邻居内演化其运算时间的复杂度为O (n2nc) , 因此元胞蚂蚁算法整个过程的时间复杂度为O (ncn2m) , 其中n为城市节点数目, m为蚂蚁数, nc为运算迭代次数。如果选取m≈n, 则算法的时间复杂度为O (ncn3) 。应用上, 这个复杂度在计算时间上是可接受的。

3 算法收敛性分析

设 (Ω, A, p) 表示一个完全的概率测度空间, 这里p (Ω) =1, a = {a1, a2, …ai, …}, 为算法每次迭代输出的最优解序列, 其中ai= (c1, …, ci, …cn) , ci∈C, ai∈L。L为元胞空间, ai为一个元胞, C为元胞的状态空间。

定义6 转移算子Tp是指按概率蚂蚁从结点i到结点j的转移过程, 它是一种元胞的状态空间到状态空间的映射Tp :Ω × C → C, 定义转移算子Tp为

p (ω: $Τ_{p} (ω, (c_{i}, c_{j})) = p_{i j}^{} = \frac{[τ_{i j}]^{α} [η_{i j}]^{β}}{\sum_{k} [τ_{i k}]^{α} [η_{i k}]^{β}}$ 。

定义7 演化算子Tf是指元胞区域的演化规律, 它是元胞空间到元胞空间的映射Tf:Ω×L→L, 可定义为

p (ω:Tf (ω, Cell

$X)) = {\begin{cases} = C e l l X ‚ Ζ_{C e l l X} \geq Ζ_{C e l l Y} ； \\ = C e l l Y ‚ Ζ_{C e l l X} < Ζ_{C e l l Y} 。 \end{cases}$

由离散元胞蚂蚁算法的求解过程可知, 它是一个迭代过程, 在每1次迭代有若干个转移和演化算子, 因此可以进一步抽象一为个映射T, 即

$Τ = \prod^{n} Τ_{p} \prod^{n} Τ_{f}$ ;T:Ω×a→a。

离散元胞蚂蚁算法在求解TSP问题过程中, 每次都保留最好解, 整个求解过程中目标函数是一个非增序列。由于优化过程只关心满意解的变化过程, 为了分析方便, 每次迭代用最优解来代替该次迭代的目标值。于是, 可定义影射为:

an+1=T (ω) an;an, an+1∈a。

其中an为第n次迭代输出的最优解序列, an+1为第n+1次迭代输出的最优解序列。则对应的Zn和Zn+1为输出的最优目标解。

定义8 度量d:a×a→R, 其中d的表达式定义如下

$d (a_{i}, a_{j}) = {\begin{cases} | Ζ_{i} - Μ | + | Ζ_{j} - Μ |, a_{i} \neq a_{j} ； \\ 0, a_{i} = a_{j} 。 \end{cases}$

其中M是Z的下界, 对于一个最小值问题, M必存在。

定理1 (a, d) 是完备可分的度量空间。

证明a为非空集合, d为a×a上的实值函数, 对∀ai, aj∈a, d (ai, aj) 满足:

1) d (ai, aj) >0, 当且仅当ai=aj, d (ai, aj) =0, 满足非负性;

2) d (ai, aj) =d (aj, ai) , 满足对称性;

3) 满足三角不等式

d (ai, aj) =|Zi-M|+|Zj-M|≤|Zi-M|+|Zk-M|+|Zk-M|+|Zj-M|=d (ai, ak) +d (ak, aj) 。

所以 (a, d) 是度量空间。

a是一有限状态空间, 即a中解集的数目是有限的。对任意柯西列ai, 及任意ε>0, 存在自然数N, 当自然数n, k>N时, d (an, ak) <ε, 当n→∞时, an→a*, 且a*∈a。因此, (a, d) 是完备的度量空间。

设G是a的子集, 由于a为有限集合, 因此G为可数子集。又G的闭包包含a中所有元素, 所以G在a中稠密, 这就证明了 (a, d) 是可分的。

因此 (a, d) 是完备可分的度量空间。

定理2 元胞蚂蚁算法形成的影射T为的随机压缩算子。

证明如果存在非负实值随机变量

k (ω) <1 a.s. ∀x, y∈a。

使得 p ({ω:d (T (ω) x, T (ω) y) ≤k (ω) d (x, y) }) =1。

随机算子称为随机压缩算子[21,22]。

根据算法原理, 每次都保留最好解, 整个求解过程中目标函数是一个非增序列。则有:

Zi-1≥Zi≥Zi+1;

d (T (ω, ai-1) , T (ω, ai) ) =d (ai, ai+1) =|Zi-M|+|Zi+1-M|≤|Zi-M|+|Zi-1-M|=d (ai-1, ai) 。

则存在一个非负的随机变量 0 ≤ k (ω) <1 使得

d (T (ω, ai-1) , T (ω, ai) ) ≤k (ω) d (ai-1, ai) 。

且 (a, d) 是完备的度量空间。所以元胞蚂蚁算法形成的影射T为随机压缩算子。

定理3[21,22] 设随机算子T:a→a满足对几乎所有的ω∈Ω, T (ω) 均为压缩算子, 即存在Ω0⊆Ω, p (Ω0) =1, 使任一ω∈Ω0有

d (T (ω, ai-1) , T (ω, ai) ) ≤k (ω) d (ai-1, ai)

∀ai-1, ai∈a其中0≤k (ω) <1。

对任一ω∈Ω0, 则T (ω) 有唯一随机不动点g (ω) , 即T (g (ω) , ω) =g (ω) 。

结论元胞蚂蚁算法的求解迭代过程是一个随机压缩影射, 根据定理3可知, 该迭代过程存在唯一的不动点, 则元胞蚂蚁算法的求解迭代过程是收敛的。

4 数值实验

本文选用“http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/comopt/software/TSPLIB95/”公布的标准问题库TSPLIB中的实例。在Windows 2000下用Delphi 7.0编制程序进行了计算, 各种参数的设定如下, α=1, β=1, Q =100, ρ=0.7, m=n (蚂蚁数等于城市数) 。并使用2-OPT算法进行邻域优化。下面是部分问题得到的结果, 其结果如表1所示 (在计算边长时四舍五入取整) , L1为本算法求得的最优解, L2为TSP库中公布的最好解, b1= (L1-L2) / L2, 表中问题名称后的数字为结点总个数。