计算公式推导

计算公式推导（共11篇）

计算公式推导 篇1

圆是最重要的曲边形, 古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形!怎样求圆的面积, 是数学对人类智慧的一次考验。

怎样求圆的面积?现在已是一个非常简单的问题, 用公式一算, 结果就出来了。可是你知道这个公式是怎样得来的吗?在过去漫长的年代里, 人们为了研究和解决这个问题, 不知遇到了多少困苦, 花费了多少精力和时间!

面对如此丰富的学习内容, 遇到如此神奇的课程资源, 我们何不抓住机遇, 让学生去走一走、看一看呢?于是在学习了“圆的认识”和“圆的周长”以后, 我这样煽动我的孩子们:明天我们就要研究“圆的面积计算公式”, 你们面对的将是一个多姿多彩的数学世界, 同学们想不想去探一探呢?“想!”大家异口同声地回答。趁着学生的热情, 我布置了这样的课外作业:“圆的面积怎样计算?公式是怎么推导的?你们今天回家可以和爸爸妈妈商讨, 可以和哥哥姐姐商讨, 可以和同伴商讨, 可以跟电脑请教, 可以自己独立思考, 也可以和数学书交友……你们可以和古人碰面, 可以和今人打交道……你们可以剪剪拼拼, 可以试着画画, 当然也可以文字表述……”

第二天的课堂上, 同学们兴奋极了!大家都争先恐后地发表自己的看法, 交流各自的收获, 大致有以下一些观点。

(1) 我从数学书上知道:把圆平均分成若干份, 可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽就等于圆的半径 (r) , 长方形的长就是圆周长 (C) 的一半。长方形的面积是长乘宽, 那圆的面积就是:圆的半径 (r) 的平方乘以π, S=πr2。

(2) 我和爸爸查阅了一些资料得知:把圆16等分分割后拼插成近似的平行四边形, 平行四边形的底相当于圆周长的四分之一 (C/4=πr/2) , 高等于圆半径的2倍 (2r) , 所以S=πr/2·2r=πr2) ;也可以把圆16等分分割后拼插成近似的等腰三角形。三角形的底相当于圆周长的1/4, 高相当于圆半径的4倍, 所以S=1/2·2πr/4·4r=πr2;还可以把圆分割后拼成近似的等腰梯形, 梯形上底与下底的和就是圆周长的一半, 高等于圆半径的2倍, 所以S=1/2·πr·2r=πr2。

(3) 我是通过度量猜想圆面积的大小:用边长等于半径的小正方形透明塑料片, 直接度量圆面积, 观察后得出圆面积比4个小正方形小, 好像又比3个小正方形大一些。初步猜想:圆的面积相当于r2的3倍多。由此看出, 要求圆的精确面积通过度量是无法得出的。

(4) 通过上网, 我还知道了:我国古代的数学家祖冲之, 从圆内接正六边形入手, 让边数成倍增加, 用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积;古希腊的数学家, 从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手, 不断增加它们的边数, 从里外两个方面去逼近圆面积;古印度的数学家, 采用类似切西瓜的办法, 把圆切成许多小瓣, 再把这些小瓣对接成一个长方形, 用长方形的面积去代替圆面积。众多的古代数学家煞费苦心, 巧妙构思, 为求圆的面积作出了十分伟大的贡献, 为后人解决这个问题开辟了道路。

直到16世纪的德国天文学家开普勒认为古代数学家用分割的方法去求圆面积, 所得到的结果都是近似值。为了提高近似程度, 他们不断地增加分割的次数。但是, 不管分割多少次, 几千几万次, 只要是有限次, 所求出来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值, 必须分割无穷多次, 把圆分成无穷多等分才行。后来意大利数学家卡瓦利里想, 开普勒把圆分成无穷多个小扇形, 这些小扇形的总面积到底等不等于圆面积, 就不好确定了。但是, 只要小扇形还是图形, 它是可以再分的呀。开普勒为什么不再继续分下去了呢?如果一直这样分下去, 就像棉布可以拆成棉线一样, 面积分到直线就应该不能再分了……

教学就是一次旅行, 留点时间, 留点空间, 让学生自己漫步在自己的数学旅途中。他们忽聚忽散, 忽现忽隐, 忽疾忽缓, 走走停停, 指指点点, 留恋往返!在这一次旅行中, 他们各自领略了不同的风景:知道了圆的面积计算公式是S=πr2, 感悟了“化曲为直”“化圆为方”的数学思想, 明白了古代的数学家为数学的发展作出了巨大的贡献……这样的漫步, 这样的旅行, 学生会不喜欢吗?教师能不陶醉吗?

让推导公式的过程更加自然 篇2

一、 波利亚的怎样解题表

乔治·波利亚是美籍匈牙利数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者。他十分重视解题在数学学习中的作用，并对解题方法进行了多年的研究和实践，绘制出一张风靡世界的解题表，以下就是波利亚的怎样解题表：

第一，你必须弄清问题（弄清问题）。

（1）未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者它是多余的？或者是矛盾的？

（2）要张图，引入适当的符号。

（3）把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？

第二，找出已知数与未知数之间的关系；如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题；你应该最终得出一个求解的计划（拟定计划）。

（1）你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？

（2）你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？

（3）看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题。

（4）这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它？（你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？）为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？

（5）你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？

（6）回到定义去。

（7）如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题，你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？

（8）你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？

（9）你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

第三，实行你的计划（实现计划）。

（1）实现你的求解计划，检验每一步骤。

（2）你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？

第四，验算所得到的解（回顾）。

（1）你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？

（2）你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？

二、 回到定义去—— “数方格”是测量（估计）图形面积的基本方法

“回到定义去”在数学解题中是一项重要的思维活动，波利亚将这一重要思维活动列在“解题表”的显著位置。当我们没有办法来解决一个问题时，回到定义可能是我们唯一能做的事情。

在平行四边形面积公式教学时，学生已经知道一个图形由6个1平方厘米的正方形拼成，那么这个图形的面积就是6平方厘米，学生也知道用这种方法（回到定义去）可以测量（估算）出不规则图形的面积。

苏教版五年级上册是通过第12页的例2，来引入教学的。

在教学中，我们是不是可以这样改：教师先给出一个平行四边形，再引导学生用数格子的方法（回到定义去）来数出平行四边形的面积，这样的引导让学生感觉到很自然，然后把这个平行四边形放在透明方格纸下，也就会出现象例2这样的图形。这时候，教师不要急着提问“你能把例2的平行四边形转化成长方形吗？”并让学生想办法得出它的面积，而应在学生用不满一个算半格的方法得出平行四边形的面积后，提醒学生：这种方法得出的面积可能不精确，能不能有精确的方法得到它的面积？这样就会激发学生的探究欲。为什么要拼成长方形？不是教材要求把它拼成长方形我们就剪拼成长方形。如果可能直接得到平行四边形面积计算公式（事实上，这样的公式是有的），那么还要转化做什么呢？剪拼成长方形得到准确的结果应该是发自学生内心的需要。

这样的引入也可以适用于圆面积的引入，台湾地区的小学教材创设了学生熟悉的“数方格”，估计出圆的面积，并且给出了具体的操作办法，“先算这个圆形的是多少，再乘以4就算出来了”。这样的引入基于学生的已有经验，遵循了学生的认知发展规律，对于唤起他们对圆面积计算方法的探究欲望，起到了积极的作用。

如何找到好的方法，准确求出平行四边形等其他图形的面积，就是学生接下来要考虑的问题。

三、 特殊化——获得解题思路的好方法

特殊化是与一般化相对而言的一种合情推理形式，它是从对象的一个给定集合转而考虑其中较小集合。数学发现和问题求解时，进行特殊化可能得到启发。正如波利亚所强调的，注意到特殊情况的观察，能够导致一般性的数学结果，也可以启发出一般性的证明方法。

回到三角形面积的计算教学，我们已经解决了为什么要把三角形放在正方形的小方格中，通过数格子让学生自主发现推导公式的方法。接下来的问题是怎样放？放哪一种三角形？事实证明：应先考虑一种特殊的三角形——直角三角形，因为要精确求出图1中直角三角形的面积，学生最容易想到，先求一个长为6，宽为4的长方形面积，然后再除以2，便得到这个三角形的面积。教师提问：组成这个长方形的另一部分是一个什么图形？它和所给直角三角形有什么关系？如果学生还不能确信，可以让他们把另一个三角形剪下来，拼一拼，进一步验证自己的结论。

接下来就自然引入到：通过两个完全相同的直角三角形拼成一个长方形求出直角三角形的准确面积，那么图2中钝角三角形和图3中锐角三角形又能通过拼成什么图形来求出它们的面积？

图2 图3

最后归纳出：无论哪一种三角形，都可以通过用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，三角形的底是平行四边形的底，三角形的高是平行四边形的高，三角形的面积等于所拼平行四边形面积的一半。

澳门地区的小学教材也是通过从特殊情况入手，引入圆面积的教学：一张正方形纸，对角折数次，剪一刀，展开来就是一张近似圆形的纸，折痕之间的一点是圆心。随着折的次数愈多，剪成的圆形愈接近圆形。这个圆形的面积，可以看成是这些等腰三角形的面积的和。

学生在学习过程中积累了更多的解题经验以后，再遇到一个新问题时，教师应该引导启发学生选择正确、合理的思路去解决它，如果解题遇阻，至少应该想到一种最接近的方法（可能不能仅仅停留在回到定义去或者特殊化）去试验它。那么如何启发呢？

四、 启发法——波利亚解题思想的精髓

学生学习了三角形和平行四边形面积计算公式以后，接着就学习梯形面积计算公式了。面对一个从未接触的问题，如何启发学生比较自然地产生解题的“念头”，是摆在教师面前的第一要务。波利亚的怎样解题表的精髓就是启发我们去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧：“……这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?……”“求平行四边形面积公式所用的方法是：割拼法。三角形面积公式所用的方法是：扩拼法。教师提醒学生：你能利用这些方法吗？”让学生有解决这个问题的两个念头：用割拼法和扩拼法。有了这两个“念头”，下面就让学生去试一试。笔者在前些年观摩了南通市崇川区青年教师教学比赛，所有五年级的老师都上梯形面积的计算这节课，我发现，一些老师只讲“扩拼法”，而对“割拼法”重视不够，当学生把梯形一边剪下一个直角三角形拼到梯形另一侧，发现不能拼成一个长方形。教师因为知道这个方法对一般梯形不适用，如果讲了会把学生带上歧途，所以对讲这种方法的学生不管不顾。事实上，老师的这种做法是不可取的。波利亚《怎样解题》这本书中指出:也许有些念头会把你引入歧途，但这并不可怕，在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后会突然闪出一个好念头，最糟糕的是没有任何念头，还笨头呆脑地干等着某个念头的降临。学生可能正因为这种割拼法不行，从而想到其他剪拼法。比如：第一，在梯形的另一边也剪下一个直角三角形，把两边的直角三角形拼成一个三角形，如图4所示。第二，沿梯形对角线剪开，转化成求两个三角形的面积，如图5所示。第三，把梯形剪成一个平行四边形和一个三角形，再求出它们面积的和，从而得到梯形的面积，如图6所示。

可能还有更多种不同的剪拼方法，通过这些方法都求出了梯形的面积，也能得到梯形的面积计算公式，但绝大多数教师只讲通过“扩拼法”得到的梯形面积计算公式，即梯形面积=（上底+下底）×高，也只要求记住这个公式。为什么不讲用其他方法得到的梯形面积计算公式，比如通过图6我们可以得到梯形的面积=（下底-上底）×高+上底×高，也不要求学生死记住它？为了让学生理解其中的道理，就离不开对解题过程的回顾与反思。

五、 回顾——解题不可缺少的一个环节

在多边形面积公式推导过程中，教师都忽视了一个重要环节——回顾。我们还是以上面讨论的问题为例：梯形面积=（上底+下底）×高，为什么不能讲梯形的面积=（下底-上底）×高+上底×高？可能有些老师说：第二个公式可以化为第一个公式，因为学生没有学过如何化简，所以不能讲第二个公式，这是一个理由，但不是我们不去回顾的理由。我们可以引导学生从以下两个方面去回顾：一、两个公式哪一个公式更简单，学生一看就知道了。二、哪一个公式，你能一下子说出为什么有这个公式。学生肯定会一下子说出：两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，（上底+下底）等于这个平行四边形的底， （上底+下底）×高等于这个平行四边形的面积，而所求梯形的面积等于这个平行四边形面积的一半。通过这样的回顾既让学生回忆了解题方法，又记住了这个公式，何乐而不为。通过以上的回顾，也给出了为什么只要求学生记住梯形面积=（上底+下底）×高的理由，这样的教学过程就更加自然了。

引导学生形成良好的解题反思习惯，让他们的解题能力和思维品质在更深和更高层次得到有效提高和升华，这应该是每一位数学教师所追求的目标。

总之，波利亚的怎样解题表教会了我们如何思考，教师的教学应该自然地展示思考过程，帮助学生自己再发现所教的内容，发展学生自己的能力，学生学会不断地自我提问、不断地自我建议，驱使自己主动地去分析问题与解决问题，不断丰富自己解决问题的能力。

【责任编辑：陈国庆】

学生学习了三角形和平行四边形面积计算公式以后，接着就学习梯形面积计算公式了。面对一个从未接触的问题，如何启发学生比较自然地产生解题的“念头”，是摆在教师面前的第一要务。波利亚的怎样解题表的精髓就是启发我们去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧：“……这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?……”“求平行四边形面积公式所用的方法是：割拼法。三角形面积公式所用的方法是：扩拼法。教师提醒学生：你能利用这些方法吗？”让学生有解决这个问题的两个念头：用割拼法和扩拼法。有了这两个“念头”，下面就让学生去试一试。笔者在前些年观摩了南通市崇川区青年教师教学比赛，所有五年级的老师都上梯形面积的计算这节课，我发现，一些老师只讲“扩拼法”，而对“割拼法”重视不够，当学生把梯形一边剪下一个直角三角形拼到梯形另一侧，发现不能拼成一个长方形。教师因为知道这个方法对一般梯形不适用，如果讲了会把学生带上歧途，所以对讲这种方法的学生不管不顾。事实上，老师的这种做法是不可取的。波利亚《怎样解题》这本书中指出:也许有些念头会把你引入歧途，但这并不可怕，在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后会突然闪出一个好念头，最糟糕的是没有任何念头，还笨头呆脑地干等着某个念头的降临。学生可能正因为这种割拼法不行，从而想到其他剪拼法。比如：第一，在梯形的另一边也剪下一个直角三角形，把两边的直角三角形拼成一个三角形，如图4所示。第二，沿梯形对角线剪开，转化成求两个三角形的面积，如图5所示。第三，把梯形剪成一个平行四边形和一个三角形，再求出它们面积的和，从而得到梯形的面积，如图6所示。

可能还有更多种不同的剪拼方法，通过这些方法都求出了梯形的面积，也能得到梯形的面积计算公式，但绝大多数教师只讲通过“扩拼法”得到的梯形面积计算公式，即梯形面积=（上底+下底）×高，也只要求记住这个公式。为什么不讲用其他方法得到的梯形面积计算公式，比如通过图6我们可以得到梯形的面积=（下底-上底）×高+上底×高，也不要求学生死记住它？为了让学生理解其中的道理，就离不开对解题过程的回顾与反思。

五、 回顾——解题不可缺少的一个环节

在多边形面积公式推导过程中，教师都忽视了一个重要环节——回顾。我们还是以上面讨论的问题为例：梯形面积=（上底+下底）×高，为什么不能讲梯形的面积=（下底-上底）×高+上底×高？可能有些老师说：第二个公式可以化为第一个公式，因为学生没有学过如何化简，所以不能讲第二个公式，这是一个理由，但不是我们不去回顾的理由。我们可以引导学生从以下两个方面去回顾：一、两个公式哪一个公式更简单，学生一看就知道了。二、哪一个公式，你能一下子说出为什么有这个公式。学生肯定会一下子说出：两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，（上底+下底）等于这个平行四边形的底， （上底+下底）×高等于这个平行四边形的面积，而所求梯形的面积等于这个平行四边形面积的一半。通过这样的回顾既让学生回忆了解题方法，又记住了这个公式，何乐而不为。通过以上的回顾，也给出了为什么只要求学生记住梯形面积=（上底+下底）×高的理由，这样的教学过程就更加自然了。

引导学生形成良好的解题反思习惯，让他们的解题能力和思维品质在更深和更高层次得到有效提高和升华，这应该是每一位数学教师所追求的目标。

总之，波利亚的怎样解题表教会了我们如何思考，教师的教学应该自然地展示思考过程，帮助学生自己再发现所教的内容，发展学生自己的能力，学生学会不断地自我提问、不断地自我建议，驱使自己主动地去分析问题与解决问题，不断丰富自己解决问题的能力。

【责任编辑：陈国庆】

学生学习了三角形和平行四边形面积计算公式以后，接着就学习梯形面积计算公式了。面对一个从未接触的问题，如何启发学生比较自然地产生解题的“念头”，是摆在教师面前的第一要务。波利亚的怎样解题表的精髓就是启发我们去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧：“……这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?……”“求平行四边形面积公式所用的方法是：割拼法。三角形面积公式所用的方法是：扩拼法。教师提醒学生：你能利用这些方法吗？”让学生有解决这个问题的两个念头：用割拼法和扩拼法。有了这两个“念头”，下面就让学生去试一试。笔者在前些年观摩了南通市崇川区青年教师教学比赛，所有五年级的老师都上梯形面积的计算这节课，我发现，一些老师只讲“扩拼法”，而对“割拼法”重视不够，当学生把梯形一边剪下一个直角三角形拼到梯形另一侧，发现不能拼成一个长方形。教师因为知道这个方法对一般梯形不适用，如果讲了会把学生带上歧途，所以对讲这种方法的学生不管不顾。事实上，老师的这种做法是不可取的。波利亚《怎样解题》这本书中指出:也许有些念头会把你引入歧途，但这并不可怕，在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后会突然闪出一个好念头，最糟糕的是没有任何念头，还笨头呆脑地干等着某个念头的降临。学生可能正因为这种割拼法不行，从而想到其他剪拼法。比如：第一，在梯形的另一边也剪下一个直角三角形，把两边的直角三角形拼成一个三角形，如图4所示。第二，沿梯形对角线剪开，转化成求两个三角形的面积，如图5所示。第三，把梯形剪成一个平行四边形和一个三角形，再求出它们面积的和，从而得到梯形的面积，如图6所示。

可能还有更多种不同的剪拼方法，通过这些方法都求出了梯形的面积，也能得到梯形的面积计算公式，但绝大多数教师只讲通过“扩拼法”得到的梯形面积计算公式，即梯形面积=（上底+下底）×高，也只要求记住这个公式。为什么不讲用其他方法得到的梯形面积计算公式，比如通过图6我们可以得到梯形的面积=（下底-上底）×高+上底×高，也不要求学生死记住它？为了让学生理解其中的道理，就离不开对解题过程的回顾与反思。

五、 回顾——解题不可缺少的一个环节

在多边形面积公式推导过程中，教师都忽视了一个重要环节——回顾。我们还是以上面讨论的问题为例：梯形面积=（上底+下底）×高，为什么不能讲梯形的面积=（下底-上底）×高+上底×高？可能有些老师说：第二个公式可以化为第一个公式，因为学生没有学过如何化简，所以不能讲第二个公式，这是一个理由，但不是我们不去回顾的理由。我们可以引导学生从以下两个方面去回顾：一、两个公式哪一个公式更简单，学生一看就知道了。二、哪一个公式，你能一下子说出为什么有这个公式。学生肯定会一下子说出：两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，（上底+下底）等于这个平行四边形的底， （上底+下底）×高等于这个平行四边形的面积，而所求梯形的面积等于这个平行四边形面积的一半。通过这样的回顾既让学生回忆了解题方法，又记住了这个公式，何乐而不为。通过以上的回顾，也给出了为什么只要求学生记住梯形面积=（上底+下底）×高的理由，这样的教学过程就更加自然了。

引导学生形成良好的解题反思习惯，让他们的解题能力和思维品质在更深和更高层次得到有效提高和升华，这应该是每一位数学教师所追求的目标。

总之，波利亚的怎样解题表教会了我们如何思考，教师的教学应该自然地展示思考过程，帮助学生自己再发现所教的内容，发展学生自己的能力，学生学会不断地自我提问、不断地自我建议，驱使自己主动地去分析问题与解决问题，不断丰富自己解决问题的能力。

计算公式推导 篇3

电感线圈是一种由一圈靠一圈的导线绕在绝缘管上而制成的,依靠电磁感应原理进行工作的电气元件,导线之间彼此互相绝缘。电感线圈在电路中主要起着一个稳流作用,抑制电流的变化,防止电流突变。

电感线圈的电特性正好与电容器相反,即“通低频,阻高频”。高频信号通过电感线圈时会遇到很大的阻力,很难通过;而对低频信号通过它时所呈现的阻力则比较小,即低频信号可以较容易的通过它。因此,电感线圈对交流电的电阻是随着频率的增加而变大的,而对直流电的电阻几乎为零。而对于电感线圈在电路中所表现出的对交流电的阻碍作用,我们称之为线圈的感抗,与电容的容抗以及电阻的阻抗相对应。感抗的单位是欧姆,其大小由电流的频率和线圈的电感量决定。其中电感量作为线圈本身的固有特性,可以用来衡量线圈产生电磁感应能力的大小,是电感器工业生产中的关键参数。所以,如何准确计算电感线圈的电感量对于电感元件的发展有着极为重要的意义。

因此,为进一步了解线圈电感量的变化规律以及计算方法,本文设计了一个实验用以探究空心线圈电感量与各参数之间的变化关系,并且在这些变化关系的基础上对空心线圈电感量的计算公式进行了推导与验证。

1 实验方案

为设计一个探究空心线圈电感量的变化规律的实验,首先,需要确定本实验中所涉及的实验变量以及所采用的实验方法;其次,需要选用相应的实验器材以及设计实验电路;最后,需要确定实验的测试原理。

1.1 确定实验变量

通过对现有资料的查阅,可以发现空心电感线圈电感量主要与线圈的匝数N、线圈的直径D以及线圈的长径比(线圈长度l与线圈直径D的比值,i=L/D)i有关。因此,本实验中所研究的实验变量分别为线圈的匝数N、直径D以及长径比i。

1.2 选取实验方法

为分别研究上述3个变量对空心线圈电感量的变化规律,本文采用控制变量法。即保持其中两个变量不变,通过改变另一个变量的方式来研究此变量对空心线圈电感量的影响规律。

1.3 选用实验器材

由于线圈电感量不方便直接测量,所以本文通过间接测量线圈感抗的方式来计算线圈的电感量。因此,本实验所需要的器材如下:

(1)一个5V的交流电源,电源频率为100k Hz;

(2)一根横截面为4mm2,长度为3m的铜芯导线;

(3)一个量程为3V的电压表;

(4)一个量程为0.6A的电流表;

(5)阻值范围为0~50Ω的滑动变阻器一个;

(6)开关一个,导线若干。

1.4 设计实验电路

针对上述所选用的实验器材,本文所设计的实验电路图如图1所示。

1.5 阐述实验原理

影响空心线圈电感量的参数主要有线圈的匝数N、直径D以及长径比i,本文研究这3个参数分别对线圈电感量的影响规律,并推导出空心线圈电感量的计算公式,本文所设计的实验原理如下:

(1)依据控制变量法设定实验数值,即在研究某一参数对线圈电感量的影响规律时,保持另外两个参数不变,仅改变此参数的大小;

(2)用一根横截面为4mm2,长度为3m的铜芯导线按上述实验参数绕制出相应电感线圈,并将绕制成的电感线圈接入如图1所示的实验电路中;

(3)通过图1中的电压表以及电流表,计算出空心线圈的感抗,其计算过程如公式(1)所示。

式中:XL———空心线圈的感抗(Ω);

U———电压表的示数(V);

I———电流表的示数(A)。

(4)依据所得的感抗值进一步计算出线圈的电感量,其计算过程如公式(2)所示。

式中:L———空心线圈的电感量(H);

f———交流电源的频率(Hz)。

(5)分别绘制出电感量L随匝数N、直径D以及长径比i变化的关系曲线,并通过相应曲线得出匝数N、直径D以及长径比i与电感量L之间的函数关系式分别公式(3)所示。

(6)综合分析这3个参数与线圈电感量之间的函数关系式,并从中推导出空心线圈电感量的计算公式公式(4)所示。

2 实验分析与数据处理

采用控制变量法做三组实验分别分析线圈匝数N、直径D以及长径比i对线圈电感量的影响规律:

2.1 线圈匝数N

保持线圈的直径D为10mm,长径比i为10不变,令线圈匝数N在20~60圈的范围内变化,步长为5圈。根据上述数据绕制线圈,并将线圈接入电路中可以得到实验数据如表1所示。

以线圈匝数N为横坐标,电感量L为纵坐标将表1中实验数据描于网格图上,并以一条平滑的曲线将数据连接起来,如图2所示。

通过观察图2中的数据与曲线,可以发现本次试验结果接近一条二次曲线。这说明当线圈直径D与线圈长径比i保持不变时,线圈电感量L与线圈匝数N之间是一种二次函数关系,即L∝N2。因此,电感量L与线圈匝数N之间的函数关系式可以表述如下:

2.2 线圈直径D

保持线圈匝数N为15圈,长径比i为5不变,令线圈直径D在10~50mm的范围内变化,步长为5mm。根据上述数据绕制线圈,并将线圈接入电路中可以得到实验数据如表2所示。

以线圈直径D为横坐标,电感量L为纵坐标将表2中实验数据描于网格图上,并以一条平滑的曲线将数据连接起来,如图3所示。

通过观察图3中的数据与曲线,可以发现本次试验结果与一条通过零点的直线相接近。这说明当线圈匝数N与线圈长径比i保持不变时,线圈电感量L与线圈直径D之间是一种正比例函数关系,即L∝D。因此,电感量L与线圈匝数N之间的函数关系式可以表述如下:

2.3 长径比i

保持线圈匝数N为20圈,线圈直径D为10mm不变,令长径比i在1~10的范围内变化,步长为1。根据上述数据绕制线圈,并将线圈接入电路中可以得到实验数据如表3所示。

以线圈长径比i为横坐标,电感量L为纵坐标将表3中实验数据描于网格图上,并以一条平滑的曲线将数据连接起来,如图4所示。

式中:a、b———常数。

由公式(5)~(7)可以推导出,空心线圈电感量L的计算公式如下:

其中i=L/D,所以公式(8)可以进一步表述如下:

式中:l———线圈长度(mm)。

为确定公式(8)中常数a、b的具体数值,选取两个已知参数的标准空心线圈接入实验电路进行测量。为提高实验结果的准确性,采用多次测量取平均值的方法降低实验误差。两标准空心线圈参数如表4所示。

将两线圈分别接入电路进行多次测量,并取平均值得到结果如表5所示。

将表5中的测量平均值代入公式(9)中可以得到常数a、b的具体数值分别为a=0.47,b=0.0011。将常数a、b的数值代入公式(9)中可以进一步得到空心线圈电感量L的计算公式如下:

式中:N———线圈匝数;

l———线圈长度(mm);

D———线圈直径(mm)。

通过查找现有关于空心线圈电感量L计算公式的资料,可以发现现在对于空心线圈电感量L的计算有一个较为准确的经验公式如下:

式中:N’———线圈匝数;

l’———线圈长度(mm);

D’———线圈直径(mm)。

将本文所推导出的空心线圈电感量L的计算公式(10)与现有的空心线圈电感量L的经验公式(11)对比,可以发现本文所推导的公式与现行经验公式极为接近。这表明本文的推导过程具有较高的可信度,所得出的结论具有一定的理论价值。同时,本文所推导出的计算公式也反过来验证了现行经验公式的准确性。

3 结论

在本文推导空心线圈电感量L计算公式的过程中可以得到以下结论:

(1)当线圈直径D与线圈长径比i保持不变时,线圈电感量L与线圈匝数N之间是一种二次函数关系,即L∝N2;

(2)当线圈匝数N与线圈长径比i保持不变时,线圈电感量L与线圈直径D之间是一种正比例函数关系,即L∝D;

摘要：为准确计算空心线圈电感量,本文采用控制变量法的思路设计了一个实验,分别分析线圈匝数N,线圈直径D以及线圈长径比i对空心线圈电感量的影响规律,并在此基础上进一步推导并验证了空心线圈电感量计算公式。

关键词：线圈匝数,线圈直径,线圈长径比

参考文献

计算公式推导 篇4

教学目标：理解和掌握梯形面积公式，并能运用梯形的面积公式正确地计算梯形的面积。

通过实际操作，掌握梯形面积公式的推导过程，理解公式的来源。

教具准备：三个大小完全一样的梯形。

教学过程：

一、复习：

⒈平行四边形的面积公式是什么？

⒉三角形的面积公式是什么？它是通过怎样的转换推导出来的？为什么要÷2？

⒊求下列图形的面积（只列式）

⑴已知平行四边形的底3米，高2.4米，求面积。

⑵已知三角形的底2.5米，高0.8米，求它的面积。

二、新授

⒈问题导入。

左图是一个梯形。它的上底3厘米，下底5厘米，高是4厘米，想一想：你能依照求三角形面积的办法，把梯形也转化成已学过的图形，计算出它面积吗？

板书课题：梯形面积的计算

⒉指导操作实验，推导梯形面积公式。

⑴拿出两个完全相同的梯形看课本第80页图示，按照与三角形转化类似的方法旋转平移。

指导：①把两个完全相同的梯形重叠。②怎样旋转上面一个梯形？③再怎样移动？

按①重合②旋转③平移的步骤边设问、边操作，指名口述。

⑵观察分析。

A.拼成的是什么图形？这个图形的面积与原梯形的面积是什么关系？为什么有这种倍数关系存在？

B.深入比较：

①拼成的平行四边形的底跟原梯形的两底是什么关系？

②平行四边形的高与原梯形的高又是什么关系？

导出公式：

平行四边形的面积=底×高

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

⑶自我梳理：

①填写教材80页中横线上的内容。

②联系三角形的面积公式，分析理解：为什么两个公式都有一个÷2？

③全班齐记公式两遍，计算前面的问题，把计算过程填写在课本上。

⒊引导学生用字母公式表示梯形的面积公式。

S=(a+b)h÷2

三、巩固练习

⒈求梯形的面积：

①上底13米，下底15米，高4米。

②上底13分米，下底2.7米，高1.5米。

③上底25米，下底14.5米，与两底垂直的一腰10米。

⒉完成做一做中的二小题。

⒊练习十九第4题。

四、总结

⒈这节课又解决了什么新问题？

⒉梯形的面积公式是什么？与三角形比较，有什么共性？解题时要特别注意什么？

五、作业

练习十九第1、2、3题

多边形内角和公式的推导及应用 篇5

n边形的内角和公式：n边形的内角和＝（n－2）×180°.其中n为整数，n≥3.

一、n边形内角和公式推导方法

方法1：如图1，从一个顶点出发可以引出（n－3）条对角线，这样把多边形分割成了（n－2）个三角形，由图可知这（n－2）个三角形的内角的总和恰好是n边形的内角和，故而可得n边形的内角和为（n－2）×180°.

方法2：如图2，在多边形的内部任取一点G，和各个顶点连接，这样把多边形分割成了n个三角形.由图可知这n个三角形的内角的总和恰好比n边形的内角和多一个周角，故而可得n边形的内角和为n×180°－360°＝（n－2）×180°.

方法3：如图3，在多边形的边上任取一点G，和各个顶点连接，这样把多边形分割成了（n－1）个三角形.由图可知这（n－1）个三角形的内角的总和恰好比n边形的内角和多一个平角，故而可得n边形的内角和为（n－1）×180°－180°＝（n－2）×180°.

方法4：如图4，在多边形的外部任取一点G，和各个顶点连接，这样形成了n个三角形.由图可知这n个三角形的内角的总和比n边形的内角和多：①三角形AFG的内角和180°；②由五个三角形的一个角组成的和∠AGF；③∠GAF和∠AFG.而∠AGF＋∠GAF＋∠AFG＝180°，故而可得n边形的内角和为n×180°－180°－180°＝（n－2）×180°.

二、n边形内角和公式的应用

1.求n边形的边数.

例1若n边形的内角和是它外角和的2倍，则n等于.

解：由题意可知，（n－2）×180°＝2×360°，解得n＝6.

2.求特殊图形的各内角度数和.

例2如图5，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H.

分析：所求的8个角的度数通过作辅助线（如图6）很容易转化成求六边形的内角和.所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°.

求复杂图形的内角和，可以通过巧妙的转化成我们熟悉的基本图形，然后再求其内角和即可.

请同学们思考下面的一个问题，看谁说得又对又好.

把一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为2 880°，请问原来的多边形的边数是几.

这个问题中，多边形的边数有17、18、19三种可能，你答对了吗？你能想出其中的奥秘吗？

计算公式推导 篇6

但是目前我们专业所使用主要的计算软件为STAAD-PRO, 许多设计人员在进行结构建模时, 经常采用将板单元指定到梁柱连接的节点上而并不将板单元进行有效的网格划分, 致使加热炉顶部侧移量比实际情况小了很多并且板单元内部应力的分布与数值均与实际情况差距很大, 同时在SSDD检验当中, 板单元也没有直接的去被校核和判定。由此造成了加热炉抗侧刚度与实际值差距很大, 甚至有些时候超出了规范所规定的限值。为此急需要根据板单元在结构中所起的作用将其简化成可以利用STAAD-PRO进行判定的, 有效的杆系模型。

1 壁板抗侧刚度理论公式与软件计算结果比较

方箱式加热炉辐射段一般在设计时, 假设所有平行于壁板的水平荷载均由辐射段壁板承担, 所以该钢板宜假设为平面应力单元板, 而不承担竖向荷载, 且垂直于钢板平面的外部荷载应通过壁板上的加强筋直接传递给壁板周围的横梁和立柱, 钢板在其平面内产生弯曲变形和剪切变形。

利用理论简化公式与STAAD-PRO软件计算出的抗侧刚度, ANALYSE计算出来的抗侧刚度进行比较。

注:一般情况下横梁与立柱均为H型钢, 壁板加强筋为槽钢或者角钢;壁板厚度为5mm或者7mm, 以下规格采用壁板厚度均为5mm, 且全部假定为平面应力板。

示例

根据以上数据绘制下列图表

在传统的加热炉设计时, 一般情况下, 由横梁与立柱围成的壁板的高宽比介于1.2~2之间, 只需要在理论公式中添加一个置信系数来调整板的抗侧刚度, 以便于模型更好的贴近现实情况。

修正后的刚度计算公式为:K’=x*k

其中x为置信系数

K为理论公式

h/b在此区间内可以插值

2 弹性简化计算模型

虽然从上述情况可以得到壁板的抗侧刚度, 但是仍然无法满足模型简化的要求, 由于板所起到的作用类似于桁架的作用, 而且从板内部应力分布情况来看, 最大的应力出现在两个斜角线上。由此可知, 在忽略钢梁框架在平面内的转动的前提下, 将上图的模型简化成下图的所示“两斜杆和两竖杆”的计算模型, 且它们与横梁之间的连接均为铰接。

根据简化计算模型, 可得如下平衡方程组:

位移方程:

应力方程:

荷载方程:

式中:Δx-为水平方向的位移量;

Δx1-斜撑的应变量;

Δx2-竖杆的应变量;

θ-斜撑与水平方向的夹角;

K’-为修正后的钢板平面抗侧刚度;

F1, A1-为竖杆的内力和截面面积;

F2, A2-为斜撑的内力和截面面积;

E-为竖杆和斜撑的弹性模量。

联立公式可得:

由此可以看出, 在方箱加热炉辐射段建模式, 可以根据规划图将板单元直接简化成斜撑, 这样将复杂的问题进行了简化, 可以放在杆系结构计算较为方便的软件 (例如:STAAD-PRO软件) 进行计算。但是在建模时应将这些斜撑指定成二力杆, 并且在规范检验时, 不应考虑这些二力杆的平面内稳定和平面外稳定问题, 只考虑其强度问题。

3 实例检验

如图所示:

1) 立柱为HW300X300X10X15;

2) 顶部与底部横梁为

HM294X200X8X12;

3) 中间横梁为HW200X200X8X12;

4) 壁板厚度为δ=5mm。

解:

∵

1区尺寸3500x4500, 共计6个;

2区尺寸3000x4500, 共计2个;

3区尺寸3500x5000, 共计2个;

4区尺寸3000x5000, 共计1个;

∵

利用STAAD-PRO建模对比, 采用壁板结构并且进行网格划分后, 顶部最大位移为1.553mm, 且板单元最大米塞斯应力为7.3MPa;采用简化的斜撑, 顶部最大位移为2.133mm, 且斜撑内部最大应力为6.8MPa。

分析:顶部位移相差近0.6mm, 主要是因为简化过程中将板单元受力最为集中的受力的斜角线简化成了斜撑, 而对于其他地方的板所产生的抗侧效应并没有记入到斜撑中, 所以简化的斜撑的侧向位移会有所增加。

4 结论

STAAD-PRO在建模时, 如果不将板进行网格划分, 那么该软件计算出来的结构抗侧刚度将比实际情况大很多, 使得结构处于一种不安全的假设中;如果将网格划分, 虽然板的作用可以得到好的模拟, 然而该软件无法对板单元进行校核, 只能人为判断, 但是通过模型的简化可以得到更为直观的结果, 为广大的加热炉设计人员提供解决板单元主要受力问题的一种途径。

摘要：近年来, 随着三维结构设计软件的普及, 给结构设计带来了更为简单、更为直观的检测方法。但是对于带有壁板的加热炉辐射段框架来讲, 由于壁板在模型中的使用, 导致部分设计指标和参数不能很好的与实际情况相对应。本文章利用了钢板剪力墙抗侧刚度理论公式, STAAD-PRO软件钢板抗侧刚度和有限元软件计算的抗侧刚度进行比较, 从而对抗侧刚度理论公式进行修正, 得到较为认同的钢板弹性抗侧理论公式, 并对其抗侧理论公式进行了结构替代和简化。这样以来, 可以利用STAAD-PRO强大的杆系模型分析来模拟和检验加热炉辐射段壁板的强度问题。因此在工程设计中可以大大简化力学模型, 给设计者提供更为直观有效的检验结果。

关键词：加热炉,壁板,抗侧刚度,简化公式

参考文献

[1]王朝伟, 何福照, 等编著.板结构.北京:人民交通出版社出版发行.

[2]SH/T3070-2005.石油化工管式炉钢结构设计规范.

[3]API STD.560.Fired Heaters for General RefineryServices.

[4]孙训方, 胡增强, 等编著.材料力学.北京:高等教育出版社.

计算公式推导 篇7

首次施教

师:既然把圆柱形罐头侧面的商标纸剪开后, 总能得到长方形 (趁机贴出圆柱图及展开的长方形图) , 现在要求圆柱形罐头的侧面积就是要求谁的面积?

生:求长方形的面积。

师:那这个长方形的长和宽与圆柱有什么联系?怎样计算圆柱的侧面积呢?快拿出剪开的商标纸和圆柱来围一围, 以帮助我们思考。 (学生操作、思考。)

学生交流:长方形的长等于圆柱的底面周长, 宽等于圆柱的高, 圆柱的侧面积等于底面周长乘高。 (教师随学生回答点击课件, 出示结论。)

......

整个课堂沉闷、乏味, 缺失数学课堂应有的思维波澜和张力。在课后访谈中, 教师问学生:你们是怎么发现长方形长、宽与圆柱的联系的?大多数学生说:“书上有的, 我们在预习时就知道了。”教师愕然, 原来学生的“发现”是建立在“预习”的基础之上, 而非理解的基础之上。可见, 上述学习过程对学生的主动建构和思维发展并没有多大的促进作用。其原因在于:一是学生被教师牵着走, 学习与思考被动。教师步步为营, 为学生提供构建圆柱侧面积计算公式的一切铺垫, 学生只是顺着教师提供的思路亦步亦趋地探究, 浅尝辄止, 进行低效的“被动”建构。二是教师以抽象解释抽象, 感知模糊、肤浅。在沟通展开长方形的长、宽与圆柱的联系时, 学生的操作、观察等学习活动, 是以抽象来解释抽象, 缺少具体、有针对性的刺激, 感知不够深刻、体验不够丰厚、理解不够透彻。这不利于发展学生思维的主动性、深刻性。

改进教学

师:既然把圆柱形罐头侧面的商标纸剪开, 最后总能得到长方形 (同上) , 现在要求圆柱形罐头的侧面积就是要求谁的面积?

生:求长方形的面积。

师:长方形的面积大家都会算, 如果现在给你两个数据会求它的面积吗?

生 (以为是告诉长和宽) :会! (齐答)

师 (在圆柱图上标出圆柱的底面周长是3.14cm, 高是2 cm) :这个长方形的面积 (手指展开图) 是多少?

(大部分学生楞了一下, 开始思索, 个别已发现解答方法并开始举手。)

生:6.28 cm2

师:你是怎么算的?

生:3.14×2=6.28cm2

师 (故作惊讶) :我不太明白, 长方形的面积应该用“长×宽”来计算, 怎么可以用这两个条件来算呢? (手指底面周长和高) 能解释清楚吗?

生 (有点高兴、激动) :我发现长方形的长等于圆柱的底面周长, 宽等于圆柱的高 (边说边演示) 。所以长方形的面积就等于底面周长乘高, 也就是圆柱的侧面积等于底面周长乘高。

师:大家听清楚、看明白了吗?谁也能和那位同学一样来解释一遍?

生: (略)

师:用剪开的商标纸围一围, 看是不是这回事?

(学生操作验证) ……

上述教学中, 修改的关键之处在于直接给出了圆柱底面周长和高的两个数据, 却得到惊喜的教学变化:一是引发冲突, 激发求知欲。表面看两个数据似乎与长方形面积的计算没有直接联系, 却已将“沟通展开长方形长、宽与圆柱的联系”包含进去, 承载了一定的思维容量。给学生造成强烈的刺激, 引发认知冲突, 诱使学生主动去探究、发现两者的联系。二是依托探究媒介, 以具体解释抽象。小学生的思维还处于形象向抽象过渡阶段, 精选的两个数据为学生观察、思考、表述两者间的抽象联系提供了媒介。三是深刻感知, 自主建构。在出示数据初, 一些学生遇到了认知困难, 教师在及时介入时以装糊涂的形式陪着学生走, 让学生自主探索, 自己想出办法让别人看懂、听明白, 促使他们在深刻感知后水到渠成地构建圆柱侧面积计算公式。

课后反思

两个精心设计的数据缘何能引发学生的学习由“被动”向“主动”嬗变?阿基米德所说“给我一个支点, 我将撬动整个地球”的名言能给予我们启发:在教学中, 只要找到一个支点, 也能四两拨千斤, 推动数学学习由“被动”变“主动”, 走向高效。这个支点就是新知识逻辑发展和学生思维发展的契合处。找到它的前提是把握数学知识与学生思维的本质, 用好它的关键是在此支点上巧妙地创设体验活动。

一、让“支点”植根于数学知识本质

让“支点”植根于数学知识本质需要教师透彻理解数学知识的本质, 这是教学中促进学生学习由“被动”变“主动”的前提。只有理解透彻了, 才能用学生最易理解的语言、最有效的方式来描述数学知识, 设计学习活动。实践中, 关键要准确把握知识的“源”与“流”。“源”就是知识的源头, 这个知识从哪里来, 现在处在什么位置。把握“源”才能依据教学目标来还原新知识“再创造”的最佳路径。“流”就是新知识要“流向”哪里, 它有哪些后续价值。把握“流”才能掌握好难度来恰到好处地凸显新知识的价值。这样, 才能准确地引导学生去主动探求新知识的本质及相关知识间的内在联系, 构建合理的认知结构。改进的教学中, “3.14与2”这两个数据就是在“沟通展开长方形的长、宽与圆柱的联系”的本质上应运而生的。

二、让“支点”扣准学生思维本质

影响学生主动学习的一个重要原因是教师把握不准学生的思维本质, 习惯以自己的经验、理解这一定势来想当然地替代学生的经验、思维过程。让“支点”扣准学生思维的本质, 关键是教师应站在与“学生思维相似”的视角来分析问题, 能清楚地了解学生学习新知时的已有知识与经验, 精确地判断他们在学习中会遇到的困难及面对困难可能有的种种想法, 从而准确定位并创设促进学生思维、情感发展的学习路径, 使学生的已有认知与所学新知、当前思维水平与可能达到的思维水平产生交融共鸣, 这是学生积极、主动建构的保证。改进的教学中, 以“3.14和2”这两个与圆柱相关的数据来计算展开长方形的面积, 恰好符合小学生以具体解释抽象的思维过渡性特点, 有一定思维容量的计算探究又激发了学生的求知欲。

三、在“支点”上创设体验活动

重视数学公式、定理的推导过程 篇8

一、让学生体验数学公式、定理的推导过程, 是学生理解这些公式、定理的前提

著名数学家华罗庚说过:“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料, 不要只看书上的结论。”这就是说, 对探索结论过程的数学思想方法学习, 其重要性决不亚于结论本身。其实, 很多教师都忽略了一个最重要的问题:数学公式、定理是解题的工具, 能正确理解和使用公式、定理, 是学好数学的基础。有的教师在平时教学中, 常常为了节省教学时间, 把公式、定理的推导过程省略掉, 有时虽有展示公式、定理的来源, 但还是以教师的讲授为主, 学生没有真正参与公式、定理发现的全过程。所以, 从表面上看似乎是节省时间, 但这种形式的教学往往使学生的头脑中留下只有公式、定理的外壳, 忽略了他们的因果关系, 不清楚他们使用的条件和范围, 当需要使用公式时总是不能记住, 如果能记住也不懂使用。

多元智能理论要求学生不是盲目接受和被动记忆课本的或教师传授的知识, 而是主动自我探索, 将学习过程变成自己积极参与的建构知识的过程。学生能够灵活运用数学公式、定理是理解这些公式、定理的前提;而理解这些公式、定理就需要学生亲身体验公式、定理的推导过程, 只有在这个过程中, 学生才明白它们的来龙去脉、运用的条件和范围。

二、重视数学公式、定理的推导过程, 让学生在推导过程中使用这些解题工具

数学公式、定理、定律等结论是通过观察和分析, 归纳和类比法等方法得出猜想, 然后寻求合乎逻辑的证明;或者从理论推导出发得出结论。因此, 在公式、定理、定律等的教学中要引导学生积极参与这些结论的探索发现的推导过程, 不断在数学思想方法指导下, 找出每个结论因果关系, 让学生经历创造性思维活动, 并引导学生总结得出结论。

以前在教导完全平方公式 (a±b) 2=a2±2ab+b2的时候, 为了节省时间, 直接把结论告诉学生, 认为他们会用就行了。让学生背熟公式后只要通大量的练习学生一定会掌握公式。但事实上还有很多学生由于不理解公式形成过程, 只是把公式的的外形记住了, 到用起来的时候, 不是漏了2ab, 就是错写b2的符号。于是在我所教的两个班当中做了一个这样的实验, 一个班继续是直接给公式, 让他们背熟后直接做题。一个班让他们亲自动手推到公式。

先从几何意义出发, 采用小组自主探究的学习方式, 让学生准备一个大正方型、一个小正方形和两个以大正方形的边长为长小正方形的边长为宽的长方形让他们利用手头上的图形去拼一个大正方形。通过拼图的方法, 使学生在动手的过程中发现律。

以小组为单位用手上已有的四个图形拼成一个正方形, 并观察图形回答下列问题:

(1) 整体看:求总面积_________

(2) 部分看:求四块面积和_________

(3) 结论 (a+b) 2=a2+2ab+b2

总面积由有四部分组成:两个大小不同的正方形和两个长方形。正方形的面积分别是a2和b2, 两个长方形的面积就是2ab是整个面积的重要组成部分, 学生通过拼图的方法加深了对公式中2ab的理解, 有效防止日后漏掉2ab的情况。

在学生探究出 (a+b) 2=a2+2ab+b2的基础上, 提问:你能用多项式乘法法则说明理由吗?让学生运用多项式乘以多项式的法则推导完全平方公式: (a+b) (a+b) =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2并说出每一步运算的依据, 加以论证完全平方公式。运用多项式乘以多项式法则的计算过程让学生再次感受2ab的存在。从代数、几何两个方面证明公式, 让学生充分了解公式的形成过程加深学生对公式的印象, 也加强了公式的可信度。而且让学生知道猜想的结论必须要加以验证。让学生体会了数形结合及转化的数学思想。

再让学生观察特征, 熟记公式熟。让学生用语言叙述完全平方公式。鼓励学生自主探究这个公式的结构特征: (1) 公式展开是三项; (2) 两个平方项同正; (3) 中间符号前后要一致。让学生弄清楚公式的来龙去脉, 我设计了这样四道判断题, 让学生对对公式结构由一个更深的理解。

(1) (a+b) 2=a2+b2 ()

(2) (a-b) 2=a2-2ab-b2 ()

(3) (a+b) 2=a2+ab+b2 ()

(4) (2a-1) 2=2a2-2a+1 ()

通过第一道判断题四小题让学生深刻认识公式的结构特征 (第一道题让学生掌握公式一定有三项不要漏写2ab, 第二道题让学生掌握平方项为正, 第三道题让学生知道不要漏写2ab中的2, 第四道题让学生知道公式中的a不止是一个字母还可以是一个式子, 当a是一个式子时一定要加括号。

最后通过填下表的形式, 组织学生展开讨论, 由表格再次巩固公式的结构特征:首尾平方总得正, 中间符合看首尾项的积, 同号得正, 异号得负, 中间的两倍记牢, 进而总结步骤为:

(一) 确定首尾平方和符号; (二) 确定中间项的系数和符号, 得出结论。

上完新课后我让两个班一连五天进行小测, 统计运用公式的出错率

发现第一天新学两个班出错率差不多, 但是日子越长学习的公式越来越多时, 背公式班公式出错率又变大, 特别是中下生他们没有体会到公式的产生过程只是简单记住公式的外形日子越久记忆越模糊, 所以出错率又越来越高。相反经过了公式推导的班, 体会到公式的内涵, 日子越久对公式的理解越来越清晰, 所以出错率越来越低。

通过一段时间的尝试, 我们发现学生对数学公式、定理的掌握不只是停留在记得的层面上, 他们都能理解其内涵。通过这样的体验学习, 学生的学习成绩有了显著的提高, 学生对数学的兴趣更浓了, 学生的学习积极性也更高了。

康普顿散射公式的理论推导 篇9

就康普顿散射实验而论, 碰撞后电子的运动速度一般都远小于光速 (V<<c) , 因而, 电子质量的相对论效应十分有限, 所以我们完全可以近似地忽略电子质量的相对论效应, 这样一来, 把碰撞后电子的质量用静止质量m0代入, 根据动量、及广义时空相对论的能量, 并利用电子和光子的能量守恒定律和动量守恒定律, 就可以严格地导出康普顿散射实验的理论结果。为了清晰地讨论这个问题, 我们先介绍康普顿散射实验结果及其实验公式。

一、康普顿散射现象的实验公式

(一) 康普顿散射的经典实验。

康普顿研究了X射线经物质散射的实验, 进一步证实了爱因斯坦的光子概念。散射实验如图1所示:康普顿发现, 在散射光中除了有与入射光波长λ0相同的射线之外, 同时还出现一种波长λ>λ0的射线。这种改变波长的散射被称为康普顿效应。

我国物理学家吴有训在与康普顿共同研究中还发现:第一, 波长的偏移Δλ=λ-λ0随散射角φ而异;当散射角增大时, 波长的偏移也随之增加, 而且随着散射角的增大, 原波长的谱线的强度增大。第二, 在同一散射角下, 对所有散射物质, 波长的偏移Δλ都相同, 但原波长的谱线强度随散射物质的原子序数的增大而增加, 新波长的谱线强度随之减小。

(二) 康普顿散射的光量子理论解释。

传统的“光波理论”根本无法解释康普顿散射现象。于是, 人们转而用光的量子理论来加以解释。康普顿效应是光子和自由电子做弹性碰撞的结果。其具体解释如下:若光子和外层电子相碰撞, 光子有一部分能量传给电子, 散射光子的能量减少, 于是散射光的波长大于入射光的波长;若光子和束缚很紧的内层电子相碰撞, 光子与整个原子交换能量, 由于光子质量远小于原子质量, 根据碰撞理论, 碰撞前后光子能量几乎不变, 波长不变;因为碰撞中交换的能量与碰撞角度有关, 所以波长改变与散射角度有关。

(三) 康普顿散射的定量分析。

按着光子理论弹性碰撞的观点, 则有:

m0是电子的绝对静止质量, m是电子和光子碰撞后的电子质量, 矢量是碰撞后电子的相对速度矢量, 而V就是碰撞后电子的相对速度。经推导和整理, 最后得到:

其中的λc=h/ (m0c) =2.43×10-10 (cm) 是电子的康普顿波长, 或写成:

此式说明:波长改变与散射物质无关, 仅决定于散射角, 且波长改变随散射角增大而增加。计算的理论值与实验较好符合。

二、传统教科书对康普顿散射公式的理论推导

按着经典教科书的解释, 电磁辐射通过物质被散射的辐射应与入射辐射具有相同的波长, 这是由于入射辐射使物质中原子核外的电子受到一个周期性的力而以入射波的频率振荡, 进而由于振荡发射同频率的电磁波。但在康普顿散射实验中, 被散射的X射线, 除了与入射波相同波长的成分外, 还有波长增长的部分。而增长的数量随散射角φ的不同而不同, 这是经典电磁理论解释不了的现象。康普顿用“光的量子说”给出圆满的解释, 因而被称为“康普顿效应”。

(一) 光子理论的量子解释。

康普顿假定, X射线由光子组成, 光子的波长和动量满足于爱因斯坦于1905年提出的E=hν和1917年提出的p=h/λ两个假定。波长为λ的光子与原子中质量为m0的静止自由电子碰撞后, 再同入射方向成φ角方向散射, 散射波长为λ' (如图4所示) 。

(二) 用光量子理论对康普顿散射实验结果的推导。

考虑到这个体系的能量和动量均守恒并注意到矢量合成法则, 故有:

这里用me代表碰撞后电子的质量。假设电子以接近光的速度运动, 所以我们需要利用电子质量和动量的相对论关系式, 即:

称为电子的静止能量。这就是著名的“爱因斯坦质-能关系式”。

总能量Ee=mec2和静止能量E0之差, 为电子的动能EK, 即:

因为β<<1, 上式可以按幂级数展开为:

这就是经典力学“动能-动量关系式”。显然, 问题又回到经典的牛顿力学中。

由此归纳出质量为me的电子, 在相对论意义上的静止能量以及能量-动量关系, 即:

为了方面理解, 我们把 (11) 式两端拆分成三个步骤加以推导。其中,

第一步, (11) 式的左端为:

第二步, (11) 式右端的第一项, 按着余弦定理展开为:

第三步, (11) 式右端的两项之和为:

再回到等式 (11) 中, 则有:

把上式化简后得出:

整理等式 (12) 的两端, 则有:

由于λ=c/ν, 将上式中最后一个式子两边同时乘以c, 得出:

利用三角函数的半角公式, 则上式可以改写成:

的确, 这个理论结果与康普顿散射的实验公式完全一致。于是, 传统的教科书立刻得出结论:“上述理论结果与实验相符, 故康普顿散射有力地支持了光的粒子性和狭义相对论”。其实, 传统教科书的讨论, 尽管在 (6) 式中引入了爱因斯坦的“质-能关系式”, 但是经过 (8) 和 (9) 式的简化处理之后, 在客观上, 等于完全忽略了电子质量的“相对论效应”。以此为基础得出的理论结果只能说明:狭义相对论质-能关系在理论推导中并没有起作用。因此, 并不能从这一点上说明“康普顿散射支持了狭义相对论”, 而充其量只能说明“康普顿散射支持了光的量子性”。

顺便指出:狭义相对论根据四度速度的平方的定义得出, 并证明pi的三个空间分量就是动量, 而它的第4个分量 (时间分量) 为p4=i·E/c, 即。由此, 爱因斯坦得出微观物体的总能量E2=p2c2+m2c4。在广义时空相对论中, 同样导出了H2=p2c2+m2c4, 其中的H和E具有相同的物理意义, p也是粒子动量的绝对值。当粒子的绝对速度v<<c时, 其相对速度V将和绝对速度v趋于一致, 于是则有H=E=mc2+p2/2m。这就是经典力学的“能量-动量关系式”。

事实上, 我国科技工作者季灏先生通过“关于电子Lorentz力和能量测量的实验”指出:“电子的能量和动量满足经典力学的动量和能量定义”。其中, 图5就是经典力学和狭义相对论关于“电子动量-动能关系的理论曲线”, 而图6则是从另一个侧面上间接地反映出“实验值与理论值的比较”。

在传统教科书中, 所有关于康普顿散射的理论推导, 都是用狭义相对论的横向质量公式, 即来推导。为此, 我们这里必须严肃地指出:电子在相对论意义上的横向质量和光子的入射方向是垂直的, 在康普顿散射中, 只有电子的纵向质量和速度的乘积, 才能满足光子与电子弹性碰撞的动量守恒定律。因此说, 用电子的横向质量来讨论它的动量公式的做法本身就不正确。

早在1948年6月19日, 爱因斯坦在给Barnet的信中就已经坦率地承认:“运动物体的质量是不正确的, 因为对m没有给出明确的定义”。所以说, 在传统的教科书中, 使用电子横向质量表达式来计算康普顿散射公式的做法是错误的。由此可见, 经典教科书的讨论结果, 只能证明“光波”本身的“量子性”, 而与爱因斯坦狭义相对论的“质-能关系式”正确与否毫不相关。

三、广义时空相对论对康普顿散射公式的理论推导

因为λ=c/ν, 所以碰撞结果造成以及Δλ=λ'-λ=cΔν/νν'。用m0表示电子的静止质量, 根据能量守恒定律和动量守恒定律, 利用广义时空相对论的“质量-能量关系式”, 以及“动量关系式”写出能量守恒定律:

动量守恒定律:

以下的讨论, 我们将继续使用电子的静止质量 (m0) 来代表碰撞后电子所具有的质量, 其目的是为了验证碰撞速度对散射角的影响究竟有多大?进而从另一个侧面上来验证电子质量的相对论效应是否存在?如果有影响, 则电子质量的相对论效应存在;如果没有任何影响, 则说明:在康普顿散射实验中根本不存在电子质量的“相对论效应”这一问题。其实, 季灏先生的实验已经清楚地证明:“在极高速度运动状态下, 电子的动能和动量关系依然服从经典力学理论”, “狭义相对论并不正确”。

考虑到光速不变原理, 那么, 光子在碰撞前与碰撞后具有的动量将分别地变为:

按着广义时空相对论, 粒子的各种力学量只能与它的绝对速度 (v) 有关, 所以将 (14) 式改写成:

进而得出:

整理上式得出:

再将 (16) 式移项后平方, 得出:

进一步整理后得出:

注意到 (21) 和 (22) 式的左端完全相同, 所以它们的右端必定相等, 故有:

将上式左端的中括号打开, 并整理后得出:

显然, 在上述讨论中, 并没有利用到相对论给出的动量-能量关系式。

进一步整理, 把 (24) 式两边同除以νν', 得出:

用h=6.6253×10-27 (erg.s) , c=2.99793×1010 (cm/s) , m0=9.108×10-28 (g) 代入上式, 则有:

这一理论结果与康普顿散射的实验公式精确地一致。

在上述讨论中, 我们并没有使用能量和动量之间任何形式的关系式, 而是直接用广义时空相对论的质能关系式, 根据能量和动量守恒定律, 照样从理论上严格地导出康普顿散射的实验结果。这说明, 从康普顿散射实验出发, 并不能证明狭义相对论的质能关系式正确与否?而只能证明:广义时空相对论的质-能关系式是完全正确的。

四、结语

总而言之, 仅仅通过康普顿散射实验不能证明爱因斯坦狭义相对论的质能关系式正确与否, 只能证明光子本身具有粒子性, 进而证明光的量子理论是正确的。传统教科书中利用康普顿散射实验来验证爱因斯坦质能关系式的做法存在着两个方面的错误:一是在简化处理的过程中, 把电子运动的相对论效应已经简化得荡然无存了;二是电子运动横向质量表达式与康普顿效应毫不相关, 只有电子的纵向质量表达式才有关, 传统的教科书正是用电子横向质量的相对论效应来讨论康普顿散射实验, 这是毫无道理的。事实证明, 用广义时空相对论的质能关系式, 且不考虑电子质量的相对论效应, 反而能够完全正确地导出康普顿散射实验公式, 这就有力地证明, 广义时空相对论的质-能关系是完全正确的。

摘要：本文从介绍康普顿实验结果入手, 分别讨论了康普顿散射的实验结果, 以及经典教科书关于康普顿散射实验结果的理论推导。并指出, 在经典的理论推导中, 错误地利用了光子运动的横向相对论质量。事实上, 在简化处理动量和能量的关系式中, 已经彻底丢失了电子运动质量的相对论效应。因此说, 这个理论结果并不能证明爱因斯坦质能关系式正确与否。从而纠正了经典教科书中的错误做法, 利用广义时空相对论的质能关系式, 精确地导出了康普顿散射公式的实验结果, 从而间接证明广义时空相对论的质能关系式本身的正确性。

关键词：广义时空相对论,康普顿散射,光子的横质量,光子的纵质量,光的量子理论,光的波动理论

参考文献

[1] .[苏]Л.Д.朗道, Е.М.栗弗席兹著;任朗, 袁炳南译.场论[M].北京:人民出版社, 1958, 8

[2] .夏烆光.广义时空相对论及其应用概述[J].产业与科技论坛, 2014

[3] .百度文库.http://wenku.baidu.com/;大学课件-道客巴巴-在线分享平台.http://www.doc88.com/

[4] .吴思诚, 王祖铨.近代物理实验[M].北京:高等教育出版社, 2005

[5] .肖忠模, 王廷江等主编.大学物理[M].北京:经济日报社, 2004

[6] .夏烆光.广义时空相对论[M].北京:人民交通出版社, 2003

[7] .季灏.关于电子Lorentz力和能量测量的实验[J].中国工程科学, 2006

计算公式推导 篇10

一、长方形和正方形的面积公式推导教学，数方格可以强化学生对面积的认识，感悟面积是面积单位平铺度量出来的结果

在长方形面积计算公式推导教学时，首先给出一个5 cm×3 cm的长方形，让学生估计面积，然后引导学生用边长1 cm的正方形纸片（面积单位）来摆一摆。这个长方形中可以摆几个面积单位，面积就是几。于是就呈现（如右图）每个方格的面积为1 cm2的长方形，让学生去通过数方格（面积单位）得到：长方形的长边有5个面积单位，宽边有3个面积单位，面积单位总数为5×3=15（个）。接着让学生用12个面积为1 cm2的小正方形去拼出不同的长方形，画出示意图（如下图）

再观察并数出长边摆的个数和宽边摆的个数，发现：长方形的面积=长边所摆面积单位的个数（即每行的面积单位数）×宽边所摆面积单位的个数（即行数），同时发现：每行的面积单位数正好是长方形长刻度数，行数正好是宽的刻度数，长方形的面积=长的刻度数×宽的刻度数=长×宽。作者在长方形面积计算公式推导教学过程中，是将面积转化为方格，让学生理解面积的计算就是计算面积单位的数量，而数方格的过程就是学生主动探索，发现长和宽与面积单位数之间联系的过程。

二、平行四边形面积公式推导教学中，让学生在数方格的过程中感悟转化的思想

在平行四边形的面积公式推导教学中，教学瓶颈和学生的困惑是：为什么把平行四边形转化为长方形？是怎么想到把平行四边形转化为长方形的呢？这也是平行四边形面积公式推导有别于长方形面积公式推导之处。教材是通过让学生数一数的方法，数出画在方格中（且注明：一个方格代表1 cm2，不满一格按半格计算）的平行四边形与一个长方形（底和长相等、高与宽相等）的面积来体验平行四边形与长方形的底和长相等、高与宽相等，面积相等，体验平行四边形可以通过剪拼转化成与之面积相等的长方形来计算面积，得出平行四边形面积计算公式。但作者认为，这样数没有真正地让学生体验到转化的思想，并且为了学生能数出面积，教材还特意注明“一个方格代表1 cm2，不满一格按半格计算”，这显然不能解决学生的困惑和教学的瓶颈，也没有真正地发挥数方格的价值。作者认为，数方格的过程是要让学生在数的过程中，去感悟“剪一剪、拼一拼”将不能直接用标准面积单位度量的图形，能准确地得到它的面积，其方法是“转化”。为实现这样的目标，可以这样展开。

环节一：估测面积引入。在引入环节中老师先拿出一个平行四边形纸片，让学生摸一摸它的面积，然后让学生估一估它的面积大约是多少。

环节二：引出数方格。为了验证谁估测的比较准确，让学生思考：有什么办法可以准确地知道这个平行四边形的面积？有学生就说测量底和邻边长度，并且将它们相乘，有学生说用方格去摆。老师就顺势把这个平行四边形画在了方格纸上，并且告诉学生“每一个方格是面积为1 cm2”的正方形。学生独立地在方格纸操作，老师提出操作要求：请在方格纸上把你数的过程清楚地表示出来，做到让人一目了然。

环节三：学生操作，反馈交流。当学生有了自己的方法与答案之后，我们展开交流，发现数方格的效果凸显出来了。

学生除了先得到满格20个以后，还可发现：20个半、21个半……得到24以外，大部分学生用了转化的方法，如图1用了左右不满格去拼成一个满格。图2和图3学生用了整体剪拼、转化而成，得到面积为24 cm2。图2的学生从中已经发现转化后是长方形，用了长乘宽即底乘高的方法计算得到。

以上的教学中我们得到：让学生数方格，不仅仅是让其数出结果，更重要的是让学生在数的过程中，体验和感悟到平行四边形可以转化成长方形，自己发现。当有了图2中学生的引领，大部分学生的头脑开窍了，知道“只要算出拼成的长方形面积就可以知道平行四边形的面积了”。老师借势让学生再思考：是不是任意一个平行四边形都可以这样剪下来拼过去转化为长方形呢？是不是都可以通过所拼成的长方形面积的计算得到平行四边形的面积呢？

可见，通过数方格学生已经发现了平行四边形似乎可以通过剪拼转化成长方形，而且可以通过所拼成的长方形面积的计算得到平行四边形的面积。在后续的学习中只要通过操作验证任意一个平行四边形只要沿高剪就能拼成长方形或正方形，并且寻找所拼成长方形与平行四边形之间的相等关系，就可得出：平行四边形面积=底×高。

以上教学说明：学生的转化思想缘于直观的数方格，他们想把方格补完整的同时实施了这种朴素的转化方法。因此，在平行四边形的面积公式推导教学中，我们教师的教学落脚点应该是让学生在数方格中经历方格割补凑整到图形割补转化的递进，以此实现书本知识与学生经验无缝对接。

三、三角形和梯形面积公式推导教学，数方格让学生拓展思维，建立空间联系，感悟殊途同归的同化思想

在学习完平行四边形面积公式推导后，教材在三角形和平行四边形的面积公式推导过程中没有编写用方格，而是让学生通过用两个完全一样的三角形或梯形来拼成平行四边形来实现。如果从学生的角度想一想，学生是怎样知道两个完全一样的三角形或梯形可以拼成一个平行四边形的呢？学生基本上很难想到。

作者认为，要借助于数方格，让学生充分利用方格的直观感知来悟出其中的奥秘。三角形面积公式的推导可迁移平行四边形的剪拼法，但同时又有属于它自己的转化方法，即加拼法，而加拼法需要更多的空间想象能力。因此，三角形面积公式推导教学要在这一点上有所凸现。如，在进行三角形面积的教学时，教师先提供给学生一个有方格（每个方格边长1 cm）支撑的平行四边形（图4），算一算平行四边形的面积，紧接着让学生再思考“从图中，你还能知道哪个图形的面积吗？”有的学生稍加思索，顿时想到了三角形的面积是12 cm2。方法就是通过用对角线将平行四边形分成两个完全一样的三角形（图5），感悟到这两个三角形的面积相等且等于等底、等高的平行四边形面积的一半。同时也朦胧地悟到两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。在此基础上，老师再次呈现带有方格的三角形（图6），让学生继续探究，培养了学生个性化的且多样化的转化思路。

有了这样的经验，我们在教学梯形的面积公式推导时，可以更大胆地去运用方格。让学生的聪明与才智得以充分的发挥，形成多角度地探索与发现梯形的面积计算方法，让学生的智慧得以施展（如图10～13）。

数方格让学生能够想得清楚，并且由此衍生出多种转化方法。使图形与图形之间的转换关系，直观地呈现在学生的面前，“两个完全一样的三角形或梯形可以拼成一个平行四边形”这时加拼法的出现是那么的自然，又符合学生思维特征，面积在方格里学生更容易产生转化的想法，蕴含了多种转化的思想，使学生真正地去体验与探索知识的真谛，知其然而知其所以然。数方格的作用在这时体现得淋漓尽致。

四、圆面积公式推导教学，数方格引发学生联想，突破方圆，领悟化曲为直的解决问题原理

圆作为曲线图形，好像与数方格关系有点远，有点牵强。其实不然，我们完全可以用同样的思维方式，将其置于方格中，通过数圆的四分之一所占的方格数推算出圆的面积，如（图14）。并且可以对圆面积与小正方形（半径的平方）的倍数有一个猜测，从而产生圆面积=半径的平方×3倍多一些的猜想，与实际操作推导公式相呼应。

然后引导学生：能不能将圆形转化成我们会算面积的图形？为学生提供8个八分之一圆，如图15摆放，组织学生操作，以此类推，得出下面的过程。通过观察所拼成的长方形（平行四边形）的关系，验证数方格得出的圆面积=半径的平方×3倍多一些，并明确“3倍多一些”具体的值为“圆周率”。

总之，数方格在平面图形面积公式推导教学中既可以作为一种基本的计量面积方法，又可以在数方格中体现转化的策略，很自然地帮助学生建立转化方法和公式的猜想，在学生操作验证后还可以作为典型例子，进行关系的梳理和公式推导的回顾和总结。但数方格也不是没有缺陷的，很多时候必须要特定的形状，特定的摆法，才能适合学生操作。但这并不影响数方格对平面图形面积公式推导教学的作用。教学中教师可以用特殊例子来发现问题，用一般图形来操作验证，最后回到典型例子梳理推导过程和图形之间的关系。

计算公式推导 篇11

复合地基 (compositeground, composite foundation, composite subgrade) 是指天然地基在地基处理过程中部分土体得到增强或被置换, 或在天然地基中设置加筋材料, 加固区由基体 (天然地基土体或被改良的天然地基土体) 和增强体两部分组成的人工地基。上部结构的荷载由基体和增强体共同承担。

1 稳定分析

稳定分析的方法很多, 一般可采用圆弧分析法计算。圆弧分析法计算原理, 如图1所示。在圆弧分析法中, 假设地基土的滑动面呈圆弧形。在圆弧滑动面上, 总剪切力记为T, 总抗剪力记为S, 则沿该圆弧滑动面发生滑动破坏的安全系数K为:

K=S/T (1)

取不同的圆弧滑动面可得到不同的安全系数值, 通过试算可以找到最危险的圆弧滑动面, 并可确定最小的安全系数值。通过圆弧分析法即可根据要求的安全系数计算地基承载力, 也可按确定的荷载计算地基在该荷载作用下的安全系数。

在圆弧分析法计算中, 假设的圆弧滑动面往往经过加固区和未加固区。地基的强度应分区计算。加固区和未加固区土体应采用不同的强度指标。未加固区采用天然土体强度指标, 加固区土体强度指标可采用复合土体综合强度指标, 也可分别采用桩体和桩间土的强度指标计算。若采用复合土体综合强度指标, 可以应用下面两式计算。

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2 问题的提出

复合地基的设计计算通常包括确定地基承载

力, 沉降计算以及稳定性分析。其中, 稳定性分析用到瑞典条分法。若各种柔性桩用于改善天然地基整体稳定性时, 可利用复合地基的抗剪特性, 再使用圆弧滑动法来进行计算。

如图2所示, 假定在复合地基中某深度处剪切面与水平面的交角为θ, 如果考虑柔性桩和桩间土两者都发挥抗剪强度, 则可得出复合地基的抗剪强度τsp。

τsp= (1-m) c+m (μpp+γpz) tanφp·cos2θ (4)

式中:c——桩间土的粘聚力 (kPa) ;

z——自地表面起算的计算深度 (m) ;

γp——柔性桩材料的重度 (kN/m3) ;

φp——柔性桩材料的内摩擦角 (°) ;

μp——应力集中系数, undefined;

m——面积置换率。

如不考虑荷载产生的固结对粘聚力提高的影响时, 则可用天然地基粘聚力c0。如考虑作用于粘性土上的荷载产生固结, 则可计算粘聚力的提高。

c=c0+μspU·tanφcu (5)

式中:U——固结度;

φcu——桩间土固结不排水抗剪强度;

μs——应力降低系数, undefined。

若Δc=μspU·tanφcu, 则强度增长率:

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Priebe (1978) 所提出的方法, 采用了φsp和csp的复合值, 并由下式求得:

tanφsp=ωtanφp+ (1-ω) tanφs (7)

csp= (1-ω) cs (8)

式中, ω为与桩土应力比n和面积置换率m有关的参数, ω=mμ;一般ω=0.4～0.6。

目前, 国内一些学者认为, 复合土体综合强度指标可采用面积比法计算。复合土体粘聚力csp和内摩擦角φsp可用下述两式表示:

csp= (1-m) cs+mcp (9)

tanφsp= (1-m) tanφs+mtanφp (10)

如已知φsp和csp的值后, 可用常规稳定分析方法计算抗滑安全系数;或者根据要求的安全系数, 反求需要的ω和m。

以上为复合地基稳定分析的整个思路和全部过程, 其中 (4) 式为复合地基抗剪强度的表达式, 它是稳定分析的基本出发点。计算稳定安全系数时, 需要用到 (7) 、 (8) 或者 (9) 、 (10) 式。上课过程中, 学生经常问到式 (4) 是怎么来的, 感到不可理解, 下面予以解释。

3 问题解答

式 (4) 等号右边第一项为桩间土对抗剪强度的贡献, 学生的疑惑在第二项, 为什么会出现cos2θ, 以图3来说明。

取地基表面下z深度处的a-a截面, 在该截面处, 桩体的自重应力为zrp, 作用于桩顶的应力为μpp, 则在a-a截面处, 总应力为:

pz=γpz+μpp (11)

a-a截面处, 总荷载为:

Pz=A (γpz+μpp) (12)

总荷载Pz在垂直于a-a截面方向上的分力为:

Pzn=A (γpz+μpp) cosθ (13)

则Pzn在a-a截面上产生的抗剪切力为:

Tp=A (γpz+μpp) cosθ·tanφp (14)

则在a-a截面上产生的抗剪强度为:

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结合式 (15) 和桩间土的贡献, 于是式 (4) 得到证明。

摘要：复合地基稳定性分析中, 对于复合地基的抗剪强度公式, 许多教材中只是给出了公式, 没有做详细的说明。在课堂教授过程中, 学生常常对此提出疑问。就此问题给出了解释, 希望能帮助大家理解这个公式的意义。

关键词：复合地基,抗剪强度,稳定分析

参考文献

[1]叶书麟, 叶观宝.地基处理 (第2版) [M].上海:同济大学出版社, 2004.

[2]郑俊杰.地基处理技术[M].武汉:华中科技大学出版社, 2004.

[3]龚晓南.复合地基理论及工程应用[M].北京:中国建筑工业出版社, 2002.

[4]龚晓南.复合地基设计和施工指南[M].北京:人民交通出版社, 2003.