计算公式

2024-08-05

计算公式（共11篇）

计算公式篇1

当企业在品牌塑造和产品研发上的竞争陷入僵局时, 在经营模式上进行创新越来越被企业所重视。其实, 经营模式就是代表了一种商业逻辑, 或者说是一种计算某种商业逻辑的商业公式。在这个商业公式中, 行业中的各个因素就是商业公式中的各个参数, 不同的参数以及各参数之间的逻辑关系, 便产生了不同的商业公式, 其实也就是运用了不同的商业逻辑。当新的商业公式为消费者带来了新的价值时, 创造新的商业公式的企业必然会胜出其他的竞争对手。

PPG模式之惑

此前一度非常热门的PPG公司, 在进入市场之初非常成功, 其仅仅以呼叫中心和互联网为主销售男士衬衣, 而取消了传统的店铺的销售形式, 这在男士衬衣行业无疑是一个巨大的创新, 其独特的经营模式振动了整个男士衬衣行业。

但是, 不久PPG的经营就出现了问题, 首先表现出来的是资金链断裂的危险。从表现来看, 是由于竞争者的进入导致销售下滑, 尤其是PPG投入的广告费用太多, 业内人士保守估计, PPG的广告占销售额的比重不会低于45%, 而导致资金链的问题。

问题根源在于, 为什么PPG会打这么多广告呢?PPG曾在不同场合多次重申过自己的理念。“PPG的核心是做品牌”、“消费者买产品, 品牌是很重要的, 每个品牌都有自己的定位和形象, 竞争对手要模仿我们的话也无法模仿我们的品牌形象”。如此看来, PPG花费大量广告费的目的是希望打造一个有着明确定位和形象的知名男士衬衣品牌。

PPG打造知名衬衣品牌的初衷正是他们走向衰落的根本原因, 而PPG在前期的成功正是由于他们的经营模式, 在无意中满足了消费者需求的变化。在国内市场上, 尤其是大型城市市场中, 随着消费水平的提高, 男士们开始拥有更多的衬衣, 衬衣的更替频率也越来越快, 这些男士开始将衬衣当做一件非常普通的消费品, 甚至开始将衬衣视为近乎于内衣的一种衣服, 显然, 衬衣作为显示身份、品位等因素的功能在衰退。而且, 随着男士衬衣产品的标准化程度的提高, 在男士衬衣上越来越难以体现出时尚的设计、精细的做工、高档的面料等元素了。这些因素都导致了消费者需求的一个变化, 即在大型城市市场上的男士们, 在购买衬衣时不再像以前那样看重衬衣品牌了, 而是更加关注衬衣的性价比和购买时的便利性了。

显然, PPG无店铺、无工厂的经营模式给衬衣带来的低价, 在无意中吻合了消费者需求的变化, 消费者也并不在意他们在进入市场之初没有品牌。但是, PPG的初衷仍然是打造知名的衬衣品牌, 当他们将大量的金钱投入到广告中去时, 由于消费者并不在意衬衣的品牌, 实际上, PPG投入到广告中的巨额费用并不能换来同等的销售的增加, 那么, 资金链出现问题也是必然的了。而且, 当资金链出现了问题以后, 在不能提高零售价的前提下, PPG只能以牺牲产品质量 (虽然这不一定是公司明确的经营政策) 为代价了, 那么, PPG衬衣的性价比就变得没有吸引力了, 因此, 具有类似经营模式的新的竞争对手的机会来了。

商业公式的偏差

PPG实际上是一个颠倒应用商业公式的因果关系的典型例子。

在创造新的商业公式的过程中, 往往会出现一种认识上的偏差, 尤其是一些国内企业, 他们总是习惯于将创造新的商业公式的着眼点, 放在行业内部因素, 而不是消费者身上。也就是说, 很多企业以整合价值链和行业内部各种因素为出发点, 创造了某种新的商业逻辑, 这种新的商业逻辑确实会给企业带来某些竞争优势, 比如更低的成本, 更加快捷便利的服务等。但是, 如果这些新的竞争优势并没有给消费者带来新的价值, 或者这些新的竞争优势给消费者带来的价值并不大, 消费者并不在意这些新的价值, 那么, 这种新的商业逻辑就不能给企业带来长久的竞争优势。

导致以上的问题的原因是企业在思考商业逻辑时, 忽略了商业公式中等号两边的因果关系, 在商业公式中, 等号的左边是各种商业因素及其逻辑关系, 右边是消费者的价值。很多企业是由等号的左边推导出等号的右边, 即以各种商业因素及其逻辑关系推导出给消费者创造的价值。

问题在于, 在这种思维方式下, 很容易误导企业过于关注商业因素及其逻辑关系的创新, 而忽略了研究消费者需求及其变化。即便某个经营模式暂时吻合了消费者的需求, 但是, 由于企业并没有了解这种经营模式吻合消费者需求的本质因素, 而必然会在日常的经营中, 不知不觉地改变了吸引消费者的因素。但是, 如果企业始终以商业公式的右边为核心, 开发和审视经营模式, 就能够保持经营模式为消费者创造更多的价值。

正确认识因果关系

反之, 如果从商业公式的右边着手创新经营模式, 即从研究消费者的需求 (包括消费者潜在的需求, 以及消费者需求的变化) 开始, 往往会创造出更加成功的经营模式。也就是说, 企业在创造新的经营模式时, 首先深入理解行业内的消费者的潜在需求及其变化, 然后根据对消费者需求的了解, 在各个商业因素及其逻辑关系中寻求创新, 以新的商业因素及其逻辑关系, 更好地满足消费者潜在的需求及其需求的变化。显然, 只要企业对消费者潜在的需求及其需求的变化有及时而正确的理解, 那么, 在这种思维方式下创造出来的新的经营模式必然是成功的, 而且, 也同时具备了对原有的经营模式进行修正、调整的能力。

从应用商业公式的角度来看, 戴尔无疑是一个成功者。在美国市场, 当电脑技术逐渐成熟, 以及消费者开始认为电脑只是一件普通的消费品时, 消费者也就不会刻意关注电脑的品牌、外观等因素了, 而消费者就会对电脑产品的性价比和购买的便利性更加关注了。那么, 戴尔模式在网上的直销形式恰好更好地满足了消费者需求的变化, 他们以同等的产品品质、便利的购买方式和更低的价格, 赢得了消费者。显然, 戴尔正是由于看到了消费者需求的变化, 从而才创新了经营模式, 并一举获得成功。

戴尔成功地应用商业公式并没有到此为止。当戴尔发现, 由于电脑产品生产成本的不断降低, 笔记本电脑也逐渐变成了普通的消费品, 越来越多人从使用台式电脑转向笔记本电脑。那么, 消费者在使用笔记本电脑时有何消费需求呢?显然, 作为可以携带的笔记本电脑, 消费者更加关心电脑的体积、重量、外观等因素, 而这些因素在网上是无法得到真实的体验的, 因此, 戴尔开始与沃尔玛、国内的国美电器等零售商合作, 即开始进入传统的零售渠道销售其电脑了。如果戴尔没有看到消费者对电脑产品需求的变化, 他们也许就不会进入传统的零售渠道, 那么, 他们的市场份额必然会慢慢地减少。当然, 也许戴尔正是看到了其销售逐渐下滑, 而在寻找销售下滑原因时, 发现了消费者在购买电脑产品时的消费需求的变化, 从而才决定进入传统零售渠道。

以商业公式等号右边的消费者需求为核心, 反观行业内的各种商业因素及其逻辑关系创新的可能性, 在这种思维方式下创新的经营模式成功的机会更大。实际上, 当发现了消费者某种潜在的需求, 或者需求发生了某种变化时, 新的经营模式其实已经蕴藏其中了, 剩下的只是依靠有心人去发现了。

计算公式篇2

在GB4814-84《原木材积表》标准中规定的原木材积计算公式是：

检尺径自4-12cm的小径原木材积公式：

V=0.7854L(D+0.45L+0.2)2÷10000----(5-17)

检尺径自14cm以上的原木材积公式：

V=0.7854L{D+0.5L+0.005L^2++0.000125L（14-L）2（D-10）}^2÷10000---（5-18）

检尺长超出原木材积表所列范围又不符合原条标准的特殊用途圆材，其材积按下式计算。

V=0.8L（D+0.5L）2÷10000---（5-19）

以上三式中：V---原木材积（m3）；

L---原木检尺长（m）；

D---原木检尺径（cm）。

另外，检尺径4-6cm的原木材积数字保留四位小数，检尺径自8cm以上的原木材积数字，保留三位小数。

{例1}有一根紫檀圆木，检尺长2m，检尺径10cm，求其材积是多少？

解：将L=2m，D+10cm，代入公式（5-17）得：

V=0.7854×2（10+0.45×2+00.2）2÷10000

=0.7854×2×11.1^2÷10000

=0.7854×2×123.21÷10000

=0.0194(m3)

答：该紫檀原木的材积是0.019m3.{例2}有一根杉木，检尺长2m，检尺径20cm，求其材积是多少？

解：将L=2,D=20cm代入公式（5-18）得：

V=0.7854×2{20+0.5×2+0.005×2^2+0.000125×2（14-2）^2（20-10）}^2÷10000

=0.072（m3）

答：此根杉木原木的材积是0.072m3.{例子}有一根原木，检尺长14m，检尺径40cm，计算该原木的材积。

解：将L=14m, D=40cm, 代入公式(5-19)得：

V=0.8×14×（40+0.5×14）2÷10000

=11.2×472÷10000

= 2.47（m3）

如果需要计算的不是一根原木的材积数字，而是同一个长度中各个径级的材积数字，我们就可以采用一种简捷而精确的计算方法如例4。

{例4}求检尺长14m,检尺20—60cm的原木材积数字。

解：先算出（用公式5-19020、22、24cm径级的材积：

L=14m, D=20cm, V=0.81648m3；

L=14m, D=22cm, V=0.94192m3；

L=14m, D=24cm, V=0.1.07632m3。

将这三个材积数字依次相减，得出两个一次差：

第一个一次差：0.94192-0.81648=0.12544

第二个一次差：1.07632-0.94192=0.1344

将这两个一次差相减，便得出二次差为：

0.1344-0.12544=0.00896

把第二个一次差加上二次差，便得出第三个一次差，即：

0.1344+0.00896=0.14336

把第三个一次差加上该二次差，便得出第四个一次差，即： 0.14336+0.00896=0.15282

如此累加下去，便得出了全部一次差的数列。然后将已算出的第三个材积数加上第三个一次差，得出第四个材积，如：

1.07632+0.14336=1.21968

对方差计算公式的探究篇3

一、简化计算公式

因为n[x]＝x1＋x2＋…＋xn，而（x1－[x]）2＋（x2－[x]）2＋…＋（xn－[x]）2＝x12－2x1[x]＋[x]2＋x22－2x2[x]＋[x]2＋…＋xn2－2xn[x]＋[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－2[x]（x1＋x2＋…＋xn）＋n[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－2n[x]2＋n[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－n[x]2．所以s2＝（x12＋x22＋…＋xn2－n[x]2）＝（x12＋x22＋…＋xn2）－[x]2．从化简后的公式可以看出，这里数据的平均数没有参与到较复杂的运算中，这样就使计算过程大为简化，特别是当一组数据的平均数是分数时，利用这个公式求方差就更方便．如求数据3，－1，2，1，－3，3的方差时，先求其平均数[x]＝（3－1＋2＋1－3＋3）＝，若用原公式计算方差，就会出现很多分数的平方，计算起来比较麻烦．但若采用化简后的公式，则s2＝［32＋（－1）2＋22＋12＋（－3）2＋32］－

2＝－＝，这样就避免了多次计算分数平方的情况．

二、数据加减后的方差

若一组数据x1，x2，…，xn的平均数为[x]，方差为s2，把这组数据都加上同一个常数a，得到一组新数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a，其平均数为[x]＋a，方差为［（x1＋a－[x]－a）2＋（x2＋a－[x]－a）2＋…＋（xn＋a－[x]－a）2］＝［（x1－[x]）2＋（x2－[x]）2＋…＋（xn－[x]）2］＝s2，即方差不变．同样，把这组数据同减去一个常数a，得到一组新数据x1－a，x2－a，…，xn－a，其平均数为[x]－a，方差仍然为s2．利用方差的这个特点，可以简化方差的求解过程．比如求数据2 011，2 007，2 010，2 009，2 005，2 011的方差时，如果直接计算，运算量较大，容易出错，观察发现，可以先将每个数据减去2 008，得到一组新的数据3，－1，2，1，－3，3，再求这组数据的方差就很容易了．

三、数据放缩后的方差

对数应变张量的近似计算公式篇4

在大变形理论中, 对数应变比工程应变更能真实地反映变形的积累过程, 也称真实应变。所以它在理论研究[1,2]、工程计算和数值模拟[3,4,5]中被广泛采用。

当变形梯度给定时, 对数应变可以通过多种方法得到其精确表达式, 如谱分解或表示定理等[6]。但是这些方法都需借助特征值和特征向量的计算得到, 特别是当存在重复的特征根时处理更为困难。

本文利用各向同性张量函数在不同点进行泰勒展开, 选取不同项数, 得到近似程度较好的对数应变张量的近似表示公式。并结合简单实例, 对近似计算结果的精度和计算时间与精确解进行比较。

1对数应变的两种表示

设变形梯度为F, 右Cauchy-Green应变张量为C=FTF, 其特征根为Λi, 特征方向为Ni, 则由谱分解定理[6]

C=∑iΛiNi⨂Ni (1)

其主不变量为

$Ι_{1} = t r C, Ι_{2} = \frac{1}{2} [(t r C)^{2} - t r$ C2], I3=detC若对数应变张量定义为

$Η = \frac{1}{2} \ln C$ (2)

则

$Η = \frac{1}{2} \sum_{i} \ln Λ_{i} Ν_{i} ⨂ Ν_{i}$ (3)

对于对称各向同性张量函数H, 由表示定理可知[6]

H=ϕ0 I+ϕ1 C+ϕ2C2 (4)

1.1当C有三个不同的特征根时

(4) 式系数有唯一解为

(5) 式中 (i, j, k) 为 (1, 2, 3) 的偶排列。

1.2当C有两个特征根相等时

设Λ1 (t) ≠Λ2 (t) =Λ3 (t) , 利用

C=Λ2I+ (Λ1-Λ2) N1⨂N1 (6)

则H的表示退化为

$Η = \bar{ϕ}_{0} Ι + \bar{ϕ}_{1} C$ (7)

(7) 式中

1.3三个特征根相等时

令Λ1 (t) =Λ2 (t) =Λ3 (t) =Λ (t) , 则

C=ΛI (9)

和

$Η = \frac{1}{2} \ln Λ Ι$ (10)

2对数应变张量的级数表达式

由于对数应变张量H是C的各向同性函数, 因此可泰勒展开表示为

$\begin{array}{l} Η = \frac{1}{2} \ln [(C - α Ι) + α Ι] = \\ \frac{1}{2} (\ln α) Ι + \end{array}$

$\sum_{n = 1}^{\infty}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} α^{- n} C_{α}^{n} = ϕ_{0} Ι + ϕ_{1} C_{α} + \\ ϕ_{2} C_{α}^{2} (11) \end{array}$

(11) 式中, α为任意标量, Cα=C-αI, ICα, IICα, IIICα为其不变量, 则

$\begin{array}{l} ϕ_{0} = \frac{1}{2} [\ln α + \frac{1}{3} α^{- 3} Ι Ι Ι_{C_{α}} - \frac{1}{4} α^{- 4} Ι_{C_{α}} Ι Ι Ι_{C_{α}} + \\ \frac{1}{5} α^{- 5} (Ι_{C_{α}}^{2} - Ι Ι_{C_{α}}) Ι Ι Ι_{C_{α}} - \dots] ； \end{array}$

$\begin{array}{l} ϕ_{1} = \frac{1}{2} [α^{- 1} - \frac{1}{3} α^{- 3} Ι Ι_{C_{α}} - \frac{1}{4} α^{- 4} (Ι Ι Ι_{C_{α}} - Ι_{C_{α}} Ι Ι_{C_{α}}) + \\ \frac{1}{5} α^{- 5} (Ι_{C_{α}} Ι Ι Ι_{C_{α}} - Ι_{C_{α}}^{2} Ι Ι_{C_{α}} + Ι Ι_{C_{α}}^{2}) - \dots] ； \end{array}$

$\begin{array}{l} ϕ_{2} = \frac{1}{2} [- \frac{1}{2} α^{- 2} + \frac{1}{3} α^{- 3} Ι_{C_{α}} - \frac{1}{4} α^{- 4} (Ι_{C_{α}^{2}} - Ι Ι_{C_{α}}) + \\ \frac{1}{5} α^{- 5} (Ι_{C_{α}^{3}} - 2 Ι_{C_{α}} Ι Ι_{C_{α}} + Ι Ι Ι_{C_{α}}) - \dots] 。 \end{array}$

当α=1时, 文献[7]曾给出公式 (11) 的表示, 若只取前四项和前三项, 即n=3和n=2时, 对数应变张量H的近似表达式分别为

$Η = \frac{1}{2} [(\frac{Ι_{3}}{3} - \frac{11}{6}) Ι + (3 - Ι_{2}) C + (Ι_{1} - \frac{3}{2}) C^{2}]$ (12)

$Η = - \frac{3}{4} Ι + C - \frac{1}{4} C^{2}$ (13)

为了提高近似公式的精度, 即级数收敛的速度, 关键是看f (α) =tr (C $_{α}^{2}$ ) =tr (C-αI) 2这个标量值函数在α为何值时能够取得极值, 由

f (α) =trC2-2αtrC+3α2。

可知当 $α = \frac{Ι_{1}}{3}$ 时, f (α) 存在极小值, 公式 (11) 得到的级数展开公式收敛速度较快, 即展开相同项数误差最小。

设 $\bar{C} = C - \frac{Ι_{1}}{3} Ι ‚ (11)$ 式表示为

$Η = \frac{1}{2} (\ln \frac{Ι_{1}}{3}) Ι +$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} (\frac{Ι_{1}}{3})^{- n} \bar{C}^{n} = \\ ϕ_{0} Ι + ϕ_{1} \bar{C} + ϕ_{2} \bar{C}^{2} (14) \end{array}$

$\bar{C}$ 的主不变量J1、J2和J3为

$J_{1} = 0, J_{2} = Ι_{2} - \frac{1}{3} Ι_{1}^{2}, J_{3} = \frac{2}{27} Ι_{1}^{3} - \frac{1}{3} Ι_{1} Ι_{2} + Ι_{3}$ 。

则 (14) 式中不变量ϕ0、ϕ1和ϕ2为

${\begin{cases} ϕ_{0} = \frac{1}{2} [\ln \frac{Ι_{1}}{3} + 9 Ι_{1}^{- 3} J_{3} - \frac{243}{5} Ι_{1}^{- 5} J_{2} J_{3} + \dots] ； \\ ϕ_{1} = \frac{1}{2} [3 Ι_{1}^{- 1} - 9 Ι_{1}^{- 3} J_{2} - \frac{81}{4} Ι_{1}^{- 4} J_{3} + \frac{243}{5} Ι_{1}^{- 5} J_{2}^{2} + \dots] ； \\ ϕ_{2} = \frac{1}{2} [- \frac{9}{2} Ι_{1}^{- 2} + \frac{81}{4} Ι_{1}^{- 4} J_{2} + \frac{243}{5} Ι_{1}^{- 5} J_{3} + \dots] 。 \end{cases}$

若只取 (14) 式前四项, 即n=3时, 对数应变张量H的近似表达式为

$\begin{array}{l} Η = \frac{1}{2} [(\ln \frac{Ι_{1}}{3} + 9 Ι_{1}^{- 3} J_{3}) Ι + \\ (3 Ι_{1}^{- 1} - 9 Ι_{1}^{- 3} J_{2}) \bar{C} - \frac{9}{2} Ι_{1}^{- 2} \bar{C}^{2}] (15) \end{array}$

当n=2时, 对数应变张量H的近似表达式为

$Η = \frac{1}{2} [(\ln \frac{Ι_{1}}{3} - \frac{3}{2}) Ι + 6 Ι_{1}^{- 1} C - \frac{9}{2} Ι_{1}^{- 2} C^{2}$ (16)

由此可见, 即使有相同特征根情况, 公式 (11) -式 (16) 仍成立。

3计算实例

下面通过计算实例, 分别说明通过级数展开得到对数应变张量的近似表达式, 在不同α时的近似程度, 以及与两种精确计算时间进行比较。这里关于对数应变张量的精确表达式分别采用公式 (3) 和式 (4) 。

本文所有的计算结果均使用CPU 1.51 GHz, 736 MB内存计算机并循环10万次获得。

3.1小变形中等转动情况

若设变形梯度具有分量

利用对数应变张量近似公式 (12) 和式 (13) 分别进行计算, 比较结果见表1, 各种方法所用的时间见表2。

对于此例从表1可以看出, 无论是n=3或是n=2时, 对数应变张量在 $α = \frac{Ι_{1}}{3}$ 时展开的的结果总是小于α=1时展开的误差。小变形时所有近似计算结果均能满足工程需要, 但计算时间远远少于精确计算。

3.2任意变形情况

若设变形梯度具有分量

对对数应变张量进行近似计算结果见表3, 每种方法所用的时间见表4。

因此可以看出, 在大变形情况下, α=1得到的近似表达式的误差已经很大, 已不能将此作为近似表达式, 而当 $α = \frac{Ι_{1}}{3}$ 时展开得到的近似表达式 (15) 和式 (16) 的近似程度仍很好, 适用范围更加广泛。

4结论

通过级数展开的方式获得了对数应变张量的近似表达, 给出了级数收敛速度较快的级数展开的形式, 与谱分解和张量表示定理得到精确表达式的计算速度进行了对比。通过简单的实例对比, 发现在 $α = \frac{Ι_{1}}{3}$ 时展开级数得到的近似表达式不但近似程度较好, 计算对数应变张量的速度较快, 而且表达式简洁, 系数求解简单, 适用范围广。本文方法得到的近似表达为工程上计算对数应变张量提供了一个简单而实用的计算方法。

摘要：基于泰勒展开给出对数应变张量的级数表示, 利用选取不同的项数和不同的展开点, 得到对数应变张量的误差最小近似表达式。结合简单实例, 对近似计算结果的精度和计算时间与精确解进行比较。结果表明, 获得的对数应变张量近似表达式不但简单, 而且计算时间短、精度高、适用范围也相当广泛。

关键词：连续介质力学,对数应变,谱分解,表示定理,泰勒展开

参考文献

[1] Hencky H. Uber die form fes elastizitatsgesetzes bei ideal elastischen soffen. Z Tekhn Phys, 1928;9:214—223

[2] Heiduschke K. The logarithmic strain space description. International Journal of Solids and Structutres 1995;32:1047—1062

[3] Heiduschke K. Computational aspects of the logarithmic strain space description. International Journal of Solids and Structures, 1996;33:747—760

[4]Criscione J C.Direct tensor expression for natural strain and fast, ac-curate approximation.Computers and Structures, 2002;80:1895—1905

[5]Plesek J, Kruisova A.Formulation, validation and numerical proce-dures for Hencky’s elasticity model.Computers and Structures, 2006;84:1141—1150

[6]Ogden R W.Non-linear elastic deformations.Ellis Horwood:Chich-ester, 1984

计算公式篇5

关键词跳跃扩散模型;差分法;FFT算法;欧式看涨期权

中图分类号 O241.82文献标识码:A

1 引言

美国芝加哥大学教授Black和Scholes^[1]在1973年发表了“The Pricing of Options and Corporate Liabilities”一文,提出了著名的BlackScholes期权定价公式,在BS公式中,假设股票的价格过程是连续的几何布朗运动,但是,在现实市场中,一些突发情况会引起股票价格发生跳跃.基于上述考虑,Merton在1976年首先提出了跳跃扩散模型,在Merton模型中,资产价格在没有受到外界重大影响时服从布朗运动,当资产价格受到突发事件的影响而发生跳跃时,就用跳跃过程来描述.

本文首先介绍PIDE^[2]的具体形式,在Merton模型下对其差分离散,得到一个Toeplitz矩阵方程,用两种方法解这个矩阵方程,一是基于雅可比正则分裂的迭代方法^[3-4],二是预条件共轭梯度方法.考虑到Toeplitz^[5]矩阵的特殊性,在迭代的过程中,将其植入到一个循环矩阵中,利用循环矩阵和向量的乘积来计算Toeplitz和向量的乘积,而循环矩阵向量乘积可以通过快速富里叶变换(FFT)快速计算,这样就加快了迭代速度.共轭梯度法是解决Toeplitz线性方程组的主要方法之一,在利用共轭梯度法的情况下,快速傅里叶变换的作用是加快共轭梯度法的迭代速度,但不改变其收敛速度,共轭梯度法的收敛速度取决于线性方程组系数矩阵的条件数,基于此考虑,本文采用预条件共轭梯度算法,选用R.Chan优化循环预条件器^[6],预条件器的使用是为了改善系数矩阵的条件数,以便提高收敛速度.

2 跳跃扩散模型

假设市场是完备无套利的市场,在跳跃扩散模型下,资产的价格变化过程服从随机微分方程:dS(t)=S(t)(υ(t)dt+σ(t)dω(t)+(η-1)dq(t)).(1)

其中,υ(t)是漂移率,σ(t)是波动率,ω(t)标准布朗运动,dq(t)是泊松过程,dq(t)=0的概率是1-λdt,dq(t)=1的概率是λdt,λ是泊松到达强度,η-1是由S跳跃到Sη的跳跃幅度函数,是一个随机变量,用ζ表示平均跳跃幅度E(η-1),泊松过程dq(t)与布朗运动ω(t)是相互独立的.

由文献[7]可知,在上述假设下,基于资产价格S与时间τ的未定权益V(S,τ)满足PIDE:

Vt=σ2S22VSS+(r-λζ)SVS-(r+λ)V+λ∫

SymboleB@ 0V(Sη)g(η)dη.(2)

式中,t=T-τ是到期时间为T的时间,r是无风险利率,g(η)是跳跃幅度η的密度函数.

对式(2)的积分部分进行指数变量变换,令S=ex,η=ey,则式(2)变为

Vt=σ2S22VSS+(r-λζ)SVS-(r+λ)V+λ∫

SymboleB@ 0V(Sη,t)g(η)dη.(3)

再对其余部分进行变换,令f(y)=g(ey)ey,υ(x+y,t)=V(ex+y,t),函数f(y)是跳跃幅度y=log(η)的密度函数,则式(3)变为

υt=σ22υxx+(r-12σ2-λζ)υx-(r+λ)υ+λ∫

SymboleB@ -

SymboleB@ f(y)υ(x+y,t)dy,

(t,x)∈[0,T)×R,边界条件υ(T,x)=g(ex).(4)令u(τ,•)=υ(T-τ,•),则式(4)变为

uτ-12σ2uxx-(r-12σ2-λζ)ux+(r+λ)u-λ∫

SymboleB@ -

SymboleB@ u(τ,x+y)f(y)dy=0,

(τ,x)∈[0,T)×R, u(0,x)=g(ex).(5)

3 Merton模型下的有限差分离散

在PIDE中,由于S=ex,则x=ln(S),通常限定x的取值范围是Ω=(-x,x),x*称为截断点,Ω*称为截断区域,式(5)中的积分部分可以分割为两部分∫R=∫Ω+∫RΩ.在计算欧式看涨期权的情况下,在RΩ上的积分u(τ,z)可以进行近似代替:

u(τ,x)→ex-Ke-rτ, 当x→+

SymboleB@ 时.(6)

u(τ,x)→0, 当x→-

SymboleB@ 时.(7)经济数学第 27 卷

第2期张鸿雁等:跳跃扩散模型资产定价公式的数值计算方法

对于式(5)中的积分部分,进行变量变换z=x+y,则

∫Ru(τ,x+y)f(y)dy=∫Ru(τ,z)f(z-x)dz.(8)

定义函数:

ε(τ,x,x)=∫Ω(ez-Ke-rτ)f(z-x)dz.(9)

在Merton模型中:

f(x)=12πσJe-(x-μJ)2/2σ2J.(10)

在μJ=0的情况下,有表达式:

ε(τ,x,x)=ex+σ2J2(x-x+σ2σJ)-Ke-rτ(x-xσJ).(11)

其中,(y)是标准分布函数:

(y)=12π∫y-

SymboleB@ e-x22dx.(12)

考虑时间和空间节点,使xi=-x*+(i-1)h,i=1,…,n,

h=(x-(-x))/(n-1)=2x/(n-1),和τm=(m-1)k,m=1,…,q,

k=T/q.记umi=u(τm,xi),fij=f(xj-xi).

在[-x,x]上用复合梯形原则,有积分近似:

∫Ru(τm,z)f(z-xi)dz≈h2[um1fi,1+2∑n-1j=2umjfi,j+umnfi,n]+ε(τm,xi,x) ,i=2,…,n-1.(13)

对于时间变量与空间变量,作近似:

uτ(τm,xi)≈(32umi-2um-1i+12um-2i),m≥2,

(umi-um-1i)/k, m=1.(14)

uxx(τm,xi)≈(umi+1-2umi+umi-1)/h2,(15)

ux(τm,xi)≈(umi+1-umi-1)/2h,(16)

这里,对于时间的偏导,当m≥2时,用向后的二阶差分来近似对时间的微分,当m=1时,用向后的一阶差分近似;对于空间的偏导,用中心差分来近似.

定义向量um=(um1,…,umn)T.由初始条件,初始向量:

u1=(g(ex1),…,g(exn))T.

由式(13)~(16),则式(5)的有限差分离散能写成矩阵形式:

Aum=bm,(17)

其中,A=γ0I+C+D,γ0=1, m=1,

3/2,m≥2,I是单位矩阵,C和D定义为

cij=-kσ2/2h2+k(r-σ2/2-λζ)/2h,如果i=j-1, 2≤i≤n-1,kσ2/h2+(r+λ)k,如果i=j, 2≤i≤n-1,-kσ2/2h2-k(r-σ2/2-λζ)/2h,如果i=j+1, 2≤i≤n-1,

0,其他情形;

dij=-khλfij/2,如果2≤i≤n-1,且j=1,n,-khλfij如果2≤i≤n-1,且2≤j≤n-1,0,其他情形,且式(17)中,向量bm=(b1,b2,…,bn)T定义为:

bi=kλε(τm,xi,x)+γ1um-1i+γ2um-2i, i=2,…,n-1,(18)

其中

γ1=1,如果m=1,2,如果m≥2,(19)

γ2=0,如果m=1,-1/2,如果m≥2.(20)

由初始边界条件可知:b1=0,bn=γ0(ex-Ke-rτm).

4 基于雅可比正则分裂的迭代方法

定义1 假设矩阵A可用分裂成形式:

A=Q-R,(21)

其中,Q是单调矩阵(Q-1≥0)且R≥0,则称A可以正则分裂.

对于每一个形如式(21)的分裂,都存在相应的迭代方法:

Vl+1=Q-1RVl+Q-1b,l=0,…,V0=0.(22)

若A是单调矩阵,则迭代式(22)是收敛的(ρ(Q-1R)<1),证明过程见文献[8].

给出雅可比正则分裂的形式:

(A)A=Q1-R1,其中Q1是A的对角矩阵.

如果满足:

(i)-(k/h)σ2/2-k(λζ+σ2/2)/2+h(ω0+λk)/6≤0,

(ii)-(k/h)σ2/2+k(λζ+σ2/2)/2+h(ω0+λk)/6≤0,

则分裂(A)是正则的,且

ρ(Q-12R2)≤ρ(Q-11R1)<1,(23)

证明过程见文献[9].

在有限差分法中,若:

(iii)-(k/h)σ2/2-k(λζ+σ2/2)/2≤0,

(iv)-(k/h)σ2/2+k(λζ+σ2/2)/2≤0,

则可以得到一个精确稳定的解.

若保持k/h固定不变而让h→0,则存在一个h0>0使得在h≤h0时条件(i)~(iv)同时成立.

5 预条件共轭梯度算法

本文中系数矩阵A是一个Toeplitz矩阵,现选择R.Chan优化循环预条件器^[10]加快迭代过程中的收敛速度.预条件器C:

C=c0cn-1…c2c1c1c0…c3c2

cn-2cn-3…c0cn-1cn-1cn-1…c1c0.(24)

其中,cj=(n-j)aj+jaj-nn,aj是矩阵A中的元素,j=0,…,n-1.

在所有的n阶循环矩阵中,C极小化Frobenius范数‖C-T‖F,在这个意义下,C被视为A的一个近似矩阵.在预条件共轭梯度法下,每一次迭代都要计算矩阵向量积Ax和C-1y(x和y是n维向量),可以利用快速富里叶变换(FFT)快速计算.C可以被n阶离散富里叶矩阵对角化,即

C=F*n∧Fn,∧=diag[λ0,λ1,…,λn-1],(25)

且λk=∑n-1j=0cje-i2πjk/n(k=0,1,…,n-1)是C的特征值(i是虚数单位),于是

C-1y=IFFT(∧-1•FFT(y)).(26)

对于计算Ax,可以先将A嵌入到一个2n阶的循环矩阵,然后借助2n阶快速富里叶变换来计算,即

ABBAx0=AxBx.(27)

其中B=0an-1…a1a1-n0…a2

a-2a-3…an-1a-1a-2…0.(28)

Aum=bm等价于C-1Aum=C-1bm

对于Toeplitz矩阵方程Aum=bm,循环优化预条件器是式(24),共轭梯度法采用析因形式^[11],不生成系数矩阵,迭代算法为:

r(0)=b-AC-1u(0),u(0)是初值;(29)

p(0)=s(0)=C-*A*r(0);(30)

γ0=‖s0‖22,

for k=0,1,…,

q(k)=AC-1p(k),

αk=γk/‖q(k)‖22,

u(k+1)=u(k)+αkp(k),

r(k+1)=r(k)-αkq(k),

s(k+1)=C-*A*r(k+1),

γk+1=‖s(k+1)‖22,

βk=γk+1/γk,

p(k+1)=s(k+1)+βkp(k).

终止条件是‖s(k)‖/‖s(0)‖<10-8,A*表示A的共轭转置.

6 数值实验

在Merton模型^[12]下做数值实验,当μJ=0时,欧式看涨期权有解:

ω(t,s)=∑

SymboleB@ m=0e-λ(1+η)τ(λ(1+η)τ)mm!VBS(τ,s,K,rm,σm),(31)

其中,τ=T-t,η=eσ2J-1,σ2m=σ2+mσ2J/τ,

rm=r-λη+mlog (1+η)/τ,VBS表示欧式看涨期权的价格.

用Matlab编程进行数值试验.在所有的实验中,式(22)的迭代停止时刻由前后两个迭代矩阵之间的差的l

SymboleB@ -范数决定,即当‖Vl+1-Vl‖

SymboleB@ <ε时停止,这里取ε=10-8.

在Merton模型中用FD和BDF2对空间与时间进行差分,并用三对角分裂法处理Toeplitz矩阵,到期时刻T=1,截断点x*=4,r=0,波动率σ=0.2,跳跃方差σJ=0.5,跳跃强度λ=0.1,协定价格K=1,xK=log (K).结果为:

由表1和表2,随着差分节点数的增加,计算的误差越来越小,从空间差分节点数129开始,差分节点数每增加一倍,雅克比正则分裂迭代算法的计算误差就下降一个数量级,对于预条件共轭梯度法,当差分节点数从65增加到129时,计算误差下降了两个数量级,

而在节点数从129增加到1 025的过程中,误差都是在同一数量级内减少,这说明预条件共轭梯度法的收敛速度很快.从计算的精确度来说,雅克比正则分裂法和预条件共轭梯度法相差不大,但是从计算的速度来看,后者要比前者快.

本文讨论了当市场有跳跃时欧式期权定价的数值计算方法,期权的价格是一个PIDE方程的解,本文用差分法对这个方程进行离散,得到一个Toeplitz矩阵系统,本文用两种方法来处理这个系统,由表1和表2可以看出,二者在计算精度上差别不大,预条件共轭梯度法比雅可比正则分裂法的迭代结果误差更小些,而且迭代过程中的迭代次数更少,分析这些差别的原因,是由于预条件共轭梯度法对系数矩阵进行了处理,使系数矩阵的条件数减小,因而加快了迭代的收敛速度.

参考文献

[1] BLACK F,SCHOLES M.The price of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy,1973,81(3),637-654.

[2] ANITA Mayo. Methods for the rapid solution of the pricing PIDE in exponential and merton models[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics:2008,22(34):128-143.

[3] CONT R,VOLTCHKOVA E.A finite difference scheme for option pricing in jumpdiffusion and exponential levy model[J].SIAM J 2005,43(67):1596-1626.

[4] 杨向群,吴峦东.带跳的幂型支付欧式期权定价[J].广西师范大学学报:自然科学版,2007,25(34),56-58.

[5] STANG G.A proposal for toeplitz calculations[J].Stud Appl Math,1986,74(39):171-176.

[6] CHAN T.An optimal circulant preconditioner for Toeplitz systems[J].SIAM,J,Sci,Stat,Comput,1988,9(13):766-771.

[7] BRIANT M,NATALINI R,RUSSO G.Implicitexplicit numerical schemes for jumpdiffusion process[J].Technical Report,2004,38(37):35-45.

[8] YOUNG D M.Iterative solution of large systems[J].New York:Academic,1971,5(23):25-35.

[9] ARIEL Almendral,CORNELIS W.Oosterlee. Numercial valuation of options with jumps in the underlying[J]. Applied Numercial Mathematics,2005,53(29):1-18.

[10]CHAN R,NAGY J,PLEMMONS R.Circulant preconditioned:toeplitz least squares iterations[J]. SIAM J Matrix Appl,1994,15(8):80-97.

[11]BRIANI M,Numerical methods for option pricing in jumpdiffusion markets[D].Universita Degli Studi Di Roma “La Sapienza”Dottor to Di Ricerca in Miatematica Per Le Applicazioni Economiche e Finanziarie,2003.

[12]ANDERSEN L,ANDREASEN J.Jumpdiffusion process:volatility smile fitting and numerical methods for option pricing[J].Rew.Derivatives Res,2000,4(17):231-262.

Numerical Solution of Assets Pricing Equation under Jumpdiffusion Model



ZHANG Hongyan, LI Qiang, ZHANG Zhi

(School of Mathematical and Calculating Technology,Central South University,ChangSha,Hunan 410083,China)

Abstract The paper assume that the price process of the assets is a jumpdiffusion process, then, the value ofEuropean optaon satisfies a general partial integrodifferential equation(PIDE) under this assumption.The equation was discretized by difference formula.The result was obtainedby two iterative methods:Jacobi regular splitting method and preconditioned conjugate gradient method.

配离子最大分布系数的计算公式篇6

配离子最大分布系数ϕMLi, 即某级配离子MLi在所有配离子中的最大百分比是一个有意思的问题. 文献[1]用配离子分布系数对自由配体浓度对数lg[L]求一阶微分并令其为零, 有:

$\frac{d ϕ_{Μ L_{i}}}{d l g [L]} = \frac{d [\frac{β_{i} [L]^{i}}{1 + \sum_{i = 1}^{Ν} β_{i} [L]^{i}}]}{d l g [L]} = 0$ (1)

可得:

$i = \bar{n} = \frac{\sum_{i = 1}^{Ν} i β_{i} [L]^{i}}{1 + \sum_{i = 1}^{Ν} β_{i} [L]^{i}}$ (2)

即当配合物的平均配位数 $\bar{n}$ 等于某级配离子级数i时, 该级配离子MLi的分布系数达到最大值。由于式 (2) 为高次方程, 当N≥3时直接求解较为困难. 文献[1]在配离子MLi的分布系数比较接近于1但不是很接近1, 溶液中的配离子主要为MLi, 还有MLi-1和MLi+1, 其余的都可忽略不计的情形下, 推导出MLi分布系数大于0.99的条件为Ki/Ki+1≥4×104, 不过其它情形下配离子最大分布系数的计算方法尚未见文献报导。为此, 本文将给出简便的计算公式。

2公式的推导

我们首先假设溶液中仅存在MLi-1、MLi和MLi+1三级配离子, 则MLi的分布系数可表达为:

$\begin{array}{l} ϕ_{Μ L_{i}} = \frac{[Μ L_{i}]}{[Μ L_{i - 1}] + [Μ L_{i}] + [Μ L_{i + 1}]} \\ = \frac{1}{\frac{1}{Κ_{i} [L]} + 1 + Κ_{i + 1} [L]} (3) \end{array}$

由式 (3) 不难看出, 当

$\frac{1}{Κ_{i} [L]} = Κ_{i + 1} [L]$ 或 $[L] = \frac{1}{\sqrt{Κ_{i} Κ_{i + 1}}}$ (4)

即 $p L = - \lg [L] = \frac{1}{2} (\lg Κ_{i} + \lg Κ_{i + 1})$ (5)

MLi的分布系数有最大值

$ϕ_{Μ L_{i}, m a x} = \frac{1}{1 + 2 \sqrt{\frac{Κ_{i + 1}}{Κ_{i}}}}$ (6)

3公式的使用条件

若溶液中仅需考虑MLi-1、MLi和MLi+1三级配离子, 需满足

$\frac{[Μ L_{i - 1}] + [Μ L_{i}] + [Μ L_{i + 1}]}{[Μ L_{i - 2}]} > \frac{[Μ L_{i}]}{[Μ L_{i - 2}]} > 10^{2}$ (7)

和

$\frac{[Μ L_{i - 1}] + [Μ L_{i}] + [Μ L_{i + 1}]}{[Μ L_{i + 2}]} > \frac{[Μ L_{i}]}{[Μ L_{i + 2}]} > 10^{2}$ (8)

即此时溶液中配离子MLi-2和MLi+2浓度可被忽略不计。由于溶液中配离子MLi浓度最大, 根据文献[2,3], 式 (7) 和式 (8) 中前二项取对数后可近似认为相等。将式 (4) 代入式 (8) 、式 (9) 并两边取对数有:

lgKi-1-lgKi+1>2 (9)

和

lgKi-lgKi+2>2 (10)

由于溶液中MLi浓度最大, 其它配离子离它越远, 其浓度越小, 故式 (9) 和式 (10) 为溶液中仅考虑MLi-1、MLi和MLi+1三级配离子, 亦即式 (6) 的使用条件。

4公式的使用

为了验证本文公式的准确性, 我们随意选取各级稳定常数对数值为10.0, 8.8, 7.6, 6.4和5.2的配合物体系, 由于

lgK1-lgK3=2.4>2, lgK2-lgK4=2.4>2

故可使用本文公式计算第二级配离子的最大分布系数。根据式 (5) 和式 (6) 可得当PL=8.2, 第二级配离子最大分布系数为0.6656。

我们使用常用办公软件EXECL进行模拟计算可得当PL=8.2, 第二级配离子最大分布系数为0.6621, 与本文公式计算结果相近, 故使用本文公式计算配离子的最大分布系数是可行的。

同样地, 可以计算出当 $\frac{Κ_{i}}{Κ_{i + 1}} \geq 4 \times 10^{4} ‚ Μ L_{i}$ 的最大分布系数大于0.99, 与文献[1]的结果是一致的。

摘要：推导出配离子最大分布系数的计算公式为:当满足lgKi-1-lgKi+1>2, lgKi-lgKi+2>2时, 有MLi, max=1/ (1+2Ki+1) , 式中K为配合物的各级稳定常数。

关键词：配合物,分布系数,最大值

参考文献

[1]张祥麟, 康衡.配位化学[M].长沙:中南工业大学出版社, 1986:66-71.

[2]孟凡昌, 罗登柏.络合滴定中由副反应系数lgQL (H) 计算pH值的新方法[J].分析化学, 1990, 18 (1) :46-48.

净现金流量的简化计算公式篇7

一、项目投资净现金流量的简化计算公式

项目投资是一种以特定项目为对象,直接与新建项目或更新改造项目有关的长期投资行为,主要涉及到固定资产投资,包括单纯的固定资产投资和完整工业项目投资。项目计算期是指投资项目从投资建设开始到最终清理结束整个过程的全部时间。项目计算期分为“建设期”、“经营期”和“终结点”三个时间段;现金流量按照发生的时间,可将其划分为初始现金流量、经营期现金流量和终结点现金流量三种情况。某年净现金流量=该年现金流入量-该年现金流出量。因此净现金流量的公式可以按照三个时间段进行总结,具体内容如下:

1. 建设期的净现金流量=-原始总投资(建设投资+流动资金投资)。其中:流动资金投资是指本年所需营运资金(流动资产减去流动负债)与上年所需营运资金之间的差额;建设投资包括固定资产投资、无形资产投资、其他投资等内容。固定资产投资是指在项目投资中购入或建造新设备、机器、厂房等固定资产。此时也可能包括投入旧资产的机会成本即因投入新项目而丧失了出售旧资产变现的那部分净现金流量。

2. 经营期的净现金流量=营业收入-经营付现成本-所得税,该公式在实际应用中不方便直接利用会计数据,需要进行相应的推导以便于计算。假设企业的总成本只由经营付现成本和折旧构成,则经营期的净现金流量=营业收入-(总成本-折旧)-所得税=净利+折旧。但是企业的总成本除了包含经营付现成本、折旧之外还可能含有摊销、利息等内容,此时关于该公式的推导就会出现不同的观点。笔者认为“经营期的净现金流量=息税前利润(1-所得税税率)+折旧+摊销”比较合理。

3. 终结点的净现金流量=终结点的经营净现金流量+终结点回收额(收回流动资金投资+残值或变价收入+残值或变价收入净损失抵税-残值或变价收入净收益纳税)。其中:收回流动资金投资:在终结点上收回全部投入的流动资金;残值或变价收入:在终结点上资产残值的变现净收入;残值或变价收入净损失抵税、净收益纳税:终结点上资产净残值小于资产按税法计算的账面价值或法定净残值的那部分损失可以抵减企业所得税,否则净收益需要纳税。

二、经营期的净现金流量的简化计算公式

笔者将关于经营期的净现金流量的简化汁算公式的几种观点进行归纳如下,并对其不同之处进行总结分析。

(一)不同观点下经营期的净现金流量的简化计算公式

1. 经营期某年的净现金流量=当年税后净利+当年折旧+当年摊销

(公式一)

2. 经营期某年的净现金流量=当年税后净利+当年折旧+当年摊销+当年利息 (公式二)

3. 经营期某年的净现金流量=当年息税前利润(1-所得税税率)+当年折旧+当年摊销 (公式三)

(二）不同观点经营期净现金流量简化计算公式之间的区别

以上三个公式都考虑了所得税的影响，用的都是税后利润。它们之间的主要区别在于：一是税后利润是用税后净利还是税后的息税前利润;二是对于借款利息费用的处理。导致这两个区别产生的原因是相同的，即对于借款利息费用是否作为现金流量考虑。基于净现金流量的全投资假设来考虑，无论使用借人资金还是自有资金(投人资本)，都是需要付出代价的。借人资金要向债权人支付利息，投人资本同样要向投资者支付利润，既然在计算现金净流量时是采用税后利润，并没有考虑扣除向投资者支付的利润，那么没有理由要扣除向债权人支付的利息。因此，在投资决策分析时，利息费用不应当作为现金流量来考虑，可把利息视为零。这样来看上述三个公式哪个公式比较合理，到底选择哪个观点呢?

对于第一个公式展开来看：经营期某年的净现金流量=当年税后净利+当年折旧+当年摊销=(当年息税前利润-当年利息)(1-所得税税率)+当年折旧+当年摊销=当年息税前利润(1-所得税税率)-当年利息(1-所得税税率)+当年折旧+当年摊销=当年息税前利润(1-所得税税率)-当年利息+当年利息X所得税税率+当年折旧+当年摊销，可见借款利息的影响完全存在。

对于第二个公式展开来看：经营期某年的净现金流量=当年税后净利+当年折旧+当年摊销+当年利息=(当年息税前利润-当年利息)(1-所得税税率)+当年折旧+当年摊销+当年利息=当年息税前利润(1-所得税税率)-当年利息(1-所得税税率)+当年折旧+当年摊销+当年利息=当年息税前利润(1-所得税税率)-当年利息+当年利息所得税税率+当年折旧+当年摊销+当年利息=当年息税前利润(1-所得税税率)+当年利息×所得税税率+当年折旧+当年摊销。该公式虽然剔除了借款利息的影响,但是并不全面,利息的抵税作用还存在。

综上,既然利息费用不应当作为现金流量来考虑,就应把利息视为零,那么公式三比较合理。

三、经营期的净现金流量简化计算公式的验证及选择

根据以上分析,笔者认为对于经营期的净现金流量的计算应采用税后的息税前利润,且不应考虑利息对现金流量的影响,那么在经营期内的净现金流量的简化计算公式即为第三个公式,该公式是较合理且易于理解的经营期净现金流量的简化计算公式,下面通过一个实例,利用归纳的计算公式的几种形式来进行相应的分析。

例:某工业项目需要原始投资1 250万元,其中固定资产投资1 000万元,开办费投资50万元,流动资金投资200万元。建设期为1年,建设期发生与购建固定资产有关的资本化利息支出100万元。固定资产投资和开办费投资于建设起点投入,流动资金于完工时,即第1年末投入。该项目寿命期为10年,固定资产按直线法计提折旧,期满有100万元净残值,开办费于投产当年一次摊销完毕。从经营期第1年起连续4年每年归还借款利息50万元,流动资金于终结点一次回收。投产后每年获息税前利润分别为120万元、220万元、270万元、320万元、260万元、300万元、350万元、400万元、450万元和500万元。所得税税率为25%。要求按简化公式计算项目各年税后净现金流量。

根据上例计算如下指标:

1.项目计算期n=l+10=ll(年)

2.固定资产原值=1 000+100=1 100(万元)

3.固定资产年折旧=(1 100-100)/10=100(万元)

4.终结点回收额=200+100=300(万元)

5.建设期净现金流量：

6. 经营期及终结点净现金流量:

(1)按公式一计算如下:经营期某年的净现金流量=当年税后净利+当年的折旧+当年的摊销=(当年息税前利润-当年利息)(1-所得税税率)+当年折旧+当年摊销

(2)按公式二计算如下:经营期某年的净现金流量=当年税后净利+当年折旧+当年摊销+当年利息=(当年息税前利润-当年利息)(1-所得税税率)+当年折旧+当年摊销+当年利息

(3)按公式三计算如下:经营期某年的净现金流量=当年息税前利润(1-所得税税率)+当年折旧+当年摊销

众所周知,在项目投资决策中,正确计算净现金流量是非常重要的,而利息费用是影响其计算正确性的一项内容,如不准确,可能会引起投资决策的失误。

本例中可以计算出在不考虑货币时间价值的情况下,该项目的税后息税前利润合计为:90+165+202.5+240+195+225+262.5+300+337.5+375=2 392.5 (万元);净利润合计:52.5+127.5+165+202.5+195+225+262.5+300+337.5+375=2 242.5(万元);不同计算公式净现金流量的计算结果合计分别为:

三种情况下净现金流量的合计结果与项目的税后的息税前利润以及净利润的差额分别为:(1)2 342.5-2 392.5=-50(万元);2 342.5-2 242.5=100 (万元);(2)2 542.5-2 392.5=150(万元);2 542.5-2 242.5=300 (万元);(3)2 492.5-2 392.5=100 (万元);2492.5-2 242.5=250(万元)

不考虑货币时间价值,从差异的结果来看,第三个公式比较合理。该结果比税后的息税前利润相差100万元,这显然是建设期支付的资本化利息造成的差异。首先这种比较符合全投资假设,即不考虑借款利息。视借款利息为零,因此用税后的息税前利润比较合理;其次资本化利息是算入固定资产原值中的,用于计算折旧,因此该差异是合理的。该结果比净利润相差250万元,这是建设期的100万元的资本化利息和经营期1到4年借款利息考虑税后的影响形成的:200 (1-25%)=150(万元)。

经过以上分析和验证,笔者倾向于选择净现金流量的简化计算公式为:

1.建设期某年净现金流量=-当年原始总投资

2.经营期某年的净现金流量=当年息税前利润(1-所得税税率)+当年折旧+当年摊销

电流互感器采样电路计算公式分析篇8

关键词：电流互感器,电路计算公式

1目前部分杂志中电流采样计算公式不准确

目前部分杂志中的电流采样使用电流互感器。电路如下:

标准中用半波整流的有效值来进行分压计算,这是不准确的。在没有电容E 2和C8的时候可以用上述计算公式来算出有效值。由于增加了电容E 2和C8(主要还是E 2),导致电路不再适合半波整流的计算公式。我们可以假设R 1 4为0欧姆,按标准上的电路“V 2=R 1 3(/R 1 3+R 1 4)*([0.707*R 6*Ii/C)-0.5]”,可以算出V 2=0.707*U o-0.5,但是我们可以知道此时的电路为半波整流稳压电路,V2应该为峰值电压1.41 4*Uo-0.5(Uo为电阻R 6上的交流有效值),这两者之间严重矛盾,说明标准电路计算公式不准确。

2用能量守恒的方法计算函数公式

在[δ,θ]区间,电容充电。

在[θ,2π+δ]区间,电容放电。

如果电容够大,Upk*sinδ≈U pk*sinθ;此时A/D采样的电压纹波最小,A/D采样最平稳。即θ=π-δ,从而可以简单地认为R 1 3上的电压y=U pk*sinδ不变。在[δ,π-δ]区间,R 1 4上的电阻上电压为VR14=Upk*sinωt-y。

根据能量守衡的原理:输出功=消耗的功,电容不做耗功。二极管上只在[δ,π-δ]区间导通,导通时候输出电压为U pk*sinωt,导通的电流为(U pk*sinωt-y)/R 14。

推出二极管上在[δ,π-δ]输出的功:

电阻消耗的功:

根据能量守衡W出=W耗可以知道(1)=(2),数据展开,删除相同项得下列等式。

积分展开之后可以得到:

展开(3)式代入y=U pk*sinδ可以得到以下函数关系:

进一步计算:

这是一个无法求解的方程式。可采用曲线无限接近的方法求解。

利用EXCE L可以近似得出δ=0.72,通过计算sinaδ=0.659385。

可以得到A/D采样新的计算公式,注意减去二级管的压降0.6V(实际二极管的压降是变化的)。

在R13=16K,R14=1.4K的时候:

3总结

1)标准上的电路计算公式不正确。

2)利用能量守衡和函数无限接近等计算方法理论上得出新的公式。

净现金流量的简化计算公式篇9

一、计算经营期净现金流量的三种简化计算公式

1. 某年的净现金流量=当年税后净利+当年折旧+当年摊销+当年回收额。

这是结合中国人民大学会计系列教材、中国人民大学出版社出版、荆新等主编的《财务管理学》第八章“内部长期投资”第二节“投资决策指标”中有关净现金流量的实例和本章节的宗旨, 对其列出的经营期净现金流量简化计算公式加以整理的结果。21世纪财经专业规划教材、立信会计出版社出版、邵天营等主编的《财务管理学》第五章“项目投资管理”第二节“项目投资决策指标”中列出的经营期净现金流量简化计算公式经过整理之后, 也如上。

2. 某年的净现金流量=当年税后净利+当年折旧+当年摊销+当年利息+当年回收额。

这是结合高等院校“十一五”规划教材、哈尔滨工业大学出版、韩新宽主编的《财务管理学》第六章“项目投资管理”第二节“项目现金流量计算”中有关净现金流量的实例和本章节的宗旨, 对其列出的经营期净现金流量简化计算公式加以整理后的结果。

3. 某年所得税前净现金流量=当年息税前利润+当年折旧+当年摊销+当年回收额。

某年所得税后净现金流量=当年息税前利润× (1-所得税税率) +当年折旧+当年摊销+当年回收额=当年税后净利+当年折旧+当年摊销+当年税后利息+当年回收额。该公式是结合全国会计专业技术资格考试辅导教材、财政部会计资格评价中心主编的《财务管理》第四章“项目投资”第二节“项目投资的现金流量分析”中有关净现金流量的实例和本章节的宗旨, 对其列出的经营期净现金流量简化计算公式加以整理得出的结果。值得一提的是, 该教材中指出了净现金流量包括所得税前净现金流量和所得税后净现金流量两种形式, 所以这里也将经营期净现金流量简化计算公式归结为所得税前净现金流量和所得税后净现金流量两种形式。

二、经营期净现金流量各简化计算公式之间的区别

如果不考虑计算净现金流量时间段的差异因素, 不同《财务管理》教科书中计算公式的不同之处主要表现在两个方面:一是利润指标的界定, 是使用“税前利润”还是“税后利润”, 即是否考虑所得税的影响;二是对借款利息费用的处理。这些不仅影响了学生在学习时对净现金流量的把握, 而且也将在实际工作中影响对投资项目的评价。

1. 关于利润指标的界定。

对于在计算净现金流量时是否考虑所得税因素, 应当从投资主体的角度来分析。教材所进行的投资分析主要是从微观投资主体 (企业) 出发的, 对于企业来说, 能够让自己受益的只能是税后利润, 缴纳所得税是一项客观存在的现金流出, 不考虑所得税会夸大净现金流量, 影响投资决策的正确性。如果是宏观投资主体 (国家) , 则可以不考虑所得税支出。因此, 在经营期净现金流量的计算过程中, 利润应采用税后利润。

2. 关于借款利息费用的处理。

对于借款利息费用是否作为现金流量考虑, 基于净现金流量的全投资假设来考虑, 无论使用借入资金还是自有资金 (投入资本) , 都是需要付出代价的。借入资金要向债权人支付利息, 投入资本同样要向投资者支付利润, 既然在计算净现金流量时是采用税后利润, 并没有考虑扣除向投资者支付的利润, 那么就没有理由扣除向债权人支付的利息。因此, 在进行投资决策分析时, 利息费用不应当作为现金流量来考虑, 可把利息视为零。

三、经营期净现金流量简化计算公式的选择及验证

根据以上分析, 笔者统一了经营期净现金流量简化计算公式的计算口径, 认为对于净现金流量的计算应采用税后利润, 不应考虑利息对现金流量的影响, 生产经营期内的净现金流量的计算公式如下所示:

某年的净现金流量=当年税后净利+当年折旧+当年摊销+当年回收额

笔者认为该公式是较易为学生理解且便于教学的净现金流量的简化计算公式, 下面援引实例进行相应分析。

哈尔滨工业大学出版、韩新宽主编的《财务管理学》第六章“项目投资管理”第二节“项目现金流量”中的已知某工业项目需要原始投资2 500万元, 其中固定资产投资2 000万元, 开办费投资100万元, 流动资金投资400万元。建设期为1年, 建设期发生与购建固定资产有关的资本化利息支出200万元。固定资产和开办费于建设起始投入, 流动资金于完工时即第1年末投入。该项目寿命期为10年, 固定资产按直线法计提折旧, 期满有200万元净残值, 开办费于投产当年一次摊销完毕。从经营期第1年起连续4年每年归还借款利息110万元, 流动资金于终结点一次回收。投产后每年获净利润分别为10、110、160、210、260、300、350、400、450和500万元。请按简化公式计算项目各年净现金流量。

依题意计算如下指标:

1. 项目计算期n=1+10=11 (年) 。

2. 固定资产原值=2 000+200=2 200 (万元) 。

3. 固定资产年折旧额= (2 200-200) ÷10=200 (万元) 。

4. 终结点回收额=400+200=600 (万元) 。

5. 建设期净现金流量:NCF0=- (2 000+100) =-2 100 (万元) ;NCF1=-400万元。

6. 经营期净现金流量:

(1) 按原教材的计算公式, 计算如下:

某年的净现金流量=当年税后净利+当年折旧+当年摊销+当年利息+当年回收额

NCF2=10+200+100+110+0=420 (万元) ;

NCF3=110+200+0+110+0=420 (万元) ;

NCF4=160+200+0+110+0=470 (万元) ;

NCF5=210+200+0+110+0=520 (万元) ;

NCF6=260+200+0+0+0=460 (万元) ;

NCF7=300+200+0+0+0=500 (万元) ;

NCF8=350+200+0+0+0=550 (万元) ;

NCF9=400+200+0+0+0=600 (万元) ;

NCF10=450+200+0+0+0=650 (万元) ;

NCF11=500+200+0+0+ (400+200) =1 300 (万元) 。

(2) 按经营期净现金流量简化计算公式计算如下:

某年的净现金流量=当年税后净利+当年折旧+当年摊销+当年回收额

NCF2=10+200+100+0=310 (万元) ;

NCF3=110+200+0+0=310 (万元) ;

NCF4=160+200+0+0=360 (万元) ;

NCF5=210+200+0+0=410 (万元) ;

NCF6=260+200+0+0=460 (万元) ;

NCF7=300+200+0+0=500 (万元) ;

NCF8=350+200+0+0=550 (万元) ;

NCF9=400+200+0+0=600 (万元) ;

NCF10=450+200+0+0=650 (万元) ;

NCF11=500+200+0+0+ (400+200) =1 300 (万元) 。

本例中已是税后净利, 故这里仅从利息问题角度出发来讨论。众所周知, 在项目投资决策中, 正确计算净现金流量是非常重要的, 而利息费用是影响其计算的一项重要内容, 如不准确, 可能会引起投资决策的失误。

从本例中我们可以发现, 该投资项目的净现金流量无法还原为净利润总和, 无法说明净现金流量的性质。

在不考虑货币时间价值的情况下, 该投资项目的净利润具体计算如下:

10+110+160+210+260+300+350+400+450+500=2 750 (万元)

不考虑货币时间价值, 该例按原教材的计算公式 (某年的净现金流量=当年税后净利+当年折旧+当年摊销+当年利息+当年回收额) 进行计算, 则净现金流量的计算结果为:-2 100-400+420+420+470+520+460+500+550+600+650+1 300=3 390 (万元) 。

为什么会产生640万元 (3 390-2 750) 的差异呢?这明显是多加的440万元的借款利息 (1至4年, 每年110万元, 共计440万元) 及少减了建设期支付的借款利息200万元所造成的。因此, 笔者认为原教材公式“某年的净现金流量=当年税后净利+当年折旧+当年摊销+当年利息+当年回收额”不适宜教学用。

不考虑货币时间价值, 该例按笔者整理的经营期净现金流量的简化计算公式 (某年的净现金流量=当年税后净利+当年折旧+当年摊销+当年回收额) 进行计算, 该例的净现金流量为:-2 100-400+310+310+360+410+460+500+550+600+650+1 300=2 950 (万元) 。

该结果与该项目净利润2 750万元的结果相差200万元, 这显然是建设期支付的借款利息200万元造成的差异。虽然该投资项目的净现金流量与净利润总和有差异, 但笔者认为该公式更适合教学, 原因是: (1) 全投资假设, 即不考虑利息, 这个概念是财务管理学中的假设; (2) 折旧是会计中的概念, 考虑了资本化利息, 所以即使选择了笔者整理的经营期净现金流量的简化计算公式 (某年的净现金流量=当年税后净利+当年折旧+当年摊销+当年回收额) 进行计算, 本例中净现金流量与净利润总和仍有差异200万元, 这正是资本化利息的存在导致的。

参考文献

[1].张小荣.项目净现金流量的简化计算.财会月刊, 2009;19

[2].邵天营, 陈复昌.财务管理学.上海:立信会计出版社, 2006

[3].韩新宽.财务管理学.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2008

[4].财政部会计资格评价中心编.财务管理.北京:中国财政经济出版社, 2009

计算公式篇10

关键词:验收规范起重机安装上翘度变形公式结构

中图分类号:TH123文献标识码:A文章编号:1674-098x(2012)04(a)-0060-01

自2009年4月1日开始施行《起重机械安装改造重大维修监督检验规则》后,在门式起重机的检验中,悬臂端上翘度仍然是一项非常重要的内容,其既能作为起重机在安装过程中的质量控制的依据之一,也是作为安装完工后检查验收的考核指标。新安装门式起重机的悬臂上翘度为(0.9～1.4)s’/1000,在国家标准GB 50278-98《起重设备安装工程施工及验收规范》中,对门式起重机悬臂端上翘度也做了明确要求。因为轨道高低差和支腿变形等因素的影响,主梁的2个支点可能并不是位于水平位置。当主梁的水平发生变化时,悬臂端的上翘度也将随之变化。悬臂端上翘度的计算目前一直没有规范的方法,下面将通过实例,采用数形结合总结出实用、准确的计算公式。

1 结构简图

如图1所示,BC段为主梁跨度,长度为s,FB、CG为主梁的悬臂长度s’,和为水平线,假设实测A、B、C、D4点的标高分别为:、、、,由水准仪的测量特性得知,、、、即AA’、BB’、CC’、DD’的长度。

从图1可以看出,悬臂端上翘度的数值应为AF、DG的长度,下面以悬臂AB为例,讨论计算上翘度的方法。

2 直接相减法

直接相减法非常简单,也是在检验工作中被经常采用的方法,即:

(1)

式中:为悬臂AB的上翘度。

实际上求得的是AH段的长度。当B、C 2点的标高相差较大时,此种计算方法存在较大的误差。

3 相似三角形法

相似三角形法是将AE近似地看作悬臂AB的上翘度。它是在直接相减的方法上加以修正,修正值的大小为HE的长度,推导过程如下:

(2)

式中:為修正值。

如图1所示,三角形△HEB和△CLB为相似三角形,因此有下面比例关系:

式中:

求得: (3)

代入(2)式中:

(4)

从式(4)中可以看出,悬臂AB的上翘度受B、C 2点的高低差和悬臂长度与跨度比值的影响。当B、C 2点高低差为零时,。

4 三角函数法

由图1可以看出,悬臂AB的上翘度应是AF。三角函数法便是精确计算AF长度的方法,它是在相似三角形法的基础上乘1个修正系数:

(5)

式中:为修正系数,即AF和AE的比值。

在图1中:

(6)

代入式(5)得:

(7)

由式(6)可以看出,,对结果影响不是太大。当B、C 2点高低差为零时,。

5 结果比较

下面以一实例,分别采用以上几种方法,比较计算结果。

实例:某一单梁门式起重机,跨度26m,悬臂长度8m,测得A、B、C、D各点标高分别为:100,110,105,90

计算悬臂AB的上翘度。

解:

①直接计算法

由式(1)得:

②相似三角形法

由式(4)得:

③三角函数法

由(7)式得:

④结果比较

通过以上3种方法计算,可以看出,直接相减法最简单,但只适用于B、C 2点高低差为零或可以忽略的情况;相似三角形法最实用,考虑了B、C 2点高低差的影响,结果准确。三角函数法最精确,但计算较复杂,其计算结果在精确到小数点后两位的情况下和相似三角形法没有差别,因此完全可以用相似三角形法替代。

通过以上推导,我们得到的门式起重机悬臂端上翘度的计算公式为式(4),即:

门式起重机悬臂端上翘度计算方法公式的确定,提高了检验结果的准确性,节省了时间,同时为计算机自动判定建立了数学模型。

参考文献

[1]万力.起重机械安装使用维修检验手册[M].北京:冶金工业出版社,2000.

[2]王福绵.起重机械技术检验[M].北京:学苑出版社,2000.

计算公式篇11

怎样求圆的面积?现在已是一个非常简单的问题, 用公式一算, 结果就出来了。可是你知道这个公式是怎样得来的吗?在过去漫长的年代里, 人们为了研究和解决这个问题, 不知遇到了多少困苦, 花费了多少精力和时间!

面对如此丰富的学习内容, 遇到如此神奇的课程资源, 我们何不抓住机遇, 让学生去走一走、看一看呢?于是在学习了“圆的认识”和“圆的周长”以后, 我这样煽动我的孩子们:明天我们就要研究“圆的面积计算公式”, 你们面对的将是一个多姿多彩的数学世界, 同学们想不想去探一探呢?“想!”大家异口同声地回答。趁着学生的热情, 我布置了这样的课外作业:“圆的面积怎样计算?公式是怎么推导的?你们今天回家可以和爸爸妈妈商讨, 可以和哥哥姐姐商讨, 可以和同伴商讨, 可以跟电脑请教, 可以自己独立思考, 也可以和数学书交友……你们可以和古人碰面, 可以和今人打交道……你们可以剪剪拼拼, 可以试着画画, 当然也可以文字表述……”

第二天的课堂上, 同学们兴奋极了!大家都争先恐后地发表自己的看法, 交流各自的收获, 大致有以下一些观点。

(1) 我从数学书上知道:把圆平均分成若干份, 可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽就等于圆的半径 (r) , 长方形的长就是圆周长 (C) 的一半。长方形的面积是长乘宽, 那圆的面积就是:圆的半径 (r) 的平方乘以π, S=πr2。

(2) 我和爸爸查阅了一些资料得知:把圆16等分分割后拼插成近似的平行四边形, 平行四边形的底相当于圆周长的四分之一 (C/4=πr/2) , 高等于圆半径的2倍 (2r) , 所以S=πr/2·2r=πr2) ;也可以把圆16等分分割后拼插成近似的等腰三角形。三角形的底相当于圆周长的1/4, 高相当于圆半径的4倍, 所以S=1/2·2πr/4·4r=πr2;还可以把圆分割后拼成近似的等腰梯形, 梯形上底与下底的和就是圆周长的一半, 高等于圆半径的2倍, 所以S=1/2·πr·2r=πr2。

(3) 我是通过度量猜想圆面积的大小:用边长等于半径的小正方形透明塑料片, 直接度量圆面积, 观察后得出圆面积比4个小正方形小, 好像又比3个小正方形大一些。初步猜想:圆的面积相当于r2的3倍多。由此看出, 要求圆的精确面积通过度量是无法得出的。

(4) 通过上网, 我还知道了:我国古代的数学家祖冲之, 从圆内接正六边形入手, 让边数成倍增加, 用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积;古希腊的数学家, 从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手, 不断增加它们的边数, 从里外两个方面去逼近圆面积;古印度的数学家, 采用类似切西瓜的办法, 把圆切成许多小瓣, 再把这些小瓣对接成一个长方形, 用长方形的面积去代替圆面积。众多的古代数学家煞费苦心, 巧妙构思, 为求圆的面积作出了十分伟大的贡献, 为后人解决这个问题开辟了道路。

直到16世纪的德国天文学家开普勒认为古代数学家用分割的方法去求圆面积, 所得到的结果都是近似值。为了提高近似程度, 他们不断地增加分割的次数。但是, 不管分割多少次, 几千几万次, 只要是有限次, 所求出来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值, 必须分割无穷多次, 把圆分成无穷多等分才行。后来意大利数学家卡瓦利里想, 开普勒把圆分成无穷多个小扇形, 这些小扇形的总面积到底等不等于圆面积, 就不好确定了。但是, 只要小扇形还是图形, 它是可以再分的呀。开普勒为什么不再继续分下去了呢?如果一直这样分下去, 就像棉布可以拆成棉线一样, 面积分到直线就应该不能再分了……

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