公式

2024-06-24

公式（精选12篇）

公式篇1

泰勒公式是微积分学理论中最一般的情形, 它建立了函数增量、自变量增量与各阶导数的关系, 它可将一些复杂难以理解的函数近似地表示为简单易于理解的多项式函数. 掌握了泰勒公式可以对微分有更深刻的认识和理解. 泰勒公式在求函数极限、证明不等式、求近似值等方面有着很广的应用, 见参考文献[2][3][4]. 本文主要讨论多元函数的泰勒公式, 因为在后续学习和科研中多元函数泰勒公式也有着广泛的应用.

1. 一元与二元函数泰勒公式

关于一元函数与二元函数泰勒公式在任意一本数学分析教科书中都能找到如[1], 此处略去证明过程.

定理1. 1设函数f (x) 在含有x0的某个邻域[a, b]内具有直到n + 1阶的导数, 则对x∈[a, b], 有

定理2. 1若二元函数f (x, y) 在点P0 (x0, y0) 的某邻域U (P0) 内有直到n + 1阶偏导数, 则对U (P0) 内任意一点 (x0+ h, y0+ k) 有

2. 多元函数泰勒公式

证明令x (t) = a + th. 构造函数f (t) = F (x (t) ) =F ( a + th) , 因为F有直到k + 1阶偏导数, 所以F ( x ( t) ) 对变量t有直到k + 1阶导数. 由定理1. 1, 对函数f (t) 在t = 0点处应用一元函数的泰勒公式, 有

余项对应相等. 所以, 公式 (1) 成立. 证毕.

多元函数的泰勒公式比较复杂, 如何使其具有比较熟知的一元函数泰勒公式的形式而便于记忆呢?这需要引入一些特殊的记法.

定义3. 2一个由n重非负整数构成的组称为一个多重指数. 记为α = (α1, α2, …, αn) , 其中αj∈ {0, 1, 2, …}.定义|α| = α1+ α2+ … + αn为α的阶数, 定义α! =α1!α2!…αn!为α的阶乘. 对x = (x1, x2, …, xn) ∈Rn, 定义x的α次方为xα= xα11xα22…xαnn. 对多元函数F的α阶偏导数定义为

从上述定义可以看出, 多重指数α的阶数与xα作为多项式的次数与αF偏导数的阶数都相等. 在定理1. 2二元函数的泰勒公式中, 用到了 (x1+ x2) k的展开式, 只不过这里次方都看成是偏导数的阶数. 下面要考虑 (x1+ x2+ …xn) k的形式.

引理3. 3对任意x = (x1, x2, …, xn) ∈Rn和任意正整数k, 则

证明归纳法. 当k = 2时, 由二项式定理展开,

结合多重指数的定义与多项之和的展开形式, 下面给出形式比较简单的多元函数的泰勒公式.

定理3. 4假设F:Rn→R在开凸集S内有直到k + 1阶偏导数, 如果a = (a1, a2, …, an) ∈S且x = a + h = (a1, a2, …, an) + (h1, h2, …, hn) = (a1+ h1, a2+ h2, …, an+ hn) ∈S, 则

下面通过一个具体例子进一步说明多元函数泰勒公式.

例求三元函数f (x, y, z) = 3 + 2x + x2+ y2+ 2xyz +3y2+ x3+ z4在点 (0, 0, 0) 处二阶的泰勒公式.

解由定理3. 4:

摘要：泰勒公式是微积分学中十分重要的一般理论, 数学分析教科书中只给出了一元函数和二元函数的泰勒公式, 本文作为泰勒公式的一般推广, 给出了n元函数的泰勒公式.

关键词：微积分,泰勒公式,多元变量

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001:134-142.

[2]邓晓燕, 陈文霞.泰勒公式的推广与应用[J].高等函授学报, 2012 (25) :61-63.

[3]齐成辉.泰勒公式的应用[J].陕西师范大学学报, 2003 (31) :23-25.

[4]谭康.泰勒公式及泰勒级数之妙用[J].高等数学研究, 2010 (13) :11-12.

公式篇2

公式运用

可用于某些分母含有根号的分式：

1/（3-4倍根号2）化简：

1×（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2)^2;=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2）/-23

[解方程]

x^2-y^2=1991

[思路分析]

利用平方差公式求解

[解题过程]

x^2-y^2=1991

(x+y)(x-y)=1991

因为1991可以分成1×1991，11×181

所以如果x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995

如果x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也可以是负数

所以解有x=996，y=995，或x=996，y=-995，或x=-996，y=995或x=-996，y=-995

或x=96，y=85，或x=96，y=-85或x=-96，y=85或x=-96，y=-85

有时应注意加减的过程

常见错误

平方差公式中常见错误有：

①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）

②混淆公式；

③运算结果中符号错误；

④变式应用难以掌握。

三角平方差公式

三角函数公式中，有一组公式被称为三角平方差公式：

(sinA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(cosA)^2=sin(A+B)sin(A-B)

(cosA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(sinA)^2=cos(A+B)sin(A-B)

这组公式是化积公式的一种，由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形。

注意事项

1、公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。

2、右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。

3、公式中的a.b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。

例题

一，利用公式计算

(1) 103×97

解：(100+3)×(100-3)

=（100）^2-（3）^2

=100×100-3×3

=10000-9

=9991

(2) (5+6x)(5-6x)

解：5^2-（6x)^2

=25-36x^2

公式篇3

【关键词】高斯公式斯托克斯公式散度旋度

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0140-02

在理工科教学中，高斯公式和斯托克斯公式是高等数学课程中两个非常重要的公式，对学生理解曲线、曲面积分，以及后续专业课程如电磁学、数学物理方程的学习都起着相当重要的作用，同时这两个公式也是考研数学中的热门考点。在国内大学通用的同济大学数学系编著的《高等数学》[1]教材中，讲到高斯公式和斯托克斯公式这部分内容时，都是先直接给出定理，然后加以证明并介绍其应用。然而在具体课堂教学时，要用这种方式讲好这部分内容，使学生能比较轻松地接受和理解它们，并不是一件容易的事情。为了使学生更好地理解并灵活应用它们，本文通过引入生活实例加图例的方法，对这两个公式以及散度和旋度概念进行了形象直观的阐述。

一、高斯公式与散度

设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，若函数 P（ x，y，z），Q（ x，y，z）与R（ x，y，z）在上具有一阶连续偏导数，则有高斯公式（散度公式）：

在日常生活中，我们经常见到如图1-3用榔头钉钉子，灯泡或太阳向四周辐射光线，点燃的烟花向周围爆炸等现象。对这些现象进行对比观察，发现都具向四周散射的效果。

二、斯托克斯公式与旋度

设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，若函数P（ x，y，z），Q（ x，y，z）与R（ x，y，z）在曲面（连同边界）上具有一阶连续偏导数，则有斯托克斯公式（旋度公式）：

在日常生活中，我们见到过如图5-7两人扳手劲、用电钻钻孔、旋螺钉、用磨子推磨等现象。对这些现象进行对比观察，发现都具向旋转的效果。

我们不妨对旋螺钉的效果进行受力分析，如图8螺钉受到旋转力A=（P，Q，R）作用，P，Q，R分别是旋转力A在x，y，z三个坐标轴方向上的旋转分力，旋转力A的作用效果等效于绕着三个坐标轴方向上的旋转分量作用效果，绕x轴旋转分量为绕x轴顺时

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学[M].第7版.北京：高等教育出版社，2014，7.

[2]Dale Varberg.微积分[M].第9版.刘深泉，张万芹，张同斌，杜保建，译.北京：机械工业出版社，2015.1.

公式篇4

关键词：欧拉公式,高等数学,复变函数

学习过高等数学的的人都学过欧拉公式,还知道欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式之一。其一般形式如下 :其中,e是自然对数的底, i是虚数单位,而且有“最美的数学公式”的美称。它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它不仅出现在数学分析里,而且在复变函数论里也占有非常重要的地位,更被誉为“数学中的天桥”。本文将以高等数学和复变函数这两门大学必(选)修课的知识对该公式的推导做如下归纳总结,为相关教研的老师和从事该领域研究的学生提供参考。

首先,我们先以所有本科生的必修课高等数学这门课程为基础来研究,当我们学习了级数的基本知识,这个公式的推导就可以总结如下 :

下面先给出一些级数部分的预备知识,即在学习级数章节的函数展开成幂级数的内容中,我们学习了三个重要函数——余弦cos x、正弦sin x、指数ex 函数的幂级数展开,当时我们用直接展开法将其分别展开为x的麦克劳林幂级数,现将其展开式的结论复习如下 :

接下来,我们作如下数据处理,在指数函数ex 函数展开式中的x用ix变量替换,其他什么都不变,这样便有如下新的展开结果 :

由众所周知的基本复数知识可知,

再将之前我们复习过得正余弦函数cos x、sin x的展开式代入上述结论便得,

即 ,就是我们推得的欧拉公式,但初等数学和高等数学里又习惯将欧拉公式中的x用θ替换写成如下的一般形式 :

这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起 :两个超越数 :自然对数的底e ,圆周率π ,两个单位 :虚数单位i和自然数的单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

以上归纳了欧拉公式在高等数学中的详细推导过程,接下来在学习了复变函数课程中的相关知识后我们在对该公式的推导做如下整理归纳如下 :

大家都知道实初等函数指的是——幂、指、对、三角、和反三角这五类基本初等函数通过有限次的四则运算和复合运算能够用一个式子表示的函数,那么在我们学习复变函数这门课程的过程中,当然也会引入类似于实初等函数的复初等函数,当我们引入了复初等函数的概念之后,我们就可借助复初等函数中的复指数函数的定义来推导欧拉公式,推导过程简洁明了,现归纳如下 :

在复变函数这门课程中,复指数函数是这样定义的 :

接下来只要我们令复指数函数中复数z=x +iy的实部x =0即可,从而

即

同理用θ替换上式中的y便可写成如下欧拉公式的一般形式 :

小学数学常用公式利率问题公式篇5

(1)单利问题：

本金×利率×时期=利息;

本金×(1+利率×时期)=本利和;

本利和÷(1+利率×时期)=本金。

年利率÷12=月利率;

月利率×12=年利率。

(2)复利问题：

本金×(1+利率)存期期数=本利和。

例如，“某人存款2400元，存期3年，月利率为10.2‰(即月利1分零2毫)，三年到期后，本利和共是多少元?”

解(1)用月利率求。

3年=12月×3=36个月

2400×(1+10.2%×36)

=2400×1.3672

=3281.28

(2)用年利率求。

先把月利率变成年利率：

10.2‰×12=12.24%

再求本利和：

2400×(1+12.24%×3)

=2400×1.3672

=3281.28(元)(答略)

[小学数学常用公式利率问题公式]

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新闻发现的公式篇6

但如何发现新闻？众说不一，莫衷一是。比较权威的是新华社总编辑南振中同志在《中国记者》１９９７年第６期上发表的《积极开发自己的发现力》的长篇文章，以及前不久出版的《记者的"发现力"》的专著。所以，笔者一度认为：如何发现新闻是个大题目，不是什么简要的公式可以概括了的。

但是，看了《新华文摘》２００２年第一期转自《发明与革新》杂志的一篇短文--《科学发现的公式》后，笔者的想法改变了。

《科学发现的公式》一文连标点算在内仅有７９０个字，却将科学发现的主要内容简化成"放慢脚步以探索问题"、"仔细阅读但不要读得太多"等５个简单的基本原则，读后有使人耳目一新之感。既然自然科学的发现尚有公式表达，那么社科范畴的新闻发现按理也可以找到一个清晰明了的表达公式，完成这项课题对新闻工作者特别是青年记者朋友不无益处。

记得一位伟人曾经说过，写文章要短些、短些、再短些。这话是有道理的，文章写得短，写得简要，就更具有逻辑性，道理更能说明白。所以按照这一思路和推断，笔者结合自己３０年的新闻工作经验，将新闻发现的基本原则作如下简要的概括。

从"上头"与"下头"的结合上寻找切入点。衡量新闻价值大小的最有效的办法是将所要报道的线索放到全省、全国乃至全球范围内去衡量、去比较，在比较中发现新闻从"上头"与"下头"的结合上确定报道题目，也就是常说的全局观念。"上头"是指党的方针政策，"下头"是指基层的情况，二者本质上并无矛盾，在"两头"的结合上找到了切入点，也就找到了新闻的感觉。

扩大思维和活动空间，以便寻找更多的参照物，在比较中发现新闻。一定要到事件发生的现场采访，并进行全方位、多角度的思考。只有到了现场，才会触景生情，打开思维的空间，引发种种联想，网络时代的到来并未改变这一新闻采访规律。

主动与人交流，碰撞"火花"。相互交流是对事物本质再认识的过程，是发现新闻的重要条件之一。除了与被采访对象、有关专家学者和独到见解的人进行交流外，还要提倡记者与记者、记者与编辑之间的交流与合作。

改进学习方法，带着问题有选择地读书。如今是知识"爆炸"的信息时代，需要学习的东西很多，但人的精力是有限的，要有所学有所不学，急用先学。同时还要认识到，实践经验的积累是更重要的学习，要用心体验生活，把感性的东西理性化，这样才能产生化学反应，实现质的飞跃。

公式篇7

为此,我们给出今天介绍的内容:《概率论》中的基本公式———全概率公式与Bayes公式.

一、准备知识:设A、B是随机试验E的两个随机事件

1.条件概率公式 :

2.乘法公式 :

二、全概率公式与Bayes公式:设Ω是随机试验E的样本空间

1.定义 :若E的事件组A1,A2,…,An满足

则称事件组A1,A2, … ,An为Ω的一个划分 (或完备事件组).

2.公式 :设B是随机试验E中的任一事件 ,A1,A2,… ,An是Ω的完备事件组,P(Ai)>0(i=1,2,…,n).

(1)全概率公式:

(2)Bayes公式:P(B)>0

例 :设某批产品中 ,甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂产品的次品率分别为4% ,2% ,5% , 现从中任取一件,

(1)求取到的是次品的概率;

(2)经验证发现取到的产品是次品 ,求该产品是甲厂生产的概率.

解:设事件:

A1={该产品是甲厂生产的},A2={该产品是乙厂生产的}

A3={该产品是丙厂生产的},B={该产品是次品}

则A1,A2,A3为一个完备事件组,且已知:

P(A1)=45%,P(A2)=35%,P(A3)=20%

P(B|A1)=4%,P(B|A2)=2%,P(B|A3)=5%

(1)由全概率公式有:

(2)由Bayes公式有:

三、小结

1.完备事件组就是任一事件发生的情况、原因或途径 ;

2.运用全概率公式与Bayes公式的关键是找出一个完备事件组;

公式篇8

一、观察猜想法

所谓的猜想法就是由该数列中某些项中所体现出的规律, 去大胆猜想出该数列的各项之间所具有的共同规律的方法。

例1已知数列{an}满足a1=3, an+1=2an+1。试写出该数列的前5项, 并用观察法猜想这个数列的一个通项公式。

解:由a1=3=22-1, 及递推公式an+1=2an+1可以得到

评注:本题的关键不在于通过递推公式去求数列的每一项, 而在于对最后结果的变形, 要善于挖掘项与项之间的关系, 这是写出通项公式的关键所在。当然了, 此方法仅适用于猜想, 本题如改为“求这个数列的通项公式”, 那么仅仅凭借猜想是不对的, 必须要用数学归纳法进行严格的证明, 所以此方法的适用面非常狭窄。但是对于某些填空和选择题来说, 用猜想法可能会收到事半功倍的效果!

二、迭加相减法

例2若在数列{an}中, a1=2, an=an-1+1 (n≥2) , 求该数列的通项公式。

解:由递推公式an=an-1+1 (n≥2) 可以得到

把上述n-1个等式左右两边分别对应相加并化简得到

当n=1时, a1=2也符合此式

评注:该方法适用于数列中连续两项的关系是以加法形式给出且这两项的系数相同的类型。适用该方法的递推公式的一般形式为an=an-1+f (n) , 其中f (n) 是等差数列或等比数列均可。需要提醒学生注意的是最后一步检验:

n=1时, 检验a1是否符合通项公式这一步必不可少, 如果符合, 则可以用一个式子来表示;若不符合, 则必须写成的形式。

三、迭乘消去法

例3已知数列{an}中, a1=3, an=2an-1 (n≥2) , 求该数列的通项公式。

解:将递推公式an=2an-1 (n≥2) 变形得

将这n-1个等式左右两边分别相乘得到

所以an=3·2n-1 (n≥2)

经检验, 当n=1时, a1=3也符合此式

所以an=3·2n-1

评注:此方法适用于递推公式中连续的两项是以乘法形式给出的类型, 但是这两项的系数可以任意。

适用该方法的递推公式的一般形式为an=an-1f (n) (n≥2) 的形式, 则可由an=an-1f (n) , an-1=an-2f (n-1) , an-2=an-3f (n) , …, a2=a1f (n) 连乘求得通项公式。

与加法相同, 最后一步检验n=1亦不可少!

四、迭代法

例4已知数列{an}中, a1=1, an+1=3an+1 (n∈N*) , 求该数列的通项公式。

解:an+1=3an+1

评注:此类题目因为an+1与an系数不同, 故用迭加法无法解决, 但是可以通过此种方法求an, 注意运算时不要出错。

五、构造特殊数列法

例5已知数列{an}是首项为1的正项数列, 且 (n+1) a2n+1-nan2+an+1an=0 (n=1, 2, 3, …) , 求该数列的通项公式。

解:由 (n+1) a2n+1-nan2+an+1an=0

得到[ (n+1) an+1-nan] (an+1+an) =0

成功商业公式案例篇9

连锁标准化——麦当劳

吃过麦当劳(McDonald’s)快餐的人都知道，在任何一个麦当劳店，你所吃到的汉堡都是一样的，这就是麦当劳的连锁标准化管理。作为全球最大的连锁快餐企业，麦当劳的成功缘于它的创始人创造了一种适应时代要求的商业模式，并通过制定统一和规范化的标准，使其可以迅速地复制扩张。

1955年诞生的麦当劳连锁快餐机构，至今已发展成为在世界范围内拥有超过31000家分店的跨国公司。彼时正值美国进入经济高速发展的阶段，人们生活工作节奏加快，用于吃饭的时间越来越短，特别是个人大量拥有汽车后，途中快速用餐的需求出现了，而在一些机场和高速公路路口设立的麦当劳快餐店满足了人们的需要。

当然，标准化的商业模式，是以其高品质服务、价值、洁净以及美味可囗的食品为基础。自1955年开业以来，麦当劳一直疯狂地钟情于高速扩张，由于实施严格的质量和清洁卫生标准，丰厚的特许专营费等收入使其在1965年～1991年间为麦当劳带来了销售收入高达24%的年增长率。此后随着美国国内快餐行业竞争的日益激烈，麦当劳又将扩展的目光转移到海外，单在1996年的一年中，麦当劳在海外就开设了2000家分店。

可以说，麦当劳以其独特的成功商业模式获得了世界餐饮第一的地位，吸引了世界的强烈关注，成为人们津津乐道的话题，使品牌得以快速传播，很多人没有见到麦当劳之前就在书本上、电影里熟悉麦当劳了，所以麦当劳进入新市场时往往不需要做广告，就会顾客盈门。

迈向精益——丰田汽车

制造业是需要长期发展的行业，所以必须寻找长期推进的生产方式，而丰田模式就是很好的典范。

全球最成功的汽车制造商丰田汽车公司(Toyota Motor Corporation)的商业模式可以用一个词来形容：持续迈向精益。这适用于丰田公司的一切工作：从汽车生产到产品创新，无所不包。它的新车型也许会遭遇滑铁卢，例如1957年推出的首批美国车，但到了第二版本，首款车的许多缺点便会消失，再到第三版本出台时，这些缺点就几乎消失殆尽。

丰田汽车公司首创的精益生产方式，以低成本、高灵活性，最大程度地满足了顾客的多样化、个性化的要求，一举获得了巨大的成功。丰田汽车的生产效率一直被视作行业标准，如今的美国汽车公司仍然在追赶当年丰田的生产效率，虽然是福特发明了生产流水线，但包括福特、通用在内的美国汽车巨头每辆车的装配时间依然比丰田汽车长几个小时;更重要的是丰田汽车提出了必须根据每一个的“我”，生产出几乎是独一无二的个性化汽车，就像各人的家居设计、服装加工那样，丰田的这一举措是汽车制造商设计和营销观念上的根本性革命。以丰田汽车为代表的精益企业模式由五个基本过程构成，它们包括产品开发, 采购管理, 销售管理, 决策管理, 生产过程管理。丰田模式是一个周而复始的循环过程：流程达到稳定性——作业标准化——持续不断地挤压流程以使障碍暴露出来。这样企业在解决问题和持续的流程中构成了丰田模式的基础框架。正是这种框架，也曾使丰田比竞争者们能在短期内以较少成本实现更多成果。

转运中心——Fed Ex快递

如今在孟菲斯机场，每晚都有上百架联邦快递的飞机在这里起落。每天夜里，在联邦快递面积达364公顷的超级转运中心，长达300多英里的传送带平均每小时处理95000个包裹。来自世界各地的不同物品，小至电子产品、香水，大至发动机源源不断地被运来，经分拣后再迅捷、精确地送到目的地。

转运中心式 (Hub-and-Spokes System) ，简单地说有点类似银行间的票据交换制度，银行将所收发的他行支票集中于票据交换中心，然后各家银行派员至此将本家的票据取回，这种直接市场交易形态简化了各家票据处理的流程，进而节省了许多的时间。联邦快递创办人史密斯 (Frederick W·Smith) 看到了这种方式在其他产业运用的可能，认为航空快递也可以采取类似的模式，进而大幅度降低运送的时间成本。这在当时是难以想象的一个概念。

实际上史密斯在耶鲁大学二年级时的一份期末报告中，就提出这种将货物集中于转运中心后再出货的经营构想。不过他的教授却告诉他“这个构想虽然很具创意，但因为不可行，所以只能给C以下的成绩”。

客观而言，转运中心的构想并不是一个伟大神奇的发现，不过当时所有的快递业者都以为那是不可行的，因为不符合经济效益。的确在70年代初期，顾客并没有主动提出“隔夜送到”的需求，但史密斯相信顾客会欢迎这样的服务产品，并且未来快递市场竞争的关键必然在于速度。如今时间证明，转运中心模式改变了航空货运业的营运方式，而利用全球转运中心这一模式，能够更加高效快速地把包裹运送到目的地，亦成为了后来国际快递巨头的共同选择。

天天低价——沃尔玛

沃尔玛所从事的传统零售业，从交易形式上看没有什么特别之处。但2001年“穷人店”沃尔玛发威，这一年，拥有45年历史的沃尔玛已经在全球拥有4150家连锁店，其年度收入达到2200亿美元，超过埃克森石油公司跃居世界500强的首位。在此之前的20年时间里，沃尔玛以每年10%的增长速度膨胀，业务迅速扩张到亚洲、欧洲和南美洲。

“为顾客节省每一分钱，向顾客提供最实惠的商品”，沃尔玛就是凭“天天低价”的营销模式成为全球老大的。但“低价”仅仅是沃尔玛成功的表象，真正的关键在于其靠什么支撑“低价”。价越低利润就越低，“薄利多销”似乎能从规模解决利润问题，但“多销”却不是“随心所欲”的。沃尔玛天天低价的价格战略是建立在天天低成本的基础之上的, 离开了天天低成本去高呼和实行天天低价, 无疑是饮鸩止渴。

所以，“天天低价”模式的关键在于：一，如何让顾客到你这儿来购买，而不到你的竞争对手那里去购买，从而保证你的量;二，如何有效地从供应商那里得到更低的进货，从而保证你的成本优势;三，如何提高运营上的效率，从而扩大利润率。而沃尔玛的低成本主要建立在商品采购环节上的有效管理、科学高效的商品配送链和物流系统、门店商品的高周转和零库存、努力降低管理成本的基础之上的。

廉价航空——西南航空

作为廉价航空的表率，美国西南航空30余年持续盈利的秘诀是：提供尽可能低价的机票，且确保旅途愉快，你的航班必能满载而归。如今看起来，这已成为放之四海皆准的黄金法则。

在1967年，当西南航空公司创始人赫伯特·凯勒赫 (Herbert D.Kelleher) 还是名律师时，他敏锐地意识到当时的大型航空公司热衷于远程航线，对短途飞行不屑一顾，如果能组建一家专门在大城市间经营短途空运业务的航空公司，肯定有利可图。

直到1975年，该公司的4架波音737飞机只能在达拉斯、休斯敦和圣安东尼奥三个城市间飞行，在强者如林的美国航空业根本无足轻重。然而就在艰难的成长过程中，廉价航空的优势逐步凸现：由于票价比同行便宜一半多，且针对讲求时效的商旅乘客和关注价格的普通旅行者，推出不同的价格体系(每天晚7点前的票价为26美元，晚7点后及周末票价为13.4美元)，它的班次频率颇高，乘客几乎每小时都能搭上一架西南航空公司的班机，这使得它在德州航空市场占据了主导地位。

在20世纪80年代客运量每年增长300%的高速发展期，西南航空每英里运营成本降低到了不足10美分。或许，廉价航空的真正创新之处正在于此，在大型航空公司风光不在的21世纪，西南航空却凭借长期的成本控制能力牢牢握住自己的市场地位。2006年，每天超过3300班次西南航空的飞机飞往美国32个州的63个城市，但节约成本仍是核心策略。

体验至上——星巴克

星巴克于1971年在美国西雅图海岸边开出全球的第一家店，创始人将品牌命名为“星巴克”，构想来自于梅尔维利 (Melville) 的古典小说，小说中叙述着红海及咖啡商人浪漫的海上冒险故事，今天的星巴克则以完全不同的方式，诠释咖啡的浪漫。

轻柔的音乐声中，飘来阵阵的咖啡香味。阿拉伯风味的摩卡 (Mocha) 或是意大利的卡布其诺 (Cappuccino) 。顾客喝着一杯杯香醇的咖啡，或沉思、或看书、或谈天……这就是星巴克咖啡店的写照，地点可能是纽约或维也纳，也可能在上海或台北。今天，更有可能从北京到伦敦，或从上海到纽约，它无所不在，因为星巴克这位咖啡巨人的触角，正伸向世界各地快速地蔓延着……

“认真对待每一位顾客，一次只烹调顾客那一杯咖啡。”这句取材自意大利老咖啡馆工艺精神的企业理念，贯穿了星巴克快速崛起的秘诀。注重“oneatatime” (当下体验) 的观念，强调在每天工作、生活及休闲娱乐中，用心经营“当下”这一次的生活体验。这是星巴克核心的经营理念。专注于顾客体验营销的星巴克，在每个接触点上都会不遗余力地给客户尽量提供近乎完美的体验。

尽管星巴克店内卖的是上好咖啡，但它的核心价值并非咖啡本身，而是跨越咖啡以外的无形附加价值“顾客在店内饮用咖啡的经验”。星巴克国际业务总经理马斯兰 (Maslen) 表示:“星巴克是一次开一店，顾客是一次喝一杯，我们不做粗制滥造的批发生意，我们追求的是‘重复购买’和‘忠诚度’。因此，我们几乎不打广告或从事传统的营销活动，我们靠的是‘顾客经验’及其所衍生的忠诚度。”

【国内篇】

专业地产——万科地产

万科的成长经历可以简单总结为三个阶段，头一个十年，万科在做加法，走了多元化之路，第二个10年万科做了减法，完成了多元化向专业化的转化，第三个10年，万科的目标是专业化向精细化的转化。

1984年成立的万科，开始做进口电器生意，很快业务拓展到出口、广告、饮料生产、工业制造、房地产、股票投资等领域，成为一家典型的多元化企业。但由于资源分散无法在某个行业形成规模优势，不但企业持续发展能力受到限制，抗风险能力也明显不足。1992年万科确立房地产为主导行业，开始进行由多元化转为房地产开发为主导业务的专一化战略调整。1994年万科进一步在产品上改变公寓、别墅、写字楼什么都干的做法，专一到只做房地产市场的主流产品——中档住宅。经过10年调整，万科成为一家专做房地产的企业。

市场热点不断变换，王石却带领万科一直在做“减法”：对非核心企业实行关、停、并、转，盘活存量。通过高度专业化，万科创造了自己的核心竞争力，通过推动规模化产业化生产，提升了产品质量与服务。

万科的下一个目标是专业化向精细化的转化。对于万科管理模式，业界名人冯仑的一句评论极为精辟：“有些公司80%的时间关注的是机会和突破，只有不到20%的时间抓管理，而万科恰恰相反，80%精力投入管理性决策上，20%是投资性的决策”。“像造汽车一样造房子”是万科董事长王石的梦想，如今这个梦想正在艰难的探索中逐渐变得清晰。万科逐渐走上了住宅产业化的长远发展道路。

概念为王——分众传媒

与盛大不同，分众传媒在纳斯达克完完全全地是一个中国概念股。盛大上市前，其主营业务——网络游戏已经为其持续的带来巨大的利润与现金流，而2002年才开始冒头的分众传媒能在如此短的时间内名扬海外，因为它一开始就是瞄准上市去的。

做广告代理出身的江南春，自2002年底将首块液晶电视屏装入上海高档写字楼内开始，发起了一场新的媒体广告革命。“在这个快速消费的年代，人们没有更多的时间阅读、购物，我们只有把电视广告从家中带到人们经常去往的家庭以外的各种地点，并且通过在不同地点设置视频广告，才能帮助广告到达所要针对的目标人群，从而大大提升传播有效性，避免大量的媒体预算浪费在错误的人群中。”凭着这样的理念，江南春首个想到的是高档写字楼此前毫无额外利用的电梯，“利用人们等电梯的无聊时间来播放广告。”

分众传媒的主营业务，是在写字楼和其他商业地产场所运营液晶显示屏广告网络。这种新型的写字楼战略虽然吸引人们视线，但是所需的投资量也是很大的，进入广州一家甲级写字楼安装一块液晶显示屏的费用，动辄上万元，如果不采用特别的方式，分众传媒前景纵然广阔，也很难迅猛发展。分众传媒的发展只能借道纳斯达克，风险投资完成了前期的作业以后，后期由资本市场来接力。因此，我们看到了3i集团、软银、高盛等国际风险投资基金的一次精彩表演。

从根本上说，分众传媒不是面向客户卖广告，而是面向资本市场卖网络，这里面需要的是传统的企业没有的资本经营的眼光。不仅分众传媒，应该说每一个企业面对的市场其实都是多层面的，关键是看领导者有没有资本经营的眼光。

跑马圈地——国美电器

国美电器集团作为中国最大的家电零售连锁企业，成立于1987年元月一日，是一家以经营电器及消费电子产品零售为主的全国性连锁企业。

《财富》中文版日前发布“2008最受赞赏的中国公司”排行榜，公布了25家全明星公司，国美电器连续三年跻身其中，并在中国零售行业榜单中摘得第一殊荣，成为最受赞赏的中国家电零售企业。

在国美发展史上，“收购整合”一直是其快速扩张的重要手段，国美近年来已收购过10多个全国性或区域性家电零售品牌，实现了多品牌运营，比如上海的“永乐”、黑龙江的“黑天鹅”、常州的“金太阳”等。1074家门店覆盖除西藏、青海、台湾等全国所有一级城市和部分二级城市。短短几年时间，借助兼并收购、快速扩张等方式，国美电器已成为中国家电连锁行业当之无愧的“大佬”。吞并永乐奠定了其中国家电连锁巨头的根基，而托管大中则更是让其如虎添翼。

除了家电零售，去年起，国美又专门成立手机通讯公司，并购陕西蜂星。还与戴尔展开电脑直营合作，积极向IT、通讯等业务领域扩张，逐渐构建综合性3C卖场的大布局。

通过不断的并购整合，国美提高了中国家电流通产业集中度，加快了中国家电连锁业的发展进程，缩短了成为世界级品牌的时间，成为代表中国家电连锁业整体实力上升的一个重要标志。

连锁百货——王府井

北京王府井百货(集团)股份有限公司，简称“王府井百货”，前身是享誉中外的新中国第一店——北京市百货大楼，创立于1955年。公司经过五十年的创业、发展，现已成为国内专注于百货业态发展的最大零售集团之一，也是在上海证券交易所挂牌的上市公司。

零售业在规模产生效益的今天，百货业态形成连锁规模的现在还不多。从连锁经营机构调查的数据显示，现在连锁经营状态的份额所占社会零售总额的比重不断上升，现在已经占20%多了。而目前在全国能够发展连锁百货店的就只有王府井、北京华联等几大集团。

王府井百货是新中国百货缩影，具有广泛代表性，它是典型的国营体制，成为上市公司以后，建立现代企业制度，吸引国外先进零售业经验，引进麦肯锡外脑，历经艰难创造了百货连锁经营的成功案例。面对日趋激烈的竞争和国际零售业巨头的迫近，自1996年起，公司就开始在全国范围内推进百货连锁规模发展，实现由地方性企业向全国性企业，由单体型企业向连锁化、规模化、多元化企业集团的转变。

公司1991年组建集团，1993年改组股份制，1994年完成社会公募后在上海证券交易所上市，1997年加盟北京控股有限公司成为红筹股的一员。2000年9月与东安集团实现战略性资产重组，成为北京最大的零售集团。2004年，公司入选国家商务部重点扶植的全国20家大型流通企业行列。

渠道制胜——联想

联想集团成立于1984年，由中科院计算所投资20万元人民币、11名科技人员创办，到今天已经发展成为一家在信息产业内多元化发展的大型企业集团。于1994年在香港上市。2002年，联想电脑的市场份额就达27.3%，连续7年位居国内市场销量第一，其中台式电脑销量首次进入全球前五，消费电脑世界排名第三。2004年12月，联想集团宣布，以12.5亿美元的代价对IBM全球PC业务实施大收购。

美国《财富》杂志公布的2008年全球500强排行榜，联想凭借167.8亿美元的年销售额，排名第499位首次进入财富全球500强。联想的上榜是中国高科技制造业冲击“500强”榜单的开始。

联想的成功是得益于体系的建设，尤其是渠道体系的建设。“渠道兴则联想兴”——这句话用来形容联想似乎是再恰当不过的了。

1994年，现任联想集团董事长、当时任联想微机事业部总经理的杨元庆草拟并与合作伙伴签下第一份代理协议;1998年，联想在“龙腾计划”中首次提出“大联想”概念，把“大联想”成员“法定”为联想的长期商业伙伴。这两个标志性事件实际上分别开启了联想代理分销和紧密分销两个阶段。正是联想模仿而又有所创新的渠道策略，培养了一大批忠诚的渠道队伍，也造就了过去十多年联想和合作伙伴的辉煌。

市场态势一刻也没有停止演变。联想的渠道建设也不可能沉湎于过去的辉煌。渠道变革是联想永恒的话题。

迈向全球——海尔

海尔集团十多年来，以平均每年82.8%的速度高速稳定增长，从一个濒临倒闭的集体小厂发展成为中国家电第一名牌，在国际市场上享有较高声誉，其经验被美国哈佛大学列为成功管理范例。海尔是中国最具品牌意识、而且品牌价值最高的企业之一。

1985年，张瑞敏带头砸毁了76台不合格的冰箱，从那时起张瑞敏已经将品牌意识推广到海尔发展的战略高度。2007年海尔品牌价值786亿元，连续6年蝉联最有价值品牌榜首。据全球权威消费市场调查与分析机构EUROMONITOR最新调查结果显示：按销售额统计，海尔集团目前在全球白色电器制造商中排名第四，按品牌销量统计，海尔跃升全球第二大白色家电品牌。2005年8月30日，海尔被英国《金融时报》评为“中国十大世界级品牌”之首。海尔已跻身世界级品牌行列，其影响力正随着全球市场的扩张而快速上升。

重新计算商业公式篇10

PPG模式之惑

此前一度非常热门的PPG公司, 在进入市场之初非常成功, 其仅仅以呼叫中心和互联网为主销售男士衬衣, 而取消了传统的店铺的销售形式, 这在男士衬衣行业无疑是一个巨大的创新, 其独特的经营模式振动了整个男士衬衣行业。

但是, 不久PPG的经营就出现了问题, 首先表现出来的是资金链断裂的危险。从表现来看, 是由于竞争者的进入导致销售下滑, 尤其是PPG投入的广告费用太多, 业内人士保守估计, PPG的广告占销售额的比重不会低于45%, 而导致资金链的问题。

问题根源在于, 为什么PPG会打这么多广告呢?PPG曾在不同场合多次重申过自己的理念。“PPG的核心是做品牌”、“消费者买产品, 品牌是很重要的, 每个品牌都有自己的定位和形象, 竞争对手要模仿我们的话也无法模仿我们的品牌形象”。如此看来, PPG花费大量广告费的目的是希望打造一个有着明确定位和形象的知名男士衬衣品牌。

PPG打造知名衬衣品牌的初衷正是他们走向衰落的根本原因, 而PPG在前期的成功正是由于他们的经营模式, 在无意中满足了消费者需求的变化。在国内市场上, 尤其是大型城市市场中, 随着消费水平的提高, 男士们开始拥有更多的衬衣, 衬衣的更替频率也越来越快, 这些男士开始将衬衣当做一件非常普通的消费品, 甚至开始将衬衣视为近乎于内衣的一种衣服, 显然, 衬衣作为显示身份、品位等因素的功能在衰退。而且, 随着男士衬衣产品的标准化程度的提高, 在男士衬衣上越来越难以体现出时尚的设计、精细的做工、高档的面料等元素了。这些因素都导致了消费者需求的一个变化, 即在大型城市市场上的男士们, 在购买衬衣时不再像以前那样看重衬衣品牌了, 而是更加关注衬衣的性价比和购买时的便利性了。

显然, PPG无店铺、无工厂的经营模式给衬衣带来的低价, 在无意中吻合了消费者需求的变化, 消费者也并不在意他们在进入市场之初没有品牌。但是, PPG的初衷仍然是打造知名的衬衣品牌, 当他们将大量的金钱投入到广告中去时, 由于消费者并不在意衬衣的品牌, 实际上, PPG投入到广告中的巨额费用并不能换来同等的销售的增加, 那么, 资金链出现问题也是必然的了。而且, 当资金链出现了问题以后, 在不能提高零售价的前提下, PPG只能以牺牲产品质量 (虽然这不一定是公司明确的经营政策) 为代价了, 那么, PPG衬衣的性价比就变得没有吸引力了, 因此, 具有类似经营模式的新的竞争对手的机会来了。

商业公式的偏差

PPG实际上是一个颠倒应用商业公式的因果关系的典型例子。

在创造新的商业公式的过程中, 往往会出现一种认识上的偏差, 尤其是一些国内企业, 他们总是习惯于将创造新的商业公式的着眼点, 放在行业内部因素, 而不是消费者身上。也就是说, 很多企业以整合价值链和行业内部各种因素为出发点, 创造了某种新的商业逻辑, 这种新的商业逻辑确实会给企业带来某些竞争优势, 比如更低的成本, 更加快捷便利的服务等。但是, 如果这些新的竞争优势并没有给消费者带来新的价值, 或者这些新的竞争优势给消费者带来的价值并不大, 消费者并不在意这些新的价值, 那么, 这种新的商业逻辑就不能给企业带来长久的竞争优势。

导致以上的问题的原因是企业在思考商业逻辑时, 忽略了商业公式中等号两边的因果关系, 在商业公式中, 等号的左边是各种商业因素及其逻辑关系, 右边是消费者的价值。很多企业是由等号的左边推导出等号的右边, 即以各种商业因素及其逻辑关系推导出给消费者创造的价值。

问题在于, 在这种思维方式下, 很容易误导企业过于关注商业因素及其逻辑关系的创新, 而忽略了研究消费者需求及其变化。即便某个经营模式暂时吻合了消费者的需求, 但是, 由于企业并没有了解这种经营模式吻合消费者需求的本质因素, 而必然会在日常的经营中, 不知不觉地改变了吸引消费者的因素。但是, 如果企业始终以商业公式的右边为核心, 开发和审视经营模式, 就能够保持经营模式为消费者创造更多的价值。

正确认识因果关系

反之, 如果从商业公式的右边着手创新经营模式, 即从研究消费者的需求 (包括消费者潜在的需求, 以及消费者需求的变化) 开始, 往往会创造出更加成功的经营模式。也就是说, 企业在创造新的经营模式时, 首先深入理解行业内的消费者的潜在需求及其变化, 然后根据对消费者需求的了解, 在各个商业因素及其逻辑关系中寻求创新, 以新的商业因素及其逻辑关系, 更好地满足消费者潜在的需求及其需求的变化。显然, 只要企业对消费者潜在的需求及其需求的变化有及时而正确的理解, 那么, 在这种思维方式下创造出来的新的经营模式必然是成功的, 而且, 也同时具备了对原有的经营模式进行修正、调整的能力。

从应用商业公式的角度来看, 戴尔无疑是一个成功者。在美国市场, 当电脑技术逐渐成熟, 以及消费者开始认为电脑只是一件普通的消费品时, 消费者也就不会刻意关注电脑的品牌、外观等因素了, 而消费者就会对电脑产品的性价比和购买的便利性更加关注了。那么, 戴尔模式在网上的直销形式恰好更好地满足了消费者需求的变化, 他们以同等的产品品质、便利的购买方式和更低的价格, 赢得了消费者。显然, 戴尔正是由于看到了消费者需求的变化, 从而才创新了经营模式, 并一举获得成功。

戴尔成功地应用商业公式并没有到此为止。当戴尔发现, 由于电脑产品生产成本的不断降低, 笔记本电脑也逐渐变成了普通的消费品, 越来越多人从使用台式电脑转向笔记本电脑。那么, 消费者在使用笔记本电脑时有何消费需求呢?显然, 作为可以携带的笔记本电脑, 消费者更加关心电脑的体积、重量、外观等因素, 而这些因素在网上是无法得到真实的体验的, 因此, 戴尔开始与沃尔玛、国内的国美电器等零售商合作, 即开始进入传统的零售渠道销售其电脑了。如果戴尔没有看到消费者对电脑产品需求的变化, 他们也许就不会进入传统的零售渠道, 那么, 他们的市场份额必然会慢慢地减少。当然, 也许戴尔正是看到了其销售逐渐下滑, 而在寻找销售下滑原因时, 发现了消费者在购买电脑产品时的消费需求的变化, 从而才决定进入传统零售渠道。

幸福理财“四大公式” 篇11

变“储蓄＝收入－支出”为“支出＝收入－储蓄”

公式解读：两者的区别就在于前者是先花钱后省钱，而后者是先省钱再消费，转换它们其实就是转换消费观念。

大学毕业的晓俪去年11月就与一家会计事务所签订了就业协议，一直颇有理财意识的她，从第一份薪水开始就为自己订下了每月储蓄的目标：月初领取薪水，待日常生活消费后，月末将剩余的钱存入银行。然而她很快就发现，无计划的花费令自己每月的积蓄少得可怜。于是，她果断地将“储蓄=收入－支出”的理财方式转变为“支出=收入－储蓄”，在每月初将收入的30%作为强制性储蓄，剩下的钱作为当月可动用资金。如今，她的“小金库”正逐月庞大。

“懒人理财＝50％稳守＋25％稳攻＋25强攻”

公式解读：一半资金购买低风险理财品用来保本，一半资金投资股票及基金获取风险收益。

孙娅在外企工作一年多，有一些积蓄。她把一半资金放在人民币理财产品和货币市场基金等低风险理财产品上。剩下的一半资金，将其分作“稳攻”和“强攻”两部分：对于前者，孙娅选了一些波动幅度较小、收益较稳健的理财产品，如混合型基金、大盘蓝筹股等，追求的年收益率在5％－10％不等；另外的25％则是投资理财中最刺激的部分了，她将这部分资金投入成长型股票和股票型基金中，在承担大风险的同时，以期获取更高的收益率。

“可承担风险比重＝100－目前年龄”

公式解读：进行积极性投资时，以可承担风险比重作为资金分配参照。

在某银行工作近4年的魏茜对理财颇有研究。她不同于多数女性在理财上的保守，属于较激进型，但对风险的把握又恰到好处，“可承担风险比重＝100－目前年龄”是她遵循的首要原则。魏茜目前26岁，依公式计算，她可承担的风险比重是74，她就将闲置资金中74％的资金投入风险较高的积极性投资，主要是股票；剩余的26％作为保守性的投资操作，以定存和债券为主。通过这种投资资产比例的配置，理财组合比较多样化，近两年来收益率一直维持在15％以上。

“基金投资足球队阵型，4一3一2一1”

公式解读：借鉴足球阵型，对基金投资份额进行分配，起到分散风脸的效果。

和上述三人不同，梁艳的理财方式较为单一，只有基金投资一项。在她看来，基金投资省心省力，将财产交给基金经理打理，平日里不用时常关注，每年坐享分红即可。早在大学时期，主修金融专业的梁艳就对基金投资做过深入的了解，如今工作五年多，她更是为自己量身定做了一套基金投资方案。为了分散风险，她将自己的基金投资转变为“4一3一2一1”的足球队阵型，即40％的资金购买股票型基金，30％的资金购买混合型基金，20％的资金购买货币市场基金， 10％的资金购买债券型基金。

在业内专家看来，四种类型的基金风险递减，资金投入也随之递减，可见该方案属于激进型投资，对年纪较轻、月收入稳定者适用。

chenying1114@126.com

三个公式别忽视篇12

等比数列是一个特殊数列, 常涉及与前n项和有关的运算.在运算过程中, 大家更多关注公式 $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n - 1})}{1 - q}$ 的运用, 一切问题皆归于此, 有时会造成运算的繁琐, 或丢掉对公比的讨论, 造成失分或时间上的浪费.仔细思考研究发现, 被忽视的三个公式可帮助大家解决前面问题.

公式 $1 S_{n} = \frac{a_{1} - a_{n} q}{1 - q} (q \neq 1) .$

这一公式与前面公式有同等重要的位置, 当等比数列已知或易求出第n项an的通项公式时, 应首选此公式, 它避免了对项数的认识, 可直接进入主题.

例1 设f (n) =2+24+27+210+…+23n+10 (n∈N) , 则f (n) 等于___.

分析这是一个等比数列求和问题, 容易知道首项、末项与公比, 但项数的确定容易出差错, 显然公比不为1, 这时若选择公式 $S_{n} = \frac{a_{1} - a_{n} q}{1 - q} (q \neq 1)$ 会容易得到结果 $f (n) = \frac{2 - 2^{3 n + 10} \cdot 8}{1 - 8} = \frac{2}{7} (8^{n + 4} - 1) .$

例2 在3/2与768之间插入若干个正数, 使它们构成等比数列.这若干个正数之和为765, 求插入的这些正数.

[1] 郑毓信, 梁贯成.认知科学、建构主义与数学教育[M].上海:上海教育出版社, 2002.分析本题给出了等比数列的首、末项, 使用公式1最好.

解显然公比不为1, 设这个等比数列共有n项, 依题意得

${\begin{cases} 768 = \frac{3}{2} q^{n - 1} ‚ \\ 765 + \frac{3}{2} + 768 = \frac{\frac{3}{2} - 768 q}{1 - q} . \end{cases}$

解得

${\begin{cases} q = 2, \\ n = 10 . \end{cases}$

所以插入的正数为:3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384.

当计算与等比数列前n项和有关的问题时, 无论选择上述两个公式的哪一个, 都要首先判定公比q是否为1, 只有当公比不为1时, 才可使用上述公式.在有些环境下, 不使用公式, 而且通过适当的关系转化, 即可避免讨论的缺失, 又可避免计算上的失误.

公式2Snk=Sn (1+qn+q2n+…+q (k-1) n) .

此公式的证明如下:

例3 (2007年陕西卷) 正项等比数列{an}前n项和Sn, 若Sn=2, S3n=14, 则S4n=___.

分析由

S3n=Sn+qSn+q2Sn=2 (1+q+q2) =14,

解得 q=2, 或q=-3 (舍) .

又根据

S4n=Sn (1+q+q2+q3) ,

容易得到S4n=30.

说明此题也可应用性质:Sk≠0, Sk, S2k-Sk, S3k-S2k成等比数列, 但容易出错.

例4 已知等比数列的公比及前n项和分别为q, Sn.若2S3, S6, S12-S6成等比数列, 试讨论S3, S9, S6是否成等差数列.

分析此题若选择 $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n - 1})}{1 - q}$ , 必须讨论公比能否为1, 同时有高次乘方的运算与化简, 选公式2就快捷得多.

由已知得

S $_{3}^{2}$ (1+q3) 2=2S3·S3 (q6+q9) .

而 S3≠0, 1+q3≠0,

故 2q6-q3-1=0.

即 q=1, 或 $q^{3} = - \frac{1}{2} .$

当q=1时,

S3=3a1, S9=9a1, S6=6a1,

显然不构成等差数列;

当 $q^{3} = - \frac{1}{2}$ 时,

$\begin{array}{l} 2 S_{9} = 2 S_{3} (1 + q^{3} + q^{6}) = \frac{3}{2} S_{3}, \\ S_{3} + S_{6} = S_{3} (1 + q^{3}) + S_{3} = \frac{3}{2} S_{3} ‚ \end{array}$