应用公式

应用公式（精选12篇）

应用公式 篇1

在初中《数学》新教材中的乘法公式有两个，一个是平方差公式，另一个是完全平方公式。掌握了公式的基本特点就可以快捷高效地解题。在掌握时我们要注意两点，一是a、b的广泛代表性，二是公式中各项的关系及整个公式的结构特点。现举例说明：

一、平方差公式的应用

例1：计算(a+b-m+n) (a-b-m-n)ㄢ

分析：两个括号里的项数相同，a、m的符号相同，相当于公式中的a;b、n的符号相反，可看作是公式中的bㄢ

解：原式=[ (a-m) + (b+n) ][ (a-m) - (b+n) ]= (a-m) 2- (b+n) 2。

例2：计算(m+3) 2 (m-3) 2 (m+9) 2+ (m4+81) (m4-81) 。

分析：直接计算很麻烦，技巧很重要。因为(m+3) (m-3)满足平方差公式，将 (ab) 2=a2b2加以逆用即可得到简便的方法。因为预见到式子中会有812和-812，所以保留812不算。

例3：填空：

1.（4+3y）（-3y+4）=16-9y2。[分析：（3y) 2=9y2，同时这里的两项符号要相反。]

2.（-0.5+0.2x） (0.2x+0.5）=0.04x2-0.25。[分析：填相同的一项，由（0.2x) 2=0.04x2易得。]

3.（x-y+z）[z- (x-y) ]=z2- (x-y) 2。[分析：由结果可以知道，z项相同，另一项为x-y的相反数- (x-y) 。]

二、完全平方公式的应用

例1：如果x+y=5, xy=12，求x2+y2ㄢ

分析：由(a+b) 2=a2+2ab+b2， (a-b) 2=a2-2ab+b2可以得到a2+b2=(a-b) 2+2ab=(a+b) 2-2ab，据此x2+y2= (x+y) 2-2xy=52-2×12=28ㄢ

例2：完全平方公式在填空中的应用。

分析：以下的题主要训练学生在学习公式时一定要灵活运用，要理解项与项之间的关系。

例3：完全平方公式的推广。

例4：两个正方形的周长之和为36cm，面积之差为72cm2，求这两个正方形的边长。

分析：设这两个正方形的边长分别为acm、bcm，由题意可

由(2)可得(a+b) (a-b) =72 (3)

由(1)得a+b=9 (4)

把(4)代入(3)得a-b=8 (5)

把(1)、(5)组成方程组可以解出a、bㄢ

例5:已知 (a+b) 2=14, (a-b) 2=6, 求ab。

分析:这里要求的ab存在于 (a+b) 2、 (a-b) 2中, 所以可把已知条件分别展开构成方程组, 把a2+b2和ab作为整体,

通过例4、例5可以看到乘法公式与其他知识的有机联系更有利于我们灵活多变地解题。

例6:已知:3 (a2+b2+c2) = (a+b+c) 2, 求证:a=b=c。

分析:这里首先要把 (a+b+c) 2加以展开, 针对题中的等式进行变形。

即：结论成立。

总之，只要我们掌握了基本知识，开动脑筋，多有意识地寻求知识之间的关系，无论多么复杂的题目都会被解决。

应用公式 篇2

1.1泰勒公式的背景............（1）

1.2泰勒公式的意义...........（2）

1.3 不同类型的泰勒公式的余项的作用..........（5）

2.泰勒公式.......................（5）

2.1 带有皮亚诺余项的泰勒公式...............（6）

2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式...............（6）

3.二元函数的泰勒公式.................（8）

4.泰勒公式的应用................（10）

4.1 泰勒公式对于某些函数的应用................（10）

4.2用泰勒公式求极限...................（11）

4.3用泰勒公式求高阶导数...............（11）

关于高中数学导数公式的应用研究 篇3

【关键词】高中数学；导数公式；应用研究；函数的思想

在高中对数学导数公式的应用非常广泛，由于在高中理科中，数理化有着相互融合相互渗透的效果，所以在对高中数学导数公式中也可以对物理、化学进行一定的应用，在对高中数学导数公式进行应用中，要求学生们能够有着充分的解题思路，对高中数学导数公式进行一定的推导，能够使得在对问题的解答中将复杂的问题进行一步步的简单化，不仅能够增加学生们在解题中形成的信心，而且还能够促进学生们对高中数学的学习。

一高中数学导数公式在解题中的应用

（一）利用高中数学导数公式对函数切线的求解

1.在导数的几何意义中，曲线在某点的导数值就是曲线在该点的切线斜率，在对函数的应用中，要特别注意函数在某点处可导，曲线就在该点存在切线，但是曲线在该点有曲线，未必就有可导性。

2.例子：函数f（x）在点a处导数的意义，它就是曲线y=f（x）在点坐标P（a，b）处的切线的斜率，在对函数切线进行求解时，假设曲线y=f（x）在点P（a，b）处切线的斜率就是f'（a），则相应的切线方程就是y-b=f'（a）（x-a）。

（二）利用高中数学导数公式对函数的极值的求解

1.在高中数学利用导数对函数值的求解中，能够显现出导数对函数极值求解的应用。

2.例子：求f（x）=x3-12x的极值

解：把函数的定义域为R，f'（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2），设f'（x）=0，得到x=±2，当，x>2或x<-2时，，f'（x）>0，所以函数在（负无穷，-2）和（2，正无穷）上是增函数；当-2

（三）利用高中数学导数公式对函数的单调性进行判断

1.在数学坐标系中，对函数的单调性进行判断，可以根据切线上的斜率来判断，当切线的斜率大于零时，就可以准确的判断出单调的递增，当斜率为正时，判断出函数的单调为递增的，当斜率为负时，判断出函数的单调为递减的。通过利用导数对函数的单调性分析中，也可以对函数单调区间问题进行解决。

2.例子：一次函数y=kx-k在R上单调递增，它的图像过第几象限？

解：从一次函数中可以简单的看出函数必过坐标（1，0），所以说函数过第一和第四象限，又因为一次函数是单调递增的，所以k>0，可以分析出函数过第三象限，所以说它的图像过第一，第三，第四象限。

例子：求函数f（x）=x3-3x+1的单调区间

解：当f（x）=x3-3x+1，可以得出f'（x）=3x2-3，当3x2-3=0，即x=±1时，f（x）有极值=3和-1，因为x=2，f（2）=3；x=1，f（1）=-1；x=0，f（0）=1；x=-1，f（-1）=3；x=-2，f（-2）=-1。所以说，函数在（负无穷，-1]单调递增，在[-1，1]单调递减，在[1，正无穷）单调递增。

二、高中数学导数应用的价值

在对高中数学导数公式的利用中，要始终坚持函数的思想，能够更方便的去解决问题，由于在高中理科的学习中，都会用到导数的应用，在一些重要的概念中都会用导数来进行表示，在物理的学习中，对远动物体的瞬时速度和加速度都可以用导数来表示。导数公式的应用，是有函数推导出来的过程，运用导数公式推导的过程，也是巩固数学的过程，在对函数进行求解时，要明确的掌握和运用导数的公式，在导数的运用中不仅是在学习中对函数的求解，而且还能在生活中运用，在实际生活中遇到求效率最高，利润最大的问题，这些问题在高中数学导数中可以看做是函数的最大值，把这些问题转换为高中数学函数的问题，进而对变为求函数的最大值的问题，在对高中数学导数公式进行应用，不仅要掌握了解公式导数的概念和方法，而且还会把数学导数与其它的知识进行结合，能够在解决问题中找到合适的办法。

三、对高中数学导数公式应用后的反思

近年来，在高考中，高中数学的导数公式的地位越来越重，它已经成为解决数学问题中必不可少的一种工具，在教学中，要让学生们充分的了解数学的导数公式，要重视课堂的教学，教师们要了解学生们在应用导数公式中出现的各种问题，老师们要针对这些问题，对学生们再一次的进行讲解，能够使得学生们在解决问题中更熟练的应用导数公式，在教学中，要从导数的定义进行讲解，能进一步的增强学生们对导数学习的兴趣，能让学生们了解到不论是在学习中还是在生活中，对导数的应用是非常重要的。

结语：

综上所述，在高中数学中对导数公式的应用是非常重要的，在利用导数进行解决函数的问题中，要始终贯穿函数的思想，可以对函数的单调性，函数的区间，函数的切线，函数的极值进行问题上的解决，在新课标改革的背景下，要培养学生们正确的掌握导数公式的应用，对于导数在解决问题中有着积极的作用，能够为以后导数公式的学习打下了坚实的基础。

【参考文献】

[1]王利，邓鹏.加强高中与大学导数公式知识的衔接[J].教学学习与研究，2012（17）

[2]王彩霞.浅谈三角函数的几种解法[J].中学教学（上），2012（08）

[3]程守权.高效数学课堂的设计意图展现—案例分析“应用导数研究函数的最值”[J].高中数理化，2012（02）

[4]农仕科.关于高中数学导数公式的应用研究[J].教学参谋（解法探究），2014（02）

[5]赵波.谈解答数学题的几种意识[J].中学教学（上），2011（03）

分部积分推广公式的应用 篇4

分部积分是重要的积分方法之一,可以用来求两类不同的初等函数乘积的积分。可对于面对形如(其中a,b是不为零的常数,un(x)是x的多项式)的积分时按照传统方法必须连续的使用分部积分法公式

当n较大的时候虽然能算出结果,但是过程较为复杂,计算量大,式子较多容易出错。因此运用一种分部积分推广公式不仅思路清晰,而且不易出错,所以这是个不错的方法。

1 重要的结论

下面给出两个定理和一个推论

定理1:(分部积分推广公式)设函数u(x),v(x)在定义区间上有n+1阶的各阶导数,则

证明:当n=0时上式即为分部积分公式

当n≥1时由分部积分公式可得

依此类推可得

把上面的n+1个式子从下向上代人就可以得到分部积分法的推广公式

推论:如果u(x)是n次多项式,v(x)是指数函数时,则

证明:令eax=v(n+1)代人到分部积分的推广公式得

定理2:设函数u(x)是指数函数,v(x)是三角函数时,则

证明:

2 应用

例1求不定积分

解:令u=x2+2x+3,v(n+1)=sin2x

由分部积分推广公式得

例2求不定积分

解:令u=x3+x2+2x,v(n+1)=e2x

由分部积分推广公式的推论得

例3求不定积分

解:根据定理2得

3 结语

以上是笔者在多年的教学实践中总结出来的一点心得,如果两个有n+1阶各阶导数的初等函数中间有对数函数或者有反三角函数等等可以通过变量的代换然后再次用这个推广公式也是可以的这里就不再详细说明。

摘要：探讨了分部积分法的推广公式,并举例说明他的应用。

关键词：分部积分法,积分公式

参考文献

[1]陈光曙.大学文科数学.2版.同济大学出版社,2009.

小学数学应用题利率公式 篇5

(1)单利问题：

本金×利率×时期=利息;

本金×(1+利率×时期)=本利和;

本利和÷(1+利率×时期)=本金。

年利率÷12=月利率;

月利率×12=年利率。

(2)复利问题：

本金×(1+利率)存期期数=本利和。

例如，“某人存款2400元，存期3年，月利率为10.2‰(即月利1分零2毫)，三年到期后，本利和共是多少元?”

解(1)用月利率求。

3年=12月×3=36个月

2400×(1+10.2%×36)

=2400×1.3672

=3281.28(元)

(2)用年利率求。

先把月利率变成年利率：

10.2‰×12=12.24%

再求本利和：

2400×(1+12.24%×3)

=2400×1.3672

=3281.28(元)(答略)

坐标式三角形面积公式及其应用 篇6

A.a2b2-（a·b）2

B.a2b2+（a·b）2

C.12a2b2-（a·b）2

D.12a2b2+（a·b）2

答案：C.

这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式：

定理1若三点O，A，B不共线，则S△OAB=12OA2OB2-（OA·OB）2.

证明S△OAB=12OAOB1-cos2∠AOB=12OA2OB2-（OA·OB）2.

由此结论，还可证得

定理2若三点O，A，B不共线，且点O是坐标原点，点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则S△OAB=12x1y2-x2y1.

证法1由定理1，得

S△OAB=12（x21+y21）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2

=12x1y2-x2y1.

证法2可得直线AB的方程是

（y1-y2）x-（x1-x2）y+（x1y2-x2y1）=0，所以坐标原点O到直线AB的距离是x1y2-x2y1AB，进而可得△AOB的面积是S△OAB=12AB·x1y2-x2y1AB=12x1y2-x2y1.

下面用定理2来简解几道高考题.

高考题2（2014年高考四川卷理科第10题）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）.

A.2B.3C.1728D.10

解B.得F14，0，可不妨设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1>0>y2）.

由OA·OB=x1x2+y1y2=y21y22+y1y2=2，可得y1y2=-2，所以由定理2，得

S△ABO=12x1y2-x2y1=12y21y2-y22y1=12y1y2·y1-y2=y1-y2=y1-y2.

所以S△ABO+S△AFO=y1-y2+12·14y1=98y1-y2≥2-98y1y2=3（可得当且仅当y1=43，y2=

-98时取等号）.

所以选B.

高考题3（2011年高考四川卷文科第12题）在集合{1，2，3，4，5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α=（a，b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有平行四边形的个数为n，其中面积等于2的平行四边形的个数为m，则mn=（ ）.

A.215 B.15C.415 D.13

解B.所有满足题意的向量有6个α1=（2，1），α2=（2，3），α3=（2，5），α4=（4，1），α5=（4，3），α6=（4，5），以其中的两个向量为邻边的平行四边形有n=C26=15个.

设αi=（x1，y1），αj=（x2，y2），得x1，x2∈{2，4}；y1，y2∈{1，3，5}，由定理2得，以αi，αj为邻边的平行四边形的面积是S=12x1y2-x2y1=2，可得这样的向量αi，αj有3对：（2，3），（4，5）；（2，1），（4，3）；（2，1），（4，1）.所以mn=315=15.

注用高考题3的解法还可求解2011年高考四川卷理科第12题.

高考题4（2009年高考陕西卷文科、理科第21题）已知双曲线C的方程为y2a2-x2b2=1（a>0，b>0），离心率e=52，顶点到渐近线的距离为255.

（1）求双曲线C的方程；

图1（2）如图1所示，P是双曲线C上一点， A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若AP=λPB，λ∈13，2，求△AOB面积的取值范围.

解（1）（过程略）y24-x2=1.

（2）可设A（t，2t），B（-s，2s），s>0，t>0，由定理2及题设可得S△AOB=2st.

由AP=λPB，可得Pt-2λs1+λ，2t+2λs1+λ，把它代入双曲线C的方程，化简得（1+λ）2=4λst，所以

S△AOB=12λ+1λ+113≤λ≤2，

可得△AOB面积的取值范围是2，83.

图2高考题5（2010年高考重庆卷理科第20题）已知以原点O为中心，F（5，0）为右焦点的双曲线C的离心率e=52.

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）如图2所示，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交于G、H两点，求△OGH的面积.

解（1）（过程略）双曲线C的标准方程为x24-y2=1，其渐近线方程为x±2y=0.

（2）由“两点确定一直线”可得直线MN的方程为：xEx+4yEy=4.

分别解方程组xEx+4yEy=4，

x-2y=0，xEx+4yEy=4，

x+2y=0，，得G4xE+2yE，2xE+2yE，H-4xE+2yE，2xE+2yE.

因为点E在双曲线C上，所以x2E-4y2E=4.

由定理2，得S△OGH=128x2E-4y2E--8x2E-4y2E=8x2E-4y2E=84=2.

注下面将指出图2的错误：

因为点E关于x轴的对称点E′（xE，-yE）也在双曲线C上，而双曲线C在点E′处的切线方程为xEx4-（-yE）y=1即xEx+4yEy=4也即直线MN，所以直线MN与双曲线C应当相切，而不是相离.

高考题6（2008年高考海南、宁夏卷理科第21题）设函数f（x）=ax+1x+b（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3.

（1）求的解析式.

（2）证明：函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；

（3）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

答案：（1）y=x+1x-1.（2）略.（3）2.

高考题7（2008年高考海南、宁夏卷文科第21题）设函数f（x）=ax-bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0.

（1）求f（x）的解析式；

（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

答案：（1）y=x-3x.（2）6.

下面给出这两道高考题结论的推广.

定理3（1）双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上任一点的切线与两条渐近线y=bax，y=-bax围成三角形的面积是S=ab；

（2）曲线y=ax+bx（b≠0）上任一点的切线与两条渐近线x=0，y=ax围成三角形的面积是S=b；

（3）曲线y=ax+c+bx+d（b≠0）上任一点的切线与两条渐近线x+d=0，y=ax+c围成三角形的面积是S=b.

图3证明（1）如图3所示，可求得过双曲线b2x2-a2y2=a2b2上任一点P（x0，y0）的切线方程是b2x0x-a2y0y=a2b2，还可求得它与两条渐近线y=bax，y=-bax的交点分别为Ma2bbx0-ay0，ab2bx0-ay0，Na2bbx0+ay0，-ab2bx0+ay0，再由定理2可立得欲证成立.

（2）由y=ax+bx（b≠0），得y′=a-bx2.所以过该曲线上任一点Px0，ax0+bx0的切线方程是

y-ax0-bx0=a-bx20（x-x0）.

从而可求得它与两条渐近线x=0，y=ax的交点分别为M0，2bx0，N（2x0，2ax0），再由定理2可立得欲证成立.

一个三角公式的推广和应用 篇7

对于任意的角度θ, 都有

分析对于这个恒等式的证明方法很多, 利用两角和公式把后两个式子展开即可, 或者对1、3或2、3两个一组和差化积, 也可以很容易得证.这里再介绍一种方法———构造法, 这种方法可以推广.

证明建立直角坐标系, 不妨设0≤θ<, 则θ, θ+, θ+, 如图1所示, 以θ角终边所在位置为一边, 以原点O为一顶点构造边长为1的正三角形OAB, 如图2.则:

二、推广:

分析 对于此恒等式的证明, 用展开与和差化积的方法显然不易证明, 而如果用构造法证明只是需要同法构造正n边形, 证明过程略.

三、应用

1. (2007年重庆高考22题) 如图, y中心在原点O的椭圆的右焦点为F, 在椭圆上任取三个不同点P1, P2, P3, 使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1, 证明:为定值, 并求此定值.

证明 记椭圆的右顶点为A, 并设∠AFPi=αi (i=1, 2, 3) , 不失一般性, 假设.

又设点Pi在右准线l上的射影为Qi (i=1, 2, 3) , 从而有|FPi|=|PiQi|·e= (-c-|FPi|cosαi) e,

所以可解得 (i=1, 2, 3) .

两个感应电动势公式的应用 篇8

例1: 如图l所示,在与匀强磁场垂直的平面内放置一个折成α角的裸导线MON,在它上面搁置另一根与ON垂直的直导线PQ,PQ紧贴MON以平行于ON的速度v从顶角O开始向右匀速运动,求回路中的感应电动势。

解法1: 用ε = nΔφ /Δt计算

解法2: 用ε = Blvsinθ计算

切割磁感线的导体ab的长度取整个切割过程中的平均值,即l =1/2·v·Δttanα。

例2: 如图2所示,长度为a的金属导线下悬一小球,在竖直向下的匀强磁场中作园锥摆运动,园的半顶角为α,摆球的角速度为ω,磁感应强度为B,试求金属导线中产生的感应电动势。

解法1:

解法2:

以上2题因PQ做匀速运动,园锥摆做匀速园周运动,所以ε = nΔφ /Δt和ε = Blvsinθ两个公式都可以用,但是有些题目则只能用其中一个公式求解。

例3: 如图3所示,一个长为b,宽为a的单匝矩形线圈,绕与其长边垂直的对称轴oo’在磁感应强度为B的匀强磁场中以角速度ω转动,线圈的电阻为R,求

( 1) 感应电动势的峰值εm

( 2) 线圈从中性面起,转过60°角的过程中产生的感应电动势ε1

( 3) 线圈从中性面起,转至60°角位置时的感应电动势ε2

( 4) 线圈从中性面起,转过60°角的过程中,通过导体横截面的电量q

( 5) 线圈从中性面起,转过90°角的过程中,线圈中产生的热量Q;

( 6) 在线圈转动一周的过程中,外界向线圈提供的能量E。

解:

( 1) 要计算峰值,应用公式ε = Blvsinθ,即

εm= Blvsinωt = 2Blv( ωt =π/2且两个边切割磁感线) ,所以εm= Babω

( 2) 计算从中性面起转过60°角这段时间间隔中产生的感应电动势,即求平均值,只能用ε = nΔφ /Δt,即:

( 3) 计算线圈从中性面转至60°角位置时的电动势,所求为瞬时值,只能用ε = Blvsinθ,所以

( 5) Q = I2RΔt,而I为有效值,即要求εm,须用ε =Blvsinθ计算,所以

( 6) 外界提供的能量全部转化为电能,然后又全部转化为热能,即:

全概率公式的应用及例解 篇9

全概率公式设随机事件组A1,A2,…两两互斥,且;对任意一个随机事件B,有

全概率公式的应用技巧就是把一个比较繁琐的事件B分解成若干两两互斥的简单事件A1,A2,…的和事件,分解的关键是A1,A2,…的设置以及条件概率的求解。

例1投掷2粒骰子并计算出现的点数和,将这样的试验进行若干次,A={点和3出现在点和5之前},求A的概率。

解将第一次投出的结果作为事件组,记A1={第一次掷出的结果为点和3},A2={第一次掷出的结果为点和3},A3={第一次掷出的结果既不为点和3点也不为点和5},注意到如果第一次掷出的结果既不为点和3点也不为点和5,此事件与A独立,即P(A|A3)=P(A),由全概率公式,

例2 k+1个人做传球游戏,每次传球都将球等可能传给其他人,从甲开始,求第n次传球时仍由甲传出的概率。

解记An={第n次传球时球仍由甲传出},n=1,2,…,容易知道P(An|An-1)=0,,由全概率公式,

另记pn=P(An),则有递归式,容易解得

2 条件概率形式的全概率公式及应用

条件概率也是概率,也有全概率公式,具体如下:

设A1,A2,…两两互斥,且,的一个分割,即A1,A2,…,An互不相容且,C为事件,P(Ai)﹥0,P(C)﹥0,P(AiC)﹥0 i=1,2,…,对任一事件B,有

例3某厂有一,二,三共三个车间,生产同种产品,总产量中三个车间所占的比例分别是60%、25%及15%,三个车间所生产产品的次品率分别为6%、8%及12%,从该厂产品中任意抽取一件产品,取到的恰好是次品,视次品来自一或二或三车间,能被修复成正品的概率分别为0.8,0.5,0.3,求此次品能被修复成正品的概率。

解设Ai={抽取的产品来自第i各车间},i=1,2,3,B={所抽产品为次品},C={能修复成正品},则P(A1)=0.6,P(A2)=0.25,P(A3)=0.15,

P(C|A1B)=0.8,P(C|A2B)=0.5,P(C|A3B)=0.3,所求概率为P(C|B),

由全概率公式

例4两箱产品,第一个箱子里面装有10个合格品和40个次品,第二个箱子里面装有18个合格品和12个次品,随机挑中两个箱子中的一个并随机拿出两个产品,如果第一次拿出的是合格产品,问第二次拿出的也是合格品的概率是多少。

解令Bi={抽到的是第i箱},i=1,2,Ai={第i次拿出的东西是合格品},i=1,2

由条件概率形式的全概率公式可得:

这种类型的问题也可以综合应用条件概率,全概率公式,贝叶斯公式求解,比如例4也可以这样求

3 与随机变量相关的全概率公式及其应用

条件数学期望有一个重要性质:

根据这一性质,对任一事件A,构造一个随机变量

于是,我们有如下结论:

(1)设X是离散型随机变量,分布列pi=P(X=xi),i=1,2,3…,对任一事件A,有

(2)设X是连续型随机变量,密度为f(x),对任一事件A,有

例5设随机变量X的概率密度为

解由全概率公式

全概率公式在应用上非常灵活,非常有效,也是随机数学的核心思想。本文对这一思想的探讨也未必深入细致,但这种讨论和推广给我们的启迪是很大的,也给我们讨论随机问题带来很大方便。

摘要：全概率公式不仅是我们在讨论复杂事件概率时常用的技巧,也是一种非常重要的概率思想。本科教材中对全概率公式的讨论和处理都比较简单,不够深入,没有体现出全概率公式在应用中的精彩和强大威力。本文拟详细解析全概率公式的内涵,做若干推广,并用适当例子说明这些推广的具体应用。

关键词：全概率公式,贝叶斯公式,条件数学期望,概率

参考文献

[1]马晓丽,张亮.全概率公式的推广及其在保险中的应用.高等数学研究,2010.

应用公式 篇10

关键词：转账公式定义,展开功能,应用

在期末转账业务的公式定义中,需要转入或转出的明细科目可能会很多,如果按明细科目逐个定义就比较慢而且容易出错,当我们应用公式定义中的“展开”功能时就能很方便地解决此类问题。

例如某单位的生产成本为项目账(传统性账户亦可),有甲、乙两种产品,其制造费用(5101)下设工资、折旧费、修理费、水电费……其他费等11个明细科目。该单位的制造费用按6∶4的比例在甲、乙两种产品中进行分配,具体过程如下:

执行“期末-转账定义-自定义转账”进入转账定义模块,点击“增加”按钮,输入转账序号“2001”(前两位表示转账级别,后两位表示本级别下的转账顺序),在定义第三条转账业务分录时转出科目只输入一级科目编码“5101”,转出公式输入第一个明细科目编码“510101”,显示图1。

点击“增行”按钮,系统弹出选择明细科目对话框,点击“双大于号”按钮,将所有明细科目由左窗口选到右窗口,显示图2。

按“确定”按钮,显示图3。

在图3中根据“科目编码”栏中系统自动搜索到的本账套的转出科目的所有明细科目编号对应修改“金额公式”栏中的明细科目编号,按“保存”按钮退出,本项转账定义结束。如图4。

在图1中,如果第三行“科目编码”和“金额公式”栏都输入“510101”或都输入“5101”,图2的明细科目展开窗口均不出现,系统认为对应。因此,“展开”功能不易被发现,且系统帮助中也没有说明。只有当转出科目编码与转出科目公式中的本科目编码级别不一致时,系统认为不对应,此时系统才提示是否需要“展开”,如果当前定义不需要展开,则根据具体情况进行定义。

此“展开”功能在公式定义中十分方便,且由于参照图3中“科目编码”栏系统自动搜索的明细科目编码修改“金额公式”栏公式中的明细科目编码,不可能出现错误。

应用公式 篇11

[关键词]定积分 数值积分 常微分方程数值解法

[中图分类号] O172.2[文献标识码] A[文章编号] 2095-3437（2015）06-0069-02

科学计算被誉为20世纪最重要的科学进步之一。著名的计算物理学家、诺贝尔奖获得者Wilson教授在80年代就指出：“当今科学活动可分为三种：理论，试验和计算”。中国著名的计算数学家石钟慈院士在其2000年的书《第三种科学方法——计算机时代的科学计算》[1]中高度评价了科学计算在现代科技发展与人类社会进步中的重要作用。目前科学计算已经充分融入到各种科学和工程领域当中，造就了一系列新型交叉学科（如计算生物学等）的产生与发展。

然而，目前绝大多数高等院校的数学课程设计，主打课程依旧是《高等数学》等，鲜有院校面对大范围的学生开展类似《计算方法》、《数值分析》的课程教学。然而，对于绝大多数数学学习者来说，他们更希望将数学作为一个工具来解决他们学习与研究中的问题，而且在很多实际问题中，精确解往往很难得到，这让学习数值计算方法具有重要意义。因此，在有限的数学教学中，如何向学生介绍和渗透科学计算的思想尤为重要。

一、基于定积分定义的数值积分

在定积分的计算时，可以通过求出被积函数的原函数求出定积分的精确值。但是在实际应用过程发现，找出一个函数的原函数并非一件易事，许多函数甚至不存在初等函数表示的原函数，例如[2]：

三、结语

在大学数学的教学中，除了要教会学生基本的数学原理之外，还要注重学生使用数学的能力培养。数值计算一方面可以加深学生对数学概念的理解，另一方面，也为他们今后的学习和工作提供一个强有力的工具。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 石钟慈.第三种科学方法——计算机时代的科学计算[M].福建：暨南大学出版社，2000.

[2] 同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3] 赵晶，李宏伟等.工科数学分析[M].武汉：中国地质大学出版社，2010.

[4] 李庆扬，王能超，易大义.数值分析（第五版）[M].北京：清华大学出版社，2008.

[5] A.Quarteroni，R.Sacco，F.Saleri.数值数学（Numerical Mathematics）（影印版）[M].北京：科学出版社，2006.

[责任编辑：林志恒]

[收稿时间]2014-12-23

泰勒公式及泰勒级数应用问题举例 篇12

关键词：泰勒公式,泰勒级数,应用

一、泰勒公式及马克劳林公式

定理: (泰勒公式) 如果f (x) 在x0的某邻域内有直至n+1阶导数, 则满足|x-x0|<δ中的x, 有f (x) 的n阶泰勒公式.

成立, 其中Rn (x) 为泰勒公式的余项.当x→x0时, 它是比 (x-x0) n的高阶无穷小.且

Rn (x) =f (n+1) (ξ) n! (x-x0) n+1 (ξ在x0与x之间)

在泰勒公式中, 当x0=0时 , 有马克劳林公式

其中 (ξ) (ξ在0与x之间)

二、泰勒级数及马克劳林级数

定理:设函数f (x) 在区间|x-a|<R内任意阶导数都存在, 且在区间内有

limRn→∞Rn (x) =limn→∞f (n+1) (ξ) (n+1) ! (x-a) n+1=0ξ在a与x之间 , 则在|xa|<R内有

称f (x) 在x=a处的泰勒级数, 特别当a=0时, 泰勒级数变为f (x) =f (0) +f′ (0) /1!x+f″ (0) /2!x2+…+f (n) (0) n!xn+…称为马克劳林级数

三、泰勒公式和级数在解决数学问题中的应用

1.在近似计算中的应用

我们可以根据泰勒级数, 把函数用一个多项式表示, 这样可以根据误差控制误差, 按精确度要求写出级数, 得到令人满意的结果.

例1:计算e的近似值, 精确到10-4 (即小数第四位) .

解:在展开式

中, 令x=1, 得

如果取前n项的和作为e的近似值, 则其误差为

因此, 要使|rn|<10-4

只要1/ (n-1) ! (n-1) <10-4

经试算1/6! 6=14320>10-4, 1/7! 7=135280<10-4

故取n=7, 即取级数7的前8项和作为e的近似值就可精确到10-4.于是

e≈1+1+1/2!+…+1/7!

≈1 +1 +0.50000 +0.16667 +0.04167 +0.00833 +0.00139 +0.00020=2.7183

2.求不定积分

利用不定积分的概念, 公式和积分方法可以解决大部分积分问题.但对蘩sinxxdx型求解却不易解决, 利用泰勒级数会达到立竿见影的效果.

例2.求蘩sinxxdx

解:由泰勒公式得

故在整个数轴 (-∞, +∞) 除x=0外, 两边同时积分

3.证明不等式

例3.证明不等式

证明:设

注:当不等式为多项式与初等函数混合时, 两个式子没有必然的联系, 利用传统的解题方法不易解决.这时可以考虑用泰勒公式把展成泰勒级数, 均表示成同一类型的数学式子进行比较, 从而可以判断其大小关系.

4.证明级数的敛散性

例4.设f (x) 在点x=0处的某一邻域内具有连续二阶导数, f (0) =0且limx→∞f (x) /x=0证明级数绝对收敛.

证明:

由泰勒公式得

再有题设, f″ (x) 在属于该邻域内包含原点的区间上连续, 故必埚M>0, 使|f″ (x) |≤M.于是, |f (x) |≤M/2x2令x=1/n

当n充分大时有, |f (1/n) |≤M2·1/n2

∵∞n=1∑1/n2为p=2>1的p级数收敛

由比较法知级数∞n=1∑f (1/n) 绝对收敛.

注:此题的关键是将f (x) 在x=0处用泰勒公式展开, 利用可导、连续、有界的关系, 立即得到了想要的结论.

四、结语

泰勒公式与泰勒级数的应用极为广泛. 以上仅从四个方面进行了简要阐述. 巧用泰勒公式与泰勒级数可以解决复杂的数学问题, 对教学科研具有双重意义.

参考文献

[1]刘玉琏.数学分析讲义.东北师大 (上下册) .高等教育出版社, 2003.

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (上下册) .高等教育出版社, 2001.

[3]吉林大学数学系.数学分析 (中册) .人民教育出版社, 1978.