泰勒公式及应用

2024-09-23

泰勒公式及应用（共7篇）

泰勒公式及应用篇1

摘要：泰勒公式及泰勒级数在数学分析教学中尤为重要, 是数值计算的工具, 它的应用极为广泛, 具体表现为求极限、不定积分、定积分、高阶导数值, 判定级数的敛散性, 证明不等式, 近似计算, 解微分方程, 证明恒等式等.本文着重就近似计算求值, 不定积分, 证明不等式, 判断级数的敛散性四个方面的应用展开讨论.既可以提高教师的教学能力和水平, 又可以拓宽学生的解题思路, 提高学生处理问题和解决问题的能力.

关键词：泰勒公式,泰勒级数,应用

一、泰勒公式及马克劳林公式

定理: (泰勒公式) 如果f (x) 在x0的某邻域内有直至n+1阶导数, 则满足|x-x0|<δ中的x, 有f (x) 的n阶泰勒公式.

成立, 其中Rn (x) 为泰勒公式的余项.当x→x0时, 它是比 (x-x0) n的高阶无穷小.且

Rn (x) =f (n+1) (ξ) n! (x-x0) n+1 (ξ在x0与x之间)

在泰勒公式中, 当x0=0时 , 有马克劳林公式

其中 (ξ) (ξ在0与x之间)

二、泰勒级数及马克劳林级数

定理:设函数f (x) 在区间|x-a|<R内任意阶导数都存在, 且在区间内有

limRn→∞Rn (x) =limn→∞f (n+1) (ξ) (n+1) ! (x-a) n+1=0ξ在a与x之间 , 则在|xa|<R内有

称f (x) 在x=a处的泰勒级数, 特别当a=0时, 泰勒级数变为f (x) =f (0) +f′ (0) /1!x+f″ (0) /2!x2+…+f (n) (0) n!xn+…称为马克劳林级数

三、泰勒公式和级数在解决数学问题中的应用

1.在近似计算中的应用

我们可以根据泰勒级数, 把函数用一个多项式表示, 这样可以根据误差控制误差, 按精确度要求写出级数, 得到令人满意的结果.

例1:计算e的近似值, 精确到10-4 (即小数第四位) .

解:在展开式

中, 令x=1, 得

如果取前n项的和作为e的近似值, 则其误差为

因此, 要使|rn|<10-4

只要1/ (n-1) ! (n-1) <10-4

经试算1/6! 6=14320>10-4, 1/7! 7=135280<10-4

故取n=7, 即取级数7的前8项和作为e的近似值就可精确到10-4.于是

e≈1+1+1/2!+…+1/7!

≈1 +1 +0.50000 +0.16667 +0.04167 +0.00833 +0.00139 +0.00020=2.7183

2.求不定积分

利用不定积分的概念, 公式和积分方法可以解决大部分积分问题.但对蘩sinxxdx型求解却不易解决, 利用泰勒级数会达到立竿见影的效果.

例2.求蘩sinxxdx

解:由泰勒公式得

故在整个数轴 (-∞, +∞) 除x=0外, 两边同时积分

3.证明不等式

例3.证明不等式

证明:设

注:当不等式为多项式与初等函数混合时, 两个式子没有必然的联系, 利用传统的解题方法不易解决.这时可以考虑用泰勒公式把展成泰勒级数, 均表示成同一类型的数学式子进行比较, 从而可以判断其大小关系.

4.证明级数的敛散性

例4.设f (x) 在点x=0处的某一邻域内具有连续二阶导数, f (0) =0且limx→∞f (x) /x=0证明级数绝对收敛.

证明:

由泰勒公式得

再有题设, f″ (x) 在属于该邻域内包含原点的区间上连续, 故必埚M>0, 使|f″ (x) |≤M.于是, |f (x) |≤M/2x2令x=1/n

当n充分大时有, |f (1/n) |≤M2·1/n2

∵∞n=1∑1/n2为p=2>1的p级数收敛

由比较法知级数∞n=1∑f (1/n) 绝对收敛.

注:此题的关键是将f (x) 在x=0处用泰勒公式展开, 利用可导、连续、有界的关系, 立即得到了想要的结论.

四、结语

泰勒公式与泰勒级数的应用极为广泛. 以上仅从四个方面进行了简要阐述. 巧用泰勒公式与泰勒级数可以解决复杂的数学问题, 对教学科研具有双重意义.

参考文献

[1]刘玉琏.数学分析讲义.东北师大 (上下册) .高等教育出版社, 2003.

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (上下册) .高等教育出版社, 2001.

[3]吉林大学数学系.数学分析 (中册) .人民教育出版社, 1978.

[4]同济大学数学系.高等数学.高等教育出版社, 2010.

试析泰勒公式及泰勒级数之妙用篇2

一、泰勒公式和泰勒级数

1. 泰勒公式

泰勒公式指的是在高等数学中, 用于函数的分析和计算, 在函数中, 为了求其函数值, 可以将一些初等的函数将其转化成一些幂级数进行换算, 从而高效并准确的对数学函数进行公式的运算和求解, 泰勒公式有利于函数进行精细的分析和计算, 打破无理和超越函数的极限对其结果进行换算, 有效的简化了计算步骤和计算程序, 从而广泛应用于数学计算方面。泰勒公式的使用有其一定的条件:在泰勒公式的使用中, 要满足一定的条件才能进行使用, 那就是必须保证f (x) n阶可导。

在已知函数中, 若该函数足够光滑, 那么在该函数一点的各阶导数值的情况下, 可利用泰勒公式与该导数值做系数, 从而建立一个多项式近似函数, 在这一邻域点的值。同时泰勒公式还可以计算出该多项式与实际函数值之间的偏差。

2. 泰勒级数

定义:在一个数学函数f (x) 中, 该函数在点的邻域中具有直到 (n+1) 阶导数。泰勒级数就是指像此类函数一样的它在计算以及转化中的方式, 泰勒级数在数学的计算中是必不可少的, 在数学计算中占据着重要的作用。

3. 泰勒公式和泰勒级数在数学计算应用的重要作用

在函数的求和过程中, 可以对幂函数的求导以及积分非开进行, 这样就可以使函数的求和变得相对简单容易一些。泰勒级数对函数的数值进行大概的计算, 泰勒级数可以对一个区域进行解析并得到一个函数, 它可以被称为解析函数使复分析这种方式得到有效的应用。

4. 两者之间的差异性

从泰勒公式以及泰勒级数的定义我们不难看出, 泰勒公式对函数的连续导数要求不高, 只要求其在0点上可以直接到n+1的连续导数, 而泰勒级数要求函数具有任意阶的导数, 还要求具有余项, 所以, 我们可以将泰勒级数作为泰勒公式的延伸来对其进行定义与应用。

5. 求函数在0点出的泰勒级数的方法

一种是可以直接计算出它的泰勒级数, 主要就是先计算出函数在0点的各阶的导数, 将其泰勒级数写出来, 并根据余项的收敛来确定其收敛的区域范围, 但是运用此方法有一个不可避免的难度就是计算及验证余项, 所以一般除了简单的求函数级数的题外, 一般都不建议采用此方法进行运算。还有一种办法就是间接的来求该函数级数, 一般可以借一些简单的最基本的函数形式进行交换运算, 逐项的进行求积, 最后可以导出函数的泰勒级数, 这是最简单的也是在数学应用中使用最广泛的方法, 所以这就要求学生必须掌握基本的函数展开式的方法, 以及泰勒公式的使用方法, 更好的对其进行运算。

二、泰勒公式和泰勒级数在数学中的应用

1. 泰勒公式在求和以及判断级数的懒散性方面的应用

在函数中, 不同的函数有不同的结构, 所以用泰勒公式的收敛性可以将不同结构的函数都统一为同一结构的幂函数进行求和, 它是研究数学领域函数的重要手段主要运用高阶导数进行研究, 所以用泰勒公式或者是泰勒级数都可以对级数进行求和并判断级数的懒散性, 以下实例就证明了它的这一特性。

例1运用泰勒公式对函数进行求和计算时, 首先应该根据该级数的特性, 得出该公式的幂级数, 之后再根据其幂级数, 得出该幂级数的收敛公式, 将幂级数换成想要的形式, 我们可以设该函数设为另一计算函数, 之后得出原级项数级数的和, 根据以上步骤, 就可以解出该函数的级数。

级数的敛散性的判断在数学的应用中来说是比较困难且复杂的, 所以在解题的过程中应该注意对函数的放缩以及早级数的性质的应用, 把这些要求应该合理的结合加以应用, 才能高效率的解出相应函数[4]。

同时在证明数列的收敛性时, 根据数列自身的特性, 以及已知条件得出数列n达到相应程度之后, 呈现正数且与数列中的某一相关联量同阶无穷小, 最后得出数列的收敛性。

2. 求函数的斜渐近线

函数的斜渐近线是指在一个函数中, 当x的大小属于无穷尽时, 函数没有界限的接近一条固定的直线, 但是在这一概念中, 直线与该函数的垂直距离属于无限小的阶段。所以就可以将这一条固定直线称之为该函数的斜渐近线。

在具体求解曲线方程式的斜渐近线的方程式时, 可以根据各个曲线方程式, 的已知条件与位置条件并对其进行分析, 从而利用泰勒公式, 对曲线方程式进行计算分解, 之后就可以解出该曲线的斜渐近线方程。

3. 泰勒公式在数值积分方面的应用

我们可以将f (x) 设为F (x) 的原函数, 我们如果想要知道区间 (a, b) 的定积分, 可以使用牛顿—莱布尼兹公式得出。但是, 有的原函数并不能使用初等函数来代替并表达, 还有的函数非常复杂, 很难求出或者计算出该函数的积分值, 如被积函数的数据特别分散的时候, 就不能对这种积分进行合理的计算, 所以, 在函数数值的积分方面, 并不是所有在区间上的可积函数的积分数值都可以用牛顿—莱布尼兹公式计算得出的, 定积分是一个确定的数值, 但是我们并不知道解决定积分的计算方法, 所以, 这就必须要求我们必须找出定积分的计算方法, 这样我们才能利用泰勒公式建立该函数的定积分的相似的计算公式, 这样就可以对定积分进行相近的计算, 所以, 我们可以根据被积函数的特性, 看其是否可以在积分区间上展开形成幂级数, 再然后把这个幂级数进行逐项的积分分析, 最后用积分以后的级数算出该函数定积分的近似值。

4. 泰勒公式在最优理论中的应用

泰勒公式的应用在解答原函数时, 是指将原目标函数的点在其附近展开成泰勒多项式, 函数与自变量之间的关系, 与目标函数的导数和其梯度相关, 在计算与研究某一特定方向的变化率和其最大的变化率, 就要用到该函数的方向导数和梯度, 函数的极大值和极小值的相关问题, 主要包括无约束目标函数的极值条件以及无约束优化等问题, 为了确定该函数的最优点, 一般都先求出若干个极值点并将其进行比较, 在设计问题的优化过程中, 函数只有在具备了某种特定的性质时, 目标函数的局部极小点才能代表全局的极小点, 否则一般都无法将其相提并论, 在目标函数的约束最优点上, 它与目标函数自身的属性特质以及约束函数的特质相关, 所以有时候为了要满足约束条件的限制因素, 目标函数的自然极点值也并不一定会是该函数的最优点。它的应用主要包括在数值最优理论证明时的应用以及在数值最优化算法设计中的应用[5]。

三、结束语

本文首先介绍了泰勒公式和泰勒级数的一些相关理论知识, 进而又通过具体的举例如泰勒公式在求和以及判断级数的懒散性方面的应用、在函数的斜渐近线方面的应用、在数值积分方面的应用以及在最优理论中的应用, 具体的讨论了泰勒公式在与泰勒级数高等数学中的广泛应用与其重要性, 是非常重要的、必不可少的在数学中计算数值的工具, 它可以有效的解决高等数学中的复杂难题, 对学术以及科研都有很大的意义。泰勒公式和泰勒级数在高等数学中的应用非常广泛, 远不止文章中的这些, 它在其他方面也有很广泛的应用, 所以, 我们应该对其进行更多更深方面的探讨和研究。

摘要：泰勒公式和泰勒级数在数学分析与数学教学中占据着非常重要的位置, 是非常重要的、必不可少的在数学中计算数值的工具, 它在数学中的应用极为广泛, 一般常规的应用有求极限、证明不等式、解微分方程等等。但是在一些特殊的领域也有很好的解决该问题的功能, 本文就运用一些实际的例子来说明泰勒公式及泰勒级数在解决相关数学领域的妙用。

关键词：泰勒公式,泰勒级数,应用

参考文献

[1]石国学.泰勒公式及泰勒级数应用问题举例[J].考试周刊, 2014, 56:69-70.

[2]齐永波.关于泰勒公式及其应用的思考与讨论[J].学园, 2014, 33:63.

[3]于祥芬, 李莹.泰勒公式的几点应用[J].科教文汇 (上旬刊) , 2011, 02:88+107.

[4]杜晓梅.将函数展开成泰勒级数探微[J].黑龙江生态工程职业学院学报, 2014, 01:101-102.

泰勒公式在考研数学的常见应用篇3

泰勒中值定理:若f (x) 在含有x0的某个开区间 (a, b) 内具有n+1阶导数, 则对任一x∈ (a, b) , 有

这里ξ是x0与x之间的某个值。

公式 (1) 称为f (x) 的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式。

若f (x) 在x0具有n阶导数, 则对任一x∈U (x0, δ) , 有

公式 (2) 称为f (x) 的带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式。

泰勒中值定理是讨论函数和各级高阶导数之间关系的中值定理, 带有拉格朗日余项的泰勒公式具有区间的性质, 因此一般用于证明等式或者不等式, 带有佩亚诺余项的泰勒公式具有局部的性质, 一般用于求极限。

1 利用泰勒公式求极限

若分子、分母是多个同阶无穷小量的代数和, 且洛必达法则求解过程复杂时, 用泰勒公式求极限。

解题方法和步骤: (1) 展开分母各项, 直到合并同类项首次出现不为零的项。

(2) 将分子的各项展开至分母的最低阶次。

(3) 代入后求极限。

分析:“0/0”用洛必达法则计算复杂, 考虑用泰勒公式求解。

2 利用泰勒公式证明等式或不等式

利用泰勒公式证明问题要全力分析三个问题:

(1) 展开几阶泰勒公式。

由泰勒公式知, 条件给出n+1阶可导, 展开至n阶。

(2) 在何处展开 (展开点x0) 。

展开点x0通常选取导数为零的点, 区间的中点, 函数的极值点。

(3) 展开后x取何值。

通常选取x为区间的端点。

例2:设函数f (x) 在闭区间[-1, 1]上具有三阶连续的导数, 且f (-1) =0, f (1) =1。

f′ (0) =0, 证明在 (-1, 1) 内至少存在一点[-1, 1], 使得f″ (ξ) =3。

分析:题设中所给条件涉及三阶导数, 欲证的结论是三阶导数与函数值间的等式关系, 应该利用泰勒公式, 而题目中隐含的三点内容。

(1) 因为三阶可导, 所以展开至二阶泰勒公式;

(2) 因为f′ (0) =0, 在x0=0点展开;

(3) 因为题设给出了区间的端点值f (-1) =0, f (1) =1, 所以展开后代入端点x=-1, x=1。

证明:将f (x) 在x=0处展开成二阶泰勒公式, 有

ξ在x与0之间, 代入端点x=-1, x=1, 则

ξ1在-1与0之间…

ξ2在0与1之间…

(2) - (1) 得

因为f (x) 在[-1, 1]上连续, 所以f (x) 在[ξ1, ξ2]上连续, 所以存在最大值M, 最小值m:

由闭区间上的介值定理得, 存在ξ∈[ξ1, ξ2][-1, 1]使得

3 利用泰勒公式求高阶导数

利用泰勒公式求高阶导数的步骤;

(1) 写出f (x) 在x0处的泰勒公式。

(2) 通过化简或变量替换利用已知泰勒公式间接展开为

(3) 根据泰勒公式的唯一性。

例3:求函数f (x) =x2ln (1+x) 在x=0处n阶导数。

解: (1) 写出f (x) 在x0处的泰勒公式

(2) 利用ln (1+x) 的泰勒公式把f (x) 间接展开为

(3) 根据泰勒公式的唯一性, 有

参考文献

[1]李永乐.2014年数学复习全书[M].北京:中国政法大学出版社, 2013.

泰勒公式在极限求解中的应用篇4

定理:设函数f (x) 在点x0的某个邻域内具有直到n+1阶的导数, 则对该邻域内异于x0的任意点x有

其中 (Rn (x) =o (x-x0) n) 时, 称为带皮亚诺 (Peano) 余项的n阶泰勒公式.

2.泰勒公式在求极限中的应用

用泰勒公式计算函数极限的实质是计算极限时忽略较高阶的无穷小, 当在求函极限的过程中发现用其他方法较难时, 可以考虑利用泰勒公式进行求解, 尤其是型极限的求解, 此时只需把分子、分母展展到同阶的无穷小即可.

解:因为分母的次数为4, 所以只要展开到x的4次幂即可.

因为分子关于x的次数为2, 所以只要展开到x的2次幂即可.

在解决有些问题时, 将泰勒公式和我们已熟知的等价无穷小方法相结合, 可将问题进一步简化.

通过上面的几个例子, 可以看出利用泰勒公式求解某些函数的极限很简洁、方便, 从而能准确、高效地解决一些数学问题.

摘要：泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容, 我们可以借助它解决很多问题.本文简述了泰勒公式在求解函数的极限中的应用.

关键词：泰勒公式,极限,应用

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2001:139-145.

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

泰勒公式在求函数极限中的应用篇5

定理:如果函数f (x) 在含有0x的某个开区间 (a, b) 内具有直到 (n+1) 阶的导数, 则对任一x∈ (a, b) 有

其中时, 称为带有佩亚诺 (Peano) 余项的n阶泰勒公式。

特别地, 如果x0=0

则

为佩亚诺余项的麦克劳林 (Maclaurin) 公式[1]。

2 泰勒公式在求函数极限中的应用

解:分析当x→0时, 此函数为型未定式, 满足罗必达法则求极限。若直接用罗必达法则就会发现计算过程十分复杂, 稍不注意就会出错。现用泰勒公式将分子展开, 再求极限就会简洁的多。

解:分析当x→∞时, 此函数为∞-∞型未定式。虽然可以通过变换把其化为型, 再用罗必达法则, 但计算量较大。现利用泰勒公式将展开, 再求其极限。

通过例1、例2, 我们不难发现, 在求一些未定型的极限时, 如果用罗必达法则, 求导次数较多或化简过程较繁时, 不妨用泰勒公式来求。但是在用泰勒公式时, 并不需要把各函数展到n阶, 那么函数到底应该展到几阶, 成为求解极限的关键。

3 函数展开的阶数

当极限为分式时, 若分子或分母中只需展开一个, 那么只需把其展到另一个的同阶无穷小的阶数;若分子和分母都需要展开, 可分别展到其同阶无穷小的阶数, 即合并后的首个非零项的幂次的次数。

当极限不是为分式时, 展开的阶数应与函数中最高次幂相同。

解:分析因为分子、分母都需要展开, 比较一下分母为两个函数的乘积, 先展分母, 再把分子展开到分母的同阶无穷小。

通过上面的几个例子, 可以看出利用泰勒公式求解某些函数的极限具有简洁、方便的作用, 从而准确、高效的解决一些数学问题。

摘要：泰勒公式是高等数学中非常重要的公式, 利用它可以解决很多问题。文章利用带佩亚诺余项的泰勒公式来求些函数的极限。

关键词：泰勒公式,极限,阶数

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2001.139-145

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

泰勒公式及应用篇6

若函数f在[a, b]上存在直至n阶的连续导函数, 在 (a, b) 内存在 (n+1) 阶导函数, 则对任意给定的x, x0∈[a, b], 至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使得

(1) 式同样称为泰勒公式, 它的余项为

称为拉格朗日型余项.

所以 (2) 式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.

并且当n=0时, (2) 式即为拉格朗日中值公式

所以, (2) 式可以看作拉格朗日中值定理的推广.

当x0=0时, 得到泰勒公式

(2) 式也称为 (带有拉格朗日余项的) 麦克劳林公式.

下面介绍带有拉格朗日型余项泰勒公式的更加广泛的应用.

一、近似计算

上式右端为一个收敛的交错级数, 由其余项Rn的估计式知R7≤1/75600<0.000015.

二、证明等式和不等式

2.设函数f (x) 在[a, b]上二阶可导, f' (a) =f' (b) =0, 试证:ξ∈ (a, b) 使得

3.设函数f (x) 在 (-∞, +∞) 上三阶可导, 并且f (x) 和f (x) 在 (-∞, +∞) 上有界, 求证:f' (x) 和f″ (x) 也在 (-∞, +∞) 上有界.

4.若0<θ<1, 并且f (n+1) (x) ≠0, 求证:

令h→0, 上式两边取极限得

参考文献

[1]华东师范大学.数学分析 (上、下册) .高等教育出版社.

[2]张筑生.数学分析新讲 (第二册) .北京大学出版社.

[3]吉米多维奇.数学分析习题集解 (四) .山东科学技术出版社.

泰勒公式及应用篇7

泰勒公式是高等数学的一个重要内容, 主要被用于判断函数的单调性、极值及求函数的极限.本文则试图用它来证明不等式和求解行列式.

1 泰勒公式的介绍

设f (x) 在含有x0的开区间内有直到n+1阶导数, f (x0) , f′ (x0) , f″ (x0) , …, f (n) (x0) 为已知, 现在需要寻求一个n次的代数多项式Pn (x) , 使得Pn (x0) =f (x0) , P′n (x0) =f′ (x0) , …, P $_{n}^{(n)}$ (x0) =f (n) (x0) , 是不是可以用Pn (x) 来近似代替f (x)

设Pn (x) =a0+a1 (x-x0) +…

+an (x-x0) n.

由Pn (x0) =f (x0) ⇒a0=f (x0) .

对Pn (x) 求关于x的一阶导数得:

P′n (x) =a1+2a2 (x-x0) +…

+nan (x-x0) n-1.

由P′n (x0) =f′ (x0) ⇒a1=f′ (x0) .

对Pn (x) 求关于x的二阶导数得:

P″n (x) =2a2+3×2a3 (x-x0) +…

+n (n-1) an (x-x0) (n-2) .

$\begin{array}{l} 由 Ρ^{″}_{n} (x) = f^{″} (x_{0}) \Rightarrow a_{2} = \frac{1}{2 ！} f^{″} (x_{0}) ‚ \dots ‚ \\ a_{n} = \frac{1}{n!} f^{(n)} (x_{0}) . \end{array}$

这样就得到所求的代数多项式为:

$\begin{array}{l} Ρ_{n} (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) \\ + \frac{f^{″} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots \\ + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n ！} (x - x_{0})^{n} . (1) \end{array}$

式 (1) 称为函数f (x) 在x0处的n阶泰勒多项式.

因为Pn (x) 只是f (x) 的近似函数, 所以二者之间肯定存在误差, 我们不妨假设Rn (x) =f (x) -Pn (x) , 我们称其为f (x) 和Pn (x) 的误差函数, 显然

Rn (x0) =R′n (x0) =…=R $_{n}^{(n)}$ (x0) =0.

由柯西公式可得:

$\begin{array}{l} \frac{R_{n} (x)}{(x - x_{0})^{n + 1}} \\ = \frac{R_{n} (x) - R_{n} (x_{0})}{(x - x_{0})^{n + 1} - 0} \\ = \frac{R^{'}_{n} (ξ_{1})}{(n + 1) (ξ_{1} - x_{0})^{n}} \\ = \frac{R^{'}_{n} (ξ_{1}) - R^{'}_{n} (x_{0})}{(n + 1) (ξ_{1} - x_{0})^{n} - 0} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{R^{″}_{n} (ξ_{2})}{(n + 1) n (ξ_{2} - x_{0})^{n - 1}} \\ = \dots \\ = \frac{R_{n}^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} ‚ \end{array}$

其中ξ在x与x0之间.而

R $_{n}^{(n + 1)}$ (x) =f (n+1) (x) -0,

即 R $_{n}^{(n + 1)}$ (x) =f (n+1) (x) .

从而有

$\begin{array}{l} f (x) = Ρ_{n} (x) + R_{n} (x) \\ = Ρ_{n} (x) + \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1) ！} (x - x_{0})^{(n + 1)} ‚ (2) \end{array}$

其中ξ在x与x0之间.式 (2) 称为函数f (x) 关于 (x-x0) 的n阶Taylor公式, 其中余项

$R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} (x - x_{0})^{(n + 1)}$

称为拉格朗日余项.特别地, 当n=0时,

R0 (x) =f′ (ξ) (x-x0) ,

即 f (x) -f (x0) =f′ (ξ) (x-x0)

(ξ在x与x0之间) 就是我们熟悉的Langrange公式.

当x0=0时,

$\begin{array}{l} f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + \dots \\ + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + R_{n} (x) \end{array}$

称为函数f (x) 的n阶麦克劳林公式, 其中

$R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (θ x)}{(n + 1)!} (x - x_{0})^{(n + 1)}$ ,

这里0<θ<1.

若设f (x) 在含有x0的某个开区间 (a, b) 内有直到n+1阶导数, 且f (n+1) (x) 在 (a, b) 内有界, 那么对∀x∈ (a, b) , 有

$\begin{array}{l} f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x - x_{0}) \\ + \frac{f^{″} (x_{0})}{2 ！} (x - x_{0})^{2} + \dots \\ + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x) \end{array}$

其中

Rn (x) =o (x-x0) n,

称为佩亚诺型余项.

2 泰勒公式的应用

泰勒公式是一种非常开放的数学公式, 从而在解决数学计算及推理某些重要结论方面有很重要的应用, 在实际应用中, 我们大致可以分为以下几种类型:

2.1 利用泰勒公式证明不等式

2.1.1 利用泰勒公式证明一般不等式

针对类型适用于题设中函数具有二阶和二阶以上导数, 且最高阶导数的大小或上下界可知的命题.

证题思路 ①写出比最高阶导数低一阶的Taylor展开式;

②恰当选择等式两边x与x0 (不要认为展开点一定以x0为最合适, 有时以x为佳) ;

③根据所给的最高阶导数的大小或界对展开式进行缩放.

例1 设f (x) 在[0, 1]上的二阶导数连续, f (0) =f (1) =0, 并且当x∈ (0, 1) 时, |f″ (x) |≤A.求证: $| f^{″} (x) | \leq \frac{A}{2} ‚ x \in (0 ‚ 1) .$

证明因为f (x) 在[0, 1]上有二阶连续导数, 所以f (x) 可以展开为一阶泰勒公式

$\begin{array}{l} f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) \\ + f^{″} (ξ) \frac{(x - x)^{2}}{2 ！} ‚ (3) \end{array}$

其中ξ在x与x0之间.

取x=0, x0=x, 则泰勒公式为:

$\begin{array}{l} f (0) = f (x) + f^{'} (x) (0 - x) \\ + f^{″} (ξ_{1}) \frac{(0 - x_{0})^{2}}{2 ！} ‚ (4) \end{array}$

其中0<ξ1<x≤1.

因为f (1) =f (0) =0, 式 (4) 减去式 (3) 得:

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = f (1) - f (0) + \frac{1}{2!} [f^{″} (ξ_{1}) x^{2} \\ - f^{″} (ξ_{2}) (1 - x)^{2}] \\ = \frac{1}{2!} [f^{″} (ξ_{1}) x^{2} - f^{″} (ξ_{2}) (1 - x)^{2}] . \end{array}$

又|f″ (x) |≤A, x∈ (0, 1) , 所以,

$\begin{array}{l} | f^{'} (x) | \leq \frac{A}{2} [x^{2} + (1 - x)^{2}] \\ = \frac{A}{2} (2 x^{2} - 2 x + 1) . \end{array}$

而 0≤x≤1, (2x2-2x+1) ≤1,

故 $| f^{″} (x) | \leq \frac{A}{2} .$

2.1.2 利用泰勒公式证明定积分不等式

针对类型已知被积函数f (x) 二阶或二阶以上可导, 且又知最高阶导数的符号.

证题思路直接写出f (x) 的Taylor展开式, 然后根据题意对展开式进行缩放.

例2 设f (x) 在[a, b]上单调增加, 且f″ (x) >0, 证明: $(b - a) f (a) ＜ \int_{a}^{b} f (x) d x ＜ (b - a) \frac{f (a) + f (b)}{2} .$

证明由题意, 对∀x∈[a, b], 当x>a时, f (x) >f (a) , 故

∫baf (x) dx> (b-a) f (a) .

对∀t∈[a, b], f (t) 在点x处的Taylor展开式为

$\begin{array}{l} f (t) = f (x) + f^{'} (x) (t - x) \\ + \frac{1}{2!} f^{″} (ξ) (t - x)^{2} ‚ \end{array}$

其中ξ在t与x之间.

因为f″ (ξ) >0, 所以

f (t) >f (x) +f′ (x) (t-x) . (5)

将t=b, t=a分别带入 (5) 式并相加, 得

f (b) +f (a)

>2f (x) + (a+b) f′ (x) -2xf′ (x) .

在[a, b]上积分得:

[f (b) +f (a) ] (b-a)

>2∫baf (x) dx+ (a+b) ∫baf′ (x) dx

-2∫baxf′ (x) dx

⇒2[f (b) +f (a) ] (b-a)

>4∫baf (x) dx.

故 $\int_{a}^{b} f (x) d x ＜ (b - a) \frac{f (a) + f (b)}{2} .$

综上可知:

$\begin{array}{l} (b - a) f (a) ＜ \int_{a}^{b} f (x) d_{x} \\ ＜ (b - a) \frac{f (a) + f (b)}{2} . \end{array}$

2.2 利用泰勒公式解行列式

我们求行列式时经常利用代数知识中的递推法、数学归纳法, 其实泰勒公式也可以用于求解行列式.利用泰勒公式计算行列式的主要思路:根据所求行列式的特点, 构造相应的行列式函数, 再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开, 只要求出行列式函数的各阶导数值即可.

例3 求下列n阶行列式的值:

$D_{n} = | \begin{matrix} a & b & b & \dots & b \\ c & a & b & \dots & b \\ c & c & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c & c & c & \dots & a \end{matrix} | .$

解把行列式Dn看做关于x的函数,

记 $D_{n} (x) = | \begin{matrix} x & b & b & \dots & b \\ c & x & b & \dots & b \\ c & b & x & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c & c & c & \dots & x \end{matrix} |$ ,

则 Dn (x) =Dn (a) .

将Dn (x) 在x=b处按泰勒公式展开:

$\begin{array}{l} D_{n} (x) = D_{n} (b) + \frac{D^{'}_{n} (b)}{1!} (x - b) \\ + \frac{D^{″}_{n} (b)}{2!} (x - b)^{2} + \dots \\ + \frac{D_{n}^{(n)} (b)}{n!} (x - b)^{n} ‚ \end{array}$

其中

$D_{n} (b) = | \begin{matrix} b & b & b & \dots & b \\ c & b & b & \dots & b \\ c & c & b & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c & c & c & \dots & b \end{matrix} | .$

第k-1列乘以 (-1) +第k列 (k=n, n-1, …, 2) 得:

$D_{n} (b) = | \begin{matrix} b & 0 & 0 & \dots & 0 \\ c & b - c & 0 & \dots & 0 \\ c & 0 & b - c & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c & 0 & 0 & \dots & b - c \end{matrix} |$

=b (b-c) n-1.

对Dn (x) 求各阶导数得:

$\begin{array}{l} D^{'}_{n} (x) = | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ c & x & b & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c & c & c & \dots & x \end{matrix} | \\ + | \begin{matrix} x & b & b & \dots & b \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c & c & c & \dots & x \end{matrix} | \\ + | \begin{matrix} x & b & b & \dots & b \\ c & x & b & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix} | . \end{array}$

各行列式分别按只有一个元素所在行展开得

D′n (x) =nDn-1 (x) .

类似地:

D″n (x) =nD′n-1 (x) ,

……

D $_{n}^{(n)}$ (x) =nD $_{n - 1}^{(n - 1)}$ (x) .

由递推关系还可以推出:

D′n-1 (x) = (n-1) D (n-2) (x) ,

……

D′2 (x) =2D1 (x) ,

D′1 (x) =1 (因为D1 (x) =x) , 则

D′n (b) =nDn-1 (b) =nb (b-c) n-2,

D″n (b) =nD′n-1 (b) =n (n-1) Dn-2 (b)

=n (n-1) b (b-c) n-3,

D‴n (b) =nD″n-1 (b) =n (n-1) D′n-2 (b)

=n (n-1) (n-2) Dn-3 (b)

=n (n-1) (n-2) b (b-c) n-4,

……

D $_{n}^{(n - 1)}$ (b) =n (n-1) …2D1 (b)

=n (n-1) …2b,

D $_{n}^{(n)}$ (b) =n!.

代入Dn (x) 在x=b处的泰勒展开式得:

$\begin{array}{l} D_{n} (x) = b (b - c)^{n - 1} + \frac{n b (b - c)^{n - 2} (x - b)}{1!} \\ + \frac{n (n - 1) b (b - c)^{n - 3}}{2!} + \dots \\ + \frac{n (n - 1) \dots 2 b}{(n - 1)!} (x - b)^{n - 1} \\ + (x - b)^{n} . \end{array}$

若b=c, 则

Dn (x) =0+0+…+0+nb (x-b) n-1

+ (x-b) n

= (x-b) n-1[x+ (n-1) b].

若b≠c, 则

$\begin{array}{l} D_{n} (x) \\ = \frac{b}{b - c} [(b - c)^{n} + \frac{n}{1!} (b - c)^{n - 1} (x - b) \\ + \frac{n (n - 1)}{2!} (b - c)^{n - 2} (x - b)^{2} + \dots \\ + (x - b)^{n}] - \frac{c}{b - c} (x - b)^{n} \end{array}$