泰勒公式及其应用技巧

泰勒公式及其应用技巧（精选8篇）

泰勒公式及其应用技巧 篇1

一、引言

在高等数学中, 泰勒公式作为微分中值定理的一种推广, 有着重要的应用, 它提供了一种用导数值多项式近似表示一般函数的方法。泰勒展开为解决一些求解极限、判定级数敛散性、证明导数相关结论等问题提供了一种非常有效的方法。但是在学习过程中, 很多同学觉得泰勒公式在证明等式和不等式中的运用比较难懂, 特别是感觉技巧性太强, 根本不会去联想到答案中的方法, 总感觉有些方法是空穴来风。一般来说, 泰勒公式的证明是有一定难度的, 证明确实是有一定技巧性的, 但这种技巧也并不是无迹可寻的, 大部分的证明题所要证的结论和题干中的信息还是很具有暗示性的, 如果能敏锐地观察到这些暗示信息, 可能你就会找到突破口在哪里, 焦点就在于这个泰勒公式展开到底在什么点展开, 展开到几阶的问题。本文通过两道全国大学生数学竞赛试题分析泰勒公式在证明一些导数相关结论时的应用, 为学生学习掌握泰勒公式提供一种帮助。

二、泰勒公式进行函数展开的定理

定理1设函数 (fx) 在点x0的某个邻域内有直到n+1阶的导数, 则对此邻域内任意点x均有

(1) 式称为函数 (fx) 在x=x0处的泰勒公式或泰勒展开式, (2) 式称为 (fx) 在x=x0处的拉格朗日余项。也n可记R (nx) =o (x-x0) , 称之为 (fx) 在x0处的皮阿诺余项。

特别地, 在 (1) 式中令x0=0则得到

称之为 (fx) 的麦克劳林 (Maclaurin) 展开式。

应用上面的定理可以将函数 (fx) 在一个合适的点x0展开, 从而完成关于一些导数结论的证明。下面从两道竞赛题来看。

三、两道全国大学生数学竞赛试题

例1 (第三届全国大学生数学竞赛预赛) 设函数f (x) 在闭区间[-1, 1]上具有连续的三阶导数, 且 (f-1) =0, (f1) =1, f′ (0) =0, 求证在开区间 (-1, 1) 内至少存在一点x0, 使得f苁 (x0) =3.

分析结论是关于存在性的证明, 并且是关于三阶导数, 从而可以想到是应用泰勒公式, 而且最好展开最高阶导数到三阶.题目条件中给出了函数在0点的一阶导数值, 从而我们可以考虑将函数在0点展开, 即考虑函数 (fx) 的麦克劳林展开式。结论中只出现了三阶导数, 从而展开式中的前三项肯定经过适当处理化简掉。若注意到条件 (f-1) =0, (f1) =1应该就不难想到是将点-1, 1带入展开式中, 两式相减即可。详细证明如下:

证将函数 (fx) 应用麦克劳林公式展开, 得

在上式中分别取x=1和x=-1, 再由f′ (0) =0得

上面两式相减, 得

由于f″′ (x) 在闭区间[-1, 1]上连续, 因此f″′ (x) 在闭区间[ξ2, ξ1]上有最大值M和最小值m, 从而

再由连续函数的介值性定理, 至少存在一点x0∈[ξ2, ξ1]⊂ (-1, 1) , 使得

4例2 (第五届全国大学生数学竞赛决赛) 设

其中θ是与x, h无关的常数, 证明f是不超过三次的多项式。

分析结论表面看起来与导数无关, 但是证明f是不超过三次的多项式, 我们很容易想到只要说明f的四阶导数等于零即可。另外条件已经出现了 (fx+h) 的泰勒公式, 我们自然也就会沿着这一思路进行分析。但是条件只是展开到二阶导数, 而证明我们的结论需要四阶导数, 从而我们可以重新对函数 (fx+h) 进行四阶泰勒展开.之后想法说明f的四阶导数等于零。详细证明如下:

证将 (fx+h) 在x点处泰勒展开

其中ξ介于x与x+h之间。

再将f″ (x+θh) 在x点处泰勒展开

其中η介于x与x+θh之间。

从而f是不超过三次的多项式。

四、应用举例

关于导数结论的证明的题目一般分为关于存在性和关于任意性的证明两类。由上面两道竞赛题来看, 使用泰勒公式时关键是确定出对哪个函数在哪一点进行泰勒展开, 展开到几阶导数。一般来讲, 题目中有若有关于某点导数的信息, 或者哪个点的导数值比较好确定, 就将函数在这一点展开, 若有给定点的函数值, 就将这点代入展开式。下面我们再通过两道例题进行分析。

分析结论仍然是关于存在性的证明, 并且是关于二阶导数, 所以可以考虑将函数泰勒展开到二阶导数。给出了最小值, 且可确定该点是内点, 那么该点的一阶导数必然为0, 自然考虑将函数在该点展开, 然后代人0, 1点的值进行分析。详细证明如下:

证由条件知存在x0∈ (0, 1) 使得 (fx0) =-1为 (fx) 在[0, 1]上的最小值, 且f′ (x0) =0

将 (fx) 在点x0处泰勒展开

再由 (f0) = (f1) =0可得

又因为x0∈ (0, 1) , 所以

五、结束语

作为高等数学中一个非常重要的知识点, 泰勒公式是一些学历考试及竞赛的重点及难点。关于泰勒公式在极限求解、级数敛散性的判定及近似计算方面的应用已有非常多的介绍, 本文重点分析介绍了其在关于导数证明方面的应用, 归纳出了在证明此类问题时的分析思路, 为学生学习掌握泰勒展开这一工具方法提供了一种非常有效的帮助。

摘要：本文通过对利用泰勒公式求解两道全国大学生数学竞赛题的分析, 总结概括了泰勒公式在证明导数相关结论时的思考方法, 为学生学习掌握泰勒公式提供了一种有效帮助.

关键词：泰勒公式,导数,证明

参考文献

[1]尹逊波, 杨果俅.全国大学生数学竞赛辅导教程[M].2版.哈尔滨工业大学出版社, 2013:201-206.

[2]陈兆斗, 郑连存, 王辉, 等.大学生数学竞赛习题精讲[M].北京:清华大学出版社, 2010:124-126.

[3]赵坤银, 王国政.微积分I[M].成都:西南财经大学出版社, 2013:192-194.

泰勒公式及其应用技巧 篇2

内容分布图示

★ 二元函数的泰勒公式

★ 例1

★ 关于极值充分条件的证明

★ 内容小结

★习题8—9

★ 返回

内容要点：

一、二元函数的泰勒公式

我们知道用一个一元函数的泰勒公式可以按任意给定的精度要求来近似表达这个函数.对多元函数也有类似的结果，即可以用一个多元多项式按任意给定的精度要求来近似表达一个多元函数.现以二元函数为例叙述如下：

定理1 设zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内连续且有直到n1阶的连续偏导数,(x0h,y0k)为此邻域内任一点, 则有

1f(x0h,y0h)f(x0,y0)hkf(x,y)hk00xxf(x0,y0)y2!y2

11hkf(x,y)hk00x(n1)!yn!xynn1f(x0h,y0k)

(01).这个公式称为二元函数f(x,y)在点(x0,y0)的n阶泰勒公式.推论1 设函数f(x,y)在区域D上具有连续的一阶偏导数，且在区域D内，有fx(x,y)0,fy(x,y)0，则函数f(x,y)在区域D内为一常数.二、极值充分条件的证明

例题选讲：

泰勒公式及泰勒级数应用问题举例 篇3

关键词：泰勒公式,泰勒级数,应用

一、泰勒公式及马克劳林公式

定理: (泰勒公式) 如果f (x) 在x0的某邻域内有直至n+1阶导数, 则满足|x-x0|<δ中的x, 有f (x) 的n阶泰勒公式.

成立, 其中Rn (x) 为泰勒公式的余项.当x→x0时, 它是比 (x-x0) n的高阶无穷小.且

Rn (x) =f (n+1) (ξ) n! (x-x0) n+1 (ξ在x0与x之间)

在泰勒公式中, 当x0=0时 , 有马克劳林公式

其中 (ξ) (ξ在0与x之间)

二、泰勒级数及马克劳林级数

定理:设函数f (x) 在区间|x-a|<R内任意阶导数都存在, 且在区间内有

limRn→∞Rn (x) =limn→∞f (n+1) (ξ) (n+1) ! (x-a) n+1=0ξ在a与x之间 , 则在|xa|<R内有

称f (x) 在x=a处的泰勒级数, 特别当a=0时, 泰勒级数变为f (x) =f (0) +f′ (0) /1!x+f″ (0) /2!x2+…+f (n) (0) n!xn+…称为马克劳林级数

三、泰勒公式和级数在解决数学问题中的应用

1.在近似计算中的应用

我们可以根据泰勒级数, 把函数用一个多项式表示, 这样可以根据误差控制误差, 按精确度要求写出级数, 得到令人满意的结果.

例1:计算e的近似值, 精确到10-4 (即小数第四位) .

解:在展开式

中, 令x=1, 得

如果取前n项的和作为e的近似值, 则其误差为

因此, 要使|rn|<10-4

只要1/ (n-1) ! (n-1) <10-4

经试算1/6! 6=14320>10-4, 1/7! 7=135280<10-4

故取n=7, 即取级数7的前8项和作为e的近似值就可精确到10-4.于是

e≈1+1+1/2!+…+1/7!

≈1 +1 +0.50000 +0.16667 +0.04167 +0.00833 +0.00139 +0.00020=2.7183

2.求不定积分

利用不定积分的概念, 公式和积分方法可以解决大部分积分问题.但对蘩sinxxdx型求解却不易解决, 利用泰勒级数会达到立竿见影的效果.

例2.求蘩sinxxdx

解:由泰勒公式得

故在整个数轴 (-∞, +∞) 除x=0外, 两边同时积分

3.证明不等式

例3.证明不等式

证明:设

注:当不等式为多项式与初等函数混合时, 两个式子没有必然的联系, 利用传统的解题方法不易解决.这时可以考虑用泰勒公式把展成泰勒级数, 均表示成同一类型的数学式子进行比较, 从而可以判断其大小关系.

4.证明级数的敛散性

例4.设f (x) 在点x=0处的某一邻域内具有连续二阶导数, f (0) =0且limx→∞f (x) /x=0证明级数绝对收敛.

证明:

由泰勒公式得

再有题设, f″ (x) 在属于该邻域内包含原点的区间上连续, 故必埚M>0, 使|f″ (x) |≤M.于是, |f (x) |≤M/2x2令x=1/n

当n充分大时有, |f (1/n) |≤M2·1/n2

∵∞n=1∑1/n2为p=2>1的p级数收敛

由比较法知级数∞n=1∑f (1/n) 绝对收敛.

注:此题的关键是将f (x) 在x=0处用泰勒公式展开, 利用可导、连续、有界的关系, 立即得到了想要的结论.

四、结语

泰勒公式与泰勒级数的应用极为广泛. 以上仅从四个方面进行了简要阐述. 巧用泰勒公式与泰勒级数可以解决复杂的数学问题, 对教学科研具有双重意义.

参考文献

[1]刘玉琏.数学分析讲义.东北师大 (上下册) .高等教育出版社, 2003.

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (上下册) .高等教育出版社, 2001.

[3]吉林大学数学系.数学分析 (中册) .人民教育出版社, 1978.

泰勒公式在考研数学的常见应用 篇4

泰勒中值定理:若f (x) 在含有x0的某个开区间 (a, b) 内具有n+1阶导数, 则对任一x∈ (a, b) , 有

这里ξ是x0与x之间的某个值。

公式 (1) 称为f (x) 的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式。

若f (x) 在x0具有n阶导数, 则对任一x∈U (x0, δ) , 有

公式 (2) 称为f (x) 的带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式。

泰勒中值定理是讨论函数和各级高阶导数之间关系的中值定理, 带有拉格朗日余项的泰勒公式具有区间的性质, 因此一般用于证明等式或者不等式, 带有佩亚诺余项的泰勒公式具有局部的性质, 一般用于求极限。

1 利用泰勒公式求极限

若分子、分母是多个同阶无穷小量的代数和, 且洛必达法则求解过程复杂时, 用泰勒公式求极限。

解题方法和步骤: (1) 展开分母各项, 直到合并同类项首次出现不为零的项。

(2) 将分子的各项展开至分母的最低阶次。

(3) 代入后求极限。

分析:“0/0”用洛必达法则计算复杂, 考虑用泰勒公式求解。

2 利用泰勒公式证明等式或不等式

利用泰勒公式证明问题要全力分析三个问题:

(1) 展开几阶泰勒公式。

由泰勒公式知, 条件给出n+1阶可导, 展开至n阶。

(2) 在何处展开 (展开点x0) 。

展开点x0通常选取导数为零的点, 区间的中点, 函数的极值点。

(3) 展开后x取何值。

通常选取x为区间的端点。

例2:设函数f (x) 在闭区间[-1, 1]上具有三阶连续的导数, 且f (-1) =0, f (1) =1。

f′ (0) =0, 证明在 (-1, 1) 内至少存在一点[-1, 1], 使得f″ (ξ) =3。

分析:题设中所给条件涉及三阶导数, 欲证的结论是三阶导数与函数值间的等式关系, 应该利用泰勒公式, 而题目中隐含的三点内容。

(1) 因为三阶可导, 所以展开至二阶泰勒公式;

(2) 因为f′ (0) =0, 在x0=0点展开;

(3) 因为题设给出了区间的端点值f (-1) =0, f (1) =1, 所以展开后代入端点x=-1, x=1。

证明:将f (x) 在x=0处展开成二阶泰勒公式, 有

ξ在x与0之间, 代入端点x=-1, x=1, 则

ξ1在-1与0之间…

ξ2在0与1之间…

(2) - (1) 得

因为f (x) 在[-1, 1]上连续, 所以f (x) 在[ξ1, ξ2]上连续, 所以存在最大值M, 最小值m:

由闭区间上的介值定理得, 存在ξ∈[ξ1, ξ2][-1, 1]使得

3 利用泰勒公式求高阶导数

利用泰勒公式求高阶导数的步骤;

(1) 写出f (x) 在x0处的泰勒公式。

(2) 通过化简或变量替换利用已知泰勒公式间接展开为

(3) 根据泰勒公式的唯一性。

例3:求函数f (x) =x2ln (1+x) 在x=0处n阶导数。

解: (1) 写出f (x) 在x0处的泰勒公式

(2) 利用ln (1+x) 的泰勒公式把f (x) 间接展开为

(3) 根据泰勒公式的唯一性, 有

参考文献

[1]李永乐.2014年数学复习全书[M].北京:中国政法大学出版社, 2013.

泰勒公式在极限求解中的应用 篇5

定理:设函数f (x) 在点x0的某个邻域内具有直到n+1阶的导数, 则对该邻域内异于x0的任意点x有

其中 (Rn (x) =o (x-x0) n) 时, 称为带皮亚诺 (Peano) 余项的n阶泰勒公式.

2.泰勒公式在求极限中的应用

用泰勒公式计算函数极限的实质是计算极限时忽略较高阶的无穷小, 当在求函极限的过程中发现用其他方法较难时, 可以考虑利用泰勒公式进行求解, 尤其是型极限的求解, 此时只需把分子、分母展展到同阶的无穷小即可.

解:因为分母的次数为4, 所以只要展开到x的4次幂即可.

因为分子关于x的次数为2, 所以只要展开到x的2次幂即可.

在解决有些问题时, 将泰勒公式和我们已熟知的等价无穷小方法相结合, 可将问题进一步简化.

通过上面的几个例子, 可以看出利用泰勒公式求解某些函数的极限很简洁、方便, 从而能准确、高效地解决一些数学问题.

摘要：泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容, 我们可以借助它解决很多问题.本文简述了泰勒公式在求解函数的极限中的应用.

关键词：泰勒公式,极限,应用

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2001:139-145.

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

泰勒公式在求函数极限中的应用 篇6

定理:如果函数f (x) 在含有0x的某个开区间 (a, b) 内具有直到 (n+1) 阶的导数, 则对任一x∈ (a, b) 有

其中时, 称为带有佩亚诺 (Peano) 余项的n阶泰勒公式。

特别地, 如果x0=0

则

为佩亚诺余项的麦克劳林 (Maclaurin) 公式[1]。

2 泰勒公式在求函数极限中的应用

解:分析当x→0时, 此函数为型未定式, 满足罗必达法则求极限。若直接用罗必达法则就会发现计算过程十分复杂, 稍不注意就会出错。现用泰勒公式将分子展开, 再求极限就会简洁的多。

解:分析当x→∞时, 此函数为∞-∞型未定式。虽然可以通过变换把其化为型, 再用罗必达法则, 但计算量较大。现利用泰勒公式将展开, 再求其极限。

通过例1、例2, 我们不难发现, 在求一些未定型的极限时, 如果用罗必达法则, 求导次数较多或化简过程较繁时, 不妨用泰勒公式来求。但是在用泰勒公式时, 并不需要把各函数展到n阶, 那么函数到底应该展到几阶, 成为求解极限的关键。

3 函数展开的阶数

当极限为分式时, 若分子或分母中只需展开一个, 那么只需把其展到另一个的同阶无穷小的阶数;若分子和分母都需要展开, 可分别展到其同阶无穷小的阶数, 即合并后的首个非零项的幂次的次数。

当极限不是为分式时, 展开的阶数应与函数中最高次幂相同。

解:分析因为分子、分母都需要展开, 比较一下分母为两个函数的乘积, 先展分母, 再把分子展开到分母的同阶无穷小。

通过上面的几个例子, 可以看出利用泰勒公式求解某些函数的极限具有简洁、方便的作用, 从而准确、高效的解决一些数学问题。

摘要：泰勒公式是高等数学中非常重要的公式, 利用它可以解决很多问题。文章利用带佩亚诺余项的泰勒公式来求些函数的极限。

关键词：泰勒公式,极限,阶数

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2001.139-145

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

泰勒公式及其应用技巧 篇7

若函数f在[a, b]上存在直至n阶的连续导函数, 在 (a, b) 内存在 (n+1) 阶导函数, 则对任意给定的x, x0∈[a, b], 至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使得

(1) 式同样称为泰勒公式, 它的余项为

称为拉格朗日型余项.

所以 (2) 式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.

并且当n=0时, (2) 式即为拉格朗日中值公式

所以, (2) 式可以看作拉格朗日中值定理的推广.

当x0=0时, 得到泰勒公式

(2) 式也称为 (带有拉格朗日余项的) 麦克劳林公式.

下面介绍带有拉格朗日型余项泰勒公式的更加广泛的应用.

一、近似计算

上式右端为一个收敛的交错级数, 由其余项Rn的估计式知R7≤1/75600<0.000015.

二、证明等式和不等式

2.设函数f (x) 在[a, b]上二阶可导, f' (a) =f' (b) =0, 试证:ξ∈ (a, b) 使得

3.设函数f (x) 在 (-∞, +∞) 上三阶可导, 并且f (x) 和f (x) 在 (-∞, +∞) 上有界, 求证:f' (x) 和f″ (x) 也在 (-∞, +∞) 上有界.

4.若0<θ<1, 并且f (n+1) (x) ≠0, 求证:

令h→0, 上式两边取极限得

参考文献

[1]华东师范大学.数学分析 (上、下册) .高等教育出版社.

[2]张筑生.数学分析新讲 (第二册) .北京大学出版社.

[3]吉米多维奇.数学分析习题集解 (四) .山东科学技术出版社.

泰勒公式及其应用技巧 篇8

一、泰勒公式

(一) 泰勒公式的定义

它主要是根据该函数的特性, 对其进行分析并计算, 为了准确且高效的对该函数进行求解, 对其进行精准的分析并对其进行计算, 我们可以使用泰勒公式将一些初等函数转换为幂函数进行计算, 从而打破无理和超越函数的极限对其换算, 在一定程度上省略了很多换算的步骤, 这也是它能广泛应用于高等数学的一个重要特点。

(二) 泰勒公式

二、泰勒公式在不等式和行列式中的应用

(一) 泰勒公式在不等式中的应用

分析:根据该题的已知条件, 我们可以知道二阶可导, 所以当高阶导数存在时, 我们应该运用泰勒公式对其进行分析并证明, 该函数的左边有被积函数f (x) , 右边有 (a, b) , 所以我们可以在点x处运用泰勒公式将其展开, 使t=a, 同时也让t=b。从而找出其中三者之间的关系, 证明该题目。

证明:运用泰勒公式将其展开为:

再对其进行积分

根据函数的特性, 我们在证明有关定积分不等式的过程中, 为了使不等式在证明问题的过程中, 能够比较明确易懂的证明, 有时候会需要构造一个函数与泰勒公式和介值定理进行证明并相互使用。泰勒公式在对某一定点的证明问题上也有很大的作用。[3]

根据以上描述题目, 我们了解一个步骤, 在以后使用泰勒公式证明与定积分不等式有关的问题时, 我们可以遵循这些步骤快速又准确的对其进行分析并证明, 如:在用泰勒公式进行证明时, 定积分不等式中必然会存在二阶或者二阶以上的导数, 在函数中, 在对不等式进行证明之前, 可以先选一个展开点, 然后在展开点的地方使用泰勒公式, 可以使用介值定理对 (a, b) 进行合理的放缩。

2.泰勒公式在证明初等函数和幂函数不等式中的应用。在题目要求证明的不等式中有初等函数、三角函数、超越函数和幂函数相结合的证明问题时, 应该选取合适的基本函数, 利用泰勒公式中的迈克劳林展开式对要证明的题目问题进行有效的分析。

在证明不等式的问题时, 如果出现以下几种时, 我们可以优先考虑泰勒公式的迈克劳林表达式, 如已知的题目中已经告知含有一阶导数、二阶导数、初等函数、三角函数或者超越函数与幂函数等。

3.泰勒公式在证明一般的不等式时的应用。对于证明一般不等式时我们则可以运用泰勒公式根据以下几个方面对其进行证明:首先我们根据此不等式中含有的高阶导数写出比已知的最高的导数要低一阶的泰勒展开式, 而且要根据题目的特征, 选择合适的等式, 然后再根据题目中已知的最高阶导数的大小进行合理的放缩展开式。[4]

分析:从该题目中我们可以得知该函数连续可到并且直到最高阶导数, 所以我们可以运用泰勒公式对其展开证明。证明:根据题目以及泰勒公式可得知

(二) 泰勒公式在行列式的计算方式中的应用

在行列式计算时, 我们一般采用代数知识如递推法、数学的归纳法等进行有效的计算, 很少会运用到微积分等知识原理进行行列式的计算, 根据这个特点泰勒公式很适合运用于行列式的计算中。我们可以根据所求行列式的自身特点, 对其先进行相应的研究, 再对其构造相应的行列式函数, 再把该行列式函数根据泰勒公式在某一个点展开并求出行列式函数的各阶导数值。

例4.运用泰勒公式求出n阶行列式的数值

最后可以算出该函数的各阶的导数值

根据其递进的关系得出

将以上所得到的信息运用泰勒公式可以得

三、结束语

根据本文的描述, 我们对泰勒公式的一些相关知识以及其在高等数学中的应用都有了一定的了解, 它可以有效的解决高等数学中遇到的一系列难度较大的问题, 是高等数学应用中必不可少的公式, 我们根据泰勒公式在高等数学中的广泛应用, 举例并说明了这一特征, 但是为了使泰勒公式在教育方面有更大更高效的作用, 我们还应对其进行深入的分析研究, 从而将它的作用扩大到最大化, 以便更好的适应现代教育并有效的解决现代教育遇到的一系列难题。

摘要：在现代教育发展越来越快速的今天, 人们知道的且要研究的领域越来越多, 高等数学的研究也是必不可少的, 在高等数学的研究中, 泰勒公式是其领域内的一个非常重要的研究对象, 泰勒公式在对高等数学的发展上有很大的作用, 所以人们也越来越重视对泰勒公式的理解与应用, 本文根据一些例子重点对泰勒公式在不等式和行列式中的应用进行分析。

关键词：泰勒公式,不等式,行列式,应用

参考文献

[1]董海峰, 孔文聪.泰勒公式及其应用[J].课程教育研究, 2013 (30) :185-187.

[2]姚志健.泰勒公式在证明不等式中的应用[J].兰州文理学院学报 (自然科学版) , 2015 (01) :86-89.

[3]赖华丹.泰勒公式在数学研究中的应用研究[J].数学学习与研究, 2014 (23) :123.