体积公式

2024-10-07

体积公式（精选4篇）

体积公式篇1

我们知道,四面体是锥体的特例,如果知道了四面体的底面积和高,就可以按照计算锥体体积的公式计算四面体的体积. 虽然已知三角形的边长,三角形的面积可以由秦九韶公式计算出来,但是四面体的高一般不易用直尺直接测量出来,而四面体的长是可以用直尺测量的. 如果已知四面体的各条棱长分别为a,b,c,p,q和r,如图所示: 我们可以按照

计算四面体的体积. 因为需要计算一个五阶行列式,所以计算过程比较麻烦. 那么能不能寻找一个更方便的计算公式呢? 为了解决这个问题,笔者按照下列步骤进行了推证.

假设四面体V - OAB的各条棱长分别为a,b,c,r,p和q( 如图一) 所示,四面体的一个顶点O在坐标原点,底边OA与OX轴重合,底面OAB和XOY平面重合,很显然,A点的坐标为( r,0,0) ,设B点的坐标为( x0,b0,0) ,V点的坐标为( x1,b1,z1) .

在XOY平面内,圆心在原点,半径为q的圆的方程为: x2+ y2= q2,圆心在A

半径为p的圆的方程为: (x - r)2+ y2= p2,B点为两圆

因为四面体的体积为:,所以:

其中a与p,b与q,r与c分别为四面体的三组对棱,Δ1和Δ2分别为以四面体的棱r为一条边的两个侧面的面积.在用此公式进行计算时,通常选择两个侧面面积容易计算的侧面所夹的边为r. 用此公式进行计算,要比用上述五阶行列式简捷得多.

例计算棱长为a的正四面体的体积

解方法一边长为a的等边三角形的面积为所以

在第一象限内的交点,所以

分别以原点A点和B点为中心,以a,b和c为半径的球的方程为:

很显然顶点V为三球的交点. V点的坐标Z1的长度即为四面体的高,我们只要求出四面体的高,四面体的体积就可以计算出来了. 为此,我们将方程( 1) ,( 2) 和( 3) 联立求出交点( X1,Y1,Z1) ,方程( 1) —( 2) 得: 2rx1 = r2+ a2- b2

因为三角形OAV的面积为:

将( 4) 式和( 5) 式代入( 3) 式,可以求出:

将x1和y1的值代入( 1) 式,可以求出四面体的高:

旋转体的体积公式的推广篇2

在高等数学中给出了X型平面图形{ (x, y) |a≤x≤b, f1 (x) ≤y≤f2 (x) }和Y型平面图形{ (x, y) |c≤y≤d, φ1 (y) ≤x≤φ2 (y) }绕坐标轴旋转所得旋转体的体积公式.本文利用坐标系的平移及定积分的换元法等知识, 将旋转体的体积公式加以推广.

引理设D是由曲线y=f1 (x) , y=f2 (x) , x=φ1 (y) , x=φ2 (y) 所围成的混合型平面图形, 且位于第Ⅰ象限 (如图1所示) , 则平面图形D绕x轴旋转所得的旋转体的体积为

Vx=π∫ $_{x_{3}}^{x_{4}}$ f $_{2}^{2}$ (x) dx-π∫ $_{x_{1}}^{x_{2}}$ f $_{1}^{2}$ (x) dx+2π∫ $_{y_{2}}^{y_{4}}$ yφ2 (y) dy-2π∫ $_{y_{1}}^{y_{3}}$ yφ1 (y) dy-πx1y $_{1}^{2}$ +πx2y $_{2}^{2}$ +πx3y $_{3}^{2}$ -πx4y $_{4}^{2}$ .

证明在平面直角坐标系内取一点 (x5, y5) , 使

x5≥max{φ2 (y) |y2≤y≤y4}, y5=y4, 则

Vx=πy $_{3}^{2}$ x3+π∫ $_{x_{3}}^{x_{4}}$ f $_{2}^{2}$ (x) dx+πy $_{5}^{2}$ (x5-x4) -

2π∫ $_{y_{1}}^{y_{3}}$ yφ1 (y) dy-πy $_{1}^{2}$ x1-π∫ $_{x_{1}}^{x_{2}}$

$\begin{array}{l} f_{1}^{2} (x) d x - \\ [π y_{5}^{2} x_{5} - π y_{2}^{2} x_{5} + 2 π \int_{y_{2}}^{y_{4}} y φ_{2} (y) d y] \end{array}$

=π∫ $_{x_{3}}^{x_{4}}$ f $_{2}^{2}$ (x) dx-π∫ $_{x_{1}}^{x_{2}}$ f $_{1}^{2}$ (x) dx+2π∫ $_{y_{2}}^{y_{4}}$ yφ2 (y) dy-

2π∫ $_{y_{1}}^{y_{3}}$ yφ1 (y) dy-πx1y $_{1}^{2}$ +πx2y $_{2}^{2}$ +πx3y $_{3}^{2}$ -πx4y $_{4}^{2}$ .

定理设D是由曲线y=f1 (x) , y=f2 (x) , x=φ1 (y) , x=φ2 (y) 所围成的混合型平面图形, 且位于x轴上侧 (如图2所示) , 则平面图形D绕x轴旋转所得的旋转体的体积为

证明将坐标系平移, 使得平面图形位于新坐标系x′O′y′的第Ⅰ象限内, 且设曲线y=f1 (x) , y=f2 (x) , x=φ1 (y) , x=φ2 (y) 在新坐标系x′O′y′下的方程分别为

y′=g1 (x′) , y′=g2 (x′) , x′=ψ1 (y′) , x′=ψ2 (y′) ,

则

${\begin{cases} x = x^{'} + x_{0} ‚ \\ y = y^{'} ‚ \end{cases}$

且

Vx=π∫ $_{x_{3}^{´}}^{x_{4}^{´}}$ g $_{2}^{2}$ (x′) dx′-π∫ $_{x_{1}^{´}}^{x_{2}^{´}}$ g $_{1}^{2}$ (x′) dx′+

2π∫ $_{y_{2}^{´}}^{y_{4}^{´}}$ y′ψ2 (y′) dy′-2π∫ $_{y_{1}^{´}}^{y_{3}^{´}}$ y′ψ1 (y′) dy′-

πx′1y′ $_{1}^{2}$ +πx′2y′ $_{2}^{2}$ +πx′3y′ $_{3}^{2}$ -πx′4y′ $_{4}^{2}$

=π∫ $_{x_{3}^{´}}^{x_{4}^{´}}$ f $_{2}^{2}$ (x′+x0) d (x′+x0) -π∫ $_{x_{1}^{´}}^{x_{2}^{´}}$ f $_{1}^{2}$ (x′+x0) ·

d (x′+x0) +2π∫ $_{y_{2}}^{y_{4}}$ y[φ2 (y) -x0]dy-

2π∫ $_{y_{1}}^{y_{3}}$ y[φ1 (y) -x0]dy-π (x1-x0) y $_{1}^{2}$ +

π (x2-x0) y $_{2}^{2}$ +π (x3-x0) y $_{3}^{2}$ -π (x4-x0) y $_{4}^{2}$

=π∫ $_{x_{3}}^{x_{4}}$ f $_{2}^{2}$ (x) dx-π∫ $_{x_{1}}^{x_{2}}$ f $_{1}^{2}$ (x) dx+2π∫ $_{y_{2}}^{y_{4}}$ yφ2 (y) dy-

2π∫ $_{y_{1}}^{y_{3}}$ yφ1 (y) dy-πx1y $_{1}^{2}$ +πx2y $_{2}^{2}$ +πx3y $_{3}^{2}$ -πx4y $_{4}^{2}$ .

注类似地可得到位于x轴下侧的混合型平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积公式及位于y轴右 (左) 侧的混合型平面图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积公式.

例求由曲线y=x3-3x2+2x+1 (1≤x≤2) , y=-x3+6x2-11x+8 (2≤x≤3) , x=2y3-6y2+5y (1≤y≤2) , x=y2-2y+3 (1≤y≤2) 所围成的平面图形 (如图3所示) 绕x轴旋转所得的旋转体的体积.

解可求得交点坐标分别为

(1, 1) , (2, 1) , (2, 2) , (3, 2) ,

则Vx=π∫ $_{2}^{3}$ (-x3+6x2-11x+8) 2dx-π∫ $_{1}^{2}$ (x3-3x2+

2x+1) 2dx+2π∫ $_{1}^{2}$ y (y2-2y+3) dy-2π∫ $_{1}^{2}$

$\begin{array}{l} y (2 y^{3} - \\ 6 y^{2} + 5 y) d y - π \times 1 \times 1^{2} + π \times 2 \times 1^{2} + π \times 2 \times \\ 2^{2} - π \times 3 \times 2^{2} \\ = \frac{83}{15} π . \end{array}$

摘要：本文在X型平面图形和Y型平面图形绕坐标轴旋转所得旋转体的体积公式的基础上, 利用坐标系的平移变换及定积分的换元积分法等知识, 推广了混合型旋转体的体积公式, 并给出了相应的证明.

关键词：平面图形,混合型旋转体,体积公式,换元积分法,坐标系平移

参考文献

体积公式计算教学反思篇3

例9和例10是两个层次的活动，不仅操作内容、要求有区别，而且思维程度有差异。例9用1立方厘米的正方体摆出4个不同的长方体，从已有的知识和能力开始教学新知识。没有规定长方体的大小，学生可以按自己的意愿去摆，既调动积极性，又为合作学习营造了氛围。在教材预设的表格里填写每个长方体的长、宽、高，所用正方体个数以及体积，可以获得两点感受：一是沿着长、宽、高各摆几个正方体，长方体的长、宽、高就分别是几厘米；二是长方体里有多少个正方体，体积就是多少立方厘米，体积应该与长、宽、高有关。这两点感受能使学生明白：探索长方体的体积计算公式，要研究体积与长、宽、高的关系。教学例9不要急于得出体积公式，而要在摆长方体与填表的基础上，着力引导学生获得上述两点感受，形成继续研究的心向。即使有学生从例9已经看出了体积公式，也要引导他们通过例10进一步验证公式，理解体积与长、宽、高之间的必然联系，感受数学的严谨及结论的确定性。

例10根据图示的长、宽、高，用1立方厘米的正方体摆出三个长方体。活动的本质是用体积单位测量物体的体积。对学习的要求是先想怎样摆、需要几个正方体，再按想法摆，验证想的是否可行、是否正确。三个长方体是精心设计的。左起第一个长方体的宽与高都是1厘米，只要把4个正方体摆成一行，能够体会长方体长的数量与沿着长摆的体积单位个数之间有必然联系。第二个长方体的高1厘米，只要把正方体摆成一层。体会长方体宽的数量是几，沿着宽应该摆出几行体积单位。而长与宽的乘积，就是一层里体积单位的个数。第三个长方体高2厘米，要把正方体摆成2层，体会长方体高的数量与摆的体积单位的层数是一致的。教材在各个长方体里预设的教学内涵，规划了各次实物操作时的思维重点，有助于学生逐渐建构数学认识。摆各个长方体获得的体会，就是对长方体的体积与它的长、宽、高关系的理解。教材让学生说说在两道例题中的发现，是引导他们回顾、反思例题的学习，进一步清楚这些体会，并把这些体会有条理地组织起来，得出长方体的体积公式。

抓住正方体12条棱长度相等的特点，能从长方体的体积公式推导出正方体的体积公式。教材要求学生主动经历推导过程，在独立思考之后小组交流。推导的思维方法是多样的，从正方体具有长方体的所有特征出发，演绎推理能完成推导，从再现测量体积活动出发，

类比推理能完成推导：用体积单位测量正方体的体积，每行摆的个数、摆的行数、摆的层数都与正方体的棱长相等。因此，正方体的体积=棱长×棱长×棱长。

体积公式篇4

《普通高中数学新课程标准 ( 实验) 》 ( 以下简称新课标) 中对台体及其体积公式的内容做了删减, 在新人教版数学必修2中也仅列出台体的体积公式, 并未对其由来和证明过程做介绍. 然而, 台体体积公式所隐藏的数学价值却不能被一个简单的式子给遮盖住. 克莱因在《古今数学思想》一书中用这样一句话来展示它的魅力: “埃及几何里最了不起的一个法则就是计算截棱锥体的体积公式! ”可见, 若是在讲授台体体积公式这块内容时, 只是粗略的介绍计算过程、重点记忆式子结构就太遗憾了, 这就损失了一次宝贵的与数学史交流的机会, 更可惜的是, 学生也会因此错过对台体体积公式产生良好建构认知的过程.

朱哲与张维忠撰写的《一节基于数学史的教学课例: 正四棱台的体积公式》一文中, 对正四棱台的体积公式证明给出了若干种办法, 令人眼前一亮! 作者不单单从台体定义的角度出发, 利用“补”的方式证明公式, 还引导学生采用各种不同的“切割”方式进行证明. 其中, 最值得关注的便是作者在教学中引入了一段数学史料, 启发学生探索古埃及人是如何得到台体体积公式的, 并最终揣摩出了古埃及人得到公式的思路.

这里的价值除了体现在感慨数学产生的伟大外, 更重要的是学生能按照前人的思路思考问题, 四千年前的数学正是人类史上数学的起点, 数学是怎么来的? 数学的思想是由什么产生的? 这些问题都太重要了! 有了这些内容的强化, 才能使学生在认知“台体体积公式”这块内容时产生足够多的看法、产生足够多的观念, 才能对其产生更深刻的认识! 可见, 数学史教学的目的不仅仅是兴趣的培养.

2. 数学史与数学教育的现状分析

纵观国内外关于“数学史与数学教育”研究, 发现这个领域的相关研究不少, 并且热度也一直不减. 国际上把对数学史与数学教育关系的研究简称为HPM, 有不少学者一直从事这方面领域的研究.

国内也很重视在数学教育中对数学史的融入. 在新课标中, “课程的基本理念”里就指出: “数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势, 数学对推动社会发展的作用. ”并设立了一本《数学史选讲》的选修教材, 这充分体现了新课改对数学史的重视. 另一方面, 国内的学者们自2000年来对数学史与数学教育的研究颇多, 发表过上千篇相关论文. 笔者对其做了一个简单的文献综述, 可以发现, 它们的观点大多如下:

观点一: 数学史可以激发学生学习数学的兴趣、提高学生数学史修养.

观点二: 数学史可以显示多元文化差异, 促使学生形成丰富的数学体验.

观点三: 数学史可以展示数学的思想方法, 使学生具有一定的思维能力.

3. 再看“数学史与数学教育”

笔者认为, 先前的研究的确很好的概括出数学史对数学教育的作用, 同时在实践中, 数学教育的过程中也融入了不少丰富的数学史内容. 但是, 笔者认为数学史对数学教育的意义不仅仅在这些方面, 还可以从以下几方面分析:

方面一: 数学教育的目的.

教育的目的就是培养人, 数学教育的目的应该是提升学生的数学素养, 这涉及怎样学好数学? 学数学有什么用? 等问题. 而提升学生的数学素养, 情感态度价值观这一方面就必须要得到落实. 新课程重视学生分析问题、发现问题、提出问题、解决问题以及交流问题的能力, 培养学生的这些能力, 也正是提升学生数学素养的一个体现.

方面二: 建构学生良好的认知结构.

在“台体体积公式”案例中, 若只是孤零零的呈现公式而没有给予学生其他信息, 学生很难对其形成良好的内部表征, 从而在学生的知识结构中, 这块内容也相对零散, 难以与其他知识联立良好的连接. 若按照本案例中的思路, 结合数学史进行“台体体积公式”教学, 能给学生带来丰富的情感体验, 帮助学生形成良好的表象, 在学生的知识结构中建构起对台体体积公式的多种看法, 有助于学生重新组块, 把此公式与“切割法”等已有的知识结构中的元素进行连接, 加深了对此公式的理解.

方面三: 培养学生的数学观.

黄毅英先生认为: 学生对“数学是什么”的认知直接影响他们学习数学的方式. 教师对“数学是什么”和“数学是如何习得”的认知也影响着数学的教学. 他在《数学观研究综述》一文中提到: “数学观不只是‘学习’与‘数学表现’的中介因素, 它本身亦可被视作一种学习成果. 在调查中, 教师却把在日常生活中有广泛应用的数学 ( 如估算、记录、观察、数学决定等) 看成是与数学无关的, 于是在实际教学中学生所体验到的数学乃是一堆法则的集合. ”

可见, 培养学生树立良好的数学观念是很重要也很有必要的. 数学史融入数学教育就可以在一定程度上对培养学生良好的数学观起到促进作用, 数学史可以影响学生的认知结构, 从而促使学生产生丰富的表象, 推动学生对数学概念的理解, 对数学概念、原理等产生丰富的认识, 增加情感的体验, 引发学生对数学发展的思索与猜想, 从而增进学生对数学价值的感受, 进一步影响学生的数学观念.

数学史融入教学教育的案例其实远不止我们耳熟能详的高斯与数列、阿基米德与几何、勾股定理与赵爽弦图等例子, 多对数学史料进行研究, 可以发现更多迷人的资料与案例, 这些都可以在我们实际的数学教学中进行展现. 例如本文中论述的台体体积公式的例子, 例如古巴比伦的60进制记数法对现代数学角度度量单位的影响, 阿拉伯人的算数对代数的贡献, 天文测量球面三角与正弦定理的关系等等.

参考文献

[1]谢明初.数学教育中的建构主义——一个哲学的审视[M].武汉:华东师范大学出版社, 2008.1.

[2][美]莫里斯·克莱因.古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社, 2002.

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