圆锥体的体积公式

圆锥体的体积公式（共13篇）

圆锥体的体积公式 篇1

圆锥体体积公式的证明

证明需要几个步骤来解决：

1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。

所以, 只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知题目所求正确。

2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：

(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。)

现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3.证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。

3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。

注释：祖暅原理

祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖暅(gèng)首先提出来的。

祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。

祖暅原理的思想

我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，直线由点构成，点的多少表示直线的长短；面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。

两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。

这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的体积就相等。

所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度上的截面（三角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言：

等底等高的三棱锥，体积都相等：

三棱柱的体积，与立方体的体积一样，是底面积乘以高，（三棱柱可来自于半个立方体）：

知道有关三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成题目的证明。

=====

下面这个图, 说明了一个直接的、有趣的推论：

注意上面这个图，在推算球体的体积的时候，还可以用到。

下面再给几个有趣的推论，直到求出球体的体积和表面积公式:

1)金字塔锥的体积也是:(1/3)x底面积x高.这是由于金字塔锥是两个三棱锥构成的:

2）下面的图说明，球体的微分单元是金字塔锥体。

由此可知，球体的体积 =（1/3）x 球的表面积 x 球半径.上面的公式说明，球体的体积和表面积，只要知道其中一个信息，那么就可知道另一个信息。实际上，根据球体半径推算球体的体积，可以更先一步。

3）球体的体积。

先看半球的体积：

这还要用到祖暅原理。上图中，左边的内部被挖空一个圆锥体的圆柱体，我们前面见过，右边是一个半球，高度（球半径）与左边的挖空圆柱体高度相同，都是R.根据图，在任何一个高度h上的水平截面，左边的被截环（绿色）面积是：πR图里，被截的圆（绿色）面积是:πr2 = π(R2-h2).可见，两形体在任何高度上的截面面积都是相等的。于是，根据祖暅原理，上面两形体的体积相同。

左边形体的体积=圆柱体的体积-圆锥体的体积=(2/3)πR3.-πh2.而右边的

所以，右边的半球的体积也是=(2/3)πR3.可知整个球体的体积公式是：

V=(4/3)πR3.再根据球的体积与表面积的关系公式，可得球体的表面积公式为：

S=4πR2.(我们用直观方法得出了球的体积公式。学了微积分的人容易知道用下图的微积分算法求出球的体积公式）

圆锥体的体积公式 篇2

定义:我们把圆锥曲线上的点A与焦点F的连线段|AF|叫做该圆锥曲线的焦半径。

说明:其中r、e分别是对应圆锥曲线焦半径, p是焦点到相应准线的距离, 在椭圆和双曲线中在抛物线中p就是焦点到准线的距离, θ是圆锥曲线焦半径与焦点所在的对称轴的夹角。过圆锥曲线的焦点F作一条焦点弦|AB|, 得到两条焦半径|AF|、|BF|, 不妨设|AF|>|BF|, 则

推导:如图1:设|AB|是过圆锥曲线的焦点F作一条弦|AB|, 直线MN是焦点F所对应的准线, 它交x轴于点P, 记p=|FP|, 即为焦准距;r=|AF|, 即为焦半径, 过A分别作x轴和准线的垂线, 垂足分别为M、H, 根据圆锥曲线的第二定义, 又|AM|=|FP|+|FH|=p+rcosθ, 所以有:同理可得

根据上面的推导可得:所以有:

公式2:我们称它为焦点弦长公式, 特别当圆锥曲线是抛物线时, 利用公式1很容易推导。

下面用2009和2010年的几道高考题说明公式1、公式2的妙用。

例1. (2010全国I) 设F是椭圆C的一个焦点, B是短轴的一个端点, 线段BF交C于点D, 且则C的离心率为_______。

解法1:设椭圆的方程为:又B (0, b) 、F (c, 0) , 则代入椭圆的方程

点评:两种方法计算量看起来差不了多少, 但事实上解法2优于解法1, 下面再看一道题。

例2. (2009全国II) 已知双曲线C:的右焦点为F, 且斜率为的直线交C于A、B两点, 若则C的离心率是 () 。

解法1:由题意AB的方程是:中消去y得:

又由定比分点坐标公式得:

联立 (1) 、 (2) 、 (3) 得:选 (A) 。

解法2:设双曲线C:的右准线为l, 过A、B分别作AM⊥l于M, BN⊥l于N, BD⊥AM于D, 由直线AB的斜率为知直线AB的倾斜角为60°,

由双曲线的第二定义有

点评:本题用三种方法来解答, 解法1最常规解法, 但计算量太大, 作为一道选择题, 花费十分钟未必能算出来, 效率太低。解法2利用了双曲线的第二定义和平面几何知识, 虽简单但有一定难度。显而易见, 再没有比解法3更简单的方法了。

读者不妨利用例2的方法练习解答2010年全国II理科卷第12题和2010年辽宁理科卷的第7题。

练1. (2010全国Ⅱ) 已知椭圆C:的离心率为过右焦点F且斜率k (k>0) 的直线与C相交于A、B亮点, 若则k= ( ) 。

答案: (B) 。

练2. (2010辽宁) 设抛物线y2=8x的焦点为F, 准线为l, P为抛物线上一点, PA⊥l, A为垂足。如果直线AF的斜率为那么|PF|= ( ) 。

答案: (B) 。

例3. (2010重庆) 已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足则弦AB的中点到准线的距离为_______。

解:如图, 过A、B分别作已知抛物线准线的垂线, 垂足分别为D、C, 根据抛物线的定义可知:弦AB的中点到准线的距离即直角梯形ABCD的中位线长, 记为d, 则

《圆锥的体积》教案设计 篇3

【中图分类号】G623.5【文献标识码】B【文章编号】1001-4128（2011）04-0194-02

1 教材简析

《圆锥的体积》是小学数学六年级下册第二单元《圆柱和圆锥》中的内容。

本单元是小学阶段学习几何知识的最后一部分内容，包括圆柱和圆锥的认识，圆柱的表面积，圆柱的体积和圆锥的体积。圆柱和圆锥是人们在生活和生产中经常遇到的几何形体，教学这一部分内容，有利于进一步发展学生的空间观念，为进一步学习和解决实际问题打下基础。《圆锥的体积》是继已经学习《圆柱的体积》内容为基础而展开的学习内容。

2 学情分析

本内容教学过程中，学生容易停留在对实物的直观表象认识上，从圆锥实体抽象出圆锥概念与圆锥的体积公式，是学生进行学习的瓶颈，注意引导学生从“已知”去认识“不知”事物的观念上突破。以及从“已有方法”推出“未知方法” 诱导；同时为了解决学生对繁琐的计算也容易产生困乏的情绪，教学时有必要采用计算器以及必要图形予以辅助。

3 教学目标

（1）使学生理解求圆锥体积的计算公式。

（2）会运用公式计算圆锥的体积。

（3）掌握圆锥体积公式的推导过程，能灵活解决实际问题。

（4）培养学生观察、比较、归纳的能力，以及空间观念。

（5）培养学生逻辑思维能力，有条理性的解决问题的能力。

4 教学重点

圆锥体体积计算公式的推导过程。

教学难点

正确理解圆锥体积计算公式。

5 教学方法

基于教学内容和学生实际，主要采用的教学方法有：直观观察法、实验法、反例比较法、课件演示法、探究发现法。

6 教学准备

（1）课件。

（2）实物圆柱體、圆锥体和沙等。

7 教学设计

7.1 情境引入观察发现

（1）复习旧知：

1）圆柱的体积公式是什么？

2）投影出示圆锥体的图形，学生指图说出圆锥的底面、侧面和高.

（2）导入：同学们，前面我们已经认识了圆锥，掌握了它的特征，那么圆锥的体积怎样计算呢？这节课我们就来研究这个问题.（板书：圆锥的体积）

7.2 积极参与探究感受

（1）了解用排水法求圆锥的体积。（学生有基础这个内容可以简略见教材）

（2）指导探究圆锥体积的计算公式.

1）学生分组实验:老师给每组同学都准备了两个圆锥体容器和两个圆柱体容器（其中有一个圆锥和一个圆柱是等底等高的，另外一个圆锥和圆柱体容器底和高跟它们各不相同）和一些沙土.实验时，先往圆柱体（或圆锥体）容器里装满沙土（用直尺将多余的沙土刮掉），倒人圆锥体（或圆柱体）容器里.倒的时候要注意，把两个容器比一比、量一量，看它们之间有什么关系，并想一想，通过实验你发现了什么？（注：实验教学法，百闻不如一见，一个人最相信的是自己，是自己做的事情，它能给学生留下深刻的印象和想象的空间，取得较好的教学效果。实验法需要老师课前做充分的准备）

2）学生汇报实验结果（课件演示：圆锥体的体积1、2、3、4、5）

①圆柱和圆锥的底面积相等，高不相等，圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒，倒了一次，又倒了一些，才装满.

②圆柱和圆锥的底面积不相等，高相等，圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒，倒了两次，又倒了一些，才装满.

③圆柱和圆锥的底面积相等，高相等，圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒，倒了三次，正好装满.

……

（注：正反例比较法，将正例和反例进行比较，让学生知道圆锥的体积跟圆柱体积有什么关系，圆锥的体积是什么而不是什么，让学生更清楚的认识到圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的三分之一，而不是等于其它圆柱体积的三分之一，从而突破了难点。）

3）引导学生发现： 圆柱体的体积等于和它等底等高的圆锥体体积的3倍或圆锥的体积是和它等底等高圆柱体积的 .

板书：

圆锥的体积与它等底等高的圆柱体体积×高÷3

字母公式 v1/3v【sub】圆柱【/sub】h

V1/3sh

（探究发现法，是学生通过观察和实验进行综合、比较、归纳、逻辑推理发现规律和数学模式的过程，让学生从感性知识上升到理性知识。）

4）思考：①要求圆锥的体积，必须知道哪两个条件？②如果已知圆锥的体积和高怎样求底面积？③如果已知圆锥的体积和底面积怎样求高？

5）反馈练习

圆锥的底面积是5，高是3，体积是（ ）

圆锥的底面积是10，高是9，体积是（ ）

7.3 运用知识解决问题

（1）试做教材相关例题.

（2）运用公式

1）一个圆锥形的零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米.这个零件的体积是多少？

学生独立计算，集体订正.

2）一个圆锥的底面积是25平方分米，高是9分米，它的体积是多少？

3）思考：求圆锥的体积，还可能出现哪些情况？（圆锥的底面积不直接告诉）

a、已知圆锥的底面半径和高，求体积.

b、已知圆锥的底面直径和高，求体积.

c、已知圆锥的底面周长和高，求体积.

4）反馈练习：一个圆锥的底面直径是20厘米，高是8厘米，它的体积体积是多少？

（3）求下面各圆锥的体积.

a、底面面积是7.8平方米，高是1.8米.

b、底面半径是4厘米，高是21厘米.

c、底面直径是6分米，高是6分米.

（4）计算并填表。（见课后习题）

（5）判断对错，并说明理由.

a、圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍.（ ）

b、一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比是2∶1.（ ）

c、一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米.（ ）

（6）公式的逆运用 。

1）一个圆锥的体积是31.4平方分米，高是3分米，求底面积.

2）一个圆锥的体积是68.2平方米，底面积是31.4平方米，求高。

7.4 思维训练。本课题内容的思维训练我认为主要是圆柱和圆锥的几种特殊的关系：（1）圆柱和圆锥等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的三分之一。（2）圆柱和圆锥等体积等底面积时，则圆锥的高必须扩大到圆柱高的三倍。（3）圆柱和圆锥等体积等高时，则圆锥的底面积要扩大到圆柱底面积的三倍。第一种关系是本节课的重点已经解决，第二和第三种关系则是本节课内容的拓展，主要以启发式来引导，比如：怎样使原本与圆柱等底等高的圆锥的体积变得与圆柱体积一样大呢？学生小组讨论后引导学生理解：第一种方法是底面积不变高扩大（或增加）到原来的三倍，第二种方法是高不变底面积扩大到原来的三倍，第三其他方法。

7.5 全课总结概括新知:通过本节的学习，你学到了什么知识？（从两个方面谈：圆锥体体积公式的推导方法和公式的应用）

7.6 布置作业。

8 教学反思

主要收获：在整个学习过程中，学生获得的不仅是新活的数学知识，同时也获得了更多的是探究学习的科学方法，探究成功的喜悦以及探究失败的深刻反思，在这样的学习中，学生会逐步变的有思想、会思考、会逐渐发现自身的价值。

《圆锥体体积的练习》教学反思 篇4

圆锥的体积练习内容包括利用公式直接计算圆锥的体积，利用公式求圆锥形物体的容积。能灵活地运用公式解决一些简单的实际问题，提高解决问题的能力。

我在教学时，发现大部分学生对于直接利用公式计算的题目掌握的很好了。并且我要求学生在做图形题时，审题要做到以下几点：

1.弄清物体的形状，题目给出的数量单位是否统一。

2.弄清题目给出了哪些已知条件？通过这些条件你能提出哪些问题？

3.弄清问题求什么？与已知条件之间有什么联系？找出数量关系。

4.根据数量关系列式解答。

圆锥的体积 篇5

菜籽湾小学 马成彪

教学内容。

圆锥的体积 教学目标。

1、组织学生参与实验，从而推导出圆锥体积的计算公式。

2、会运用圆锥的体积公式计算圆锥的体积。

3、培养学生观察、比较、分析、综合的能力以及初步的空间观念。

4、以小组形式参与学习过程，培养学生的合作意识。教学重点难点。

圆锥体积公式的推导过程。教学准备。

两个圆柱形容器、一个圆锥形容器、一些沙土、尺子 教学过程：

一、复习。

1、圆柱的体积怎样计算？（生：圆柱的体积=底面积×高或v=sh）

2、我们又认识了圆锥，关于圆锥你还想了解哪些知识？ 生：我想知道圆锥的表面积怎样计算？ 生：我想知道圆锥的体积怎样计算？ …

师：看来，同学们的求知欲望都特别强，这一节课我们就先来研究圆锥的体积。（板书：圆锥的体积）

二、导入。

老师这有一个圆锥形的物体（在黑板上画一个圆锥），根据以前的知识，我们可以用什么方法测量它的体积？学生想办法，汇报：如可以把它放入一个盛有水的圆柱形容器内，看上升后水的体积也就是这个圆锥形物体的体积等答案。教师听学生汇报后说：这些想法都很好，但是都有一定的局限性，比如在打麦场有一个很大的圆锥形麦堆，用这种方法还行吗？学生回答：不行。看来，我们还要寻找计算圆锥体积的方法。

三、探索新知。

1、让学生猜想。

师：我们在推导圆柱的体积公式时，是根据长方体的体积公式得出，要探索圆锥的体积请大家猜想：

（1）圆锥的体积和谁的体积有关系？

（2）你怎么发现圆锥和圆柱的关系？（生：它们都有一个圆面和曲面）

师：下面我们就利用圆柱的圆锥的关系来研究圆锥的体积。

2、研究圆柱和圆锥的底面积和高。

（1）我们学过的长方体、正方体、圆柱的体积都与它们的底面积和高有关，那你觉得圆锥体积的大小与它什么有关系？（底面积、高）好，下面我们就借助圆柱先研究它们的底面积和高。

2）让学生拿两个圆柱分别和圆锥比一比它们的底面积和高，看你能发现些什么？

（3）汇报

生：我发现这个圆柱和这个圆锥的底面积相等，高也相等。问：你怎样得到的。学生演示给大家看，之后教师说：这个圆柱和这个圆锥是等底等高的。

生：我发现这个圆柱和这个圆锥的高相等，但底面积不相等也就是它们两个是等高不等底。（生把圆柱和圆锥举起来让同学们看看）生：我发现这个圆柱和这个圆锥的底面积不相等，高也不相等，也就是它们两个不等底不等高（生把圆柱和圆锥举起来让同学们看看）。

教师小结：通过刚才的比较我们得出：圆柱和圆锥有等底等高、等底不等高、等高不等底、不等底不等高四种情况。

3、研究体积之间的关系

（1）让学生说说自己想选哪组进行实验才能找到它们体积的关系，为什么？

学生回答：选等底等高的这一组。如果有学生选其它几组，让同学们说说为什么不可以？

教师：看来，我们要想研究圆锥的体积，必须寻找和它关系最密切的圆柱来研究。（2）选等底等高的圆柱、圆锥，借助沙土进行实验。实验前老师提问：①你打算怎么做这个实验？②在实验时，你应该注意什么？③在呆会儿的实验中，请同学们边实验边思考，二者体积间有什么关系？

（3）学生进行实验，教师巡视、指导。（4）汇报：你是怎么做的，得出什么结论？

生：我先把圆锥形的容器盛满沙土，再往圆柱形容器里面到，结果到了三次到满，我得出在等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱体积的1/3 生：我先把圆柱形的容器盛满沙土，再往圆锥形容器里面到，结果到了三次到完，我得出在等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱体积的1/3。

教师：刚才实验，我们发现了在等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱体积的1/3。

（5）学生选另外三种情况中的一组进行反向验证，汇报。生：我选的是等高不等底的这一组，结果我到了三次还没到满。（举起来让大家看一看）

生：我选的是不等底不等高的这一组，结果我到了十次才到满。（举起来让大家看一看）

生：我选的是等底不等高的这一组，结果我到了一次就到满了。（举起来让大家看一看）…

教师小结：通过刚才实验，再次证明了只有在等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱体积的1/3。（板书）（6）课件演示：操作的过程。

（7）学生推导圆锥的体积公式

生：圆锥的体积=底面积×高 ×1/3或v=1/3sh 师问：为什么乘1/3，底面积和高是谁的底面积和高，求圆锥的体积必须得知道哪些条件？

4、教学例1（投影出示）：一个圆锥形的零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米，这个零件的体积是多少？（1）读题让学生找出已知条件和问题。（2）学生试做。

（3）汇报。教师指导学生的计算方法。

5、教学例2。

（1）投影出示一个圆锥形的小麦堆，师：测得小麦堆的高是1.2米，每立方米小麦约重700千克，要想求这堆小麦大约有多少千克？还需知道什么条件

（2）老师想知道小麦堆的底面直径，你可用什么方法测量？ 生：可以用两根竹竿平行地放在小麦堆两侧，测量出两根竹竿间的距离就是小麦堆的底面直径。

生：可以用绳子在底圆周围围一圈量出小麦堆的周长，再算出直径。

（3）如果底面直径是4米，让学生解答。（4）汇报，说思路。

小节：同学们不仅会进行测量，而且还会求体积，这才是生活中有价值的数学。

四、巩固练习

1、只列式不计算

（1）、一个圆锥的底面直径是6厘米，高是8厘米，求圆锥的体积？（2）、一个圆锥的底面周长是12、56厘米，高是8厘米，求圆锥的体积？

2、判断

（1）、圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍。（）

（2）、把一个圆柱体木料加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比是2：1。（）

五、总结。

通过这节课的学习你有什么收获？ 板书

圆锥的体积

圆柱、圆锥体积的计算 篇6

教学内容: 青岛版教材五年级下册教科书第三单元信息窗三及自主练习部分题 教学内容: 青岛版教材五年级下册教科书第三单元信息窗 教学目标：

1、使学生理解和掌握圆柱的体积计算公式，并能根据题里的条件正确地求出圆柱的体积。

2、培养学生初步的空间观念和思维能力；让学生认识“转化”的思考方法。教学重点：

理解和掌握圆柱的体积计算公式。教学难点：

圆柱体积计算公式的推导。教学策略: 采用直观与演示相结合的方法进行教学。教具学具准备：

圆柱体积演示教具。教学过程：

一、创设情景，提出问题。

1．求下面各圆的面积(回答)。

(1)r=1厘米；(2)d=4分米；(3)C=6.28米。要求说出解题思路。

2、想一想：学习计算圆的面积时，是怎样得出圆的面积计算公式的?指出：把一圆等分成若干等份，可以拼成一个近似的长方形。这个长方形的面积就是圆的面积。

3．提问：什么叫体积?常用的体积单位有哪些? 4．已知长方体的底面积s和高h，怎样计算长方体的体积?(板书：长方体的体积=底面积×高)

5、出示信息窗3，引导学生提出问题

二、自主探究，学习新知

1．根据学过的体积概念，说说什么是圆柱的体积。(板书课题)2．怎样计算圆柱的体积呢?我们能不能根据圆柱的底面可以像上面说的转化成一个长方形，通过切、拼的方法，把圆柱转化为已学过的立体图形来计算呢，现在我们大家一起来讨论。

3．公式推导。(有条件的可分小组进行)(1)请同学指出圆柱体的底面积和高。(2)回顾圆面积公式的推导。(切拼转化)(3)探索求圆柱体积的公式。

根据圆面积剪、拼转化成长方形的思路，我们也可以运用切拼转化的方法把圆柱体变成学过的几何形体来推导出圆柱的体积计算公式。你能想出怎样切、拼转化吗?请同学们仔细观察以下实验，边观察边思考圆柱的体积、底面积、高与拼成的几何形体之间的关系。教师演示圆柱体积公式推导演示教具：把圆柱的底面分成许多相等的扇形(数量一般为16个)，然后把圆柱切开，照下图拼起来，(图见教材)就近似于一个长方体。可以想象，分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体。(4)讨论并得出结果。

你能根据这个实验得出圆柱的体积计算公式吗?为什么?让学生再讨论：圆柱体通过切拼，圆柱体转化成近似的 体。这个长方体的底面积与圆柱体的底面积，这个长方体的高与圆柱体的高。因为长方体的体积等于底面积乘以高，所以，圆柱体的体积计算公式是：。(板书：圆柱的体积=底面积×高)用字母表示：。(板书：V=Sh)

4、学生根据公式自主解决问题。

5、班内交流，教师板书并让学生说说每一步的具体含义，是怎样算的。

三．自主练习，应用拓展。

1、做“自主练习”第1题。指名三人板演，其余学生做在练习本上。集体订正，说说计算时有什么不同的地方，为什么?指出：计算圆柱的体积，要注意题里的条件，正确列出算式计算。

2、做“自主练习”第2题

提问：这道题实际是求什么?怎样做？指名学生板演，其余学生做在练习本上。集体订正，追问用什么公式？

四、全课总结，回顾整理

圆锥体的体积公式 篇7

教师是学生学习和知识建构的组织者。教学是师生之间、学生之间对话、沟通、合作、共建的交往活动。然而, 广大教师如何按照新课程理念实施有效的教学还存在着不少困惑。如果仅仅在教学内容上进行改革, 而不在教学方法与学生的学习方式上有所突破, 那就是“穿新鞋走老路”。因此, 教学要精心设计, 从轻松的谈话中创设情境, 导入学习。这样既注重了学科知识的建构, 又让学生体会到“数学来源于生活, 服务于生活”的思想。

如, 在教学“圆锥的体积”时, 我是这样引入的:

师:同学们, 你们知道唐宋八大家吗?

(学生七嘴八舌地说了出来)

师:苏东坡是唐宋八大家之一, 他的妹妹苏小妹也是一位非常有名的诗人, 她为了考验丈夫秦少游出了三道难题, 因而秦少游作出了“闭门推出窗前月, 投石击破水底天”这一著名诗句。你们能从这一诗句中联想到我们所学的数学知识吗?

生1:石头投入水中后, 水的体积变大了。

生2:水的体积没有变, 而水面的高度升高了。

兴趣是最好的老师, 诗句让学生产生了极大的积极性和主动性, 并使学生全身心地投入到学习中去。同时, 这种设计又与学生已有的知识经验结合起来 (上节课的练习思考题是:石头投入水中, 水面升高, 水的体积不变, 计算石头的体积) , 让学生更深入地理解:水的体积不变, 水面上升的体积就是物体的体积这一知识, 为本节学习打下坚实的基础。

师:石头投入到水中, 水的体积没有变, 但是水面升高了, 那么, 水面升高的体积是多少?

生3:是这个石头的体积。

师:我们能不能用这一知识解决圆锥的体积计算呢?

(板书课题:圆锥的体积)

小组合作:一个长方体水槽的底面积是120平方厘米, 先量出水面的高度, 然后将小圆柱轻轻地放入水中, 看水面有什么变化?这个圆柱的体积是多少?再将小圆锥放入水中, 你能计算出圆锥的体积吗?再认真观察:圆柱和圆锥之间有什么关系?

(学生们非常积极、认真地测量着、讨论着)

生4:等底等高的圆锥和圆柱, 圆锥体积是圆柱体积的三分之一, 圆柱体积是圆锥体积的三倍。

我们知道, 学生的知识经验、学习方式都存在着一定的差异, 但是“人的主观能动性”体现出任何一种知识的接受必然要经历一个自主内化和自我建构的过程, 必须通过自身对知识形成过程的感知、体验、感悟才能纳入自己的认知结构。因此, 实现知识的主动建构、经验的获得, 必须由学生通过实践, 自己感悟内化。也就是说, 学生是通过各种方式, 从所体验到的客观现实世界中, 获得数学经验、数学知识以及关于这些知识的构成。

前苏联著名教育家苏霍姆林斯基说过:“在每个人的心灵深处, 都有一种根深蒂固的需要, 希望自己是一个研究者、发现者、探索者, 尤其在儿童心灵深处这种需要特别强烈。”石头投入水中, 水面升高, 升高的体积与物体体积之间有怎样的关系, 学生通过亲身实践而体会到这一关系。同时, 学生自己通过数学观点感知等底等高圆柱和圆锥体积之间的关系。这种全员参与、探索、尝试的活动, 让学生体验到成功的乐趣, 极大地培养了学生的自信心, 对学生的发展起了重大的作用。

师:既然等底等高的圆柱和圆锥之间有这样的关系, 你们能用圆柱的体积计算、解决有关圆锥体积的问题吗?怎样解决呢?

生5:圆柱体积的三分之一就是与它等底等高的圆锥的体积。

生6:如果圆柱体积是18立方厘米, 与这个圆柱等底等高的圆锥体积就是立方厘米。

生7:如果圆锥体积是7立方厘米, 那么与它等底等高的圆柱体积就是7×3=21立方厘米。

师:以上三位同学的观点对吗?你们能这样解决问题吗?

为了使学生对获得的知识进一步提升, 将实践中获得的知识运用到抽象的数学领域中, 并用数学的角度去认识、体验、总结, 这一环节将知识提升, 紧扣本节的重点和难点, 对上一环节得出的结论进行细化理解, 把理论知识转化为我们解决数学问题、实践问题的向导。因此, 教学中要切实注意算理教学, 有这一推导过程, 公式的应用就水到渠成。这样既分散难点, 又突破重点, 并让学生在轻松、愉快中理解问题的难点, 切实让学生自由、开放地理解、探索, 在数学学习与现实生活中遨游。

圆锥的体积教学案例及反思 篇8

教学目标：

1.使学生理解和掌握圆锥体积的计算公式，会运用公式计算圆锥的体积并解决简单的实际问题。

2.在推导公式过程中，通过小组合作、动手实验的方法，培养学生分析、推理的能力及抽象概括能力。

3.在探究公式的过程中，向学生渗透“事物之间是相互联系”的，并通过活动，使学生形成良好的合作探究意识。

教学重点：掌握圆锥体积的计算公式。

教学难点：圆锥体积公式的推导过程。

一、提出问题，激发兴趣

师：揭示课题后，让学生自由地说一说用什么方法能求出圆锥的体积。

生1：变成圆柱体。

生2：变成长方体。

生3：放入水中求上涨的水的体积。

生4：把空圆锥装满水倒入量杯或量筒。

…………

师：这些方法都很好，都是把圆锥转化成我们学过的立体图形。今天，我们共同探究一种更为一般的计算圆锥体积的方法。你愿意选择哪一种立体图形来作为研究的工具？

生：圆柱体。

师：为什么呢？

生：因为它和圆锥的共同点很多，都有一个曲面，而且底面都是圆形。

生：我猜想它们的体积之间有一定的联系。

师：请各小组从实验器材（两只圆柱和两只圆锥容器）中选一只圆柱和圆锥，做实验来验证你们的猜想。

二、动手实验，合作探索

师：请小组合作，利用圆柱容器、圆锥容器、水进行实验，共同探究圆柱体积与圆锥体积之间的关系。

6个小组展开合作实验：有的拿着圆柱，有的拿着圆锥，用圆锥装水往圆柱里倒，有的用圆柱装满水再倒入圆锥，有的观察水的高度，有的记录实验数据。必须说明的是，其中三个小组使用的圆柱和圆锥分别是等底等高的，另外三个小组使用的分别是等底不等高、等高不等底、或底高均不相等的。

三、汇报交流，引出冲突

师：通过实验，你们有何发现？

组1：我们实验时，用圆锥三次装满水连续倒在圆柱里，圆柱正好装满。这说明圆锥的体积是圆柱体积的1/3。

组2：我们用圆柱装满水往圆锥里倒，等到圆锥第三次装满水，圆柱里的水也正好倒完。这说明圆柱的体积是圆锥体积的3倍。

组3：我们组实验的结果与前面两组基本一致。

组4：我们用圆锥三次装满水连续往圆柱里倒，圆柱并没有装满，所以，我们认为圆锥的体积不是圆柱体积的1/3。

组5：我们组实验时，用圆锥装满水往圆柱里倒，倒完第二次后圆柱就满了。

组6：我们还要快，圆锥第一次装满水倒入圆柱后，圆柱就满了。

师：根据这些实验组的汇报，把结论分成两大类：1、圆锥的体积是圆柱的三分之一 ；2、圆锥体积不是圆柱的的三分之一 。

师：这是怎么回事呢？同样的实验为什么会得到不同的结果呢？

学生陷入了沉思，开始对整个实验过程进行回顾。

生：是不是我们实验所用的圆柱和圆锥有什么差别呢？

“一语惊醒梦中人”，学生开始用各种方式比较各组所用的圆柱和圆锥，也有的拿起尺开始测量圆柱和圆锥的底和高……

四、柳暗花明，又一春

师：请小组相互间交流一下，找一找结论不一样的原因。

持有两种不同观点的实验小组互换实验器材，进行实验操作。

生再次汇报交流，经过辨析，得出结论：在等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱的1/3。如果不等底不等高，圆锥的体积有可能不是圆柱的1/3。

概括公式V锥=V柱=1/3sh

（等底等高）

五、巩固练习

（一）判断：用手势来回答

1.圆柱的体积是圆锥体积的3倍。（ ）

2.一个圆柱，底面积是12平方分米，高是5分米，它的体积是20立方分米（ ）

3.把一个圆柱木块削成一个最大的圆锥，削去的体积是圆柱体积的三分之二。（ ）

（二）思考题

你能想办法算出你手中圆锥体的体积吗？说说测量和计算的方法。

六、课堂小结：这节课你有什么收获？

板书：圆锥的体积

圆锥的体积=1/3×底面积×高

等底等高V=1/3Sh

七、反思

1.注重体验，引导发现

重视数学学习过程的体验是国家数学课程标准的一项重要指导思想。体验使学习过程不仅成为知识增长的过程，同时也是身心和人格健全、发展的过程。在圆锥体积公式的学习，关键是建构“圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的1/3”这一概念。而这一概念的形成，靠文字解释和直观形象的观摩演示，都是苍白无力的，它需要学生发自内心、倾心投入的亲身体验。于是便有了上述实验，学生们借助不同的学具得到了不同的结果。“同样的实验为什么会得到不同的结果呢？”再次发问引发了学生对实验材料的对比与反思。结果可想而知，学生对“等底等高”这一认知重点因充分体验而获得深刻领悟。

2.精心预设、有效指导

《数学课程标准（实验稿）》明确指出：“数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验的基础上。”这就要求教师在教学方案的预设中，必须对学生的直接经验有所估计，使教学成为学生已有的知识和直接经验的逻辑归纳和引申，增加学生学习的体验性和生成性。文中先通过发散性的问题，让学生运用“转化”的数学方法自由地想出求圆锥体积的方法，再加以巧妙引导，使学生自然想到选择“圆柱”作为研究工具。由此看出，我们不但要使学生能够进行某种目的和意义的实验操作，还要使他们懂得为什么要这样操作，这样才真正体现实验操作的价值。

3.尊重选择，发展个性

圆锥的体积教学反思 篇9

圆锥的体积是在学生直观认识圆锥的特征，会算圆的面积，以及长方体、正方体、圆柱体的体积的基础上安排教学的。因此，我有针对性地设计、制作了本节课的辅助教学课件，既突出重点、突破难点，又激发学生的学习兴趣，优化教学过程，提高课堂教学质量。一节课下来，我静心思考，有以下几点反思：

一、学生动手操作，激发兴趣，培养了学生自主学习的精神。

在课堂上改教师演示为学生分组动手实验，用圆锥装满水倒入和它等底等高的圆柱里的过程。并在动画下面巧设问题：用圆锥装满水倒入和它等底等高的空圆柱里，倒几次正好倒满？每次水的高度是圆柱高度的几分之几？有层次的教学设计，丰富多彩的教学活动，充分体现以教师为主导，以学生为主体的教与学的双边活动。学生通过认真操作实验，观察思考，都明白了圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的1/3，从而推导出圆锥体积的计算公式，这样就有一种水到渠成的感觉。同时也培养学生观察、操作、讨论、归纳、整理等技能，形成良好的学习习惯和认真操作的态度。

二、激发学生的求知欲。

数学课程要关注学生的生活经验和已有的知识体验，教师在引入新知时，创设了一个有趣的童话情境，使枯燥的数学问题变为活生生的生活现实，让数学课堂充满生命活力。学生在判断公平与不公平中蕴涵了对等底等高圆柱和圆锥体积关系的猜想，他们在这一情境中敢猜想、要猜想、乐猜想，在猜想中交流，在交流中感悟，自然地提出了一个富有挑战性的数学问题，从而引发了学生进一步探究的强烈欲望。在应用公式的教学中，又把问题转向到课初学生猜测且还没有解决的问题，引导学生计算出圆锥的体积，终于使悬念得出了满意的结果，使学生获得了成功的喜悦。

三、全体学生的积极参与，突出学生的主体作用。

由于我平时非常重视让学生参与教学的全过程，重视培养学生的思维想象力，因此，学生在这节课上，表现也相当的出色。我在教学中大胆放手，让学生自主探索，经历“再创造”的过程。学生在教师的引导下，通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，积极主动地发现了等底等高的圆柱与圆锥体积间的关系，进而推导出圆锥体积的计算公式。特别是数学交流体现得很充分，有学生与教师之间的交流、学生与学生之间的交流以及小组或大组的多向交流，这种交流是立体、交叉型的，它能催化学生的意义建构。在有的小组实验失败后，引导学生在反思中不断进行自我调控，在调控中增强了体验的力度，有效培养了学生的元认知能力。调动了学生的学习积极性，突出了学生的主体作用。

圆锥体的体积公式 篇10

高楼小学

王俊渊

教学内容：新课标人教版小学数学六年级下册圆柱体积和圆锥体积的应用 教学目标：

1、让学生进一步掌握圆柱和圆锥体积的计算方法，正确熟练地运用公式计算圆柱和圆锥的体积。

2、进一步培养学生运用所学知识解决实际问题的能力和思维能力。

3、进一步激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和应用意识。教学重难点：

灵活运用公式解决简单的实际问题。学法指导

在教学活动中，教师要重视学生的全面参与，通过学生动手、动脑、分析、计算、讨论等方式，自主获取知识． 教学方法：

尝试教学法、讨论法、启发诱导式、参与式、分析比较法． 教具准备： 课件。教学过程：

一、复习引入：

1、上学期我们学习了圆的面积，如何计算一个圆的面积，用字母表示它的计算公式。

2、前面我们学习了圆柱和圆锥的体积，如何计算圆锥和圆柱的体积，用字母来表示分别表示其计算公式。

二、导入新课：

这节课我们学习圆柱体积和圆锥体积在生活中的应用，教师出示本节课题。

1、出示应用1：

一个圆柱蓄水池的底面直径是20米，深2米。（1）这个蓄水池的占地面积是多少平方米？（2）挖成这个水池，共挖出土多少立方米？

让学生分析讨论后自己解答，并让一名学生进行板书，然后师生共同订正。（1）3.14×﹙20／2﹚² ＝314(平方米）

答：这个蓄水池的占地面积是314平方米。（2）3.14×﹙20／2﹚²×2

＝314×2

＝628（立方米）

答：挖成这个水池，共挖出土628立方米。

2、出示应用2：

把一个底面半径是10分米，高是2分米的圆柱形铁块熔铸成与它等底的圆锥体，这个圆锥体的高是多少分米？ 讨论：

（1）这个圆柱体的什么与圆锥体的什么没有变，什么发生了变化？

（2）这个圆锥体的体积实质上就是谁的体积？

（3）如何求这个圆锥体的高？

让学生分析讨论后自己解答，并让一名学生进行板书，然后师生共同订正。

(3.14×10²×2）÷（1／3×3.14×10²)＝628÷314／3)＝6(分米)

答：这个圆锥体的高是6分米。

3、出示应用3：

在一个底面周长是62.8厘米，高是6厘米的圆柱体中削取一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是多少立方厘米？剩下部分的体积是多少立方厘米？  讨论：

(1)削取的这个圆锥体与原来的圆柱体有什么相同点？

(2)在等底等高的圆柱体和圆锥体中，圆柱体的体积与圆锥体的体积有什么关系？

（3）要计算这个圆锥体的体积，首先要算出什么？

（4）当这个圆锥体的体积计算出来后又如何计算剩下部分的体积？ 学生分析讨论后自己解答，并让一名学生进行板书，然后师生共同订正。3.14×[62.8÷﹙2×3.14﹚] ²×6

＝3.14×100×6

＝314×6

＝1884﹙立方厘米﹚

1884×1／3＝628

﹙立方厘米﹚

1884×2／3＝1256 ﹙立方厘米﹚

答：这个圆锥体的体积是628立方厘米.剩下部分的体积是1256立方厘米．

三、师生共同小结：

这节课我们主要学习了应用圆柱体积和圆锥体积解决我们实际生活中的问题，通过本节课的学习，不难看出他们在我们的实际生活的应用是非常广泛的，因此同学们一定要认真的学习，并将所学知识应用到我们的实际生活中去。

四、谈一谈自己这节课的收获．

五、课后作业：

有一块正方体木料，它的棱长是５分米，把它加工成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是多少？

六、板书设计：

圆柱体积和圆锥体积的应用

V柱=Sh

V锥=1／3Sh

应用1：

（1）3.14×﹙20／2﹚² ＝314(平方米）

答：这个蓄水池的占地面积是314平方米。

（2）3.14×﹙20／2﹚²×2

＝314×2

＝628（立方米）

答：挖成这个水池，共挖出土628立方米。

应用2：

(3.14×10²×2）÷（1／3×3.14×10²)

＝628÷314／3)

＝6(分米)

答：这个圆锥体的高是6分米。应用3：

3.14×[62.8÷﹙2×3.14﹚] ²×6

＝3.14×100×6

＝314×6

＝1884﹙立方厘米﹚

1884×1／3＝628

﹙立方厘米﹚

1884×2／3＝1256 ﹙立方厘米﹚

答：这个圆锥体的体积是628立方厘米.剩下部分的体积是立方厘米．

圆锥体的体积公式 篇11

(注:焦半径实际是圆锥曲线上任一点P与焦点F的距离,即|PF|.)

一、推导椭圆的焦半径公式

结合椭圆的几何性质及第二定义,设动点P(x0,y0).

图1

设椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1(-c,0),F(c,0),e=ca(c>0)(如图1).

左准线l1:x=-a2c;

右准线l2:x=a2c.

|PF1||PM|=e,|PF2||PN|=e.

∵|x0|

即|PF1|=e(a2c+x0)=a2c×ca+ex0=a+ex0.

|PF2|=e(a2c-x0)=a2c×ca+ex0=a-ex0.

不难发现:|PF1|与|PF2|仅与a、e、x0有关,符合“左+右-”规律.

同理可得,当椭圆标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)时,

|PF1|与|PF2|仅与a、e、y0有关,符合“下+上-”规律.

因此,对于椭圆的两种情况而言,焦半径公式的得到有方法:看方程得焦点,依焦点定公式.公式符合:“左+右-,下+上-”规律,左表示左焦点;右表示右焦点;下表不下焦点;上表示上焦点.

二、双曲线和抛物线的焦半径公式

对于双曲线的两种情况而言,焦半径公式的得到有方法:一看方程定焦点;二看动点在哪支;三依动点判长短;四依口诀得公式.公式符合“左+右-;下+上-;长正短负”规律.左表示左焦点,右表示右焦点,下表示下焦点,上表示上焦点;然后依动点,判断|PF1|与|PF2|的长短,视a+ex0,a-ex0,a+ey0,a-ey0为整体,依|PF1|与|PF2|的长短添正或负号.

对于抛物线的四种情况而言,焦半径公式的得到有方法:看方程得焦点;依准线写公式.公式符合“左+右-;下+上-”规律.

以上两组口诀请读者自行证明.归纳三类圆锥曲线的焦半径公式,可得到统一记忆的口诀:“左+右-;下+上-;遇见双曲,长正短负”.

有了上述记忆口诀,在应用中就可以灵活而准确地解决问题,现举两例加以说明.

【例1】 在双曲线x213-x212=-1的一支上有不同的三点

A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3)与焦点F(0,5)的距离成等差数列,求y1+y3的值.

解:双曲线方程为y212-x213=1,F(0,5),

又B(x2,6)、A、C在同一支,即上支上.

|AF|=-(a-ey),|BF|=-(a-ey2),|CF|=-(a-ey3).

又∵A、B、C到F的距离成等差数列,

∴-2(ey2-a)=-(a-ey1)(a-ey3),∴y1+y3=2y2=12.

【例2】 抛物线y=4x2上一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是().

A.1716B.1516C.78D.0

解:∵y=4x2,∴p=18.设M(x,y),

∴116+y=1,∴y=1516.故选B.

圆锥体的体积公式 篇12

一般高等数学、数学分析教材中, 只给由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式, 但是, 根据几何体体积的积分公式可以推证, 平面曲线y=f (x) 上介于M, N两点间的曲线段绕同平面直线L:Ax+By+C=0旋转所得旋转体体积的一般积分公式为:

$V=\frac{\text{π}}{(A{}^2+B{}^2){}^{\frac{3}{2}}}$∫${}_a^b$[Ax+Bf (x) +C]2|Af′ (x) -B|dx. (a)

其中a, b分别为M, N两点所对应的x值.

依此公式, 不仅可简化曲线段绕一般直线旋转所得旋转体体积的计算, 同时, 坐标轴作为坐标平面直线L的特殊形式, 由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式, 自然也可作为公式 (a) 的特殊形式而得到.公式 (a) 的推导有多种方法, 通过坐标变换推导, 不失为其中方法之一.

一、公式的坐标变换法推导

在直线L:Ax+By+C=0的任意一条垂线与曲线y=f (x) 至多有一个交点的假定条件下, 若B≠0, 直线L与y轴的交点为$\left(0,-\frac{C}{B}\right)$, 设直线L在坐标系xOy上的倾斜角为θ, 则$\tan \theta =-\frac{A}{B}$, 且

(1) 若A≥0, B>0, 则

(2) 若A<0, B>0, 则$\sin \theta =-\frac{A}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}},\cos \theta =\frac{B}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}$;

(3) 若A≥0, B<0, 则

(4) 若A<0, B<0, 则$\sin \theta =-\frac{A}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}},\cos \theta =\frac{B}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}.$

在 (2) (3) 情形下, 直线L的倾斜角θ为一锐角或为零角, 通过坐标轴移轴、转轴的复合变换

$\{\begin{array}{l}\overline{x}=x\text{c}\text{o}\text{s}\theta +\left(y+\frac{C}{B}\right)\sin \theta ,\\ \overline{y}=-x\text{s}\text{i}\text{n}\theta +\left(y+\frac{C}{B}\right)\cos \theta ,\end{array}$

可使直线L与$\overline{x}$轴重合.而在 (1) (4) 情形下, 直线L的倾斜角θ为一钝角, 通过变换

$\{\begin{array}{l}\overline{x}=x\text{c}\text{o}\text{s}[-(\text{π}-\theta )]+\left(y+\frac{C}{B}\right)\sin [-(\text{π}-\theta )],\\ \overline{y}=-x\text{s}\text{i}\text{n}[-(\text{π}-\theta )]+\left(y+\frac{C}{B}\right)\cos [-(\text{π}-\theta )]‚\end{array}$

即

$\{\begin{array}{l}\overline{x}=-x\text{c}\text{o}\text{s}\theta -\left(y+\frac{C}{B}\right)\sin \theta ,\\ \overline{y}=x\text{s}\text{i}\text{n}\theta -\left(y+\frac{C}{B}\right)\cos \theta ‚\end{array}$

也可使直线L与$\overline{x}$轴重合.

如图1, 经过上述坐标变换, 设曲线y=f (x) 上M, N两点所对应的x值分别为a, b, 所对应的$\overline{x}$值分别为α, β, 根据已有的已知截面面积A (x) 的几何体体积公式V=∫${}_a^b$A (x) dx可知, M, N两点间的曲线段绕直线L旋转所得的旋转体体积为V=∫${}_{\alpha }^{\beta }$$\text{π}\overline{y}{}^2\text{d}\overline{x}.$

其中$|\overline{y}|$为曲线上的点P到$\overline{x}$轴的距离, 也是P点到直线L的距离, 即

$|\overline{y}|=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}=\frac{|Ax+Bf(x)+C|}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}.$

在 (2) (3) 情形的变换下$\text{d}\overline{x}=[\cos \theta +f^{\prime }(x)\sin \theta ]\text{d}x.$

而在 (1) (4) 情形的变换下$\text{d}\overline{x}=[-\cos \theta -f^{\prime }(x)\sin \theta ]\text{d}x.$

以不同情形下的sinθ, cosθ的值分别代入, 有

$(1)\text{d}\overline{x}=\frac{1}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}[B-A{f}^{\prime }(x)]\text{d}x;$

$(2)\text{d}\overline{x}=\frac{1}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}[B-A{f}^{\prime }(x)]\text{d}x;$

$(3)\text{d}\overline{x}=\frac{1}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}[-B+A{f}^{\prime }(x)]\text{d}x;$

$(4)\text{d}\overline{x}=\frac{1}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}[-B+A{f}^{\prime }(x)]\text{d}x.$

综上, 有

$\text{d}\overline{x}=\frac{1}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}|A{f}^{\prime }(x)-B|\text{d}x.$

从而

$\begin{array}{l}V={\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }\text{π}}\overline{y}{}^2\text{d}\overline{x}\\ =\frac{\text{π}}{(A{}^2+B{}^2){}^{\frac{3}{2}}}\end{array}$

∫${}_a^b$[Ax+Bf (x) +C]2|Af′ (x) -B|dx.

若B=0, 直线L的方程为Ax+C=0, 即$x=-\frac{C}{A}$, 如图2, 不难看到, 曲线段绕直线L旋转所得的旋转体的体积为

∫${}_a^b$[Ax+0·f (x) +C]2|Af′ (x) -0|dx.

于是$V=\frac{\text{π}}{(A{}^2+B{}^2){}^{\frac{3}{2}}}$∫${}_a^b$[Ax+Bf (x) +C]2|Af′ (x) -B|dx便可作为曲线y=f (x) 上M, N两点间的曲线段绕直线L旋转所得的旋转体体积的一般积分公式.

特别地, 若直线L为x轴, 直线方程为y=0, 即A=0, B=1, C=0, 由以上公式有

V=∫${}_a^b$πf2 (x) dx. (b)

而当直线L为y轴时, 直线方程为x=0, 即A=1, B=0, C=0, 则有

V=∫${}_a^b$πx2|f′ (x) |dx. (c)

二、应用举例

例1 求由y=x, y=x2所围的图形绕直线L:x+y+1=0旋转而成的旋转体的体积.

解 如图3, y=x与直线L:x+y+1=0垂直, y=x2在点$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$处的切线与y=x平行, 所以

例2 求由y=x2及y=0, x=1所围成的区域绕x=1旋转所得旋转体的体积.

解 旋转轴方程为x-1=0, 如图4, 由公式 (a) 即得

V=π∫${}_0^1$ (x-1) 2|2x|dx

$\begin{array}{l}=\text{π}{\displaystyle {\int }_0^1(}x{}^2-2x+1)2x\text{d}x\\ =\frac{1}{6}\text{π}.\end{array}$

例3 求由y=sinx, y=0 (0≤x≤π) 所围成的区域绕y轴旋转所得旋转体的体积.

解 如图5, 由公式 (c) 得

作为更一般的例子, 由y=f (x) , x=a, x=b及y=0所围成区域绕y轴旋转所得旋转体体积公式, 也可由 (c) 推出.

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

[2]复旦大学数学系.数学分析 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[3]陈抚良, 张振兰, 黄浩然.解析几何[M].北京:科学出版社, 2005.

[4]龚冬保.高等数学典型题解法、技巧、注释[M].西安:西安交通大学出版社, 2000.

圆锥的体积教学设计 篇13

教学内容：人教版小学数学六年级下册教材第33~34页。教学目标： 知识技能

通过“观察、比较、演示、猜测、操作、验证”，使学生理解求圆锥体积的计算公式，在圆锥体积公式的推导过程中进一步理解圆锥与圆柱的联系，会运用公式计算圆锥的体积，并能运用圆锥体积公式解决一些实际问题。

数学思考与问题解决

培养学生的观察能力、操作能力和推理思维能力，发展学生的空间观念。情感态度

通过圆锥体积公式推导的教学，引导学生探索知识的内在联系，渗透转化思想以及猜想和验证的科学方法。感悟数学知识的魅力，体会学习数学的趣味性。

教学重难点

重点：推导圆锥体积的公式，理解和掌握圆锥体积的计算公式。难点：圆锥体积公式的推导及灵活运用

教具学具：每个小组一套圆锥和圆柱（大多数组是等底等高的，少数组等底不等高或等高不等底或不等底不等高）；适量的沙子或水。

教学设计：

一、故事激趣，引出课题

今天，老师为同学们带来了一个有趣儿的数学故事，想听吗？（想）来点掌声鼓励鼓励。

一天，圆柱、圆锥和长方体在草地上玩耍，长方体随口说了声：“你们觉得在数学王国里，什么图形的体积最大？”圆柱马上说：“这个嘛，不用比，当然是我啦！你看我长得圆滚滚的，很是丰满吧！”圆锥听了可不高兴了，连忙说：“凭什么你比我的体积大？”圆柱说：“你看你自己，那么廋，头细如针，还想和我争。”……圆柱和圆锥就这样你一言，我一语，吵得不可开交。这么吵下去也不是办法，同学们，你们有什么办法去帮助他们俩解决问题，让他们俩停止争吵吗？（同学们议论纷纷，你一言，我一语，争着发言。有的同学说：“圆柱和圆锥有大有小，这怎么比？”，有的说：“把他们两个的体积算一算不就知道了吗？”……）那圆柱的体积我们都会算了，问题是圆锥的体积不会算啊？我们今天啊就一起来研究研究这个问题。师板书：圆锥的体积

二、科学验证，经历探索问题的过程 1.比较圆锥和圆柱的异同点

既然是圆柱和圆锥在这儿争吵，我们现在就把他俩请出来，好好看看他俩到底长啥模样。（课件出示一个圆柱和一个圆锥）耶，这不是我们前面见过的圆柱和圆锥吗，来，同学们，跟他俩打个招呼吧！（嗨，你们好啊，我们又见面了！）

师：请同学们仔细观察观察，他们俩到底有什么相同点和不同点？ 生1：我看到了他俩都有一个圆形的底面和一个曲面。

生2：圆柱的两个底面大小相等，而圆锥的有一个底面已经变成了一个点。师：不错，看来同学们观察的很认真。还有想发言的吗？ 生3：我发现他俩的高一样长。（来，比比看，真的是一样长。）

师：看来，圆柱和圆锥有这么多的相同点，那他们之间的体积有没有一定关系呢？（提出大胆猜想，有的学生认为有关系，有的学生认为没有关系。）

师：认为有关系的同学能否大胆说说你的想法（有什么关系），认为没关系的同学也来讲讲，咱们各抒己见，真理就越辩越明了。

当学生说到圆柱和圆锥的体积是倍数关系时，师接着反问：你怎么知道的？（课本上看来的）那同学们能否利用老师给你的器材来验证一下呢？

2.科学验证

学生以小组（6人）为单位围坐在一起，组长到台前领取实验器材。这里有水和沙子，可任意选择。师交代在做实验的过程中应注意的事项：（1）小组要分工合作，按一定顺序来；（2）实验要以科学的态度来对待，不是玩游戏；（3）尽量小心，水和沙子不弄掉在外面；（4）不高声喧哗。

①分组实验。

（材料：教师有意安排6个小组的学具是等底等高的，其余小组的学具是不等底等高的）

要求：各组做完实验，说一说你们组验证的过程和得出的结论。实验步骤：

a、准备好空心的圆柱和圆锥各一个，量杯一个；

b、把圆锥里的水或沙子倒入圆柱体里，看一看，数一数，要倒几次才能装满圆柱。

c、把圆柱里的水或沙子装满后再往圆锥里倒，看一看，数一数，要倒几次才能把圆柱里面的水和沙子倒完。

d、小组里的每个同学轮流做，其余同学认真观察。②小组汇报

你们小组发现了什么？（我们组发现……多让学生发言）

小结：好像大家的发现有些出入。这是怎么回事呢？可能存在什么问题呢？ 问题会不会出在实验的工具上（圆柱和圆锥的大小）…… 引导：各小组观察各自的实验工具——圆柱和圆锥，有什么不同？ 提问：结论是三倍关系的实验工具有什么共同的特点？（教师和学生都举起工具）

圆柱和圆锥是等底等高的。板书：等底等高 ③得出结论

提问：现在，谁再来说说圆柱和圆锥的体积有什么关系？

圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍，或圆锥体积是与它等底等高1的圆柱体积的。

3④公式推导

师：谁能用字母表示它们之间的关系呢？

11生汇报，师板书：圆锥体体积V=Sh或V=πr²h

33⑤加深理解

11师：在“Sh”中，“Sh”表示什么？为什么还要乘？

33师：要求圆锥的体积必须知道什么条件？还要注意什么？ 3.寻找其他方法

师：刚才，我们利用空心的圆柱和圆锥来研究了圆锥体积的问题，你们认为实心的圆柱和圆锥，能否研究这个问题呢？借助其他工具？（小组讨论）

（课件演示讨论问题）课件画面上有天平、容器中有水等。

（1）实心圆柱和圆锥，能进行试验对比吗？

（2）可以借助其他工具，验证圆锥体积的计算公式吗？ 可以摆一些有关的工具，如天平、容器中有适量的水——

①将能沉入水中的圆柱和圆锥沉入容器的水中，分别记录水位上升的高度。②把等底等高、同种质地的圆柱和圆锥两种容器都装满大米，然后在天平上分别称出所装大米的质量，两种容器容纳的大米质量恰好成3倍关系。（根据：同密度物体的体积与质量成正比例）

三、快乐练习，巩固自我。

圆锥的体积终于研究清楚了，下面，我们一起来看看小明遇到了什么问题，看能不能用今天所学的知识去帮助他解决问题。

1.小明跟随爸爸到工厂去，小明看到了一个圆锥形的零件，底面积是19 cm²，高是12 cm。帮小明算一算这个零件的体积是多大？

2.填空我能行。

（1）一个圆柱的体积是9立方米，与它等底等高的圆锥的体积是（）立方米。

（2）一个圆锥的体积是12立方分米，与它等底等高的圆柱的体积是（）立方分米。

3.我是小法官。

（1）圆锥的体积等于圆柱体积的3倍。（）（2）圆柱的体积大于圆锥的体积。（）

（3）圆锥的高是圆柱的高的3倍，它们的体积一定相等。（）（4）圆锥的体积小于与它等底等高的圆柱的体积。（）4.大脑总动员

想一想：要使等底等高的圆柱与圆锥体积相等，你有什么办法吗？ 指出：老师这里有一个圆柱和圆锥，它们是等底等高的，这时圆锥体积是圆1柱的，圆柱体积是圆锥的3倍，如果要想使它们的体积相等，该怎么办呢？（小3组讨论）