圆锥曲线的性质

圆锥曲线的性质（精选12篇）

圆锥曲线的性质 篇1

引言: 古希腊亚历山大时期的数学家阿波罗尼奥斯,就利用平面截取一个对顶的圆锥,根据在平面的不同位置,可分别得出双曲线、椭圆和抛物线; 当两个底面都与平面相交的时候,在圆锥的侧面就可得到双曲线; 当底面和平面都没有相交的时候,在圆锥的侧面得到的就是椭圆,特殊的时候就是与对顶圆锥底面平行的时候得到的就是圆; 而当平面与对顶圆锥一个底面相交的时候,在圆锥的侧面得到的就会是抛物线了.

圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆,通过直角坐标系,又与二次方程对应,所以,圆锥曲线又叫二次曲线. 圆锥曲线是几何学研究的重要课题之一,也是中学数学核心内容之一,解决几何题的方法是数形结合. 本文在此基础上简单的概括并分析圆锥曲线的性质,对其基本性质进行阐述,并探讨圆锥曲线的推广应用.

一、圆锥曲线的曲线方程

通过平切对顶圆锥得到的曲线,包括椭圆、圆、抛物线、 双曲线以及一些已经退化的曲线类型. 圆锥曲线又被称为圆锥截面,圆锥截痕以及二次曲线. 圆锥曲线的定义应用最为广泛的为: 一动点到一定点( 定点即焦点) 的距离与其到一条直线( 准线) 之间的距离的比为常数( 离心率) 的点的集合为圆锥曲线.

二、圆锥曲线的性质

1. 椭圆的性质

性质一: 椭圆具有对称性,在椭圆的标准方程中,以- x代替x,或者以- y代替y,或以- x,- y分别带入x,y,方程都不变,所以椭圆关于y轴和x轴以及原点都是对称的,坐标轴就是椭圆的对称轴,原点即是椭圆的对称中心. 椭圆的对称中心叫椭圆的中心.

性质二: 由于x轴、y轴都为椭圆的对称轴,则椭圆和它的对称轴就有了四个交点,并且这四个交点分别为椭圆的四个顶点. 若与x轴的两交点分别为A1,A2,与y轴的两个交点分别为B1,B2,那么A1A2,与y轴的两个交点分别为B1,B2,那么A1A2或B1B2就是椭圆的长轴或短轴. a、b叫做椭圆的长半轴或短半轴.

性质三: 离心率,为椭圆的焦距和长轴之间的比,就叫做椭圆的离心率.

2. 双曲线的性质

性质一: 双曲线具有对称性,并且每一个原点和坐标轴都是对称的. 因此坐标轴就是双曲线的对称轴,原点就是双曲线的对称中心. 并且双曲线的对称中心又可叫做双曲线的中心.

性质二: 双曲线的顶点,在一双曲线的标准方程中,假设y = 0,x = - a,所以双曲线与x轴就有两个交点,这两个交点都叫做双曲线顶点. 如果双曲线和y轴都没有交点,且与x轴交于A1( a,0) ,A2( - a,0) ,则令B1( 0,- b) ,B2( 0, - b) ,所以就有,线段A1A2称作双曲线的实轴,它的长就是2a,且a为双曲线的实半轴长; 线段B1B2为双曲线的虚轴, 其长就等于2b,且为双曲线的虚半轴长.

3. 抛物线的性质

性质一: 抛物线的顶点,即抛物线与抛物线的轴的交点称作抛物线的顶点,在方程y2= 2px( p > 0) 中,当y = 0时, x = 0,因此抛物线y2= 2px( p > 0) 的顶点就为坐标原点.

性质二: 抛物线具有对称性,如果以- y代替y,则方程y2= 2px( p > 0) 不变,则说明这条抛物线是关于x轴对称的, 所以我们就把抛物线的对称轴称作抛物线的轴.

性质三: 抛物线上的点M到它的焦点的距离和到准线的距离的比,称为抛物线的离心率,以e来表示,由抛物线的定义可得,e = 1

三、圆锥曲线的推广及应用

1. 抛物线的应用: 灯泡与手电筒

一只灯泡散出的光,会以灯光为点形成球星射出,然而,灯泡装到手电筒里以后适当的调节,就能射出一束很强的平行光线. 这是因为手电筒里的小灯泡后有一面反光镜, 这面反光镜的镜面的形状是利用抛物线的原理,即绕着它的轴旋转而得到的一个曲面,这个面就是抛物面. 经证明, 抛物面有一重要的性质,即从焦点射发出的光线,在经抛物面反射后,其反射光线就会平行于抛物线的对称轴. 探照灯就是利用这个原理而设计制造的.

2. 椭圆的应用: 罐车的截面

在容器相同的前提下,圆柱形的容器表面积是最小的, 也就是说,制作容器所使用的材料最少. 另一方面,容器装进物品,特别是液体之后,对罐内壁各部分的作用力大小也比较均匀,并且在高度和宽度( 即车的允许高度和宽度) 都被限制的情况下,其横截面做成椭圆形可以达到节省材料和保证容积的要求. 并且,利用了有限的空间,也同时保证了罐体的稳定性.

3. 双曲线的应用: 火电厂及核电站的冷却塔

冷却塔从底部到中部直径变小,是将蒸汽抽到塔内,防止底部逸出. 然而,上部直径变大,可以降低热气上升到顶部的流动速度,从而降低抽力,因此使蒸汽尽可能的留在塔内,进而提高冷却回收率.

总而言之,圆锥曲线不仅仅是中学数学学科当中的一项重点知识,而且在生活中也有着非常普遍而广泛的应用. 数形结合的思想在圆锥曲线的学习中应用得非常广泛,所以这就要求对椭圆、双曲线以及抛物线的性质把握非常准确而且灵活. 了解了圆锥曲线的几个基本性质之后,对其在生活中的推广应用也会有很大的帮助.

圆锥曲线的性质 篇2

一、单选题(每道小题 4分 共 36分)1.渐近线为x+y=0与xy=0的双曲线的个数是 A．1 B．2 C．k(常数)D．无限多 2.[

] 中心在原点的双曲线，若它的实半轴长为2，一条准线方程是x=则该曲线的离心率的值是A．2B．22C．2D．412，[ ]

[D．2k]3.双曲线4x2ky24k0的虚轴长为A．kB．kC．4 4.双曲线x322－y212=－1的渐近线方程是[ ]A．4x+y=0，4x－y=0B．4x+y=1，4x－y=1C．2x+3y=0，2x－3y=1，2x－3y=03y=5.D．2x+

双曲线x25y241的焦点到渐近线的距离是C．5D．6[]

6.A．2B．3

13x，那么这[]如果双曲线经过点(6，双曲线方程是x2y2A．1364x2C．y2193),且它的两条渐近线方程是yx281x218y29y23B．D．11 7.双曲线的渐近线方程是y=±的方程是A．C．xx212x，焦点在坐标轴上，焦距为10，则它[ ]202yy252=1=1或y2B．x2x25x2y220y2=1=1 8.205205=1D．205如果双曲线的两条渐近线方程是：y=±32x，焦点坐标是(26，0)[ ]和(26，0)，那么它的两条准线之间的距离是A．11326B．81326C．181326D．91326

9.以坐标轴为对称轴的等轴双曲线，若其一条准线的方程为y=22，则此双曲线的方程为A．x2y2=24C．x2y2=24B．x2y2=16D．x2y2=16[ ]

二、填空题(每道小题 4分 共 8分)

1.以椭圆x216y2251的顶点为焦点，以其焦点为顶点的双曲线的方程是

x22.双曲线C和椭圆渐近线方程为49y2241的焦点重合，离心率互为倒数，则C的．

双曲线的几何性质习题2答案

一、单选题

1.D 2.C 3.D 4.C 5.A 6.C 7.D 8.B 9.D

二、填空题

圆锥曲线的性质 篇3

【关键词】准圆  准线  切线  垂直

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）09-0146-02

圆、椭圆、双曲线和抛物线为什么叫圆锥曲线而不叫圆柱曲线呢？这是因为这三种曲线是由圆锥被不同位置的平面所截得到的。既然是同根生，它们应该具有相同的或相似的性质，抛物线和准线有密切的关系，那么椭圆、双曲线和准圆应该有怎样的密切关系呢？

【猜想1】给定椭圆C：+=1（a>b>0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”，点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求证：l1⊥l2.

证明：①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=a或x=-a。当l1方程为x=a时，此时l1与准圆交于点（a，b），（a，-b）此时经过点（a，b）（或（a，-b））且与椭圆只有一个公共点的直线是y=b（或y=-b），即l2为y=b（或y=-b），显然直线l1，l2垂直;同理可证l1方程为x=-a时，直线l1，l2垂直。

②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x+y=a2+b2，设经过点P（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为y=kx+m，其中m=y0-kx0联立y=kx+m+=1消去y得到（a2k2+b2）x2+2a2mkx+a2（m2-b2）=0，△4a4m2k2-4a2（a2k2+b2）（m2-b2）=0.经过化简得到：a2k2+b2-m2=0， 把m=y0-kx0代入得，（a2-x）k2+2x0y0k+b2-y02=0. 设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以k1，k2满足上述方程， 所以k1k2===-1，即l1⊥l2.

【总结】猜想1证明的思路是①设点P的坐标和切线直线方程②联立消元③利用判别式△=0得到关于斜率k的一元二次方程④利用韦达定理整体求出k1k2，再利用点P在准圆上消去一个坐标得到结论。但如果设切线方程时用直线的点斜式，这样在后面的联立消元和计算判别式时计算量很大，很多学生不堪忍受如此复杂的计算，所以可以先设切线方程的斜截式y=kx+m，其中m=y0-kx0，计算判别式得到a2k2+b2-m2=0后再把m=y0-kx0代入，这样做计算量很小，这一技巧值得关注。其次，是以椭圆焦点在x轴上时，过准圆上任一点P作椭圆的两条切线，则两切线相互垂直;当椭圆焦点在y轴上时，同理可证这一性质也成立，于是有下面的结论1。

【结论1】过椭圆的“准圆”上任一点P作椭圆的两条切线，则两切线相互垂直。

那么作为有心二次曲线的双曲线是否也有“准圆”呢？如果有，是否也有相应的漂亮性质呢？

【猜想2】给定双曲线C：-=1（a>b>0），称圆心在原点O，半径为的圆是双曲线C的“准圆”，点P是双曲线C的“准圆”上的一个动点，过点P作双曲线C的两条切线l1，l2，求证：l1⊥l2

【证明】①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与双曲线相切，则其方程为x=a或x=-a。当l1方程为x=a时，此时l1与准圆无交点;当l1方程为x=-a时，此时l1与准圆无交点。

②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x+y=a2-b2，设经过点P（x0，y0），与双曲线相切的直线为y=kx+m，其中m=y0-kx0则y=kx+m+=1，消去y得到（b2-a2k2）x2-2a2mkx-a2（m2+b2）=0，△=4a4m2k2+4a2（b2-a2k2）（m2+b2）=0，化简得：b2+m2-a2k2=0， 把m=y0-kx0代入得，（x-a2）k2-2x0y0k+b2+y02=0设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与双曲线都只有一个公共点，所以k1，k2满足上述方程， 所以k1k2===-1，即l1⊥l2.

【结论2】过双曲线的“准圆”上任一点P作双曲线的两条切线，则两切线相互垂直。

特别注意：椭圆C的“准圆”半径为，双曲线C的“准圆”半径为;双曲线C：-=1中对a，b 的限制是a>b>0而非a>0，b>0.椭圆和双曲线的“准圆”相当于抛物线的准线，那么抛物线的准线是否也有相应的性质呢？

【猜想3】给定抛物线C：y2=2px（p>0， 点P是抛物线C的准线l：x=-上的一个动点，过点P作抛物线C的两条切线l1，l2，求证：l1⊥l2.

证明：由题意知两条切线l1，l2的斜率均存在且不为0，设经过点P（x0，y0）（其中x0=-）与抛物线C的相切的直线为y=kx+m，其中m=y0-kx0，联立y=kx+my2=2px，消去y得到k2x2+2（mk-p）x+m2=0，△=4（mk-p）2-4m2k2=0，经过化简得到：2mk-p=0， 把 m=y0-kx0代入得2x0k2-2y0k+p=0.设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与抛物线相切，所以k1，k2满足上述方程，所以k1k2===-1，即l1⊥l2.

【结论3】过抛物线的准线上任一点P作抛物线的两条切线，则两切线相互垂直。

圆锥曲线的光学性质及其应用 篇4

圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质, 因而为正确理解与掌握其光学性质, 就要掌握其切线、法线方程的求法及性质.

设P (x0, y0) 为圆锥曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (A、B、C不同时为零) 上一定点, 则在该点处的切线方程为:undefined. (该方程与已知曲线方程本身相比, 得到的规律就是通常所说的“替换法则”, 可直接用此法则写出切线方程) .

该方程的推导, 原则上用“Δ法”求出在点P处的切线斜率k=f (x0, y0) , 进而用点斜式写出切线方程y-y0=f (x0, y0) (x-x0) , 则在点P处的法线方程为undefined

1.抛物线的切线、法线性质

经过抛物线y2=2px (p>0) 上一点作一条直线平行于抛物线的轴, 那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角.如图1中α1=α2.

事实上, 设M (x0, y0) 为抛物线y2=2px上一点, 则切线MT的方程可由替换法则, 得undefined, 即y0y=p (x+x0) , 斜率为undefined, 于是得在点M处的法线方程为

undefined

令y=0, 得法线与x轴的交点N的坐标为 (x0+p, 0) ,

所以undefined

又焦半径undefined

所以|FN|=|FM|, 从而得α1=α3=α2, 即α1=α2.

当点M与顶点O重合时, 法线为x轴, 结论仍成立.

所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角.

也可以利用点M处的切线方程求出

T (-x0, 0) , 则undefined, 又undefined, 故|FT|=|FM|⇒∠1=∠2=∠3, 从而得α1=α2.

也可以利用到角公式来证明α1=α2.

抛物线的这个性质的光学意义是:“从焦点发出的光线, 经过抛物线上的一点反射后, 反射光线平行于抛物线的轴”.

2.椭圆的切线、法线性质

经过椭圆上一点的法线, 平分这一点的两条焦点半径的夹角.如图2中α1=α2.

证明也不难, 分别求出kPF1、kPN、kPF1、kPF2, 然后用到角公式即可获证.

椭圆的这个性质的光学意义是:“从椭圆的一个焦点发出的光线, 经过椭圆反射后, 反射光线交于椭圆的另一个焦点上”.

3.双曲线的切线、法线性质

经过双曲线上一点的切线, 平分这一点的两条焦点半径的夹角, 如图3中α1=α2.仍可利用到角公式获证.

这个性质的光学意义是:“从双曲线的一个焦点发出的光线, 经过双曲线反射后, 反射光线是散开的, 它们就好像是从另一个焦点射出的一样”.

二、圆锥曲线光学性质的应用

光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用.这里仅举例说明这些光学性质在解圆锥曲线的有关问题中的应用.

应用圆锥曲线光学性质解题, 特别是切线问题是十分方便的.其间要注意一个基本关系式的应用, 即“过投射点的曲线的切线与入射线、反射线成等角”.如图4, MN切曲线C于点P, 则∠APM=∠BPN.这是很容易由物理学的“入射角等于反射角”及平面几何中“等角的余角相等来证明的.

例1 求证:椭圆undefined和双曲线

undefined在交点处的切线互相垂直.

分析:如图5, 用圆锥曲线光学 性质证得∠1+∠3=90°即可.

证明:如图5, 两曲线的公共焦点F1 (-4, 0) 、F2 (4, 0) , 设P为两曲线的一个交点, PQ、PR分别为椭圆、双曲线的切线, 连F1P、F2P, 并延长F1P, 由椭圆光学性质, 推得∠1=∠2;由双曲线光学性质, 得∠3=∠4.

又∠2=∠5, ∠4=∠6 (对顶角相等) ,

所以∠1=∠5, ∠3=∠6 (等量代换) .

又∠1+∠3+∠5+∠6=180°,

所以∠1+∠3=90°, 即PQ⊥PR, 命题得证.

评注: (1) 本题也可采用代数运算证出kPQ·kPR=-1的方法来证明, 但比较复杂.这里采用光学性质证明法则直观简捷. (2) 由本题得到一个一般性命题:焦点相同的一个椭圆与一双曲线在交点处的切线互相垂直, 于是有定义:两圆锥曲线在交点处的两条切线互相垂直, 叫做这两曲直交.

例2 如图6, 已知F1、F2是椭圆undefined的焦点, P1、P2 分别是F1、F2在椭圆任一切线CD上的射影. (1) 求证|F1P1|·|F2P2|为定值; (2) 求P1、P2的轨迹方程.

分析: (1) 欲证|F1P1|·|F2P2|为定值, 即证|F1Q|sinα·|F2Q|sinα为定值 (由光学性质推得∠F1QP1=∠F2QP2=α) , 从而知应用余弦定理于△F1QF2即可获证.) (2) 求出

|OP1|、|OP2|分别为定值即知其轨迹, 易得轨迹方程.

证明: (1) 设Q为切线, 由椭圆光学性质推知∠F1QP1=∠F2QP2设为α, 则|F1P1|=

|F1Q|sinα, |F2P2|=|F2Q|sinα.

所以|F1P1|·|F2P2|=|F1Q|·|F2Q|sin2α.

又∠F1QF2=180°-2α, 则在△F1QF2中,

|F1F2|2=|F1Q|2+|F2Q|2-2|F1Q|·

|F2Q|cos (180°-2α)

= (|F1Q|+|F2Q|2) -2|F1Q|·

|F2Q| (1-cos2α)

= (2a) 2-2|F1Q|·|F2Q|·[1- (1-2sin2α) ]

=4a2-4|F1Q|·|F2Q|sin2α

=4a2-4|F1P1|·|F2P2|,

则4|F1P1|·|F2P2|=4a2-|F1F2|2=4a2-4c2=4b2.

所以|F1P|·|F2P1|=b2为常数, 即定值.

(2) 设点O在CD上的射影为M, 则OM是直角梯形F1F2P2P1的中位线, 于是有undefined

undefined

|F2P2|2] (F2N⊥F1P1于N)

undefined

(由 (1) 知|F1P1|·|F2P2|=b2)

=a2.

同理|OP2|2=a2.

所以P1、P2的轨迹是以O为圆心, a为半径的圆, 其方程为x2+y2=a2.

例3 设抛物线y2=16x的焦点为F, 以F与A (4, 4) 为焦点作椭圆, 使其与已知抛物线有公共点 (如图7) , 当长轴最短时, 求椭圆方程.

分析:求解的关键是光线FP的反射线PA平行于x轴.

解:设以点A (4, 4) 、F (4, 0) 为焦点的椭圆为

undefined为长半轴长) . ①

再设P为抛物线与椭圆的公共点,

由椭圆第一定义知:

|PA|+|PF|=2a. ②

即长轴长2a等于抛物线上一点P到两定点A、F距离之和, 若2a最小, 当且仅当椭圆与抛物线相切.此时, 由圆锥曲线的光学性质知, 光线FP的反射线PA平行于x轴.

所以P (1, 4) .由②知amin=4,

所以所求的椭圆方程为undefined

例4 如图8, 已知探照灯的轴截面是抛物线y2=x, 平行于对称轴y=0的光线于此抛物线上的入射点、反射点分别为P、Q, 设点P的纵坐标为a (a>0) , 当a为何值时, 从入射点P到反射点Q的路程PQ最短?

分析:设P (a2, a) , 由抛物线光学性质知PQ过焦点undefined, 故可用弦长公式建立目标函数|PQ|=f (a) , 求出最小值条件a即可.

解:由抛物线光学性质知光线PQ必过其焦点undefined, 设点P (a2, a) , 则直线PQ的方程为

undefined

将方程y2=x代入①, 消去x, 得

undefined或y=0.

故知点Q坐标为undefined

则undefined

当且仅当undefined, 即undefined时, 等号成立.

圆锥曲线的性质 篇5

理解并掌握双曲线的几何性质, 能根据性质解决一些基本问题培养学 生分析,归纳,推理的能力。

②过程与方法

与椭圆的性质类比中获得双曲线的性质,进一步体会数形结合的思 想,掌握利用方程研究曲线性质的方法

③情感态度与价值观

通过本节课的学习使学生进一步体会曲线与方程的对应关系, 感受圆 锥曲线在解决问题中的应用

教学方法:本节课主要通过数形结合,类比椭圆的几何性质,运 用现代化教学手段,通过观察,分析,归纳出双曲线的几何性质,在 教学过程中可采取设疑提问,重点讲解,归纳总结,引导学生积极 思考,鼓励学生合作交流。

教学重难点: 重点:双曲线的几何性质及其运用 难点 : 双曲线渐近线,离心率的讲解 教具:多媒体 教学过程:

⑴复习提问导入新课: 首先带领学生复习椭圆的几何性质,它有哪些几何性质?(应为范 围,对称性,顶点,焦点 ,离心率,准线是如何探讨的呢?(通 过椭圆的标准方程探讨。让全班同学口答,并及时给以表扬。接下来让那个同学回忆双曲线的标准方程是什么?请一名同学回答。(应为:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 x ²/a ²-y ²/b ²=1;中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 y ²/a ²-x ²/b ²=1。回忆完旧知后,我会给出一首歌曲《悲伤的双曲 线》(大概一分钟左右 ,引起学生兴趣,渴望知道双曲线的性质,这 样顺利进入探究新知环节中。

⑵引导探索,学习新知

1, 引导学生完成黑板上关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回 答,教师引导,启发,订正并写在黑板上 ,通过类比联想可以 得到双曲线的范围,对称性和顶点。

2, 导出渐近线(性质 4 在学习椭圆时,以原点为中心, 2a,2b 为邻变的矩形,对于估计椭 圆的形状, 画出椭圆的简图有很大帮助, 试问对双曲线, 仍然以 2a,2b 为邻边做一矩形, 那么双曲线和这个矩形有什么关系呢?这个矩型对 于估计和画出双曲线有什么指导意义呢?(不要求学生回答, 只引起 学生类比联想。接着在提出问题:当 a,b 为已知时,这个矩形的两 条对角线所在的直线的方程是什么?(请一名同学回答。接下来按 照幻灯片显示来详细解决。最后向学生说明我们研究渐近线是为了较

准确地画出双曲线的草图。3.顺其自然介绍离心率

由于正确的认识了渐近线的概念, 对于离心率的直观意义也就容易掌 握了,为此介绍双曲线的离心率其的影响。

最后应明确的指出:双曲线的几何性质与坐标系的选择无关, 即不随 坐标系的改变而改变。

4, 在讲解完所有新课之后,带领学生在总体回顾双曲线的性质。⑶加强训练,巩固强化

给出例 1,帮助学生分析:可用待定系数法,直接求出 a,b,c 学生独立思考后,教师分析,解答,教师板书。⑷ 归纳小结, 用表格的形式让学生清楚的看到双曲线的性质。布置作业

课本 p56页 练习A 课后设疑

圆锥曲线的性质 篇6

（Ⅰ）求椭圆C的方程.

（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点.

（ⅰ）证明：OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）.

（ⅱ）当TFPQ最小时，求T点坐标.

答案如下（过程略）：（Ⅰ）x26+y22=1；（Ⅱ）.（ⅰ）略；（ⅱ）TFPQ取最小值33时，点T（-3，±1）.

分析本题第（Ⅱ）问是针对椭圆x26+y22=1，（ⅰ）证明：OT平分PQ；（ⅱ）当TFPQ取最小值33时，求出T（-3，±1），透过现象看本质，我们可否把这个椭圆推广，使本题的条件仅作为一种特殊情况？一番研究，得到如下收获：

图1

定理1椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点为F，T为椭圆准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点.

（ⅰ）证明：OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）.

（ⅱ）当c2>b2时，TFPQ有最小值ba，这时

T（a2c，±bcc2-b2）.

证明不妨取椭圆右焦点F（c，0）和右准线x=a2c（左焦点和左准线时同理可证明）.

（ⅰ）设T（a2c，m），则kTF=cmb2，当m=0时，T为椭圆右准线与x轴的交点，这时PQ为椭圆的通径，OT显然平分PQ.当m≠0时，由条件知kPQ=-b2cm，所以直线PQ方程为：y=-b2cm（x-c），记P（x1，y1），Q（x2，y2），联立x2a2+y2b2=1，

y=-b2cm（x-c），

得（c2m2+a2b2）x2-2a2b2cx+c2a2（b2-m2）=0，

因为Δ=4a4b4c2-4a2c2（c2m2+a2b2）（b2-m2）=4a2c2m2（c2m2+b4）>0，

所以x1+x2=2a2b2cc2m2+a2b2，

x1x2=c2a2（b2-m2）c2m2+a2b2.（*）

y1+y2=-b2cm（x1+x2-2c）=2b2c2mc2m2+a2b2，

知PQ中点N（a2b2cc2m2+a2b2，b2c2mc2m2+a2b2），则kON=cma2，又kOT=cma2，知O，T，N三点共线，即OT过线段PQ的中点N，所以OT平分PQ.

（ⅱ）因为TF=a2c-c=b4+m2c2c，PQ=1+k2PQ（x1+x2）2-4x1x2

把kPQ=-b2cm及（*）式代入得：PQ=1+-b2cm22a2b2cc2m2+a2b2c2a2（b2-m2）c2m2+a2b2

=2a（b4+c2m2）c2m2+a2b2，所以TFPQ=c2m2+a2b22acb4+c2m2=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4+2b2c2≥ba，即TFPQ≥ba，当且仅当c2m2+b4=b2c2

m2=b2c2（c2-b2）时取等号，因为已知条件有c2>b2，所以当m=±bcc2-b2时，TFPQmin=ba，这时Ta2c，±bcc2-b2.

反过来看四川高考20题第（Ⅱ）问，相当于定理1中a2=6，b2=2，F为左焦点，T为左准线x=-a2c=-3上一点，由定理1知（ⅰ）OT平分PQ.（ⅱ）因为c2=4知c2>b2成立，知TFPQ有最小值ba=33，这时T-a2c，±bcc2-b2，即T（-3，±1）.

图2

推论1椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点为F，T为椭圆准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点，P关于坐标原点O的对称点为P′，则P′Q∥OT.

证明由定理1知OT平分线段PQ，即OT过线段PQ的中点N，又O是PP′的中点，所以ON是△PP′Q的中

位线，则P′Q∥ON，即P′Q∥OT.

定理2椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点为F，T为椭圆准线上（但非x轴上）任一点（其中焦点，准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点，则kOT·kPQ=-b2a2.

证明不妨取椭圆右焦点F（c，0）和右准线x=a2c，设Ta2c，m，因T非x轴上点，所以m≠0，则kTF=ma2c-c=cmb2，知kPQ=-b2cm，又kOT=cma2，所以kOT·kPQ=-b2a2.

定理3双曲线C：x2a2-y2b2=1的焦点为F，T为双曲线准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），且T点的纵坐标m≠±abc，过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点.

（ⅰ）证明：直线OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）.

（ⅱ）TFPQ=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4-2b2c2.

图3

证明不妨取双曲线右焦点F（c，0）和右准线x=a2c（左焦点和左准线时同理可证明）.

（ⅰ）设Ta2c，m，则kTF=-cmb2，当m=0时，T为双曲线右准线x=a2c与x轴的交点，这时PQ为双曲线的通径，OT显然平分PQ.当m≠0时，由条件知kPQ=b2cm，所以直线PQ方程为：y=b2cm（x-c），记P（x1，y1），Q（x2，y2），联立x2a2-y2b2=1，

y=b2cm（x-c），得

（c2m2-a2b2）x2+2a2b2cx-c2a2（b2+m2）=0，因为m≠±abc，知c2m2-a2b2≠0，

又Δ=4a4b4c2+4a2c2（c2m2-a2b2）（b2+m2）=4a2c2m2（c2m2+b4）>0，

所以x1+x2=-2a2b2cc2m2-a2b2，

x1x2=-c2a2（b2+m2）c2m2-a2b2.（*）

y1+y2=b2cm（x1+x2-2c）=-2b2c2mc2m2-a2b2，知PQ中点N-a2b2cc2m2-a2b2，-b2c2mc2m2-a2b2，则kON=cma2，又kOT=cma2，知O，T，N三点共线，即直线OT过线段PQ的中点N，所以直线OT平分PQ.

（ⅱ）因为TF=a2c-c2+m2=b4+m2c2c，PQ=1+k2PQ（x1+x2）2-4x1x2，

把kPQ=b2cm及（*）式代入得：PQ=1+b2cm2-2a2b2cc2m2-a2b22+4c2a2（b2+m2）c2m2-a2b2

=

2a（b4+c2m2）c2m2-a2b2，所以TFPQ=c2m2-a2b22acb4+c2m2=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4-2b2c2.

注：因为m≠±abc，基本不等式（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4≥2b2c2中等号不成立.

即TFPQ=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4-2b2c2.

图4

推论2双曲线x2a2-y2b2=1的焦点为F，T为双曲线准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），且T点的纵坐标m≠±abc，过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点，P关于坐标原点O的对称点为P′，则P′Q∥OT.

证明由定理3知直线OT平分线段PQ，即直线OT过线段PQ的中点N，又O是PP′的中点，所以ON是

△PP′Q的中位线，则P′Q∥ON，即P′Q∥OT.

注：结合定理3的证明知：m≠±abc，是为了保证“过F作TF的垂线能够交双曲线于P，Q两点”，否则直线PQ与一条渐近线平行，过F作TF的垂线与双曲线只有一个交点.

定理4双曲线x2a2-y2b2=1的焦点为F，T为双曲线准线上（但非x轴上）任一点（其中焦点和准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点，

则kOT·kPQ=b2a2.

证明不妨取双曲线右焦点F（c，0）和右准线x=a2c，设T（a2c，m），因T非x轴上点，所以m≠0，则kTF=ma2c-c=-cmb2，知kPQ=b2cm，又kOT=cma2，所以kOT·kPQ=b2a2.

定理5抛物线y2=2px的焦点为F，T为抛物线准线上任一点，过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ中点为N，则NT平行于x轴.

图5

证明因Fp2，0，设T-p2，m，则kTF=-mp，当m=0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，显然NT平行于x轴.当m≠0时，由条件知kPQ=pm，所以直线PQ方程为：y=pm（x-p2），联立y2=2px

y=pm（x-p2），得4p2x2-4p（p2+2m2）x+p4=0，又

Δ=16p2（p2+2m2）2-16p6=64p2m2（p2+m2）>0，记P（x1，y1）、Q（x2，y2），由根与系数关系知x1+x2=p2+2m2p，y1+y2=pm（x1+x2-p）=2m，所以弦PQ中点N（p2+2m22p，m），又T（-p2，m），知kNT=0，则NT平行于x轴.

又Δ=4a4b4c2+4a2c2（c2m2-a2b2）（b2+m2）=4a2c2m2（c2m2+b4）>0，

所以x1+x2=-2a2b2cc2m2-a2b2，

x1x2=-c2a2（b2+m2）c2m2-a2b2.（*）

y1+y2=b2cm（x1+x2-2c）=-2b2c2mc2m2-a2b2，知PQ中点N-a2b2cc2m2-a2b2，-b2c2mc2m2-a2b2，则kON=cma2，又kOT=cma2，知O，T，N三点共线，即直线OT过线段PQ的中点N，所以直线OT平分PQ.

（ⅱ）因为TF=a2c-c2+m2=b4+m2c2c，PQ=1+k2PQ（x1+x2）2-4x1x2，

把kPQ=b2cm及（*）式代入得：PQ=1+b2cm2-2a2b2cc2m2-a2b22+4c2a2（b2+m2）c2m2-a2b2

=

2a（b4+c2m2）c2m2-a2b2，所以TFPQ=c2m2-a2b22acb4+c2m2=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4-2b2c2.

注：因为m≠±abc，基本不等式（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4≥2b2c2中等号不成立.

即TFPQ=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4-2b2c2.

图4

推论2双曲线x2a2-y2b2=1的焦点为F，T为双曲线准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），且T点的纵坐标m≠±abc，过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点，P关于坐标原点O的对称点为P′，则P′Q∥OT.

证明由定理3知直线OT平分线段PQ，即直线OT过线段PQ的中点N，又O是PP′的中点，所以ON是

△PP′Q的中位线，则P′Q∥ON，即P′Q∥OT.

注：结合定理3的证明知：m≠±abc，是为了保证“过F作TF的垂线能够交双曲线于P，Q两点”，否则直线PQ与一条渐近线平行，过F作TF的垂线与双曲线只有一个交点.

定理4双曲线x2a2-y2b2=1的焦点为F，T为双曲线准线上（但非x轴上）任一点（其中焦点和准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点，

则kOT·kPQ=b2a2.

证明不妨取双曲线右焦点F（c，0）和右准线x=a2c，设T（a2c，m），因T非x轴上点，所以m≠0，则kTF=ma2c-c=-cmb2，知kPQ=b2cm，又kOT=cma2，所以kOT·kPQ=b2a2.

定理5抛物线y2=2px的焦点为F，T为抛物线准线上任一点，过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ中点为N，则NT平行于x轴.

图5

证明因Fp2，0，设T-p2，m，则kTF=-mp，当m=0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，显然NT平行于x轴.当m≠0时，由条件知kPQ=pm，所以直线PQ方程为：y=pm（x-p2），联立y2=2px

y=pm（x-p2），得4p2x2-4p（p2+2m2）x+p4=0，又

Δ=16p2（p2+2m2）2-16p6=64p2m2（p2+m2）>0，记P（x1，y1）、Q（x2，y2），由根与系数关系知x1+x2=p2+2m2p，y1+y2=pm（x1+x2-p）=2m，所以弦PQ中点N（p2+2m22p，m），又T（-p2，m），知kNT=0，则NT平行于x轴.

又Δ=4a4b4c2+4a2c2（c2m2-a2b2）（b2+m2）=4a2c2m2（c2m2+b4）>0，

所以x1+x2=-2a2b2cc2m2-a2b2，

x1x2=-c2a2（b2+m2）c2m2-a2b2.（*）

y1+y2=b2cm（x1+x2-2c）=-2b2c2mc2m2-a2b2，知PQ中点N-a2b2cc2m2-a2b2，-b2c2mc2m2-a2b2，则kON=cma2，又kOT=cma2，知O，T，N三点共线，即直线OT过线段PQ的中点N，所以直线OT平分PQ.

（ⅱ）因为TF=a2c-c2+m2=b4+m2c2c，PQ=1+k2PQ（x1+x2）2-4x1x2，

把kPQ=b2cm及（*）式代入得：PQ=1+b2cm2-2a2b2cc2m2-a2b22+4c2a2（b2+m2）c2m2-a2b2

=

2a（b4+c2m2）c2m2-a2b2，所以TFPQ=c2m2-a2b22acb4+c2m2=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4-2b2c2.

注：因为m≠±abc，基本不等式（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4≥2b2c2中等号不成立.

即TFPQ=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4-2b2c2.

图4

推论2双曲线x2a2-y2b2=1的焦点为F，T为双曲线准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），且T点的纵坐标m≠±abc，过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点，P关于坐标原点O的对称点为P′，则P′Q∥OT.

证明由定理3知直线OT平分线段PQ，即直线OT过线段PQ的中点N，又O是PP′的中点，所以ON是

△PP′Q的中位线，则P′Q∥ON，即P′Q∥OT.

注：结合定理3的证明知：m≠±abc，是为了保证“过F作TF的垂线能够交双曲线于P，Q两点”，否则直线PQ与一条渐近线平行，过F作TF的垂线与双曲线只有一个交点.

定理4双曲线x2a2-y2b2=1的焦点为F，T为双曲线准线上（但非x轴上）任一点（其中焦点和准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点，

则kOT·kPQ=b2a2.

证明不妨取双曲线右焦点F（c，0）和右准线x=a2c，设T（a2c，m），因T非x轴上点，所以m≠0，则kTF=ma2c-c=-cmb2，知kPQ=b2cm，又kOT=cma2，所以kOT·kPQ=b2a2.

定理5抛物线y2=2px的焦点为F，T为抛物线准线上任一点，过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ中点为N，则NT平行于x轴.

图5

证明因Fp2，0，设T-p2，m，则kTF=-mp，当m=0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，显然NT平行于x轴.当m≠0时，由条件知kPQ=pm，所以直线PQ方程为：y=pm（x-p2），联立y2=2px

y=pm（x-p2），得4p2x2-4p（p2+2m2）x+p4=0，又

圆锥曲线光学性质的数学证明 篇7

性质一从抛物线焦点出发的光线, 经过抛物线上的一点反射后, 反射光线平行于抛物线的轴。

数学模型一已知抛物线y2=2px (p>0) (如图1) , 过抛物线焦点的入射光线l1交抛物线于点M, 求证反射光线l2//x轴。

证明:设入射光线l1 (l1不垂直、不重合x轴时) 的斜率为k1, 反射光线l2的斜率为k2, 点M处切线的斜率为k, l与l1所成的角为α1, l与l2所成的角为α2, 则α1=α2

又设点的坐标为M (2pt2, 2pt) (t为参数) , 由斜率公式有

可知α1=α2=45度, ∴l2//x轴

若l1平行x轴时, 即t=0, 点M即为原点, 易知l2//x轴。

性质二从椭圆焦点出发的光线, 经过椭圆反射后, 反射光线交于椭圆的另一个焦点上。

数学模型二已知椭圆 (如图2) , 过椭圆左焦点F1 (-c, 0) 的入射光线l1交椭圆于点M, 求证:反射光线l2经过椭圆右焦点F2 (c, 0) 。

所以, 反射光线l2经过椭圆右焦点F2 (c, 0) 。

性质三从双曲线的一个焦点出发的光线, 经过双曲线反射后, 反射光线的延长线交于双曲线的另一个焦点上。

数学模型三已知双曲线 (如图3) , 过双曲线左焦点F1 (-c, 0) 的入射光线交双曲线l1的左支于点M, 求证:反射光线l2的反向延长线经过双曲线的右焦点F2 (c, 0) 。

证明:设点M的坐标 (asecθ, btanθ) (θ为参数) , l1的斜率为k1, l2的斜率为k2则

关键词：圆锥曲线,光学性质,数学证明

参考文献

[1]人教版.圆锥曲线的光学性质及应用

圆锥曲线相交弦的优美性质 篇8

(2) 求证:直线AC, BD的斜率之和为定值. (答案:0)

试题分析此题为江苏省南通、泰州、扬州、连云港和淮安五市2013届高三第三次数学调研测试第18题, 主要考查椭圆的标准方程, 直线的斜率, 直线与椭圆的位置关系, 探究动直线与椭圆位置关系中定值问题等都是江苏省高考的热点问题.本次数学调研考试中第二问得分极低, 在第二问的运算上要注意先化简再代入计算, 第二问中的定值问题实际的几何背景是:在下图所示的圆中, 因为∠2+∠1=∠4=∠3=∠5=∠6+∠7, 且∠2=∠7, 所以∠1=∠6, 于是直线AC, BD的斜率之和为定值0.

在讲解完以上问题后同学生又分别对椭圆、双曲线及抛物线进行了一般性推广, 具体得到以下三个结论:

求证:直线AC, BD的斜率之和为定值.

求证:直线AC, BD的斜率之和为定值.

于是直线AC, BD的斜率之和为定值.

结论3在平面直角坐标系x Oy中, 分别过抛物线y2=4x的焦点F及坐标原点O的两条弦CD, OA相交于点E (异于A, C两点) , 且OE=EF.

求证:直线AC, OD的斜率之和为定值.

浅谈圆锥曲线的性质及其应用 篇9

关键词：圆锥曲线,圆锥曲线的性质,圆锥曲线的简单应用

一、圆锥曲线的由来与成长

圆锥曲线在古代早就有学者开始了研究,2000余年前,希腊几何学者Menachmus以前用垂直于圆锥上面的某条母线的平面从不同方位拦截圆锥面,又因为圆锥面最顶端的角存在差别,那么就会出现三种不同形状的曲线,根据角度的不同进行定义。随后阿波罗尼通过搜集了以前研究人员的成果,有了自己的一些独特的研究成果,他认为只要改变截面与母线之间的倾斜角的大小,就可以使得同一个圆锥面截出这三种不同类型的曲线,给这三种常态二次曲线取下了名称,但是他并没有用焦点和准线之类的观点来准确的定义出圆锥曲线。到公元340年左右,巴卜发现抛物线的焦点和准线,但是他只研究了彼此之间的孤立性质。关于焦点。以后由于坐标的建立、代数的方法、射影的方法代替了初等的方法,圆锥曲线的理论才逐渐完备起来。

二、圆锥曲线的分类和性质

1)圆锥曲线的分类。如果平面里面的一个运动的点到一个固定点与一条固定的直线的间隙之比是一个常数,则这个点的运动迹象称为圆锥曲线,这个固定的点称为交点,相应的固定的直线称为准线,这个数叫做离心率。

②曲线的焦点所在位置的判断。双曲线的焦点位置通常是取决于x2项的系数和y2项的系数,哪个项的系数为正,那么焦点就会出现在系数为正的未知数所对应的坐标轴上面;在椭圆中x2项和y2项中,两个分母比较大小,分母相对大的焦点点就会出现在未知量对应的坐标轴上面。

三、圆锥曲线的应用

1、在数学解题中的圆锥曲线

1)利用定义来解析轨迹方程

2)对于焦点所形成的三角形求解

例3在双曲线上存在一个动点,并且双曲线的长半轴a,短半轴b均为大于0的常数,∠F1PF2=θ,求这个F1PF2所形成的图形面积。

3)对于高考题目中的证明题

例4:一抛物线的表达式为:y2=2px,然后经过曲线的焦点F任意画一条直线,该直线与曲线有公共点,记为P1和P2,证明该曲线的准线会和以P1P2中点为圆心,半径为P1P2长度的一半的圆有一个公共点.

分析:直线P1P2的中间位置记为O,分别经过这三个点做出准线的垂直线,垂直的交点分别记为为Q1,Q2,Q0,通过图像并且根据题目已知的几何关系,简单的推测出以P1P2为直径的圆的半径是OQ0,也可以知道直线OQ0与l夹角为直角,可以看出抛物线的准线和定圆只有一个公共点。

2、在平常的生活中存在圆锥曲线的情况

圆锥曲线在科学技术上已被大范围例用。圆锥曲线的切线与法线的性质,被称为光学性质,是圆锥曲线在光学仪器、雷达、射远望眼镜等方面重要应用的根据。圆锥曲线在建筑上,如桥梁和隧道的修建也有广泛的应用,特别是在拱结构中显得更加突出。在材料力学中,对于有同样厚薄、物质均匀的薄板上的惯性矩的研究,惯性椭圆就起很大作用。圆锥曲线在航海、航空中也有应用,无线电导航中的时差定位法就是同焦点的双曲线系的应用。

参考文献

[1]杨旭.圆锥曲线的性质及推广应用[J].科技资讯,2013,25:236-239.

[2]石小丽.高中数学圆锥曲线焦学现状分析及其研究[D].杭州师范大学,2011.

圆锥曲线又一统一性质 篇10

定理点P在圆锥曲线的对称轴l上 (点P不过对称中心) , 过点P的动直线l (l不垂直圆锥曲线的对称轴) 交圆锥曲线于A, B两点, 点A关于l对称的点为A′, 则过点A′和点B的直线必过定点P′.

下面分别从椭圆、双曲线和抛物线3个方面进行论述.若是非标准状态下, 我们可以通过坐标变换或移轴等手段, 把圆锥曲线的方程变成标准形式后进行论证.

定理1过点P (m, 0) 的直线l交椭圆x2/a2+y2/b2=1 (a>b>0) 于A, B两点 (l不垂直x轴, y轴) , A点关于x轴 (即长轴所在直线) 对称的点为A′, 过点A′和B的直线l′交x轴于P′ (n, 0) , 则n=a2/m.

证明如图1, 依题意设直线l:

点设A (x1, y1) , B (x2, y2) .因为点A和A′关于x轴对称, 所以A′ (x1, -y1) .

因为直线l交椭圆于A, B两点, 所以把 (1) 式代入x2/a2+y2/b2=1整理后得

推论1过点P (0, m) 的直线l交椭圆x2/a2+y2/b2=1 (a>b>0) 于A, B两点 (l不垂直于椭圆的对称轴) , 点A关于y轴 (即短轴所在直线) 对称的点为A′, 过点A′和点B的直线l′交y轴于点P′ (0, n) , 则n=b2/m.

证明如图2, 不妨设直线l:

定理2过点P (m, 0) 的直线l交双曲线x2/a2-y2/b2=1 (a>0, b>0) 于A, B两点 (l不垂直于对称轴) , A点关于x轴 (即实轴所在直线) 对称的点为A′, 过点A′和点B的直线l′交x轴于点P′ (n, 0) , 则n=a2/m.

可仿照定理1证明之, 此处略.

推论2过点P (0, m) 的直线l交双曲线x2/a2-y2/b2=1 (a>0, b>0) 于A, B两点 (l不垂直于对称轴) , A点关于y轴 (即虚轴所在直线) 对称的点为A′, 过点A′和点B的直线l′交x轴于点P′ (0, n) , 则n=b2/m.

可仿照推论1证明之, 此处略.

定理3过点P (m, 0) 的直线l交抛物线y2=2px (p>0) 于A, B两点 (l不垂直x轴) , A点关于x轴 (即对称轴) 对称的点为A′, 过点A′和点B的直线l′交x轴于P′ (n, 0) , 则n=-m.

证明如图3, 不妨设直线l:

设点A (x1, y1) , B (x2, y2) .因为直线l交抛物线于A, B两点, 所以把 (1) 式代入y2=2px整理得

参考文献

[1]马俊华.圆锥曲线又一个定点[J].福建中学数学, 2010, (12) :15-18.

巧用等轴双曲线性质解竞赛题 篇11

利用平面解析几何方法和等轴双曲线知识解决气体性质中温度极值问题相当方便。

例1 （第5届全国竞赛）已知每摩尔单原子理想气体温度升高1K时，内能增加1.5R（R为普适气体常量）。现有（2.008.31）mol的单原子理想气体，经历ABCDA循环过程，在p-V图上是一个圆，如图2。图中横、纵坐标分别表示气体的体积和压强。（1）试分析该循环过程中哪一点（H）气体温度最高，并求出该温度值。（2）气体从状态C到状态D过程中，内能增量，外界对气体做功，气体吸热各为多少？

析与解 在p-V图上理想气体等温变化过程是一等轴双曲线，它关于直线p=V对称，温度越高的双曲线与该直线的交点距坐标原点越远。ABCDA循环过程中在p-V图上的各点都可看成是多个等温线上的点，只有与圆相外切的那只双曲线才是对应温度最高的，且切点与圆心的连线必在p=V直线上，即最高温点H必在直线P=V与圆的远交点上。

气体从状态C到状态D过程中，是体积减小的压缩过程，外界对气体做功在数值上等于p-V图上CD圆弧下的面积，由热力学第一定律即可求出此过程中气体的吸热问题了。

例2 （第15届全国竞赛）1mol理想气体缓慢地经历了一个循环过程，在p-V图上该过程是一个椭圆，如图3。已知此气体处在与椭圆中心O点所对应的状态时，其温度为T0=300K。求在整个循环过程中气体的最高温度T1和最低温度T2各是多少？

析与解 由于气体质量一定，欲求T的最大值最小值，即在椭圆约束下求pV的极值。现已面市的各种资料所给参考解答无外乎参数方程法、椭圆双曲线（等温线）相切法、将椭圆坐标变换成圆法三种方法。但这三法中有的数学要求过高（现行中学数学教学大纲中已取消），有的在赛场上临场发挥时难以想到，即使想到了，数学运算也较烦琐。而若采用最高温、最低温所在的

等温线（等轴双曲线）与椭圆相切，且切点在直线p=p0V0V上，也就是说在椭圆与直线P=P0V0V的交点，可极方便地求解。（即使椭圆不在此图处，通过调整坐标轴标度比例也可实现）。

由图可写出此椭圆的方程为

至此，可利用上述方法，得出下面问题的答案了。

0.1mol的理想气体经历图4示的循环过程，由初态A经B到C，最后又回到A。此过程中最高、最低温度是多少？

(栏目编辑陈 洁)

圆锥曲线的性质 篇12

文[1]研究了三种圆锥曲线内接三角形外心的一个性质, 并且基于反证法得到了圆锥曲线内接三角形外心的一组结论:

结论1:椭圆内接三角形外心不会与其中心重合。

结论2:双曲线内接三角形外心不会与其中心重合。

结论3:抛物线内接三角形外心不会与其焦点重合。

事实上, 经由图形直观地分析以及严格数学论证, 我们发现文[1]给出的结论1 和结论2 是错误的;仅有结论3 是正确的。

本文试图探讨有中心的圆锥曲线, 如椭圆和双曲线 ( 以下称中心型圆锥曲线) 的内接三角形外心的性质。

我们首先以椭圆为例, 通过图形直观分析椭圆内接三角形外心的特征。

设椭圆O:, 以椭圆中心O为圆心, 以半径a>r>b作圆, 则圆O与椭圆必有四个交点A, B, C, D, 则上述任意三个点组成的椭圆内接三角形的外心就是椭圆的中心O, 如图1所示。易知, △ABC为直角三角形, 其外心与椭圆的中心重合。

根据以上事实, 本文提出并探讨以下问题:

(1) Q1:对于中心型圆锥曲线, 文[1]看似严密论证的不足之处在哪里?

(2) Q2: 中心型圆锥曲线的内接三角形外心与其中心是否能够重合?

(3) Q3: 中心型圆锥曲线的内接三角形外心与其中心重合时 ( 下面简称满足 (Q2) ) , 内接三角形面积的最大 (小) 值是否存在?

2.分析问题

2.1 探究文[1]的问题所在

我们仔细分析文[1]后, 发现其问题所在:文[1]在推理中用到△ABC的外心O在△ABC各边的中垂线上, 在没有仔细论证的情况下, 想当然认为是图2 中的情形, 认为OD斜率与BC斜率的乘积为-1。 事实上, 由于O点与D点重合, OD的斜率是不存在的。 而文[1]的证明以OD⊥BC为前提条件, 这对于图1 情形来说, 显然是不妥当的。

由此, 我们得到问题Q1 的结论:

结论1:文[1]的论证不足之处在于:使用可能不存在的图形来论证, 所以得出了错误的结论。

由结论1 我们得到启发:在探索一个问题时, 仅靠直观分析是不够的, 还应以严格的推理为基础。

2.2 探索中心型圆锥曲线的内接三角形外心的性质

以椭圆O:为例 (如图1) , 设△ABC为椭圆O的内接三角形, 其外心与椭圆中心重合, 则一定有:AO=BO=CO。

若设, 则由△ABC共圆可知圆O的方程为:

将圆O与椭圆方程O联立得:

解上述方程组, 有且仅有四组解:

实际上, 上述四组解刚好对应着图1 中的A, B, C以及D四个点。 任意取3 点可以构成一个三角形, 记为△ABC, 则此△ABC为直角三角形。根据直角三角形的性质有:斜边AC的中点就是△ABC的外心, 即O ( 0, 0) 。

由上面的分析可知, 对于任意一个椭圆来说, 一定存在内接三角形, 使得该三角形外心与椭圆的中心重合, 且该三角形为直角三角形。

需要注意的是, 由于, 所以该直角三角形的三个顶点都不能是椭圆的顶点。

对于双曲线O: (图3) , 我们同理可得类似的结论:

对于任意一个双曲线来说, 一定存在内接三角形, 使得该三角形外心与双曲线的中心重合, 且该三角形为直角三角形。

类似可知, 该直角三角形的顶点不能落在双曲线的顶点上。

综上, 我们得到中心型圆锥曲线内接三角形外心的性质特征:

结论2:对于任意一个中心型圆锥曲线来说, 一定存在内接三角形, 使得该三角形外心与这个圆锥曲线椭圆的中心重合, 且该三角形为直角三角形。

2.3 探究满足 ( Q2) 的中心型圆锥曲线内接三角形面积最大 (小) 值是否存在

设在椭圆O:中满足条件 (Q2) 的为△ABC, A点坐标 (x0, y0) , 由结论2易知△ABC的面积为S=2|x0y0|。令x0=acosθ, y0=bsinθ。△ABC的面积可以表示为

由于△ABC的顶点不能落在椭圆的顶点上, 因此

因此, 当θ=π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4时S有最大值Smax=ab;当0→0, π, 2π时, S→0, 故不存在最小值。

类似地, 设在双曲线中满足条件 (Q2) 的为△ABC, A点坐标 (x0, y0) , 由结论2易知△ABC的面积为S=2|x0, y0|。令x0=a (1/cosθ) , y0=btanθ。△ABC的面积可以表示为

由于△ABC的顶点不能落在椭圆的顶点上, 因此

因此, 当θ→π/2, 3n/2时有S→∞故不存在最大值;当θ→0时, S→0, 故不存在最小值。综上所述, 我们得到下面的结论:

结论3:满足条件 ( Q2) 的中心型圆锥曲线内接三角形中, 椭圆内接三角形面积存在最大值, 不存在最小值 ( 可以无限趋于0) ;双曲线内接三角形面积不存在最大值 ( 可以趋于无穷大) , 也不存在最小值 ( 可以无限趋于0) 。

3.结论

本文分析中心型圆锥曲线内接三角形外心的性质, 提出并解决了三个问题 ( Q1, Q2 和Q3) 。

首先指出文[1]的错误在于根据一个不存在的图形进行推理 ( 解决了Q1) ;其次, 我们证明了对于任意一个中心型圆锥曲线, 一定存在内接三角形, 使得该三角形外心与这个圆锥曲线椭圆的中心重合, 且该三角形为直角三角形 ( 解决了Q2) ;最后, 我们证明了满足条件 ( Q2) 的中心型圆锥曲线内接三角形中, 椭圆内接三角形面积存在最大值ab, 不存在最小值 ( 可以无限趋于0) ;双曲线内接三角形面积不存在最大值 ( 可以趋于无穷大) , 也不存在最小值 ( 可以无限趋于0) ( 解决了Q3) 。

本文的研究对于中心型圆锥曲线的教与学都有较好的指导与借鉴意义。

参考文献