圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题（共12篇）

圆锥曲线中的最值问题 篇1

美国心理学家布鲁纳指出:“探索是数学教学的生命线。”探索得来的知识最难忘、最深刻, 比教师直接给出的更有效, 学生能体会到“发现”的真正乐趣。而探索并不神秘, 又非不可高攀。教学中, 可以从最基本的问题开始, 这也许就是数学探索课的可行之路。

下面是笔者粉笔生涯中的一堂数学探索课。

问题1如图1, 如何在直线l上求一点P, 使│PA│+│PB│最小。

问题2如图2, 如何在直线l上求一点P, 使│PA│-│PB│最大。

学生1:对于问题1, 只要过A作关于l的对称点A', 再连结BA'交直线l于P点, 即为所求。因为两点之间线段最短。

对于问题2, 只要连结AB并延长交直线l于P点, 即为所求。因为三角形任意两边之差小于第三边。

教师:看来在一条直线上找一点到两个定点的距离之和最小、距离之差最大对我们来说很容易, 现在看下面的问题。

问题3若A (3, 2) , F为抛物线y2=2x的焦点, 在抛物线上找一点P, 使│PA│+│PF│最小及取得最小值时P点的坐标。

学生2:过A点作抛物线y2=2x的准线l的垂线AD交抛物线于P点, 此时│PA│+│PF│=│PA│+│PD│, 就是最小的。因为点到直线的所有线中, 只有点到直线的距离最短。

教师:与问题1比较, 你发现了什么?

学生3: (3分钟后) 我认为问题3与问题1的本质是一样的, 都是在线 (直线和曲线) 找一点到两个定点的距离之和最小, 并且解决的方法也一样, 问题3中的D点就“好比”是F点关于抛物线 (曲线) 的“对称”点。如果我们把问题1中的直线想象成是拉直的曲线, 那问题1不就是问题3的特殊情况吗?问题3不就是问题1的推广吗? (全班给予热烈的掌声)

变式问题:已知A (3, 2) , F (2, 0) , 在双曲线上求一点P, 使其的值最小。

学生4:与问题3的解题思路完全一样, 只不过, 此处要利用双曲线的定义来作“对称”。 (后略)

问题4如图4, 已知双曲线, F1是左焦点, A (-3, -1) , 在双曲线上求一点P, 使│PA│+│PF1│的值最小。

(2分钟后) 学生5:此题应作出双曲线的右焦点, 连结AF2交双曲线于P点, 即为所求。因为由双曲线定义知, │PF2│-│PF1│=2×2, 即│PF1│=│PF2│-4, │PA│+│PF1│=│PA│+│PF2│-4=│AF2│-4, 此题是利用双曲线定义作的F1关于双曲线的“对称点”F2, 转化成问题1的形式来求解的。

教师:你分析得很好!请大家课后去解答完。下面谁来谈谈解决这类问题的收获?

学生6:老师, 我觉得还有一点没有考虑到, 对于问题1, 如果A、B两点在直线l的两侧, 就用不着作对称, 而直接连接AB交直线l于P就行了。同样对于问题3中的A、F和问题4中的A、F1也是一样的, 如果它们在曲线的同侧, 就用不着那么做了。

学生7: (连忙站起来) 看来我们首先应判断这两点是否在曲线的两侧, 而其中有一个点必是焦点, 也就是说要判断另外那个点是否在曲线内就行了。

教师:刚才两位同学都说得很好, 对我们讨论的问题进行了补充, 希望同学们也要有这种严谨的学习态度。谁再来谈收获。

学生8:我认为在曲线 (包括直线) 上找一点到两个定点 (这两个定点在曲线的同侧) 的距离之和最大的问题, 一般说来可以作出其中一点关于曲线的“对称点”, 对于曲线来说, 是广义上的对称, 是利用曲线的定义 (第一和第二定义) 来作对称的。

教师:非常好!我已无话可说了。请大家给予热烈的掌声。

问题5如图5, 在椭圆上找一点P, 使它到F2 (4, 0) 和A (2, 2) 的距离之和最大。

(5分钟后) 学生9:此题应属于问题2的类型, 因为是求曲线上一点到两个定点的距离之和最大, 故应连结AF1交椭圆于点P, 即为所求。这样就把和最大的问题转化为差最大的问题了。即│PA│+│PF2│=│PA│+2a-│PF1│, 而只有当P、A、F1三点在同一直线上时, 才最大。

教师:好!把未知的问题转化为我们熟知的问题来解决, 这是我们解决数学问题常用的思想方法。哪位同学来把这类问题小结一下? (下面有很多同学都跃跃欲试, 我抽了一位平时数学成绩一般的学生)

学生10:我认为在曲线 (包括直线) 上找一点到两个定点 (这两点在曲线的同侧) 的距离之差最大的问题, 就是连结这两点并延长和曲线的交点, 如果不是差最大, 而是和最大, 就应转化为差最大来解, 其转化就要用到圆锥曲线的相关定义。

教师:同学10的小结很好, 看来只要抓住了“本质”, 就能以不变应万变!这节课的收获不小, 为我们的成功而鼓掌!

(全班掌声一片)

圆锥曲线中的最值问题 篇2

雷州市第一中学 徐晓冬

一、知识要点

对于函数fxax2bxca0，当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。

二、典例讲解

例

1、已知函数fxx2x2，（1）、若x2,0，求函数fx的最大值和最小值。（2）、若x1,1，求函数fx的最大值和最小值。（3）、若x0,1，求函数fx的最大值和最小值。

例

2、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最小值。

变式

1、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最大值。

点评：本题属于二次函数在动区间上的最值问题，由于二次函数的对称轴是固定的，区间是变动的，属于“轴定区间动”，由于图象开口向上，所以求最小值1要根据对称轴x与区间t,t1的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端2点取得时，只须比较ft与ft1的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.例

3、已知函数fxx22mx2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。

例

4、已知函数fxmx2x2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。点评：二次函数最值与抛物线开口方向，对称轴位置，闭区间三个要素有关。求最值常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值。

三、练习

1、已知函数fxx26x8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______________。

2、已知二次函数fxx22ax1a在区间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值．

3、已知函数y4x24axa22a在区间0,2上有最小值3，求a的值。

4、若fx12a2acosx2sin2x的最小值为ga。（1）、求ga的表达表；（2）、求能使ga

5、已知fx43ax22xaaR，求f(x)在[0,1]上的最大值．

“圆”中的最值问题 篇3

一、 利用“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”求最值

例1 （2012·浙江宁波）如图1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，点D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为________.

【解析】如图2，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF于点H.由圆周角定理可知：∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，由三角函数可求得EH=OE·sin∠EOH=OE. 再由垂径定理可知：EF=2EH=OE=AD，所以当AD最小时EF最小.由垂线段最短可知：当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短.因为AB=2，∠ABC=45°，所以AD=BD=2，代入EF与AD的关系式即可求出EF的最小值为.

【点评】本题是一道融圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、动点于一体的综合应用题.根据运动变化，将两动点之间的最小值转化为点到直线的最小值，找出EF与直径AD的关系是解决本题的关键.

二、 利用“切线的性质”求最值

例2 （2011·浙江台州）如图3，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为________.

【解析】因为PQ为切线，所以△OPQ是直角三角形，所以PQ=.又因为OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小.根据垂线段最短知：OP=3时，PQ最小，根据勾股定理可求出PQ的最小值为.

【点评】切线的性质和垂线段最短是解决本题的关键.

例3 （2010·江苏苏州）如图4，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1. 若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）.

A. 2 B. 1

C. 2- D. 2-

【解析】如图5，根据三角形的面积公式知，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C上面半圆相切时，BE的值最小.根据勾股定理求出AD的值为2，然后根据△AOE与△ADC相似求出OE的长为，所以BE最小值为2-，代入三角形的面积公式可得2-，故选C.

【点评】本题考查了坐标与图形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键.

三、 利用“轴对称”求最值

例4 （2014·贵州安顺）如图6，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点. 点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）.

A. B. 1

C. 2D. 2

【解析】如图7，作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB最小时的点，PA+PB的最小值为AB′，由圆周角定理可知∠AON=2∠AMN=2×30°=60°.因为点B为劣弧AN的中点，所以∠BON=∠AON=30°.由对称性得∠B′ON=∠BON=30°，所以∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°，所以AB′=OA=，即PA+PB的最小值为.故选A.

【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题、垂径定理、圆周角定理，熟记定理并做出图形，判断出PA+PB的最小值等于哪条线段的长度是解题的关键.

四、 利用“两点之间线段最短”求最值

例5 （2014·福建三明）如图8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点.连接AP，则AP的最小值是________.

【解析】如图9，取BC的中点E，连接AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连接AP1，EP1，可得，AP1+EP1>AE，即AP2是AP的最小值.再根据勾股定理求出AE的长为，然后减掉半径可得AP的最小值为-1.

【点评】本题考查了勾股定理、最短路径问题，两点之间线段最短是解题的关键.

例6 如图10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________.

【解析】本题看似折叠的题目，好像与圆没有关系，实则是例5的拓展，因为在折叠的过程中，点D始终是定点，DF始终是定长，所以点F的运动路线为圆.如图11，连接AD交圆D于点F1，则AF1 的长度即为AF的最小值，利用勾股定理可求得AD=5，所以AF1=5-3=2，即线段AF长的最小值为2.

【点评】本题考查了转化的思想、勾股定理、最短路径问题，折叠问题转化为圆中最值问题是解题的关键.

以圆为载体的最值问题多以“小而精”的形式在中考选择、填空的压轴题频繁出现.所以，同学们在平时的学习中，要多注意练习、总结这类题型的解题方法，轻松面对圆中的最值问题.

探析圆锥曲线中的最值问题 篇4

高中数学的圆锥曲线部分是新课程要求的选修内容之一, 是数学思维能力培养的重要章节, 它是数形结合思想与函数思想, 方程思想的辨证的统一.下面例析在解析几何中, 解圆锥曲线的题时常遇到的最值问题的求法.

一、圆锥曲线定义中的最值问题的求法

引题:已知$A(-2‚\sqrt{3})$, 设F为椭圆$\frac{x{}^2}{16}+\frac{y{}^2}{12}=1$的右焦点, M为椭圆上一动点, 求|AM|+2|MF|的最小值, 并求此时M点的坐标.

分析:由于$a=4‚b=2\sqrt{3}$得到c=2, 从而离心率为e=1/2.所以$2|{\rm M}F|=\frac{1}{e}|{\rm M}F|$, 由圆锥曲线的统一定义知, 它就是M到对应的准线的距离.结合椭圆的图形特征, 就非常容易地求出结论.

$\begin{array}{l}\text{归}\text{类}\text{题}:\text{在}\text{曲}\text{线}\text{上}\text{求}\text{点}{\rm M}‚\text{使}|{\rm M}A|+\\ \frac{1}{e}|{\rm M}F|\end{array}$

最小, 其中A是曲线内部的一点, F是曲线的一焦点, 而e则是曲线的离心率.

求解这类问题, 如果按照常规思路, 通过建立动点坐标M (x, y) 的目标函数, 运用函数法确定函数的极值, 很难奏效.而根据圆锥曲线的统一定义, 将其转化为:在曲线上求一点M, 使其到A和焦点F相对应的准线的距离最小.再结合图形特征, 则可顺利地打破解题的格局, 出现柳暗花明的奇观.

例1 已知双曲线$\frac{x{}^2}{9}-\frac{y{}^2}{16}=1$的右焦点为F, 点A (9, 2) , 试在双曲线上求一点M, 使5|MA|+3|MF|的值最小, 并求这个最小值.

解:因为a=3, b=4, 所以$c=5‚e=\frac{5}{3}.$

又由图形知, 点 (9, 2) 必在双曲线的内部.而双曲线的右准线l的方程为:$x=\frac{9}{5}$.过M点作MN⊥l于N, 则由双曲线的第二定义得:

5|MA|+3|MF|=5 (|MA|+3/5|MF|) =5 (|MA|+|MN|) .根据图形知:当且仅当A、M、N三点在同一条直线上时, |MA|+|MN|最小, 从而5|MA|+3|MF|也最小.将y=2代入双曲线的方程得$x=\frac{3}{2\sqrt{3}}(x=-\frac{3}{2\sqrt{3}}$舍去) .

所以当M点坐标为$(\frac{3}{2\sqrt{3}}‚2)$时,

5|MA|+3|MF|取得最小值,

$5|A{\rm N}|=5(9-\frac{9}{5})=36.$

因此, 部分数学题解题的核心是转化, 上题主要是设法将曲线上的点到焦点的距离转化为该点到相对应的准线, 而圆锥曲线的统一定义则是实现这一转化的有力武器.它给我们如下启示:定义不仅仅是推证公式、定理的依据, 而且也是打开解题之门的金钥匙.因此, 必须重视定义的学习, 增强用定义解题的意识, 提高用定义解题的能力.

二、利用轨迹思想求取值范围

数学中经常涉及到确定变量或参变量的取值范围, 它的解法也百花齐放, 运用轨迹法是解决这类问题的一种特殊的方法.轨迹法是根据题目设特征, 首先探明问题中有关变量所对应的动点的轨迹, 然后借助直观图形所提供的信息或轨迹方程中变量的制约关系来解决问题的一种方法.它具有直观形象、简便易行的特点.许多看来与轨迹无关的取值范围的问题, 只要我们从中充分挖掘出潜在的几何意义, 建立起与之相联系的轨迹方程, 往往能够拓宽解题思路, 优化解题的过程, 提高解题的质量.

例2 已知椭圆C的长轴平行于x轴, 离心率$e=\frac{\sqrt{2}}{2}‚C$恒过定点Q (1, 0) , 一条准线x+2=0, 求椭圆C长轴长的取值范围.

解:设椭圆的左焦点为F, 显然直线l:x+2=0为椭圆的左准线, 设l交x轴于K, 过F作l的准线FH, 垂足为H.

由椭圆的第二定义, 得:$|QF|/|Q{\rm K}|=\frac{\sqrt{2}}{2}\to |QF|=\frac{\sqrt{2}}{2},|Q{\rm K}|=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.所以点F的轨迹是以Q为圆心, $\frac{3\sqrt{2}}{2}$为半径的圆.易得

$|Q{\rm K}|-\frac{3\sqrt{2}}{2}-c\le |F{\rm H}|\le |Q{\rm K}|+\frac{3\sqrt{2}}{2}.$

因为$|F{\rm H}|=\frac{a{}^2}{c}-c=\frac{a{}^2-c{}^2}{c}$, 由$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\to c=\frac{\sqrt{2}}{2a}.$

所以$|F{\rm H}|=[a{}^2-(\frac{\sqrt{2}}{2}){}^2]/\frac{\sqrt{2}}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2a}.$

又|QK|=3, 所以$3-\frac{3\sqrt{2}}{2}\le \frac{\sqrt{2}}{2}a\le 3+\frac{3\sqrt{2}}{2}$, 则$6(\sqrt{2}-1)\le 2a\le 6(\sqrt{2}+1)$, 则椭圆长轴长的取值范围是$[6(\sqrt{2}-1),6(\sqrt{2}+1)].$

通过这一题的解法, 我们发现借助于圆锥曲线的轨迹方法, 把本来较为辣手的题目转化为比较容易接受的解法.也就是如果直接从椭圆长轴长2a的取值范围, 很难下手, 根据2a与椭圆的焦点参数|FH|的联系, 借助焦点F的轨迹实现了问题的转化, 收到了出奇制胜的效果.

在圆锥曲线中求最值问题, 主要从以下几方面考虑.

(1) 掌握求圆锥曲线中的有关最值的基本方法仍然是建立目标函数, 利用函数的性质或不等式的性质以及通过设参、换元等途径来解决.

(2) 解析几何是研究“形”的科学, 因此, 在求圆锥曲线的最值问题时要善于结合图形, 通过数形结合将抽象的问题、繁杂的问题化归为动态的形的问题, 从而使问题顺利解决.

(3) 有些最值问题要灵活地利用圆锥曲线的定义将折线段和的问题化归为平面几何中的直线段最短来解决.

江苏省姜堰市溱潼中学

二次函数的最值问题的研究 篇5

（文献综述）

（内江师范学院数学与应用数学，四川 641100 王强）

摘 要函数的最值问题是高中阶段研究函数性质的一个重要指标，除了知道什么是函数最值如何求解最值这类高中生必须达到的基本要求外，能够精通求解函数最值的各种解法以及巧妙解答各类题型是对高中教师乃至高中学生的进一步要求。近年来，随着新课程的改革，教材中需要掌握的内容越加繁杂，对于知识的领悟程度也越发要求的高，高考中考查最值的题目难度增大，这不管是对于教师还是学生来说都是一个大的挑战，适应这一系列的变化，已经成为一种趋势，教师需要大量的学习、更精深的知识以及更多的方法来帮助学生度过难关，以达到一个高中生该具有的基本数学素养。

关键词 函数最值 解法 解题

前 言 最值问题是是高中数学乃至高考的热点以及重点，也是考察其他知识点的载体，它不但可以训练学生的逻辑思维，而且可以掌握很多的解题技巧，提高解决问题的能力，是解决函数问题的基准．如二次函数的最值问题可以更确切的认识图象，能够形象地判断所求闭区间内函数的最值．在实际生活中在具体问题中建立数学模型，解决高中数学建模中简单的最优化问题，以明确在生产生活中何时利润最大，成本最低，用料最省等等，它对其他学科也有辅助作用，如物理中的最短路线问题，经济学中的投资收益，航天发射计算最佳时间等．学习最值问题主要还是为了在高考中解决涉及最值问题的题型，如线性规划、三角函数、数列、圆锥曲线、导数等都会适当考查运用，是决战高考的基础知识。

1.高中生学习函数最值问题的困难

现在有很多学生遇到题目不会灵活应用，只会一味模仿以前做题的方式，用学到的很浅显的最值概念去解题，而没有作融会贯通，举一反三，计算能力以及解题技巧都还处在很基础的水平，在解题的时候很多学生搞不清已知条件所要传达的信息，无法正确的得出结论，更无法自如的应对结合诸多知识点的难题，亦或是高考．在平时的生活中，更是照本宣科，无法将学习到的最值问题，数学模型应用到实际生活中，当今时代，经济、金融已经是毕业生们想要争先步入的龙头行业，众所周知，学好经济学要很扎实的数学基础，由此看来，从长远考虑，最值问题是高中生在高中的一堂必修课。

2.先前研究成果

由于函数最值在高考以及日常生活的重要性，所以，对于函数的最值的研究也一直没有间断．如陈克胜于2005年在高等函授学报（自然科学版）发表的《求函数最值的方法举例》中为求解函数最值提供思路，重点是为了拓宽学生解决函数最值有关问题的视野，倡导应该通过解题，在解答过程中培育创新思维能力；游波平在《函数最值解法技巧探究》（《重庆文理学院》（自然科学版）2007.4）给出了一些求解函数最值的技巧，如数形结合思想这一类比较惯用的思想，并致力解决生产、生活和科学研究中的常见问题；王贵军2010年3月发表一篇题为《几何法在求解函数最值问题中的应用》的文章，旨在运用几何图形以及题目的几何意义来解决函数的最值问题，给我们以新的启迪．颜世序2012年3月在解题技巧与方法发表《浅谈导数在求函数最值中的应用》，将求函数最值的问题融入到求导的问题当中，导数也是高考的一个比较重要且相对较难的考点，笔者把函数最值与高考结合起来，更加说明函数最值的应用广泛性．2013年，张永红发表《新课标下高中数学应用题中的最值问题研究》，他在这项研究中紧密结合我国现阶段高中数学教学状况，精心挑选了部分高考题进行方法总结，并通过问卷调查得出实证，为读者分享了自己应对此问题的教学策略．陈荣灿在2010年发表毕业论文《高中数学最值问题的教学研究》，他主要指出了高中最值问题在教学过程中本身存在的一些不足，并且为了提高教学质量从例题的讲解、课时的安排、激发学生的学习兴趣、运用数学观点数学思想等方面给出建筑性的意见．

以上这些文献期刊都没有做到全面系统的给出有关最值的解题方面行之有效并且实用的方法。

3.二次函数最值问题的研究点

求解函数的最值是高考的重点以及难点，必须从根本上解决高中生面对最值问题所遇到的困难，前面的文献很多都是有解法的缺乏思想，有教学的缺乏实践支撑，这样学生依然会陷入自己原有的思维定势，不懂得理论与实践的结合，在今后的做题中依然会遇到同样的问题．本文就是让学生将解题的技巧与求解函数的最值结合起来，主要针对做题，也给教师一些习题课的建议，让学生不再害怕最值问题，不再高考的大部分涉及函数最值的题目中失分。函数最值的问题包括求解某初等函数在闭区间内的最值，复合函数的最值，经济生活中的最大收益、最小成本、最大期望等的最值，而求解函数最值的主要核心是解法，俗话说，凡题有法而可解，高中生在做题的时候往往照抄书本模式，禁锢于思维定势，用解法解题便成了盲区，对于解法，教材中只提到了二次函数配方法求最值，利用函数的单调性、奇偶性求最值，这些方法可以应对一些简单的题目，如果题目加大难度，学生就束手无策，这样一来，学生多学习课外知识就显得尤为重要．眼观六路，容易充实人的大脑，耳听八方，可以丰富人的思维，高中生需要这样的实践来提升自己．文章对函数最值问题的解法进行研究，目的就是为了扩大学生之视野，扩张学生之思维，以解学生学习最值问题。

参考文献

【1】谭永基，俞红．现实世界的数学视角与思维［M］．上海：复旦大学出版社．2010：41-45．

【2】梁红．高考三年真题研究（文数）［G］．陕西科学技术出版社．2014． 【3】梁红.高考真题超详解（理数）［G］．陕西科学技术出版社．2014． 【4】陆军．三角函数最值问题的八种求解策略［J］．延边教育学院学报．2012，26（1）：46-53．

【5】游波平．函数最值解法技巧探讨［J］．重庆文理学院学报．2007，26(2)：108-110．

直线与圆中的最值问题例说 篇6

【关键词】直线与圆最值问题

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1674-4772(2014)06-112-01

直线与圆的最值问题在高考中频频出现，本文试以一些题目为例，探析此类问题的几种类型。

1.两点之间的距离最值问题

例1 已知：x、y满足x+3y-10=0,则x2+y2的最小值为？

（法一）解：因为x=-3y+10,则x2+y2=(-3y+10)2+y2=10(y-3)2+10

所以当y=3时，(x2+y2)min为10.

通过消元法可将多元的最值问题题转化为熟悉的一元最值问题。

（法二）解：x+3y-10=0表示的为一条直线L， x2+y2表示直线上动点到原点的距离的平方，过O作OA⊥L,设B为直线上任一点，则OA

法二为数形结合法，涉及将数量关系的问题转化成图形性质或利用图形性质的问题。通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，缩短了思维链，简化了思维过程。笔者认为，数形结合法是解决最值问题的好方法。

例2.已知方程x2+y2+4x-2y-4=0，则x2+y2的最大值是？

解：因为x2+y2+4x-2y-4=0，即(x+2)2+(y-1)2

=9，是以（-2，1）为圆心，半径为3的圆；x2+y2

表示圆上动点到原点的距离的平方，

OA=■,OB≤OA+AB,当且仅当O,A,B

三点共线时，等号成立。故OB=3+■,所以

(x2+y2)max=14+6■.

变式：条件不变，求x2+y2的最小值.

解：OB≥AB-OA,当且仅当O,A,B三点共线时，等号成立。故OB=3-■,所以(x2+y2)min=14-6■.

例3.已知点P在C1：x2+y2-8x-4y+11=0上，点Q在C2：x2+y2+4x+2y-1=0上，则PQ的最小值为？

解：两圆圆心为（4，2）和（-2，-1），圆心距d=■=3■＞3+■，

所以两圆外离。连接C1C2，与圆C1的交点为P,与圆C2的交点为Q，此时PQ最小，PQmin=3■-3-■.

形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为圆上动点到定点距离平方的最值问题。

2.点到直线的距离最值问题

例4. 圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离分别为？

解:圆的圆心为(2，2)，半径为3■，圆心到直线x+y-14=0的距离为d=■=2■>3■，所以直线与圆相离。圆上的点到直线的最大距离为d+r=2■+3■,圆上的点到直线的最小距离为d-r=2■-3■.

3.斜率问题

例5. 过点A（1，■）的直线l将圆C(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，求直线l的斜率k.

解 由图形可知点A（1，■）在圆C(x－2)2＋y2＝4的内部, 圆心为C(2,0)。作CN⊥l.在圆中有这样一个性质：弦越小，弦所对的圆心角越小。因为弦长BM=2■，即BM=2■，要使弦BM最小，即使CN最大。因为CN≤CA,所以CN最大就是CA,此时直线l⊥CA,所以kl=-■=-■=■.

例6.如果X，Y满足(x-2)2+y2=3，那么■的最大值和最小值分别是？

解:■=■，因此■的几何意义为圆上一点（x,y）和（0，0）连线的斜率。根据作图，发现当过原点的直线与圆相切时，斜率取到最大值和最小值。设直线y=kx,则d=■=■,故k=±■.所以（■）max=■,（■）min=-■.

形如λ=■形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题。

4.面积最值问题

例7.过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程是？

解：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此两交点为直径端点的圆，于是解方程组， 2x+y+4=0

x2+y2+2x-4y+1=0 得到交点A（-■，■），B（-3,2）利用圆的直径式方程得：（x+■）(x+3)+(y-■)(y-2)=0,化简整理得出（x+■）2+(y-■)2=■.

圆锥曲线中的最值问题 篇7

用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值.

解题思路取双曲线右焦点G,由双曲线的定义,得| PF | - | PG | = 2a = 4,即,| PF | = | PG | + 4,则| PA | + | PF |= | PA | + | PG | + 4. 要取最小值,只要满足A,P,G三点共线,此时最小值为| AG| + 4 = 5 + 4 = 9.

策略一重在理解定义,灵活运用定义,借助平面几何的有关结论,以数形结合、转化的数学思想寻求解题思路.

解圆锥曲线的最值问题的有效性策略二:

将所求最值目标表示为关于某个变量的函数,借助函数的性质、不等式知识求最值.

策略二重在建立目标函数,利用函数性质和不等式知识,以数形结合、函数、转化的数学思想寻求有效的解题思路.

摘要：圆锥曲线是高考必考内容,在新课程标准背景下,圆锥曲线的最值问题频繁出现在高考试题中,最值问题解题方法较为灵活,同学们常感觉无从下手,它可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法,还可以考查同学们的思维能力、实践和创新能力.本文就如何提高解圆锥曲线的最值问题的有效性策略提出看法.

曲线上的点到直线之距的最值问题 篇8

例1:求曲线 (θ为参数) 上一点到直线y=5-x的距离的最小值。

方法一:用函数的最值问题来解决。

解:∵点A坐标为 (2cosθ, 2姨3 sinθ) , 直线方程为x-y-5=0。

∴利用点到直线的距离公式可以得到

当30°-θ=90°时sin (30°-θ) =1, 此时d有最值

方法二:借助图形, 即利用数形结合的方法。

解:把参数方程 化为一般式,

消参得到方程

即为

如图1:虚线为与椭圆相切且与直线y=5-x平行的直线, 而此直线与y=5-x之距即为所求。

设虚线的直线方程为y=x+b

化简得4x2+2bx+b2-12=0

∵相切∴△=0

∴b=±4

由图可知b=-4

∴图中两直线之距为

例2:曲线c是中心在原点, 焦点在X轴上的双曲线的右支, 已知它的右准线方程为λ∶x=1/2, 一条渐近线的方程为 , 线段PQ是过曲线c右焦点F的一条弦, R是弦PQ的中点: (1) 求曲线方程; (2) 当点P在曲线c上运动时, 求点R到y轴距离的最小值。

解: (1) 用待定系数法

(2) 方法一:由 (1) 知, 曲线c的右焦点F的坐标为 (2, 0) , 若弦PQ的斜率存在, 则弦PQ的方程为y=k (x-2) 。

代入双曲线方程得 (3-k2) x2+4k2x-4k2-3=0。

设点P (x1, y1) , Q (x2, y2)

而当弦PQ的斜率不存在时, 点R到y轴之距|xR|=2。

∴点R到y轴的最短距离为2。

方法二:R为P, Q的中点, 我们可以先求出R点的轨迹方程, 再求距离的最小值。

∵F2 (2, 0) , ∴直线PQ的方程设为y=k (x-2) =kx-2k。

消k得到中点R的轨迹方程为

图2为中点R的轨迹方程所对应图形, 从图中可以看出它到y轴的最短距离为它的顶点到y轴之距。

∵顶点坐标为 (2, 0)

∴R到y轴的最短距离为dmin=2

盘点初中数学中的最值问题 篇9

一、两点的所有连线中, 线段最短, 即两点之间线段最短

由这个结论我们还可以得到三角形三边的关系:三角形的任意两边之和大于第三边。利用它求最值问题往往和对称、平移联系在一起。

例1如图1, 在燃气管道L旁有两个镇A和B, 要在管道上修一个泵站往两个镇供气, 问泵站修在哪里可使所用的输气管线最短?

解:如图2, 作A关于直线L的对称点A′, 连接BA′与直线L交于点C, 点C为所求泵站位置。

例2如图3, 一长方体盒子, 长宽高分别为a、b、c, 一只蚂蚁在顶点A处, 要爬到顶点G处, 它爬行的最短距离为多少?

解:如图4, 把长方体展开, 后面的面和底下的面不画。蚂蚁爬行的最短距离为线段AG的长, 利用勾股定理可求得解。

注:对于求其他可以展开的立体图形 (如棱柱、圆柱、圆锥) 上的最短距离, 方法和这个基本相同。

二、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段最短

例3如图5, 小明和妈妈在矩形花园里玩, 小明沿着BCDB的路线跑, 妈妈站在A处, 矩形花园的长宽分别为40米和30米。问小明离妈妈的最短距离是多少?

∴小明离妈妈的最短距离是24米。

三、二次三项式求最值

二次三项式求最值的方法就是把二次三项式配方, 化成一个完全平方式与一个常数和的形式, 利用完全平方的非负性来求最值。如:2x2+4x-3=2 (x2+2x-3/2) =2 (x+1) 2-5≥0-5=-5, 所以该二次三项式有最小值-5。而-2x2+4x-3=-2 (x+1) 2-1≤0-1=-1, 所以该二次三项式有最大值-1。

四、利用根的判别式求最值

例4如图6, ⊙O的直径AB=2, AD、CD、BC是⊙O的切线, 若AD=x, BC=y, 求四边形ABCD的最小面积。

解:设四边形ABCD的面积为S, 如图6, 过D作DE⊥BC于点E。由切线和切线长定理可知:四边形ABCD是矩形, EC=y-x, CD=x+y, 而DE=2,

∴四边形ABCD的最小面积为2。

五、利用函数求最值

利用函数求最值时, 一般是先根据题意建立一个函数模型, 再确定出自变量的取值范围, 根据函数的增减性来求最值。

1. 用反比例函数求最值

例5一个工人一天能编3至5个箩筐, 某工厂每天要生产这种箩筐150个, 问该工厂应该聘请多少名工人?

解:设应聘请y名工人, 每名工人每天生产x个箩筐, 则当x=3时, y=50;当x=5时, y=30。

所以, 至少聘请30人, 最多聘请50人。

2. 用一次函数求最值

例6 2008年地震后, 甲地需饮用水240吨, 乙地需饮用水260吨, 现在A厂有瓶装饮用水200吨, B厂有瓶装饮用水300吨, 要把这些饮用水全部赠送给甲乙两地。从A厂往甲、乙两地运饮用水的费用分别为每吨20元和25元;从B厂往甲、乙两地运饮用水的运费分别为每吨15元和24元, 怎样调送可使总运费最少?

解:设总运费为y元, A厂运往甲地的水为x吨, 则运往乙地的水为 (200-x) 吨;B厂运往甲乙两地的水分别为 (240-x) 吨和[300- (240-x) ]= (60+x) 吨, 则y=20x+25 (200-x) +15 (240-x) +24 (60+x) , 即:y=4x+10 040。

这里A厂运往乙地的水200-x≥0, x≤200即0≤x≤200。

圆锥曲线中的最值问题 篇10

每年的高考试题都是命题人员精心编拟的, 内涵丰富, 背景深刻.对其深入学习研究, 探究高考试题的命题规律, 用高考试题指导应试, 制定应试策略, 可提高复习的针对性、有效性.下面以解析几何为例, 看一看解析几何高考试题的一些命题特点.

一、三例高考试题

例1 (2008年全国卷Ⅱ理21) 设椭圆中心在坐标原点, A (2, 0) 、B (0, 1) 是它的两个顶点, 直线 y=kx (k>0) 与AB相交于D, 与椭圆相交于E、F两点.

(Ⅰ) 若$\overrightarrow{{\displaystyle ED}}=6\overrightarrow{{\displaystyle DF}}‚$求 k 的值;

(Ⅱ) 求四边形AEBF面积的最大值.

分析: (Ⅰ) 由已知得椭圆方程为

x2+4y2=4,

直线AB为 x+2y-2=0.

将 y=kx 分别与直线AB、椭圆的方程联立, 可得$D=(\frac{2}{1+2k}‚\frac{2k}{1+2k})‚E(\frac{-2}{\sqrt{1+4k{}^2}}‚\frac{-2k}{\sqrt{1+4k{}^2}})‚F(\frac{2}{\sqrt{1+4k{}^2}}‚\frac{2k}{\sqrt{1+4k{}^2}})$.

由$\overrightarrow{{\displaystyle ED}}=6\overrightarrow{{\displaystyle DF}}‚$得

$\frac{2}{1+2k}+\frac{2}{\sqrt{1+4k{}^2}}=6(\frac{2}{\sqrt{1+4k{}^2}}-\frac{2}{1+2k})$

$\begin{array}{l}\Rightarrow k{}_1=\frac{2}{3}‚k{}_2=\frac{3}{8}.\\ (\mathrm{Ⅱ})|EF|{}^2=\frac{16(1+k{}^2)}{1+4k{}^2}\end{array}$.点A、B到直线EF:y=kx 的距离分别为

$\begin{array}{l}d{}_1=\frac{2k}{\sqrt{1+k{}^2}}‚d{}_2=\frac{1}{\sqrt{1+k{}^2}}.\\ S{}_{AEBF}=S{}_{△AEF}+S{}_{△BEF}\\ =\frac{1}{2}|EF|(d{}_1+d{}_2)\\ =\frac{2(1+2k)}{\sqrt{1+4k{}^2}}.\\ S{}_{AEBF}^2=\frac{4(1+4k+4k{}^2)}{1+4k{}^2}=4+\frac{16k}{1+4k{}^2}\\ =4+\frac{16}{4k+\frac{1}{k}}\le 4+\frac{16}{4}\\ =8.\end{array}$

当且仅当$4k=\frac{1}{k}$, 即$k=\frac{1}{2}$时, 四边形AEBF的面积S有最大值$2\sqrt{2}$.

例2 (2007年全国卷Ⅰ理21) 已知椭圆$\frac{x{}^2}{3}+\frac{y{}^2}{2}=1$的左、右焦点分别为F1、F2, 过F1的直线交椭圆于B、D两点, 过F2的直线交椭圆于A、C两点, 且AC⊥BD, 垂足为P.

(Ⅰ) 设P点的坐标为 (x0, y0) , 证明:$\frac{x{}_0^2}{3}+\frac{y{}_0^2}{2}＜1$;

(Ⅱ) 求四边形ABCD的面积的最小值.

略解: (Ⅱ) (1) 当BD的斜率不存在或斜率 k=0时, 四边形ABCD的面积

$S=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times \frac{4}{\sqrt{3}}=4.$

(2) 当BD的斜率 k 存在且不为0时, 将 y=k (x+1) 与2x2+3y2=6联立.

由弦长公式得$|BD|=\frac{4\sqrt{3}(k{}^2+1)}{3k{}^2+2}$.

同理由弦长公式可得

$\begin{array}{l}|AC|=\frac{4\sqrt{3}(k{}^2+1)}{2k{}^2+3}.\\ S=\frac{1}{2}|AC|\times |BD|\\ =\frac{24(k{}^2+1){}^2}{(2k{}^2+3)(3k{}^2+2)}\\ \ge \frac{24(k{}^2+1){}^2}{[\frac{(2k{}^2+3)+(3k{}^2+2)}{2}]{}^2}\\ =\frac{24(k{}^2+1){}^2}{[\frac{5(k{}^2+1)}{2}]{}^2}=\frac{96}{25}.\end{array}$

当且仅当2k2+3=3k2+2, 即 k=±1时, 取等号.

或$\begin{array}{l}S=\frac{1}{2}|AC|\times |BD|\\ =\frac{24(k{}^2+1){}^2}{(2k{}^2+3)(3k{}^2+2)}\\ =4-\frac{\frac{2}{3}}{k{}^2+\frac{1}{k{}^2}+\frac{13}{6}}\\ \ge 4-\frac{\frac{2}{3}}{2+\frac{13}{6}}=\frac{96}{25}\end{array}$.

取等号条件是 k=±1.

所以$\frac{96}{25}\le S\le 4$.

注:S既有最小值$\frac{96}{25}$, 还有最大值4.

研究高考、研究考纲要结合试题, 历年的高考试题不仅是练习的良好素材, 也是高考试题的生长点, 上面的例1、例2实际上是以下面的例3为题源编拟的.

例3 (2005年全国卷Ⅱ理21题) P、M、Q、N四点都在椭圆$x{}^2+\frac{y{}^2}{2}=1$上, F为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点, 已知$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}F}}$与$\overrightarrow{{\displaystyle FQ}}$共线, $\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}F}}$与$\overrightarrow{{\displaystyle F{\rm N}}}$共线, 且$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}F}}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}F}}=0$, 求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.

分析:由$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}F}}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}F}}=0$得PQ⊥MN, 所以四边形PMQN的面积

$S=\frac{1}{2}|{\rm P}Q|\times |{\rm M}{\rm N}|$;

(1) 当PQ、MN中有一者斜率为0, 另一者的斜率不存在时, 有

$\begin{array}{l}S=\frac{1}{2}|{\rm P}Q|\times |{\rm M}{\rm N}|\\ =\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2.\end{array}$

(2) 当PQ的斜率存在且不为0时, 设其斜率为 k, 则有

PQ:y=kx+1, MN:$y=-\frac{1}{k}x+1$.

分别与椭圆联立, 由弦长公式, 可得

$\begin{array}{l}|{\rm P}Q|=\frac{2\sqrt{2}(k{}^2+1)}{k{}^2+2}‚\\ |{\rm M}{\rm N}|=\frac{2\sqrt{2}(k{}^2+1)}{2k{}^2+1}.\\ S=\frac{1}{2}|{\rm P}Q|\times |{\rm M}{\rm N}|\\ =\frac{4(k{}^2+1){}^2}{(k{}^2+2)(2k{}^2+1)}\\ =2-\frac{1}{k{}^2+\frac{1}{k{}^2}+\frac{5}{2}}\\ \ge 2-\frac{1}{2+\frac{5}{2}}=\frac{16}{9}.\end{array}$

当且仅当$k{}^2=\frac{1}{k{}^2}$, 即 k=±1时, 取等号.

综上所述得$\frac{16}{9}\le S\le 2$.所以四边形PMQN的面积S的最小值为$\frac{16}{9}$, 最大值为2.

上面的三例高考题都是以均值不等式为工具, 求椭圆内接四边形面积的最值问题, 把椭圆换为抛物线, 也有类似的问题, 请看例4.

二、一例移植

例4 (2004年安徽文19) 设F是抛物线G:x2=4y 的焦点.

(Ⅰ) 过点P (0, -4) 作抛物线G的切线, 求切线方程;

(Ⅱ) 设A、B为抛物线G上异于原点的两点, 且满足$\overrightarrow{{\displaystyle FA}}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle FB}}=0$, 延长AF, BF分别交抛物线G于点C、D, 求四边形ABCD面积的最小值.

分析: (Ⅰ) 易求切线方程为

y=2x-4或 y=-2x-4.

(Ⅱ) 由题设知AC的斜率 k 存在且不为0, 故可设AC的斜率为 k, 则BD的斜率为$-\frac{1}{k}.$

AC:y=kx+1, BD:$y=-\frac{1}{k}x+1$, 分别与 x2=4y 联立, 由弦长公式得

$|AC|=4(1+k{}^2)‚|BD|=4(1+\frac{1}{k{}^2}).$

四边形ABCD的面积

$\begin{array}{l}S=\frac{1}{2}\times |AC|\times |BD|\\ =8(1+k{}^2)(1+\frac{1}{k{}^2})\\ =8(k{}^2+\frac{1}{k{}^2}+2)\\ \ge 8(2+2)=32.\end{array}$

当且仅当$k{}^2=\frac{1}{k{}^2}$, 即 k=±1时, 取等号, 四边形ABCD的面积S有最小值32.

以上四题, 分别以椭圆、抛物线为载体, 但四题都是以均值不等式为工具求内接四边形面积的最值;四边形的面积或可转化为三角形的面积来求, 或四边形的对角线 (后三例) 互相垂直.这种现象是巧合吗?

三、试题特点

1.平面向量为语言.

2.均值不等式为主要工具.当 a>0, b>0时, $a+b\ge 2\sqrt{ab}‚ab\le (\frac{a+b}{2}){}^2.$

3.函数$y=x+\frac{a}{x}$、$y=\frac{k}{x}$的性质为辅助工具.

4.圆锥曲线为背景, 求四边形、三角形面积的最值为对象.

5.考查设而不求的思想, 韦达定理, 弦长公式.

6.综合性强, 运算量大, 能力要求较高, 对中学数学的四种主要思想:函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想都有考查.

通过对以上四例的学习、研究, 可探究高考解析几何命题的一些规律, 也学到了处理解析几何问题的常用思路、方法.

云南省祥云一中

侧面展开图的最值问题 篇11

一、与路径有关的最值问题

例1在圆柱形的玻璃杯外侧面，有一只蚂蚁要从[A]点到杯内侧面的[B]点去吃食物. 已知[A]点沿母线到杯口[C]的距离是5cm，[B]点沿母线到杯口[D]的距离是3cm，而[C、D]两点之间的杯口弧长是6cm，如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走？最短路线长是多少？

解析化曲为直，设想把杯子沿侧壁展开，由于蚂蚁得先爬至杯口，再翻过杯沿折向食物[B]，所以问题转化为在线段[CD]上求一点[M]，使[AM+MB]为最小. 可先作[B]关于直线[CD]的对称点[E]，连接[AE]交[CD与M]，这时蚂蚁先沿[AM]爬至杯口[M]点，在翻过杯沿，沿[MB至B]点，路程最短. 显然，[AM+MB=AE]，容易求得[AE=10cm，]即蚂蚁爬行的最短路程是10cm.

点拨 几何体表面行走的最短路径问题，常常通过表面展开图，利用平面内两点之间线段最短求最值.

例2在三棱柱[ABC]—[A1B1C1]中，各个侧面都是矩形，[E]、[F]分别为[AA1]、[C1B1]的中点，[AB=BC=2]，[BB1=2]，[∠ABC=90∘]，沿棱柱的表面从[E]到[F]两点间的最短路径的长度是多少?

解析[∵][AB=BC=2]，[∠ABC=90∘]，

[∴AC=2]，所以侧面展开后如图1所示，

[A1E=12AA1=1]，[A1F=A1B1+B1F=322]，

所以[EF=A1E2+A1F2=222]．

[图1][图2][图3]

若把△[A1B1C1]与面[A1B1BA]展开如图2所示，

连接[EF]，过[E]作[EM⊥B1B]于[M]点，则[EM=AB=2]，[FM=1+22]，所以[EF=72+2.]

若把△[A1B1C1]与面[A1ACC1]展开如图3所示，连接[EF]，过[E]作[EM⊥C1C]于[M]点，作[FD⊥EM]于[D]点，则[ED=32]，[FD=32]，所以[EF=322,]

[∴]从[E]到[F]两点间的最短路径的长度是[322]．

点拨 例2是例1的简单变形题，先需要把每一种展开方式找到，然后再通过表面展开图，利用平面内两点之间线段最短求最值.

二、与线段长有关的最值问题

例3已知三棱锥[V-ABC]的三条侧棱两两成[40°]角，每条侧棱长都为[23]，[E、F]分别为[VB、VC]上的点，求[△AEF]的周长的最小值．

解析 先将三棱锥沿侧棱[VA]剪开，平铺得到侧面展开图，如图，则[AA1]为所求[△AEF]的周长最小值，取[AA1]的中点[D]，连接[VD]，则[VD⊥AA1]，[∠AVD=60°]，在Rt△[VAD]中[AD=VA⋅sin60°][=3]，[∴AA1=2AD=6]，即[△AEF]周长最小值为6.

点拨 将棱锥展成平面图形，是将空间问题化归到平面问题的一种重要思想方法，运用这一方法可以解决截面周长最小问题，棱锥侧面积等与平面图形相关的问题.

变式探索: 如图，在三棱柱[ABC]—[A1B1C1]中，每个侧面都是矩形，底面为直角三角形，[∠ACB=90∘]，[AC=6]，[BC=CC1=2]，[P]是[BC1]上一动点，求[CP+PA1]的最小值.

解析化“折”为直，将△[BCC1]沿[BC1]线折到面[A1C1B]上，连接[A1C]，则此时[A1C]即为[CP+PA1]的最小值，将图形展开后由题意可以得到[∠A1C1B=90∘,][∵∠BC1C=45∘∴∠A1C1C=135∘]，如图，由余弦定理可得[A1C=52]，即[CP+PA1]的最小值为[52].

点拨 求有公共点的线段之和的最小时，可以将这两条线段转化到同一平面，利用三点共线时和最小来解决最值问题.

三、与面积有关的最值问题

例4 用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品完全包住，不得将纸撕开，则所用纸的最小面积是多少?

分析 类比日常生活中的包装盒，可以先把正方体的表面展开成平面图形，再把平面图形尽可能的凑成面积最小的正方形，如图所示，选用一边长为[22]的正方形纸，其面积是8.

点拨本题是在表面积一定的情况下来选择包装纸，既要满足够用，同时也要满足剩余多，所以一定要尽可能的凑成面积最小的正方形.

例5 若一个圆锥的侧面展开图是一个周长为2cm的扇形，则此圆锥侧面积的最大值是多少？

解析 设侧面展开图的半径为[R]，则弧长为[2-2R]，侧面积为[S]，那么

[S=12(2-2R)R]=[(1-R)R]=[-R2+R]

=[-(R2-R+14)]+[14]

=[-(R-12)2+14,]

[∴]当[R]=[12]时，[S]有最大值[14.]

点拨建立函数法是侧面展开图的一种常用方法，很多情况下，我们都是将这类问题转化为目标函数，最终利用代数方法来求目标函数的最值.

四、与体积有关的最值问题

例6 能否将宽为2、长为6.1的长方形钢板中四个角各截去一个边长为[x]的小正方形（如图所示），然后折成一个无盖的长方体盒子使其体积为4？

解析若能符合题意，则可得方程

[x(6.1-2x)(2-2x)=4]，

即[x(3.05-x)(1-x)=1(0＜x＜1).]

令[x=sin2θ]，原式可化为

[sin2θcos2θ(3.05-sin2θ)=1]，

即[(1-cos4θ)(5.1+cos2θ)=16.]

又[∵][0≤1-cos4θ≤2,4.1≤5.1+cos2θ≤6.1,]

所以[0≤(1-cos4θ)(5.1+cos2θ)＜16]，

故方程[4=x(6.1-2x)(2-2x)]无解.

因此，不能将长方形钢板中四个角各截去一个边长为[x]的小正方形，折成一个无盖的盒子使其体积为4.

点拨本题采用的是建立函数法，函数最值问题解题途径很多，这里选用的是换元法，在使用换元法时一定要注意所换元的范围.

例7有一块半径为[a]的圆形铁皮，将它卷成一个无底的圆锥形容器，怎样裁剪，做出的容器容积最大？

解析 圆锥侧面展开图是扇形，因此，需将这块圆形铁皮剪成一个扇形，可以以圆形铁皮的圆心为扇形顶点剪去一个小扇形，接下来的问题可以转化成剪去多大一块小扇形，可以使卷成的圆锥形容器容积最大.

设剪去的小扇形的圆心角为[θ]，卷成的圆锥形容器底面半径为[r]，则高为[a2-r2]，另设容积为[V]，则

[V]=[13πr2a2-r2]=[13πr2⋅r2(a2-r2)]

=[13π12r2⋅r2(2a2-2r2)]

≤[13π12[r2+r2+(2a2-2r2)3]3]=[2327πa3]，

当且仅当[r2=2a2-2r2]，即[r]=[63][a]时取等号，

[∴][Vmax]=[2327πa3]，

此时[2π-θ]=[2πra=263π]，

∴[θ=2π-][263π]≈66°.

即剪去一个圆心角约为66°的扇形后卷成的圆锥形容器容积最大，最大容积为[2327π a3].

点拨解不等式是求最值问题的常用方法，在立体几何中同样也可以利用不等式的性质和一些变量的特殊关系来求解，如[a2+b2]≥[2ab]等，这里所采用的是基本不等式推广形式的变形.

[【练习】]

1. 圆台的上底半径为2cm，下底的半径为4cm，母线长为6cm，求轴截面相对顶点在圆台侧面上的最短距离.

2. 已知三棱锥[S]—[ABC]的侧棱长都为[a]，各侧面的顶角为[30°]，[D]为侧棱[SC]的中点，[E]、[F]分别在侧棱[SA]和[SB]上，当△[DEF]周长最小时，求截得的三棱锥[S]—[DEF]的侧面积

3. 已知三棱柱[ABC-A1B1C1]的各个侧面都是矩形，各棱长均为2，[M]为[AA1]的中点，[N]为[BC]的中点，则在棱柱表面上从点[M]到点[N]的最短距离是多少？

4.圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，母线[AB=18]，从[AB]的中点[M]拉一条绳子绕圆台侧面转到[A]点.

（1）求绳子的最短长度.

（2）求绳子最短时上底面圆周上的点到绳子的最短距离.

5.一个三棱锥[A-BCD]，底面边长均为[a]，侧棱长均为[2a]，过[B]作一个与侧棱[AC，AD]相交的截面，求截面三角形周长的最小值.

6.圆柱轴截面的周长[L]为定值，求圆柱侧面积的最大值.

[【参考答案】]

1. [63cm]2. [a28]3. [4+3]

4. （1）21（2）[603-427]

圆锥曲线中的最值问题 篇12

通过几年的教学实践发现, 学生对解决此问题颇感困难, 有时竞无从下手。下面就介绍一种用定位思想解决最值问题的方法。所谓“定位思想”就是从问题的最终要求来选择合理的解题途径, 有意识地绕开不适当的思维方式的一种思维定势。在立体几何中, 就是通过对图形的观察分析, 确定取得最值的位置, 然后再求出最值。

例1如图1, 正三棱锥底面边长为a, 则棱长为2 a, 过底面一边作与相对侧棱相交的截面, 求截面周长的最小值。

[分析]将侧面展开, A、B两点连线为AM+BM的最小值, 从而可求截面周长的最小值。

解:如图2, 由已知, 在ΔAPC中

则截面周长最小值为

例二二面角a-a-β的平面角为120o在α内AB⊥a于B, AB=2, 在β内CD⊥a, CD=3, BD=1, M是棱a上的动点, 求AM+CM的最小值。

[分析]将二面角的两半平面展开成一平面, A, C两点的连线长为AM+CM的最小值。

解:AH//BD交CD延长线于H。AH=BD=1, AH=AB+CD=5,

则故的最小值为

例3, 如图3, △ABC在平面内a内, ∠A=6cm, PC⊥平面a, PC=4cm, K是AB边上的动点, 求面积最小值。

[分析]由已知, 无论K在何处为直角三角形, 面积为1/2, PC·PK, 而PC为定值, 面积最值取决于CK的最值。

解:作CK⊥AB, 连接PK, 此时CK为最小。

例4如图4, 点求A到平面PBC距离的最大值。

[分析]作PM⊥BC连AM, 且为定值,

当。

解:作PM⊥BC, 连AM, ∴BC⊥面PAM, 则面PAM⊥PBC, 作AH⊥PM, AH为所求。

在RiΔPBM中, 可知, 当PA=AM时, AH取最大值, 此时, AH=PM/2, 则

例5AB=2R为圆周的直径, , 二面角A-PB-C为何值时, 三棱锥P-AEF的体积V最大?值为?

[分析]如图7, 由已知得, AE⊥PB, EF⊥PB, ∠AEF=A, PE⊥面AEF, 而且VP-AEF=1/3⋅PE⋅SΔAEF, 而AE为定值, ΔAEF为RiΔ, 且斜边AE为定值, 可知ΔAEF为等腰三角形时面积最大。

由已知

综上数例所述, 不难看出, 立体几何中的最值问题, 主要是通过对具体图形的观察分析, 准确确定取得最值的位置, 而其解题判定的准确与否, 取决于学生对基础知识, 基本技能的掌握熟练程度。这些恰是中学数学素质教育的标志。用抽象的理论知识服务于实践, 则是数学教学的目的。提倡用定位思想解决问题, 就是要避免走弯路, 从而使复杂的问题简单化、直观化、最终使问题快捷、稳妥地获得解决。

摘要：用数学的观点和方法来解决以最少的耗费来创造最佳的经济效益问题, 就不可避免地涉及到最值问题, 在立体几何数学中的一种用定位思想解决最值问题的方法, 所谓“定位思想”就是从问题的最终要求来选择合理的解题途径, 有意识地绕开不适当的思维方式的一种思维定势。在立体几何中, 就是通过对图形的观察分析, 确定取得最值的位置, 然后再求出最值。