圆锥曲线的简单应用

圆锥曲线的简单应用（精选6篇）

圆锥曲线的简单应用 篇1

一、切线方程问题

当x≠±a时, 过点P (x0, y0) 的切线斜率k一定存在

而当x=±a时, y=0, 切线方程为x=±a, 也满足上式.

当x≠±a时, 过点P的切线斜率k一定存在

而当x=±a时, y=0, 切线方程为x=±a, 也满足上式.

3.若点P (x0, y0) 是抛物线y2=2px上任一点, 则抛物线过该点的切线方程是y0y=p (x+x0) .

证明:由y2=2px,

而当y0=0, x0=0时, 切线方程为x0=0也满足上式.

故抛物线在该点的切线方程是y0y=p (x+x0) .

二、圆锥曲线的光学性质

椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发出的光, 经过椭圆反射后, 反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.

转化为数学命题即:

∴ 切线与PF1所成的夹角∠F1PA满足

同理, 切线与PF1所成的夹角∠F2PB也满足

∴ ∠F2PB=∠F1PA.

双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光, 经过双曲线发射后, 反射光线的反向延长线汇聚到双曲线另一个焦点.

转化为数学命题即:

∴ 切线与PF1所成的夹角∠F2PA满足

同理, 切线与到PF1所成的夹角∠DPB也满足

∴ ∠F2PA=∠DPB

抛物线光学性质:从抛物线的焦点出发的光, 经过抛物线反射后, 反射光线都平行于抛物线的轴.

转化为数学命题即:

已知:抛物线方程为y2=2px, Q (x0, y0) 为抛物线上任意一点, AB为过Q点的切线, QQ′为平行x轴的直线, 求证:∠AQF=∠BQQ′.

∴切线与到QF所成的角∠AQF满足

∵ Q (x0, y0) 抛物线上任意一点, 即y02=2px0, 化简得

∴∠AQF=∠BQQ′

进一步给出圆锥曲线的光学性质证明.

证明:连接AF2交椭圆于A′, 则A′F1+A′F2=2a,

根据三角形知识可知AF1+AF2>2a.

证明:连接AF2交双曲线于A′, 当AF1≥AF2, 根据三角形知识

AF1<AA′+A′F

∴AF1-AF2<AA′+A′F-AF2=A′F1-A′F2=2a

同理可证, 当AF1<AF2时也成立.

引理3:设抛物线方程为y2=2px (p>0) 焦点为F, A是抛物线外一点, A到准线的距离为AM, 则AF>AM.

证明:当A点在对称轴的射影在焦点右边时, 连接AF与抛物线交于A′

AF=AA′+A′F

过A′作A′D垂直于AM于D,

由三角形知识可知AD<AA′

AF=AA′+A′F>A′M′+A′A=MD+A′A>MD+AD=AM

同理可证, 当A点在对称轴的射影在焦点或焦点左边时AF>AM.

椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发出的光, 经过椭圆反射后, 反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.

圆O的半径为定长2a, A是圆内一个定点, P是圆上任意一点, 线段AP的垂直平分线L和半径OP相交于点Q, 当P点在圆上运动时, 点Q的运动轨迹是什么? 直线L与Q的轨迹有什么关系?

解:连接QA, 可知|QA|=|QP|.

所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=2a

又因为A在圆内, 所以|OA|<|OP|.

根据椭圆定义, 点Q的轨迹是以O, A为焦点, 2a为长轴长的椭圆.

∵ 直线L上Q点到O、A的距离之和为2a, 容易证明除Q点外在直线L上的任意一点到O、A的距离大于2a, 由引理1可知直线L为椭圆的切线.

由椭圆的生成过程可知∠AQB=∠PQB

∵∠PQB=∠OQC

可得∠AQB=∠OQC

从而得到椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发出的光, 经过椭圆反射后, 反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.

双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光, 经过双曲线发射后, 反射光线的反向延长线汇聚到双曲线另一个焦点.

圆O的半径为定长2a, A是圆外一个定点, P是圆上任意一点, 线段AP的垂直平分线L和半径OP相交于点Q, 当P点在圆上运动时, 点Q的运动轨迹是什么? 直线L与Q的轨迹有什么关系?

解:连接QA

由已知得|QA|=|QP|

所以||QA|-|QP||=||QP|-|QO||=|OP|=2a

又因为点A在圆外, 所以|OA|>|OP|

根据双曲线的定义, 点Q的轨迹是以O, A为焦点, 2a为实轴长的双曲线.

∵ 直线L过Q点, 直线L上除Q点外的任意一点到O, A的距离之差的绝对值都小于2a, 由引理2可知直线L为双曲线的切线.

由双曲线的生成过程可知∠OQH = ∠HQA.∵ ∠HQA =∠DQF,

可得∠HQA=∠DQF.

从而得到双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光, 经过双曲线发射后, 反射光线的反向延长线汇聚到双曲线的另一个焦点.

三、应用举例

分析:求∠F1AF2的角分线所在方程, 入口比较宽, 当计算量比较大, 求解方法有轨迹法、向量法、平面几何法、如果用椭圆的光学性质解答就比较容易了.

分析猜想:经计算, M点在双曲线右支开口内部.由于双曲线是不封闭曲线, 显然|PF2|+|MP|可以无限大, 故要求|PF2|+|MP|的取值范围, 关键是求出|PF2|+|MP|的最小值.根据光线的 “ 最近传播”特点, 再结合双曲线的光学性质 (从一个焦点射出的光线经双曲线反射, 反射光线的反向延长线经过另一个焦点) , 可作出从F1射出被双曲线反射后经过点M的光线:连接F1M, 与双曲线的交点即为使得|PF2|+|MP|最小的点,

由题意知

∵ F1 (-1, 0) , M (5, 1)

3. 已知抛物线方程为y2=2px (p>0) , AB为过焦点的弦, 过AB两点作抛物线切线, 两切线交于点C, 求证:∠ACB=90°.

分析:要证明∠ACB=90°, 证明方法比较多, 但运算有些繁杂, 运用抛物线的光学性质比较简单.

证明:由抛物线的定义可得BF=BB′, 由抛物线光学性质可知道

∠CBA=∠DBG

∵∠DBG=∠B′BC

∴∠B′BC=∠CBA

同理可证∠A′AC=∠CAF

∵∠B′BA+∠A′AB=180°

∴∠ACB=90°

圆锥曲线的光学性质是奇妙的, 只有善于观察, 勤于钻研, 及时做好总结, 才能闪现更多的灵感, 才能在奥妙的数学世界畅游, 从而获得更多的知识.

参考文献

[1]普通高中课程标准实验教科书31-81.

圆锥曲线的简单应用 篇2

【学习障碍】 1．理解障碍

(1)关于双曲线对称性的理解

把双曲线方程中的y换为－y，方程不变，说明双曲线关于x轴对称．其原因是设(x，y)为双曲线上的一点，y换为－y方程不变，说明(x，－y)也在此双曲线上，由于点(x，y)，(x，－y)关于x轴对称，故整个双曲线关于x轴对称．

同理，分别用(－x，y)及(－x，－y)代换方程中的(x，y)，方程都不改变，这说明双曲线关于y轴、原点都是对称的，因此坐标轴为对称轴，对称中心为原点．(2)关于对双曲线渐近线的理解

xyxyx2y2除按课本上的证明方法外，渐近线还可以这样理解：双曲线(H)2－2＝1方程即(＋)(－)

ababab＝1，当双曲线上点P(x，y)在第一、三象限且远离原点时，|在二、四象限远离原点时，|

xyxy＋|→＋∞，此时－→0，当点P(x，y)ababxyxy－|→＋∞，此时＋→0；这些表明双曲线(H)上位于一、三象限的点远ababxyxy离原点时，双曲线越来越靠近直线－＝0，位于二、四象限的点远离原点时，双曲线越来越靠近＋

ababxyxy＝0，因此把直线＋＝0与－＝0叫做双曲线(H)的渐近线．

abab(3)关于对离心率e的理解

cbba2b2b由于e＝＝=1，e越大，渐近线y＝x的斜率就越大，这时渐近线y＝－x到yaaaaa＝

2bx的角就越大，从而双曲线开口就越阔，反之，e越小，双曲线开口就越窄． a2．解题障碍

(1)双曲线焦点位置的判定

双曲线的焦点位置除题目直接告诉外，还可根据顶点位置．实轴(虚轴)、准线位置等判定，另外也可根据点在渐近线的上方还是下方来确定．(2)双曲线方程的几种变形

x2y2x2y2以双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)为例，如果将右边的常数1换为0，即2－2＝0就是其渐近线方ababx2y2程，但反过来就不正确．如果将常数1换为－1，即2－2＝－1为其共轭双曲线方程，如果将常数1换为

abλ(λ≠0)，即为与原双曲线有共同渐近线的双曲线系方程，注意它们的应用．另外，以直线

ax±by＝0为渐近线的双曲线系为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线的几个重要性质

渐近线为y＝±x，离心率e＝2均是双曲线为等轴双曲线的充要条件，掌握这些性质可以很好地解决解题思路．

【学习策略】 1．待定系数法

根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式，善于利用双曲线的对称性简化作图步骤和减少运算量．这一点正体现双曲线的几何性质的应用．综上可简记为：“巧设方程立好系，待定系数求a、b；结合图形用性质，避免繁琐用定义． 2．定义法

与焦点有关的距离，通过定义转化往往收到事半功倍的效果． 3．利用双曲线系 利用具有共同渐近线或共焦点的双曲线系求双曲线方程往往要比用其他方法简单易行，另外，已知两渐近线方程，也应能写出对应的双曲线系． 【例题分析】

［例1］已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4，3)，求双曲线的标准方程．

策略：思路一：已知渐近线方程，即知道a与b的比，可用a、b中的一个未知数表示出双曲线的标准方程，但要判断点P的位置，才能确定双曲线方程的类型，再由点P在双曲线上，用待定系数法求出该双曲线的方程．思路二：已知渐近线方程可用双曲线系写出标准方程，再把P点坐标代入方程可求出参数λ，从而求出双曲线方程．

1x，2a1当x＝4时，y＝2＜yP＝3 ∴焦点在y轴上，即＝，设a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．

b2解法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0即y＝x2y2∴双曲线方程为－22＝1 4kk∵P(4，3)在双曲线上，∴－169

2＝1，∴k＝5 224kkx2y2∴a＝5，b＝20 ∴所求双曲线方程为－＝1 20522

xx2解法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即－y＝0 ∴双曲线的渐近线方程为－y2＝0．

24x2∴可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)

∵双曲线经过点P(4，3)

442∴－32＝λ，λ＝－5 4x2x2y22

∴所求的双曲线方程为－y＝－5，即－＝1．

4205评注：由已知条件求双曲线方程时，首先要确定其定位条件，即要确定焦点在哪个坐标轴上，再根据其他条件确定其定形条件，即a、b的值．在定位时，一般把已知点横坐标xP代入渐近线所得的y值与yP比较可知P点在渐近线上方或下方，由此确定焦点的位置．解法二利用了共渐近线的双曲线系，避免了对

22xy双曲线方程类型的讨论，简化了解题过程，在共渐近线的双曲线系方程2－2＝λ(λ≠0，λ为参数)ab中，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．

x2y25［例2］已知双曲线的离心率e＝，且与椭圆＝1有共同焦点，求该双曲线的标准方程． 1332策略：可先求出椭圆的焦点即双曲线的焦点，由离心率可得出a进而求出b，可得双曲线方程．

解法一：椭圆中：a2＝13，b2＝3 ∴c＝133＝10，焦点F(±10，0)在x轴上，∴双曲线的焦点也在x轴上，且c＝10． 由e＝5105得＝ 2a2∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．

x2y2∴所求双曲线方程为＝1． 82x2y2解法二：设与椭圆共焦点的双曲线方程为＝1(3＜k＜13)13k3kx2y2即＝1，13kk3∴a＝13k，c＝10

∴离心率e＝c10＝，a13k即510＝解得k＝5．

213kx2y2∴所求双曲线方程为＝1． 8222xy评注：解法二用了共焦点的圆锥曲线系方程，简化了解题过程，一般地与椭圆2+2＝1共焦点的圆锥曲线ab22xy系方程为2+2＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．当k＜b2时，方程表示椭圆，当b2＜k＜a2时，方程akbk表示双曲线．

［例3］已知中心在原点的双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，渐近线方程为3x±4y＝0，求此双曲线的共轭双曲线的方程．

策略：由已知渐近线的方程可得出a、b间的关系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出双曲线方程，也可用双曲线系方程求解．

解法一：∵渐近线方程为3x±4y＝0，即y＝±∵焦点F(±5，0)在x轴上，∴

3x． 4b3＝，设a＝4k，b＝3k，而已知c＝5，a4由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1 ∴a2＝16，b2＝9 x2y2x2y2∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为－＝1． 169169解法二：∵双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线系方程为9x2－16y2＝λ(λ＞0)． 即x29y216＝1

∴a2＝，b2＝，c＝5 ∴＋＝25 916916∴λ＝9³16

x2y2y2x2＝1． ∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为169169评注：利用双曲线系方程，可以简化运算．渐近线方程为ax±by＝0的双曲线系方程为a2x2－b2y2＝λ(λ＞0时焦点在x轴上，λ＜0时焦点在y轴上)．

策略：要证PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是证明两直线斜率之积为－1，这需要先求出点P的坐标(x0，y0)或x02与y02，但计算相当麻烦，再一个方法是用勾股定理，这需要先求出|PF1|与|PF2|，可以考虑用双曲线的两个定义解决．

解法一：设点P的横坐标为x0，当点P在双曲线的右支上时，根据双曲线第二定义得|PF1|＝e(x0＋a)＝ex0＋a(F1为左焦点)，c2a|PF2|＝e(x0－)＝ex0－a(F2为右焦点)． c2∴|PF1|＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2． ∵|PF1|²|PF2|＝32

∴e2x02－a2＝32

∴e2x02＝32＋a2

∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100 又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝4³(9＋16)＝100，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2

∴同理，当点P在双曲线左支上时，仍可得PF1⊥PF2．

解法二：∵点P在双曲线上，依据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6 ∴(|PF1|－|PF2|)2＝36 又∵|PF1|²|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2³32＝100 又|F1F2|2＝4c2＝100． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2

∴PF1⊥PF2．

评注：双曲线的定义不仅是推导双曲线方程的依据，也是解题的常用方法，用这一方法可以解决有关双曲线的焦点、准线等许多问题．

［例5］某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如图8—4—1所示)

2x2y2 ＝1的两个焦点点P在双曲线上，且|PF|²|PF|＝32，求证PF⊥PF．［例4］已知F1、F2是双曲线1212 916|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．

策略：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：(1)沿AP到P较近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同样近．显然第三类点是第一、第二类点的分界．

解：设M是分界线上的任意一点，则有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50，所以第三类点M满足性质：点M到定点A与定点B的距离之差等于常数50，符合双曲线的定义，所以M点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，所以问题转化为求双曲线的方程． 在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|²|PB|²cos60°＝1002＋1502－2³100³150²1＝17500

2∴以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，则界线是双曲线孤

x2y2＝1(x≥25)6253750所以运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省．

评注：本题通过建立直角坐标系,利用点的集合的性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)，从而确定最优化区域． ［例6］(2000年²全国高考)如图8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E满足|AE|＝λ|EC|，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当

32≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

策略：设出双曲线方程，由E、C坐标适合方程，找出各字母之间的联系，特别是e同λ的关系求之． 解：如图8—4—2，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(－c，0)，C(c1，h)，E(x0，y0)，其中c＝|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝22x2y2chc(2)cλ(－x0，h－y0)得：x0＝，y0＝．设双曲线方程为2－2＝1，则离心率e＝，21aab2(1)由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e＝e2h221①4b 2222he21②411b22he由①式得21 ③ b4c代入双曲线的方程得： a3e2将③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－2．

e2433322依题设≤λ≤得：≤1－2≤，4e2433解得7≤ e ≤10

所以，双曲线的离心率的取值范围为［7，10］． 评注：解本题关键找出离心率e与λ的关系，对于λ＝1－

312

32，也可整理为e＝＝－2，再用2e211观察法求得7≤ e ≤10．该题对考查学生思维能力、运算推理能力、综合运用数学知识等能力都有较高要求，作为高考题可谓当之无愧．

x2y2［例7］设双曲线2－2＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距ab离为3c，求双曲线的离心率。4解析：由直线的截距式方程和直线l的方程为：

xy＝1，即bx＋ay－ab＝0． ab由点到直线的距离公式得：aba2b23c． 43

432c，∴a2b2＝c

164又由双曲线方程知：b2＋a2＝c2

∴ab＝∴a2(c2－a2)＝ 344c，∴3e4－16e2＋16＝0

∴e2＝4或e2＝ 1634c2a2b2b221又02 ∴e＝舍去 223aaa2∴e2＝4，∴e＝2．

【同步达纲练习】

1．下列各对双曲线中，离心率与渐近线都相同的是（）

A．－＝1和－＝1 B．－＝1和＝1 C．－＝1和－＝1 D． －＝1或＝1 2．双曲线－＝1的两条渐近线所夹锐角的正切值是（）

3．A．

B．2

C．

D．

3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．2

B．

C．

D．

4．点P为双曲线－y2＝1右支上一点(非顶点)，F1、F2是该双曲线的焦点，则△F1PF2的内心在（）

A．直线x＝2上 B．直线x＝1上 C．直线y＝2x上 D．直线y＝x上

5．设连接双曲线－＝1与－＝1的四个顶点的四边形的面积是S1，连结其四个焦点的面积为S2，则的最大值是（）

A．

B．

C．1

D．2 6．过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1为左焦点且∠PF1Q＝___________．，则双曲线的离心率是7．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为___________．

8．双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且过点P(3，－)，则它的标准方程是___________．

9．若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，则双曲线的离心率为___________． 10．已知中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上的等轴双曲线经过点(4，－)．

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)对于(2)中的点M，求△F1MF2的面积．

11．已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆x2＋y2＝17相交于点A(4，－1)，若圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求这双曲线方程．

12．在一次模拟军事演习中，A、B、C是我军三个炮兵阵地．在指挥作战图的坐标平面上，由数据给出：A在指挥中心O的正东3 km，B在O的正西3 km，C在B的北偏西30°，相距4 km，P为敌军阵地(如图8—4—3)．某时刻，A处发现了敌军阵地P的某种信号，设该信号传播速度为1 km/s，由于B、C两地比A地距P地远，因此4秒钟后，B、C才同时发现信号，于是A处准备炮击P处，求A处炮击的方向角θ(即东偏北多少度)．

参考答案

【同步达纲练习】

1．解析：(用排除法)选项A和B中的两个方程所表示的双曲线渐近线不同，故排除A和B，而C中的两个方程所表示的双曲线渐近线相同而离心率不同，所以也排除C，因此选D．

答案：D 2．解析：双曲线＝1的两条渐近线方程为y＝±x，设两渐近线的夹角为θ，于是有：tanθ＝答案：B ．

3．解析：双曲线∴a2＝b2．

∴c2＝a2＋b2＝2a2，＝1两渐近线方程为y＝±x，又由题设知：－²＝－1，∴e2＝＝2，∴e＝．

答案：C 4．解析：设双曲线的右顶点为N，△F1PF2的内切圆切双曲线的实轴于T，由双曲线的定义知：|PF1|－|PF2|＝4，由平面几何知识得：|F1T|－|F2T|＝4．

又|F1T|＋|F2T|＝2c＝2，∴|F2T|＝

－2．

∴|OT|＝2 又右顶点N(2，0)，∴T与N重合，由圆的切线的性质定理知，△F1PF2的内切圆的圆心必在直线x＝2上． 答案：A 5．解析：由题设知双曲线＝1的焦点坐标为：(±，0)，顶点坐标为

(±a，0)，双曲线＝1的焦点坐标为(0，±)，顶点坐标为(0，±b)． 则S1＝²|2a|²|2b|＝2|ab|，S2＝

³（2)2＝2(a2＋b2)∴答案：B

．

6．解析：设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，焦距2c，|PQ|＝，又知△PF1F2是等腰直角三角形，则2c＝，∴2ca＝c2－a2

∴∴e＝1±答案：－1＝0，即e2－2e－1＝0，又e>1，∴＋1

舍去∴e＝

＋1．

7．解析：由＝1知其焦点坐标为(±3，0)，顶点为(±，0)，设所求椭圆方

程为＝1(a>b>0)，则：a2＝9，b2＝32－()2＝4，∴＝1．

答案：＝1 8．解析：设所求双曲线方程为

－y2＝λ(λ≠0)，把(3，－)代入得λ＝2，故方程为＝1．

答案：＝1 9．解析：离心率e＝，由于渐近线方程为y＝±x，当双曲线焦点在x轴时，当双曲线焦点在y轴时，故e为或．

答案：或 10．解：(1)设所求双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)则有42－(－∴λ＝6)2＝λ，∴所求双曲线方程为＝1．

(2)将点M(3，m)代入双曲线方程得：∴m2＝3，∴M(3，±)，0)，F2(2

＝1，又由双曲线方程知F1(－2，0)∴＝＝－1 ∴MF1⊥MF2．

(3)由MF1⊥MF2知∠F1MF2＝90°

∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2 ① 又||MF1|－|MF2||＝2 ②

①－②2得：2|MF1|²|MF2|＝|F1F2|2－24＝4³12－24＝24 ∴＝|MF1|²|MF2|＝6．

11．解：当所求双曲线的焦点在x轴上时，方程为＝1(a>0，b>0)，渐近线方程为y＝±x，由已知条件知：双曲线过点A(4，－1)，则有＝1 ①

又∵圆x2＋y2＝17在A(4，－1)的切线方程为4x－y＝17，由题意知

＝4 ②

解由①②组成的方程组得：a2＝，b2＝255．

∴当焦点在x轴上时，双曲线方程为： ＝1．

当焦点在y轴上时，双曲线方程为1 ③

＝1(a>0，b>0)．由题设知过点A(4，－1)，则有＝而双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，∴＝4 ④

由③④知：a、b不存在，故焦点不可能在y轴上．

因此所求双曲线方程为＝1．)12．解：由题意知：A(3，0)、B(－3，0)、C(－5，2由已知：|PB|－|PA|＝4，即P点在以B、A为焦点的以4为实轴长的双曲线的右支上，设其方程为＝1(a>0，b>0，x>0)由2a＝4，2c＝6，得b2＝5 ∴P点在双曲线＝1(x>0)上．

又|PB|＝|PC|，知P点在线段BC的垂直平分线l上．

∵kBC＝，∴kl＝，又BC中点(－4，)∴l的方程为y－＝(x＋4)，即点P在直线y＝(x＋7)上．

圆锥曲线的简单应用 篇3

【关键词】数形结合;直观形象;方便快捷

在职业中学的数学课堂上，我们面临的是在初中甚至从小学开始就逐渐跟不上教学进度的学生。不要说逻辑思维能力、空间想象能力，就连最简单的数学运算能力都是他们所欠缺的。华罗庚说：“数缺形少直观，形缺数难入微。”在教学过程中，学生需要更为形象直观地认知数学规律，掌握数学知识，而传统的粉笔加尺规工具作图，已经难以满足他们的要求。

当前计算机技术的发展为我们解决了这一难题——从国外引进的教育软件《几何画板》以其入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图像功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。在教学中引用该软件，会使一些需要结合图形图像的内容学习起来更加容易。我以《圆锥曲线》这一章为例，展示一下《几何画板》给教学和学习带来的便利。

圆锥曲线中，学生首先接触的是椭圆的第一定义：平面内，与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。单从定义上看，学生可能想象不到这个轨迹为什么会是一个椭圆呢？我们可以通过制作动画演示画椭圆的过程，也可以通过看图验证得到，而后者更加方便快捷。在《几何画板》中，选择“圆锥曲线A-椭圆（焦点+点）”功能，作任意椭圆一个。标注两个焦点F1、F2，在椭圆上任选一点P，度量点P到点F1、F2的距离，并求和。当拖动点P在椭圆上运动时，发现|PF1|+|PF2|是一个常数（后面的学习中还会知道这个常数是2a），并不随点P的运动而变动，如图一。通过观察这个图像，学生很快理解了椭圆的定义，并能够牢固地记住椭圆的这个特点。

（注：图一是点P运动到椭圆上两个不同位置时度量该点到两焦点的距离，并求和。）

相同的方法，学生可以理解双曲线和抛物线的第一定义，并在理解的基础上准确记忆定义，在解决和圆锥曲线第一定义有关的题目时，答题正确率有明显提高。如：

1.一动点到两定点A（0，4）、B（0，-4）的距离之和为10，则它的轨迹方程为      。

2. 椭圆=1上一点P到一个焦点的距离为11，则P到另一个焦点的距离为     。

3.已知F1、F2是椭圆=1的两个焦点，过F2的直线与椭圆交于M、N两点，求△MNF1的周长。

4.双曲线1上任一点P到此双曲线距离较近的一个焦点的距离是12， 则点P到另一个焦点的距离是   。

5.抛物线y2=6x上一点A到焦点的距离为3，求点A到准线的距离，并求点A的横坐标。

以上题目都是对圆锥曲线第一定义直接或者间接的考察。在讲解时，可以通过几何画板作图让学生观察。有了大量的图形观察经验积累之后，学生能够把圆锥曲线的定义转化为动态的图形存储在大脑中，遇到相关题目时，可以在脑海中构建出图形，或者很快画出草图，并正确解答出来。

除了第一定义外，圆锥曲线的第二定义也是比较抽象，难以理解的。如椭圆的第二定义：平面内，与一个定点F的距离和到一条定直线l的距离的比是常数e（0<e<1）的点的轨迹叫做椭圆。定点F叫做椭圆的一个焦点，定直线l叫做与该焦点对应的准线（一个椭圆有两个焦点和两条准线）。常数e叫做椭圆的离心率。学生读完定义后感觉不知所云，不明白为什么这样的轨迹就是一个椭圆。我们一样可以通过图形验证理解定义。作椭圆=1（如图二），标出焦点F1、F2，并作两条准线。在椭圆上选一动点P，当点P在椭圆上运动时，点P到左焦点的距离|PF1|和到左准线的距离|PN|是变动的，但二者的比值是不变的，而且恰好等于该椭圆的离心率e，即0.8。点P到右焦点F2的距离|PF2|和到右准线的距离|PN|也满足这个特点。

（注：图二是点P在椭圆上两个不同位置时度量该点到两焦点和两准线的距离，并计算到焦点和到相应准线距离的比值。）

几何画板的演示让第二定义变得不那么抽象，容易理解了。在遇到和第二定义相关的题目时，学生可以通过回忆图像和定义解答问题。如：

当然，有的题目把圆锥曲线的第一、第二定义结合起来考察，那么观察图形的经验积累就显得更加重要了。如：1（上一点P到左焦点距离是12，它到椭圆右准线的距离是    。

从近几年的教学经验来看，在讲解圆锥曲线时，使用几何画板会使得三种圆锥曲线的定义讲解得更加清晰，学生接受起来也更加轻松，不容易遗忘，解答题目时会想到用这些相应的知识。由此可见，课堂中引入几何画板，会使本来抽象不容易理解的概念、需要图形想象能力的知识接受起来更加容易。当然学习中不需要每次都用几何画板，这样又显得有些繁琐，主要是在学习一个新知识点的初期运用几何画板帮助学生理解概念，建立直观形象的图形印象，这会使得后面的学习变得轻松很多。

当然，这里只是使用了《几何画板》中一些最基本、最简单的功能，这也只是我初步尝试在课堂使用该软件的小小收获，愿意和大家一起分享。

圆锥曲线的简单应用 篇4

［例1］已知双曲线的方程by－ax=ab(a＞0,b＞0)，求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程.【解】 把方程化为标准方程

ya2222222

2xb22=1，由此可知，实半轴长为a,虚半轴长为b，c=a2b2.焦点坐标是(0,－a2b2),(0, 渐近线方程为x=±【点评】 双曲线近线为x=±baxaa2b2).ba22y,即y=±

yb22abx.ba=1(a＞0，b＞0)的渐近线为y=±x,双曲线

ya22xb22=1的渐y,即y=±

abx，应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点.［例2］求一条渐近线方程是3x+4y=0，一个焦点是(4，0)的双曲线标准方程，并求双曲线的离心率.【解】 双曲线的渐近线方程可写成（λ≠0）

∵焦点在x轴上，∴λ＞0 把双曲线的方程写成x2x4y3=0,因此双曲线的方程可写成x216y29＝λ

16y29＝1

1625y2∵c＝４∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝故所求双曲线的标准方程为

x2 ＝1

2562514425∵a2=25625,即a=165，ca416554∴双曲线的离心率e=.【点评】 渐近线为对角线证明.xayb＝0的双曲线方程总是

xa22yb22＝λ（λ≠0），可利用矩形［例3］等轴双曲线的两个顶点分别为A1、A2，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于M、N两点.求证：

（1）∠MA1N＋∠MA2N＝180°；（2）MA1⊥A2N，MA2⊥A1N.【证明】（1）不妨设等轴双曲线的方程为设直线MN的方程为x=b(b>a)

xa22yb22＝1 如图8—7易求得

N(b,a2b2)

图8—7 b2∴tanNA1x＝a2ab2=

baba

tanNA2x＝ba2ba=

baba

∴tanNA1x＝21tanNA2x＝cotNA2x

＝tan（－∠NA2x）

又∠NA1x，∠NA2x均为锐角

圆锥曲线的简单应用 篇5

关键词：中职类比法圆锥曲线

一、中职圆锥曲线教学

中等职业教育课程改革国家规划新教材的基础模块，我们学习了圆的方程，在拓展模块教材中，又系统地学习椭圆、双曲线、抛物线，从动点轨迹的角度研究了椭圆、双曲线及抛物线，得到描述动点轨迹的方程，称之为二次方程，称这些曲线为二次曲线。早在古希腊的亚历山大时期，阿波罗尼奥斯总结了前任的成果，就建立了完美的圆锥曲线论，编著成书《圆锥曲线论》，书中将圆锥曲线的性质网络殆尽，证明了由同一个圆锥曲面可以截取到圆、椭圆、双曲线及抛物线等几种曲线。因此二次曲线又叫做圆锥曲线。

中职学生基础普遍差，基础知识参差不齐，接受能力、分析能力、思维能力偏低。而中职教材的数学概括性强、内容抽象，学生不易理解，学习起来也比较枯燥、乏味，一些学生有明显的厌学情绪，这直接影响着数学教学和学生素质的提高。

圆锥曲线的学习对概念的掌握和运用要求极高，如果能将一种研究思想或方法运用于圆锥曲线的教学中，既有利于教师的教，又有利于学生的学，那么将会达到事半功倍的效果。结合多年的教学实践并不断改进，本人总结出在圆锥曲线教学中运用类比法的一般过程，可以有效地帮助学生理解区分概念，掌握圆锥曲线相关知识，同时培养学生的创造性思维与提高创新能力。

二、类比法的界定和意义

类比法也叫比较类推法，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大。类比法的特点是“先比后推”。“比”是类比的基础，“比”既要“比共同点”也要“比不同点”。

哲学家康德说过“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往可以指引我们前进。”在数学的教学与研究中，类比法是进行合情推理的一种非常重要的思维方法。在我们分析问题解决问题的过程中，可以利用一个较简单的类比问题的解答方法或结果，去找到原问题的解决方法。可以说，类比法是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法。

三、类比法在中职圆锥曲线中的应用

（一）圆与椭圆的类比

在数学教材中，很多新知识都是在原有知识的基础上发展而来的，因而在新知识中多少都会带有旧知识的痕迹。椭圆新授课时，通过对圆的知识回忆，运用类比法给学生创造最佳思维环境，可以使学生猜想出椭圆的内容、结构、研究思想与方法，激发学习的积极性。

1.定义的类比

①取一条定长的细绳，把它两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时画出的轨迹是一个圆；

②如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

在探究这一过程中，让学生动手操作，画出轨迹，有的学生画出一条线段，有的画出椭圆，这时分析为什么会得到线段，是因为两定点的距离等于绳长。接着与圆的定义作类比，引导学生给出椭圆的定义，强调椭圆是平面内到两定点的距离之和等于常数，且这一常数要大于两定点的距离。

2.推导标准方程的类比

圆的标准方程是在其定义的基础上，运用两点间距离公式推导而来的，具体步骤有：

①找已知条件：圆心的坐标为C（a，b），半径为r；

②设点找关系：设M（x，y）为圆上的任意一点，则|MC|=r；

③列式计算：√（x-a）2+（y-b）2= r；

④整理化简：（x-a）2+（y-b）2 = r2。

这个方程就叫做以点C（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程。

掌握了椭圆的定义，分析建立平面直角坐标系，设焦距为2c，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a（2a>2c>0）， 得到

①找已知条件：焦点F1（- c，0），F2（ c，0）；

②设点找关系：设点M（x，y）是椭圆上的任意一点，则 |MF1| + |MF2| = 2a；

③列式计算：√（x+c）2+y2+√（x-c）2+y2 = 2a；

④整理化簡：（a2-c2）x2 + a2y2 = a2（a2-c2）；

⑤设量取简：从审美角度，结合a>c>0，设a2-c2= b2，则b2x2+a2y2=a2b2，从而得到椭圆的标准方程；

⑥强调关系：a、b、c的大小关系，a最大。

（二）椭圆与双曲线类比

1.定义的类比

取一条定长的细绳，在绳子的两头对称打两个结，把绳子的两端分别固定在图板的两点处，抓住其中一个结，套上一个小圆圈，圆圈里放一只铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？再取另外一个结，做同样的操作。

与椭圆的定义做类比，分析画图过程中的变量与定量，引导学生大致描叙出双曲线上点的特点，师生给出双曲线的定义，强调双曲线是平面内到两定点距离之差的绝对值等于常数，且这一常数要小于两定点的距离。

2.推导标准方程的类比

建立平面直角坐标系后，设焦距为2c，双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a（0<2a<2c）， 得到

①找已知条件：焦点坐标F1（- c，0），F2（ c，0）；

②设点找关系：设点M（x，y）是双曲线上的任意一点，则 |MF1| - |MF2| = 2a；

③列式计算：√（x+c）2+y2-√（x-c）2+y2= ±2a；

④整理化简：（c2- a2）x2 - a2y2=a2（c2- a2）；

⑤设量取简：因为c>a>0，类似可以设c2- a2= b2，则b2x2-a2y2=a2 b2，便得到双曲线的标准方程；

⑥强调关系：a、b、c的大小关系，c最大。

3.几何性质的类比

椭圆的几何性质包括了图形范围、对称性、顶点和离心率，充分运用代数计算基本知识，从椭圆的标准方程入手，逐一分析和探究，理清了标准方程中a、b、c的几何意义，以及离心率e的计算和对椭圆形状的影响。

伏安曲线及其应用 篇6

【摘 要】本文将对伏安特性曲线的分类、意义及作用进行分析，并对其在解题中的应用进行梳理和归纳，以培养学生学习这一专题时的自主学习能力。

【关键词】伏安曲线 类型 应用

一、引言

图线能形象地表达物理规律，能直观地描述物理过程，能鲜明地表示物理量之间的关系和变化趋势。伏安曲线同样具备这些特点。伏安图曲线是一种描述用电器两端的电压、电流关系的图线。近年来高考对该图线也不断考查，为了复习好这一知识点，现对这一曲线的类型及应用作以浅析。

二、伏安曲线的类型

伏安特性曲线通常称为I-U图线，伏安图线对应的物理规律是欧姆定律，即U=IR。在高中分为固定电阻的I-U图线（即线性元件的伏安线）、可变电阻（可调电阻，随温度变化的电阻，或半导体电阻）的I-U 图线和电源的I-U图线。

1.线性元件伏安图线

线性元件的伏安图线如图1所示，它的物理意义反映的是欧姆定律的内容，即I和U的正比关系，图线斜率的倒数表示导体的电阻，R=U/I，图线上每个点表示电阻的一个工作状态，每个点电压和电流的乘积U·I=P（阴影部分的面积）表示该状态下电阻的功率。

2.非线性元件伏安线

非线性元件的伏安图线如图2所示，它的物理意义反映 I跟U 的非正比关系，图线的斜率仅表示导体电阻的变化趋势而并不表示电阻，若求解电阻必用该点的坐标值来计算，即R=U/I。

3.电源的伏安图线

电源的伏安图线如图3所示，它的物理意义是反映电源的输出特性，纵轴截距为电源的电动势，横轴截距为电路短路电流，图线斜率的绝对值表示电源的内电阻（解题时注意纵坐标在坐标原点是否从零开始），图线上每个点表示电源的一个工作状态，每一个状态的电压和电流的积U·I=P（阴影部分的面积）表示该状态下电源的输出功率。

三、伏安图线的应用

1.用伏安图线中图线的斜率判断电阻的大小及变化

例1.（2011年河南十校联考题）两电阻R1、R2的电流I和电压U的关系图线如图4所示，可知两电阻的大小之比R1：R2等于（ ）

A.1：3 B.3：1

C.1： D.：1

解析：在I-U图象中斜率的倒数表示电阻，即tga=I/U=1/R所以R=1/tga=ctga R1：R2=ctg60。：ctg30。=1：3 故选A。

例2.（2012年河南豫东豫北联考题）一个标有“220V，60W”的白炽灯泡，两端电压由0增加到220V，在此过程中， 电压U和电流I的关系可用U-I图线表示，下列四个图中，符合实际的是：（ ）

解析：白炽灯泡是一纯电阻，它两端电压逐渐增大时，其温度也逐渐升高，它的电阻也随着增大，在伏安曲线上来看，就是其斜率逐渐增大，所以选B。

例3.（2013年河南重点中学二模考题）用伏安法测电源的电动势和内电阻的实验中，处理数据后在U-I图象中得到了两个电源的伏安图线，由图5可知（ ）

A.ε1>ε2 r1>r2 B.ε1<ε2 r1

C.ε1>ε2 r1r2

解析：在电源的伏安图线中，图线与U轴交点表示电流等于零时的路端电压，这时的路端电压等于电源的电动势ε，图线与I轴的交点表示短路电流，图线斜率表示电源内阻。即r=ε/I短。由此可知，选A。

2.利用伏安图线研究电源的输出功率、总功率及其关系

①在测电源的电动势和内电阻时，我们可以做出电源的伏安图线。如图6，图线上每个点表示电源的一个工作状态，这个状态的两个参量U和I的积表示电源的输出功率P出=U·I，如阴影部分I，每个状态的电流I与电源电动势ε的积表示电源的总功率P总=I·ε。如图阴影部分Ⅰ和Ⅱ的和，那么阴影部分Ⅱ就表示电源消耗的内功率。

②对于一个闭合电路在U-I图象中，同时做出电源和外电路的伏安图线。如图7，在此图中两线交点既表示电源的一个输出状态，又表示电阻的一个工作状态。当外电路电阻由小变大时，它们的交点就逐渐上移，电路电流I逐渐变小，电源总功率I·ε逐渐变小；内功率I·r 逐渐变小，输出功率I·U先变大后变小（两个数ε、I的和为定值，两个量数值相等时积最大），电源的效率U/ε则一直增大。

例题4.（2013年河北唐山联考题）如图8所示的电路中R1=R2=100Ω，是阻值不随温度变化的定值电阻，白纸灯泡的伏安特性曲线如图9所示，电源电动势E=100V，内阻不计。求：

①当开关S断开时灯泡两端的电压、通过灯泡的电流以及灯泡的实际电功率；

②当开关S闭合时灯泡两端的电压、通过灯泡的电流以及灯泡的实际电功率。

解题思路：由灯泡的伏安曲线可知，随着工作电压和电

流的不同，其阻值不同，因此需要找出接入电路时实际电压和电流的关系，并做出其伏安曲线，两种伏安曲线的交点即为实际工作电压和电流。

解析：①当S断开时，因是定值电阻与灯泡串联，设灯泡上电压为U，电流为I，根据闭合电路欧姆定律有：E=U+IR，代入数据得I=1-U/100。在I-U图线上做出这条直线，如图10所示，这条直线与灯泡的伏安特性曲线的交点为（40，0.60）。由此可知，此时流过灯泡的电流为0.6A，灯泡上的电压为40V，灯泡的实际功率P=24W。

②当S闭合时，设灯泡上电压为U，电流为I，根据闭合电路欧姆定律有E=U+（I+U/R2）R1，代入数据得I=1-U/50。在I-U图线上做出这条直线，如图10所示，这条直线与灯泡的伏安特性曲线的交点为（25，0.50）。由此可知，此时流过灯泡的电流为0.5A，灯泡上的电压为25V，灯泡的实际功率P=12.5W。

由此可知，伏安图线应用很广，上文对这一曲线的类型及应用进行了分析，希望学生在自主学习该专题时能够注意理解图线的含义，拓宽图线的应用范围，并能熟练掌握，灵活应用。

【参考文献】

[1]向国庆.伏安特性曲线的典型应用[J].中学物理教学参考，2009（Z1）.