圆锥曲线性质

圆锥曲线性质（精选12篇）

圆锥曲线性质 篇1

引言: 古希腊亚历山大时期的数学家阿波罗尼奥斯,就利用平面截取一个对顶的圆锥,根据在平面的不同位置,可分别得出双曲线、椭圆和抛物线; 当两个底面都与平面相交的时候,在圆锥的侧面就可得到双曲线; 当底面和平面都没有相交的时候,在圆锥的侧面得到的就是椭圆,特殊的时候就是与对顶圆锥底面平行的时候得到的就是圆; 而当平面与对顶圆锥一个底面相交的时候,在圆锥的侧面得到的就会是抛物线了.

圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆,通过直角坐标系,又与二次方程对应,所以,圆锥曲线又叫二次曲线. 圆锥曲线是几何学研究的重要课题之一,也是中学数学核心内容之一,解决几何题的方法是数形结合. 本文在此基础上简单的概括并分析圆锥曲线的性质,对其基本性质进行阐述,并探讨圆锥曲线的推广应用.

一、圆锥曲线的曲线方程

通过平切对顶圆锥得到的曲线,包括椭圆、圆、抛物线、 双曲线以及一些已经退化的曲线类型. 圆锥曲线又被称为圆锥截面,圆锥截痕以及二次曲线. 圆锥曲线的定义应用最为广泛的为: 一动点到一定点( 定点即焦点) 的距离与其到一条直线( 准线) 之间的距离的比为常数( 离心率) 的点的集合为圆锥曲线.

二、圆锥曲线的性质

1. 椭圆的性质

性质一: 椭圆具有对称性,在椭圆的标准方程中,以- x代替x,或者以- y代替y,或以- x,- y分别带入x,y,方程都不变,所以椭圆关于y轴和x轴以及原点都是对称的,坐标轴就是椭圆的对称轴,原点即是椭圆的对称中心. 椭圆的对称中心叫椭圆的中心.

性质二: 由于x轴、y轴都为椭圆的对称轴,则椭圆和它的对称轴就有了四个交点,并且这四个交点分别为椭圆的四个顶点. 若与x轴的两交点分别为A1,A2,与y轴的两个交点分别为B1,B2,那么A1A2,与y轴的两个交点分别为B1,B2,那么A1A2或B1B2就是椭圆的长轴或短轴. a、b叫做椭圆的长半轴或短半轴.

性质三: 离心率,为椭圆的焦距和长轴之间的比,就叫做椭圆的离心率.

2. 双曲线的性质

性质一: 双曲线具有对称性,并且每一个原点和坐标轴都是对称的. 因此坐标轴就是双曲线的对称轴,原点就是双曲线的对称中心. 并且双曲线的对称中心又可叫做双曲线的中心.

性质二: 双曲线的顶点,在一双曲线的标准方程中,假设y = 0,x = - a,所以双曲线与x轴就有两个交点,这两个交点都叫做双曲线顶点. 如果双曲线和y轴都没有交点,且与x轴交于A1( a,0) ,A2( - a,0) ,则令B1( 0,- b) ,B2( 0, - b) ,所以就有,线段A1A2称作双曲线的实轴,它的长就是2a,且a为双曲线的实半轴长; 线段B1B2为双曲线的虚轴, 其长就等于2b,且为双曲线的虚半轴长.

3. 抛物线的性质

性质一: 抛物线的顶点,即抛物线与抛物线的轴的交点称作抛物线的顶点,在方程y2= 2px( p > 0) 中,当y = 0时, x = 0,因此抛物线y2= 2px( p > 0) 的顶点就为坐标原点.

性质二: 抛物线具有对称性,如果以- y代替y,则方程y2= 2px( p > 0) 不变,则说明这条抛物线是关于x轴对称的, 所以我们就把抛物线的对称轴称作抛物线的轴.

性质三: 抛物线上的点M到它的焦点的距离和到准线的距离的比,称为抛物线的离心率,以e来表示,由抛物线的定义可得,e = 1

三、圆锥曲线的推广及应用

1. 抛物线的应用: 灯泡与手电筒

一只灯泡散出的光,会以灯光为点形成球星射出,然而,灯泡装到手电筒里以后适当的调节,就能射出一束很强的平行光线. 这是因为手电筒里的小灯泡后有一面反光镜, 这面反光镜的镜面的形状是利用抛物线的原理,即绕着它的轴旋转而得到的一个曲面,这个面就是抛物面. 经证明, 抛物面有一重要的性质,即从焦点射发出的光线,在经抛物面反射后,其反射光线就会平行于抛物线的对称轴. 探照灯就是利用这个原理而设计制造的.

2. 椭圆的应用: 罐车的截面

在容器相同的前提下,圆柱形的容器表面积是最小的, 也就是说,制作容器所使用的材料最少. 另一方面,容器装进物品,特别是液体之后,对罐内壁各部分的作用力大小也比较均匀,并且在高度和宽度( 即车的允许高度和宽度) 都被限制的情况下,其横截面做成椭圆形可以达到节省材料和保证容积的要求. 并且,利用了有限的空间,也同时保证了罐体的稳定性.

3. 双曲线的应用: 火电厂及核电站的冷却塔

冷却塔从底部到中部直径变小,是将蒸汽抽到塔内,防止底部逸出. 然而,上部直径变大,可以降低热气上升到顶部的流动速度,从而降低抽力,因此使蒸汽尽可能的留在塔内,进而提高冷却回收率.

总而言之,圆锥曲线不仅仅是中学数学学科当中的一项重点知识,而且在生活中也有着非常普遍而广泛的应用. 数形结合的思想在圆锥曲线的学习中应用得非常广泛,所以这就要求对椭圆、双曲线以及抛物线的性质把握非常准确而且灵活. 了解了圆锥曲线的几个基本性质之后,对其在生活中的推广应用也会有很大的帮助.

圆锥曲线性质 篇2

【学习障碍】 1．理解障碍

(1)关于双曲线对称性的理解

把双曲线方程中的y换为－y，方程不变，说明双曲线关于x轴对称．其原因是设(x，y)为双曲线上的一点，y换为－y方程不变，说明(x，－y)也在此双曲线上，由于点(x，y)，(x，－y)关于x轴对称，故整个双曲线关于x轴对称．

同理，分别用(－x，y)及(－x，－y)代换方程中的(x，y)，方程都不改变，这说明双曲线关于y轴、原点都是对称的，因此坐标轴为对称轴，对称中心为原点．(2)关于对双曲线渐近线的理解

xyxyx2y2除按课本上的证明方法外，渐近线还可以这样理解：双曲线(H)2－2＝1方程即(＋)(－)

ababab＝1，当双曲线上点P(x，y)在第一、三象限且远离原点时，|在二、四象限远离原点时，|

xyxy＋|→＋∞，此时－→0，当点P(x，y)ababxyxy－|→＋∞，此时＋→0；这些表明双曲线(H)上位于一、三象限的点远ababxyxy离原点时，双曲线越来越靠近直线－＝0，位于二、四象限的点远离原点时，双曲线越来越靠近＋

ababxyxy＝0，因此把直线＋＝0与－＝0叫做双曲线(H)的渐近线．

abab(3)关于对离心率e的理解

cbba2b2b由于e＝＝=1，e越大，渐近线y＝x的斜率就越大，这时渐近线y＝－x到yaaaaa＝

2bx的角就越大，从而双曲线开口就越阔，反之，e越小，双曲线开口就越窄． a2．解题障碍

(1)双曲线焦点位置的判定

双曲线的焦点位置除题目直接告诉外，还可根据顶点位置．实轴(虚轴)、准线位置等判定，另外也可根据点在渐近线的上方还是下方来确定．(2)双曲线方程的几种变形

x2y2x2y2以双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)为例，如果将右边的常数1换为0，即2－2＝0就是其渐近线方ababx2y2程，但反过来就不正确．如果将常数1换为－1，即2－2＝－1为其共轭双曲线方程，如果将常数1换为

abλ(λ≠0)，即为与原双曲线有共同渐近线的双曲线系方程，注意它们的应用．另外，以直线

ax±by＝0为渐近线的双曲线系为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线的几个重要性质

渐近线为y＝±x，离心率e＝2均是双曲线为等轴双曲线的充要条件，掌握这些性质可以很好地解决解题思路．

【学习策略】 1．待定系数法

根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式，善于利用双曲线的对称性简化作图步骤和减少运算量．这一点正体现双曲线的几何性质的应用．综上可简记为：“巧设方程立好系，待定系数求a、b；结合图形用性质，避免繁琐用定义． 2．定义法

与焦点有关的距离，通过定义转化往往收到事半功倍的效果． 3．利用双曲线系 利用具有共同渐近线或共焦点的双曲线系求双曲线方程往往要比用其他方法简单易行，另外，已知两渐近线方程，也应能写出对应的双曲线系． 【例题分析】

［例1］已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4，3)，求双曲线的标准方程．

策略：思路一：已知渐近线方程，即知道a与b的比，可用a、b中的一个未知数表示出双曲线的标准方程，但要判断点P的位置，才能确定双曲线方程的类型，再由点P在双曲线上，用待定系数法求出该双曲线的方程．思路二：已知渐近线方程可用双曲线系写出标准方程，再把P点坐标代入方程可求出参数λ，从而求出双曲线方程．

1x，2a1当x＝4时，y＝2＜yP＝3 ∴焦点在y轴上，即＝，设a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．

b2解法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0即y＝x2y2∴双曲线方程为－22＝1 4kk∵P(4，3)在双曲线上，∴－169

2＝1，∴k＝5 224kkx2y2∴a＝5，b＝20 ∴所求双曲线方程为－＝1 20522

xx2解法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即－y＝0 ∴双曲线的渐近线方程为－y2＝0．

24x2∴可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)

∵双曲线经过点P(4，3)

442∴－32＝λ，λ＝－5 4x2x2y22

∴所求的双曲线方程为－y＝－5，即－＝1．

4205评注：由已知条件求双曲线方程时，首先要确定其定位条件，即要确定焦点在哪个坐标轴上，再根据其他条件确定其定形条件，即a、b的值．在定位时，一般把已知点横坐标xP代入渐近线所得的y值与yP比较可知P点在渐近线上方或下方，由此确定焦点的位置．解法二利用了共渐近线的双曲线系，避免了对

22xy双曲线方程类型的讨论，简化了解题过程，在共渐近线的双曲线系方程2－2＝λ(λ≠0，λ为参数)ab中，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．

x2y25［例2］已知双曲线的离心率e＝，且与椭圆＝1有共同焦点，求该双曲线的标准方程． 1332策略：可先求出椭圆的焦点即双曲线的焦点，由离心率可得出a进而求出b，可得双曲线方程．

解法一：椭圆中：a2＝13，b2＝3 ∴c＝133＝10，焦点F(±10，0)在x轴上，∴双曲线的焦点也在x轴上，且c＝10． 由e＝5105得＝ 2a2∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．

x2y2∴所求双曲线方程为＝1． 82x2y2解法二：设与椭圆共焦点的双曲线方程为＝1(3＜k＜13)13k3kx2y2即＝1，13kk3∴a＝13k，c＝10

∴离心率e＝c10＝，a13k即510＝解得k＝5．

213kx2y2∴所求双曲线方程为＝1． 8222xy评注：解法二用了共焦点的圆锥曲线系方程，简化了解题过程，一般地与椭圆2+2＝1共焦点的圆锥曲线ab22xy系方程为2+2＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．当k＜b2时，方程表示椭圆，当b2＜k＜a2时，方程akbk表示双曲线．

［例3］已知中心在原点的双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，渐近线方程为3x±4y＝0，求此双曲线的共轭双曲线的方程．

策略：由已知渐近线的方程可得出a、b间的关系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出双曲线方程，也可用双曲线系方程求解．

解法一：∵渐近线方程为3x±4y＝0，即y＝±∵焦点F(±5，0)在x轴上，∴

3x． 4b3＝，设a＝4k，b＝3k，而已知c＝5，a4由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1 ∴a2＝16，b2＝9 x2y2x2y2∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为－＝1． 169169解法二：∵双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线系方程为9x2－16y2＝λ(λ＞0)． 即x29y216＝1

∴a2＝，b2＝，c＝5 ∴＋＝25 916916∴λ＝9³16

x2y2y2x2＝1． ∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为169169评注：利用双曲线系方程，可以简化运算．渐近线方程为ax±by＝0的双曲线系方程为a2x2－b2y2＝λ(λ＞0时焦点在x轴上，λ＜0时焦点在y轴上)．

策略：要证PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是证明两直线斜率之积为－1，这需要先求出点P的坐标(x0，y0)或x02与y02，但计算相当麻烦，再一个方法是用勾股定理，这需要先求出|PF1|与|PF2|，可以考虑用双曲线的两个定义解决．

解法一：设点P的横坐标为x0，当点P在双曲线的右支上时，根据双曲线第二定义得|PF1|＝e(x0＋a)＝ex0＋a(F1为左焦点)，c2a|PF2|＝e(x0－)＝ex0－a(F2为右焦点)． c2∴|PF1|＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2． ∵|PF1|²|PF2|＝32

∴e2x02－a2＝32

∴e2x02＝32＋a2

∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100 又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝4³(9＋16)＝100，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2

∴同理，当点P在双曲线左支上时，仍可得PF1⊥PF2．

解法二：∵点P在双曲线上，依据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6 ∴(|PF1|－|PF2|)2＝36 又∵|PF1|²|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2³32＝100 又|F1F2|2＝4c2＝100． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2

∴PF1⊥PF2．

评注：双曲线的定义不仅是推导双曲线方程的依据，也是解题的常用方法，用这一方法可以解决有关双曲线的焦点、准线等许多问题．

［例5］某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如图8—4—1所示)

2x2y2 ＝1的两个焦点点P在双曲线上，且|PF|²|PF|＝32，求证PF⊥PF．［例4］已知F1、F2是双曲线1212 916|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．

策略：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：(1)沿AP到P较近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同样近．显然第三类点是第一、第二类点的分界．

解：设M是分界线上的任意一点，则有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50，所以第三类点M满足性质：点M到定点A与定点B的距离之差等于常数50，符合双曲线的定义，所以M点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，所以问题转化为求双曲线的方程． 在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|²|PB|²cos60°＝1002＋1502－2³100³150²1＝17500

2∴以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，则界线是双曲线孤

x2y2＝1(x≥25)6253750所以运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省．

评注：本题通过建立直角坐标系,利用点的集合的性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)，从而确定最优化区域． ［例6］(2000年²全国高考)如图8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E满足|AE|＝λ|EC|，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当

32≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

策略：设出双曲线方程，由E、C坐标适合方程，找出各字母之间的联系，特别是e同λ的关系求之． 解：如图8—4—2，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(－c，0)，C(c1，h)，E(x0，y0)，其中c＝|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝22x2y2chc(2)cλ(－x0，h－y0)得：x0＝，y0＝．设双曲线方程为2－2＝1，则离心率e＝，21aab2(1)由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e＝e2h221①4b 2222he21②411b22he由①式得21 ③ b4c代入双曲线的方程得： a3e2将③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－2．

e2433322依题设≤λ≤得：≤1－2≤，4e2433解得7≤ e ≤10

所以，双曲线的离心率的取值范围为［7，10］． 评注：解本题关键找出离心率e与λ的关系，对于λ＝1－

312

32，也可整理为e＝＝－2，再用2e211观察法求得7≤ e ≤10．该题对考查学生思维能力、运算推理能力、综合运用数学知识等能力都有较高要求，作为高考题可谓当之无愧．

x2y2［例7］设双曲线2－2＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距ab离为3c，求双曲线的离心率。4解析：由直线的截距式方程和直线l的方程为：

xy＝1，即bx＋ay－ab＝0． ab由点到直线的距离公式得：aba2b23c． 43

432c，∴a2b2＝c

164又由双曲线方程知：b2＋a2＝c2

∴ab＝∴a2(c2－a2)＝ 344c，∴3e4－16e2＋16＝0

∴e2＝4或e2＝ 1634c2a2b2b221又02 ∴e＝舍去 223aaa2∴e2＝4，∴e＝2．

【同步达纲练习】

1．下列各对双曲线中，离心率与渐近线都相同的是（）

A．－＝1和－＝1 B．－＝1和＝1 C．－＝1和－＝1 D． －＝1或＝1 2．双曲线－＝1的两条渐近线所夹锐角的正切值是（）

3．A．

B．2

C．

D．

3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．2

B．

C．

D．

4．点P为双曲线－y2＝1右支上一点(非顶点)，F1、F2是该双曲线的焦点，则△F1PF2的内心在（）

A．直线x＝2上 B．直线x＝1上 C．直线y＝2x上 D．直线y＝x上

5．设连接双曲线－＝1与－＝1的四个顶点的四边形的面积是S1，连结其四个焦点的面积为S2，则的最大值是（）

A．

B．

C．1

D．2 6．过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1为左焦点且∠PF1Q＝___________．，则双曲线的离心率是7．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为___________．

8．双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且过点P(3，－)，则它的标准方程是___________．

9．若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，则双曲线的离心率为___________． 10．已知中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上的等轴双曲线经过点(4，－)．

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)对于(2)中的点M，求△F1MF2的面积．

11．已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆x2＋y2＝17相交于点A(4，－1)，若圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求这双曲线方程．

12．在一次模拟军事演习中，A、B、C是我军三个炮兵阵地．在指挥作战图的坐标平面上，由数据给出：A在指挥中心O的正东3 km，B在O的正西3 km，C在B的北偏西30°，相距4 km，P为敌军阵地(如图8—4—3)．某时刻，A处发现了敌军阵地P的某种信号，设该信号传播速度为1 km/s，由于B、C两地比A地距P地远，因此4秒钟后，B、C才同时发现信号，于是A处准备炮击P处，求A处炮击的方向角θ(即东偏北多少度)．

参考答案

【同步达纲练习】

1．解析：(用排除法)选项A和B中的两个方程所表示的双曲线渐近线不同，故排除A和B，而C中的两个方程所表示的双曲线渐近线相同而离心率不同，所以也排除C，因此选D．

答案：D 2．解析：双曲线＝1的两条渐近线方程为y＝±x，设两渐近线的夹角为θ，于是有：tanθ＝答案：B ．

3．解析：双曲线∴a2＝b2．

∴c2＝a2＋b2＝2a2，＝1两渐近线方程为y＝±x，又由题设知：－²＝－1，∴e2＝＝2，∴e＝．

答案：C 4．解析：设双曲线的右顶点为N，△F1PF2的内切圆切双曲线的实轴于T，由双曲线的定义知：|PF1|－|PF2|＝4，由平面几何知识得：|F1T|－|F2T|＝4．

又|F1T|＋|F2T|＝2c＝2，∴|F2T|＝

－2．

∴|OT|＝2 又右顶点N(2，0)，∴T与N重合，由圆的切线的性质定理知，△F1PF2的内切圆的圆心必在直线x＝2上． 答案：A 5．解析：由题设知双曲线＝1的焦点坐标为：(±，0)，顶点坐标为

(±a，0)，双曲线＝1的焦点坐标为(0，±)，顶点坐标为(0，±b)． 则S1＝²|2a|²|2b|＝2|ab|，S2＝

³（2)2＝2(a2＋b2)∴答案：B

．

6．解析：设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，焦距2c，|PQ|＝，又知△PF1F2是等腰直角三角形，则2c＝，∴2ca＝c2－a2

∴∴e＝1±答案：－1＝0，即e2－2e－1＝0，又e>1，∴＋1

舍去∴e＝

＋1．

7．解析：由＝1知其焦点坐标为(±3，0)，顶点为(±，0)，设所求椭圆方

程为＝1(a>b>0)，则：a2＝9，b2＝32－()2＝4，∴＝1．

答案：＝1 8．解析：设所求双曲线方程为

－y2＝λ(λ≠0)，把(3，－)代入得λ＝2，故方程为＝1．

答案：＝1 9．解析：离心率e＝，由于渐近线方程为y＝±x，当双曲线焦点在x轴时，当双曲线焦点在y轴时，故e为或．

答案：或 10．解：(1)设所求双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)则有42－(－∴λ＝6)2＝λ，∴所求双曲线方程为＝1．

(2)将点M(3，m)代入双曲线方程得：∴m2＝3，∴M(3，±)，0)，F2(2

＝1，又由双曲线方程知F1(－2，0)∴＝＝－1 ∴MF1⊥MF2．

(3)由MF1⊥MF2知∠F1MF2＝90°

∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2 ① 又||MF1|－|MF2||＝2 ②

①－②2得：2|MF1|²|MF2|＝|F1F2|2－24＝4³12－24＝24 ∴＝|MF1|²|MF2|＝6．

11．解：当所求双曲线的焦点在x轴上时，方程为＝1(a>0，b>0)，渐近线方程为y＝±x，由已知条件知：双曲线过点A(4，－1)，则有＝1 ①

又∵圆x2＋y2＝17在A(4，－1)的切线方程为4x－y＝17，由题意知

＝4 ②

解由①②组成的方程组得：a2＝，b2＝255．

∴当焦点在x轴上时，双曲线方程为： ＝1．

当焦点在y轴上时，双曲线方程为1 ③

＝1(a>0，b>0)．由题设知过点A(4，－1)，则有＝而双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，∴＝4 ④

由③④知：a、b不存在，故焦点不可能在y轴上．

因此所求双曲线方程为＝1．)12．解：由题意知：A(3，0)、B(－3，0)、C(－5，2由已知：|PB|－|PA|＝4，即P点在以B、A为焦点的以4为实轴长的双曲线的右支上，设其方程为＝1(a>0，b>0，x>0)由2a＝4，2c＝6，得b2＝5 ∴P点在双曲线＝1(x>0)上．

又|PB|＝|PC|，知P点在线段BC的垂直平分线l上．

∵kBC＝，∴kl＝，又BC中点(－4，)∴l的方程为y－＝(x＋4)，即点P在直线y＝(x＋7)上．

圆锥曲线性质 篇3

关键词：圆锥曲线；三角形；简化；垂直；数形结合；垂直

圆锥曲线问题一直是近几年高考的重点、难点，也因为圆锥曲线的参数多、计算难、化简繁杂，而让许多学生望而却步.充分利用圆锥曲线的几何性质对于简化计算、减少参数提供了简便和快捷.本文试着从圆锥曲线内直角三角形的一个性质浅谈对解题的简化.

下面先介绍两个引理.

引理1 椭圆+=1上任意取两点P，Q，满足∠POQ为直角，则+为常数.

这个引理可以通过直接设椭圆上的两点，利用三角函数公式得出结论.

证明：如图1∠xOQ=α，则由题意知∠xOP=α+，设Q（OQcosα，OQ·sinα），POPcosα+，OPsinα+，即P（－OPsinα，OPcosα）.

代入椭圆方程得

OQ?摇2cos2αa2+OQ?摇2sin2αb2=1，OP?摇2sin2αa2+OP2cos2αb2=1， ?圯+=OQ2，+=OP2，

两式相加得+=+.

该性质也可以在双曲线中得到推证.

引理2 双曲线-=1（0

这两个定理在解决圆锥曲线题中可以直接发挥优势作用.

例1 （09年全国联赛一试）椭圆+=1（a>b>0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，（O为坐标原点）则乘积OP·OQ的最小值为________.

分析：本题考察圆锥曲线上两个动点与坐标原点的性质. 如果从设P，Q两点入手，直接去求乘积OP·OQ，显然变量较多，关系复杂，不容易求得结果.如果直接从定理入手解题就较为直接.

解答：设P（OPcosθ，OPsinθ），QOQcosθ±?摇，OQsinθ±?摇．

由P，Q在椭圆上得=+①，=+②.

①+②得+=+．

利用基本不等式可得，

当OP=OQ=时，

OP·OQ达到最小值.

例2 椭圆+=1上任意取两点A，B，使得OA⊥OB，求原点O到直线AB 的距离.

分析：本题若直接设直线，则计算量会较大. 如果从本文性质入手，就会使得解题明朗、简洁.

解：由以上结论可以直接得+=+.

而+=，又设原点O到直线AB的距离为h，

利用三角形OAB面积相等得OA·OB=h·AB?圯h=，

所以=+，

解得h=.

本例解法也适用于双曲线.在双曲线与直线相交于A，B和坐标原点构成直角三角形的题目中，巧妙利用性质，对解题有着决定性的作用.

例3 双曲线－=1（a，b>0）与直线x+y=1交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）.

（1）?摇求-的值；

（2）若双曲线的离心率e满足≤e≤，求双曲线实轴的取值范围.

解：（1）由以上结论结合题意可得+=－，而

+==，其中h为原点到直线x+y=1的距离.

又易得原点O到直线的距离等于，

所以－==2.

（2）由（1）得－=2，

又由≤e≤易得1≤≤2，联立求解得0≤a≤.

所以双曲线实轴长范围为［0，1］.

圆锥曲线的光学性质及其应用 篇4

圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质, 因而为正确理解与掌握其光学性质, 就要掌握其切线、法线方程的求法及性质.

设P (x0, y0) 为圆锥曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (A、B、C不同时为零) 上一定点, 则在该点处的切线方程为:undefined. (该方程与已知曲线方程本身相比, 得到的规律就是通常所说的“替换法则”, 可直接用此法则写出切线方程) .

该方程的推导, 原则上用“Δ法”求出在点P处的切线斜率k=f (x0, y0) , 进而用点斜式写出切线方程y-y0=f (x0, y0) (x-x0) , 则在点P处的法线方程为undefined

1.抛物线的切线、法线性质

经过抛物线y2=2px (p>0) 上一点作一条直线平行于抛物线的轴, 那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角.如图1中α1=α2.

事实上, 设M (x0, y0) 为抛物线y2=2px上一点, 则切线MT的方程可由替换法则, 得undefined, 即y0y=p (x+x0) , 斜率为undefined, 于是得在点M处的法线方程为

undefined

令y=0, 得法线与x轴的交点N的坐标为 (x0+p, 0) ,

所以undefined

又焦半径undefined

所以|FN|=|FM|, 从而得α1=α3=α2, 即α1=α2.

当点M与顶点O重合时, 法线为x轴, 结论仍成立.

所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角.

也可以利用点M处的切线方程求出

T (-x0, 0) , 则undefined, 又undefined, 故|FT|=|FM|⇒∠1=∠2=∠3, 从而得α1=α2.

也可以利用到角公式来证明α1=α2.

抛物线的这个性质的光学意义是:“从焦点发出的光线, 经过抛物线上的一点反射后, 反射光线平行于抛物线的轴”.

2.椭圆的切线、法线性质

经过椭圆上一点的法线, 平分这一点的两条焦点半径的夹角.如图2中α1=α2.

证明也不难, 分别求出kPF1、kPN、kPF1、kPF2, 然后用到角公式即可获证.

椭圆的这个性质的光学意义是:“从椭圆的一个焦点发出的光线, 经过椭圆反射后, 反射光线交于椭圆的另一个焦点上”.

3.双曲线的切线、法线性质

经过双曲线上一点的切线, 平分这一点的两条焦点半径的夹角, 如图3中α1=α2.仍可利用到角公式获证.

这个性质的光学意义是:“从双曲线的一个焦点发出的光线, 经过双曲线反射后, 反射光线是散开的, 它们就好像是从另一个焦点射出的一样”.

二、圆锥曲线光学性质的应用

光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用.这里仅举例说明这些光学性质在解圆锥曲线的有关问题中的应用.

应用圆锥曲线光学性质解题, 特别是切线问题是十分方便的.其间要注意一个基本关系式的应用, 即“过投射点的曲线的切线与入射线、反射线成等角”.如图4, MN切曲线C于点P, 则∠APM=∠BPN.这是很容易由物理学的“入射角等于反射角”及平面几何中“等角的余角相等来证明的.

例1 求证:椭圆undefined和双曲线

undefined在交点处的切线互相垂直.

分析:如图5, 用圆锥曲线光学 性质证得∠1+∠3=90°即可.

证明:如图5, 两曲线的公共焦点F1 (-4, 0) 、F2 (4, 0) , 设P为两曲线的一个交点, PQ、PR分别为椭圆、双曲线的切线, 连F1P、F2P, 并延长F1P, 由椭圆光学性质, 推得∠1=∠2;由双曲线光学性质, 得∠3=∠4.

又∠2=∠5, ∠4=∠6 (对顶角相等) ,

所以∠1=∠5, ∠3=∠6 (等量代换) .

又∠1+∠3+∠5+∠6=180°,

所以∠1+∠3=90°, 即PQ⊥PR, 命题得证.

评注: (1) 本题也可采用代数运算证出kPQ·kPR=-1的方法来证明, 但比较复杂.这里采用光学性质证明法则直观简捷. (2) 由本题得到一个一般性命题:焦点相同的一个椭圆与一双曲线在交点处的切线互相垂直, 于是有定义:两圆锥曲线在交点处的两条切线互相垂直, 叫做这两曲直交.

例2 如图6, 已知F1、F2是椭圆undefined的焦点, P1、P2 分别是F1、F2在椭圆任一切线CD上的射影. (1) 求证|F1P1|·|F2P2|为定值; (2) 求P1、P2的轨迹方程.

分析: (1) 欲证|F1P1|·|F2P2|为定值, 即证|F1Q|sinα·|F2Q|sinα为定值 (由光学性质推得∠F1QP1=∠F2QP2=α) , 从而知应用余弦定理于△F1QF2即可获证.) (2) 求出

|OP1|、|OP2|分别为定值即知其轨迹, 易得轨迹方程.

证明: (1) 设Q为切线, 由椭圆光学性质推知∠F1QP1=∠F2QP2设为α, 则|F1P1|=

|F1Q|sinα, |F2P2|=|F2Q|sinα.

所以|F1P1|·|F2P2|=|F1Q|·|F2Q|sin2α.

又∠F1QF2=180°-2α, 则在△F1QF2中,

|F1F2|2=|F1Q|2+|F2Q|2-2|F1Q|·

|F2Q|cos (180°-2α)

= (|F1Q|+|F2Q|2) -2|F1Q|·

|F2Q| (1-cos2α)

= (2a) 2-2|F1Q|·|F2Q|·[1- (1-2sin2α) ]

=4a2-4|F1Q|·|F2Q|sin2α

=4a2-4|F1P1|·|F2P2|,

则4|F1P1|·|F2P2|=4a2-|F1F2|2=4a2-4c2=4b2.

所以|F1P|·|F2P1|=b2为常数, 即定值.

(2) 设点O在CD上的射影为M, 则OM是直角梯形F1F2P2P1的中位线, 于是有undefined

undefined

|F2P2|2] (F2N⊥F1P1于N)

undefined

(由 (1) 知|F1P1|·|F2P2|=b2)

=a2.

同理|OP2|2=a2.

所以P1、P2的轨迹是以O为圆心, a为半径的圆, 其方程为x2+y2=a2.

例3 设抛物线y2=16x的焦点为F, 以F与A (4, 4) 为焦点作椭圆, 使其与已知抛物线有公共点 (如图7) , 当长轴最短时, 求椭圆方程.

分析:求解的关键是光线FP的反射线PA平行于x轴.

解:设以点A (4, 4) 、F (4, 0) 为焦点的椭圆为

undefined为长半轴长) . ①

再设P为抛物线与椭圆的公共点,

由椭圆第一定义知:

|PA|+|PF|=2a. ②

即长轴长2a等于抛物线上一点P到两定点A、F距离之和, 若2a最小, 当且仅当椭圆与抛物线相切.此时, 由圆锥曲线的光学性质知, 光线FP的反射线PA平行于x轴.

所以P (1, 4) .由②知amin=4,

所以所求的椭圆方程为undefined

例4 如图8, 已知探照灯的轴截面是抛物线y2=x, 平行于对称轴y=0的光线于此抛物线上的入射点、反射点分别为P、Q, 设点P的纵坐标为a (a>0) , 当a为何值时, 从入射点P到反射点Q的路程PQ最短?

分析:设P (a2, a) , 由抛物线光学性质知PQ过焦点undefined, 故可用弦长公式建立目标函数|PQ|=f (a) , 求出最小值条件a即可.

解:由抛物线光学性质知光线PQ必过其焦点undefined, 设点P (a2, a) , 则直线PQ的方程为

undefined

将方程y2=x代入①, 消去x, 得

undefined或y=0.

故知点Q坐标为undefined

则undefined

当且仅当undefined, 即undefined时, 等号成立.

双曲线的几何性质习题3 篇5

a2b22A.ya  B.yb2

a2b2a2b222 C.xa D.ya

a2b2a2b22.双曲线x2y2）

971的焦点到准线的距离是（A.74 B.254 C.74或

254 D.234或

3.中心在坐标原点，离心率为5的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（3A.y=±544x B.y=±

 C.y=±

4 D.y=±

353x4x

4.双曲线的渐近线方程为y=±34x,则双曲线的离心率为（）

A.5 B.5532 C.2或

153 D.5或

534

参考答案：

圆锥曲线性质 篇6

关键词：圆锥曲线；焦半径；性质

圆锥曲线有许多优美的统一性质，比如统一定义；统一极坐标方程：ρ=；横（纵）向型圆锥曲线的统一焦点弦长公式：AB=（AB=）（对双曲线为同支焦点弦）…等等. 这些统一性质不仅体现了椭圆、双曲线、抛物线“本是同根生”的紧密联系，展示了圆锥曲线内在的“统一美”，而且其本身也具有很高的应用价值. 作为教师，若能与学生一起进行探究、推导和应用，则不仅能拓宽学生的知识面，加深学生对圆锥曲线所学知识的理解，同时还能引发学生对圆锥曲线的好奇心和自主探究意识. 本文探寻圆锥曲线的一个共线焦半径性质，并把它统一成用通径表达的形式，再例谈它的应用，以供参考.

性质的发现

发现之旅源于对如下的一个学生提问的思考：

题目：已知椭圆+=1（a>b>0），过焦点F倾斜角为α的直线l交椭圆于A，B两点，求证：+为一个与α无关的常数.

分析：这是椭圆中的一个普通问题，也是椭圆的一个基本的性质，它的证明可以采用普通方法，也可以用极坐标法解决.

证明一：设A（x1，y1），B（x2，y2），F（－c，0）为左焦点，当α≠90°时，设直线l的方程为：y=k（x+c），联立椭圆方程并消去y得，（b2+a2k2）x2+2a2k2cx+a2（k2c2－b2）=0，由韦达定理x1+x2=，x1x2=. 由焦半径公式可得+=+=，其中e=，代人并化简得+==2·-1，为常数；当α=90°时，+=+=2-1. 综上，对任意的倾斜角α，+=2·-1，为定值.

证明二：以椭圆左焦点为极点，x轴正向为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=（其中e为离心率，p为焦点到相应准线的距离），设A（ρ1，α），B（ρ2，π+α），则+=+=+=，其中ep=，所以+==2-1，为定值.

评注：在处理焦点弦问题中，极坐标法具有明显的优势，它能化难为易，变繁为简.另外，本题的证明还可用直线参数方程法和几何法等，在此不再赘述.

探究：题目已经证完了，但我们不能就此停下脚步. 上述证明表明，椭圆中两共线焦半径的倒数之和为常数，由此引发我们联想：双曲线和抛物线中是否也有同样性质呢？即把上述题目中的椭圆+=1（a>b>0）改成双曲线－=1（a>0，b>0）和抛物线y2=2px后，+是否仍为常数呢？回答是肯定的，由于椭圆、双曲线和抛物线在一定坐标系条件（椭圆的左焦点，或双曲线的右焦点，或开口方向为x轴正向的抛物线的焦点为极点，x轴正向为极轴）下具有统一极坐标方程ρ=，根据证明可知，在双曲线和抛物线中+仍为. 由此我们发现：圆锥曲线（同支）共线焦半径的倒数之和为常数，即+=. 但这种常数的形式在普通方程中并没出现过，学生不太容易接受. 于是我们就想，能否把它表示地更一般些呢？这ep究竟是一个怎样的量呢？由e，p的几何意义我们知道，在椭圆中e=，p=－c=，即ep=；在双曲线中e=，p=c－=，同样有ep=；在抛物线中e=1，故ep=p.为什么椭圆和双曲线中的结果都与有关，而抛物线中只与p有关，同样都是圆锥曲线，这两者之间会不会有某种联系呢？通过对圆锥曲线的仔细分析，发现：即为椭圆和双曲线通径长的一半，那么p不也就是抛物线通径长的一半吗？于是发现：ep为圆锥曲线通径长的一半.若设通径长为m，即有ep=，则+即可统一写成=. 受此启发，本文开头所提到的圆锥曲线统一焦点弦长公式：AB=（AB=）即可写成：AB=（AB=）. 于是得到了圆锥曲线共线焦半径的如下：

性质：已知横（纵）向型圆锥曲线的通径长为m，AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，则（1）+=； （2）AB=（AB=）（上述的同支只针对双曲线）.

评注：因为学生对通径相对要熟悉一些，所以这种表示的形式更容易被学生理解和记忆.

性质的引申

由于AB=AF+BF，联立上述（1），（2）可以求出，经过归纳得到有如下结论：

引申1 设F为椭圆的左焦点（或双曲线的右焦点，或开口方向为x轴正向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.

引申2 设F为椭圆的右焦点（或双曲线的左焦点，或开口方向为x轴负向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.

引申3 设F为椭圆的下焦点（或双曲线的上焦点，或开口方向为y轴正向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.

引申4 设F为椭圆的上焦点（或双曲线的下焦点，或开口方向为y轴负向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.

性质的应用

有了上述的性质和引申，就可以方便地解决有关共线焦点弦问题，如：

例1 已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若AF=3，则BF=________.

解：由性质1：因为+=，将AF=3，m=2p=4代人，即得BF=.

例2 （2010年重庆理）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为________.

解：由抛物线定义知，弦AB的中点到准线的距离等于焦点弦长的一半，由引申1知3=，即cosα=，所以AB===，从而弦AB的中点到准线的距离为.

例3 （2010全国卷Ⅱ理）已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A，B两点． 若=3，则k=（ ）

A. 1B.

C. D. 2

解：由引申2知，=，即得cosα=，所以斜率k=tanα=. 故选B.

评注：本文得出的相关结论能有效地解决一类共线焦点弦问题，可在选择题和填空题中直接使用. 此外，本文探究中运用了类比的方法，它是数学学习中的重要方法，也是培养学生创新意识的重要途径，应该予以重视.

同型演练

1. （2009年全国Ⅱ理）已知双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，若=4，则C的离心率为（ ）

A. B.

C. D.

2. （2010年全国卷Ⅰ文）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且=2，则C的离心率为________.

3. （2010年辽宁理）设椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，=2.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）如果AB=，求椭圆C的方程.

再探圆锥曲线的一个性质 篇7

一、原性质

定理Ⅰ动直线l与抛物线y2=2px (pφ0) 相交于M、N两点, 过点M、N分别引抛物线的两条切线, 则这两条切线的交点在定直线上的充要条件是动直线l过定点A (-m, 0) 。

定理Ⅱ动直线l与椭圆相交于M、N两点, 过点M、N分别引椭圆的两条切线, 则这两条切线的交点在定直线上的充要条件是动直线l过定点A。

定理Ⅲ动直线l与双曲线相交于M、N两点, 过点M、N分别引双曲线的两条切线, 则这两条切线的交点在定直线上的充要条件是动直线l过定点。

二、推广

如果把定理Ⅰ中的定理A (-m, 0) 与定理Ⅱ、Ⅲ中的定点分别推广为定点A (-m, -n) 与定点, 那么两条切线的交点是否在某定直线上?

对于抛物线y2=2px (pφ0) , 设两条切线的交点P (x0, y0) , 则切点弦MN所在的直线l的方程为y0y=p (x+x0) (1) 。又由直线l过定点A (-m, -n) , 得-ny0=p (-m+x0) , 即p (x0-m) +ny0=0。这表明点P (x0, y0) 在定直线上p (x-m) +ny=0。把此直线方程与抛物线方程联立, 消去x得y2+2ny-2pm=0。当Δ=4n2+8mp=4 (n2+2pmφ) 0, 即n2+2pmφ0时, 此定直线与抛物线相交, 点P (x0, y0) 只能在此直线位于抛物线含焦点的区域外的部分, 即在定直线上。反之, 若点P (x0, y0) 在定直线 (2) 上, 则有p (x0-m) +ny0=0即px0=pm-ny0代入 (1) 得直线l的方程为y0y=px+pm-ny0, 即y0 (y+n) =p (x+m) 。这表明动直线l过定点A (-m, -n) 。由此得定理Ⅰ的推广。

定理Ⅰ'动直线l与抛物线y2=2px (pφ0) 相交于M、N两点, 过点M、N分别引抛物线的两条切线, 则这两条切线的交点在定直线上的充要条件是动直线l过定点A (-m, -n) 。

对于椭圆, 设两条切线的交点为P (x0, y0) , 则切点弦MN所在的直线l的方程为 (3) 。又由直线l过定点, 得, 这表明点P (x0, y0) 在定直线上上。把此直线方程与椭圆方程联立, 消去x得 (a2n2+b2m2) y2-2b2m2ny+b2n2 (m2-a2) =0。当Δ=4b4m4n2-4 (a2n2+b2m2) ·b2n2 (m2-a2) =4a2b2n2 (a2n2+b2m2-m2n2) φ0。

定理Ⅱ'动直线l与椭圆相交于M、N两点, 过点M、N分别引椭圆的两条切线, 则这两条切线的交点在定直线。

至此, 我们完成了对定理Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的推广。以上推广所涉及的是“定直线”与曲线相交 (△>0) 的情形。显然, 当“定直线”与曲线相离 (△<0) 时, “定直线”为整条直线;当“定直线”与曲线相切 (△=0) 时, “定直线”为除切点外的直线, 其余结论相同。

三、应用

例1 (由2009年全国高中数学联赛湖北省预选题11改编) 已知定直线l:x=ky-1与抛物线C:y2=2x有公共点, 点P为定直线l上位于抛物线C的外部的动点, 过点P作抛物线C的两条切线PA、PB, A、B为切点, 证明直线AB恒过定点。

简析:P=1, 点P在定直线l:x=kx-1, 即p[x- (-1) ]+ (-k) y=0上, 则m=-1, n=-k, 据定理Ⅰ', 直线AB恒过定点 (-m, -n) = (1, k) 。

摘要：圆锥曲线是是平面解析几何的重要曲线, 有极其丰富、优美的性质。圆锥曲线的切线的相关性质已成为高考命题内容的重要来源。本文从研究圆锥曲线的性质出发, 对一个圆锥曲线的切线性质进行推广, 并运用所得的推广定理解决一类有关的试题。

关键词：原性质,推广,应用

参考文献

[1]宋辉.圆锥曲线切线的一个优美性质[J].中学数学研究, 2010 (2) .

圆锥曲线光学性质的数学证明 篇8

性质一从抛物线焦点出发的光线, 经过抛物线上的一点反射后, 反射光线平行于抛物线的轴。

数学模型一已知抛物线y2=2px (p>0) (如图1) , 过抛物线焦点的入射光线l1交抛物线于点M, 求证反射光线l2//x轴。

证明:设入射光线l1 (l1不垂直、不重合x轴时) 的斜率为k1, 反射光线l2的斜率为k2, 点M处切线的斜率为k, l与l1所成的角为α1, l与l2所成的角为α2, 则α1=α2

又设点的坐标为M (2pt2, 2pt) (t为参数) , 由斜率公式有

可知α1=α2=45度, ∴l2//x轴

若l1平行x轴时, 即t=0, 点M即为原点, 易知l2//x轴。

性质二从椭圆焦点出发的光线, 经过椭圆反射后, 反射光线交于椭圆的另一个焦点上。

数学模型二已知椭圆 (如图2) , 过椭圆左焦点F1 (-c, 0) 的入射光线l1交椭圆于点M, 求证:反射光线l2经过椭圆右焦点F2 (c, 0) 。

所以, 反射光线l2经过椭圆右焦点F2 (c, 0) 。

性质三从双曲线的一个焦点出发的光线, 经过双曲线反射后, 反射光线的延长线交于双曲线的另一个焦点上。

数学模型三已知双曲线 (如图3) , 过双曲线左焦点F1 (-c, 0) 的入射光线交双曲线l1的左支于点M, 求证:反射光线l2的反向延长线经过双曲线的右焦点F2 (c, 0) 。

证明:设点M的坐标 (asecθ, btanθ) (θ为参数) , l1的斜率为k1, l2的斜率为k2则

关键词：圆锥曲线,光学性质,数学证明

参考文献

[1]人教版.圆锥曲线的光学性质及应用

圆锥曲线的光学性质及其简单应用 篇9

当x≠±a时, 过点P (x0, y0) 的切线斜率k一定存在

而当x=±a时, y=0, 切线方程为x=±a, 也满足上式.

当x≠±a时, 过点P的切线斜率k一定存在

而当x=±a时, y=0, 切线方程为x=±a, 也满足上式.

3.若点P (x0, y0) 是抛物线y2=2px上任一点, 则抛物线过该点的切线方程是y0y=p (x+x0) .

证明:由y2=2px,

而当y0=0, x0=0时, 切线方程为x0=0也满足上式.

故抛物线在该点的切线方程是y0y=p (x+x0) .

二、圆锥曲线的光学性质

椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发出的光, 经过椭圆反射后, 反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.

转化为数学命题即:

∴ 切线与PF1所成的夹角∠F1PA满足

同理, 切线与PF1所成的夹角∠F2PB也满足

∴ ∠F2PB=∠F1PA.

双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光, 经过双曲线发射后, 反射光线的反向延长线汇聚到双曲线另一个焦点.

转化为数学命题即:

∴ 切线与PF1所成的夹角∠F2PA满足

同理, 切线与到PF1所成的夹角∠DPB也满足

∴ ∠F2PA=∠DPB

抛物线光学性质:从抛物线的焦点出发的光, 经过抛物线反射后, 反射光线都平行于抛物线的轴.

转化为数学命题即:

已知:抛物线方程为y2=2px, Q (x0, y0) 为抛物线上任意一点, AB为过Q点的切线, QQ′为平行x轴的直线, 求证:∠AQF=∠BQQ′.

∴切线与到QF所成的角∠AQF满足

∵ Q (x0, y0) 抛物线上任意一点, 即y02=2px0, 化简得

∴∠AQF=∠BQQ′

进一步给出圆锥曲线的光学性质证明.

证明:连接AF2交椭圆于A′, 则A′F1+A′F2=2a,

根据三角形知识可知AF1+AF2>2a.

证明:连接AF2交双曲线于A′, 当AF1≥AF2, 根据三角形知识

AF1<AA′+A′F

∴AF1-AF2<AA′+A′F-AF2=A′F1-A′F2=2a

同理可证, 当AF1<AF2时也成立.

引理3:设抛物线方程为y2=2px (p>0) 焦点为F, A是抛物线外一点, A到准线的距离为AM, 则AF>AM.

证明:当A点在对称轴的射影在焦点右边时, 连接AF与抛物线交于A′

AF=AA′+A′F

过A′作A′D垂直于AM于D,

由三角形知识可知AD<AA′

AF=AA′+A′F>A′M′+A′A=MD+A′A>MD+AD=AM

同理可证, 当A点在对称轴的射影在焦点或焦点左边时AF>AM.

椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发出的光, 经过椭圆反射后, 反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.

圆O的半径为定长2a, A是圆内一个定点, P是圆上任意一点, 线段AP的垂直平分线L和半径OP相交于点Q, 当P点在圆上运动时, 点Q的运动轨迹是什么? 直线L与Q的轨迹有什么关系?

解:连接QA, 可知|QA|=|QP|.

所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=2a

又因为A在圆内, 所以|OA|<|OP|.

根据椭圆定义, 点Q的轨迹是以O, A为焦点, 2a为长轴长的椭圆.

∵ 直线L上Q点到O、A的距离之和为2a, 容易证明除Q点外在直线L上的任意一点到O、A的距离大于2a, 由引理1可知直线L为椭圆的切线.

由椭圆的生成过程可知∠AQB=∠PQB

∵∠PQB=∠OQC

可得∠AQB=∠OQC

从而得到椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发出的光, 经过椭圆反射后, 反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.

双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光, 经过双曲线发射后, 反射光线的反向延长线汇聚到双曲线另一个焦点.

圆O的半径为定长2a, A是圆外一个定点, P是圆上任意一点, 线段AP的垂直平分线L和半径OP相交于点Q, 当P点在圆上运动时, 点Q的运动轨迹是什么? 直线L与Q的轨迹有什么关系?

解:连接QA

由已知得|QA|=|QP|

所以||QA|-|QP||=||QP|-|QO||=|OP|=2a

又因为点A在圆外, 所以|OA|>|OP|

根据双曲线的定义, 点Q的轨迹是以O, A为焦点, 2a为实轴长的双曲线.

∵ 直线L过Q点, 直线L上除Q点外的任意一点到O, A的距离之差的绝对值都小于2a, 由引理2可知直线L为双曲线的切线.

由双曲线的生成过程可知∠OQH = ∠HQA.∵ ∠HQA =∠DQF,

可得∠HQA=∠DQF.

从而得到双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光, 经过双曲线发射后, 反射光线的反向延长线汇聚到双曲线的另一个焦点.

三、应用举例

分析:求∠F1AF2的角分线所在方程, 入口比较宽, 当计算量比较大, 求解方法有轨迹法、向量法、平面几何法、如果用椭圆的光学性质解答就比较容易了.

分析猜想:经计算, M点在双曲线右支开口内部.由于双曲线是不封闭曲线, 显然|PF2|+|MP|可以无限大, 故要求|PF2|+|MP|的取值范围, 关键是求出|PF2|+|MP|的最小值.根据光线的 “ 最近传播”特点, 再结合双曲线的光学性质 (从一个焦点射出的光线经双曲线反射, 反射光线的反向延长线经过另一个焦点) , 可作出从F1射出被双曲线反射后经过点M的光线:连接F1M, 与双曲线的交点即为使得|PF2|+|MP|最小的点,

由题意知

∵ F1 (-1, 0) , M (5, 1)

3. 已知抛物线方程为y2=2px (p>0) , AB为过焦点的弦, 过AB两点作抛物线切线, 两切线交于点C, 求证:∠ACB=90°.

分析:要证明∠ACB=90°, 证明方法比较多, 但运算有些繁杂, 运用抛物线的光学性质比较简单.

证明:由抛物线的定义可得BF=BB′, 由抛物线光学性质可知道

∠CBA=∠DBG

∵∠DBG=∠B′BC

∴∠B′BC=∠CBA

同理可证∠A′AC=∠CAF

∵∠B′BA+∠A′AB=180°

∴∠ACB=90°

圆锥曲线的光学性质是奇妙的, 只有善于观察, 勤于钻研, 及时做好总结, 才能闪现更多的灵感, 才能在奥妙的数学世界畅游, 从而获得更多的知识.

参考文献

浅谈圆锥曲线的性质及其应用 篇10

关键词：圆锥曲线,圆锥曲线的性质,圆锥曲线的简单应用

一、圆锥曲线的由来与成长

圆锥曲线在古代早就有学者开始了研究,2000余年前,希腊几何学者Menachmus以前用垂直于圆锥上面的某条母线的平面从不同方位拦截圆锥面,又因为圆锥面最顶端的角存在差别,那么就会出现三种不同形状的曲线,根据角度的不同进行定义。随后阿波罗尼通过搜集了以前研究人员的成果,有了自己的一些独特的研究成果,他认为只要改变截面与母线之间的倾斜角的大小,就可以使得同一个圆锥面截出这三种不同类型的曲线,给这三种常态二次曲线取下了名称,但是他并没有用焦点和准线之类的观点来准确的定义出圆锥曲线。到公元340年左右,巴卜发现抛物线的焦点和准线,但是他只研究了彼此之间的孤立性质。关于焦点。以后由于坐标的建立、代数的方法、射影的方法代替了初等的方法,圆锥曲线的理论才逐渐完备起来。

二、圆锥曲线的分类和性质

1)圆锥曲线的分类。如果平面里面的一个运动的点到一个固定点与一条固定的直线的间隙之比是一个常数,则这个点的运动迹象称为圆锥曲线,这个固定的点称为交点,相应的固定的直线称为准线,这个数叫做离心率。

②曲线的焦点所在位置的判断。双曲线的焦点位置通常是取决于x2项的系数和y2项的系数,哪个项的系数为正,那么焦点就会出现在系数为正的未知数所对应的坐标轴上面;在椭圆中x2项和y2项中,两个分母比较大小,分母相对大的焦点点就会出现在未知量对应的坐标轴上面。

三、圆锥曲线的应用

1、在数学解题中的圆锥曲线

1)利用定义来解析轨迹方程

2)对于焦点所形成的三角形求解

例3在双曲线上存在一个动点,并且双曲线的长半轴a,短半轴b均为大于0的常数,∠F1PF2=θ,求这个F1PF2所形成的图形面积。

3)对于高考题目中的证明题

例4:一抛物线的表达式为:y2=2px,然后经过曲线的焦点F任意画一条直线,该直线与曲线有公共点,记为P1和P2,证明该曲线的准线会和以P1P2中点为圆心,半径为P1P2长度的一半的圆有一个公共点.

分析:直线P1P2的中间位置记为O,分别经过这三个点做出准线的垂直线,垂直的交点分别记为为Q1,Q2,Q0,通过图像并且根据题目已知的几何关系,简单的推测出以P1P2为直径的圆的半径是OQ0,也可以知道直线OQ0与l夹角为直角,可以看出抛物线的准线和定圆只有一个公共点。

2、在平常的生活中存在圆锥曲线的情况

圆锥曲线在科学技术上已被大范围例用。圆锥曲线的切线与法线的性质,被称为光学性质,是圆锥曲线在光学仪器、雷达、射远望眼镜等方面重要应用的根据。圆锥曲线在建筑上,如桥梁和隧道的修建也有广泛的应用,特别是在拱结构中显得更加突出。在材料力学中,对于有同样厚薄、物质均匀的薄板上的惯性矩的研究,惯性椭圆就起很大作用。圆锥曲线在航海、航空中也有应用,无线电导航中的时差定位法就是同焦点的双曲线系的应用。

参考文献

[1]杨旭.圆锥曲线的性质及推广应用[J].科技资讯,2013,25:236-239.

[2]石小丽.高中数学圆锥曲线焦学现状分析及其研究[D].杭州师范大学,2011.

巧用等轴双曲线性质解竞赛题 篇11

利用平面解析几何方法和等轴双曲线知识解决气体性质中温度极值问题相当方便。

例1 （第5届全国竞赛）已知每摩尔单原子理想气体温度升高1K时，内能增加1.5R（R为普适气体常量）。现有（2.008.31）mol的单原子理想气体，经历ABCDA循环过程，在p-V图上是一个圆，如图2。图中横、纵坐标分别表示气体的体积和压强。（1）试分析该循环过程中哪一点（H）气体温度最高，并求出该温度值。（2）气体从状态C到状态D过程中，内能增量，外界对气体做功，气体吸热各为多少？

析与解 在p-V图上理想气体等温变化过程是一等轴双曲线，它关于直线p=V对称，温度越高的双曲线与该直线的交点距坐标原点越远。ABCDA循环过程中在p-V图上的各点都可看成是多个等温线上的点，只有与圆相外切的那只双曲线才是对应温度最高的，且切点与圆心的连线必在p=V直线上，即最高温点H必在直线P=V与圆的远交点上。

气体从状态C到状态D过程中，是体积减小的压缩过程，外界对气体做功在数值上等于p-V图上CD圆弧下的面积，由热力学第一定律即可求出此过程中气体的吸热问题了。

例2 （第15届全国竞赛）1mol理想气体缓慢地经历了一个循环过程，在p-V图上该过程是一个椭圆，如图3。已知此气体处在与椭圆中心O点所对应的状态时，其温度为T0=300K。求在整个循环过程中气体的最高温度T1和最低温度T2各是多少？

析与解 由于气体质量一定，欲求T的最大值最小值，即在椭圆约束下求pV的极值。现已面市的各种资料所给参考解答无外乎参数方程法、椭圆双曲线（等温线）相切法、将椭圆坐标变换成圆法三种方法。但这三法中有的数学要求过高（现行中学数学教学大纲中已取消），有的在赛场上临场发挥时难以想到，即使想到了，数学运算也较烦琐。而若采用最高温、最低温所在的

等温线（等轴双曲线）与椭圆相切，且切点在直线p=p0V0V上，也就是说在椭圆与直线P=P0V0V的交点，可极方便地求解。（即使椭圆不在此图处，通过调整坐标轴标度比例也可实现）。

由图可写出此椭圆的方程为

至此，可利用上述方法，得出下面问题的答案了。

0.1mol的理想气体经历图4示的循环过程，由初态A经B到C，最后又回到A。此过程中最高、最低温度是多少？

(栏目编辑陈 洁)

圆锥曲线性质 篇12

1顶点定值倾斜角等和子弦的含义

设点P是圆锥曲线的一个顶点, PA, PB是该曲线过顶点P的两条弦, 当直线PA, PB的倾斜角的和为定值θ时, 称线段AB为该曲线顶点P的关于定值θ的倾斜角等和子弦, 简称为“顶点定值倾斜角等和子弦”.

2顶点定值倾斜角等和子弦的性质

下面分抛物线、椭圆和双曲线情形来研究.

2.1抛物线情形

设OA, OB为抛物线y2=2px (p>0) 过顶点的两条弦, 倾斜角分别为α, β, 且α+β=θ (定值) , 则0<θ<2π.

将A, B坐标代入直线AB方程

整理得

1°若θ=π, 则k=-k′, 所以直线AB垂直于x轴;

所以直线AB过定点 (-2p, 0) (此种情形是文[1]结论的特殊情况, 由文[1]也可得出该结果) ;

由上面的探究可知, 抛物线的顶点定值倾斜角等和子弦有如下性质:

定理1已知抛物线y2=2px (p>0) 和定值θ, 则:

1) 当θ=π时, 顶点的倾斜角等和子弦垂直于x轴;

2.2椭圆情形

(Ⅰ) 当P为椭圆的左顶点时, α, β的正切都存在.

将A, B坐标代入直线AB方程

整理得

1°若θ=π, 则k=-k′, 直线AB垂直于x轴;

代入 (2) 式并整理成关于k的方程得:

(Ⅱ) 当P为椭圆的右顶点时, 根据椭圆的对称性, 以-a代 (Ⅰ) 中结论中得a, 易得直线AB的有关属性 (此略) .

(Ⅲ) 当P为椭圆的上顶点时, 仿情形 (Ⅰ) 证法可得:

1°若θ=π, 则直线AB平行于x轴;

(Ⅳ) 当P为椭圆的下顶点时, 根据椭圆的对称性, 以-b代 (Ⅲ) 中结论中的b, 易得直线AB的有关属性 (此略) .

由上面的探究可知, 椭圆的顶点定值倾斜角等和子弦有如下性质:

1) 当θ=π时, 左、右顶点的倾斜角等和子弦垂直于x轴, 上、下顶点的倾斜角等和子弦平行于x轴;

2.3双曲线情形

类比椭圆的论证易得双曲线顶点定值倾斜角等和子弦的性质 (证明不赘述) .

1) 当θ=π时, 左、右顶点的倾斜角等和子弦垂直于x轴;

综上讨论可知:一般情况下, 圆锥曲线顶点定值倾斜角等和子弦所在直线过某个定点, 个别情况下, 顶点定值倾斜角等和子弦所在直线与它的一条对称轴平行或垂直.

参考文献