圆锥曲线的极坐标方程

圆锥曲线的极坐标方程（精选10篇）

圆锥曲线的极坐标方程 篇1

普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4中,第一讲坐标系,介绍了直线和圆的极坐标方程.实际上,对于圆锥曲线也有极坐标方程,而且解题时如果运用恰当,可以大大简化求解过程,优化解题.本文根据建立极坐标系的不同方法,介绍圆锥曲线的两类极坐标方程及其应用.

一、原点为极点

以原来直角坐标系的原点O为极点,Ox轴为极轴,长度单位不变,建立极坐标系.这样,对于平面内的任意一点的直角坐标(x,y)与极坐标(ρ,θ)之间有关系:x=ρcosθ,y=ρsinθ.

把它代入直角坐标系中的圆锥曲线方程,可以得到

1.直角坐标系中的椭圆(双曲线)的极坐标方程是

2.直角坐标系中的抛物线y2=2px的极坐标方程是

例1已知两点A、B在抛物线y2=2px(p>0)上,且满足.求:(1)ΔOAB面积的最小值;(2)弦AB长的最小值,

解:如图1,以Ox为极轴建立极坐标系,由,知OA⊥OB,设A (p1,θ),则B(ρ2,).可得y2=2px的极坐标方程为,那么

(1).所以当sin2θ=1时,ΔOAB的面积取到最小值4p2.

(2)而

因此,

注意到0≤sin22θ≤1,那么当sin2θ=1时,(*)式的分母取到最大值,同时分子取到最小值,因此(*)式取到最小值是16p2.

从而AB长的最小值4p.

点评:本例如果按常规思路用直角坐标方程求解,需多次解方程组,计算量较大;而用极坐标方程,几何条件明显,思路顺畅,计算量小,难度降低.可见,与由原点引出的弦长有关的问题,应首选极坐标法,如课本P15习题6.现由该题改编成下面的

例2设A、B是椭圆(a>b>0)上的两点,且满足OA⊥OB,求|AB|的取值范围.

解:以Ox为极轴,建立极坐标系,那么椭圆的极坐标方程是

即

设A(ρ1,a),B(ρ2,β),则|OA|=ρ1,|OB|=ρ2.又由OA⊥OB,知,则cos2β=sin2α,sin2β=cos2a.

因此,当sin22α=0时当sin22α=1时

所以|AB|的取值范围

二、焦点为极点

以圆锥曲线的焦点F为极点,Fx为极轴,建立极坐标系.如图2,当焦点F在准线l右侧时,设准线l与直线Fx垂直且交于K,焦点到准线的距离|FK|=P.设M(ρ,θ)是圆锥曲线上任意一点,作MN⊥l于N,MP⊥Fx于P.由圆锥曲线的第二定义知.而|FM|=ρ,|MN|=|FK|+|FP|=p+ρcosθ,所以有,解出

这就是椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程.

几点说明:

1.当01时,方程(*)表示双曲线,极点F是它的右焦点;当e=1时,方程(*)表示开口向右的抛物线,极点F是它的焦点.

2.方程(*)中的p表示焦点到准线的距离,这与抛物线方程y2=2px中的p相同;而在椭圆或双曲线方程中,

3.当焦点在准线左侧时,圆锥曲线的极坐标方程为(推导过程略)

在上述方程中,ρ具有明显的几何意义:表示圆锥曲线上一点到极点(焦克)的距离(焦半径).因此,涉及焦半径或焦点弦长的问题,运用上述方程(*)或(**)来求解,极为方便快捷.

例3 (2010年全国卷一)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且,则C的离心率为____.

解:如图3,以Fx为极轴建立极坐标系,设B(ρ1,θ),则D(ρ1,θ+π).由,知ρ1=2ρ2,有解出

而从图3中可见

从而有解得

例4 (2010年全国卷二)已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点,若,则k=()

解:如图4,以Fx为极轴建立极坐标系,设B(ρ1,θ),A(ρ2,θ+π).由,知解出

所以

例5 (2010年全国课标卷)设F1、F2分别是椭圆E:(a>b>0)的左、右焦点,过F1斜率为1的直线l与E相交于A、B两点,且|AF2丨,|AB|,丨BF2|成等差数列.求E的离心率.

解:由椭圆定义知

|AF2|+|AB|+|BF2|=4a.

又|AF2|+|BF2|=2|AB|,

从而得.

以F1x为极轴建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程是.

可知A(),B().由|AF1|+|BF1|=|AB|,有

将代入上式,可解得.

例6 (2011年东北三校一模)已知双曲线,过其右焦点F的直线交双曲线于P、Q两点,PQ的垂直平分线交x轴于点M,则的值为()

解:以Fx为极轴建立极坐标系.由a=3,b=4,知c=5,,.

可得双曲线的极坐标方程是

设P(ρ1,θ),Q(ρ2,θ+π)则

(N是PQ的中点),

.所以选.(B).

练习题:

1.(2009年全国卷一)已知椭圆C:的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段A F交C于点B,若,则(A)(B)2 (C)(D)3

2.(2009年全国卷二)已知双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A、B两点,若,则C的离心率为()

3.(2009年福建)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB长为8,则p=______.

4.(2009年山东)设椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,D为坐标原点.

(1)求椭圆的方程;

(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点A、B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围;若不存在,说明理由.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)如果,求椭圆C的方程.

答案:

1.(A) 2.(A) 3.2

圆锥曲线的极坐标方程 篇2

了解空间直角坐标系，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：空间直角坐标系，利用坐标进行向量线性运算，向量模、方向角、投影与坐标关系

重点：空间直角坐标系，向量模、方向角、投影、线性运算与坐标之间的关系

难点：向量的模、方向角、投影与坐标之间的关系

对学生的引导及重点难点的解决方法：

以向量线性运算为基础建立空间直角坐标右手系；给出向量在空间直角坐标系中的坐标表示形式，进一步利用坐标进行向量的线性运算，通过实例进行说明；定义向量的模、方向角、方向余弦和投影并给出坐标表示形式下这些量的计算公式和基本性质。

本节难点为向量模、方向角、投影与坐标之间的关系，为解决这一难点，首先应该回顾向量平行的充分必要条件（确定点在轴上坐标的依据），给出向量坐标与图形的关系，进而得出向量坐标运算的基本性质；然后，从向量坐标与图形之间的关系中，分析得出向量模的计算公式（向量的大小问题）；接着，提出向量的方向表示问题，定义方向角并从图形中得出计算公式；最后，定义向量在轴上的投影，利用几何辅助证明向量投影的运算性质。

例题：课本例5-9其他例题参见PPT

本授课单元教学手段与方法：

讲授教学与多媒体教学相结合，结合几何辅助。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

高等数学（同济五版）P301

13.15.17.19.本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

高等数学（同济五版）P294---P301

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

高等数学教案：空间曲线及其方程

介绍空间曲线的各种表示形式。第三、四节是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：空间曲线的一般方程，参数方程及空间曲线在坐标面上的投影

重点：1.空间曲线的一般表示形式

2.空间曲线在坐标面上的投影

难点：空间曲线在坐标面上的投影

对学生的引导及重点难点的解决方法：

三元函数

在空间中表示一曲面，如果两个曲面能够相交，则可以利用面面相交的形式来表示空间曲线，由此引出空间曲线的一般式方程.二对于曲线的一般式方程，其中含有两个方程，三个未知数，如果把其中一个变量看作常数，则方程组转化为二元方程组，则可以用此变量把另外两个变量表示出来.从而引出空间曲线的参数式.空间曲线在坐标面上的投影是本节的难点.要求

在面上的投影，关键求出投影柱面

（即消去

变量），然后与方程

联立即可.例题：

例1：设一个立体由上半球面

和锥面所围成，见右图，求它在面上的投影。

其他例题参见PPT

本授课单元教学手段与方法：

本节讲授在老师的引导下，启发学生，运用合情推理的教学方法发现问题和解决问题.本授课单元思考题、讨论题、作业：

高等数学（同济五版）P324

3.4.6

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

高等数学（同济五版）P319---P325

极坐标与参数方程 篇3

2. 已知抛物线的参数方程为[x=2pt2，y=2pt，]其中[t]为参数，[p]>0，焦点为[F]，准线为[l]，过抛物线上一点[M]作准线[l]的垂线，垂足为[E]，若[EF=FM]，点[M]的横坐标是3，则[p=] .

3. 在直角坐标系[xoy]中，已知曲线[c1：][x=t+1，y=1-2t]（[t]为参数）与曲线[c2：][x=asinθ，y=3cosθ]（[θ]为参数，[a]>[0]）有一个公共点在[x]轴上，则[a]= .

4. 直线[2ρcosθ=1]与[ρ=2cosθ]相交的弦长为 .

5. 在直角坐标系[xOy]中，以原点[O]为极点，[x]轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线[θ=π4]与曲线[x=t+1，y=（t-1）2]（[t]为参数）相交于[A，B]两点，则线段[AB]的中点的直角坐标为 .

6. 方程[ρ=-2cosθ]和[ρ+4ρ=42sinθ]的曲线的位置关系为 .

7. 直线[l]的参数方程是[x=22t，y=22t+42，]其中[t]为参数，圆[C]的极坐标方程为[ρ=2cosθ+π4]，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 .

8. 曲线[C1]的极坐标方程为[ρcos2θ=sinθ]，曲线[C2]的参数方程为[x=3-t，y=1-t，]以极点为原点，极轴为[x]轴正半轴建立直角坐标系，则曲线[C1]上的点与曲线[C2]上的点最近的距离为 .

9. 在极坐标系中，曲线[ρ=cosθ+1]与[ρcosθ=1]的公共点到极点的距离 .

10. 在直角坐标系[xOy]中，椭圆[C]的参数方程为[x=acosθ，y=bsinθ.]（[θ]为参数，[a>0，b>0]），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点[O]为极点，以[x]轴的正半轴为极轴）中，直线[l]与圆[O]的极坐标方程分别为[ρsinθ+π4=22m]（[m]为非零常数）与[ρ=b]，若直线[l]经过椭圆[C]的焦点，且与圆[O]相切，则椭圆的离心率为 .

11. 设曲线[C]的极坐标方程为[x=t，y=t2]（[t]为参数），若以直角坐标系的原点为极点，[x]轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线[C]的极坐标方程为 .

12. 在直角坐标系[xOy]中，以原点为极点，[x]轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点[A，B]分别在曲线[C1]：[x=3+cosθ，y=4+sinθ]（[θ]为参数）和曲线[C2]：[ρ=1]上，则[AB]的最小值为 .

13. 设曲线[C]的参数方程为[x=2+3cosθ，y=-1+3sinθ]（[θ]为参数），直线[l]的方程为[8x+15y+16=0]，则曲线[C]上到直线的距离为2的点的个数为 .

14. 在极坐标系中，过圆[ρ=6cosθ]的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 .

15. 在直角坐标系[xOy]中，以原点[O]为极点，[x]轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线[x=-ty=3t] （[t]为参数，[t∈R]）与曲线[C1]：[ρ=4sinθ]异于点[O]的交点为[A]，与曲线[C2]：[ρ=2sinθ]异于点[O]的交点为[B]，则[AB]= .

再探圆锥曲线统一的极坐标方程 篇4

2011年全国Ⅱ卷理科第12题) 已知椭圆 (a>b>0) 的离心率为, 过其右焦点F且斜率为k (k>0) 的直线与椭圆相交于A, B两点, 若, 则k= ( ) .

每一届高考过去以后，它的余热仍然发挥着强大震慑力.纵观近几年的高考数学试题，圆锥曲线焦点弦的考查已经成为一个热点问题，北师大教材选修4-4第一章第二节中圆锥曲线统一的极坐标方程是解决和处理它们的有力工具.

二、知根知底

选修教材中, 圆锥曲线统一的极坐标方程是如下定义的:过焦点F作相应准线的垂线, 垂足为K, 以焦点F为极点, FK的反向延长线为极轴, 建立极坐标系, 从而得到圆锥曲线统一的极坐标方程:, 因为p的几何意义, 所以椭圆、双曲线的极坐标方程可以变形为.因为e的特殊性, 所以抛物线的极坐标方程可以变形为.如果允许ρ<0, 则方程表示整个双曲线.

课本设计的极坐标系原理:第一个要求是极点，以椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点是极点;第二个要求是极轴，极轴与x轴的正半轴重合.

三、分类解说

数学试题千变万化，有关圆锥曲线的焦点弦试题也不例外.下面结合几个例题说说它的几种类型:

第一，圆锥曲线的类型和直线所经过的焦点与课本的极坐标系的建立要求吻合.

例1 (2009年全国卷Ⅱ理) 已知双曲线C: (a>0, b>0) 的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A, B两点，若，则C的离心率为 (A) .

解 以双曲线的右焦点为极点、以x轴的正半轴为极轴, 建立如图所示的极坐标系, 则双曲线的极坐标方程是.

第二，圆锥曲线的类型和直线所经过的焦点与课本极坐标系建立要求不同.

1. 焦点弦经过的焦点与课本极坐标系中的极点类别不同

例2 (2011年四川省高考文科数学第21题) 过点C (0, 1) 的椭圆 (a>b>0) 的离心率为，椭圆与x轴交于两点A (a, 0) ，B (-a, 0) ，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.

Ⅰ.当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长;Ⅱ (略) .

解 ∵过点C (0, 1) 的椭圆 (a>b>0) 的离心率为, ∴b=1, c=, a=2.

以椭圆的右焦点为极点, 以x轴的负半轴为极轴, 建立如图所示的极坐标系, 则椭圆的极坐标方程是.

注:这里的极坐标系———以椭圆的右焦点为极点，以x轴的负半轴为极轴与课本要求的极坐标系———以椭圆的左焦点为极点，以x轴的正半轴为极轴不同.

2. 圆锥曲线的类型不符合课本极坐标系中的类型

例3 (2010年湖南省高考理科数学第14题) 已知抛物线x2=-4y的焦点为F，过点F的直线L与抛物线相交于A, B两点，若|AB|=16，则直线L的倾斜角等于_____.

解 以抛物线的焦点F为极点，以y轴的负半轴为极轴，建立如图所示的极坐标系，则抛物线的极坐标方程是.

设直线的倾斜角为θ，那么点A的极坐标为，则点B的极坐标为.

解得，则直线L的倾斜角为或.

注 这里的极坐标系———以y轴的负半轴为极轴与课本要求的极坐标系不同.

四、化归总结

从以上例题的解答看到，因为圆锥曲线的类型和直线所经过的焦点类别各不相同，从而建立的极坐标系各自不同，但是最终的目的可以得到圆锥曲线统一的极坐标方程.根据课本极坐标系建立的原理，设计因题而异的极坐标系，并没有阻碍解题思路，反而取得了意想不到的效果，否则圆锥曲线统一的极坐标方程就寸步难行.另外，从上面的解答还可以看出，以不同的焦点为极点，以不同的对称轴为极轴，建立适合题目的极坐标系，它的另一个优点就是得到了与课本完全相同的圆锥曲线统一的极坐标方程.

既然圆锥曲线统一的极坐标方程是解决圆锥曲线的焦点弦试题的有力工具，所以应该大力提倡使用圆锥曲线统一的极坐标方程，不能因它的使用范围受到限制而不敢使用.

把小题当大题做，勇也;把大题当小题做，智也，先智后勇，智勇双全.以上是笔者在日常教学中得出的一些感悟，望读者给予批评指正.

摘要：高中新课标教科书《数学》选修4-4介绍了直线和圆的极坐标方程, 也推导出圆锥曲线的统一的极坐标方程, 利用圆锥曲线统一的极坐标方程计算过焦点的弦长.文章阐述了针对直线所经过的焦点不同, 建立不同类型的极坐标系, 目的是为了圆锥曲线统一的极坐标方程使用的方便.

关键词：圆锥曲线,极坐标方程,焦点弦,椭圆,双曲线,抛物线

参考文献

[1]司其君.圆锥曲线统一的极坐标方程及其应用[J].数理化学习 (高三版) , 2010 (2) .

直线与圆的方程、圆锥曲线 篇5

【背景材料】

2008～2012年江苏高考试卷，在此就不详细进行试题列举

【例1】（08江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过Pa2c，0作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为.

解析设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故a2c=2a，解得e=ca=22.

【例2】（09江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.

解析直线A1B2的方程为：x-a+yb=1；

直线B1F的方程为：xc+y-b=1。二者联立解得：T2aca-c，b（a+c）a-c，

则Maca-c，b（a+c）2（a-c）在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上，

c2（a-c）2+（a+c）24（a-c）2=1，c2+10ac-3a2=0，e2+10e-3=0，

解得：e=27-5

【例3】（10江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线x24-y212=1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是 .

解析MFd=e=42=2，d为点M到右准线x=1的距离，d=2，MF=4，

【例4】（10江苏）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y2<0。

（1） 设动点P满足PF2-PB2=4，求点P的轨迹；

（2） 设x1=2，x2=13，求点T的坐标；

（3） 设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.

解析（1） 设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）.

由PF2-PB2=4，得（x-2）2+y2-[（x-3）2+y2]=4，化简得x=92.

故所求点P的轨迹为直线x=92.

（2） 将x1=2，x2=13分别代入椭圆方程，以及y1>0，y2<0得：M（2，53）、N（13，-209）

直线TA方程为：y-053-0=x+32+3，

即y=13x+1，

直线TB 方程为：y-0-209-0=x-313-3，

即y=56x-52.

联立方程组，解得：x=7，

y=103，

所以点T的坐标为7，103.

（3） 点T的坐标为（9，m）

直线TA方程为：y-0m-0=x+39+3，

即y=m12（x+3），

直线TB 方程为：y-0m-0=x-39-3，

即y=m6（x-3）.

分别与椭圆x29+y25=1联立方程组，同时考虑到x1≠-3，x2≠3，

解得：M3（80-m2）80+m2，40m80+m2、

N3（m2-20）20+m2，-20m20+m2.

（方法一）当x1≠x2时，直线MN方程为：y+20m20+m240m80+m2+20m20+m2=x-3（m2-20）20+m23（80-m2）80+m2-3（m2-20）20+m2

令y=0，解得：x=1。此时必过点D（1，0）；

当x1=x2时，直线MN方程为：x=1，与x轴交点为D（1，0）.

所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）.

（方法二）若x1=x2，则由240-3m280+m2=3m2-6020+m2及m>0，得m=210，

此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）。

若x1≠x2，则m≠210，直线MD的斜率kMD=40m80+m2240-3m280+m2-1=10m40-m2，直线ND的斜率kND=-20m20+m23m2-6020+m2-1=10m40-m2，得kMD=kND，所以直线MN过D点.

因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）.

【例5】（12江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和e，32都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.

（i） 若AF1-BF2=62，求直线AF1的斜率；

（ii） 求证：PF1+PF2是定值.

解析（1） 由题设知，a2=b2+c2，e=ca，由点（1，e）在椭圆上，得

12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1，∴c2=a2-1.

由点e，32在椭圆上，得

e2a2+322b2=1c2a4+3221=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2

∴椭圆的方程为x22+y2=1.

（2） 由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），

又∵AF1∥BF2，

nlc202309010559

∴设AF1、BF2的方程分别为my=x+1，my=x-1，A（x1，y1），B（x2，y2），y1>0，y2>0.

∴x212+y21=1

my1=x1+1（m2+2）y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.

∴AF1=（x1+1）2+（y1-0）2

=（my1）2+y21

=m2+1·m+2m2+2m2+2

=2（m2+1）+mm2+1m2+2①

同理，BF2=2（m2+1）-mm2+1m2+2②

（i） 由①②得，AF1-BF2=2mm2+1m2+2.

解2mm2+1m2+2=62得m2=2.

∵注意到m>0，∴m=2.∴直线AF1的斜率为1m=22.

（ii） 证明：∵AF1∥BF2，∴PBPF1=BF2AF1，即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.∴PF1=AF1AF1+BF2BF1.

由点B在椭圆上知，BF1+BF2=22，∴PF1=AF1AF1+BF222-BF2.

同理PF2=BF2AF1+BF222-AF1.

∴PF1+PF2=AF1AF1+BF222-BF2+BF2AF1+BF222-AF1=22-2AF1·BF2AF1+BF2

由①②得，AF1+BF2=22（m2+1）m2+2，

AF1·BF2=m2+1m2+2，∴PF1+PF2=22-22=322.

∴PF1+PF1是定值.

【命题分析】

“直线与方程”和“圆锥曲线”的内容在填空题与解答题中均有可能出现。如果在填空题中，基本上都是较为简单的有关基本概念的考查，比如说：弦长的计算，离心率，长轴，短轴，圆锥曲线的第二定义等等，难度不会太大；如果在解答题中出现，则较可能是作为难题，或者说是压轴题。而近几年，解答题中考查的内容，更多的出现了有关圆锥曲线里的定值问题。2010年，2012年都考到了。也许这种问题会成为考查的热点问题。下面，我们就再举一个例子来看看定值问题的求解。

【试题设计】给定椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），称圆心在坐标原点O，半径为a2+b2的圆是椭圆C的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为F2（2，0），其短轴上的一个端点到F2距离为3.

（1） 求椭圆C及其“伴随圆”的方程；

（2） 若过点P（0，m）（m<0）的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22，求m的值；

（3） 过椭圆C“伴随圆”上一动点Q作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l1，l2的斜率之积是否为定值，并说明理由.

解析（1） 由题意得：a=3，半焦距c=2，

则b=1，椭圆C方程为x23+y2=1，

“伴随圆”方程为x2+y2=4。

（2） 则设过点P且与椭圆有一个交点的直线为：y=kx+m，

则y=kx+m，

x23+y2=1，整理得（1+3k2）x2+6kmx+（3m2-3）=0，

所以Δ=（6km）2-4（1+3k2）（3m2-3）=0，解3k2+1=m2①

又因为直线截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22，

则有222-|m|k2+12=22，化简得m2=2（k2+1）②

联立①②解得，k2=1，m2=4，

所以k=±1，m=-2（∵m<0），则P（0，-2）。

（3） 当l1，l2都有斜率时，设点Q（x0，y0），其中x20+y20=4，

设经过点Q（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y=k（x-x0）+y0，

由y=kx+（y0-kx0），

x23+y2=1，消去y得到x2+3[kx+（y0-kx0）]2-3=0

即（1+3k2）x2+6k（y0-kx0）x+3（y0-kx0）2-3=0，

Δ=[6k（y0-kx0）]2-4·（1+3k2）[3（y0-kx0）2-3]=0，

经过化简得到：（3-x20）k2+2x0y0k+1-y20=0

因为x20+y20=4，所以有（3-x20）k2+2x0y0k+（x20-3）=0，

设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，

所以k1，k2满足方程（3-x20）k2+2x0y0k+（x20-3）=0，

因而k1·k2=-1，即直线l1，l2的斜率之积是为定值-1.

牛刀小试

1.已知过P12，1的直线l与圆C：（x-1）2+y2=4交于A，B两点，当∠ACD最小时，直线l的方程为.

2.已知中心在坐标原

圆锥曲线的极坐标方程 篇6

例1已知椭圆, 直线l:x/12+y/8= 1, P 是 l上一点, 射线OP交椭圆于点R. 又点Q在OP上且满足| OQ | | OP | = | OR |2, 当点P在直线l上移动时, 求点Q的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线.

( 二) 当问题中条件与焦点半径或与过焦点的弦有关时, 利用圆锥曲线的统一极坐标方程ρ =ep/ (1 - ecosθ) ( e为离心率, p为焦准距) 求解较为适宜. 即选择以一焦点 ( 椭圆左焦点, 双曲线右焦点, 抛物线焦点) 为极点. 过焦点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴建立极坐标系.

例2已知椭圆长轴A1A2= 6, 焦距, 过椭圆焦点F1作一直线交椭圆于M, N两点. 设∠F2F1M = α ( 0≤α < π) , 当α取什么值时, MN等于椭圆短轴长?

分析与解本题中, 弦MN过椭圆焦点F1应采用统一极坐标方程. 如图, 以F1为极点, F1F2所在直线为极轴, 建立极坐标系.

摘要：我们知道, 解析几何中很多问题在直角坐标系下求解非常困难, 或是计算繁杂, 或是过程冗长.而在极坐标系下求解则非常容易、便捷.然而, 很多同学对何时应该选择极坐标系求解以及如何建立适当的极坐标系不甚了了, 因此, 使用圆锥曲线的极坐标方程解决问题时, 应该分析什么情形下能用.在能用时应该建立怎样的极坐标系, 只有这样才能达到与直角坐标系相比呈现事半功倍的效果.

圆锥曲线的极坐标方程 篇7

在高三第一轮复习中有这样一道试题：

求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．

大家知道，当抛物线方程为：y2=2px(p>0），过焦点F的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2）两点时，当时恰好复习人教版选修4-4中极坐标系的知识，同学们提出能否在极坐标系下完成此题的证明．为此，笔者就此进行了探索．

2 问题的解决

在中学阶段主要使用的平面坐标系是直角坐标系；另外也学习了极坐标系，它是利用角和距离来建坐标系，在极坐标系下解决与角和距离、长度有关的问题是比较快捷的，因此上述问题在极坐标系下完成证明也是方便可行的．

因在人教版选修4-4中没有给出极坐标系下圆锥曲线的方程，所以要完成此题的证明，首先应补充三种圆锥曲线的统一的极坐标方程．我们知道，圆锥曲线统一的极坐标方程为：

由此可得到上题的证明过程如下：

证明建立如图1所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为

PQ是抛物线的弦，若点P的极角为θ，则点Q的极角为π+θ，因此有

3 问题的拓展

我们再来看看下面两道与焦点弦、焦半径有关的问题，和上面题目一样通常取焦点为极点，采用极坐标来加以解决．

拓展1过椭圆的焦点，任作两条互相垂直的弦，它们的长分别为l1和l2，求证：为定值．

证明如图2，因为

拓展2如图3，已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距过椭圆左焦点F1作一直线交椭圆于M,N两点，右焦点为F2，且∠F2F1M=α（0≤α<π），当α为何值时，|MN|等于椭圆短轴的长．

解以椭圆左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐系．

由已知条件可知椭圆的a=3,则b=1,焦点F1到相应准线的距离所以椭圆的极坐标方程是

所以

令

又0≤α<π，则

由于以上每步都是可逆的，所以当时，|MN|等于椭圆短轴的长．

由上看来圆锥曲线中，遇到与焦点弦或焦半径有关的问题，我们也可在极坐标系下取焦点为极点，采用极坐标来解决相关问题．

4教学的思考

极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式，这是一种新的方式，通过本文题目可以看到在圆锥曲线中，与“距离”与“角度”有关的一些问题，在极坐标系下解决是有其优势的，要使学生认识到根据问题的几何特征选择适当坐标系的必要性和重要性，这样我们在极坐标系的教学上就可以激发学生的学习兴趣，加深同学们对极坐标知识的认知与理解，这也是选修极坐标的意义所在．

参考文献

圆锥曲线的极坐标方程 篇8

一般情况下, 接触过极坐标系的学生只知道极坐标和直角坐标的互化公式为, 通常他们也会利用公式把不熟悉的极坐标方程化为直角坐标方程, 再把图形画出来.但是这个方法不是万能的, 可能一个很简单的极坐标方程表示成直角坐标方程会很麻烦, 有时候甚至不能表示.例如:在学习定积分的几何应用时我们会要求计算曲线围成的面积或曲线的弧长, 而后面学习多元函数积分学时也需要知道曲线所表示的图形.

一名学生提出一道困惑很久的问题:ρ=asin2θ, 它叫四叶玫瑰线, 说明它有四个花瓣, 可是他怎么画也只有两个瓣.他是这样做的:方程ρ=asin2θ两边同时乘以ρ2, 得到ρ3=aρ2sin2θ, 而sin2θ=2sinθcosθ, 利用和x=ρcosθ, y=ρsinθ, 即得到直角坐标系下的方程: (x2+y2) 32=2xy.观察发现, 这个方程左边是非负的, 因此右边xy也应是非负的, 说明x和y必须同号, 即方程所对应的图形只能在一、三象限和原点有图像, 这不是说明了四叶玫瑰线其实只有两个花瓣吗?

这样的想法乍一看没什么错误, 其实不然, 两步都出错的原因在于忽略了ρ的符号.第一步在极坐标系下画图形的时候, 当θ从0变化到2π, ρ从0变化到a再变化到0, 这个图形拿到直角坐标中确实是第一个花瓣, 但是当θ从2π变化到π时, ρ从0变化到-a再变化到0, 就不是第三象限的花瓣了, 出错的原因是首先这时他把极坐标和直角坐标混为一体, 把图形放在第三象限, 其次他不知当ρ为负数时怎样在极坐标系下作出图形.

为了解决问题, 我们先来简单介绍极坐标系.在平面内取一个定点O, 叫做极点.引一条射线OX, 叫做极轴.再选定一个长度单位和角度正方向 (通常取逆时针方向) .这样就建立了一个极坐标系.对于平面上任意一点M, 用ρ表示线段OM的长度, 用θ表示从OX到OM的角度, ρ叫做M的极径, θ叫做点M的极角, 有序数对 (ρ, θ) 就叫做M的极坐标.一般情况下, 极径都是正值;在某些必要情况下, 极径也可以取负值.对于点M (ρ, θ) 是负极径时的规定为:

[1]作射线OP, 使!XOP=θ.

[2]在OP的反向延长线上取一点M, 使|OM|=ρ.

有了这些规定, 我们再返回来看当θ从2π变化到π时, 在极坐标系下的图形是什么样的, 这个时候ρ要取到负值, 按照规定 (-ρ, θ) = (ρ, θ+π) , 此时θ+π从23π变化到2π, 这个图形放在直角坐标系下位于第四象限, 因此是第四象限的花瓣.当θ从π变化到23π时, ρ从0变化到a再变化到0, 这是直角坐标系下第三象限的花瓣, 当θ从23π变化到2π时, ρ从0变化到-a再变化到0, 此时ρ仍要取到负值, 按照规定 (-ρ, θ) = (ρ, θ+π) , θ+π从25π变化到3π, 也就是从2π变化到π, 这正好就是直角坐标系下第二象限的花瓣.因此当θ从0变化到2π的过程中, 四个花瓣就是按照一四三二象限的顺序生成的.

现在我们就很容易看出第二步化为直角坐标方程时的错误, 只利用了, 而忽略了, 所以正确的四叶玫瑰线的直角坐标方程应为.

注意到这些, 当我们再作极坐标方程在极坐标系下的图形时就会清晰有条理地完成了.

摘要：用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程, 通常表示r为θ的函数, 这不同于直角坐标系下的方程.由于同学们对极坐标不熟悉, 造成对于一些极坐标方程表示的图形很迷惑.这里由一个极易引起疏忽的例子来说明作出极坐标方程的图形时需要注意的几个方面.

关键词：极坐标,图形

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].6版.北京:高等教育出版社, 2010.

极坐标法在曲线测设中的应用 篇9

安阳城集配站田门铁路支线是一条长558.9m带缓和曲线的曲线, 曲线资料如下:α=99°06′06″, R=300m, l。=40m, T=372.14m。勘察现场, 只有ZH、JD、HZ三个已知桩, 曲线起点ZH点和曲线交点JD点与曲线终点HZ点高差达4m, 无法通视, 如果用常规偏角法和支距法测设曲线, 为获得测设资料, 所涉及的公式繁多, 坐标原点固定不动, 当测设曲线愈长, 点位测设就愈加困难, 精度愈低, 无法精确测设本条曲线。若用极坐标法测设, 问题就变的简单, 现将本条曲线的计算方法和步骤详细论述如下:

一、选择有利测设曲线的地形点作为测站

在堑顶选择两个测站E、F, 测站E、F平均分布在拟测设曲线的外侧, 要求E点与曲线起点ZH点通视, 利用光电测距仪实地测出ZH点至E测站两点的水平距离d=216m、ZH点～E点与ZH点切线的夹角β1=4°10′04″;要求F点与曲线终点HZ点通视, 在现场实地测出HZ点与F测站两点的水平距离d=230m和HZ点～F点与HZ点切线的夹角β2=2°25′08″;要求测出E测站与F测站之间的距离d=214m, 并测出ZH～E与E～F之间的夹角θ1=135°20′06″, E～F与F～HZ之间的夹角θ2=135°40′10″。见图1:

二、曲线测设资料的计算

测站E控制ZH～QZ, 定为曲线第一部分;测站F控制QZ～HZ, 定为曲线第二部分。曲线第一部分以ZH点为坐标原点, 切线为X轴 (见图一中X (1) 、Y (1) 坐标系) ;曲线第二部分以HZ点为坐标原点, 切线仍为X轴, 但方向相反 (见图一中X (2) 、Y (2) 坐标系) 。

1、计算曲线第一部分。在X (1) 、Y (1) 坐标系中, 根据曲线要素计算出各预测点的里程, 缓和曲线每10m一桩, 圆曲线每20m一桩, 利用切线支距法计算出ZH至QZ各里程点的坐标。

(1) 计算各预测点里程

已知ZH点里程K0+080.73

各预测点里程见表一:

(2) 求出各里程点的坐标m=l/2-l3/240R2=19.997

Β=90l/πR=3°49′18″

P=l2/24R=0.222

ZH点坐标K0+080.73 (0, 0)

1点坐标X1=l-l5/40R2l2=10-105/40×3002×402=10

Y1=l3/6Rl。=103/ (6×40) =0.014

同理2点坐标X2=19.999 Y2=0.111

3点坐标X3=29.996 Y3=0.375

HY点坐标XHY=39.982 YHY=0.889

4点坐标α=[180× (l1-l。) ]/ (πR) +β=[180× (60-40) ]/ (π×300) +3°49′18″=7°38′29″

X4=R×sinα+m=300×sin7°38′29″+19.997=59.889

Y 4=R× (1-c o sα) +P=3 0 0× (1-cos7°38′29″) +0.222=2.886

同理其余各里程点坐标见表二:

(2) 计算第一部分曲线上各里程点相对于测站E的角度、距离

经计算得出在X (1) 、Y (1) 坐标系中各里程点相对于测站E的角度、距离详见表三:

表三单位:m

2、计算曲线第二部分。

(1) 在X (2) 、Y (2) 坐标系中计算各里程点的坐标, 详见表四:

(2) 计算第二部分曲线上各里程点相对于测站F的角度、距离, 详见表五:

三、测设曲线

1、首先测站设在E点, 以0°00′00″后视ZH点, 依次拨角、量距定出第一部分曲线上各里程点。

2、其次将测站设在F点, 以0°00′00″后视HZ点, 依次拨角、量距定出第二部分曲线上各里程点。

3、在测站E、F分别测设QZ点进行闭合检查, 横向误差2mm;纵向误差8mm (满足《铁路测规》要求, 在铁路曲线测量中, 其精度要求为:横向误差为±0.1m;纵向误差为L/2000=0.279m) 。

“圆锥曲线与方程”单元自测 篇10

1. 离心率e=12,一条准线为直线x=4的椭圆的标准方程是___.

2. 椭圆x2100+y236=1上的点P到其左准线的距离是10，那么点P到该椭圆右焦点的距离是___.

3. 椭圆x225+y29=1的焦点为F1,F2，P为该椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为___.

4. 双曲线x23-y2=-1的两条渐近线所夹的锐角等于___.

5. 双曲线的中心在原点，两条渐近线的方程为y=±x，且有一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合，则该双曲线的方程为___.

6. 双曲线的虚轴的一个端点为M，焦点为F1,F2，∠F1MF2=120°，则该双曲线的离心率为___.

*7. （曲线与方程）已知⊙C:(x+3)2+y2=1,直线l:x=2,动圆M与直线l相切且与⊙C相外切，则该动圆圆心M的轨迹方程是___.

8. 已知双曲线x2-y22=1的焦点为F1,F2，点M在该双曲线上，且MF1·MF2=0，则点M到x轴的距离为___.

9. 我们把离心率e=5-12的椭圆叫做“优美椭圆”.设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）为优美椭圆，F和A分别是它的右焦点和左顶点，B是其短轴的一个端点，则∠ABF=___.

10. 抛物线y=4x2上的一点M到其焦点的距离为1，则点M的纵坐标是___.

11. 已知点P为(4,-1),F为抛物线y2=8x的焦点，M为此抛物线上的点且使|MP|+|MF|的值最小，则点M的坐标为___.

12. 已知点M(1,1)，N(3,-1)，给出下列曲线方程：

① x-y=0；

② x2+y2=3；

③ x22+y2=1；

④ x22-y2=1.

在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的曲线方程有___.(填序号)

二、 解答题

13. 已知双曲线C与椭圆x29+y225=1共焦点，且它们的离心率之和为145，求双曲线C的方程.

14. 记抛物线y2=2x上的一点P(x,y)到点A(a,0)(a∈R)的距离的最小值为f(a)，求f(a)的解析式.

15. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，点A(0,1)，B(-2,0)，其中A为椭圆的上顶点，椭圆上的一点C满足BA=3BC.

（1）求此椭圆的方程；

（2）设x轴上方的一点D在椭圆上，l为椭圆的右准线，且DE⊥l于E，以DE为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程.

*16. （曲线与方程）设动点P(x,y)(x≥0)到定点F12,0的距离比它到y轴的距离大12.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设圆M过点A(1,0)，且圆心M在点P的轨迹上，EF是圆M在y轴上截得的弦，当点M运动时，弦长|EF|是否为定值？请说明理由.