圆锥曲线中的两个性质

圆锥曲线中的两个性质（共4篇）

圆锥曲线中的两个性质 篇1

文[1]中介绍了圆锥曲线焦点顶点及准点 (准线与对称轴的交点) 有关的一个性质.经过进一步研究, 笔者得到了圆锥曲线中的又一优美性质.

性质1 已知椭圆$\frac{y{}^2}{a{}^2}+\frac{y{}^2}{b{}^2}=1(a>b>0)‚A‚B$分别是椭圆的左右顶点, F是椭圆的一个焦点, 相应于焦点F的准线与轴的交点为Q, 点C, D在椭圆上, 直线AC, BD交于点P, 则以下三个命题是等价的:

(1) C, D, Q三点共线;

(2) PF⊥x轴;

(3) kCF+kDF=0且PF平分∠CFD.

证明 不妨设F是椭圆的右焦点 (如图1) , 于是得$F(c,0),C(a\cos \alpha ,b\sin \alpha ),D(a\text{c}\text{o}\text{s}\beta ,b\sin \beta ),Q\left(\frac{a{}^2}{c},0\right),A(-a,0),B(a,0),{\rm P}(x{}_p,y{}_p).$

(1) ⇒ (2) 文[1]已证, 此处从略.

(2) ⇒ (3) 易得直线AC, BD的方程分别为

$\begin{array}{l}y=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}\alpha }{a\text{c}\text{o}\text{s}\alpha +a}(x+a),\\ y=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}\beta }{a\text{c}\text{o}\text{s}\beta -a}(x-a),\end{array}$

联立两式解得P的横坐标

$\begin{array}{l}x{}_{{\rm P}}=\frac{a[\sin (\alpha +\beta )+\sin \beta -\sin \alpha ]}{\sin \alpha +\sin \beta -\sin (\alpha -\beta )}\\ =\frac{a\text{c}\text{o}\text{s}\frac{\alpha +\beta }{2}}{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}.\end{array}$

又由于PF⊥x轴, 所以P的横坐标

$x{}_{{\rm P}}=\frac{a\text{c}\text{o}\text{s}\frac{\alpha +\beta }{2}}{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}=c,$

得$a\cos \frac{\alpha +\beta }{2}-c\cos \frac{\alpha -\beta }{2}=0$,

于是

$\begin{array}{l}k{}_{CF}+k{}_{DF}\\ =\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}\alpha }{a\text{c}\text{o}\text{s}\alpha -c}+\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}\beta }{a\text{c}\text{o}\text{s}\beta -c}\\ =\frac{b[(a\text{s}\text{i}\text{n}(\alpha +\beta ))-c(\sin \alpha +\sin \beta )]}{(a\text{c}\text{o}\text{s}\alpha -c)(a\text{c}\text{o}\text{s}\beta -c)}\\ =\frac{2b\text{s}\text{i}\text{n}\frac{\alpha +\beta }{2}\left(a\text{c}\text{o}\text{s}\frac{\alpha +\beta }{2}-c\text{c}\text{o}\text{s}\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}{(a\text{c}\text{o}\text{s}\alpha -c)(a\text{c}\text{o}\text{s}\beta -c)}\\ =0,\end{array}$

有kCF=-kDF, 于是∠CFA=∠DFB.

又PF⊥x轴, 可得∠CFP=∠DFP, 因此PF平分∠CFD.

(3) ⇒ (1) 假设C, D, Q三点不共线, 得

$\frac{bc\text{s}\text{i}\text{n}\alpha }{ac\text{c}\text{o}\text{s}\alpha -a{}^2}\ne \frac{bc\text{s}\text{i}\text{n}\beta }{ac\text{c}\text{o}\text{s}\beta -a{}^2}$,

即$a\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\ne c\cos \frac{\alpha -\beta }{2}.$

又由

$\begin{array}{l}k{}_{CF}+k{}_{DF}\\ =\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}\alpha }{a\text{c}\text{o}\text{s}\alpha -c}+\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}\beta }{a\text{c}\text{o}\text{s}\beta -c}\\ =\frac{b[(a\text{s}\text{i}\text{n}(\alpha +\beta ))-c(\sin \alpha +\sin \beta )]}{(a\text{c}\text{o}\text{s}\alpha -c)(a\text{c}\text{o}\text{s}\beta -c)}\\ =\frac{2b\text{s}\text{i}\text{n}\frac{\alpha +\beta }{2}\left(a\text{c}\text{o}\text{s}\frac{\alpha +\beta }{2}-c\text{c}\text{o}\text{s}\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}{(a\text{c}\text{o}\text{s}\alpha -c)(a\text{c}\text{o}\text{s}\beta -c)}\\ =0‚\end{array}$

且$\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\ne 0$,

可知

$a\cos \frac{\alpha +\beta }{2}-c\cos \frac{\alpha -\beta }{2}=0.$

则假设不成立, 故C, D, Q三点共线.

性质2 已知双曲线$\frac{y{}^2}{a{}^2}-\frac{y{}^2}{b{}^2}=1(a>b>0)‚A‚B$分别是双曲线的左右顶点, F是双曲线的一个焦点, 相应于焦点F的准线与轴的交点为Q, 点C, D在A点所在双曲线的一支上, 直线AC, BD交于点P, 则以下三个命题是等价的:

(1) C, D, Q三点共线;

(2) PF⊥x轴;

(3) kCF+kDF=0且PF平分∠CFD.

性质2的证明方法类似于性质1, 从略.

性质3 已知抛物线y2=2px (p>0) , A是抛物线的顶点,

F是抛物线的一个交点, 准线与轴的焦点为Q, 点C, D在抛物线上, 直线AC与过D且平行于x轴的直线交于点P, 则以下三个命题是等价的:

(1) C, D, Q三点共线;

(2) PF⊥x轴;

(3) kCF+kDF=0且PF平分∠CFD.

证明 如图2, 设$F\left(\frac{p}{2},0\right),C\left(\frac{y{}_1^2}{2p},y{}_1\right),D\left(\frac{y{}_2^2}{2p},y{}_2\right),Q\left(-\frac{p}{2},0\right),{\rm P}(x{}_p,y{}_p).$

(1) ⇒ (2) 文[1]已证, 此处从略.

(2) ⇒ (3) 容易得直线AC, PD的方程分别为

$\begin{array}{l}y=\frac{2p}{y{}_1}x,\\ y=x‚\end{array}$

联立得P的横坐标

$x{}_{{\rm P}}=\frac{y{}_{1}y{}_2}{2p}.$

又由于PF⊥x轴, 所以P的横坐标

$x{}_{{\rm P}}=\frac{y{}_{1}y{}_2}{2p}=\frac{p}{2}$,

得 y1y2=p2,

于是

$\begin{array}{l}k{}_{CF}+k{}_{DF}\\ =\frac{2py{}_1}{y{}_1-p{}^2}+\frac{2py{}_2}{y{}_2-p{}^2}\\ =\frac{2p[y{}_{1}y{}_2(y{}_1+y{}_2)-p(y{}_1+y{}_2)]}{(y{}_1^2-p{}^2)(y{}_2^2-p{}^2)}\\ =0,\end{array}$

即kCF=-kDF, 所以∠CFA=∠DFx.

又因为PF⊥x轴, 可得∠CFP=∠DFP, 因此PF平分∠CFD.

(3) ⇒ (1) 假设C, D, Q三点不共线, 得

$\frac{2py{}_1}{y{}_1^2+p{}^2}\ne \frac{2py{}_2}{y{}_2^2+p{}^2}$, 即y1y2≠p2.

又由

$\begin{array}{l}k{}_{CF}+k{}_{DF}\\ =\frac{2py{}_1}{y{}_1-p{}^2}+\frac{2py{}_2}{y{}_2-p{}^2}\\ =\frac{2p[y{}_{1}y{}_2(y{}_1+y{}_2)-p(y{}_1+y{}_2)]}{(y{}_1^2-p{}^2)(y{}_2^2-p{}^2)}\\ =0,\end{array}$

可知 y1y2=p2.

则假设不成立, 故C, D, Q三点共线.

参考文献

[1]彭世金.圆锥曲线的焦点顶点及准点有关的一个性质[J].中学数学研究, 2010, (3) .

圆锥曲线中的两个性质 篇2

宇宙，即时间的无穷和空间的无穷。

先来说一下空间吧，空间中有什么呢？多种事物，而每一种事物不外乎由颜色、气味、温度等的自身有的性质组成；我只举一例来说明，比如说颜色，它是由色波构成的正如颠簸使电视显屏一样，色波使我们的眼睛显现物体的颜色。 作文网 www.zww.cn

物体本身的其他性质也是一样。假使把一个物体的颜色、气味、温度等分开会是什么，那将什么也没有，由此可得到一个物体的构成元素是从无到有的，其实无本身就有有的元素。 作文网 www.zww.cn

这个世界有一个实世界，也必然有一个虚世界，我们在有限世界生存，便很难理解无限世界。在数学理论中圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线，正像地球是椭圆的，太阳是圆的（也不是完全的圆）一样，宇宙是一个无限的双曲线，它是由超速度达到的，使得发生由有限的椭圆到双曲线的飞跃，根据这一说法，便知从无限到有限，只要速度放慢即可，无限是一种超速的的有限。

两个世界，实世界和虚世界，一个在双曲线的左端，一个在右端。我们的`世界便是实世界，我们在双曲线开口极大处，所以看到的是无穷空间。

实世界和虚世界是由黑洞连接的，黑洞有两个，输出黑洞和输入黑洞。虚世界向实世界输出新物，实世界向虚世界淘汰旧物。黑洞便是速度转化器，它位于双曲线的顶点处。

以上说的是空间，下面说一下时间。

圆锥曲线中的两个性质 篇3

关键词：几何画板,椭圆,双曲线

一、前言

纵观历年高考试题, 圆锥曲线这部分内容一直占据着不小的比重, 它成了考生重点复习掌握的知识点, 但是, 由于圆锥曲线的复杂性和抽象性, 学生在学习这一节内容时还是比较吃力。虽然新课改之后, 大纲对学生的很多要求 (比如:曲线的定义、性质、参数方程等) 都由掌握变为了了解, 学生对此仍然显得力不从心。传统教学中, 教师在讲授圆锥曲线时, 对于曲线的各个定义、性质、图形等知识的讲解都是通过在黑板上画图来完成的, 然而, 这种方法做出来的静止图形不能让学生真实地体会到图形形成的过程, 以致一些学生通过死记硬背来记忆这些公式。怎样让学生通过自己动手操作来观看图形的形成过程, 帮助他们更容易获得对圆锥曲线的感知, 成了教师和学生都非常关心的一个问题。新的课程改革强调信息技术与课程整合, 利用几何画板教学软件解决数学问题正体现了这一思想。以下笔者通过几何画板从圆锥曲线 (本文只涉及椭圆和双曲线) 的定义、标准方程、几何性质、参数方程等几个方面进行对比, 引导学生在动态学习中探究进而轻松地了解圆锥曲线。

二、几何画板基本功能简介

“几何画板”是一个适用于几何教学的软件, 它给我们提供了一个几何图形的内在关系, 探索几何图形奥妙的环境。它以点、线、圆为基本元素, 通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等, 构造出其它较为复杂的图形。与传统的教学辅助工具相比, 几何画板的动态性、形象性、操作简单的特性让它成为现代数学教学中不可缺少的工具, 学生可以通过在几何画板创造性的实际操作环境下任意拖动图形、观察图形、猜测并验证, 在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识, 形成丰厚的几何经验背景, 从而更有助于学生理解和证明, 这有助于学生主体性、积极性和创造性的发挥, 用几何画板来解决数学问题体现了新课改中“信息技术与课程整合”的思想。下面简单介绍一下几何画板中作图要用到的几个功能。

首先, 启动几何画板主程序, 打开它的主界面 (如图1) 。

从图1可以看出, 几何画板的主界面和其它的一些工具软件是相似的, 画板工具从上到下依次是移动箭头工具、点工具、圆工具、线段直尺工具、多边形工具、文字工具、标签工具、信息工具和自定义工具。本文主要介绍菜单栏中的几个功能:编辑菜单中的操作类按钮功能、显示菜单中的追踪点和生成点的动画功能、构造菜单中的轨迹功能、数据菜单中的新建参数和新建函数功能、绘图菜单中的绘制新函数和绘制参数曲线功能, 以及怎样在文本框中插入各种数学符号。

(一) 编辑>操作类按钮

11.隐藏/显示功能

这个功能可以使所选中的对象隐藏或者显示, 一般对于不想让其影响我们看图或者要对其进行对比的对象, 可以使用这个功能。

举例:点的隐藏或者显示。

步骤一:选择点工具, 在作图区域单击鼠标作点, 选择标记工具, 单击点标记点A。

步骤二:选择移动前头工具, 选中点A, 通过“编辑>操作类按钮>隐藏/显示”功能作出按钮。

步骤三:点击按钮, 点A隐藏, 再次点击按钮, 点A显示。

22.动画功能

动画功能可以使选中的对象按照一定的轨迹运动, 使操作者可以看到图像的动态变化过程。

举例:圆上一点的运动。

步骤一:选择圆工具, 在作图区域单击鼠标然后拖动作圆, 选中圆, 通过“构造>圆上的点”功能作圆上的一点, 标记为点B。

步骤二:选中点B并选择“编辑>操作类按钮>动画”, 打开动画点对话框, 根据需要选择运动方向和运动速度, 点击确定, 作出动画按钮。

步骤三:点击动画按钮, 点B围绕圆作逆时针的中速运动, 再次点击按钮, 点B停止运动。

(二) 显示菜单功能

11.追踪功能

这一功能可以使选择的对象留下运动的痕迹, 方便操作者观察。

22.生成动画功能

这个功能和操作类按钮中的动画功能相似, 要运动的对象所遵循的轨迹是默认的, 一般是它的父对象, 而且速度等的控制可以在控制台上进行。

33.擦除追踪痕迹功能

此功能可以擦除追踪对象留下的痕迹, 方便操作者观察其它对象的运动痕迹或者再次进行本次操作。

(三) 构造菜单

11.以圆心和半径作圆功能

根据选中的点和线段可以作出圆。

22.轨迹功能

这个功能与显示菜单的追踪功能相似, 只不过追踪功能可以让操作者观察到对象运动的过程, 而轨迹功能只显示最终结果。

(四) 数据菜单

11.新建参新建参数功能

几何画板中默认的参数只有x, 如果需要其它的参数, 可以通过这个功能建立。

22.新建函数功能

可以建立需要的函数, 同时也可以在这里新建参数。

(五) 绘图菜单

11.定定义义坐标系功能

当需要标出明确的坐标时, 可以使用这个功能。

22.绘制新函数功能

当给出了函数方程, 要求作出它的图像时可以使用这个功能。

(六) 插入各种数学符号

在几何画板界面的最底端, 有一排设置字体、字号的菜单栏, 插入数学符号的步骤如下。

步骤一:选中文字工具, 在工作区域用鼠标拖出一个矩形文本框, 这时会看到最底端多出一排数学符号。

步骤二:直接点击需要的数学符号, 就可以将其添加到文本框中, 如果需要希腊符号, 点击最右边的下拉箭头即可选择。

三、利用几何画板对椭圆和双曲线进行对比

(一) 从定义上进行对比

11.第一定义

椭圆定义:平面内到两定点F1, F2的距离之和为定值2a (2a>|F1F2|) 的点的轨迹。

制作步骤:

步骤一:用点工具在工作区域作点, 标记为点O, 用线工具作线段, 添加说明“r=2a”。

步骤二:通过“构造>以圆心和半径作圆”, 作以点O为圆心, r=2a为半径的圆, 然后选中圆O, 通过“构造>圆上的点”在圆上任取一点P, 在圆内任取点A。

步骤三:连接PA, PO, 通过构造菜单中的功能作PA中垂线, 与PO交于点M, 连接MA。

步骤四:通过菜单“显示>追踪”将点M定义为“追踪点”, 选中点P, 通过菜单“编辑>操作>动画”作关于点P的动画按钮 (如图2) 。

步骤四:点击动画按钮, 让点P在圆上任意转动可得M的轨迹为以点O, A为焦点, 以2a为长轴长的椭圆, 如图3中红色轨迹。

理由:图中|MP|=|MA|, 所以|OM|+|MA|=|OM|+|MP|=|OP|=r。

双曲线定义:平面内到两定点F1, F2的距离之差为定值2a (2a<|F1F2|) 的点的轨迹。

制作步骤:

步骤一:以点O为圆心, r=2a为半径做圆, 在圆上任取一点P, 在圆外任取点A。

步骤二:连接PA, PO, 作PA中垂线, 与直线PO交于点M, 连接MA。

步骤三:将点M定义为“追踪点”, 选中点P, 作关于点P的动画按钮 (如图4) 。

步骤四:点击动画按钮, 让点P在圆上任意转动可得M的轨迹为以点O, A为焦点, 以2a为长轴长的双曲线, 如图5中红色轨迹。

理由:由于|MP|=|MA|, 所以|MA|-|MO|=|MP||MO|=|OP|=r。

通过对椭圆和双曲线从第一定义的角度进行对比我们可以发现, 点F1, F2是一定的, 到这两点的距离之和为定值的点的集合构成椭圆, 而到这两点的距离之差为定值的点的集合构成双曲线。

22.第二定义

椭圆定义:设动点M (x, y) 与定点F (c, 0) 的距离和它到定直线l∶x=a2/c的距离的比是常数c/a (a>c>0) 。则点M的轨迹是椭圆。点F是椭圆的一个焦点, 直线l是椭圆中对应于焦点F的准线。常数e= (0<e<1) 是椭圆的离心率。

制作步骤:

步骤一:取点F和直线l (点F不在l上) , 过点F作一条直线, 在直线上取一点P。

步骤二:以F为圆心, 以FP为半径作圆, 度量FP的长度, 新建参数e=0.6 (小于1即可) , 计算FP/e。

步骤三:过点P作直线l的垂线, 交l为点M, 以M为圆心, 以FP/e为半径作圆, 交垂线于N, 过N作l的平行线, 交圆F于A、B两点 (如图6) 。

步骤四:定义A、B两点为追踪点, 作关于点P的动画按钮。

步骤五:单击动画点按钮, 让P在直线FP上任意移动, 可得椭圆方程的轨迹, 如图7红色轨迹。

理由:不管P在哪个位置, 总可以保证A、B两点到F点的距离与它们到直线l的距离之比为0.6。

双曲线定义:设动点M (x, y) 与定点F (c, 0) 的距离和它到定直线l∶x=a2/c的距离的比是常数c/a (c>a>0) 。则点M的轨迹是双曲线。点F是双曲线的一个焦点, 直线l是双曲线中对应于焦点F的准线。常数e=c/a (e>1) 是双曲线的离心率。

制作步骤:

步骤一:取点F和直线l (点F不在l上) , 过点F作一条直线, 在直线上取一点P。

步骤二:以F为圆心, 以FP为半径作圆, 度量FP的长度, 取参数e=1.8 (大于1即可) , 计算FP/e。

步骤三:过点P作直线l的垂线, 交l为点M, 以M为圆心, 以FP/e为半径作圆, 交垂线于N, 过N作l的平行线, 交圆F于A、B两点 (如图8) 。

步骤四:将A、B两点定为追踪点, 选中点P, 作关于点P的动画按钮 (如图8) 。

步骤五:单击动画点按钮, 让P在直线FP上任意移动, 可得双曲线方程的轨迹, 如图9红色轨迹。

理由:不管P在哪个位置, 总可以保证A、B两点到F点的距离与它们到直线l的距离之比为1.8。

通过轨迹形成的动态过程我们可以看出, 当一个点和一条直线确定时, 到这点的距离和到这条直线的距离之比小于1时, 点的集合构成椭圆, 而当距离之比大于1时, 点的集合构成双曲线, 当距离之比等于1时, 点的集合构成圆。

(二) 从标准方程上进行对比

椭圆的标准方程:

制作步骤:

步骤一:通过“绘图>定义坐标系”作出直角坐标系。

步骤三:选中新建的两个函数, 通过“绘图>绘制新函数”作出椭圆, 然后用同样的步骤作焦点F1和F2 (如图10) 。

焦点在y轴上:y2/a2+x2/b2=1, 制作步骤同上, 图形如图11。

从图10和图11可以看出, 在椭圆方程中, 当x轴对应长轴a, y轴对应短轴b时, 焦点在x轴, 相反焦点在y轴上, 并且a>b, a2=b2+c2。

双曲线的标准方程:

制作步骤:

步骤一:通过“绘图>定义坐标系”作出直角坐标系。

步骤二:新建参数a=5, b=3, 新建函数

步骤三:选中新建的两个函数, 通过“绘图>绘制新函数”作出双曲线, 然后用同样的步骤作焦点F1和F2 (如图12) 。

焦点在y轴上y2/a2-x2/b2=1, 制作步骤同上, 图形如图13。

从图12和图13可以看出, 在双曲线方程中 (一边式子一边1) , 当x项前面的符号为正时, 焦点在x轴上;当y项前面的符号为正时, 焦点在y轴上。并且a>0, b>0, c2=a2+b2。

(三) 从从几几何何性性质质上上进进行行对对比比 (以焦点在x轴上为为例例)

通过从图形性质方面的简单对比可以看出, 椭圆位于一个以a为长, 以b为宽的长方形内部, 而双曲线位于一个边长分别为a、b的长方形外部;二者均关于坐标轴和原点对称;椭圆有两个实顶点, 而双曲线只有一个实顶点;通过对椭圆和双曲线性质的各种参数进行改变, 我们可以发现当椭圆离心率越大时, 图形越扁, 离心率越小时, 图形越接近圆形;当双曲线离心率越大时, 图形开口越大, 离心率越小时, 开口越小。

(四) 从参数方程上进行对比

参数定义:在给定的平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标 (x, y) 都是某个变数t的函数x=f (t) , y=θ (t) —— (1) ;且对于t的每一个允许值, 由方程组 (1) 所确定的点m (x, y) 都在这条曲线上, 那么方程组 (1) 称为这条曲线的参数方程, 联系x、y之间关系的变数称为参变数, 简称参数。

椭圆的参数方程:x = acosφ , y = bsinφ (φ∈zπ) , 其中, a为长半轴长, b为短半轴长, φ为参数。

制作步骤:

步骤一:以坐标原点O为圆心, 分别以a、b (a>b>0) 为半径画两个圆。

步骤二:在大圆上取一点A, 连接OA与小圆交于点B。

步骤三:过点A作AN垂直于x轴, 垂足为N;作BM垂直于AN, 垂足为M。

步骤四:将点M定为追踪点, 选中点A, 作关于点A的动画按钮 (如图14) 。

步骤五:单击动画点按钮, 让A在圆O上任意移动, 可得椭圆方程的轨迹, 如图15中红色部分。

制作步骤:

步骤一:以坐标原点O为圆心, 分别以a、b (a>b>0) 为半径画两个圆。

步骤二:在大圆上取一点A, 作过点O、A的直线, 过点A作OA的垂线, 交x轴于点D。

步骤三:小圆交x轴于点B, 过点B作x轴的垂线, 交OA于点C, 过点C作x轴的平行线j。

步骤四:过点D作x轴垂线, 交j于点E, 选中点E, 将点E定为追踪点, 选中点A, 通过菜单“编辑>操作>动画”作关于点A的动画按钮 (如图16) 。

步骤五:单击动画点按钮, 让A在圆O上任意移动, 可得双曲线方程的轨迹, 如图17中红色部分。

通过从参数方程的角度动态地作出双曲线, 可以看出, 我们是通过三角函数的关系来转换各个参数从而得出方程的, 而三角函数是我们比较熟悉的, 这样可以让大家更容易地了解到图形形成的过程。

四、小结

以上借助几何画板从定义、标准方程、几何性质和参数方程四个方面动态地将椭圆和双曲线进行对比, 通过动态的变化过程, 以及改变不同的参数数值所带来的图像效果的变化, 增强了椭圆与双曲线知识在学生头脑中的可辨别性, 以达到促使学生形成良好的椭圆与双曲线的认知结构的目的。

参考文献

[1]陶维林.几何画板实用范例教程[M].北京:清华大学出版社, 2001.

[2]陶维林.用几何画板教平面解析几何[M].北京:清华大学出版社, 2001.

[3]方其桂.几何画板多媒体CAI课件制作实例教程[M].北京:清华大学出版社, 2002.

[4]刘胜利.几何画板课件制作教程 (第二版) [M].北京:科学出版社, 2010.

[5]文武双.信息技术在数学教学中的应用[J].中学数学参考, 2011, (14) :7-8.

[6]宋建慧.几何画板在高中数学中的应用[J].教育教学论坛, 2010, (25) :223.

§8.2.4双曲线几何性质 篇4

一．课题：双曲线的几何性质（2）

二．教学目标：1.巩固双曲线的几何性质；

2.能熟练地利用双曲线的性质求双曲线的标准方程。

三．教学重、难点：几何性质的运用。四．教学过程：

（一）复习：

1．双曲线的几何性质：

①范围；②对称性；③顶点；④渐近线；⑤离心率。2．练习：

①双曲线25x216y2400的实轴长等于

，虚轴长等于

，顶点坐标为

，焦点坐标为

，渐近线方程为

，离心率等于

．（若方程改为16y225x2400呢？）

（二）新课讲解： 例1．求证：双曲线

【练习】与双曲线y2xa22yb22（0）与双曲线

xa22yb221有共同的渐近线。

4x231有共同的渐近线且经过点M(3,2的)双曲线方程是 ．

例2．求中心在原点，一条渐近线方程为2x3y0，且一焦点为(4,0)的双曲线标准方程。

例3．已知双曲线的渐近线方程为y23x，实轴长为12，求它的标准方程。

五．小结： 用双曲线的性质求双曲线方程。六．作业： 课本P114第6题

补充：1．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,10)，（1）求双曲线方程；