双曲线中的面积计算

2024-11-18

双曲线中的面积计算（精选8篇）

双曲线中的面积计算篇1

随着房屋交易的不断增多, 房产面积测算作为房屋交易的衡量标准也在不断的变化和发展之中。随着当前社会的不断发展, 房屋交易已成为当前市场经济中的交易主体。在房屋交易过程中, 面积的测算是房屋交易的主要凭证, 是当前衡量房屋价值的主要标志。当前房屋面积的重要性已经逐渐的额走入人们的严重, 房屋面积测量的精确与否不止影响着开发商利益问题, 更是关系着居民的经济问题和居住过程中的各种问题。房产面积测算的精度可以保证今后产权登记最基本数据的准确性, 随着社会的发展, 人们对各种认识的不断加深, 使得房屋面积计算也在不断的精确化和精度化。在房产面积的测量过程中, 其测量的结果已经确定就必须报由当地官方证明, 且具有法律效力。

1 产权面积测算内容

房屋面积在计算的过程中主要是水平面积的计算和测算, 表现为当前房屋总面积与用底面积测算两种形式、其中房屋面积测算包括房屋建筑面积、共有建筑面积、产权面积、使用面积等测算。根据房产测量规范称其它计算房屋建筑面积的有关规定和规则, 能够计算建筑面积的房屋原则上应具备以下普遍性的条件:具有上盖;有围护物;结构牢固, 属于永久性建筑物;可作为人们生产或生活的场在现实房产交易过程中, 是以房产的产权面积为依据, 确定价格进行交易的, 因此, 在房产面积测量中, 我们着重关注的是房产产权面积的测量。房产产权面积分为两部分, 即套内建筑面积和分摊的共有建筑面积。

2 套内面积计算与共有建筑面积分摊方法

在当今房产的交易中, 都是以套为交易单位, 但是具体衡量标准还是以房屋面积为主要标准。在进行房产的权属登记或者发证时, 也是以套 (户) 为单位的, 所以有必要了解成套房屋面积的有关规定。

2.1 套内建筑面积计算

套内面积是整套房屋中套内体面积、套内阳台面积和套内房屋使用面积组成的, 是在实际工作中科院使用各种尺子及公式计算出的面积。实际工作中, 可以按套型的中线尺寸直接计算套内建筑面积, 但阳台面积则应按外墙尺寸计算:即按使用外墙至外墙尺寸计算阳台面积, 当两阳台相邻共用一公共墙体时, 此时对公墙的尺寸使用中线尺寸。

2.2 共有建筑面积的计算

共有建筑面积是为整个小区服务的建筑面积, 其中包括各个基础设施面积与管理用房。共有建筑面积可以分为三类, 即全幢共有的建筑面积、功能区共有的建筑面积和层共有的建筑面积。

2.3 房产面积测算的主要方法a.直接测量法

直接测量法是不需要利用被测量与其他实测量之间的函数关系进行额外计算, 可以直接通过测量值进行公式计算的方法。是当期房屋建筑面积测量过程中使用最多, 最普通的计算方法, 是通过采用卷尺或者手工测量工具对房屋的长宽进行测量然后通过公式计算出数值的方法。

b.间接测量法

由于某种原因的影响和制约使得在测量的过程中不能够直接测量到所需要的数据, 而不得不采取其他途径, 通过几何条件, 或解析方式间接得到边长, 从而得到建筑面积的一种方法。如解析测量法、图解法等。

2.4 共有建筑面积的分摊

共有建筑面积是产权归户主与开发商共同拥有的小区建造面积, 因此在共有面积分摊的过程中是按照谁使用谁分摊的原则进行的。将共有面积根据相关房屋的建筑面积按比例进行分摊。共有建筑面积分摊计算的基本公式是按相关建筑面积比例进行分摊, 计算各单元应分摊的面积。

3 房产测量软件BMF在房产产权面积计算中的应用

随着当前房地产开发的不断增大, 房产测量软件在其使用的过程不断的增大, 应用范围逐步的扩大。房产测量软件是计算机技术发展的产物, 是计算机软件的形式的一种, 其在房产开发过程中的主要功能可分为绘图和分摊计算两部分。绘图部分可以完成房产产权平面图的绘制及编辑, 是通过计算机控制程序对数据进行分析计算的过程, 并自动填入结果报告书之中, 由计算机直接输出。计算部分比较灵活, 可在人工干预下对已标注性质的公用面积进行分摊。利用软件BMF进行房产项目测量的主要步骤如下:

3.1 新建测绘信息

这是进行测绘计算的前期准备工作。测绘信息包括项目信息、幢信息及楼层户室单元信息。项目可以包含一幢也可以是多幢。一般把测绘部门收取的一个委托案件设定为一个工程项目, 将与之有关的基本测绘信息输入, 为后期的编辑和查询提供依据, 同时作为成果输出时, 相关测绘信息的填充。

3.2 绘制图形

通过计算机系统软件对当前建筑物建筑面积进行测量的基础和关键, 是计算机在面积测算中的主要应用形式。首先必须绘制出房屋分层分户平面图, 分层分户平面图要求反映出各公摊面积的范围, 各套 (户室) 套内建筑面积范围。房产分层分户平面图绘制的正确与否, 以及精度的高低, 直接关系到房产项目中相关面积的提取精度, 从而影响后面房产面积的分摊和计算。

3.3 设置当前楼层, 添加面积属性

在进行编辑面积线属性信息之前, 先设置当前楼层, 将这个楼层所在的图形设置为当前图形。之后, 在当前楼层下, 根据系统提供的相关面积线提取按钮, 根据实际调查和设计情况, 依次添加各部位的面积属性。

3.4 生成墙体

在商品房的面积分摊计算中, 根据房产测量规范, 只有半外墙是公共面积, 用来分摊的。而我们开始绘制的房产标准信息图, 都是绘制的实体的墙中线, 所以在分摊前, 还需要生成半外墙。生成墙体的方式是点击菜单“面积”下的“生成墙体”, 用鼠标去框选需要建墙的实体, 根据命令提示, 输入墙的宽度, 这样就可以把绘制的墙体中线变成实际厚度的墙体。

3.5 分摊区划分

当所有的面积线信息的属性添加完毕后, 就可按照实际幢分摊的情况进行分摊区划分。功能区的划分。

3.6 分摊关系指定

通俗讲, 就是要指定哪个共用区是分摊到哪几个功能区上的, 也就是创建分摊关系树的过程。分摊关系树的指定就是将分摊最高级的共用区首先添加到分摊树中, 然后依次将次一级别的共用区添加到分摊关系树中;最后, 选中某一共用区, 将功能区按照实际分摊情况添加到相应的共用区下面即可。

总之, 随着当前房地产开发的不断增大, 面积测算已成为当前房产产权与房产交易的主要凭据, 是当前房产权进入市场的主要标志。随着计算机技术的不断发展, 人们在房屋面积计算的过程中的效率也在不断的加快, 计算机在面积测算中的应用得以有效的满足了这一要求。

双曲线中的面积计算篇2

这是一节六年级长方体和正方体表面积的总复习课。上课伊始，教师先让学生回忆长方体的表面积计算公式。

生1：长方体的表面积=(长宽+宽高+长高)2。

师：还有不同的方法吗?(见学生摇头，教师又追问了一次)

生2(不太情愿地)：长方体的表面积=长宽2+宽高2+长高2。

师：这是长方体的表面积计算公式吗?

生：是。

师：既然是，那为什么大家不说呢?

生：这个公式太麻烦了。

师：麻烦在什么地方?

生3：这个公式要计算这么多次乘2 ，步骤太多了。

师：那在计算表面积的时候，肯定是第一种公式简便了?

生：是!

师：一定吗?

生：一定!

师：同学们能保持一种追求简便的意识的确很可贵，可是用第二种方法真的就很麻烦吗?会不会也有简便的时候呢?比如，当长、宽、高是某些数据的时候

(学生开始动笔举例，不一会儿就有学生举出这样一个例子：长35厘米，宽25厘米，高15厘米)

教师请大家用第一种公式计算表面积，即(3525+2515+3515)2，再请学生运用第二种公式求表面积，即35252+25152+35152。教师把全班学生分成两组比赛，愿意用第一种方法的用第一种方法计算，愿意用第二种方法的用第二种方法计算，看谁算得又对又快。结果，有一部分学生选择了第二种方法，他们的速度正确率明显优于选择第一种方法的学生。五分钟过后，学生们交流汇报。

生4：我发现这两种方法说到底还是同一种方法，(3525+2515+3515)2用乘法分配律就是35252+25152+35152，它们是相通的。

生5：我觉得看问题不能看表面，有时步骤多的算式，计算起来反而更简便。

生6：我觉得大多数情况下用第一种公式算比较简便，但少数情况下用第二种方法比较简便。

生7：我认为任何一种方法简便不简便是相对的，不是绝对的。

生8(激动地)：对，我可以举例说明。这个问题其实就是乘法分配律中先求和还是先求积的问题。有的时候先求和比较简便，如7836+2236，应该这样算(78+22)36;而有的时候先求积比较简便，如(40+4)25就应该这样算4025+425。

师：同学们讲得非常好。看来，一种方法简便不简便还真的是相对的，同学们能有这样一个发现非常了不起，我们就把这种看待问题的方法命名为实小六(3)相对论。

这是几年前我教六年级时的一则教学案例。几年之后，当我回忆起这一教学时，仍然为当时学生的出色表现感到激动。那个时候，我还不懂什么叫新课程，更不懂其中的理念。现在回想起来，它却让我思考起新课程中的许多东西。

一、数学学习的价值何在?

新课程提出人人学有价值的数学，那么数学学习的价值究竟是什么，难道仅仅是几个看得见、摸得着的应用么?

数学的价值有术与道之分。术是形而下，是让数学作为工具直接参与问题的解决，这就是数学的显性价值。对于我们一般人来说，生活中数学显性价值应用的面并不是很广，无不是买卖东西、算算面积等几个为数不多的问题。而相对来说，数学价值应用得更多的是隐性的道，道是形而上，是人们在数学学习过程中形成的理性的思考问题的.思想和方法。它通过改变人们的认识水平，从而改变着人们对待现实问题的态度与方法。

比如，经过上述教学后，学生就会自觉或不自觉地形成这样一个认识：一种方法没有绝对的优势，也没有绝对的劣势，要根据具体的情况而定。学生一旦形成这样的认识，那么他在今后的生活学习中面对许多人和事的时候，就会显得更加成熟与理性。所以，真正的大众数学，并不是要我们人为地生搬硬套创设过多的生活中的数学问题，而是更多地去挖掘数学中的隐性价值，让它们跟现实生活中的问题解决对应起来。

二、教学也要用相对论

在我看来，人的思维是有一种绝对化的倾向的。学生在学习了长方体的表面积计算公式长方体的表面积=(长宽+宽高+长高)2之后，就会认为这就是最简便的计算公式了，他们不会想到另外一种看似繁杂的计算公式也有简便的时候。而我们教师的思维不也同样如此吗?

从思维心理学的角度来看，思维绝对化属于一种思维定式。事实上，无论是学生思维的缺陷，还是我们自身认识的偏颇，都是源自人类思维固有思维定式的特点，这原本是可以理解的。但关键的是，我们不能被自己的思维定式所控制，而要站在更高的思维层次主宰自己的思维定式。

双曲线中的面积计算篇3

下面把直角三角形F1MF2推广为任意三角形, 有以下定理及推论.

证明:设|MF1|=t1, |MF2|=t2, |F1F2|=2c, 由双曲线的定义得, |t1-t2|=2a, (t1-t2) 2= (2a) 2, t12+t22-2t1t2=4a2.

双曲线中的面积计算篇4

固结系数是反映土层固结特性的参数,在基础沉降计算中具有十分重要的意义。目前由室内固结试验确定固结系数的方法中,应用最广泛的是时间平方根法和时间对数法[1],这两种方法均属作图法,人为因素对于固结系数的计算影响较大。此后,国内外许多学者提出了一些新的图解法:试算法[1]、反弯点法[2]、司各脱法[3]以及标准曲线比拟法[4]等,但均无法回避图解法缺点和求解不便。近期国内外学者通过对地基土体固结过程的研究,提出了一些新的方法,如包太[5]等提出的计算固结系数的最小二乘法、李涛[6]等提出的计算固结系数的剩余沉降对数法、张勇[7]等提出的计算固结系数的固结速率半对数法以及张仪萍[8]等提出的计算固结系数的方法等。其中,文献[8]从太沙基固结理论出发,推导出了主固结沉降量与沉降速率之间的关系,且该关系为线性关系。利用这一关系计算固结系数非常简便和实用,但文献在确定各时刻的沉降速率时采用差商法,按式(1)计算:

$S_{t^{'}} = \frac{S_{t + Δ t} - S_{t}}{Δ t} (1)$

显然,按上式计算固结沉降速率即利用沉降曲线上某一段的割线斜率表示起点的切线斜率,也即用某一段时间的平均沉降速率代替起始点的沉降速率,误差相对比较大。尤其当Δt越大时,其误差也越大。

为了弥补这一方法的不足,本文采用沉降曲线拟合法来确定各时刻的沉降速率,进而按照文献[8]提出的方法计算固结系数,并将计算结果与文献的计算结果进行了对比。结果表明:用本文方法计算沉降速率,所得到的固结系数与文献[8]相比,计算精度大大提高。

1 沉降量与沉降速率关系的推导[8]

土层固结度Ut的计算式为[1]:

$U_{t} = 1 - \frac{8}{π^{2}} \sum_{m = 1}^{m = \infty} \frac{1}{m^{2}} \exp (- \frac{m^{2} π^{2} C_{v}}{4 Η^{2}} t) (2)$

其中,Cv为固结系数;t为时间;H为排水距离;m为奇数正整数。

由于上式级数收敛很快,当地基土层的固结度Ut>30%时,可近似取第一项,即:

$U_{t} = 1 - \frac{8}{π^{2}} \exp (- \frac{π^{2} C_{v}}{4 Η^{2}} t) (3)$

又由平均固结度定义知:

St=UtS (4)

其中,St为土层某时刻的固结沉降;S为土层最终的固结沉降。

将式(3)代入式(4),得:

St=S[1-αexp(-βt)] (5)

其中, $α = \frac{8}{π^{2}}$ ; $β = \frac{π^{2}}{4} \frac{C_{v}}{Η^{2}}$ 。

在某级试验荷载下,β和S可以认为是常数。将式(5)对时间求导,有:

St′=Sαβexp(-βt) (6)

上式即为沉降速率的表达式。联立式(5)和式(6)可得固结沉降量与沉降速率之间的关系式为:

St′=-βSt+βS (7)

显然,式(7)中固结沉降量与沉降速率之间为线性关系,利用这一关系可以很方便的求解出固结系数Cv。

-β为直线段斜率,则固结系数表达式为:

$C_{v} = \frac{4 Η^{2} β}{π^{2}} = \frac{Η^{2} β}{2.467 4} (8)$

因此,只要能够准确的确定各时刻的沉降速率,即可得到β,进而得到固结系数Cv。

2 沉降速率的确定方法

文献[8]按照式(1)确定各时刻的沉降速率,显然此种方法误差相对比较大。尤其当Δt越大时,其误差也越大。因此,本文采用MMF曲线拟合模型来拟合固结沉降量与时间之间的关系。一旦确定了固结沉降量与时间之间的关系,则很容易求得各时刻的沉降速率。

MMF曲线拟合模型的表达式为:

$y = \frac{a b + c x^{d}}{b + x^{d}} (9)$

只要拟合值与实测数据之间的误差足够小,相关性足够高,就可以用上式来描述土体沉降量与时间之间的变化规律,即:

$S_{t} = \frac{a b + c t^{d}}{b + t^{d}} (10)$

其中,a,b,c,d均为模型参数。

则土体t时刻的沉降速率为:

$S_{t^{'}} = \frac{(b c d - a b d) t^{d - 1}}{(b + t^{d})^{2}} (11)$

利用式(11)即可计算出土体任意时刻的沉降速率,将各时刻的沉降速率与沉降量代入式(7)即可求出土体的固结系数。

3 算例验证

算例[8]土样初始厚度为16.5 mm,经24 h后土样厚度为14.1 mm。试验数据如表1所示。

根据表1中试验数据,采用MMF曲线模型对沉降曲线进行拟合。拟合沉降曲线表达式为:

$S_{t} = \frac{3.898 9 + 0.247 3 t^{0.836 8}}{315.176 3 + t^{0.836 8}} (12)$

线性相关系数为:r=0.999 9。

拟合沉降速率表达式为:

$S_{t^{'}} = \frac{61.960 1 t^{- 0.163 2}}{(315.176 3 + t^{0.836 8})^{2}} (13)$

拟合曲线如图1所示。

由拟合曲线和误差分析可知:用MMF曲线拟合模型对其进行拟合,误差非常小,相关系数非常高,几乎达到1。因此,MMF曲线模型能够非常好的反映土体沉降与时间的关系,用式(13)得到的沉降速率非常接近土体固结沉降的真实速率。

由于固结系数在土体固结过程中并不是一个常数,而是不断变化的。因此,固结系数的最终计算结果还与所取数据所处的时间段有关。取不同时间段的数据进行计算,所得到的固结系数也会有所不同。文献[8]取540 s～2 160 s之间的数据计算固结系数,为了对比用式(11)计算沉降速率与用式(1)计算沉降速率对所得固结系数的影响,本文亦取540 s～2 160 s之间的数据计算固结系数。这样可以避开其他因素的影响。

将表1中540 s～2 160 s之间的数据代入到式(13)计算各时刻的沉降速率。计算结果如表2所示。

将表2中各相关数据代入式(7),可得如图2所示的曲线图,其直线段斜率为β。

则直线段斜率β=0.001。线性相关系数R=0.989 7,故沉降量与沉降速率之间具有较高的相关性。

土样初始厚度为1.65 cm,在第540 s时的厚度为1.55 cm,在第2 160 s时厚度为1.481 cm,在此期间平均厚度为1.516 cm,则排水距离H=0.757 8 cm。

将H=0.757 8 cm,β=0.001代入式(8),可得到固结系数Cv=2.33×10-4 cm2/s。文献[8]按照式(1)计算各时刻的沉降速率,计算得到的固结系数Cv=1.722×10-4 cm2/s。

由此可以看出,用相同的方法计算固结系数,只是确定各时刻沉降速率的方法不同,导致最终计算的固结系数具有较大的差别,误差高达35%。因此,采用本文方法计算固结沉降速率,可使得最终得到的固结系数准确度得到大大提高。

4 结语

本文通过用MMF曲线拟合模型对地基土体固结过程中土体固结沉降量与固结时间之间的关系进行拟合,得到了各时刻比较准确的固结沉降速率,进而采用文献[8]推导得到的速率法计算了土体的固结系数,并与文献计算结果进行了对比。结果表明:采用本文方法计算固结沉降速率,可使得最终得到的固结系数准确度大大提高。因此,本文计算固结沉降速率的方法对采用速率法计算固结系数的方法具有一定的应用价值。

参考文献

[1]钱家欢,殷宗泽.土工原理与计算[M].第2版.北京:水利水电出版社,1996.

[2]Cour F R.Inflection point method for computingCv[J].Jour-nal Soil Mechanics Foundation Engineering,ASCE,1971(1):827-831.

[3]Scott R E.New method of consolidation coefficient evaluation[J].ASCE,1976(1):29-39.

[4]李金轩,胡金珠.确定固结系数的标准曲线比拟法[J].工程勘察,1996(1):21-22.

[5]包太,刘新荣,朱凡,等.固结系数的最小二乘法计算[J].岩土工程学报,2005,27(10):1230-1232.

[6]李涛,张仪萍,曹国强,等.推算室内固结系数的剩余沉降对数法[J].岩土工程学报,2003,25(6):724-726.

[7]张勇,孔令伟,白冰,等.确定固结系数的固结速率半对数法[J].岩土力学,2007,28(2):355-358.

双曲线中的面积计算篇5

风机节电率计算中, 对风机特性曲线的仿真是很重要的一部分, 风机特性曲线越接近实际运行工况, 节电率计算就越准确, 对后期改造方案中投资回收期的估算就越准确, 可有效避免投资和收益的损失。

M atlab提供2 种曲线拟合方法:

1) 以函数的形式, 使用命令对数据进行拟合。这种方法比较繁琐, 需要对拟合函数有比较好的了解。

2) 用图形窗口进行操作, 具有简便、快速、可操作性强的优点。

本文主要介绍通过图形窗口的方式进行风机特性曲线的仿真。

1 Matlab曲线拟合工具简介

M atlab的曲线拟合工具箱是一个功能十分强大、使用非常简便的工具。其集成了用户图形界面和内部函数, 可以对数据进行分段、平滑等预处理, 对参变量进行多项式、指数、有理数等形式的数据拟合, 用残差和置信区间可视化估计拟合结果的好坏, 可视化与数值化相结合的开发和分析数据及拟合结果的能力, 且结果可保存为多种形式。

1. 1 使用方法

Matlab的曲线拟合工具箱的使用方法如下。

1) 第一步:在命令行键入cftool打开曲线拟合工具箱 (curve fitting tool) 对话框。

2) 第二步: 在curve fitting tool对话框中单击Data按钮打开data对话框指定要分析的 ( 预先存在工作区间) 数据。

3) 第三步: 在curve fitting tool对话框中单击fitting按钮打开fitting对话框, 进行设置, 实现曲线拟合。

1. 2 参数选择

其中最重要的就是拟合类型参数选择 (Type of fit) , 一共有11项参数选择。

1) Custom Equations: 自定义拟合方程;

2) Exponential:2种指数拟合方程;

3) Fourier: 8 种傅里叶公式拟合方程;

4) Gaussian:8种高斯拟合方程;

5) Interpolant:4种内插值拟合方程;

6) Polynomial:9种多项式拟合方程;

7) Pow er:2种指数拟合方程;

8) Rational: 6 种有理拟合方程;

9) Smoothing Spline: 平滑线条拟合方程;

10) Sum of Sin Functions: 8 种正弦和拟合方程;

11) Weibull: 韦伯分布拟合方程。

通过拟合参数的选择, 可以实时看到各种拟合曲线的效果, 从而找到适合的参数曲线。

2 应用举例

2. 1 风机参数

以某钢铁厂的锅炉引风机为研究对象, 其风机型号、电机型号如表1、表2所示。风机实际运行数据如表3所示。

2. 2 风机额定参数曲线仿真

1) 将风机样本中的无因次性能表 ( 见表4 ) 的参数输入到Matlab变量表中, 如图1 所示。

2) 在M atlab的命令行中输入cftool, 打开曲线拟合工具箱 ( curve fitting tool) , 点击Data按钮, 打开Data窗口, X Data选择流量 φ, Y Data选择压力ψ, 点Create data set按钮, 创建流量- 压力无因次曲线, 如图2、图3 所示。

3) 关闭Data窗口, 点击Fitting按钮, 打开Fitting窗口, 点击New fit按钮, 在Type of fit中选择合适的拟合参数, 并在下方选择合适的方程, 点击Apply按钮即可看到实际效果, 各种参数的拟合效果、拟合数据分析如图4、图5 所示。

从效果图和数据分析以及数据计算量综合比较, 得出4 阶多项式拟合方程 ( 4th degree polynomial) 最适合。

4) 重复上面步骤, 依次创建流量- 功率曲线、流量- 效率曲线, 如图6 所示。

2. 3 风机运行参数曲线仿真

根据风机样本中调节性能曲线按照2. 2 步骤仿真进风口开度30°时的流量- 压力曲线、流量-功率曲线和流量- 效率曲线, 如图7 所示。

样本手册中各参数计算公式如下。

式中: Q—流量, m3/ h;

D2—叶轮直径, 取D2= 2. 1m ;

U2—叶轮线速度, 取U2=105.56m/s。

式中: Kp—全压系数;

ρ1—进气密度, 取ρ1=0.74645kg/m3。

式中: P—全压, Pa。

式中: Pin—轴功率, k W。

式中: ηm—机械效率, 取 ηm= 0. 98;

K —功率系数, 取K = 1. 3。

根据实际风门开度30°得到风量约为额定风量的88% , 即Q30= 0. 88Qe= 237600m3/ h。

根据式 ( 1) 可计算出 φ = 0. 18。在psi30 -phi30 曲线中找到 φ = 0. 18 的点, 对应的 ψ = 0. 43。

由于风机是进风口调节, 管道阻力曲线不变, 则管道阻力曲线必过这个点。

设管道阻力曲线方程为y = ax2, y = 0. 43, x =0. 18, 可求出a = 13. 2716。

在Fitting窗口中点New fit, fit name设为pipe, Type of fit选择Custom Equations, 点击New equation, 在Linear Equations中公式设为y = ax2+ c, 点击OK。点击Fit options, 将a和c的值设为13. 2716 和0。自定义公式及参数设置如图8、图9所示。

点击Apply, 管道阻力曲线效果如图10 所示。

由图10 可知, 当前风机工作点在A点, 位于管道阻力曲线和风机调节曲线的交点。

2. 4 节电率计算

当前风门开度30°, 风量为额定风量的88% , 输入功率Pre30 为340k W, 工作点为A点, 工作效率稍低。

根据式 ( 5) 可求出轴功率Pin30= 290k W 。根据图10 可找到 φ = 0. 18 时风门开度30°时的效率η30= 0. 833。实际风机所需功率P1= Pin30·η30=242k W 。

如果将风门全开, 则工作点为B点, 不符合实际工况要求, 可降低转速, 将工作点移至A点, 达到工况的要求, 工作效率较高与风门全开差不多, 也可节能。

风机所需功率不变为P1= 242k W , 根据图10可找到 φ = 0. 18 时风门全开时的效率 η = 0. 85。

风机所需轴功率为Pin= P1/ η = 284k W , 根据式 ( 5) 可求出实际所需功率Pre= 333k W 。

这个计算方法并未考虑电机效率提高带来的节电, 实际的节电率会高一些。

3 结论

傅里叶级数求等周闭曲线的面积篇6

关键词：傅里叶级数,等周闭曲线,圆面积

法国数学家傅里叶发现傅里叶级数以来,关于级数理论的研究随即走向了新的里程碑。在应用方面,傅里叶级数在电力工程、通信、控制领域、应用数学、物理及工业应用上都取得了辉煌的成就。本文主要给出一个傅里叶级数在几何中应用的例子,应用傅里叶级数解决等周闭曲线面积问题。通过解决实际问题,进一步理解傅里叶级数的理论知识,为傅里叶级数的更广泛的应用打下基础。

一、预备知识

等周闭曲线,即周长相等的闭曲线。众所周知,由等周闭曲线围成的凸图形中,圆的面积最大。这个问题早在古希腊时期就已提出。下面,我们利用数学分析中学过的傅里叶级数,证明等周闭曲线围成的凸图形中,圆的面积最大。

设Γ是平面内的一条闭曲线,在直角坐标系xoy中,x轴把曲线分成y=f(x)和y=g(x)(0≤x≤1)两个连续的函数,且f(x)≥g(x),如下图。令Ω表示两个函数所围的区域,即:

定义1.若在整个数轴上

且等式右边级数一致收敛,则有如下关系式:

定理1.如果f是以2π为周期且在[-π,π]上可积的函数,则可按公式计算出an,bn,它们称为函数f的傅里叶系数,以f的傅里叶系数为系数的三角级数称为f的傅里叶级数,记作

二、问题的证明

由于x(s)和y(s)是2π为周期的函数,由定理1其傅里叶级数为

将Parseval恒等式带到公式(2)有

由公式(1),Ω的面积为:

三、总结

等周闭曲线的面积问题,其实一定程度上也是一种不等式问题,傅里叶级数在证明这类问题上有一定的优越性,且傅里叶级数是用三角函数来表示复杂函数,在某种程度上也简化了证明过程。通过对等周闭曲线面积的求解和证明,我们更加深入地了解了傅里叶级数及其应用。傅里叶级数是一个重要的理论基础,也是重要的工具,期望傅里叶级数在解决日常生活的问题中扮演越来越重要的角色。

参考文献

[1]王亚男.傅里叶级数在实际中的应用[J].科技创新与应用,2014,(13):277-278.

[2]李文新,张大鹏,许卓群.基于傅里叶变换的掌纹识别方法[J].软件学报,2002,(5):11-18.

[3]华东师范大学数学系.数学分析[M].第4版.北京:高等教育出版社,2010.

双曲线中的面积计算篇7

一、分析法的定义

在数学几何求解题中, 分析法是指通过建立对已知图形的了解与认识的基础上对未知图形进行关联思考的一种分析方法.

在初中数学中, 大部分几何图形都是由最基本的几何图形变形或者组合而成.对于未充分掌握分析法的学生来说, 很难将复杂的几何图形分解或变形为几个基本的几何图形, 因此在对表面积进行计算时无从下手.合理地运用分析法能让学生在解复杂几何图形时, 能够从几何本质去思考问题, 通过发现被隐去的基本图形来将复杂图形简单化.因此, 在解几何图形表面积计算问题时, 应当鼓励学生采用分析法.

二、分析法在计算基础几何图形表面积中的应用

初中几何图形面积的习题相对比较简单, 所求的表面积主要是由一些基本图形通过简单组合得到.对此, 学生可以采用分析法将整体几何表面积的求解转化为对基础图形表面积的求解.

例如, 教师:“同学们, 请你们仔细观察图1这个几何图形, 想想如何计算它的表面积.”没有一个学生能回答.这时候该教师继续引导:“这是一个立体几何图形, 它的表面积包括底面积和侧面积两个部分.”随后将PPT切换到侧面展开的图形 (如图2) .有学生提出:“我们还没学过求类似扇形的面积的公式.”这时候教师笑着说:“想想这个‘扇形’可以由我们学过的哪些图形组成?”“是由5个三角形组成, 可以将‘扇形’的面积转化为5个三角形的面积和!”一位学生欣喜地叫道.教师点点头肯定这位学生的回答:“同学们, 在求解‘扇形’侧面积时, 我们采取的方法是将求未知的‘扇形’面积转化为求已知的三角形面积, 这种方法是几何中最为常用的分析法.那么, 如何采用分析法将底面积转化为已知的图形, 从而求出底面积?”至此, 学生能将底面图形分成3个三角形, 通过计算三角形的面积就能顺利求出底面积.

该教师在讲解几何图形表面积时, 将对锥体表面积拆解为“扇形”表面积与五边形底面积, 最后通过分析法将对未知图形面积的求解转化为对已知三角形面积的求解.在几何图形求解时, 合理地运用分析法能让学生明白几何图形的组合实质, 降低计算难度.

三、分析法在非基础几何图形表面积计算中的应用

初中数学中并不是所有图形都是简单组合而成的, 有些几何图形只是完整几何图形的一部分.在对这样的几何图形进行面积求解时, 更应当采用分析法.

例如, 某教师在教授苏科版初中数学第九册《5.9圆锥的侧面积和全面积》这一课时, 有这么一个片段:

教师:“请你们看看屏幕中的圆锥体, 思考如何计算它的表面积?”学生参考五棱锥表面积的计算思路, 将圆锥体的表面积求解分成两个部分:其中一部分为圆, 面积为πr2;另一部分的侧面积为扇形, 这将大部分学生难住了.这个扇形的底边是条弧线, 而非直线, 所以学生在不能将扇形转化为多个三角形的组合形式.该教师看到学生停止讨论, 明白了学生被这个锥体侧面积计算所难住.“同学们, 在求解五棱锥时, 我们采用分析法将‘扇形’侧面分解为三角这样的基础图形.那么对于这样真正的扇形, 能否继续采用分析法, 将其转化为已知图形求解呢?”听了教师的提示, 学生还是一脸迷茫.这时候教师又提示学生:“若将扇形无限等分, 小扇形的底部的弧线能否近似看做直线?”听了教师的提示, 学生似乎有些想法, 但是却不敢说出口.有位学生轻轻地说了句:“能不能将小扇形近似地认为是个三角形?”该教师点点头, 在黑板上写下了推导公式:

学生看了推导公式后豁然开朗, 立刻明白了圆锥体侧面积的计算原理.

依靠分析法不仅能够拓展学生的解题思路, 还能让学生熟悉几何图形面积计算公式推导的原理, 将对公式的死记硬背转化为对图形本质的内在记忆.

双曲线中的面积计算篇8

ROC曲线是受试者工作特征曲线(Receiver operating characteristic curve,ROC curve)的缩写。美国生物统计百科全书中关于ROC的定义是:“对于可能或将会存在混淆的两种条件或自然状态,需要试验者、专业诊断学工作者以及预测工作者作出精细判别,或者准确决策的一种定量方法”[1]。自从八十年代起,ROC曲线已成为国际公认的比较、评价两种或两种以上诊断方法效能差异性的客观标准[2,3]。

ROC曲线目前在药物设计研究领域内应用很少,特别是在计算机药物虚拟筛选领域,一般是应用富集曲线来评估和挑选活性化合物,富集曲线的缺点是被筛选的化合物数据库中活性化合物比率对它的影响很大,而且在筛选过程中它只考虑灵敏度,没有考虑特异度,也就是没有假阳性化合物的因素,所以不能客观地对不同的虚拟筛选方法做出评估。到现在为止,研究人员还缺乏一种金标准,针对一个特定的靶蛋白,虚拟筛选后可以准确地挑选出活性分子,以及如何设定打分值,使得活性化合物最多,无活性化合物最少,其实这些问题可以通过研究ROC曲线加以解决。

乙酰胆碱酯酶(AChE)是一种水解乙酰胆碱(ACH)的特殊酶,分子量为8万,属于丝氨酸蛋白酶类,可抑制胆碱突触的兴奋传递。是胆碱能神经系统重要功能酶之一,其主要作用是迅速水解突触间隙的神经递质乙酰胆碱(ACH),保证神经冲动传导的灵敏性。某些AChE抑制剂可以减缓老年性痴呆、重症肌无力、小儿麻痹等疾病,而目前的AChE抑制剂在治疗这类神经系统疾病方面,还存在着诸如起效慢、疗效不高、负作用大等许多不足和缺憾。故筛选和设计新型的AChE抑制剂的对于神经系统疾病的治疗,具有重要的临床意义。

本研究以乙酰胆碱酯酶(AChE)的三维晶体结构为靶,采用分子对接软件Surflex虚拟筛选了40个AChE的抑制剂和3 960个无活性化合物,同时应用5种打分函数,Surflex_score[4],Dscore[5],Gscore[6],PMFscore[7],___ChemScore[8],对筛选的结果分别进行单个函数打分排序,根据绘制的ROC曲线分析,找出合适的打分函数以及合适的打分值作为阈值,为接下来的大规模虚拟筛选提供指导。

2 材料和方法

2.1 筛选用的数据库准备

从DUD数据库中(http://dud.docking.org)挑选出ACHE的3 960个无活性分子;从bindingDB数据库(http://www.bindingdb.org)中根据分子的多样性选出40个化合物作为ACHE抑制剂;将40个活性分子和3 960个无活性分子混合,利用Concord程序将它们转换为Sybyl mol2格式的三维结构。

2.2 大分子蛋白的准备

目前在PDB蛋白晶体数据库中已有100多个ACHE蛋白晶体复合物,我们下载其中一个编号为2VJC的蛋白晶体[9],加上氢原子,去除晶体中所有的水分子和辅基,将关键的催化氨基酸Asp32质子化,Asp228离子化。

2.3 基于分子对接的虚拟筛选和打分排序

利用分子对接软件Surflex 2.03[10],在Sybyl 8.1药物设计平台上(Tripos Inc.SYBYL 8.1)进行虚拟筛选,在protomol产生的过程中将参数proto_bloat调整为2,以便于扩大ACHE活性口袋的范围,搜索到更多的分子结合模式;对接时应用Surflex程序自带的Surflex_score函数搜索构象空间,每个化合物生成1个最佳结合模式,应用Dreiding力场对每一个结合模式进行能量优化。其它参数为Surflex给定的缺省值。对接完毕后应用Syby1 8.1所带的CScore模块对所有生成的1万个结合模式重新打分,Cscore模块目前包括4种打分函数,D_score,G_score,PMFscore,ChemScore。_

2.4 绘制ROC曲线

以假阳性率(1-特异度)为横轴,真阳性率(灵敏度)为纵轴,连接各点绘制曲线构建成光滑ROC曲线。然后计算曲线下的面积,即AUC值(area under curve)[1]。

2.5 虚拟筛选效果的判断

应用计算机虚拟筛选活性化合物已知的数据库,根据打分值的高低来计算灵敏度和特异度,比较实际(活性/无活性),计算(选择/丢弃)的情况,理解ROC曲线(表1)。

灵敏度=真阳性/真阳性+假阴性;特异度=真阴性/真阴性+假阳性

ROC曲线图是以假阳性率(1-特异度)为横轴,真阳性率(灵敏度)为纵轴。ROC曲线下的面积即为AUC值,以此反映虚拟筛选的效果。一般认为AUC值为0.5～0.7时筛选效果较差;为0.7～0.9时筛选效果中等;大于0.9时筛选效果较好。AUC因不受筛选分子库中活性化合物数量的影响,可对两个虚拟筛选的准确度进行综合比较,因而是最佳评价指标[1]。

3 结果

本研究应用Surflex分子对接软件针对ACHE的晶体结构2VJC进行虚拟筛选,成功地将4 000个化合物对接进ACHE的活性口袋(图1),各个化合物生成的一个最佳结合模式分别根据5种打分函数(Surflexscore,Dscore,__G_score,PMF_score,ChemScore)打分,根据分数值的大小进行排序,根据已知活性分子和无活性分子的信息,结合5种打分函数的打分值画出ROC曲线图(图2),在ROC曲线图上有5条曲线代表5种打分函数的曲线,从图中可以看出,ChemScore,D_score,G_score打分函数的ROC曲线都偏向左上角,AUC分别为0.91,0.81,0.87。它们均显著大于随机分布的AUC值(ROC曲线为对角线,值为0.5),表明应用这3种函数预测效果均好于随机分布模型。其中用ChemScore的AUC最大,曲线最靠近左上角,说明它可以更准确地预测活性分子。在5种函数中,Surflex_score和PMF_score的ROC曲线较差,AUC为0.64和0.67,ROC曲线下的面积较小,可以看做是随机筛选,没有富集。

ROC曲线上的每一点代表了打分阈值的灵敏度与特异度。严格的标准产生较低的灵敏度和较高的特异度,ROC点位于曲线的左下;宽松的标准产生较高的灵敏度和较低的特异度,ROC点位于曲线的右上方。

从表2和ROC曲线图中看出,在特异度一定的情况下,当横坐标(1-特异度)=0.1时,也就是当选择了400个假阳性分子时,应用ChemScore打分函数可以获得最高的灵敏度75%,其阈值设定为-44.97,因我们已知活性分子在筛选库中总共有40个,灵敏度75%表明获得了30个活性分子,这个结果和AUC的结果一致。

在药物虚拟筛选的实际研究过程中,主要考虑到研究的花费,我们不可能一次购买上千个化合物,一般只能从供货商那里购买几十个化合物进行实物测试,所以我们特别重视特异性,也就是尽可能地减少假阳性化合物的测试,所以当我们在ROC曲线上取横坐标(1-特异度)=0.025时,也就是选择100个假阳性分子时,结果如表2所示,经ChemScore打分函数可以获得最多的28个活性化合物,其灵敏度为70%,阈值设定为-47.99;其次为G_score,有21个活性化合物,阈值设定为-379.45;最少的是PMF_score,有7个活性化合物。

4 讨论

本研究以ACHE的三维晶体结构2VJC为靶,虚拟筛选了50个ACHE的抑制剂和9 950个无活性分子,评估5种打分函数,Surflex_score,D_score,G_score,PMF_score,ChemScore,打分排序应用ROC曲线进一步分析。Surflex_score考虑了分子间的立体互补性,静电互补性,以及焓和溶剂的作用,是一种基于经验性的打分函数,本研究表明,如果选择ROC曲线的左下角,即假阳性率=0.01时,在5种函数之中,ChemScore可以获得最多的活性化合物30个。

通过本研究和其它研究组的成果证明ChemScore针对ACHE无论是在判断大小分子间的结合模式上还是在虚拟筛选后的打分排序上都非常准确。D_score是基于AMBER力场的打分函数,主要考虑的是静电和立体互补性对于结合能的贡献,静电的作用具有距离依赖性。在本研究中,ChemScore的AUC值最高,为0.91,表明应用ChemScore虚拟筛选ACHE抑制剂是最准确的。G_score主要考虑的是氢键之间的相互作用,在ACHE的活性口袋中存在不少氢键供体和受体,所以G_score在本研究中也获得良好的结果。ChemScore也是一个基于经验性的打分函数,它是利用82个受体配体复合物训练集通过线性回归拟合出的方程,有4种参数项:亲脂性相互作用能,金属-配体结合能,氢键和配体柔性罚分来评估结合自由能,在一般情况下可以较好的预测结合能。PMF_score是基于知识的打分函数,对几千个蛋白配体复合物晶体的原子对相互作用势能进行了统计分析,将这些信息转换成距离依赖性的Helmholtz自由能。理论上说,它的应用范围更广,不像基于经验性的打分函数只训练几百个晶体,但PMF_score在本研究中与其它打分函数相比AUC值最低,接近于随机筛选,有可能这种打分函数太过宽泛,不象其它函数在设计时就考虑到了类似于ACHE这样的酶。

计算机虚拟筛选化合物数据库的优势是可以富集活性化合物,减少实物测试的成本。虚拟筛选后有大量的打分数据,经排序后如何设定打分值的阈值,使得活性化合物最多,无活性化合物最少,是研究人员必须考虑的问题,但是设定打分值的阈值与一般的统计理论无关,必须要根据实际的情况,这时利用ROC曲线可以极大地方便我们做出决定。如果是时间和经费方面占主导因素,如研究经费较紧张,研究领域竞争激烈,我们必须首先考虑特异性,即减少假阳性率,这是一种保守态度,在ROC曲线上我们一般选择左下角的点,在本研究中,当我们设定特异性为0.9,假阳性率=0.1时,通过ChemScore打分函数可以获得最高的灵敏度75%,也就是30个活性分子。当我们主要考虑创新因素,也就是想获得一种崭新架构的化合物(先导化合物)时,灵敏度优先,在本研究中,我们选择ROC曲线左上角的点,设定特异性为0.975,即有100个假阳性分子时,通过ChemScore打分函数的灵敏度最高为70%,可以获得28个活性分子。

利用ROC曲线进行虚拟筛选后的分析有很多优点,(1)ROC曲线考虑两个方面,灵敏度和特异度帮助我们如何设定打分阈值,选择活性化合物,丢弃无活性化合物;(2)ROC曲线不依赖与筛选化合物数据库中的活性化合物的数量;(3)ROC曲线图非常直观,在一张普通的图上可以包含各种不同筛选策略做出的曲线,进而挑选出最合适的方法,寻找先导化合物,另外可以方便地进行跨学科的交流。

参考文献

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