双曲线的定义

双曲线的定义（精选8篇）

双曲线的定义 篇1

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的`方程为x=±a/c(焦点在x轴上)或y=±a/c(焦点在y轴上)。

一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。(a、b、c不都是零，b2-4ac>0)

双曲线的标准方程：

标准方程1：焦点在X轴上时为x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)

标准方程1：焦点在Y轴上时为y2/a2-x2/b2=1(a>0，b>0)

双曲线取值范围：│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)

双曲线对称性：关于坐标轴和原点对称，其中关于原点成中心对称。

双曲线的定义 篇2

命题:设Q是到两定点F1, F2的距离之差为常数的点的轨迹。若此常数的绝对值非零但大于两定点的连线长, 则Q上无实点。Q由一椭圆上的虚点构成, 此椭圆以给定的两定点为焦点, 以连接两定点的线段为长轴。

若取|x|>a, 则由 (2) , y必取虚数值。

于是, 无论x取何实值, 要使椭圆 (2) 上的点M (x, y) 同时在Q上, 纵坐标必取虚数值。

至此我们证明了Q上没有实点。Q只能由椭圆 (2) 上的虚点构成。可以证明椭圆 (2) 上的所有虚点都在Q上。 (证毕)

命题中的轨迹实际上由这样的点P组成:P和定点F1, F2构成一个三角形, 但边PF1和PF2之差的绝对值大于第三边。这样的点P当然不可能是实点。

圆锥曲线定义的运用 篇3

本节选自《普通高中课程标准实验教科书(选修1-1)·数学》(人教版)高二 文(下),第二章圆锥曲线与方程复习课。圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,也解有关圆锥曲线问题的精髓。如能很好地利用定义去解题,许多时候能以简驭繁.因此,我们在把新课学习完了后有必要再回到定义,熟练掌握“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题方法.

二、学生学习情况分析

这届高二的学生在高一时就是学习的新课程,因此新课程对他们并不陌生。与以往的学生比较,这届学生的特点是:参与课堂教学活动的积极性更强,思维敏捷,敢于在课堂上发表与众不同的见解,但计算能力比以前有所减弱,字母推理能力更强些,使用数学语言的表达能力也略比以前好。

三、设计思想

圆锥曲线这章的知识较为抽象,比较难理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,我积极引导学生利用数形结合解题,增强解题的直观性、强调学生“探究”的发挥.借助多媒体,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取、探究新知,提高教学效率.

四、教学目标

(1)深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义,能灵活应用定义解决问题;熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法;能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。

(2)通过练习题,强化对圆锥曲线定义的理解, 培养学生思维的能力、解决问题的能力;通过对问题的不断引申,精心设问,让学生掌握解题的一般思路和方法.

(3)借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神.

五、教学重点与难点:

教学重点

(1)加深对圆锥曲线定义的理解;

(2)运用圆锥曲线的定义去求“最值”问题;

(3)运用“定义法”求动点轨迹方程;

教学难点:

巧用圆锥曲线定义解题

六、教学过程设计

(1)设计思路:由于这是一堂复习课, 加上我所任教的班级是文科班里的本科班(学校称之为尖子班),学生有较好的数学基础,学习积极性较高,领悟能力较好,所以在教学中,我拟采用师生共同参与的教学方法:由教师提出问题,激发学生积极思考,引导他们运用已有的知识经验,以小组合作形式通过探究来获取新知识。通过个别回答,集体修正的方法让我及时得到反馈信息。最后,我将根据学生回答问题的情况进行小结,概括出问题的解决方法,给出正确的答案;并指出学生解题方法的优缺点。

1、先提出问题

先给出以下几个问题:

例1:(1) 已知A(-4,0)、 B(4,0),动点M满足|MA|+|MB|=6,则点M的轨迹是( )。

(A)线段 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)不存在

(2)已知动点 M(x,y)满足(x-3)2+(y-3)2=|6x+8y|,则点M的轨迹是( )。

(A)两条相交直线 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)椭圆

(设计意图):定义是揭示概念内涵的逻辑方法,熟悉不同概念的不同定义方式,是学习和研究数学的一个必备条件,而通过一个阶段的学习之后,学生们对圆锥曲线的定义已有了一定的认识,他们是否能真正掌握它们的本质,是我本节课首先要解决的问题。为了加深学生对圆锥曲线定义的理解,我以圆锥曲线的定义的运用为主线,精心准备了两道练习题。

(学情预设):估计学生能很快回答出题1,但是学生对圆锥曲线的定义可能并未真正理解,因此我再补充:若想答案是其他选项的话,条件要怎么改?学生差不多都能解决。但问题(2)就可能让学生们费一番周折了。此外我还把问题进行引申,以此深化对概念的理解。

2、再理解定义、解决问题

例2 (1)已知动圆A过定圆B:x2+y2+6x-7=0的圆心,且与定圆C:x2+y2-6x-91=0 相内切,求△ABC面积的最大值。

(2)在(1)的条件下,给定点P(-2,2), 求|PA|+53|AB|的最小值。

(3)在(2)的条件下求|PA|+|AB| 的最小值。

(设计意图):运用圆锥曲线定义中的数量关系进行转化,使问题化归为几何中求最大(小)值的模式,是解析几何问题中的一种常见题型,也是学生们比较容易混淆的一类问题。例2的设置就是为了方便学生的辨析。

(学情预设):本题的关键在于能准确写出点A的轨迹,有了例1的铺垫,对例2(1)、(2),多数学生应该能准确给出解答,但例2(3)却是少见的问题,学生解不来!这时借助于实物投影仪,会有学生发现当P、A、B三点共线时,取得最小值。那么,我再鼓励学生进行的大胆猜想,让学生们寻找到点B所在的正确位置后,叫学生演练出正确的解题过程,并借助实物投影加以演示。最后由学生进行归纳小结:在椭圆中,当定点A不在椭圆内部时,则A,F的连线与椭圆的交点M就是使|BA|+|BF|最小的点;当定点A在椭圆内部时,则A与另一焦点F的连线的延长线与椭圆的交点B即为所求。

3、然后再进行自主探究、深化认识

练习:设点Q是圆C:(x+3)2+y2=36上动点,点A(2,0)是圆内一点,AQ的垂直平分线与CQ交于点M,求点M的轨迹方程。(若将点A移到圆另外,点M的轨迹会是什么? )

(二)知识链接:圆锥曲线定义的应用举例练习(第一定义和统一定义);

1.双曲线x216-y29=1的两焦点为F1、F2,P为曲线上一点,若P到左焦点F1的距离为12,求P到右准线的距离。

2.在抛物线y2=2px上有一点A(4,m),A点到抛物线的焦点F的距离为5,求抛物线的方程和点A的坐标。

3.已知A(4,0),B(2,2)是椭圆x225+y29=1内的点,M是椭圆上的动点,求|MA|+|MB|的最小值与最大值。

七、教学反思

(1)“满堂灌” 、“满堂问”的教学方式已被越来越多的教师所摒弃,本人期望在教学中能多尝试使用“探究—合作”式教学模式进行教学.使学生们的“知识的获得过程”不再是简单的“师传生受”,而是让学生依据自己已有的知识和经验主动的加以建构.并在这个建构过程中,教师是引导者,学生才是主体、是知识的主动建构者.因此所设计的问题应该定位在学生认知的最近发展区。 

(2)在有限的时间内突出重点,突破难点,给学生留有自主学习的空间和时间.我把“定义法求轨迹问题”分置于例2(1)与练习中,循序渐进的让学生把握这类问题的解法;将学生容易混淆的两类求“最值问题”并为一道题,方便学生进行比较、分析。

(3)现代教育技术的发展为我们提供了丰富的教学条件,然而,教师所编导的教学活动应该随着整体环境的变化、学生群体的变化而变化。

参考文献:

双曲线的定义 篇4

函数定义域对函数图象、解析式等都起着决定性的作用，要使得函数解析式中的所有式子有意义，需要找出所有对函数自变量有限制的条件，进而求出函数的定义域。以下几种情况需要同学们格外注意：

1、关系式为整式时，函数定义域为全体实数;

2、关系式含有分式时，分式的分母不等于零;

3、关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零;

4、关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零;

双曲线的几何性质习题3 篇5

a2b22A.ya  B.yb2

a2b2a2b222 C.xa D.ya

a2b2a2b22.双曲线x2y2）

971的焦点到准线的距离是（A.74 B.254 C.74或

254 D.234或

3.中心在坐标原点，离心率为5的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（3A.y=±544x B.y=±

 C.y=±

4 D.y=±

353x4x

4.双曲线的渐近线方程为y=±34x,则双曲线的离心率为（）

A.5 B.5532 C.2或

153 D.5或

534

参考答案：

直线与双曲线的位置关系教案 篇6

教学目标:

1、知识目标: 直线与双曲线的位置关系。

2、能力目标: 深化双曲线性质,提高分析问题,解决问题的能力。

3、德育目标: 事物之间即有区别又有联系的辩证观点。

教学重点: 直线与双曲线的位置关系及判断方法。教学难点: 学生解题综合能力的培养。教学时数: 两课时 教学方法: 启发式 教学过程:

一、课题导入

回忆直线与椭圆的位置关系及判断方法(将直线方程代入椭圆方程中 得到一个一元二次方程,然后用判别式来判断)。

二、讲授新课

通过观察第一组动画演示,学生能够直观的发现直线与双曲线的位 置关系：

相离:没有公共点。相切:有一个公共点。相交:有两个公共点。

通过观察第二组动画演示,使学生能够发现，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个公共点。

练习：判断直线y1x与双曲线x2y23的位置关系。

2例：已知直线l:ykx1,双曲线x2y24。问k取何值时，直

线与双曲线相交、相切、相离？

分析：结合前面观察的结果和直线与椭圆位置关系的判断方法引导学生将 直线方程代入双曲线方程中，得到一个方程,研究方程解的情况。解：

ykx1由2得2xy4（1k2）x22kx50(1)：当1k20，即k1时，直线l与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线相交，但是它们只有一个公共点。(2):当1k20，即k1时(2k)220(1k2)16k22016k220055a:，即k且k1时，直2221k0线与双曲线相交，有两个公共点。16k22005b:，即k时，直线与双曲线相221k0切，只有一个公共点。16k220055c:，即k或k时，直线与双2221k0曲线相离，无公共点。综合以上得：当k（55，1）（1，1）（1，）时，直线与双曲线相交，22

5有两个公共点；当k1时，直线与双曲线相交，有一个公共点；k 255（，）（，）时，时,直线与双曲线相切，有一个公共点；当k22 直线与双曲线相离，没有公共点。结论：直线与双曲线的位置关系的判断方法：把直线方程与双曲线方程

联立，消去x（或y）后得到一个方程。若方程的二次项系数不 为零，则方程为一元二次方程。此时，当⊿ ＞0时，直线与双曲 线相交；当⊿=0时，直线与双曲线相切；当 ⊿＜0时，直线与双 曲线相离。若方程的二次项系数为零，则方程为一元一次方程。此时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交，只有一个 公共点。

三、课堂练习

练习:

1、（辨析题）直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的

充要条件。

y22、过点P（0，3）的直线l与双曲线x1有一个公共点，42求直线l的方程。

四、小结

1、直线与双曲线的位置关系

2、直线与双曲线的位置关系的判断方法

3、高考热点：运用方程研究直线与双曲线的位置关系，以及相

交时的弦长、中点弦。最值、范围等有关问题。

五、作业

221、斜率存在且过点P（1，0）的直线l与双曲线xy2

有公共点，求直线l的斜率的取值范围。

2、课本复习题A组第5、6题

六、板书设计

直线与双曲线的位置关系

1、直线与双曲线的位置关系

3、例题

2、直线与双曲线的位置关系的

4、练习 判断方法

双曲线的定义 篇7

从以上定义可知, 只要给出一个定点、一条定直线和离心率e的值, 就可以确定相应的圆锥曲线.那么, 怎么由一个定点、一条定直线和离心率e的值画出圆锥曲线并能方便地演示给学生看呢?利用《几何画板》这个工具就能很好地实现这个目的, 现介绍如下.

打开几何画板5.03迷你增强版, 点击编辑按钮→点参数选项→选择角度为弧度, 精确度调为十万分之一;画一直线标签为“定直线 (准线) ”, 在直线右方取一点F并标签为“定点 (焦点) ”.

取点A、B, 标记B为中心, 让点A关于B旋转180°得A′, 构造线段AA′, 在线段AA′上取点C;度量点C、A间的距离及点C、A′间的距离, 计算|CA|与|CA′|的比值, 标签为离心率e, 左右滑动点C可以调节离心率e的大小, 将点C的标签改为“左右滑动此点调节离心率”, 隐藏点A、B、A′, 隐藏距离|CA|与|CA′|的度量值, 度量点F到直线l的距离并标签为p (抛物线的焦半径, 对于椭圆和双曲线, 它的值等于

双曲线的定义 篇8

一、运用“定义法”求椭圆的方程

例1：两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10。求符合条件的椭圆的标准方程。

解∵椭圆的焦点在x轴上，

∴设椭圆的标准方程为■+■=1（a>b>0）

∵2a=10，∴a=5，又∵c=4。 ∴b2=a2-c2=52-42=9。

故所求椭圆的标准方程为■+■=1。

二、运用“定义法”求双曲线的方程

例2：已知双曲线两个焦点分别为F1（-5，0），F2（5，0），双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a，b，c。

知识拓展：求下列动圆的圆心M的轨迹方程：

①与⊙C：（x+2）2+y2=2内切，且过点A（2，0）;

②与⊙C1：x2+（y-1）2=1和⊙C2：x2+（y-1）2=4都外切;

③与⊙C1：（x+3）2+y2=9外切，且与⊙C2：（x-3）2+y2=1内切。

解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题。

具体解：设动圆M的半径为r。

①∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，∴|MC|=r-■，

|MA|=r，因此有|MA|-|MC|=■，∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程是2x2-■=1（x≤-■）;

②∵⊙M与⊙C1、⊙C2均外切，∴|MC1|=r+1，|MC2|=r+2，因此有|MC2|-|MC1|=1，∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，

∴M的轨迹方程是4y2-■=1（y≥■）;

③∵⊙M与⊙C1外切，且⊙M与⊙C2内切，∴|MC1|=r+3，|MC2|=r-1，因此|MC1|-|MC2|=4，∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，

∴M的轨迹方程是■-■=1（x≥2）。

三、运用“定义法”求抛物线的方程

例3：动点P到直线x+4=0的距离比它到点M（2，0）的距离大2，则点P的轨迹方程是________。

解析：动点P到直线x+2=0的距离与它到点M（2，0）的距离相等，利用定义求出抛物线方程。

答案：y2=8x

例4：已知动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程;

（2）设圆M过点A（0，2），且圆心M（a，b）在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E（x1，0）、G（x2，0），求线段EG的长度。

解：（1）依题意知，曲线C是以F（0，1）为焦点，y=-1为准线的抛物线。

∵焦点到准线的距离p=2，

∴曲线C方程是x2=4y。

（2）∵圆M的半径为■

∴其方程为（x-a）2+（y-b）2=a2+（b-2）2

令y=0得：x2-2ax+4b-4=0。

则x1+x2=2a，x1·x2=4b-4。

∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1·x2=（2a）2-4（4b-4）=4a2-16b+16。

又∵点M（a，b）在抛物线x2=4y上，∴a2=4b，

∴（x1-x2）2=16，即|x1-x2|=4。

∴线段EG的长度是4。

显然，通过上面的例子不难看出，运用“定义法”求圆锥曲线的方程，首先要探求动点的轨迹是否符合某种曲线的性质——定性;再根据条件确定对称中心——定位;进而求出a，b，c的值——定量;从而求得圆锥曲线的方程——定方程;最后，还要根据题目中告诉的已知条件指出动点的范围——定范围。