有限体积方法

2024-07-28

有限体积方法（精选9篇）

有限体积方法篇1

在神经传播过程中, 神经传播信号关于时间和空间的变化率在数学上表现为一类新的非线性发展过程, 即非线性拟双曲方程:

这类方程在生物, 力学诸领域有深刻的实际背景, 有必要全面深入的研究。关于这类方程解的存在唯一性, 解的渐近性质及其数值分析已有了一些结果文献[1]研究了问题的有限元方法, 给出了有限元解的误差估计文献[2]研究了问题的半离散H1-Galerkin混合元方法, 并得到了未知函数, 伴随向量及伴随向量关于时间的导数的最优L2及H1模误差估计。

有限体积元方法具有格式简单, 需要的工作量小, 可以在不同网格上进行计算、局部守恒等优点。

1 有限体积元格式

对区间I=[0, 1]作剖分Th, 其节点为0=x0<x1<x2<…<xr=1, 单元Ii=[xi-1, xi]的长度hi=xi-xi-1, i=1, 2, …, r, 记 $h = \max_{1 \leq i \leq r} h_{i}$ , 并设剖分Th满足正则性条件hi≥μh, i=0, 1, …, r, 其中μ为正常数。

对区间作剖分Th的对偶剖分T*h, 其节点为 $0 = x_{0} ＜ x_{\frac{1}{2}} ＜ x_{\frac{3}{2}} ＜ \dots ＜ x_{r - \frac{1}{2}} ＜ x_{r} = 1$ , 对偶单元 $Ι_{0}^{*} = [x_{0}, x_{\frac{1}{2}}], Ι_{j}^{*} = [x_{j - \frac{1}{2}}, x_{j + \frac{1}{2}}], j = 1, 2, \dots, r - 1, Ι_{r}^{*} = [x_{r - \frac{1}{2}}, x_{r}]$ , 其中 $x_{j - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (x_{j - 1} + x_{j}), j = 1, 2, \dots, r$ 。

取试探函数空间Uh为相应剖分Th上的分片线性函数空间, 满足Uh⊂H $_{0}^{1}$ (I) , 则对任意uh (x) ∈Uh, uh (x) = $\sum_{i = 1}^{r - 1}$ uh (xi) φi (x) , 其中φi (x) 为节点xi (j=1, 2, …, r-1) 处的基函数。取检验函数空间Vh⊂L2 (I) 为T*h上的分片常数空间, 并且对∀vh∈Vh满足vh (0) =vh (1) =0, 从而∀vh (x) ∈Vh, vh可以表示为vh (x) = $\sum_{j = 1}^{r - 1}$ vh (xj) ψj (x) 。

显然Uh与Vh分别是H $_{0}^{1}$ (I) 与L2 (I) 的r-1维子空间, 而且Uh⊂W $_{0}^{1, \infty}$ (I) 。

定义插值算子∏h:H $_{0}^{1}$ (I) →Uh为∏hw=

$\sum_{i = 1}^{r - 1}$ wiφi, ∀w∈H $_{0}^{1}$ (I) , 这里wi=wh (xi) , 再引入插值算子∏*h:Uh→Vh其定义为∏*hw= $\sum_{i = 1}^{r - 1}$ wiψi, ∀w∈Uh。由插值理论有

|w-∏hw|m.p≤ch2-m|w|2.p, m=0, 1, 1≤p≤∞。

其中此处或以后出现的|·|m, p和‖·‖m, p分别表示Sobolev空间Wm, p (I) 的半模和模, |·|m和‖·‖m分别表示Sobolev空间Hm (I) 的半模与模, ‖·‖表示L2 (I) 的模。

设u是问题 (1) 式的解, 任取vh∈Vh, 将vh乘以方程 (1a) 并在[0, 1]上积分, 利用分部积分可得到问题 (1) 式的有限体积元弱形式为:求u:[0, T]→H $_{0}^{1}$ (I) 满足

(1.1) 式中a* (u, vh) = $\sum_{j = 1}^{r - 1}$

$\begin{array}{l} v_{h} (x_{j}) a^{*} (u, ψ_{j}), \\ a^{*} (u, ψ_{j}) = u_{x} (x_{j - \frac{1}{2}}) - u_{x} (x_{j + \frac{1}{2}}) ‚ \end{array}$

问题 (1) 式的半离散的有限体积元格式为:

求uh∈Uh满足

初值的逼近u0h⊂Uh, u1h⊂Uh分别取u0, u1的椭圆投影 (此椭圆投影由 (2.1) 式定义) .

对时间区间[0, T]做等距剖分, 节点记为 $t_{i} = i τ, i = 0, 1, \dots, Ν, τ = \frac{Τ}{Ν}$ 。为考虑问题方便, 对函数u (x, t) 引入下列记号:

$u^{n} = u (x, t_{n}), u_{j} = u (x_{j}, t), u_{j}^{n} = u (x_{j}, t_{n}), \partial_{t} u^{n} = \frac{u^{n + 1} - u^{n}}{τ}, \partial_{n}^{2} u^{n} = \frac{u^{n + 1} - 2 u^{n} + u^{n - 1}}{τ^{2}},$

则问题 (1) 式的全离散的有限体积元格式为:

求u $_{h}^{n}$ ∈Uh, n=0, 1, 2, …, N满足

2 误差估计

做如下假设:

(H1) 函数f、g与h满足:f, g有界, 且f, g满足Lipschitz条件, h∈L2 (0, T;I) ;

(H2) 问题 (2.1) 的解u满足:u∈C (0, T;H $_{0}^{1}$ ) , ut∈L∞ (0, T;H2 (I) ∩H $_{0}^{1}$ (I) ) , utt∈L∞ (0, T;L2 (I) ) , utttt∈L∞ (0, T;L2 (I) ) ;

(H3) 初值函数u0和u1满足:u0∈H $_{0}^{1}$ (I) ∩H2 (I) , u1∈H $_{0}^{1}$ (I) ∩H2 (I) 。

引理2.1 (1) (uh, ∏*hvh) = (vh, ∏*huh) , ∀uh, vh∈Uh。

$(2) | ∥ u_{h} ∥ |_{0} = (u_{h}, \prod_{h}^{*} u_{h})^{\frac{1}{2}}, | ∥ \cdot ∥ |_{0}$ 与‖·‖在Uh中等价。

引理2.2 双线性形式a* (·, ∏*h·) 是有界的, 正定的, 即存在常数M和α当0<h≤h0,

|a* (uh, ∏*hvh) |≤M‖uh‖1‖vh‖1, ∀uh, vh∈Uh;

a* (uh, ∏*huh) ≥α‖uh‖ $_{1}^{2}$ , ∀uh∈Uh。

引理2.3 存在一个独立于Uh的常数C使得

|a* (uh, ∏*hvh) -a* (vh, ∏*huh) |≤Ch‖uh‖1‖vh‖1, ∀uh, vh∈Uh。

上述引理的证明可参考文献[3], 为进行误差估计, 引入问题 (1.1) 式的解u的伴随有限体积元投影 $\tilde{u}$ , 其定义为求 $\tilde{u}$ :[0, T]→Uh使得

则对 (1.1) 式与 (2.1) 式的解u与 $\tilde{u}$ 有如下误差估计。

引理2.4 假设u是问题 (1.1) 式的解, 若假设 (H1) , (H2) , (H3) 成立, 则有估计:

$| u - \tilde{u} |_{1} + | u_{t} - \tilde{u}_{t} |_{1} + | u_{t t} - \tilde{u}_{t t} |_{1} \leq c h, t \in [0, Τ];$

$∥ u - \tilde{u} ∥ + ∥ u_{t} - \tilde{u}_{t} ∥ + ∥ u_{t t} - \tilde{u}_{t t} ∥ \leq c h^{2}, t \in [0, Τ]$ 。

下面分别对有限体积元格式 (1.2) 式与 (1.3) 式进行误差估计。

首先看半离散格式 (1.2) 式,

定理2.1 假设u是问题 (1.1) 式的解, uh是有限体积元格式 (1.2) 式的解。若假设 (H1) , (H2) , (H3) 成立, 则

‖ut-uht‖≤Ch2。

‖u-uh‖+h‖u-uh‖1≤Ch2。

证明由 (1.1) 式, (1.2) 式和 (2.1) 式得到有限体积元解的误差方程:

(uhtt-utt, vh) +a* (uht-ut, vh) +a* (uh-u, vh) = (f (uh) uht-f (u) ut, vh) + (g (uh) -g (u) , vh) , ∀vh∈Vh (2.2)

令 $u_{h} - u = θ + ρ, θ = u_{h} - \tilde{u}, ρ = \tilde{u} - u$ , 则误差方程 (2.2) 式可改写为

(θtt, vh) +a* (θt, vh) +a* (θ, vh) =- (ρtt, vh) +

(f (uh) uht-f (u) ut, vh) + (g (uh) -g (u) , vh) , ∀vh∈Vh (2.3)

在误差方程 (2.3) 式中取vh=∏*hθt, 则有

(θtt, ∏*hθt) +a* (θt, ∏*hθt) +a* (θ, ∏*hθt) =

- (ρtt, ∏*hθt) + (f (uh) uht-f (u) ut, ∏*hθt) +

(g (uh) -g (u) , ∏*hθt) , (2.4)

由引理2.1知

$(θ_{t t} \prod_{h}^{*} θ_{t}) = \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (θ_{t}, \prod_{h}^{*} θ_{t})$ (2.5)

由文献[4]知a* (uh, ∏*huh) = $\sum_{i = 1}^{r}$ $\frac{1}{h_{i}} (u_{h i} - u_{h i - 1})^{2} =$

|uh| $_{1}^{2}$ 。因此有

a* (θt, ∏*hθt) =|θt| $_{1}^{2}$ (2.6)

$\begin{array}{l} a^{*} (θ, \prod_{h}^{*} θ_{t}) = \frac{1}{2} \frac{d}{d t} a^{*} (θ, \prod_{h}^{*} θ) - \frac{1}{2} a^{*} (θ_{t}, \prod_{h}^{*} θ) + \\ \frac{1}{2} a^{*} (θ, \prod_{h}^{*} θ_{t}) (2.7) \end{array}$

由引理2.3知

|a* (θt, ∏*hθ) -a* (θ, ∏*hθt) |≤Ch‖θt‖1‖θ‖1≤

C‖θt‖‖θ‖1≤ε‖θt‖2+C‖θ‖ $_{1}^{2}$ (2.8)

(ρtt, ∏*hθt) ≤‖ρtt‖‖∏*hθt‖≤C‖ρtt‖2+ε‖θt‖2 (2.9)

由假设 (H1) , (H2) 知

(f (uh) uht-f (u) ut, ∏*hθt) ≤C‖f (uh) uht-f (u) ut‖×‖θt‖≤C (‖f (uh) uht-f (uh) ut‖+‖f (uh) ut-

f (u) ut‖) +ε‖θt‖2≤C (‖ρt‖2+‖θt‖2+‖θ‖2+‖ρ‖2) (2.10)

(g (uh) -g (u) , ∏*hθt) ≤C‖g (uh) -g (u) ‖2+ε‖θt‖2≤C‖uh-u‖2+ε‖θt‖2≤ε‖θt‖2+C (‖θ‖2+‖ρ‖2) (2.11)

将 (2.5) 式— (2.11) 式代入 (2.4) 式得

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (θ_{t}, \prod_{h}^{*} θ_{t}) + | θ_{t} |_{1}^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d t} a^{*} (θ, \prod_{h}^{*} θ) \leq C ∥ θ_{t} ∥^{2} + \\ C ∥ θ ∥_{1}^{2} + C ∥ ρ_{t t} ∥^{2} + C ∥ ρ_{t} ∥^{2} + C ∥ ρ ∥^{2} (2.12) \end{array}$

对t从0到t积分, 注意到θ (0) =0得

$\frac{1}{2} (θ_{t}, \prod_{h}^{*} θ_{t}) +$ ∫ $_{0}^{t}$ $| θ_{s} |_{1}^{2} d s + \frac{1}{2} a^{*} (θ, \prod_{h}^{*} θ) \leq$

C∫ $_{0}^{t}$ (‖θs‖2+‖θ‖ $_{1}^{2}$ ) ds+C∫ $_{0}^{t}$ (‖ρss‖2+‖ρs‖2+‖ρ‖2) ds (2.13)

由引理2.2知a* (θ, ∏*hθ) ≥C‖θ‖ $_{1}^{2}$ , 由引理2.1知 (θt, ∏*hθt) =|‖θt‖| $_{0}^{2}$ , 再由Gronwall不等式得

‖θt‖2≤C∫ $_{0}^{t}$ (‖ρss‖2+‖ρs‖2+‖ρ‖2) ds (2.14)

‖θ‖ $_{1}^{2}$ ≤C∫ $_{0}^{t}$ (‖ρss‖2+‖ρs‖2+‖ρ‖2) ds (2.15)

由‖θ‖2≤C‖θ‖ $_{1}^{2}$ , 及三角不等式及引理2.4可得定理2.1的结论。

对全离散格式 (1.3) 式有,

定理2.2 假设u是问题 (1.1) 式的解, {u $_{h}^{n}$ } $_{n = 0}^{Ν}$ 是有限体积元格式 (1.3) 式的解。若假设 (H1) , (H2) , (H3) 成立, 则当τ, h充分小时, 有

$\max_{0 \leq n \leq Ν} ∥ u_{h}^{n} - u^{n} ∥ \leq C (h^{2} + τ);$

$\max_{0 \leq n \leq Ν} | u_{h}^{n} - u^{n} |_{1} \leq c (h + τ)$ 。

证明由 (1.1) 式, (1.3) 式和 (2.1) 式得到有限体积元解的误差方程:

(∂ $_{t t}^{2}$ u $_{h}^{n}$ -u $_{t t}^{n}$ , vh) +a* (∂tu $_{h}^{n}$ -u $_{t}^{n}$ , vh) +a* (u $_{h}^{n}$ -un, vh) =

(f (u $_{h}^{n}$ ) ∂tu $_{h}^{n}$ -f (un) u $_{t}^{n}$ , vh) + (g (u $_{h}^{n}$ ) -g (un) , vh) , ∀vh∈Vh, (2.16)

其中n=1, 2, …, N-1。令

$u_{h}^{n} - u^{n} = θ^{n} + ρ^{n}, θ^{n} = u_{h}^{n} - \tilde{u}^{n}, ρ^{n} = \tilde{u}^{n} - u^{n}, n = 1, 2, \dots, Ν - 1$ ,

则误差方程 (2.16) 式可改写为

(∂ $_{t t}^{2}$ θnvh) +a* (∂tθn, vh) +a* (θn, vh) =- (∂ $_{t t}^{2}$ ρn, vh) +

(u $_{t t}^{n}$ -∂ $_{t t}^{2}$ un, vh) +a* (ρ $_{t}^{n}$ -∂tρn, vh) +a* (u $_{t}^{n}$ -∂tun, vh) + (f (u $_{h}^{n}$ ) ∂tu $_{h}^{n}$ -f (un) u $_{t}^{n}$ , vh) + (g (u $_{h}^{n}$ ) -g (un) , vh) , ∀vh∈Vh (2.17)

在误差方程 (2.17) 式中取vh=∏*h∂tθn, 则对任意n=1, 2, …, N-1有

(∂ $_{t t}^{2}$ θn, ∏*h∂tθn) +a* (∂tθn, ∏*h∂tθn) +a* (θn, ∏*h∂tθn) =- (∂ $_{t t}^{2}$ ρn, ∏*h∂tθn) + (u $_{t t}^{n}$ -∂ $_{t t}^{2}$ un, ∏*h∂tθn) +a* (ρ $_{t}^{n}$ -∂tρn, ∏*h∂tθn) +a* (u $_{t}^{n}$ -∂tun, ∏*h∂tθn) + (f (u $_{h}^{n}$ ) ∂tun-f (un) u $_{t}^{n}$ , ∏ $_{h}^{n *}$ ∂tθn) +

(g (unh) -g (un) , ∏*h∂tθn) (2.18)

$(\partial_{t t}^{2} θ^{n}, \prod_{h}^{*} \partial_{t} θ^{n}) = \frac{1}{τ} (\partial_{t} θ^{n} - \partial_{t} θ^{n - 1}, \prod_{h}^{*} \partial_{t} θ^{n}) \geq \frac{1}{2 τ} {| ∥ \partial_{t} θ^{n} ∥ |_{0}^{2} - | ∥ \partial_{t} θ^{n - 1} ∥ |_{0}^{2}} (2.19)$

a* (∂tθn, ∏*h∂tθn) =|∂tθn| $_{1}^{2}$ (2.20)

利用积分型余项的Taylor公式得

$\partial_{t t}^{2} ρ^{n} = \frac{1}{τ^{2}}$ ∫ $_{t_{n - 1}}^{t_{n + 1}}$

$\begin{array}{l} (τ - | t_{n} - s |) ρ_{t t} (s) d s, \\ \partial_{t t}^{2} u^{n} - u_{t t}^{n} = \frac{1}{6 τ^{2}} \end{array}$

(∫ $_{t_{n}}^{t_{n + 1}}$ (tn+1-s) 3utttt (s) ds+

∫ $_{t_{n}}^{t_{n - 1}}$ (tn-1-s) 3utttt (s) ds) ,

$\partial_{t} u^{n} - u_{t}^{n} = \frac{1}{τ}$ ∫ $_{t_{n}}^{t_{n + 1}}$ (tn+1-s) utt (s) d (s) ,

$\partial_{t} ρ^{n} - ρ_{t}^{n} = \frac{1}{τ}$ ∫ $_{t_{n}}^{t_{n + 1}}$ (tn+1-s) ρtt (s) d (s) 。

注意到‖π*h∂tθn‖≤c‖∂tθn‖, 则有

(∂ $_{t t}^{2}$ ρn, ∏*h∂tθn) ≤‖∂ $_{t t}^{2}$ ρn‖‖∏*h∂tθn‖≤

cτ-1∫ $_{t_{n - 1}}^{t_{n + 1}}$ ‖ρtt‖2dt+ε‖∂tθn‖2 (2.21)

(u $_{t t}^{n}$ -∂ $_{t t}^{2}$ un, ∏*h∂tθn) ≤‖u $_{t t}^{n}$ ∂ $_{t t}^{2}$ un‖‖∏*h∂tθn‖≤cτ3∫ $_{t_{n - 1}}^{t_{n + 1}}$ ‖utttt‖2dt+

ε‖∂tθn‖2 (2.22)

由文献[4]知a* (u, ∏*hv) $\leq 2 (| u |_{1}^{2} + h^{2} | u |_{2}^{2})^{\frac{1}{2}} \times | v |_{1}$ , 则

$\begin{array}{l} a^{*} (u_{t}^{n} - \partial_{t} u^{n}, \prod_{h}^{*} \partial_{t} θ^{n}) \leq 2 (| u_{t}^{n} - \partial_{t} u^{n} |_{1}^{2} + h^{2} | u_{t}^{n} - \\ \partial_{t} u^{n} |_{2}^{2})^{\frac{1}{2}} | \partial_{t} θ^{n} |_{1} \leq \\ c τ \int_{t_{n}}^{t_{n + 1}} (| u_{t t} |_{1}^{2} + h^{2} | u_{t t} |_{2}^{2}) d t + \\ ε | \partial_{t} θ^{n} |_{1}^{2} (2.23) \\ a^{*} (ρ_{t}^{n} - \partial_{t} ρ^{n}, \prod_{h}^{*} \partial_{t} θ^{n}) \leq c τ \int_{t_{n}}^{t_{n + 1}} (| ρ_{t t} |_{1}^{2} + h^{2} | ρ_{t t} |_{2}^{2}) d t + \\ ε | \partial_{t} θ^{n} |_{1}^{2} (2.24) \end{array}$

由假设 (H1) 知

(f (u $_{h}^{n}$ ) ∂tu $_{h}^{n}$ -f (un) u $_{t}^{n}$ , ∏*h∂tθn) ≤c‖f (u $_{h}^{n}$ ) ∂tu $_{h}^{n}$ -f (unh) u $_{t}^{n}$ +f (u $_{h}^{n}$ ) u $_{t}^{n}$ -f (un) u $_{t}^{n}$ ‖2+ε‖∂tθn‖2≤c‖∂tθn‖2+c‖∂tρn‖2+cτ∫ $_{t_{n}}^{t_{_{n + 1}}}$ ‖utt‖2dt+c (‖θn‖2+

‖ρn‖2) (2.25)

(g (u $_{h}^{n}$ ) -g (un) , ∏*h∂tθn) ≤c‖u $_{h}^{n}$ -un‖2+ε‖∂tθn‖2≤ε‖∂tθn‖2+c (‖θn‖2+‖ρn‖2) (2.26)

将 (2.19) 式— (2.26) 式代入 (2.18) 式并利用引理2.4得

$\frac{1}{2 τ} {| ∥ \partial_{t} θ^{n} ∥ |_{0}^{2} - | ∥ \partial_{t} θ^{n - 1} ∥ |_{0}^{2}} + | \partial_{t} θ^{n} |_{1}^{2} + a^{*} (θ^{n}, \prod_{h}^{*} \partial_{t} θ^{n}) \leq c ∥ \partial_{t} θ^{n} ∥^{2} + c ∥ θ^{n} ∥^{2} + c (τ^{4} + τ^{2} h^{2} + τ^{2} + h^{4})$ 。

上式两端同时乘以τ并对n从1到n求和则有

$c | ∥ \partial_{t} θ^{n} ∥ |_{0}^{2} + c τ \sum_{i = 1}^{n}$ $| \partial_{t} θ^{i} |_{1}^{2} + c τ \sum_{i = 1}^{n} a^{*} (θ^{i}, \prod_{h}^{*} \partial_{t} θ^{i}) \leq c | ∥ \partial_{t} θ^{0} ∥ |_{0}^{2} + c τ \sum_{i = 1}^{n}$ (‖∂tθi‖2+‖θi‖2) +

c (τ2+h4) (2.27)

对∀vh∈Vh, 因vh= $\sum_{i = 1}^{r - 1}$ vhiψi (x) 且vh0=vhr=0, 所以

a* (u, vh) = $\sum_{i = 1}^{r - 1}$ $v_{h i} (u_{x} (x_{i - \frac{1}{2}}) - u_{x} (x_{i + \frac{1}{2}})) =$

$\sum_{i = 1}^{r}$ $u_{x} (x_{i - \frac{1}{2}}) (v_{h i} - v_{h i - 1})$ 。

若记θi (xj) =θ $_{j}^{i}$ , 则 $\prod_{h}^{*} θ^{i} = \sum_{j = 1}^{r - 1} θ_{j}^{i} ψ_{i} (x) \in V_{h}$ 。因而有

$a^{*} (θ^{m}, \prod_{h}^{*} θ^{i}) = \sum_{j = 1}^{r} (θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i}) θ_{x}^{m} (x_{j - \frac{1}{2}})$ 。

则

$\sum_{i = 1}^{n} a^{*} (θ^{i}, \prod_{h}^{*} θ^{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{r} (θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i}) θ_{x}^{i} (x_{j - \frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{r} (θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i}) (θ_{x}^{i + 1} (x_{j - \frac{1}{2}}) + θ_{x}^{i} (x_{j - \frac{1}{2}})) = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{r} \frac{1}{h_{j}} (θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i}) (θ_{j}^{i + 1} - θ_{j - 1}^{i + 1} + θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i})$ 。

$τ \sum_{i = 1}^{n} a^{*} (θ^{i}, \prod_{h}^{*} \partial_{t} θ^{i}) = \sum_{i = 1}^{n} {a^{*} (θ^{i}, \prod_{h}^{*} θ^{i + 1}) - a^{*} (θ^{i}, \prod_{h}^{*} θ^{i})} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{r} \frac{1}{h_{j}} (θ_{j}^{i + 1} - θ_{j - 1}^{i + 1}) (θ_{j}^{j + 1} - θ_{j - 1}^{j + 1} + θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i}) - \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{r} \frac{1}{h_{j}} (θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i}) (θ_{j}^{i + 1} - θ_{j - 1}^{i + 1} + θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i}) = \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{r} \frac{1}{h_{j}} [(θ_{j}^{n + 1} - θ_{j - 1}^{n + 1})^{2} - (θ_{j}^{1} - θ_{j - 1}^{1})^{2}] (2.28)$

将 (2.28) 式代入 (2.27) 式得

c|‖∂tθn‖| $_{0}^{2}$ +cτ $\sum_{i = 1}^{n}$ |∂tθi| $_{1}^{2}$ +c $\sum_{j = 1}^{r}$ $\frac{1}{h_{j}} (θ_{j}^{n + 1} - θ_{j - 1}^{n + 1})^{2} \leq c | ∥ \partial_{t} θ^{0} ∥ |_{0}^{2} + c$ $\sum_{j = 1}^{r}$ $\frac{1}{h_{j}} (θ_{j}^{1} - θ_{j - 1}^{1})^{2} +$

cτ $\sum_{i = 1}^{n}$ (‖∂tθi‖2+‖θi‖2) +c (τ2+h4) (2.29)

注意到引理2.1, 则有

c1 (‖∂tθn‖2+|θn+1| $_{1}^{2}$ ) ≤c|‖∂tθn‖| $_{0}^{2}$ +

c $\sum_{j = 1}^{r}$ $\frac{1}{h_{j}} (θ_{j}^{n + 1} - θ_{j - 1}^{n + 1})^{2} \leq c_{2} (∥ \partial_{t} θ^{0} ∥^{2} + | θ^{1} |_{1}^{2} + τ^{2} + h^{4} + τ$ $\sum_{i = 1}^{n}$ ‖∂tθi‖2+τ $\sum_{i = 1}^{n}$ |θi| $_{1}^{2}$ ) 。

若假设 (H1) , (H2) , (H3) 成立, 易证当h充分小时有|θ1|1≤c (h2+τ3) , ‖∂tθ0‖≤c (h2+τ2) 。取τ充分小, 使c2τ<c1时, 有

‖∂tθn‖2+|θn+1| $_{1}^{2}$ ≤c (τ2+h4) +cτ $\sum_{i = 1}^{n}$ ‖∂tθi‖2+

cτ $\sum_{i = 1}^{n}$ |θi| $_{1}^{2}$ 。

应用离散的Gronwall不等式有

‖∂tθn‖2+|θn+1| $_{1}^{2}$ ≤c (τ2+h4) ;n=0, 1, 2, …, N-1 (2.30)

再由三角不等式和 (2.30) 式即可得定理的结论。

参考文献

[1]张志跃.几类非线性发展方程的理论及数值分析.山东大学, 博士论文, 济南:2001

[2]于顺霞, 双曲方程的H1-Galerkin混合元方法及其数值分析.山东师范大学, 硕士论文, 济南:2007

[3]李荣华, 陈仲英.微分方程广义差分方法.长春:吉林大学出版社, 1994

[4]谢德仁.Sobolev方程和均匀棒存纵向运动方程的数值分析.山东师范大学, 硕士论文.济南:2006

有限体积方法篇2

在初始网格剖分上采取分段线性函数空间作为特征有限体积元方法的试探函数空间, 在相应的`对偶网格上采取分段常数函数空间作为其检验函数空间, 将特征线方法与有限体积元方法相结合, 构造出特征有限体积元方法, 对一维不可压缩两相渗流驱动问题提出了全离散有特征限体积元方法,并得到最优阶的H1模误差估计.

作者：封常荣陈传军 FENG Chang-rong CHEN Chuan-jun 作者单位：烟台大学,数学与信息科学学院,山东,烟台,264005 刊名：烟台大学学报（自然科学与工程版） ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF YANTAI UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE AND ENGINEERING EDITION) 年，卷(期)：2008 21(3) 分类号：O241.82 关键词：特征有限体积元方法不可压缩全离散线性元误差估计

★ 养殖场污染问题整改报告

★ 中国污染场地管理面临的问题及对策

★ 洱海湖滨区的农业面源污染问题及对策

有限体积方法篇3

随着高层建筑、大跨结构、特种结构及大型设备基础的大量出现, 大体积混凝土得到了越来越广泛的应用。然而大体积混凝土中的水泥在硬化过程中会引起大量的水化热, 同时大体积混凝土截面尺寸较大, 并且混凝土的导热性能差, 且具有较大的厚度, 水泥水化热不易散失, 造成混凝土内部与表面产生温差, 进而产生温度应力, 最终导致混凝土温度裂缝的出现, 给工程设计和施工带来了很大的难题[1], 同时考虑到结构整体性、耐久性等原因, 甲方会提出无缝施工的要求。

2裂缝的分类

混凝土的裂缝大体可以分为两类, 即微观裂缝和宏观裂缝。以0.05 mm为界, 对大于等于0.05 mm的裂缝称为宏观裂缝, 小于0.05 mm的裂缝称为微观裂缝。混凝土的微观裂缝有三种[2]形式。

①粘着裂缝。骨料与水泥石粘接面上的裂缝, 主要在粗骨料的周围;②水泥石裂缝。水泥浆中的裂缝, 出现在骨料与骨料之间;③骨料裂缝。骨料本身的裂缝。在这三种裂缝中, 以粘着裂缝较多, 水泥石裂缝次之, 骨料裂缝较少。混凝土的微观裂缝主要是指粘着裂缝和水泥石裂缝。在工程实际中, 裂缝的产生大多数是由抗拉强度和抗拉变形不足而引起的。

3裂缝产生原因及特点

影响裂缝产生的荷载主要有两种[3], 第一种是各种外荷载, 第二种是变形荷载。对于结构物裂缝的起因, 大致可以分为三类。

①由外荷载 (动、静荷载) 的直接应力引起的裂缝, 即按照常规计算的主要应力引起的变形;②由结构的次应力引起的裂缝;③由变形变化引起的裂缝, 即主要由温度、收缩、不均匀沉降或膨胀等变形变化产生应力而引起的裂缝。这种裂缝起因是结构有一定的变形, 当结构承担不起变形才引起的应力, 而且应力尚与结构的刚度大小有关系, 只有当应力超过一定的数值才引起裂缝, 裂缝出现后变形得到满足或者部分满足, 同时结构刚度下降, 应力就会发生松弛。

4温度场有限元分析

当大体积混凝土结构温度改变时, 其各部分由于温度的升高或降低有膨胀或收缩的趋势[4]。但是由于结构所受的外在约束以及各部分之间的相互约束, 这种由于温度变化而产生的膨胀或收缩并不能自由的发生, 在这种情况下就产生了应力, 即所谓的温度应力。温度应力对结构的应力状态有重要的影响, 而在计算温度应力之前首先要计算的就是温度场。有限单元法可以有效的解决大体积混凝土的温度场计算问题。

在工程实践中, 裂缝的起因常常是综合性的, 重要的是区别和判断裂缝是由外荷载引起的还是由于结构变形变化引起的。对于由外荷载引起的裂缝宽度虽然较小, 但钢筋应力可能很高;而由于变形变化引起的裂缝虽然较宽, 但是钢筋的应力却很低。在进行裂缝原因分析的时候应该加以区别对待。

混凝土结构在τ时间的总应变ε (τ) 可表示成[5,6]

ε (τ) =εe (τ) +εc (τ) +εT (τ) +εs (τ) +εg (τ) (1)

式中:εe (τ) —应力引起的瞬时应变;εc (τ) —混凝土徐变应变;εT (τ) —混凝土温度变化引起的变形;εs (τ) —混凝土干缩变形;εg (τ) —混凝土的自生体积变形。

由于弹性模量和徐变度都是随着时间的变化而变化的。由式 (1) 知混凝土应变量包括弹性应变量、徐变应变增量、温度应变增量、干缩应变增量和自生体积应变增量, 因此有

{Δεn}={Δεundefined}+{Δεundefined}+{Δεundefined}+{Δεundefined}+{Δεundefined} (2)

式中:右边各项分别为外荷载、徐变、温度、干缩及自生体积应变增量。

将结点力和结点荷载加以集合, 得到整体平衡方程

[K]{Δδn}={ΔPn}L+{ΔPn}C+{ΔPn}T+

{ΔPn}0+{ΔPn}S (3)

其中, [K]为整体刚度矩阵, 右边各项分别为外荷载、徐变、温度、变形及干缩引起的结点荷载增量。

其结点荷载增量是由环绕结点i的各单元结点荷载增量集合而成。由整体平衡方程式 (3) 得到各单元应力如下

{σn}={Δσ1}+…+{Δσn}=∑{Δσn} (4)

5 算例分析

该工程实例为一大型建筑筏板基础, 其筏板尺寸厚度为2.4 m, 长度为14 m, 宽度为10 m, 地基土影响尺寸厚度取1.5 m, 长度取24 m, 宽度取18 m。

该混凝土筏板基础混凝土强度为C30, 水泥采用普通硅酸盐水泥, 混凝土的初凝时间为5小时。在施工时要求筏板基础不能有裂缝产生。此次施工采用全面分层法进行施工, 整体分为四层进行浇筑, 分层摊铺厚度为600 mm, 每层浇筑混凝土时间为4小时, 施工全过程分为四个阶段, 可以保证不留任何施工缝的要求, 各参数如表1所示。

采用大型工程有限元分析软件MIDAS对大体积混凝土施工阶段温度应力进行计算机模拟分析, 得到大体积混凝土水化热分析结果如下

其中, 图a为应力极值点应力变化图形;图b为应力极值点温度变化图形;图c为温度极值点应力变化图形;图d为温度极值点温度变化图形。

6结论

通过有限元对该大体积混凝土施工阶段进行模拟分析, 从应力变化过程、温度变化过程及控制点的应力、温度变化曲线, 可以得出以下结果。

(1) 随着混凝土的浇注和水化反应的进行, 混凝土核心区内部应力逐渐增大, 在混凝土内部形成较大的应力梯度。通过分析结果可知, 应力最大值出现在第96小时, 应力最大值为2.152 MPa, 相应的温度值为50.13 ℃;

(2) 在水化反应的同时, 混凝土内部核心区的温度也逐渐增大, 在混凝土内部形成一定的温度梯度, 同时水化热也较大程度影响到了地基, 使得地基的温度有一定程度的上升, 影响深度约为1.5 m左右。通过分析结果可知, 温度最大值出现在第96小时, 温度最大值为50.37 ℃, 相应的应力值约为1.7 MPa, 与外界的最大温度差约为30℃。 [ID:5185]

参考文献

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[5]彭立海, 阎士勤, 等.大体积混凝土温控与防裂[M].郑州:黄河水利出版社, 2005.

有限体积方法篇4

关键词：大体积混凝土;温度;裂缝;防治

混凝土代替传统的建筑材料，在建筑施工中占有着重要的位置。混凝土是一种复合型材料，其中含有水泥与凝胶材料，加入等量的水后，通过搅拌设备进行混合即可。其特点是生产工艺相对简单，可以满足工地的大量使用，并且价格较其他材料更加低廉，可以很大程度的减少施工过程始终的经费支出。混凝土虽然具备许多施工中的优点，但也存在着一个容易出现裂缝的严重问题。混凝土裂缝问题不仅出现在我国，目前世界各国施工中的混凝土裂缝问题都较为严重。这种裂缝严重影响建筑的使用质量和使用寿命，一旦遇到较为严重的自然危害，后果不堪设想。所以在针对混凝土出现裂缝的原因，需要尽快研究出解决办法。

1大体积混凝土裂缝产生的原因

大体积混凝土一旦出现裂缝问题，会影响后期施工以及建筑的整体质量。因为混凝土的材料特殊，出现裂缝的原因也有很多种，主要原因有：①质量上的原因。在施工过程中，施工人员没有严格遵循混凝土的材料配比率，导致混凝土在使用过程中承重性能变差，材质变脆，从而出现裂缝;②在建筑整体在设计时没有将混凝土的承重能力计算进去，导致混凝土无法承受上层带来的压力，造成裂缝;③排除质量问题和材料配比的问题，那么就是因为混凝土的温度对外界带来的温度不能适应，经过巨大的温差后，出现裂缝，现今大部分混凝土出现裂缝的原因都和温度有关。

2大体积混凝土温度裂缝产生的危害

我国的城市基础建设正随着经济发展不断的进步，在城市中逐步建设了更多为人民生活服务的桥梁与高层建筑。在建设的过程中，混凝土的使用率极高。如果在施工过程中出现大体积混凝土开裂会直接影响到建筑使用着的安全。混凝土在施工结构中起到的是凝结整体坚固性的作用，优良的混凝土结构可以保证建筑的稳定性，在突发地理危害中可以很大程度减少居民的人身财产损失。在已经建成的混凝土结构建筑中，轻微的裂开可能会对建筑的外侧美观产生影响，重则不断的裂缝积累会直接影响到建筑的使用寿命，威胁到社会安定。

3温度应力分析

有限体积方法篇5

拉格朗日有限元法 (FEM) 在金属塑性成形数值模拟中得到了应用广泛[1,2], 但在处理大变形挤压问题时, 其采用的拉格朗日网格容易畸变, 导致频繁的网格重划, 进而引起不同网格间数据传递误差积累过多和计算时间过长, 甚至因数据和形状严重失真而使计算停止[3]。基于欧拉描述的有限体积法 (finite volume method, FVM) , 由于可以避免网格重划分, 从而可解决大变形成形过程中数值模拟的难题[4]。近年来, 基于有限体积法的金属成形模拟软件MSC/SuperForge在金属挤压中得到了广泛应用, 证明了其可行性及优势[5,6]。但是该软件还不够完善, 在进行铝型材挤压模拟时存在一些问题, 主要表现在:①背景网格不可局部细化, 造成计算资源的浪费; ②材料自由表面追踪技术较差, 导致得到的材料自由表面易出现毛刺现象, 原因是它采用了一层表面网格来追踪变形材料的自由表面, 在材料剧烈变形的地方, 表面网格易发生畸变, 从而产生材料网格刺穿模具的失真现象[7]。

为解决上述问题, 本文将有限体积法基本理论与刚黏塑性流动理论相结合, 建立了基于非正交结构网格的铝型材挤压过程有限体积法数值模拟模型, 开发了相应的计算模拟程序AE-FVM。该模型所采用的非正交结构网格[8]在继承了结构网格拓扑关系明确、数据结构简单等优点的基础上, 能够拟合复杂几何形状边界, 并可实现局部细化。同时通过采用直角坐标系将控制方程直接在非正交网格上进行离散, 避免了传统适体坐标法[9]中复杂的坐标转换。对一典型薄壁型材大变形挤压过程进行了数值模拟, 模拟结果与相同条件下的有限体积法模拟软件MSC/SuperForge的结果进行了对比验证, 进而依据模拟结果对挤压模具进行优化设计, 获得了导流槽挤压过程中金属的流动规律, 并总结了导流槽的形状尺寸对金属流动分配的影响。

1 有限体积法基本方程

有限体积法中每个控制单元均需要满足质量守恒、动量守恒和能量守恒, 从而保证了整个流场良好的守恒特性, 积分形式的守恒表达式如下[8]:

式中, Ω为控制单元体积;S为控制单元表面积;ρ为密度;v为通过控制单元界面的速度矢量;n为界面法线矢量;σ为柯西应力张量;T为温度;b为单位质量的体积力;c为比热容;λ为热导率;t为时间。

2 本构关系及黏度迭代

挤压铝合金材料可视为一种不可压缩非牛顿流体, 因此可忽略材料的弹性变形, 其刚黏塑性本构关系为

式中, $\bar{σ}$ 为等效应力; $\bar{ε}$ 为等效应变; $\dot{\bar{ε}}$ 为等效应变速率;a、n、m、y为材料常数。

当每一步迭代得到等效应力和等效应变速率后, 需同时更新动力黏度, 动力黏度表达式如下:

其中, $\dot{\bar{ε}} = 0$ 表示材料为刚性体, 为使式 (5) 有意义, 必须规定一个极小的限定值 $\dot{\bar{ε}}_{0} \leq 10^{- 3} s^{- 1}$ , 即当 $\dot{\bar{ε}} = 0$ 时, 取 $\dot{\bar{ε}} = \dot{\bar{ε}}_{0}$ 。

3 非正交结构网格及变量布置

对于任意一个非正交结构网格单元, 它由六个任意形状的四边形面组成, 其相邻的六个单元被标记为 E、W、N、S、B、T, 相应的界面被标记为e、w、n、s、b、t。以任意一个单元P和其东侧单元E为例, 单元形状及其变量布置如图1 所示。图中, e为界面的中心点, e′为界面和线段PE的交点, ξ为单元中心P和E的连线方向, n为界面的法线矢量, Se为界面面积, rP为P点的位置矢量。从图1 可以看出, 由于网格的非正交性, 导致线段PE不垂直于界面, 而且也不通过界面中心点e, 所以需要定义辅助点P′和E′来计算通过界面的法向梯度。定义P′和E′分别为通过P点或E点的界面平行面与方向为n的直线的交点。

交错网格由于需要多套网格来存储速度, 故其在非正交网格上的应用受到限制, 甚至难于实现。为此, 本文采用同位网格的变量布置方式[8], 即所有变量均存储于网格中心, 因此只需要一套网格, 而控制方程离散所需要的面中心的速度则通过相邻节点动量插值[10]得到。动量插值可以有效引入相邻节点的压力差, 从而避免了传统的线性插值引入相间节点压力差所带来的压力速度失耦的问题。同位网格及其变量布置如图2所示, 图中, I、J、K为网格的逻辑方向, u、v、w为直角坐标速度分量。

4 非正交网格SIMPLE算法

SIMPLE算法[11]中, 压力和速度耦合求解, 其核心是建立速度修正方程和压力修正方程。记压力修正值和速度修正值分别为p′和v′, k为迭代步数, 分别得到压力场和速度场的表达式为vki=v $_{i}^{k^{*}}$ +v′和pk=pk-1+p′。考察任意节点P (图1) , 采用与正交网格相同的处理方式, 可得P点速度修正值的表达式为

式中, aviP为动量离散方程在P点的系数;δxi为相邻节点间的距离。

建立非正交同位网格上压力修正方程的主要问题是如何引入相邻节点的压力差来过滤压力振荡以及如何消除网格的非正交性带来的误差。由动量方程可以初步求出同位网格中单元节点上的速度, 这些速度也需满足质量守恒方程。通过将速度场代入质量守恒方程, 可建立压力修正方程, 因此, 需要计算控制体积界面上的速度。应用动量插值, 得到界面e上的速度表达式为[8]

其中, rE、rP为P点和E点的位置矢量;上划线表示通过相邻节点的线性插值得到的近似值, 正是这一插值方式引入了相邻节点的压力差, 从而避免了压力振荡。

在非正交网格中, 因需要垂直于界面的速度来计算通过该面的质量流量, 所以对于速度在控制容积面e的法线方向的分量vn, e=v·n, 有

$v_{n, e}^{k^{*}} = \bar{(v_{n}^{k^{*}})_{e}} - Δ Ω_{e} \bar{(\frac{1}{a_{Ρ}^{v_{n}}})_{e}} [(\frac{δ p}{δ n})_{e} - \bar{(\frac{δ p}{δ n})_{e}}]^{k - 1} (8)$

考虑到网格的非正交性, 式 (8) 中面上的压力梯度可通过如下表达式近似得到:

将式 (9) 代入式 (8) , 可最终得到界面速度的表达式为

$\begin{array}{l} v_{n, e}^{k^{*}} = \bar{(v_{n}^{k^{*}})_{e}} - \frac{Δ Ω_{e}}{(r_{E} - r_{Ρ}) \cdot n} \bar{(\frac{1}{a_{Ρ}^{v_{n}}})_{e}} {(p_{E} - p_{Ρ}) - \\ \bar{(g r a d p)_{e}} \cdot (r_{E} - r_{Ρ}) + [(g r a d p)_{E} \cdot (r_{E^{'}} - r_{E}) - \\ (g r a d p)_{Ρ} \cdot (r_{Ρ^{'}} - r_{Ρ})]} (10) \end{array}$

从式 (10) 可看出, 方括号中的项在正交网格中等于0, 而在非正交网格中, 正是这一项有效消除了网格非正交性带来的误差。将式 (10) 代入到质量守恒离散方程中, 经整理得到压力修正方程为

式 (11) 和正交网格上的压力修正方程具有统一的形式, 但是方程系数aP、aL、bp′不同:

当利用SIMPLE算法求出速度场和压力场后, 可结合本构方程进而得到等效应变速率和等效应力, 并利用流体体积法[12]实时追踪材料自由表面。

5 数值算例及模具优化

为了验证所建立的非正交网格有限体积法铝型材挤压数学模型的正确性, 我们开发了铝型材非稳态挤压有限体积法数值模拟程序AE-FVM, 以壁厚2mm、长24mm的薄板型材挤压过程为例进行了数值模拟, 并将模拟结果与同样条件下采用有限体积法方法的商业化软件SuperForge所得结果进行了对比验证。

挤压模型几何形状及尺寸如图3所示, 整体挤压比为42, 属于典型的大变形薄壁件挤压过程。挤压所用材料为AA-5454铝合金, 屈服应力σs=28MPa, 密度ρ=2690kg/m3, 热导率λ=134W/ (m·K) , 比热容c=900J/ (kg·K) 。本构方程式 (4) 的系数为:a=70MPa, n=0, m=0.183, y=0。坯料温度773.15K, 模具温度673.15K, 挤压杆速度0.01m/s, 摩擦因数取0.1。AE-FVM所划分的非正交结构背景网格如图4所示。用流体体积法来追踪背景网格中流动材料的自由表面, 在SuperForge中采用固定尺寸的正交背景网格, 另外采用一套三角形表面网格来包裹材料, 通过与模具做脱离接触判断来实现材料表面的追踪, 表面网格尺寸设为1mm, 如图5所示。

当挤压进行到t=0.5s时, 挤出长度约为5mm, 材料已经完全挤出工作带, 挤压过程进入稳定阶段。此时AE-FVM和SuperForge模拟得到的型材前端形状如图6所示, 可看出, 型材挤出前端呈凸形, 这主要是由于型材中心所受摩擦阻力较小, 流速明显快于两端, 两种方法得到的结果吻合良好, 并符合真实挤压成形过程的金属流动规律。

铝型材挤压成形过程中, 金属在挤压模具出口处流动的均匀性是保证型材质量的关键因素, 这种均匀性最终体现在型材前端的形状上。图6所示的型材前端形状表明金属流动不均匀。为了调节金属在挤压模具出口处的流速分布, 本文采用增设导流槽的方法来优化挤压模具, 利用导流槽对金属流动的再分配作用来调节出口端流速的均匀性。导流槽形状如图7所示, 其中, r为小圆弧直径, L为两个小圆弧圆心点之间的距离, R为与小圆弧相切的大圆弧的直径。记导流槽高度为h, 导流槽设计方案见表1。AE-FVM划分的非正交结构网格如图8所示, 不同导流槽设计方案下模拟得到的铝型材前端形状如图9所示。

由图9a和图9b (导流槽设计方案1) 可以看出, 由于导流槽对金属流动的再分配作用, 使型材两端的局部挤压比增大, 两端的金属流速加快, 反而比中心的挤出长度更大, 因此挤出型材前端形状呈凹形。

方案2在方案1的基础上扩大了小圆弧直径, 由图9c和图9d可以看出, 型材两端的挤出长度仍大于中心的挤出长度, 但较之方案1有所改善。这是由于大圆弧和小圆弧之间是相切关系, 增大小圆弧直径相当于整体放大了导流槽截面, 因此导流槽对金属流动的调节作用减弱。

方案3在方案1的基础上增大了大圆弧直径, 由图9e和图9f可以看出, 由于增大了大圆弧直径, 型材中心处的局部挤压比相对方案1相应增大, 因此型材中心的金属流速相对方案1加快, 最终挤出的型材前端比较平整, 是较为理想的设计方案。

方案4在方案3的基础上缩小了两小圆弧圆心的距离, 相当于在减小两端局部挤压比的同时增大了中心的局部挤压比, 因此较之方案3, 型材中心的金属流速相对加快, 而型材两端的金属流速则相对减慢, 最终挤出型材呈凸形 (图9g、图9h) 。

方案5在方案3的基础上减小了导流槽的高度, 对比方案5 (图9i、图9j) 和方案3 (图9e、图9f) 可以发现, 由于导流槽的高度过小, 导流槽的作用不能充分发挥, 导致挤出型材中心的金属流速仍然快于两端, 最终挤出的型材前端形状呈凸形。由此可以得出, 要充分发挥导流槽对金属流动再分配作用, 必须保证导流槽具有一定的高度。

R、r、L的尺寸驱动实质上是调节局部挤压比, 而h则影响局部挤压比的效果发挥。若以参数γ=中心流速/两端流速来表示流速分布, 总结5种导流槽设计方案可以发现:增大R, γ增大;增大r, γ增大, 但不如增大R效果明显;增大L, γ减小;增大h, γ减小, 但肯定存在极限, 只需保证一个最小高度即可。通过图9中的结果对比可以发现, 两种方法所获得的金属流动趋势基本一致, 从而获得基本吻合的挤出型材前端形状。同时还可以看出, SuperForge虽然采用了极细的表面网格, 但仍会由于变形量太大而产生表面网格畸变的情况, 从而使自由表面易出现毛刺现象, 而AE-FVM所采用的流体体积法可以有效地追踪材料的变形过程, 获得平滑的自由表面, 更符合实际情况。

6 结论

(1) 建立的基于非正交结构网格的铝型材挤压过程数值模拟有限体积法数学模型从理论上避免了传统拉格朗日有限元法的网格重划分问题, 尤其适用于铝型材挤压这类大变形问题。所采用的非正交结构背景网格能够适应复杂几何形状边界, 弥补了传统正交网格对复杂边界难于施加边界条件的不足。同时网格可实现局部细化, 较之SuperForge所采用的固定尺寸背景网格, 可以更加合理地分配计算资源, 在保证精度的同时, 可有效减少网格数量, 从而提高计算效率。

(2) 开发的相应程序AE-FVM中所采用的流体体积法能够实时追踪材料自由表面, 获得平滑的表面形状, 避免了SuperForge所采用的表面网格因畸变而产生的毛刺失真现象。

(3) 依据模拟结果对模具导流槽进行了优化设计, 获得了不同导流槽设计方案对金属流动规律的影响, 探讨了不同形状尺寸导流槽对金属流动分配的影响机理, 给出了模具设计指导意见。

本模型暂时还没有考虑材料弹性变形对金属流动规律和最终型材形状的影响, 以后将对此作进一步的研究。

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有限体积方法篇6

考虑二阶椭圆方程:

引入一个新的流变量,则方程可化为如下的一阶偏微分方程:

混合有限体积法:求使得

误差估计:若问题的数据足够光滑,使得,并且,我们假设,则存在一个与h无关的正常数C,使得

2四边形网上的混合有限体积法

我们仍然考虑平面凸域Ω上的二阶椭圆型方程:

其中,k为对称,正定的矩阵函数,并满足条件,我们引入一个新的流变量u:=-kΔp

则问题可转化为如下的混合问题:

求解空间:

BN9603。初始化P89C51主要是设置INT0的中断寄存器和ISP编程的波特率。初始化USBN9603主要是设置MCNTRL能电压调整器,设置时钟电路,设置EP_EN使能使用的端点,设置MASK使能相应的中断允许位。程序的头文件应由用户定义,包括USB主机的命令,USBN9603的寄存器映射,描述符等。例如用一个数组定义设备描述符的语句如下:

在设备操作中最基本的就是如何读写控制器,下面2个函数WRITEUSB和READUSB分别用于对9603进行写操作和读操作,下面是程序代码片段。

3结束语

USB为计算机外设输入输出提供了新的接口标准。它使设备具有热插拔、即插即用、自动配置的能力,以51单片机做控制单元,采用USB接口芯片在实验装置上扩展可以实现USB单片机的功能。应用范围将更加广阔。

摘要：该文简要叙述了混合有限体积方法的相关结论,主要是三角和四边形网格上的基于一套网格剖分的混合有限体积法,同时列出了相应格式的收敛性结果。

关键词：混合有限体积法,误差估计,一套网格

参考文献

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大体积砼温控处理方法篇7

九江年丰厦B栋五层转换层板建筑面积1700m2, 长度61.2m、宽度26.5m, 转换层以1.5m (厚) 板为主, 砼设计要求为强度等级C40, 砼总方量约3000m3多。本工程砼用量大, 且施工中要求无施工缝, 而设计也无后浇带, 故采用商品砼泵送一次性连续浇筑完成。

2 大体积砼温控措施

2.1 降低水泥水化热

(1) 本工程混凝土采用42.5级普通硅酸盐水泥, 按砼配合比及施工规范掺加粉煤灰减少水泥用量, 降低水化热。 (2) 使用粗骨料, 尽量选用粒径较大, 级配良好的粗骨料。 (3) 外加剂选用缓凝减水剂和KL-HEA抗裂防水剂, 根据KL-HEA抗裂防水剂的技术指标, 不仅有效补偿混凝土的干缩和冷缩, 还可降低水化热10%以上。

2.2 降低混凝土入模温度

选择较适宜的气混浇筑大体积混凝土, 尽量避开炎热天气以便于混凝土入模通风的气候

2.3 加强施工中的温度控制

(1) 在混凝土浇筑之后, 采用草包辅盖并保持草包湿润, 防止混凝土内外温差偏大。 (2) 采取长时间的养护14天, 延缓降温时间和速度, 充分发挥混凝土的“应力松驰效应”。 (3) 随便时监控混凝土内的温度变化, 内外温差控制在250C以内, 基面温差和基底温差均控制在200C以内, 及时调整保温及养护措施, 使混凝土的温度梯度和湿度不致过大, 以有效控制有害裂缝的出现。

2.4 改善约束条件, 消减温度应力

采取分层或分块浇筑大体积混凝土, 合理设置水平浇筑层次, 以放松约束程度, 减少每次浇筑长度的蓄热量, 以防止水化热的积聚, 减少温度应力。

2.5 提高混凝土的极限拉伸强度

(1) 选择良好级配的粗骨料, 严格控制其含泥量, 加强混凝土的振捣, 提高混凝土的密实度和抗拉强度, 减少收缩变形, 保证施工质量。 (2) 采取二次振捣法, 浇筑后及时排除表面积水, 加强早期养护, 提高混凝土早期或相应龄期的抗拉强度和弹性模量。

2.6 测温管的设置及测温和温度控制措施

混凝土测温管深2/3板厚, 以掌控混凝土的内部温度, 测孔垂直于板面。具体测温按表1要求实施:

(注:按上表方式同时进行测冷却管进出水水温, 并根据混凝土内部温度控制水流速度)

2.7 混凝土浇筑后期的温度控制措施:

在1.5米和1米厚板区内部中间水平预先设置冷却管———1寸钢管、1寸半主管, 通入冷却水 (在一楼设置水池泵送) , 强制降低混凝土水化热温度根据混凝土表面温度情况采用塑料刨沫板加盖草包保温

2.8 混凝土温度控制计算

(1) 本工程五层转换层混凝土量大 (约3000多立方) , 且根据设计结构要求, 需一次性浇筑完成, 不留施工缝, 故采用商品混凝土泵送。

(2) 本工程五层转换层板尺寸1.5m (高) ×30m (宽) ×40m (长) , 以1.5米厚板区为主, 12月中旬日间平均气温15度, 属于大体积混凝土施工。本工程采用C40砼配合比为每立方砼中, 42.5R普硅水泥:370g, 粉煤灰:66.6g, KL-HEA:29.6g, 砂:691g, 碎石:1081g, 水:188g。

每立方砼原材料重量、温度、比热及热量如表2:

(3) 砼出罐温度:TB=TA-0.16 (TA-Ta) =15.6-0.16× (15.6-25) =17.1℃;Ta为搅拌台温度

(4) 砼拌合物经运输到浇筑时的温度:

a为散热系数、tt为运输时间、n为倒运次数、Tq为日间平均气温

(5) 砼绝热温升 (因普硅水泥砼1~3d为砼内部温度应力破坏最高时, 所以计算3d龄期)

mc为每立方砼水泥用量、Q为每千克水泥水化热、C为砼比热、P为砼密度、K为掺合料拆减系数、F混凝土活性掺合料用量。且外加剂KL-HEA技术参数可降低水化热10%以上, 故可不计算其他因素。

(6) 砼内部温度:Tmax=Tc+Th﹒ξ (t) =16.77+52.15×0.68=52.2℃

ξ (t) 为降温系数3d-取0.68 (根据地下室承台砼浇筑时大气均温度25℃, 砼内部温度70℃)

2.9 砼表面温度

根据工程情况采用盖0.012m厚黑心棉保温

(1) 保温层传热系数:B=1[Σδiλi+1/Bq]=1/[Σ0.012/0.14+1/23]=7.7;δi保温层厚度、λi保温材料传热系数、Bq空气传热系数。

(2) 砼虚厚度:h'=K.λ/B=2/3×2.33/7.7=0.2m;

(3) 砼计算厚度:H=h+2h'=1.5+2×0.2=1.9m

(4) 砼表面温度:Tb (t) =Tq+4h' (H-h') [ΣTmax (t) -Tq]/H2=15+4×0.2× (1.9-0.2) (52.15-15) /1.862=29.6℃

此时, 砼内部温度与砼表面温度之差 (Tmax-Tb) 为22.550C, 未超过25℃。砼表面温度与12月中旬最低大气温度之差 (Tb-Tq) 为29.6-10=19.60C, 未超过20C°, 满足要求。

2.1 0 安全措施

(1) 设置冷却管———1寸钢管、1寸半主管, 通入循环冷却水 (利用地下室周边地表水) , 强制降低混凝土水化热温度, 从源头上减少混凝土温差过大———通过控制水流量在一定程度上来控制混凝土内部温度 (3天时在53℃以内) 。

(2) 冷却管铺设方式:冷却管水平铺设在板中 (安板厚) , 安S型800CM一档 (1.5M、1.0M厚板区) , 铺设详附图。

3 效果分析

本工程大体积砼温控措施落实到位, 且根据现场砼完成后天气突变下雪的情况, 及时采取改变冷却管出水方向 (现场冷却管出水口见温水冒出白雾) , 由直接向地下室周边排发改为经过转换层楼板后自由外流到地下室周边, 很好解决冬季大体积砼内外表面与大气直接的温差及砼养护, 砼内外未见任何裂纹。

4 总结

有限体积方法篇8

压裂效果的理论解释方法主要包括试井和油藏数值模拟两种方法,试井方法通过对典型流动阶段解释得到平均裂缝半长和裂缝导流能力［15—17］,但模型应用限制条件多,适用范围小; 油藏数值模拟法通过对油井生产历史拟合,反演得到裂缝参数,但由于可调参数多,反演结果不唯一［18—20］。

b为压裂带长,d为压裂带宽,h为压裂缝高,1为未形成有效渗流的微裂缝,2为与油井连通的人工主裂缝,3为与人工裂缝连通的有效渗流天然裂缝

目前对于体积压裂施工后压裂效果的评价多局限于压裂改造体积SRV这一参数,但对与油井真正连通的油藏有效渗流体积、裂缝有效体积和能够反映储层打碎程度的、同时提供有效渗流的裂缝接触面积等参数的解释及研究很少见到,而这些信息对于帮助油藏工程师以及采油工程师做出合理的开发及增产设计尤为重要。因此有必要从与现在普遍应用的裂缝解释方法不同的角度出发,建立新的有效渗流裂缝参数解释方法,这样既可以对目前的压裂解释技术作必要的补充,同时又可以获得重要的新信息,最终更好地指导油田施工和生产。考虑压裂施工及生产对油藏的影响,利用快捷、方便获取的油井生产动态历史数据,基于物质平衡原理,建立了一个快速评价体积压裂后与油井真正连通的油藏有效体积以及裂缝与基质的有效接触面积的新方法。

1 方法模型建立

油藏工程中应用的物质平衡方程是基于体积平衡的原理: 任一时刻油藏中油、气、水和岩石孔隙体积的变化之和等于0。应用物质平衡方法通过分析体积压裂后的油井油、气、水的产量、体积变化及物性参数与储层压力的关系,分别计算得到与该井连通的有效裂缝和基质中的总含油量,进一步求得体积压裂后与油井真正连通的能够提供有效渗流的油藏体积和裂缝与基质的有效接触面积等参数。为了使模型更好地反映体积压裂井的实际情况,在建模过程中综合考虑了体积压裂施工过程中大量压裂液注入导致地层压力升高,压后油井生产过程地层压力下降以及基质孔隙与裂缝孔隙随压力非线性变化等因素。

首先引入并定义新参数: 1 提供有效渗流的裂缝总体积Vf( 体积压裂形成的能够提供有效渗流的人工裂缝与储层原有的能够提供有效渗流的天然裂缝的体积总和) ; 2 油藏有效渗流体积Ve( 体积压裂后与油井真正连通的能够提供有效渗流的油藏总体积) ; 3 裂缝有效渗流面积Sp( 体积压裂后压裂裂缝及与压裂裂缝连通的能够提供有效渗流的天然裂缝与基质的接触总面积) 。

1. 1 方法模型基本假设

按照油田压裂改造和生产实际情况以及本模型的理论要求提出了以下假设条件。

( 1) 油层由基质和裂缝两种介质组成,两种介质具有不同的孔隙度,其中裂缝介质由压裂产生的人工裂缝和天然裂缝共同组成。

( 2) 油藏总体积恒定: 由于流体相态变化、储层流体和介质膨胀产生的体积变化等于油藏所产油气水在油藏条件下的体积。

( 3) 在油层压裂后投产之前基质和裂缝的压力处处相等,在油藏投产后每个生产时间点油藏各个点压力相同。

( 4) 油藏中存在油气水三种组分。其中油组分只存在于油相中,水只存在水相中,气组分存在于自由气和溶解于油相中。

( 5) 裂缝和多孔介质( 基质) 是可压缩的。

( 6) 体积压裂未连通的区域发生的渗流和压降忽略不计。

( 7) 油藏没有边底水,压裂后没有人工注水,油藏没有压力补充。

1. 2 致密储层体积压裂参数解释需要考虑的关键因素

1. 2. 1 考虑体积压裂过程中压裂液注入对油藏的影响

油井实施体积压裂,会注入大量的压裂液,在压裂液注入后油藏压力上升,并产生新的裂缝,因此模型以压裂后投产的时间作为模拟分析起点,此时认为地层中基质和裂缝介质都达到稳定状态。油藏主要的变化体现在压力升高和裂缝含水饱和度的增加,根据研究区油田现场生产测试资料统计,实际压裂后油藏平均压力达到原始压力的1. 1 倍左右,而通过计算发现压裂液的注入量相对与裂缝中的含水量很小,含水饱和度的改变可以忽略不计。

1. 2. 2 考虑致密储层基质弹性压缩系数随油藏压力的变化

在以往的物质平衡研究中通常认为岩石基质弹性压缩系数是一个常数,但在实际油藏中,岩石基质压缩系数不是一个常数,它随有效上覆压力的变化而变化,在计算中不能够忽略它的变化［21］。不同的储层基质的弹性压缩系数随有效上覆压力变化规律不同( 图2) ,通过开展致密储层岩心实验,我们得到了研究区致密储层基质弹性压缩系数的变化规律,如式( 1) 所示。

式( 1) 中Cppm为基质弹性压缩系数,MPa－ 1; P为地层上覆压力,MPa。

1. 2. 3 考虑致密储层裂缝弹性压缩系数随油藏压力的变化

裂缝介质在压力增大时容易闭合,弹性压缩系数初始值高且下降幅度较基质小,随上覆有效应力的增加孔隙体积下降较快,本文通过实验测定了研究区裂缝弹性压缩系数随有效上覆压力的变化规律如式( 2) 所示。

式( 2) 中Cpp f为裂缝弹性压缩系数,MPa－ 1; P为地层上覆压力,MPa。

1. 3 模型建立及求解

依据基本假设建立如式( 3) 的物质平衡方程,将公式变形和处理得到式( 8)［22］。

式中Np为累积产油量,Wp为累积产水量,m3;Bo为原油体积系数,Bg为天然气体积系数,Bw为地层水体积系数,Boi地层原油初始体积系数;Rp为生产气油比,Rs为地层溶解气油比,Rsi为地层初始溶解气油比,m3/m3;Cw为地层水弹性压缩系数,MPa-1;Swmi,Swfi为基质和裂缝介质的束缚水饱和度,Δp为原始地层压力与目前地层压力的差值,MPa;F为累积产油、气和水在地下条件下的总体积,m3;将E(o,m)和E(o,f)定义为基质和裂缝含油量的系数。

利用上述公式以及油井产量历史数据和油藏压力数据,可以做出一条F /E( o，m)随E( o，f)/ E( o，m)变化的曲线［23］,其中该直线的斜率为参与渗流的裂缝介质中的总含油量Nf,截距为参与渗流的基质中的总含油量Nm,假设裂缝的宽度为定值a,那么可由式( 9) 得到压裂后的裂缝有效渗流面积Sp,由式( 12)得到油藏有效改造体积Ve。

式中a为裂缝平均开度,m; Φ 为基质孔隙度; Vm为基质介质体积,m3。

2 现场实例应用及结果分析

2. 1 现场实例应用

将该方法应用在长庆油田合水地区某致密储层,对致密储层体积压裂效果进行了分析评价。研究区为未饱和致密油藏,没有气顶,渗透率在0. 2 ×10－ 3μm2左右,油井在压裂前不能形成工业油流。研究区从2013 年开始采用体积压裂改造技术改造储层,但不同的井改造效果差异巨大。目前主要采用微地震技术对压裂裂缝进行监测,限于成本现场只对典型井进行了评价,对整体油井体积压裂效果缺乏深入的了解。本文对该区有微地震监测解释结果的HP-5、HP-6 和AP-37 井分别运用该文的新方法进行了计算( HP-6 井的微地震监测解释见图3) ,并求出了提供有效渗流的裂缝总体积Vf、油藏有效渗流体积Ve、裂缝有效渗流面积Sp等参数。将本文得到的油藏及裂缝新参数与微地震检测的解释结果进行了对比分析,进一步验证了该方法的可行性,同时解释出的新参数对全面认识体积压裂效果具有重要作用。

利用HP-5、HP-6 和AP-37 井的生产动态数据( 表1) 和压裂施工以及基本物性参数( 表2) 按照物质平衡方法进行了计算解释得到如图4 所示的结果,从图中我们可以看出F /E( o，m)与E( o，f)/ E( o，m)呈较好的线性关系,数据方差在0. 86 左右,说明该方法拟合效果好,研究区的基本物性参数准确可靠,实验测得的基质与裂缝的弹性压缩系数与地层实际情况吻合较好。曲线的斜率为有效压裂裂缝及与其连通的天然裂缝中含有的油总体积,曲线的截距为参与渗流的基质中含油总体积。按式( 9) ~ 式( 12) 计算得到提供有效渗流的裂缝总体积Vf、油藏有效渗流体积Ve、裂缝有效渗流面积Sp等参数,其结果见表3。

2. 2 应用结果分析

从表3 中可以看出不同井体积压裂后能够提供有效渗流的裂缝总体积值差别较大,范围在( 18. 10 ~39. 28) × 104m3之间,HP-6 井提供有效渗流的裂缝总体积值较大,AP-37 井提供有效渗流的裂缝总体积值较小。新方法解释的油藏有效渗流体积小于微地震监测解释的压裂改造总体积SRV( 其值约为SRV值的30% 左右) 。原因在于微地震解释的改造体积是压裂施工当时产生微地震事件的裂缝区域总体积,但由于裂缝迂曲错断、填砂不均匀等因素的影响,其中有一部分裂缝并不能够提供有效的渗流通道,而只有与油井连通并能提供有效通道的裂缝才能对油井生产有贡献。该方法解释出的能够提供有效渗流的裂缝总体积这一参数比压裂改造体积SRV物理意义更明晰,更能够真实地体现压裂改造井的实际渗流及增产效果。

油藏有效渗流体积Ve反映的是致密储层体积压裂后与油井连通或控制的参与渗流的油藏体积,该部分介质既是油气储集空间又是渗流通道,直接决定了油井的产能的高低和油藏的最终采收率,对比3 口体积压裂井的解释结果发现油藏有效渗流体积Ve大的HP-5 和HP-6 井在油藏压力下降相同幅度时产液量更大( 图5) 。主要原因在与弹性压缩系数相同时,有效渗流体积越大,含油孔隙体积越大,油藏压力下降相同幅度时孔隙及裂缝被压缩的体积越大因此油藏产出的液体会更多。

能够提供有效渗流的裂缝总体积Vf、裂缝有效渗流面积Sp体现了人工压裂后裂缝打碎储集层并与油井建立有效连通的程度。从图6 中可以看出HP-5 和HP-6 井递减率较小,稳定时间较长。而AP-37 井产量递减较快。原因在于HP-5 和HP-6 井参与渗流的裂缝体积Vf与裂缝有效渗流面积Sp较大。渗流面积越大,基质向裂缝的渗流能力越强,基质中的流体更容易进入裂缝,油井的产量会比较稳定,递减慢。

3 结论

( 1) 本文基于物质平衡原理建立了定量解释致密油藏体积压裂井有效渗流体积的新方法,该方法具有评价解释快捷、获取数据方便、成本低、准确度高的优点,适合于油田现场多井次大规模推广应用。

( 2) 该方法解释出的三个新参数: 能够提供有效渗流的裂缝总体积、油藏有效渗流体积、裂缝有效渗流面积,其物理意义更明确,比前人提出的压裂改造总体积SRV这一参数更能够真实地体现压裂改造井的实际渗流及增产效果,对致密储层的开发设计及增产改造指导意义更强。

( 3) 新方法解释出的油藏有效渗流改造体积小于传统微地震监测解释的压裂改造总体积SRV,反映了致密储层应力及裂缝网络分布的复杂性。

( 4) 能够提供有效渗流的裂缝总体积和裂缝的有效渗流面积对油井增产效果影响明显,其值越大,油井压后初产越高,递减率越小,增产效果越好。

摘要：致密油藏需要经过大规模体积压裂改造才能获得工业油流。在物质平衡原理的基础上,综合考虑了体积压裂施工过程中大量压裂液注入,导致油藏压力升高、压后流体产出导致油藏压力降低以及裂缝与基质孔隙体积随压力非线性变化等致密油藏实际情况,进行合理假设,建立了模型方程;并推导计算了体积压裂有效改造体积和裂缝与基质的有效接触面积等参数;该方法解释出的三个新参数:能够提供有效渗流的裂缝总体积、油藏有效渗流体积、裂缝有效渗流面积,其物理意义更明确,对致密储层的开发设计及增产改造指导意义更强。将该方法应用到油田现场,并评价了3口已实施体积压裂油井的应用效果。现场应用表明该方法具有评价解释快捷、获取数据方便、成本低、准确度高的优点,适合于油田现场多井次大规模推广应用。

大体积混凝土承台施工方法篇9

混凝土施工是本承台的关键, 但钢筋制作也不可轻视。由于承台面积大又高, 钢筋骨架很庞大, 骨架很不稳定。加上施工时施工人员在上面来回走动及一些施工机械传递的荷载, 往往会导致钢筋骨架的变形、倾斜;钢筋的间距很难控制在设计要求内。钢筋根本达不到设计的受力要求。如果不采取相应的措施, 往往要进行大量的返工处理, 不仅浪费了人力、财力, 而且还影响了工期, 打乱了已安排好的计划。我们在施工本桥承台时, 事先考虑可能出现的问题并提前采取的相应的措施, 保证施工按计划正常进行。

1) 保证钢筋网上下层间距:用短钢筋焊接支撑定位。2) 保证竖向钢筋垂直不倾斜:采用搭设临时脚手架钢筋辅助支撑, 钢筋绑扎成型后, 拆除临时脚手架。3) 保证骨架的整体稳定性:利用一定数量的辅助钢筋斜撑或剪刀撑。

另外, 本桥施工过程中还遇到一个问题:主墩墩身钢筋设计为Ф28, 主筋数量共602根, 钢筋重量较大。原设计埋入承台长度3.5米, 下面悬空2.5米。也就是说, 在浇筑承台混凝土施工, 预埋的墩身钢筋重量全部由承台钢筋骨架承受。我们经过粗略的计算发现承台自身的钢筋骨架根本无法承受602根墩身钢筋传来的荷载。于是我们及时跟设计单位联系, 进行了变更。把墩身主筋加长至承台底, 使整个墩身预埋钢筋重量支撑于承台底面。

2 大体积混凝土施工

大体积混凝土施工时遇到的普遍问题是温度裂缝。由于混凝土体积大, 水泥水化热释放能量比较集中, 内部温升比较快。混凝土内外温差大, 导致裂缝产生, 给结构埋下严重的质量隐患。所以必须从根本上分析它, 来保证施工的质量。

大体积混凝土施工阶段所产生的温度裂缝, 一方面是混凝土内部因素:由于内外温差而产生的;另一方面是混凝土的外部因素:结构的外部约束和混凝土各质点间的约束, 阻止混凝土收缩变形, 混凝土抗压强度较大, 但受拉力却很小, 所以温度应力一旦超过混凝土能承受的抗拉强度时, 即出现裂缝。总而言之, 产生裂缝的主要原因有水泥水化热、外界气温变化和混凝土的收缩。

2.1 混凝土原材料的选择及配合比优化

配置原则:配置的混凝土具有水化热低、可泵性好、抗裂性能好的特点。结合本地区水泥供应实际情况我们选择了南岗32.5普通硅酸盐水泥。该水泥属水化热品种的水泥, 能有效的降低砼温度上升, 达到低水化热效果。配合比设计中还掺入适量的粉煤灰优化砼和易性及降低水泥水化热。在外加剂的选用上, 我们选择了北京科宁砼外加剂有限公司生产的ADD-5泵送剂。该外加剂不仅有泵送的作用, 而且还有缓凝减水的作用。可以适当的增长混凝土的初凝时间, 避免了浇筑过程中冷缝的出现。

2.2 浇筑工艺

1) 结合施工现场实际情况, 我们取消使用现有的拖地式输送泵, 而是从地方上租用了泵车进行浇筑。由于承台面积很大, 如果采用拖地式输送泵, 那么在浇筑过程中就要经常拆除挪动泵管, 这样会需要大量时间。在浇筑下一层混凝土前, 混凝土已达到初凝时间, 出现了施工冷缝。影响结构的整体性能及外观质量。而采用泵车施工就避免了这一情况的发生, 泵车可以随便移动, 可以随时浇筑任何位置。保证了在混凝土初凝前开始浇筑下一层, 杜绝了施工冷缝。

2) 混凝土采用分层连续浇筑。浇筑顺序:横桥方向从左往右全断面摊铺, 分层厚度严格控制在30cm左右。待30cm全断面布料完毕, 再重复开始位置继续浇注下一层。分层间隙未超过试验时确定的砼初凝时间。

3) 施工采用的是泵送混凝土, 坍落度较大, 混凝土在浇筑振捣过程中产生的大量泌水, 我们禁止在模板上随便烧眼把水排出去, 这样做的话可能水泥浆也会跟着流出去。我们安排专人负责制, 人工把水舀出去。

2.3 冷却管的埋设和使用

2.3.1 冷却管的埋设

根据混凝土内部温度分布特征, 承台混凝土0.5m以下布设冷却水管, 冷却水管均为Ф40×3mm的铁皮管, 其水平及竖向间距均为1m。

2.3.2 冷却管的使用

1) 冷却管安装时, 要以钢筋骨架和支撑桁架固定牢靠。使用前进行压水试验, 防止管道堵水和漏水。2) 为了保证冷却水的降温效果, 根据现场实际情况, 合理选择水泵, 并派专人负责检修, 保证冷却系统正常工作。3) 混凝土养生期间, 冷却管连续通水12天以上, 每个出水口流量大于15L/min。

2.4 测温点的埋设和使用

在承台内竖向布置5根测温管, 测温管采用内径φ40mm、壁厚3m m钢管制作, 每根长度4m, 下端用钢板与管口焊接, 确保不漏浆, 承台钢筋绑扎完成后, 插入测温管, 测温管与承台钢筋焊接牢固, 测温管下端与承台底平齐, 上口高于承台50cm, 测温管管口用木塞堵塞, 防止混凝土落入管内, 测温时用皮尺绑扎温度计可测定每一高度的承台混凝土温度。温度计在每一测点的停置时间在5分钟以上, 确保温度计读数的准确。

混凝土浇筑后即开始安排专人测温并进行记录, 我们共记录了混凝土浇筑后的十四天时间。一天三次, 早中晚各一次。根据记录结果我们发现:混凝土内部最高温度出现在混凝土浇筑后的第三天, 然后一直持续六天左右混凝土内部温度才慢慢降下来。在此期间, 循环水不能中断, 一旦混凝土内部温度升高, 循环水根本不能起到降温的效果, 它只能维持这个温度不再上升。之后的几天内温度将趋于平衡, 可以停止循环水。

2.5 混凝土养护

混凝土养护包括湿度和温度两个方面。结构表层混凝土的抗裂性和耐久性在很大程度上取决于养护过程中的温度和湿度养护。因为水泥只有水化到一定程度才能形成高强度的混凝土结构。

本工程采用了冷却水管出水养护, 既能达到湿养护的目的, 又达到了保温的效果, 还节约了水资源。另外, 结合新疆本地气候情况, 昼夜温度变化很大, 白天温度很高。我们在混凝土表面覆盖了一层土工布, 这样既可以加强混凝土表面的潮湿养护, 防止白天温度太高出现干缩裂缝, 又可以防止晚上气温急剧下降起到一定的保温作用, 保证混凝土内表温差。

3 结语

【有限体积方法】推荐阅读：

一类二维非线性发展方程的交替方向有限体积元方法05-22

小学数学五年级《体积和体积单位》说课稿08-23

体积计算06-07

立体体积07-08

剂量体积08-16