区间优化方法

区间优化方法（精选7篇）

区间优化方法 篇1

0 引言

多学科设计优化 (multidisciplinary design optimization, MDO) 是一种通过充分探索和利用系统中相互作用的协同机制来设计复杂系统和子系统的方法, 目前已经成为优化设计领域的研究热点, 主要应用于航空航天领域[1,2,3]。多学科设计优化理论的研究历史不长, 在多学科设计优化理论中考虑不确定性因素大多基于概率理论[4,5,6]。基于概率模型的可靠性理论需要大量的样本信息来构造随机变量的概率分布函数, 而在多学科设计中变量往往很多, 要得到设计变量的精确概率分布和联合概率分布密度有很大难度, 因而基于概率模型的可靠性理论在实际工程中的应用受到很大的限制。研究表明:在掌握数据较少的情况下, 基于概率模型进行不确定性优化所得的结果是毫无意义的[7]。

在不确定性设计优化中, 采用凸集合模型来处理未知但有界的不确定性变量的应用较多[8,9,10]。文献[7]将非概率凸集合理论应用于多学科耦合系统, 基于静态参量的超椭球模型研究了多学科系统耦合状态变量的变差分析方法以及稳健可靠性分析方法, 建立了可靠性分析的SAND模型以及稳健优化设计的All-in-one模型。Jiang等[11,12,13,14]在基于区间模型的不确定性优化方面做了较为深入的研究工作。在多学科设计优化中目标函数及约束条件存在不确定性且为非线性时, 怎样进行设计优化是MDO面临的一个问题。笔者提出一种多学科不确定性设计优化方法来解决在多学科设计中不确定性变量为未知但有界变量的优化问题, 首先将不确定性问题转化为两目标的确定性问题, 然后将两目标问题转化为单目标问题, 再采用常规多学科设计优化方法进行求解。

1 问题描述

一个多学科设计优化工程问题可以用如下的多学科设计优化模型表达:

min F (f1 (Z, X1, y1) , f2 (Z, X2, y2) , …, fn (Z, Xn, yn) ) (1)

s.t. gi (Z, Xi, yi) ≤vii=1, 2, …, n

Hi (Xi, yi, y1i (Z, X1, y1) , y2i (Z, X2, y2) , …, yji (Z, Xj, yj) , …, yni (Z, Xn, yn) ) =0

j=1, 2, …, n且j≠i

式中, F为目标函数;Z为系统设计变量 (公共设计变量) ;X1, X2, …, Xn为学科设计变量;y1, y2, …, yn为学科状态变量, 可以由学科分析求得;y1i, y2i, …, yni为耦合状态变量, 可以由系统分析求得;gi为不等式约束;Hi为系统分析所必须满足的方程。

解决如式 (1) 所表达的确定性多学科设计优化的方法主要有多学科可行方法 (MDF) 、单学科可行方法、同时分析优化算法、并行子空间优化算法、协同优化算法、两极集成系统合成法等[1]。但上述方法都无法解决目标函数和约束中存在不确定性变量的设计优化问题。当式 (1) 中的目标函数和约束存在不确定性且采用区间模型描述不确定参量时, 优化模型可以改写为

min F (f1 (Z, X1, y1, U1) , f2 (Z, X2, y2, U2) , …, fn (Z, Xn, yn, Un) ) (2)

s.t. gi (Z, Xi, yi) ≤[vLi, vRi]

Hi (Xi, yi, y1i (Z, X1, y1, U1) , y2i (Z, X2, y2, U2) , …, yji (Z, Xj, yj, Uj) , yni (Z, Xn, yn, Un) ) =0

j=1, 2, …, n且j≠i

式中, [vLi, vRi]为不等式约束的区间, 上标L和R分别表示区间的上界和下界;Ui∈Γ=[ULi, URi]为不确定性变量, 且为一个区间数。

2 算法原理

2.1目标函数的转化

为表达简便起见, 将F (f1 (Z, X1, y1, U1) , f2 (Z, X2, y2, U2) , …, fn (Z, Xn, yn, Un) ) 简写为F (Z, Xi, yi, Ui) 。在确定性多学科设计优化中, 如果式 (1) 中的Z及 Xi给定, 则可以求得相应的目标函数值。但式 (2) 即使给定Z及Xi而 Ui在一定的区间变化时, 目标函数为一个区间数F, F= [FL, FR], FL、 FR分别为区间的上下界, FL及 FR可以通过优化获得:

根据区间数学理论, 如果区间数F不仅有小的中点值而且有小的区间半径, 那么该区间数F为优化值[11], 因此式 (2) 中的目标函数可以转化为一个两目标问题, 式 (2) 的目标函数转化为

min (mF (Z, Xi, yi, Ui) , wF (Z, Xi, yi, Ui) ) (4)

式中, mF (Z, Xi, yi, Ui) 为区间中点;wF (Z, Xi, yi, Ui) 为区间半径。

通过如上处理, 不确定性变量Ui可以从目标函数中去除, 从而将多学科问题的不确定性目标函数表达为确定性目标函数。常用的多学科设计优化方法无法处理多目标问题, 为了能够采用常用的多学科设计优化方法来处理如式 (4) 的问题, 采用加权法将式 (4) 所表达的多目标问题变为单目标问题, 转化后的表达式为

min ( (1-β) mF (Z, Xi, yi, Ui) +βwF (Z, Xi, yi, Ui) ) (6)

式中, β为权重系数, 0≤β≤1。

2.2不等式约束的转化

式 (2) 的约束gi中由于有不确定性变量Ui, 因此约束gi与目标函数F一样也为一个区间数, gi∈[gLi, gRi], gLi、gRi分别为约束变化区间的上下界, 同时约束gi的容许变化范围[vLi, vRi]也为一个区间数, 因此必须处理这两个区间数的满足关系, 将不确定性约束转化为确定性约束。对于单学科不确定性问题的不等式约束gi (X, U) ≤[DLi, DRi], 文献[11]提出的将不确定性不等式约束转化为确定性不等式约束的方法为

PC≤D≥λi (7)

${\rm P}{}_{C\le D}=\{\begin{array}{l}0C{}^{\text{L}}\ge D{}^{\text{R}}\\ 0.5\frac{(D{}^{\text{R}}-C{}^{\text{L}}){}^2}{(C{}^{\text{R}}-C{}^{\text{L}})(D{}^{\text{R}}-D{}^{\text{L}})}\\ D{}^{\text{L}}\le C{}^{\text{L}}<D{}^{\text{R}}\le C{}^{\text{R}}\\ \frac{D{}^{\text{R}}-C{}^{\text{L}}}{C{}^{\text{R}}-C{}^{\text{L}}}+0.5\frac{D{}^{\text{R}}-C{}^{\text{L}}}{C{}^{\text{R}}-C{}^{\text{L}}}\\ C{}^{\text{L}}<D{}^{\text{L}}<D{}^{\text{R}}\le C{}^{\text{R}}\end{array}(8)$

C=[CL, CR]=[gLi (X) , gRi (X) ] D=[DLi, DRi]

式中, C为不等式约束的取值区间;D为容许约束区间数;PC≤D为区间数C小于或者等于区间数D的概率; λi为满意度水平, 可以根据实际情况需要以及技术人员的经验选定, λi ∈[0, 1]。

通过式 (7) 可以将不确定性约束转化为确定性约束。gLi (X) 、gRi (X) 的计算方法为

相应地, 可以将式 (2) 中的多学科不确定性不等式约束转化为确定性不等式约束, 转化方法为

PCi≤Di≥λi (10)

Ci=[gLi (Z, Xi, yi) , gRi (Z, Xi, yi) ] Di=[vLi, vRi]

2.3等式约束Hi的处理

与单学科设计优化不同, 学科间耦合关系的存在使得多学科设计优化中存在状态变量 (包括学科状态变量、系统状态变量以及耦合变量) , 状态变量可以通过系统分析 (包含学科分析) 求得。在循环迭代求解状态变量时, 系统设计变量、学科设计变量和不确定变量均为已知量, 未知量为各状态变量, 所求得的状态变量必须满足约束方程。可预先设定各状态变量值以及循环终止条件, 再通过循环迭代的方法求得各状态变量的值[1]。

2.4无约束问题转化

目标函数以及约束的转化已将多学科不确定问题转化为单目标确定性优化问题, 该确定性问题表达如下:

min ( (1-β) mF (Z, Xi, yi, Ui) +βwF (Z, Xi, yi, Ui) ) (12)

s.t. PCi≤Di≥λi

式 (2) 目标函数的等式约束Hi没有出现在式 (12) 的约束条件中, 是因为Hi并不是优化过程中的约束条件, 它不影响也不决定可行区间, Hi是进行优化之前状态变量必须满足的方程, 在多学科设计优化中通过系统分析求解状态变量。利用罚函数法将式 (12) 转化为无约束优化问题:

min

$\begin{array}{l}\tilde{f}=[(1-\beta )mF({\rm Z},X{}_i,y{}_i,U{}_i)+\\ \beta wF({\rm Z},X{}_i,y{}_i,U{}_i)+\sigma {\displaystyle \sum _{i=1}^k\phi }({\rm P}{}_{C{}_i\le D{}_i}-\lambda {}_i)](13)\\ \phi ({\rm P}{}_{C{}_i\le D{}_i}-\lambda {}_i)=[\max (0,-({\rm P}{}_{C{}_i\le D{}_i}-\lambda {}_i))]{}^2(14)\end{array}$

式中, σ为罚因子, 通常取较大的正数。

至此, 通过上述转化, 已经将如式 (2) 所表达的不确定性多学科设计优化问题转化为如式 (13) 所表达的无约束的确定性单目标多学科设计优化问题。

2.5计算步骤

本文将单级优化中的多学科可行方法作为优化方法, 在该方法中, 状态变量通过高斯-塞德尔 (G-S) 迭代方法求得[1]。本文采用如图1所示的流程实现从式 (2) 到式 (13) 的转化及优化, 该计算流程包含3层循环:内层循环为高斯-塞德尔迭代, 用于求解式 (2) 中的状态变量, 以状态变量的稳定性作为循环终止标准;中间层优化用于求得目标函数和约束的区间数, 即求解式 (3) 和式 (11) ;外层优化循环用于优化罚函数$\tilde{f}‚$即求解式 (13) 。在进行内层迭代求解状态变量时, 设计变量X和不确定性变量U都被设定为常量;在进行中间层优化时, 设计变量X被设定为常量, 对不确定性变量U进行寻优;在进行外层优化循环时, 只对设计变量X进行寻优。为求得目标函数和约束的区间数, 外层优化需要多次调用中间层优化器, 然后才可计算出目标函数的区间中点和半径以及约束的满意度, 再计算罚函数值。本文采用Xu等[15]开发的IP-GA作为多学科不确定问题求解的优化器。

3 算例及讨论

为验证本文提出的算法的性能, 采用两个多学科模型进行验证。

3.1测试函数

参考文献[16]中的多学科模型并进行适当改造, 如式 (15) 所示, 该多学科不确定模型由两个学科sub1和sub2组成。

min (f1+f2) (15)

sub1:min f1

f1=U1X21+U2Z22+y12

s.t. g1=1-0.5y12≥[0, 0.3]

y12=U1Z21+U2 (Z1+X1) -0.2y21

sub2: min f2

f2=exp (-y21)

s.t. g2=0.1y21-1≥[-0.5, 0]

y21=U3 (Z1+Z2) +0.2y12

式中, Z1、Z2为系统设计变量, 0≤Z1≤5, 0≤Z2;X1为学科设计变量, X1≤10。

当不确定变量的分布未知而其边界确定时, 采用区间模型描述不确定性变量, 因此各不确定变量的区间为U1∈[1.0, 1.3], U2∈[0.9, 1.1], U3∈[1.2, 1.4]。

外层优化IP-GA中, 种群规模为5, 交叉概率为0.5, 罚因子取1000, 目标函数中的权重因子β取0.5;中间层优化采用拟牛顿法;内层采用高斯-塞德尔迭代方法。考察算法的收敛性, 式 (12) 中满意度水平λ取为0.95, 遗传算法的计算代数分别为100、200、300、400、500时的计算结果如表1所示。从表1中可以看出, 计算代数为300时罚函数的值趋于稳定, 400代和500代时的罚函数的值相同, 该结果表明所提出的优化算法可以解决目标和约束函数中存在不确定变量的多学科设计优化问题。表2为计算代数为400且在4个不同满意度水平下的优化结果, 从表2可以看出:随着满意度水平的提高, 罚函数值不断增大, 这是因为约束严格程度的提高使得可行域区间缩小, 在工程实际问题中可以根据情况选择适当的满意度水平。

3.2工程问题

文献[17]中的超音速概念飞行器的数学模型是一个典型多学科优化工程问题, 此模型是结构、气动、推进和飞行器航程4个模块的耦合系统, 其优化的目标是使飞行器的航程R最大。系统层设计变量有厚弦比t/c、高度h、马赫数Ma、展弦比AR、翼掠过角Λ、翼表面积SREF, 结构子系统设计变量为锥度比α、翼展x, 气动子系统设计变量为表面摩擦因数μf, 推进子系统设计变量为推力T, 其设计结构矩阵如图3所示[18], 该图表达了飞行器模型的各个子系统之间的耦合关系及数据流向, 各子系统的详细定义见文献[17]。在飞行器制造和使用过程中存在的各种不确定性因素影响其性能, 因此在目标函数、约束以及状态变量中考虑不确定性更加接近实际情况, 为此在目标函数及其中的一部分约束和状态变量中加入不确定变量, 如表3所示, 模型的其余部分与文献[17]定义相同。

注:L/D为升阻比;WT为总质量;WF为燃料质量;WE为发动机质量;SFC为燃料消耗标准;θ为结构系数;WO、WBE、WFo为模型中的常量; WFw、WW、V、ρ、CD、D、$\overline{{\rm T}}$、TUA为模型的中间变量;σ1～σ5、dp/dx为约束;pf为多项式方程。

为考察本文提出算法的有效性, 一共引入了12个不确定变量, 表3中U1至U12表示12个不确定变量, 各不确定变量的区间见表4。外层及中间层优化均采用遗传算法作为优化求解器, IP-GA中, 种群规模为5, 交叉概率为0.5, 罚因子取100 000, 考虑到优化目标为航程最远, 因此式 (13) 中的β=0, 另外在飞行器设计中要求严格满足所有约束, 因此满意度水平取值为1。不同代数的计算结果如表5所示, 由表5可知当计算代数为400时罚函数的值趋于稳定。在没有考虑不确定性情况下采用两极集成系统合成法求得该模型的优化目标函数值为3963[17], 与表5对比可知由于目标函数、约束以及状态变量中存在不确定性参量, 目标函数的最优值要比确定性多学科优化的最优目标函数值小, 这说明在多学科设计优化中考虑不确定性因素是有必要的, 采用该算法得到的结果是合理的。当然, 本例中仅考虑满意度水平取值为1的情况, 如果可以适当放松约束即满意度水平可以取小于1的值, 那么目标函数值将会有所增加。对于其他的工程问题, 技术人员根据实际情况以及其经验选取不同满意度水平可以使得优化过程具有柔性。

4 结束语

本文采用区间模型描述多学科设计优化中的不确定性信息。基于区间模型及多学科可行方法提出了一种多学科不确定性设计优化算法。利用测试函数和工程实例对该算法进行验证, 得到了不同满意度水平下的优化结果, 证明了该算法的有效性, 同时该算具有很好的灵活性。但是, 该算法是只针对多学科可行方法, 而多学科可行方法有计算耗费大的不足, 因此有必要研究基于区间模型并针对先进多学科设计优化方法的多学科不确定性设计优化方法。

区间优化方法 篇2

广州地铁二八号线在站与站之间的隧道区间, 基本上设置一套独立排水系统, 为方便对水泵的监控与维护, 采用浮球触发式一控二水泵控制系统:当集水井水位到达后水泵自动启停。并利用BAS监控系统, 能把控制电源、水泵开停、故障等信息实时反馈到控制中心和车站控制室的电脑上, 使调度人员能第一时间发现问题, 更及时地安排专业人员处理。

整套排水系统由电源切换箱、水泵控制箱、BAS模块箱、潜污泵、管道及阀门等组成。其中一控二的区间潜污泵控制系统, 可以实现以下功能:

1) 双电源供电, 互为备用, 故障时能自动切换至另一回路。

2) 当水位达到超低水位时报警, 控制回路能保证两台泵都处于停泵状态。

3) 水位达到停泵水位时, 水泵停止工作。

4) 水位到达第一启泵水位时自动起一台泵, 正常时两台泵交替启动, 一台泵故障时起另一台。

5) 第二启泵水位时, 两台泵都处于运行状态, 同时发出高水位报警信号。

6) 当水位达到危险水位时, 发出紧急水位报警信号。

7) 水泵具有漏水保护, 过载保护、过热保护, 并有报警功能。

2 区间一控二水泵控制系统存在的不足

二八号线区间一控二水泵都是以五个浮球实现液位控制, 由低到高分别是:

超低水位浮球、停泵浮球、第一启泵浮球、第二启泵浮球 (兼超高水位浮球) 、紧急危险水位浮球。

根据开通至今区间水泵控制箱发生的故障现象, 经统计和仔细研究、分析发现该区间水泵控制系统存在以下几个不足。

1) 水泵控制电路中的主回路断电, 而二次回路不断电的情况下, 整个系统依然显示设备正常, 而无断电故障报警显示功能。水位到达紧急水位的时候水泵依然无法运行进行排水工作。

2) 区间控制电路中的超低报警水位浮球、停泵水位浮球中任意一个元件发生故障, 即使水泵集水井水位上升到第二启泵水位甚至紧急水位, 整个排水系统都将无法自动启动水泵进行抽水。

3) 区间控制电路中设计了远程启动功能, 但只有在超低报警水位浮球、停泵水位浮球正常触发下, 才能正常远程启动水泵, 只要两者其中任意一个故障或两个都故障情况远程无法启动水泵进行抽水。

以上故障只有检修人员到达现场更换故障的元件后, 水泵才可恢复正常, 能够正常的启停。

3 优化措施

区间水泵都是处在隧道内, 一旦发生故障, 需要马上组织人员进入区间进行抢修。

如果故障发生在运营期间, 这必将会给行车带来影响。为了确保区间水泵安全、可靠、稳定的运行, 需对水泵的控制回路及控制程序进行优化, 完善控制系统的软硬件功能。

即使出现断电故障、超低报警水位浮球、停泵水位浮球中任意一个元件出现故障, 系统也不会出现无断电报警显示及水泵不能启动的现象。

1) 控制系统无断电报警显示的不足。

优化方案:可在系统中一次回加装2个中间继电器 (KA) , 从而将控制回路中失电状态及时反馈到BAS中去实现了断电报警显示功能。 (优化改造前水泵控制箱线路图详见图1, 优化改造后水泵控制箱线路图详见图2)

优化前水泵控制箱线路图原理说明:当1#水泵主回路主开关QF1或2#水泵主回路主开关QF2元器件故障, 一次回路将失电。而二次回路正常, BAS显示界面依然正常, 无法将一次回路故障反馈到BAS监控系统中。

优化后水泵控制箱线路图原理说明:KA10是监控1#水泵主回路主开关QF1的运行状态。

当主开关QF1分闸后, KA10失电, 常闭触电闭合, 此时BAS收到1#水泵故障;KA11是监控2#水泵主回路主开关QF2的运行状态。当主开关QF2分闸后, KA11失电, 常闭触电闭合, 此时BAS收到2#水泵故障。

因为KA10的线圈是接到进线电源L1上, KA11的线圈是接到进线电源L2上, KA0的线圈是接到L3上, 从而对三相进行监控, 当发生进线电源缺相, BAS将会收到1#水泵故障、2#水泵故障或水泵控制箱故障, 当进线失电, BAS会同时收到1#水泵故障、2#水泵故障和水泵控制箱故障信号, 从而实现断电报警显示功能。

2) 控制系统中的超低报警水位浮球、停泵水位浮球中任意一个元件发生故障, 即使水泵集水井水位上升到第二启泵水位甚至紧急水位, 整个排水系统都将无法自动启动水泵进行抽水的不足。

优化方案:

可在水泵控制程序增加1条控制网络, 只要紧急危险水位浮球信号接通后, 不受超低报警水位浮球、停泵水位浮球条件连锁, 延时5s后自动启动两台水泵进行排水, 从而解决超低报警水位浮球与停泵浮球任一元件故障, 水位到达紧急水位无法启动水泵抽水的不足。 (程序优化前控制网络图详见图3, 程序优化前控制网络图详见图4)

优化前水泵控制程序原理说明:网络7高水位和紧急水位启泵程序需满足M2.3超低水位报警浮球与M3.2停泵浮球判断正常条件水泵才能启动, 若M2.3与M3.2任一浮球状态判断故障, 水泵将无法启动。

优化后水泵控制程序原理说明:在程序中增加网络8:紧急危险水位浮球信号接通延时5s闭合网络7中程序T43常开触点, 危险水位浮球信号接通后不受超低报警水位浮球、停泵水位浮球条件连锁, 延时5s后自动启动两台水泵进行排水。从而优化高水位和紧急水位浮球启泵功能。

3) 区间控制电路中设计了远程启动功能, 但只有在超低报警水位浮球、停泵水位浮球正常触发下, 才能正常远程启动水泵, 只要两者其中任意一个故障或两个都故障情况远程无法启动水泵进行抽水的不足。

优化方案:可在水泵控制程序删除超低报警水位浮球、停泵水位浮球故障判断状态条件, 增加延时闭合常开触点条件, 增加远程启泵信号延时5s启动水泵的控制网络。 (程序优化前控制网络图详见图5, 程序优化前控制网络图详见图6)

优化前远程启泵控制程序原理说明:网络M12∶1#泵远程强启控制需要满足M2.2水泵自动状态、M2.3超低水位浮球正常接通状态, M3.2超低水位浮球正常接通状态, I1.51#水泵强启信号输入;这四个条件满足的情况下1#水泵实现远程启泵。

网络13与网络12原理一致。

优化后远程启泵控制程序原理说明:

网络14、网络15删除M2.3与M3.2超低水位报警浮球与停泵浮球状态判断条件;增加T40、T41接通延时闭合常开触点条件。

增加网络12和网络13远程启泵信号延时5s动作, 防止误操作。从而优化远程启泵功能。

通过以上优化措施解决了水泵控制系统中存在的不足, 有效地确保了区间排水系统的安全、可靠、稳定运行。

4 总结

区间水泵功能的正常与否直接影响到行车安全, 而且对正常生产带来较大的影响。

因此通过以上3个切实可行的措施对控制系统存在不足进行优化, 提高系统可靠性降低设备故障率, 从而保障地铁区间排水系统安全、可靠、稳定的运行。

摘要：保持排水系统的正常稳定运行是地铁系统实现稳定安全运输的重要保障, 水泵是排水系统的核心部件。以广州地铁二、八号线区间排水系统为例, 对其现有运行情况及水泵控制系统进行深入分析研究, 指出水泵控制系统中存在的不足之处, 并针对性地提出了优化改进措施。运行结果表明, 水泵控制系统经优化改进后, 有效地确保了排水系统的安全、可靠、稳定运行。

关键词：地铁,排水系统,水泵控制,优化

参考文献

[1]廖权明.城市轨道交通岗位技能培训教材给排水系统检修[M].北京:中国劳动社会保障出版社, 2010.

[2]郁汉琪, 郭健.可编程控制器原理及应用[M].北京:中国电力出版社, 2006.

[3]陈汇龙, 闻建龙, 沙毅.水泵原理.运行维护与泵站管理[M].北京:化学工业出版社, 2004.

区间优化方法 篇3

关键词：模糊决策序信息系统,属性约简,区分函数,优化区间决策规则

1 引言

粗糙集理论正式诞生于1982年波兰科学家Pawlak发表的论文《Rough Sets》[1,2], 经过三十多年的发展, 这一理论已经成功应用于模式识别、机器学习、数据挖掘、数据的决策与分析等众多领域, 特别是信息系统的属性约简与优化决策规则获取。

经典粗糙集理论是基于不可区分关系所形成的等价类, 但是在实际背景下, 经常会要求对对象的属性值进行排序或比较, 这时经典粗糙集中的不可辨识关系不再适用。为处理序信息系统中的知识发现问题, Greco等将经典粗糙集理论加以推广, 提出了基于优势关系的粗糙集方法 (DRSA) [3,4]。在优势关系粗糙集模型中, 用于分类的知识是由优势关系确定的论域中对象关于条件属性的支配集 (dominating set) 和被支配集 (dominated set) 。优化决策规则获取这一研究方向, 可以帮助我们从大量杂乱无章的、强干扰的数据中发现潜在的、有价值的、简洁的信息。Dubois等在文献[5]中利用模糊集和粗糙集的的结合, 定义了粗糙模糊集与模糊粗糙集的概念, 进而定义了相应的下、上近似;袁修久等在文献[6]中定义了模糊决策序信息系统的五种约简, 讨论了模糊决策序信息系统中利用辨识矩阵获取约简的方法;魏利华等在文献[7]中给出了一种新的粗糙模糊集方法, 定义了下、上近似及基于下、上近似的相对约简, 并讨论了利用区分矩阵来获取优化决策规则的方法;杜蕾等在文献[8]中定义了模糊下、上近似及相应的三种决策规则, 讨论了利用区分函数计算约简进而获取优化决策规则的方法;骆公志等在文献[9]中定义了基于限制优势关系的粗糙模糊集, 并给出相应的区分矩阵来计算约简;姜洪冰等在文献[10]中基于广义决策, 提出了上近似协调元的概念, 进而给出了模糊决策序信息系统中获取优化近似决策规则的方法。

目前对于优势关系粗糙集的研究, 都是以对象的支配集或者对象的被支配集作为基本知识颗粒, 来定义关系决策类的上并 (下并) 的下、上近似, 进而导出“at most”决策规则或者“at most”决策规则。但是在实际问题当中, 以支配集或者被支配集作为基本颗粒显得过于粗糙, 而且往往导不出类似“at most and at most”的区间决策规则。为解决此类问题, 管延勇, 王洪凯等[11]将一个特定对象的支配集和另一个特定对象的被支配集的交作为基本知识颗粒, 提出了区间知识颗粒的概念, 研究了序信息系统中获取决策极小决策规则获取问题。本文针对模糊决策序信息系统, 结合区间知识颗粒, 提出了区间约简的概念, 利用布尔推理理论, 给出了计算区间约简的区分函数, 提供了获取模糊决策序信息系统的区间决策规则的方法。

下文中, 第二节介绍文章所要用到的有关基本概念。第三节给出模糊决策序信息系统的区间决策规则获取及优化问题。第四节总结本文内容。

2 基本概念

3 优化区间决策规则获取及其区分函数求法

为了要优化[xi, xj]C诱导的决策规则, 需要在保证得到相同的决策结论的前提下, 亦即在保证决策规则的决策部分不变的前提下, 尽可能地去删除此规则的条件部分的合取项, 使其条件属性描述更加简洁, 找出对决策结论是必要的条件属性。由此可见, 要优化模糊决策序信息系统的区间决策规则, 只需要满足d ([xi, xj]B) =d ([xi, xj]C) 的极小属性子集B即可。为此, 下面我们给出优化区间决策规则的概念。

基于定义3.2和定理3.1, 结合布尔推理技术[12], 可以得到下面的命题3.1。

例3.1:求表3.1所示的模糊决策序信息系统的优化的区间决策规则。

解:以区间[x6, x5]C为例来说明获取模糊决策序信息系统中优化的区间决策规则的步骤。

类似上面的方法, 可以获取表3.1所示的模糊决策序信息系统的所有优化的区间决策规则。

4 结论

结合区间知识颗粒的概念, 讨论了模糊决策序信息系统的优化区间决策规则获取问题。通过区间知识颗粒的引入, 获取了模糊决策序信息系统的区间决策规则。然后给出相应的判定定理及区分函数的定义, 进而获取优化的区间决策规则, 使我们能从决策规则简化的直观角度, 对模糊决策序信息系统的知识有一个清楚的认识。

参考文献

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[6]袁修久, 何华灿.优势关系下模糊目标信息系统约简的辨识矩阵[J].空军工程大学学报 (自然科学版) , 2006, 7 (2) :81-84.

[7]魏利华, 唐振民, 杨习贝, 等.不完备模糊系统的优势关系粗糙集与知识约简[J].计算机科学, 2009, 36 (6) :192-195.

[8]杜蕾, 管延勇, 杨芳.优势关系下模糊目标信息系统的决策规则优化[J].计算机工程与应用, 2010, 46 (35) :136-138.

区间优化方法 篇4

由于返回式航天器的高速再入,使得其在大气层中面临着极为恶劣的气动加热环境,因而轨迹优化问题是航天领域的研究热点之一。国内外对再入轨迹优化问题的研究有很多。所用到的传统的算法主要有间接法和直接法。周浩[1]等人利用直接优化法把再入轨迹优化问题转化为非线性规划问题,避免了求解两点边值的问题,然而变换后得到的往往是复杂的高维优化问题,会导致计算变得复杂,不易甚至很难求解。王明光[2]利用间接法对轨迹进行优化,虽然求解精度相对较高,但需要引入协态方程,并要对目标函数求梯度,这就带来一定的求解难度。还有很多学者将智能优化算法[3]运用到轨迹优化中,可以看出这类算法能有效克服确定性算法的不足,如初始点敏感和局部收敛等问题,但是它们由于梯度信息的引入,容易陷入局部收敛问题,并不一定能找到全局解。

区间算法在包含所有可行解的区间范围内进行搜索,是可以保证找到最优解的。其对初值问题不敏感,且不需要梯度信息,不会陷入局部最优问题中。针对再入轨迹优化问题的特点,本文先建立了航天器的区间再入模型,然后对约束条件、性能指标进行了区间处理;最后给出了控制量的区间模型。由于区间算法计算量较大,因而在区间优化中引入参数收缩的方法去减小计算量,取得了满意的结果。

1区间算法

区间算法(Interval Algorithm)提出于20世纪60年代,开始用于误差分析和不确定度计算。后来Hansen在这一数学理论的基础上,结合线性代数思想将其成功应用到全局优化中去,这为区间优化算法的进一步发展奠定了基础。其核心思想是将确定数的计算转换成区间数的计算。其计算法则不同于确定数,需要对模型进行区间化处理。

但是区间算法本身也有一定的缺点。一是计算量大,不能满足实时性要求;二是误差积累:随着时间的进行,前一步的误差会积累下去,导致计算结果的上下界偏离。随时间增长,甚至导致发散,这就是包裹效应。这两个缺陷是相互影响的:减小计算量,就要求增大区间步长,使得包裹效应严重;减小包裹效应,就要求减小步长,则导致计算量增加。因而在应用中应该注意平衡两者的关系。

2基于区间算法的再入轨迹优化

2.1区间再入模型的建立

本文采用参考文献[4]中的再入模型。假设地球为一个均匀球体,航天器可视为一质点,侧滑角为零。符号说明:r表示航天器距地心距离;λ表示经度;φ表示纬度;v表示速度;θ表示航迹倾角;ψ表示航迹偏角;α表示攻角;γ表示滚转角;上角标I表示是区间数。不考虑地球自转影响。

首先,必须把再入模型进行区间化处理,模型中涉及的两个控制量(α、γ)和六个状态量(x=[rλφvθψ])需根据优化的要求,处理为区间数;然后,与它们有关的一些量会因为区间算法的计算法则而变成区间数,则区间化后的模型:

式(1)中:m为航天器质量,kg。

升力、阻力表达式分别为:

式(2)中:S为参考面积;升力系数、阻力系数有如下形式

大气密度表达式为:

式(4)中:h为航天器距海平面的高度,m;ρ0为海平面处国际标准大气密度;Hs为常数,取为7 050 m。

重力加速度表达式为:

式(5)中:g0为海平面处标准重力加速度;Re为地球平均半径。

2.2性能指标和约束条件

由于再入过程中气动加热比较严重,因而选取总加热量最小为性能指标,即

再入时的气动加热约束:为了减小航天器的气动加热,要求瞬时驻点的对流加热率不超过某一最大值,即

式(7)中根据Chapman模型可知:

式中:C为Chapman系数;RN为鼻锥驻点处曲率半径;vc为环绕速度,其值等于

再入时的过载约束:航天器飞行过程中要求过载的瞬时值不能超过某一最大值,即:

其中:

2.3构建控制变量区间模型

再入过程中,对轨迹进行的控制是通过对飞行姿态的调整进行的,在此选用的控制量是攻角α和滚转角γ。为了能够用区间优化算法,必须对控制量进行区间化处理,尤其是必须给出它们的区间解析表达式,图1给出了一个标称控制模型[5]。

由于攻角和滚转角的变化规律,不能直接将它们写成区间数的形式。为了解决这个问题,可以引入新的控制量来区间化攻角、滚转角的变化规律。本文引入11个变量描述攻角、滚转角的区间变化规律:PI1、PI2、PI3、PI4、PI5、PI6、PI7、PI8、PI9、PI10、PI11,其中前八个变量用来描述攻角规律、其余用来描述滚转角变化规律。本文用于对照的标称轨迹是他人[5]优化后的轨迹,因而给定这11个变量区间宽度时要满足条件:用它们计算得到的区间轨迹的上下界应该在标称轨迹两侧;如图2所示。

由于攻角和滚转角的变化规律,不能直接将它们写成区间数的形式。为了解决这个问题,可以引入新的控制量来区间化攻角、滚转角的变化规律。本文引入11个变量描述攻角、滚转角的区间变化规律:P${}_1^{{\rm I}}$、P${}_2^{{\rm I}}$、P${}_3^{{\rm I}}$、P${}_4^{{\rm I}}$、P${}_5^{{\rm I}}$、P${}_6^{{\rm I}}$、P${}_7^{{\rm I}}$、P${}_8^{{\rm I}}$、P${}_9^{{\rm I}}$、P${}_{10}^{{\rm I}}$、P${}_{11}^{{\rm I}}$,其中前八个变量用来描述攻角规律、其余用来描述滚转角变化规律。本文用于对照的标称轨迹是他人[5]优化后的轨迹,因而给定这11个变量区间宽度时要满足条件:用它们计算得到的区间轨迹的上下界应该在标称轨迹两侧;如图2所示。

则控制变量区间解析模型如下。

$\gamma {}^{{\rm I}}=\{\begin{array}{l}{\rm P}{}_{10}^{{\rm I}}+\frac{{\rm P}{}_{11}^{{\rm I}}t}{{\rm P}{}_9^{{\rm I}},t\le \overline{{\rm P}}{}_9^{{\rm I}}}\\ ({\rm P}{}_{10}^{{\rm I}}+{\rm P}{}_{11}^{{\rm I}})-({\rm P}{}_{10}^{{\rm I}}+{\rm P}{}_{11}^{{\rm I}})(t-{\rm P}{}_9^{{\rm I}}),t>\overline{{\rm P}}{}_9^{{\rm I}}\end{array}(9)$

这样就转化成了对11个变量的控制。由于区间分析算法的主要缺点,因而本文选用前800 s的再入段进行分析。为了进一步缩短仿真时间,对控制模型进行简化,仅对P${}_5^{{\rm I}}$、P${}_6^{{\rm I}}$进行优化,其他变量给定。则简化后的控制变量区间模型如图2所示。

2.4 区间算法优化的具体步骤

1) 给出状态方程、约束条件、指标函数等,然后把它们转换成区间数的形式;

2) 建立与参考标称控制量轨迹近似的控制量的区间解析表达式,并给定区间控制量PI=[P${}_1^{{\rm I}}$P${}_2^{{\rm I}}$… P${}_{{\rm N}}^{{\rm I}}$]近似的区间范围;

3) 为了减少计算量,缩小包含最优解的范围,首先进行单个参数的收缩。对第i个参数P${}_i^{{\rm I}}$进行收缩时,固定其它参数,把P${}_i^{{\rm I}}$分割成m个子区间,即P${}_{i1}^{{\rm I}}$,P${}_{i2}^{{\rm I}}$,P${}_{i3}^{{\rm I}}$,…,P${}_{im}^{{\rm I}}$;用P${}_{ij}^{{\rm I}}$取代控制量PI中的P${}_i^{{\rm I}}$,这样就构成一个新的组合,然后对其检验:

(a) 用新组合计算约束条件,如果计算过程中出现不满足约束条件的情况,则删除此组合,即应该剔除P${}_{ij}^{{\rm I}}$;否则进行下一步检验;

(b) 用新组合计算最终状态,如果所得到的状态区间数的下界高于给定状态,或是上界低于给定状态,则此组合应该删除;否则认为P${}_{ij}^{{\rm I}}$中可能包含最优解,应该保存下来;

(c) 如果P${}_{ij}^{{\rm I}}$的区间宽度还是过大,可重复步骤4)对其进一步进行收缩,直到合适为止。

这样就达到了把P${}_i^{{\rm I}}$的区间宽度缩小的目的。同样,用相同的方法对其它参数进行收缩,就得到区间宽度相对较小的控制变量,用其更新PI。

4) 所有参数收缩后,利用得到的新的控制量PI在全局范围内搜索最优解。

(a) 把全部N个参数进行分割,即P${}_i^{{\rm I}}$分割成Ni个区间:P${}_{i1}^{{\rm I}}$,P${}_{i2}^{{\rm I}}$,…,P${}_{i{\rm N}{}_i}^{{\rm I}}$;

(b) 用全部的组合分别去计算并检验边界条件、约束条件。若不满足,则删除该组合;若满足,则进行性能指标函数的计算(以最小加热量为例);

(c) 性能指标函数初值的更新:以标称轨迹的总加热量作为初值;如果新组合计算得到的总结热量区间数的上界低于初值的下界,则更新初值并储存该组合;如果新值的下界高于初值的上界,则删除此组合;如果新值的上界高于初值下界,而下界低于初值下界,则更新初值并储存该组合;如果新值下界高于初值下界,则只是储存该组合,并不更新初值;

这样会得到包含最优解的多个组合,然后再重复步骤4),最终可以寻找到最优解。

3 仿真计算以及结果分析

3.1 航天器参数及初始条件

再入初值:

[h0λ0φ0v0θ0ψ0]=[792 48 0° 0° 7 333.8 -1.064° 90°]。

终端约束:

[hfλfφfvf]=[55 170 53.306° 46.950° 5 320]。

过载约束:nmax=2。

加热率约束:$\dot{Q}{}_{\max }=600\text{k}\text{W}/(\text{m}{}^2\cdot \text{s})$

飞行器的结构、气动参数见参考文献[5]。

3.2 仿真结果及分析

先对P${}_5^{{\rm I}}$、P${}_6^{{\rm I}}$分别进行一次参数收缩,然后再利用收缩的结果进行全局最优解的寻找。以最小加热量为指标,并满足各个约束的最优解对应的PI5=[16.688 590 77 16.688 790 77]、P${}_6^{{\rm I}}$=[24.054 199 834 432 24.054 399 834 432]。仿真图如下:

如图3～图5所示,仿真的结果都是分离的,而且随着时间而变大,这是由于包裹效应的存在。一般来说,计算选择的区间步长越小,这种上下界之间的背离就越小,但是计算量却会增加。

图3、图4显示航天器的终端速度和高度满足终端约束条件。图5显示最优轨迹的加热率是小于标称轨迹的。

认为由最优解P${}_5^{{\rm I}}$、P${}_6^{{\rm I}}$的中点所求解得到的轨迹为最优轨迹。该轨迹总加热量为392 837 kJ/m2,而文献[5]中给出的利用伪谱法优化后的总加热量为394 200 kJ/m2,对比发现有了一定的改善。

4 结论

本文在再入轨迹优化中应用了一种新的算法-区间优化算法,仿真结果表明其是一种可行算法。文章分析并建立了适用于区间优化算法的再入模型,以及讨论并解决了实际应用中的一些关键问题。相比于传统的算法和智能算法并不一定能保证找到全局最优解,而区间算法却能够保证。然而这却需要由足够的计算量进行支持。为了减小计算量,采用了参数收缩的方法,使得仿真时间大幅减小,但是依然不能满足实时性要求。因而,下一步的研究是在计算的过程中去减小误差的积累,从而降低包裹效应的影响,进而可以增加区间的步长,减小计算时间。

摘要：区间算法是近年来出现的一种新的全局优化算法,将其引入到再入轨迹优化中来。首先建立了航天器再入区间模型,选取总加热量最小为性能指标,控制量则选为功角和滚转角;然后讨论了区间算法在再入轨迹优化中的可行性以及其优势;其次根据该算法的特点,构建了待优控制量功角、滚转角的区间解析表达式,以及给出了约束条件的处理方法。最后分析并解决了该算法在再入轨迹优化中应用的其余关键问题。仿真结果表明,该算法能够保证在再入轨迹优化中找到全局最优解,相比于其他优化算法具有某些优势。

关键词：区间算法,再入航天器,轨迹优化,最小加热量,全局优化

参考文献

[1]周浩,陈万春.基于拟平衡滑翔的横程最大轨迹研究.飞行力学,2010;3(28):64—68

[2]王明光,袁建平,罗建军.RLV再入轨迹机载快速优化.宇航学报,2005;3(26):253—256

[3]谢富强,吴浩.基于粒子群算法的飞行器再入轨迹优化.计算技术与自动化,2008;4(27):72—75

[4] Tewari A.Atmospheric and space flight dynamics:modeling and sim-ulation with MATLAB and Simulink.Boston:Birkhauser,2007

区间优化方法 篇5

波兰数学家Pawlak提出的粗糙集理论 (RSA) [1,2]是一种处理不确定、不精确、不完备问题和模糊信息的数学工具。经过近三十几年的飞速发展, 粗糙集理论已成功应用到图像识别、数据处理、智能模拟、数据的决策与分析等众多领域。

经典粗糙集理论是基于不可区分关系对属性进行分类, 但是在实际背景下, 属性值大小体现对象关于属性之间的优劣关系, 这是经典粗糙集模型中等价关系所不能体现的, 为处理序信息系统中的知识发现问题, Greco等将经典粗糙集理论加以推广, 提出了基于优势关系的粗糙集方法 (DRSA) [3,4]。为解决从大量杂乱无章的、强干扰的数据中发现潜在的、有价值的、简洁的信息, 优化决策规则获取这一研究方向吸引了不少学者的关注。谢军等在文献[5]中提出了二种描述子的概念, 基于描述子讨论了优化决策规则的获取问题;邵明文和张文修在文献[6]中提出了一种扩展优势关系粗糙集模型, 进而利用该模型讨论了不完备协调序信息系统的决策规则获取问题;杨习贝等在不完备序信息系统中提出了相似优势关系, 而后利用相似优势关系定义了相应的知识约简以获取优化决策规则;并给出了最优可信决策规则的获取方法;杨习贝等在文献[8]给出了不完备区间值序决策信息系统获取优化规则的一种方法, 他们利用完备序信息系统的结论, 将不完备问题完备化, 进而给出了六种不同形式的约简, 讨论了这几种约简之间的关系, 并构造六种区分函数来计算相应的约简, 以获取优化的决策规则;姜洪冰等在文献[9]中利用正则元构造了相容支配集, 并基于此给出了不完备序决策信息系统的可信决策规则获取的方法;

目前对于优势关系粗糙集的研究, 都是以支配集或者被支配集作为基本知识颗粒, 来定义关系决策类的上并 (下并) 的下、上近似, 进而导出“at most”决策规则或者“at most”决策规则。然而, 在实际问题当中, 往往需要导出类似“at most and at most”的区间决策规则, 为解决此类问题, 管延勇, 王洪凯等利用支配集和被支配集的交来作为基本知识颗粒, 提出了区间知识颗粒的概念, 研究了序信息系统的极小决策规则获取问题。本文针对不完备序信息系统, 结合区间知识颗粒, 提出了I-区间约简的概念, 利用布尔推理理论, 给出了计算I-区间约简的区分函数, 提供了获取不完备序信息系统的区间决策规则的方法。

2 基本概念

定义2.4[3,4]在序决策信息系统S中, 由B哿C所确定的优势关系记为

定义2.6[10]在序决策信息系统S中, 由B哿C确定的区间知识颗粒记为

3 优化决策规则获取及其区分函数求法

所谓决策规则约简, 就是在保证得到相同的决策结论的前提下, 亦即在保证决策规则的确定性程度不变的前提下, 使其条件属性描述更加简洁, 找出对决策结论是必要的条件属性.为此, 下面我们给出决策规则的简化以及最优决策规则的概念。

基于定义3.2和定理3.1, 结合布尔推理技术, 可以得到下面的命题3.1。

例3.1.求表1所示不完备序决策信息系统的优化的区间决策规则

类似上面的计算方法, 可以由相应的区间颗粒得到所有优化的区间决策规则。

4 结论

利用管延勇等提出的区间知识颗粒的概念, 研究了在不完备序信息系统的优化决策规则获取问题。通过区间知识颗粒的引入, 导出了区间决策规则。然后给出定义相应的判定定理及区分函数, 来获取优化的决策规则, 使我们能从数学理论方面, 从决策规则简化的直观角度, 对不完备序决策信息系统的知识有了一个清楚的认识。

参考文献

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[5]谢军, 杨习贝, 孙怀江等.序值决策系统中基于描述子的可信规则获取[J].系统工程理论与实践, 2009, 29 (7) :105-112.

区间优化方法 篇6

为了满足人们日益增加的电力需求,缓解传统发电所带来的环境污染问题,以风能、太阳能为代表的间歇性新能源发展迅速。伴随着新能源发展,储能作为平抑间歇性能源波动的一种有效技术逐步得到应用和推广[1,2]。在此过程中,微网概念的提出为间歇性新能源、小容量燃气/燃油发电、储能等分布式资源的综合利用提供了新的途径,近年来微网技术在学术界、工业界受到广泛关注[3,4]。

微网是由一组负荷、分布式电源及储能装置共同组成的有机系统,既可并网运行又能独立供电[5,6]。众所周知,微网中的分布式间歇性电源(如光伏、风电等)出力具有波动性和随机性,且可预测性相对较低,给微网优化调度带来挑战[7]。目前,针对微网优化调度问题,国内外学者开展了丰富的研究工作[8,9]。文献[10,11]考虑可再生能源出力预测误差、负荷预测误差、机组故障等不确定性因素,建立了基于机会约束规划的微网系统动态经济调度模型,并结合蒙特卡洛模拟的遗传算法进行优化问题求解。这种随机规划方法须已知不确定参数的精确概率分布,但在实际中要获得其精确概率分布十分困难[12,13,14]。区间数优化利用区间描述变量的不确定性,只需要通过较少的信息获得变量的上下界,故在不确定性建模方面体现了很好的方便性和经济性[15]。

在微网系统优化调度问题研究中,有功—无功联合调度也是所需考虑的问题。因为,微网不同于输电网,其输电线路的电阻值与电抗值相当,有功和无功功率流动都会影响线路损耗和电压质量[16,17]。然而,现有的研究大多仅考虑微网系统的有功优化调度问题,较少考虑有功—无功联合优化调度[18,19]。文献[20]针对孤网模式下的微网系统建立经济调度优化模型,并采用简化梯度方法对模型进行求解;文献[21]在微网经济调度问题建模时,综合考虑分布式发电机组的有功出力特性、储能单元的充放电特性,并利用线性化方法将原优化问题转化为混合整数线性规划问题进行求解。上述工作仅研究微网系统的有功调度策略,忽视了有功与无功强耦合特征。近期,各国学者针对微网有功—无功联合优化问题已经开展了初步的研究。文献[19,22]以微网运行成本和环境成本为优化目标,建立了热电联产型微网系统有功—无功联合优化调度模型。可是,这些文献将间歇性能源的预测功率视为确定量处理,没有考虑功率预测误差的不确定性。

本文将以一个包含微型燃气轮机、柴油机、光伏、风机、储能单元的微网为对象,综合考虑微网系统中风机和光伏的输出功率波动、负荷预测误差等不确定性因素和微网有功和无功相互耦合的特性,建立基于区间不确定性的微网系统有功—无功联合优化调度模型。针对该优化调度模型,本文采用基于区间序关系的转换方法[23,24],将模型中不确定的区间优劣的比较转化为确定性的数值大小的比较,从而对一个确定性的非线性优化模型进行求解。并对典型的微网系统算例进行仿真验证,结合试验结果讨论了区间不确定水平的选取对微网调度结果的影响。

1 微网系统的优化调度模型

1.1 不确定变量描述

含微型燃气轮机、柴油机、光伏、风机、储能单元以及负荷的典型微网系统如图1所示[22]。微网通过公共连接点(PCC)接入配电网,并与配电网进行功率交换。微网功率优化调度目标,是在满足微网负荷需求以及系统运行约束条件下,通过合理安排各可控单元的出力计划,使微网系统的运行成本最小。

在微网系统中,分布式可再生能源发电(如光伏和风电)受光照、风速等天气因素影响,其出力预测具有较强的不确定性[14]。另外,微网内部的负荷预测也存在预测误差不确定性。在描述不确定变量时,随机优化方法需已知其概率密度分布函数,但要获得精确的概率密度函数往往存在困难。然而,在实际系统决策中,获知不确定变量的取值范围(即取值区间)则相对容易,且所需的不确定信息也大大减少[15]。

为此,本文利用区间描述风机有功出力、光伏有功出力和负荷预测值,即PIWT(t)=[PLWT(t),PRWT(t)],PIPV(t)=[PLPV(t),PRPV(t)],PID(t)=[PLD(t),PRD(t)]。

为应对光伏、风机和负荷等不确定性影响,保持系统实时功率平衡,可控机组出力以及微网与配电网交换的功率也将在一定范围内变化。本文假设用于应对不确定性的是配电网交换的有功功率,将微网与配电网交换的有功功率表示成区间变量,即PIGRID(t)=[PLGRID(t),PRGRID(t)]。

1.2 目标函数

光伏和风机相对于燃料机组,发电成本较小,可以忽略不计[21]。因此,微网优化调度目标是使燃气机组、柴油机组、储能单元的运行成本以及与配电网的功率交换成本之和最小。目标函数表示为:

式中:F(PMT(t)),F(PDE(t)),F(PSB(t))分别为燃气机组、柴油机组和储能单元每小时的运行成本;cp(t)为t时刻微网向配电网购电的实时电价。

燃气机组和柴油机组运行成本与机组出力的关系可由二阶拉格朗日函数描述[20]:

式中:下标i表示可控机组序号;Pi(t)为第i台可控机组有功功率;F(Pi(t))为第i台可控机组的运行成本;αi,βi,γi为第i台可控机组的费用系数(见表1)。

储能单元的成本函数包括投资折旧成本和运行维护成本,可表示成[20]:

式中;aSB=rSB/[1-(1+rSB)-NSB],其中rSB为年利用率(取0.05),NSB为使用寿命(10年);PSB(t)为t时刻储能单元每小时输出的有功功率;aSB为年折旧系数;IPSB为投资安装成本(667元/kW);GESB为运行维护成本(0.01元/kW)。

1.3 约束条件

1)潮流约束

考虑到微网有功功率和无功功率相互耦合,本文将联合优化可调资源的有功出力和无功出力。这里,假设柴油机组和燃气机组仅参与有功调节,而储能单元和配电网同时参与有功和无功调节。这样,微网系统运行的潮流约束可表示为:

式中:h为系统节点个数;f=1,2,…,h;Gfg,Bfg,θfg分别为节点f和g之间的电导、电纳和相角差,节点g为节点f相连的节点。

2)运行电压约束

式中:Vf,max和Vf,min分别为节点f的电压上、下限。

3)可控机组有功出力约束

式中:PMTmax,PMTmin和PDEmax,PDEmin分别为燃气机组和柴油机组有功出力的上、下限。

4)可控机组的爬坡约束[19]

式中:Δt为时段长度;RuMT,RdMT和RuDE,RdDE分别为燃气机组和柴油机组的向上和向下爬坡速率。

5)微网与配电网允许交互的传输功率约束

考虑微网系统与低压配电网进行单向功率交换,即微网可以从配电网购电而不考虑向配电网送电,微网与配电网允许交互的传输功率约束为:

式中:PmaxGRID(t)和QmaxGRID(t)分别为微网与配电网之间允许交互的最大有功功率和无功功率。

6)储能单元运行约束

储能单元放电时,PSB(t)≥0,t时刻的剩余容量为[25]:

式中:ηD为储能单元的放电效率。

储能单元充电时,PSB(t)≤0,t时刻的剩余容量为:

式中:ηC为储能单元的充电效率。

储能单元运行约束主要有充放电限值约束、容量约束和储能平衡约束:

式中:PSBmax和PSBmin分别为储能单元的最大和最小有功功率;SSBinv为储能单元逆变器的容量;QSB(t)为t时刻储能单元交流侧的充放电无功功率;CSOC,max和CSOC,min分别为储能单元的最大和最小剩余容量;T为调度周期(取24h)。

综合上述建立的不确定变量区间表达式、优化目标函数以及约束条件,可得到基于区间不确定性的微网系统有功—无功联合优化调度模型。

这里需要说明的是,在大电网优化调度中通常需要考虑发电机组的启停问题(即机组组合问题),以在满足负荷需求的前提下使得机组启停计划更为经济。而本文所考虑的微网,其各微源机组容量较小且数量较少,为实时满足负荷需求和平抑风电、光伏出力波动,各微源大多处于并网运行状态。鉴于此,本文暂不考虑微网的机组启停问题。

2 基于区间不确定性的优化模型转换

就基于区间不确定性的微网有功—无功联合优化调度模型的求解问题而言,本质上属于基于区间不确定性的非线性优化问题。针对该问题,文献[15]利用两层嵌套转换方法将基于区间不确定性的非线性优化模型转换为确定性模型,然后再进行优化模型求解。这种转换方法较为复杂,应用到有功—无功联合优化调度模型求解时的计算量较大。鉴于此,本文选用基于决策者对区间数不确定水平容忍度的区间序关系转换方法[23,24],将微网系统的不确定优化模型转换成确定性优化模型,以便于优化问题求解。以下就针对优化模型转换所涉及的区间数的定义、基本运算以及区间序关系转换等内容进行介绍。

2.1 区间数的定义与运算

1)区间数的定义

区间数定义为具有上界和下界的一组随机变量的集合[15]:

式中:上标I,L,R分别表示区间、区间下界和区间上界。当AL=AR时,区间退化为一实数。

区间数也可以定义为:

式中:AC和AW分别为区间AI的中点和半径,即

这里,中点AC和半径AW分别体现出区间的平均优劣程度和不确定性水平。

上述给出的区间数的两种定义,其几何描述见图2。

2)区间数运算[26]

区间数与标量乘法运算:

区间数之间的加减法运算:

区间数之间的乘法运算:

2.2 区间序关系

在基于区间不确定性优化方法中,区间序关系用于判断一个区间是否优于或劣于另一个区间[15]。对于任一区间变量,目标函数可能的取值为一不确定区间。因此,在区间数优化过程中,需要比较不同区间变量下目标函数区间的优劣,从而寻找到最优的决策区间变量。

微网优化调度目标是使系统运行成本最小。针对目标最小化问题,本文引入基于决策者对区间数不确定性水平AW的容忍度,以确定区间序关系[24]。

假设AI和BI分别为最小化问题的可行目标值区间,且AC小于等于BC,如式(29)所示。

现将AW和BW分两种情况进行比较讨论:第一种情况,AI的中点和半径均小于BI,可直接得出区间AI优于BI的结论;第二种情况,AI虽然有较小的中点,但半径AW大于BW,即区间AI的不确定水平大于区间BI,难以比较AI和BI的优劣。因此,对于第二种情况需要决策者权衡对中点和半径的偏好。

针对第二种情况,定义模糊集A′={(B,A)|AC≤BC,AW>BW},其概率P(A′)表示拒绝AI接受BI的概率,即AI的拒绝度。P(A′)具体表述如下:

由式(30)可知,P(A′)的值随BC和BW的增大而减小。如果P(A′)=1,则AI完全被拒绝;如果P(A′)=0,则AI完全被接受;如果P(A′)∈(0,1),则P(A′)反映了AI被拒绝的程度。

现在设定一个临界值ξ来表示决策者对区间数不确定性水平的容忍度[23],并规定当P(A′)大于容忍度ξ时接受BI而拒绝AI,则区间序关系定义如下。

1)当P(A′)>ξ时,BI优于AI。

2)当P(A′)<ξ时,AI优于BI。

3)当P(A′)=ξ时,BI等于AI。

由区间序关系定义可知:若容忍度ξ=0,表示对于任意BI,只要BW<AW,则BI优于AI,AI被拒绝,此时决策者只考虑区间数半径的大小,而不关心区间中点值的比较,对区间数不确定性水平的容忍度最小;若ξ=1,表示对于任意BI,只要BC>AC则AI优于BI,AI被接受,此时决策者只考虑区间中点的大小,对区间数不确定性水平的容忍度最大。总之,容忍度ξ设定的值越大,决策者对区间数中点的偏好就越多,对半径的偏好就越少。

因此,区间数BI与AI的优劣比较可以转化为P(A′)与ξ的大小比较。将式(22)、式(23)代入式(30),P(A′)<ξ可转化为:

如果上式成立,那么容易证明以下3种情况。

1)若AW>BW,则AC<BC,P(A′)<ξ,AI优于BI。

2)若AW<BW且AC<BC,此时属于第一种情况,AI优于BI。

3)若AW<BW且AC>BC,那么从式(31)可得出P(B′)>ξ,拒绝BI,AI优于BI。

综上可知,式(31)是判断区间AI优于区间BI的充分必要条件。

2.3 区间优化模型转换

1)目标函数转换

根据区间序关系,转换后的目标函数可写成如下形式:

2)含区间变量的不等式约束转换

在第1节所建立的基于区间不确定性的优化调度模型中,含区间变量的不等式约束为式(11)。利用区间序关系,可将不等式转换成如下确定性不等式约束:

3)含区间变量的等式约束转换

对于不确定等式约束,可将其转化成不等式约束进行处理。变换后的潮流平衡约束如下:

其中:

转换成不等式约束之后,其进一步的处理方法与不确定不等式约束转换相同,具体如下:

3 算例分析

3.1 微网系统结构

本文选取文献[22]中的微网系统进行分析,其网架结构如图1所示。负荷1为居民负荷,最大有功功率为15kW;负荷2为商业负荷,最大有功功率为30kW;负荷3和4为工业负荷,最大有功功率分别为30kW和40kW。3种负荷的功率因数都取0.85。各微源的参数如表2所示,实时电价见表3。风电、光伏出力以及3种性质负荷的日负荷曲线见附录A中的图A1至图A4。对于某一预测方法而言,若已知该方法的预测误差范围(例如±20%),那么光伏、风电出力和负荷区间可以根据预测误差范围进行确定。为便于数值仿真试验,在此假设光伏、风机和负荷的预测误差均为±20%,这样光伏、风机出力区间和负荷有功预测区间的上下界分别为各自预测值的+20%和-20%。

优化调度的周期取1d,分成24个时段。电压允许偏差为-5%~+5%,微网与外网传输的有功功率和无功功率上限分别取50kW和30.987kvar,蓄电池逆变器的容量为60kVA,最大剩余容量、最小剩余容量、初始容量分别为额定容量的100%,30%,70%,蓄电池的额定容量为900kW·h。线路电阻R=0.64Ω/km,电抗X=0.1Ω/km。

3.2 计算结果分析

3.2.1 经济调度优化结果

本文优先利用风机和光伏出力,在满足负荷功率需求、微网系统运行约束的条件下,合理分配各微源的有功出力和无功出力(参与无功调节的有储能单元和配电网),使得微网的经济运行成本最小。图3为ξ取0.2时的微网有功出力优化结果。

图3中,时段1至7,微网中负荷较轻,优先调用风机的有功功率,柴油机、燃气轮机有功出力处于较低水平。各机组发出的剩余电量给储能单元充电。时段8至18为负荷高峰期,系统存在较大的有功缺额,储能单元处于放电状态。燃气轮机的有功出力持续增加,并达到有功出力上界。时段9至17,柴油机开始加大有功出力,微网向配电网购电以满足系统有功缺额。时段19至24,负荷的有功需求降低,各机组的有功出力逐渐减小;时段22以后,系统剩余电量充盈,储能单元再次处于充电状态。

图4为储能单元剩余电量变化曲线。

图5为系统无功优化结果。储能单元和配电网在满足系统有功需求的同时提供无功功率。如图4所示,系统无功需求主要由储能单元提供,配电网只在向微网提供有功功率的同时提供少量的无功功率。

图6为ξ取0.2时,微网节点1至7的电压幅值优化结果。从图中电压幅值曲线可以看出,节点电压均运行在基准电压的±5%范围内。另外,由图6可发现,节点b6的电压幅值一直处于电压允许偏差的上边界。这里需要说明的是,当ξ取不同值时,节点b6的电压幅值将随之发生变化。因此,对于图6中节点b6的电压幅值一直处于允许偏差上边界的现象,是容忍度ξ=0.2时的一种特殊情形。

3.2.2 容忍度ξ的影响

表4给出了ξ取不同数值时微网系统运行成本的优化结果。从表4可以发现,随着容忍度ξ的逐渐增大,微网运行成本区间下界将逐渐减小而上界逐渐增大。也就是说,容忍度ξ取值越大,微网的最小运行成本下界越小,运行成本的区间宽度越大,此时调度决策需应对的不确定性也就越多,优化结果的可靠性水平就越低。由此可见,运行成本的可靠性水平与容忍度ξ成反比。若用γ=1-ξ来表示优化结果的可靠性指标,那么可靠性指标γR∈[0,1],且可靠性指标γ越大表示优化结果的可靠性越高。

以上分析表明,微网运行成本的减小,是以系统可靠性水平的降低为代价的。因此,在选取容忍度ξ时,需要权衡微网的可靠性和经济性。

燃气轮机、配电网交换功率区间的中点值、柴油机、储能单元的有功功率在ξ取不同值时的变化情况见附录A图A5至A8。可以看出,随着容忍度ξ增大,配电网交换功率随之增大较为明显,这是因为配电网交换功率(被设置成一区间决策变量)用于应对风电、光伏出力预测和负荷预测的区间不确定性。相比之下,储能单元、燃气轮机和柴油机受容忍度ξ取值变化影响较小,因为它们主要分担风电、光伏出力和负荷需求的确定性功率(即下界功率)的调节任务。

4 结语

本文同时考虑可再生分布式电源有功出力以及负荷预测的不确定性和微网的有功、无功耦合特性,采用区间形式对微网中不确定因素进行描述,建立微网系统有功—无功联合优化调度模型。并以一个包含微型燃气轮机、柴油机、光伏、风机、储能单元的微网系统为例,对所提出的优化调度方法进行仿真验证,分析了微网运行成本区间随容忍度改变的变化情况,以及容忍度对各微源有功出力的影响。仿真算例验证了有功—无功联合优化模型和区间优化方法的有效性,解决了不确定性因素给微网动态经济调度带来的问题。此外,本文可进一步将机组故障停运这一不确定因素考虑到微网经济调度优化问题中去,使经济调度模型更符合微网系统的实际运行要求。

附录见本刊网络版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。

摘要：针对微网优化调度问题,首先,考虑到可再生能源(如风电、光伏等)功率预测和负荷预测的不确定性,以及微网系统中有功潮流和无功潮流的强耦合性,提出利用区间描述不确定性,并建立微网系统的有功—无功联合优化调度模型。然后,采用区间序关系模型转换方法,将基于区间不确定性的联合优化模型转换成一般的确定性优化模型,以便于优化问题求解。最后,为验证所提出的微网系统优化调度方法,利用专业优化软件(GAMS)在典型的微网系统算例上进行数值仿真试验,并结合试验结果分析区间不确定水平对微网系统运行成本及各微电源出力的影响。

科技成果区间序决策方法探讨 篇7

1区间数及区间序基本概念

1. 1区间数定义

设R+表示正实数集,对任意的a-,a+∈R+,如果a-≤a+,则称闭区间a =[a-,a+]= { x | x∈R+, a-≤x≤a+} 为区间数,全体区间数组成集合记为I( R+) ; 如果a-= a+,则区间数a退化为常规实数, 因而实数集合R+是区间数集合I( R+) 的一种特殊情况。对任意的a,b∈I( R+) ,将R+上经典二元运算关系扩展到I( R+) 。a + b =[a-+ b-,a++ b+]; a - b = [a-- b-,a+- b+]; ab =[a-b-,a+b+],特别的,λ∈R+,λa = [λa-,λa+]; a /b = [a-/ b+, a+/ b-]。

1. 2区间序定义

区间数作为数集本身没有大小顺序关系,但为了多渠道求解多属性决策问题,现定义区间数顺序关系,简称区间序,用符号 > 、< 和 = 表示( 或合并写成≥和≤) ,在决策问题上意味着优于、落后和等价。 区间序符合如下二元关系性质: 对任意的a,b,c∈I ( R+) ,等价序具有自反性,即a = a; 传递性,a < b且b < c,则a < c; 明确性,a与b之间必存在序关系,并且 > 、< 、= 、≥和≤仅存其一; 线性,a < b,λ∈R+, 一定有a + c < b + c; λa < λb。

自反性是等价序特有的,传递性、明确性和线性是区间序通用性质。明确性表明区间数是可比的,并且序关系是唯一和排他的,若a≥b可能性较小,则认定a < b。线性表明区间序在I( R+) 是封闭的。

2区间序求解公理化

“1. 1”中定义了区间序,通过区间序性质表述, 可知区间序存在并且唯一存在。下面通过定义区间序函数,解析区间序性质及计算区间序概率求解区间序,并将求解过程公理化。

2. 1区间序函数定义

2. 2区间序函数的性质

2. 3区间序函数的定理

1) 设a,b∈I( R+) ,λ∈R+,定理1: fa( λ) < fb( λ) ,则a < b; fa( λ) = fb( λ) ,则a = b。

3区间序决策问题描述

区间模糊数的排序在决策问题中有着广泛的应用。例如,大庆市社会科学优秀成果评定标准用X = { x1,x2,x3,x4,x5} 评判属性集表示,式中: x1为能够抓住经济社会发展中面临重大问题和社会热点、难点; x2为有丰富翔实第一手调研资料; x3为分析准确深刻; x4为提出了对策、建议、措施,操作性强; x5为具有较高应用价值、理论价值。xi为评判指标,xi的属性权重wi构成集合w = { w1,w2,…,wn} ,暂定W = { w1,w2,w3,w4,w5} = { 0. 1,0. 2,0. 2,0. 2,0. 3} 。Z位专家对项目Ai,i = 1,2,…,l的各个属性评分,构成了区间数矩阵:

以10位专家对6个项目打分为例,针对属性xi, 项目Aj得分为91,92,88,89,90,93,89,92,90,91,常规会计算平均值90. 5作为Aj属性得分; 项目Al,属性xi得分为94,90,91,90,90,90,90,90,90,90,平均值还是90. 5。不难看出用平均分无法表达该项目在两个属性上的差异,同时丢失了很多有价值的信息。 因此,用区间数[88,92],[90,94]表示专家评分,不仅保留了更多的有用信息,也更符合人类模糊的思维和表达习惯。实例中专家打分汇总见表1。

项目Ai和Aj之间排名通过比较区间序函数

加权区间序函数计算结果见表2。

采用冒泡排序法,假定A1最大,计算λ∈[0, 1],fA1( λ) - fA2( λ) > 0,根据定理2有A1> A2; 再计算fA1( λ) - fA3( λ) < 0,得到A1< A3,于是用A3赋值当前最大值,依次计算,得出结论A3排序第一。第二轮排序中A1最大,依次循环完成排序过程。当比较A4和A6的时候,区间序函数计算公式: fA4( λ) - fA6( λ) = 0. 4 - 0. 9λ = 0,当 λk= 0. 44,fA4( λ) - fA6( λ) = 0,即: P{ A4< A6} = 1 - P{ A4≥A6} = 1 - P{ 0≤λ≤ λk} = 0. 56。可以认定A6排名较A4靠前。

综上排名顺序: A3,A1,A2,A6,A4,结果与笔者另一篇文章中的相似度量方法决策结果一致[3]。

参考文献

[1]许瑞丽,徐泽水.区间数相似度研究[J].数学的实践与认识,2007,37(24):1-8.

[2]兰继斌,胡明明,叶新苗.基于相似度的区间数排序[J].计算机工程与设计,2011,32(4):1419-1421.