V波阈值（精选3篇）
V波阈值 篇1
随着DSP (Digital Signal Processing) 技术的高速发展, 人们开始把图像也视为一种重要的信息源。但由于实际中发送设备、传输信道、接收设备的特性不理想, 导致在接收端获取的图像掺杂有噪声, 噪声的存在使图像质量下降。因此, 对于图像去噪算法的研究已经成为学术热点。
1984年, 法国科学家Morlet在分析地震波时发现, 传统的傅里叶变换难以达到局部分析的要求, 从而提出了小波的概念。小波变换以其良好的时频局部化性能和多分辨率性能克服了Fourier分析中存在的问题, 被视为信号处理领域的重大突破, 特别适合非平稳、非线性信号的处理。
目前, 经典的小波去噪方法大致有三类, 分别是模极大值去噪算法、相关性去噪算法和小波阈值去噪算法。本文将重点讨论小波阈值去噪方法, 并围绕其基本原理、阈值及阈值函数的选取以及去噪指标展开讨论。
小波变换理论
1. 连续小波变换
首先定义母小波, 我们把满足
(1) 式中的函数称为母小波或者基小波。也就是说, ψ (t) 在 (-∞, +∞) 的区间上对时间t的积分为零。
小波就是由母小波通过平移和伸缩变换而产生的如下函数族:
(2) 式中的a称为尺度因子, 即可通过调整a值实现对母小波的伸缩变换;b称为平移因子, 即可通过调整b值实现对母小波的平移变换。
当{ψa, b}是由 (2) 式给出的小波函数f (t) ∈L2 (R) 时, 对于任意函数, 它的连续小波变换 (CWT) 定义式为
从上式可以看出, t, a和b的连续性给计算带来了困难, 同时也使连续小波变换是高冗余的。而下面介绍的离散小波变换正好克服了连续小波变换的冗余性。
2.离散小波变换
可以通过对尺度因子a和平移因子b进行离散化处理, 从而实现由连续小波变换转变到离散小波变换。可令
把 (4) 式代入 (2) 式, 就可以得到离散小波函数
离散小波变换可以写为:
小波的离散化处理解释了为什么小波克服了传统的Fourier分析中的不足, 因为传统的Fourier分析无法提供局部时间域上的函数特征, 而小波变换可以通过选择合适的放大倍数a0m, 在一个特定的位置研究函数的特征, 然后再平移到其他位置继续研究。这就形象地阐述了小波的美称“数学显微镜”的由来。
小波阈值去噪的基本原理
假设在接收端得到的信号可以表示为如下形式:
其中, f (t) 为原始信号, n (t) 为噪声信号, s (t) 为掺杂有噪声的实际信号。
所谓去噪就是设法把原始信号f (t) 与噪声信号n (t) 区别开, 继而将噪声信号n (t) 最大程度地去除, 提高实际信号的信噪比, 从而恢复出原始信号f (t) , 使得s (t) =f (t) 。大量实际工程表明, 原始信号通常以低频信号或平稳信号的形式出现, 而噪声信号则以高频信号的形式出现, 它们的不同之处就为小波去噪提供了思路。下面以三尺度分解为例进行说明, 如下图所示:
经过三级分解, 噪声信号被逐层分解到cd1, cd2, cd3中, 即含有噪声的信号被分离地越来越纯净。这时候人们可以通过选取合适的阈值T, 对信号的小波系数和噪声的小波系数分别处理, 即把大于该阈值T的部分当做是原始信号进行保留, 而小于该阈值T的部分当做是噪声, 将其置为零。然后对处理完的小波系数再进行反变换, 即可重构出一幅经去噪的图像。
小波阈值去噪的实现可以概括为三步, 用下面的方框图表示为:
阈值和阈值函数
前面已经提到过, 小波阈值去噪方法的关键有两点:阈值和阈值函数的选取。小波变换的去相关性使得原始信号的小波系数幅值大且个数少, 噪声信号的小波系数幅值小且分布于整个区间。因此人们将要求大于阈值的系数保留, 小于阈值的系数置为零。为什么阈值的选取在小波去噪中显得尤为重要呢?设想若人们选取的阈值过大, 那么原始信号的部分小波系数也将化为零, 这样虽然去噪彻底, 但同时也造成了原始图像信息的丢失;若选取的阈值过小, 那么噪声信号的小波系数又将被保留, 导致图像去噪不够彻底。所以无论是阈值选取的过大或者过小都会影响重构图像的质量。
下面介绍几种经典的阈值估计方法:
1. Visushrink阈值 (通用阈值)
式中, σn是噪声标准方差, N为信号长度。
2. 最大最小阈值
3. 基于零均值正态分布的置信区
但是传统的阈值选取方法有一定的局限性, 因为对于不同尺度来说, 小波系数会随着尺度的变化而发生改变, 阈值不应当是一成不变的。为此, 赵瑞珍和文鸿雁分别提出了改进的小波阈值算法, 使得阈值在不同的尺度之下可以得到不同的值。
在小波阈值去噪方法中, 阈值函数的选取最能体现出我们对大于阈值T和小于阈值T的小波系数进行的不同处理方法。如果阈值函数设计巧妙, 我们就可以高效去噪, 从而最大程度地恢复出原始信号。
不妨设是原始小波系数, 是阈值化后的小波系数, 代表示性函数。
最为经典的两种阈值函数是由Donoho于1995年提出的, 分别是:
1.硬阈值函数 (见图3)
2.软阈值函数 (见图4)
使用硬阈值函数可以很好的保留图像的边缘特征, 而使用软阈值函数处理起来要相对光滑一些。但是, 以上两种传统的阈值函数都存在缺陷。由图 (3) 可知, 使用硬阈值函数在阈值-T和+T处是不连续的, 这使得重构的图像会出现截断效应 (伪吉布斯效应) 、振铃等视觉失真。而使用软阈值函数使得处理后的小波系数与原始信号的小波系数之间总存在着一定的偏差, 也就是说这种恒定的偏差会直接影响到与原始信号的近似程度, 从而影响重构图像的质量。另外, 传统的软阈值函数导数不连续, 然而在实际的应用中经常要对一阶甚至是高阶导数进行运算处理, 所以其具有一定的局限性。
去噪评估指标
我们对于一幅图像去噪效果最直观的检验方法就是使用肉眼观察, 这种方法可以快速判断图像的清晰程度和一些细节信息保留的完整性。但是往往我们认为数字会更加一目了然, 更加具有说服力。本文中我们将介绍三项评估指标, 可以作为我们分析一种去噪方法效果优劣的依据, 这三种方法结合了主观检验和客观检验的优势, 可以从定性和定量两个角度对去噪图像进行全面评估。
(1) 均方根误差MSE (Mean Square Error)
上式对应一幅量级为256, 大小为m×n的图像的均方差, 其中f是原始图像, f是经去噪后的图像。MSE反映了去噪后图像f所含的噪音能量。因此, 若MSE的数值越小, 那么说明去噪效果就越好。
(2) 峰值信噪比PSNR (Peak signal-NoiseRatio)
由上式可以看出, 当MSE的数值越小时, PSNR的数值越大, 那么说明去噪效果越好, 与 (14) 得到的结论一致。
(3) 结构相似度SSIM
该理论于2002年被王舟等人提出, 是一项符合人眼视觉系统的客观评判标准, 其定义如下:
式中, σx、σy、σxy分别为原始图像和去噪后图像灰度的方差和协方差;x、y分别为原始和去噪后图像的平均灰度。SSIM的值越大说明去噪效果越好。
结语
小波变换的低熵性、多分辨率特性、去相关性、选基灵活性使得其在图像去噪领域中备受关注。但是由于传统阈值函数和阈值函数的选取存在缺陷, 致使图像去噪效果不尽如人意。因此在今后的研究中, 笔者将重点研究阈值的和阈值函数的选取方法, 使得去噪后的图像在最大程度上逼近原始图像。
V波阈值 篇2
1、小波阈值去噪原理
假设有如下一观测信号
其中f(t)为含噪信号,s(t)为原始信号,n(t)为方差为σ2的高斯白噪声,服从N(0,σ2)分布[6]。
对f(t)作离散小波变换,可得:
其中Wf(j,k),Ws(j,k),Wn(j,k),分别为含噪信号,原始信号和噪声在第j层上的小波分解系数;J为小波变换的最大分解层数;N为信号的长度。
小波变换是线性变换,因此对含噪信号f(t)作离散小波变换后,得到的小波系数Wf(j,k),为方便起见记为wj,k,仍由两部分组成:一部分是原始信号s(t)的小波系数Ws(j,k),记为uj,k,另一部分是噪声n(t)对应的小波系数Wn(j,k),记为vj,k。
Donoho提出的小波阈值去噪方法的基本思想是[2]:当wj,k小于某个临界阈值时,认为这时的wj,k主要由噪声引起的,可将其舍去;当wj,k大于这个临界阈值时,认为这时的小波系数主要由信号引起的,那么就把这一部分的wj,k直接保留下来(硬阈值法)或者按照某一个固定量向零收缩(软阈值法),然后用新的小波系数进行小波重构得到去噪后的信号。此方法可通过以下3个步骤实现:
(1)选定合适的小波基及小波变换的分解层数对带噪信号作小波变换,可以得到一组不同分解层数的小波变换系数wj,k;
(2)确定各层高频系数的阈值及阈值函数,通过对小波分解高频系数wj,k进行阈值量化处理,得出估计小波系数,使得尽量小;
(3)小波重构,利用进行小波重构,得到去噪后的估计信号。
小波阈值去噪方法的关键步骤是阈值处理,这部分包括阈值的估计和阈值函数的选取,本文只针对阈值函数的选取进行研究。
D.L.Donoho提出的硬阈值函数为:
软阈值函数为:
其中,sgn(·)为符号函数,阈值Thr取为(2log(N))1/2σ/log(j+1)。Donoho在文献[2]中证明了由此方法得到的估计信号在最小均方差意义上是有效的。
硬阈值函数表明,大于阈值Thr的小波系数主要是由真实信号引起的,对这些系数予以全部保留,认为其他的系数主要是由噪声贡献的,故将它们全部置零[2,3,4,5]。其图形如图1所示。软阈值函数对小波系数采用另外一种处理策略,它把大于阈值Thr的系数按从Thr到零进行收缩的办法予以保留,把其他的置零,因此软阈值函数也被称为小波收缩函数[2,3,4,5]。其图形如图1所示。
2、一种新的阈值函数构造
尽管软硬阈值去噪方法在实际中得到了广泛的应用,也取得了一定的效果,但它们本身还是存在着缺点[6]。由图1可以看出,软阈值法得到的小波系数整体连续性比较好,不存在间断点,这会使去噪效果变得平滑,但是软阈值函数的导数是不连续的,因而在求高阶导数时会存在困难。另外软阈值对大于阈值的小波系数采取恒定值压缩,这与噪声分量随着小波系数增大而逐渐减小的趋势不相符,会直接影响重构信号与真实信号的逼近程度;硬阈值法能较好的抑制噪声,但硬阈值处理函数在Thr和-Thr处存在间断点是不连续的,这与实际应用中常常要对阈值函数进行求导运算存在矛盾,这样利用小波重构信号时很可能会出现突变的震荡点,从而所得到的估计信号会产生附加的振荡,不具有同原始信号一样的光滑性,同时,它只对小于阈值的小波系数进行处理,对大于阈值的小波系数不加处理,这与实际情况下大于阈值的小波系数中也存在噪声信号的干扰不相符。以上分析表明,硬阈值函数可以保留一定的信号特征,但是在平滑方面有所欠缺;而软阈值函数通常会使去噪后信号平滑一些,但是会丢失掉某些特征。
基于以上分析及软、硬阈值函数的不足,这里提出了一种新的阈值函数,其函数表达式如下:
其中N为调节因子,可以取任意正常数,一般取正整数。
由表达式(5)可以看出,该函数不仅在小波域内是连续的,而且在和内具有高阶导数。当N趋于无穷大时,新阈值函数趋近于硬阈值函数。新阈值函数及软、硬阈值函数图形如图2所示。从图2中我们可以看出,这里构造的新的阈值函数不仅具有硬、软阈值函数的优点,而且克服了它们的缺点,是硬、软阈值函数的一个很好改进方案。如图2所示在内,新阈值函数对小波系数采取的是缓变地压缩处理,随着小波系数的增大,压缩量逐渐减小,当小波系数大于一定值时,不再进行压缩处理,这样做符合对大于阈值的小波系数进行处理,能够比较好地处理有用信号中存在的噪声分量。在内,新阈值函数也没有直接将小波系数置零,而是有一个缓变到零的过程,这样有利于防止阈值设置过大时能够保留部分信号的小波系数,从而有利于重构后保持原信号的波形。
同时为了便于比较这里引入折中阈值函数的方法,其函数表达式如下:
当α分别取0和1时,上式既为硬阈值法和软阈值法。适当的调整α值,可以获得更好的去噪效果,可以看作是软阈值和硬阈值法的折衷方案。其图形如图2中所示。
3、仿真实验及分析
3.1 信号去噪效果评价指标
信号去噪处理中,为了更好的更直观评判去噪方法,常用信号的信噪比(SNR)和重构信号均方误差(MSE)来描述信号的去噪效果。一般来说,SNR越大,MSE越小,表明信号去噪能力越强,去噪效果越好。
其中,iy表示标准原始信号,ix表示经处理后的估计信号,N表示信号长度。
3.2 实验结果及分析
为了说明新阈值函数在去噪算法中的有效性和优越性,分别用软、硬阈值函数,折中阈值函数和新阈值函数对Donoho所采用的典型测试信号Bump和Heavysine在相同的条件下进行对比试验。设信号长度N为2048个,输入信号的信噪比(SNR)为10.1209db,采用db4小波作为小波基,分解层数为4层,阈值Thr采用每个尺度可变的σ(2log(N))1/2/log(j+1),其中j表示分解尺度,N表示信号长度。仿真试验结果如图3、图4所示,去噪信号的信噪比(SNR)和均方误差(MSE)如表1、表2所示。
从上述图中,可以看出硬阈值法去噪效果不如软阈值法,软阈值法不能够很好的反映原始信号,应该出现尖峰的地方被平滑了,而新阈值法具有传统硬、软阈值方法的优点,不仅去噪效果较好,而且能够很好的恢复原始信号。从表1表2可知,本文构造的新阈值函数去噪效果在信噪比和均方误差两个性能指标上都明显优于软、硬阈值函数,并且优于折中阈值函数。以上两个方面都说明了本文构造的新阈值函数去噪的优越性。
4、结语
本文在分析Donoho软、硬阈值函数的缺点的基础上,构造了一种新的阈值函数。通过仿真实验表明,新阈值函数取得了较为理想的去噪效果,在信噪比和均方误差定量指标上均优于传统的软、硬阈值及改进的软硬阈值折中算法,同时还能够很好的保持原始信号的特征,具有一定的工程应用价值。需要指出的是,小波变换信号去噪效果的提高不仅与选用的阈值函数有关,还与选用的小波基函数及阈值规则有关。本文选取的小波基函数及阈值规则并不是最优的,具体情况下的小波基函数及最优阈值是以后需要继续加以研究的问题,以使本文构造的新阈值函数达到更满意的去噪效果。
摘要：在分析了D.L.Donoho提出的硬阈值、软阈值小波去噪算法存在问题的基础上,构造了一个新阈值函数。新阈值函数的小波阈值去噪方法克服了硬阈值函数不连续的缺点,解决了软阈值函数中存在恒定偏差的问题。仿真实验结果表明,该方法可以有效地去除白噪声干扰,在信噪比和均方误差等方面均优于常用的软、硬阈值及改进的软硬阈值折中算法,去噪后的信号与原始信号的近似性也较好,充分体现出小波阈值去噪方法的优越性。
关键词：小波去噪,阈值函数,信噪比,均方误差
参考文献
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图像去噪的小波阈值法研究 篇3
近年来, 小波理论得到了非常迅速的发展, 而且由于其具备良好的时频特性, 因而实际应用也非常广泛。在去噪领域中, 小波理论也同样受到了许多学者的重视, 他们应用小波进行去噪并获得了非常好的效果。
小波去噪可以看成是低通滤波, 基于小波变换的多分辨率滤波技术的优点, 它利用了小波变换中的多尺度特性对确定信号具有一种“集中”的能力, 即一个信号的能量集中于小波变换域少数系数上, 去噪后还能成功地保留图像特性, 这一点优于传统的低通滤波器。小波去噪方法的成功基于如下特点: (1) 低熵性, 小波变换后图像的熵明显降低; (2) 多分辨率, 由于采用了多分辨率的办法, 所以可以较好地刻画信号的非平稳特性, 如边缘、尖峰、断点等; (3) 去相关性, 小波变换可以对信号进行去相关, 所以噪声在变换后有白化趋势, 小波域比时空域更利于去噪; (4) 选基灵活性, 小波变换可以灵活选择变换基, 因此对不同应用场合和对不同的研究对象, 可以选用不同的小波母函数获得最佳的去噪效果。
小波去噪的方法有很多种, 主要有模极大值法、相关法、阈值法等。其中最常用的就是阈值法, 目前很多去噪方法都是基于阈值法。
1 小波阈值法
小波去噪方法中最早被提出的是小波阈值去噪方法, 它是一种实现简单而效果较好的去噪方法。最早的阈值去噪方法为Donoho提出的阈值萎缩 (Visu Shrink) 法。阈值去噪的思想很简单, 他认为, 在小波域上, 所有的小波系数都对噪声有贡献, 所以可把小波系数分为两类, 第一类小波系数仅由噪声变换后得到, 这类小波系数幅值小, 数目较多;第二类小波系数由信号变换得到, 并包含噪声的变换结果, 这类小波系数幅值大, 数目较少, 因此处理时可对较小的小波系数置零或收缩, 对大幅值的小波系数则可保持其幅值不变, 达到去噪的目的。
2 阈值的选取方法
小波阈值法的一个中心问题是阈值的确定, 阈值选取的好坏直接关系到图像去噪效果的好坏。如果选取较小的阈值, 可以尽可能多的保留小波系数, 从而可能保留更多的图像信息, 但同时噪声也被保留下来;反过来, 如果设定一个较大的阈值, 这样可以消除更多的噪声, 同时也会损失图像中的高频信息。阈值的确定在阈值萎缩中是关键的。目前使用的阈值可以分成全局阈值法和局部阈值法。全局阈值法是对各层所有的小波系数或同一层内的小波系数都是统一的, 有“过扼杀”小波系数的倾向, 人们为了克服全局阈值法这一局限性, 提出了局部阈值法, 因此局部阈值法成为研究的方向。
2.1 常用的阈值方法
常用的阈值方法有通用阈值、Bayes Shrink阈值和MapShrink阈值、最大最小化阈值 (Minimax) 、理想阈值等。现介绍其中2种阈值方法如下:
(1) 通用阈值
即Donoho和Johnstone统一阈值 (简称DJ阈值) :
其中, σ为噪声标准方差, N为信号的尺寸或长度。这是在正态高斯噪声模型下, 针对多维独立正态变量联合分布, 在维数趋向无穷时的研究得出的结论, 即大于该阈值的系数含有噪声信号的概率趋于零。这个阈值由于同信号的尺寸对数的平方根成正比, 所以当N较大时, 阈值趋向于将所有小波系数置零, 此时小波滤波器退化为低通滤波器。
(2) Bayes Shrink阈值和Map Shrink阈值
在小波系数服从广义高斯分布的假设下, 根据贝叶斯估计准则得出了阈值门限的计算公式:
其中, σ为噪声标准方差, σx为广义高斯分布的标准方差值。
在小波系数服从Laplace分布的假设下, Moulin等人给出了基于MAP方法的阈值门限计算公式:
其中, τ为laplace分布的参数。
2.2 自适应局部阈值
与全局阈值不同, 局部阈值主要是通过考查在某一点或某一局部的特点, 再根据灵活的判定原则来判定系数是“主噪”, 还是“主信”, 以实现去噪和保留信号之间的平衡, 而且这些判定原则有时并不一定是从系数的绝对值来考虑的, 而是从别的方面, 例如从概率和模糊隶属度方面来考虑。Vidakovic等人利用主信系数和主噪系数在不同尺度中分布的不同特征, 在Bayesian框架下, 结合假设检验, 给出了一个阈值公式, 并以此来对小波系数进行硬、软阈值处理;而Ching则结合区间估计理论和假设检验的方法给出了另外一种局部阈值萎缩方法。实验结果表明, 局部阈值确实比全局阈值对信号的适应能力好。
3 小波分析进行图像去噪
二维小波分析用于图像去噪主要有3个步骤: (1) 二维图像信号的小波分解。选择合适的小波和恰当的分解层次 (记为N) , 然后对待分析的二维图像信号X进行N层小波分解。本实验中取N=4; (2) 对分解后的高频系数进行阈值量化。对于分解的每层, 选择一个恰当的阈值, 并对高频系数进行软阈值量化处理。本文主要针对阈值的选择, 在仿真实验中分别采用全局阈值和分层局部阈值, 均采用软阈值函数进行去噪结果分析; (3) 二维小波对图像信号进行重构。根据小波分解后的第N层近似 (低频系数) 和经过阈值量化处理后的各层细节 (高频系数) , 来计算二维信号的小波重构。
4 小波阈值法图像去噪实例与分析
针对上述全局阈值法与局部阈值法, 在matlab7.1的平台下, 选取去噪效果较好的双正交小波bior3.9, 阈值函数均选择软阈值函数, 对混有不同噪声 (分别为高斯白噪声、Poisson噪声和speckle噪声) 的lena256×256图像进行4层小波分解, 并分别用全局通用阈值 (通过使用小波工具箱函数ddencmp来获取消噪的默认全局阈值) 和分层局部阈值 (通过阈值设置管理函数wthrmngr (‘dw2ddeno LVL’, ‘penalme’, C, S, ALFA) 来获取分层局部阈值, 其中ALFA=2) 进行去噪, 并对去噪的效果进行分析和比较。原图像如图1所示:
实验中衡量图像质量的参数选择峰值信噪比 (PSNR) , 峰值信噪比越高, 则图像的质量越好。分别记录了加噪后图像的峰值信噪比PSNR0, 全局阈值去噪后图像的峰值信噪比PSNR1, 以及局部阈值去噪后图像的峰值信噪比PSNR2.V为噪声的方差。实验得到的数据如表1所示:
对原图像加方差为0.01的高斯白噪声后分别用全局阈值和局部阈值去噪的效果如图2、3、4所示:
由上述图表可以看出, 全局阈值和局部阈值对图像均有良好的去噪效果, 且局部阈值去噪效果优于全局阈值, 在对图像去噪的同时能保留更多的边缘信息。
5 结束语
本文将小波阈值法用于图像去噪, 对混有不同噪声的图像分别采用全局阈值和局部阈值进行图像去噪仿真, 实验得出结论:小波局部阈值去噪效果优于全局阈值, 在对图像去噪的同时能保留更多的边缘信息。
摘要：介绍了小波去噪的基本理论以及小波阈值法去噪的原理。小波阈值法去噪的关键是阈值的设置和阈值函数的选择。阈值的设置主要分为全局阈值法和局部阈值法。归纳了阈值的设置方法, 并针对图像去噪进行了仿真实验, 将一幅混有不同噪声的图像分别采用全局阈值和局部阈值去噪。实验得出局部阈值优于全局阈值的结论。
关键词：图像去噪,全局阈值,局部阈值
参考文献
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