小波阈值算法

小波阈值算法（精选9篇）

小波阈值算法 篇1

2.3小波阈值去噪常用的阈值函数

常用的阈值函数有硬阈值函数和软阈值函数。硬阈值函数如下

$\widehat{\omega }{}_{j,k}=\{\begin{array}{l}\omega {}_{j,k},\left|\omega {}_{j,k}\right|\ge \lambda \\ 0,\left|\omega {}_{j,k}\right|<\lambda \end{array}$

(4)

软阈值函数如下:

$\widehat{\omega }{}_{j,k}=\{\begin{array}{cc}[\text{s}\text{i}\text{g}\text{n}(\omega {}_{j,k})](\left|\omega {}_{j,k}\right|-\lambda ),\hfill & \left|\omega {}_{j,k}\right|\ge \lambda \hfill \\ 0,\hfill & \left|\omega {}_{j,k}\right|<\lambda \hfill \end{array}(5)$

由于硬阈值估计在λ点处不连续, 而软阈值估计在ωλ较大时总有一定的偏差。为了同时避免这两个缺点, 提出了有针对性的解决方案和改进方法[4], 其中效果较好的是半软阈值法。其阈值函数如下:

$\widehat{\omega }{}_{j,k}=\{\begin{array}{cc}0,\hfill & \left|\omega {}_{j,k}\right|<\lambda {}_1\hfill \\ \text{s}\text{i}\text{g}\text{n}(\omega {}_{j,k})\frac{\lambda {}_2(\left|\omega {}_{j,k}\right|-\lambda {}_1)}{\lambda {}_2-\lambda {}_1},\hfill & \lambda {}_1<\left|\omega {}_{j,k}\right|\le \lambda {}_2\hfill \\ \omega {}_{j,k},\hfill & \left|\omega {}_{j,k}\right|>\lambda {}_2\hfill \end{array}(6)$

2.4小波阈值去噪的改进算法

通过上面对仿真实验分析可知, 小波硬阈值去噪法的增强效果不是很理想, 滤除噪声不完全, 但是相较与软阈值小波去噪, 对清音没有损害。因此, 选择硬阈值小波去噪法进行第一次滤波, 粗略滤除噪声, 再用广为应用的谱减法进行第二次滤波。而且经过分层滤波处理后, 再进行谱减法时可以在一定程度上减少“音乐噪声”。

具体做法:首先, 用选定的d14小波基, 进行4层小波分解, 采用硬阀值法对每一层进行小波阈值去噪, 经过小波逆变换进行重构, 这样就可以在不损害清音的同时减少语音信号中白噪音的含量, 并使语音信噪比有所提高;然后, 再对处理后的语音信号进行分帧, 加窗进行VAD检测, 用功率谱减法进行处理, 进一步抑制剩余的背景噪声。

3仿真实验结果及分析

仿真用纯净语音为一女声“大庆石油学院你们好”, 语音音频格式为:PCM编码, 16位, 单声道, 采样率为8 kHz。噪声取自Nosie-92噪声库中的white、babble和f16噪声。

图2与图3分别是对混有-5 dB和5 dB白噪声进行语音增强的效果对比图, 图中分别为带噪语音波形, 和默认阈值、软阈值、硬阈值的小波阈值去噪后的语音波形。硬阈值函数对噪声清除不够干净, 而且在一些地方会产生突变, 使处理后的语音混有类似音乐声的噪声;软阈值函数虽然噪声去除很彻底, 但经过试听效果对比, 发现对原始语音的损害较大, 使语音的清晰度大大降低;而作为改进方法的半软阈值法, 增强效果明显得到改善, 见图4。

表2所示为对混有0 dB三种不同噪声进行增强后的信噪比, 从表中的数据可知, 软阈值增强效果虽有所提高, 但提高幅度不是很大;半软阈值函数法在一定程度上改善了软阈值小波阈值 去噪的增强效果。小波阈值与谱减法去噪法相结合的语 音增强方法, 对混有白噪声的语音有很好的增强效果, 见图5;对混有战斗机噪声的语音也有所提高, 增强效果优于谱减法和小波阈值去噪法, 并减少语音信号的失真;但是在混有说话人噪声的情况下, 并没有将其他人的语音干扰去除, 导致效果最差。

4结论

通过对小波阈值去噪法的阈值函数的研究, 分析了各自的优缺点, 对改进的半软阈值函数进行仿真, 通过对SNR的对比和实际的试听效果, 半软阈值函数小波去噪法取得了很好的语音增强效果, 弥补了软硬阈值去噪存在的缺点。

基于小波阈值去噪法与谱减法结合的改进算法, 对信噪比的改善优于一般的谱减法和小波阈值去噪法, 主观视听上, 基本不含有音乐噪声, 同时清音的失真也有所改善, 由表2数据可知, 改进算法更加适合存在非平稳噪声的情况。

参考文献

[1] Donobo D L.Denoising by soft-thresholding.IEEE Transaction on In-formation Theory, 1995;41 (3) :613—627

[2]胡广书.现代信号处理教程.北京:清华大学出版社, 2004

[3] Donobo D L, Johnstone I M.Ideal denoising in an ortho gonal basischosen from a library of bases.C R Acad Sci I-Math, 1994;319:1317—1 322

[4]朱艳芹, 杨先麟.几种基于小波阈值去噪的改进方法.电子测试, 2008:18—22

小波阈值算法 篇2

通过分析小波分析法中的阈值去噪算法的原理,根据MEMS陀螺仪信号漂移的数学模型,采用了基于小波阈值去噪法对MEMS陀螺仪的输出进行实时消噪处理.并将该算法应用到基于DSP的某MEMS陀螺捷联惯导系统后对系统的`MEMS陀螺仪进行零漂试验.通过整个系统试验结果分析,使用小波阈值去噪法对抑制MEMS陀螺仪零漂,改善MEMS陀螺仪的零偏稳定性具有很好的效果,肯定了小波阈值去噪方法在MEMS陀螺仪噪声处理中的理想效果.

作 者：宋丽君 秦永元 杨鹏翔 SONG Lijun QIN Yongyuan YANG Pengxiang 作者单位：西北工业大学自动化学院,西安,710072刊 名：测试技术学报 ISTIC英文刊名：JOURNAL OF TEST AND MEASUREMENT TECHNOLOGY年，卷(期)：23(1)分类号：V241关键词：捷联惯导系统 MEMS陀螺仪 信号漂移 小波分析 阈值去噪法

小波阈值算法 篇3

关键词：图像去噪；双树复小波变换；阈值函数模型；相关性系数；反正弦函数

中图分类号： S126；TP391文献标志码： A文章编号：1002-1302（2015）09-0450-03

随着农业智能化水平的逐步提高，准确获取各类农业信息并进行精确分析为农业估产、制定农药喷洒计划、农产品检测等应用提供参考信息，已经成为现代农业发展的基本要求。农业图像是各类农业信息的载体之一，实现对各类农业信息的判读与分析基本上是对各类农业图像的判读与分析。而农业图像的获取受到气候环境、成像器件自身缺陷等种种因素的影响，导致所获得的图像在多数情况下存在不同程度的模糊，因此在对该类图像进行判读与分析之前，有必要进行适当的预处理。近年来，诸如形态学[1]、小波变换[2]、轮廓波变换[3]、提升小波变换[4]等一系列方法被应用于处理各类农业图像，取得了一系列效果，但总体来说，各类方法尽管去噪效果明显，但对于保持图像中细节信息的连续性有所不足。本研究采用双树复小波变换[5]这一新型图像分析方法，提出了1种改进半软半硬阈值函数去噪模型，为农业图像处理提供参考。

1双树复小波变换原理分析

小波变换在对图像进行处理与分析过程中，通过灵活选择不同的小波基函数实现对图像的多方向、多尺度的刻画，对于图像中大量的细节信息具有较强的表达能力。小波变换大体上将图像中的细节信息划分成3类：即呈45°、90°、135°方向分布的细节信息，经过大量研究发现，对于细节信息较少的图像而言，经过小波分解与重构后，图像的信息丢失很少；而对于大量细节信息丰富的农业图像而言，经过小波分解与重构后，图像信息丢失较为严重。双树复小波变换继承了小波变换所具有的优势，采用二叉树结构（树结构1、树结构2）与离散小波变换相结合的方式实现对信号的处理，具体来说：（1）首先采用树结构1、树结构2分别生成小波系数的实部、虚部；（2）对小波系数的实部、虚部分别采用不同的滤波器进行离散小波变换、重构，进行图像处理与分析。采用双树复小波变换对农业图像进行分解的原理如图1所示。

图1中，L1-1、L1-2分别为第1层双树复小波分解后所得到的2个低频小波分解系数，H1-i（i=1，2，3，…，6）为第1层双树复小波分解后所得到的±15°、±45°、±75°这6个方向的小波高频分解系数。对L1-1、L1-2进行第2层双树复小波分解后得到L2-1、L2-2 2个低频小波分解系数和H2-i（i=1，2，3，…，6）等代表±15°、±45°、±75°的6个方向的小波高频分解系数，以此类推可对图像进行多层分解。由此可以认为，双树复小波变换能够对图像的细节信息采用6个方向系数来进行刻画，这相对于小波变换而言，能够对图像进行更为精细化的分析。因此，对于农业图像处理与分析而言，双树复小波变换是一种较为理想的方法。

2改进半软半硬阈值函数模型

2.1经典半软半硬阈值函数模型

农业图像经过双树复小波变换后，得到了一系列的高频和低频分解系数，而要实现对农业图像有效去噪处理，关键在于去噪函数模型的设计，如果去噪函数模型设计不当，即便图像本身被精细化分解，也无法确保获得较好的去噪效果。农业图像经过双树复小波变换后得到的分解系数可以大体有2类：（1）系数幅值较大，且数量较少，该类系数主要由图像真实信号变换所得；（2）系数幅值较小，且数量较多，该类系数主要由图像中的噪声信息号变换所得[6]。

根据变换后图像小波分解系数的上述特点，可以对幅值较小的系数由选择性地进行去除，对幅值较大的小波分解系数予以保留的方式来实现去噪。基于这一思路，先后诞生了小波硬阈值、小波软阈值函数模型：（1）硬阈值函数模型对于小于设定阈值的小波分解系数一律设置为“0”，而对于其余小波分解系数则全部予以保留；（2）软阈值函数模型对于大于设定阈值的小波分解系数通过减去某一固定的数值后予以保留，对于其余的小波分解系数处理方式与硬阈值函数模型相同。大量试验表明，硬阈值函数模型对于小波分解系数的处理过于绝对化，经过该模型处理后的图像平滑程度较低；而按照软阈值函数模型的思路，保留下来的小波分解系数总是与原始小波分解系数存在固定的偏差，这导致该模型处理后的图像边缘存在严重的失真现象。为了弥补上述2类模型的不足，有人提出了小波半软半硬阈值函数模型[6]：

式中：W～j，k为去噪后的小波系数；w～j，k去噪前小波系数；sgn（·）为符号函数，其值根据括号内数值的正负而分别取1或-1；T1，T2为阈值；j为小波分解层数；k小波系数分布方向，对于双树复小波变换而言，k=±15°、±45°、±75°；|w～j，k|为小波分解系数幅值。

2.2改进的函数模型

对于农业图像而言，图像中存在大量连续性的目标信息（如植物叶片边缘、根茎等），图像被进行双树复小波变换后，各小波分解系数间具有较高的相关性。而式（1）所定义的半软半硬阈值函数模型尽管充分结合了传统的软、硬阈值函数模型的优势，但没有充分利用图像小波分解系数间的相关性，导致在去噪过程中容易丢失大量的图像细节信息。为此，对其进行适当改进，改进后的模型如下：

式（5）中各参数意义同式（4）。该模型的特点有：（1）将图像的小波分解系数按照幅值的不同分为3类，对不同幅值的小波分解系数由选择性地进行去除、抑制、保留；（2）模型融合小波硬、软阈值函数模型的功能，对于T1<|w～j，k|≤T2部分小波分解系数的处理，接近于小波软阈值函数模型；而对于|w～j，k|>T2部分的小波分解系数处理方式则具有2类模型的共同之处；（3）模型中的阈值能够随着小波分解层数的变化而快速作出调整，并且融入了反正弦函数，从而使得阈值的设定更为灵活。

3算法试验仿真

本研究算法基本步骤是：对农业图像进行双树复小波分解，获得2个低频、6个高频小波分解系数；采用式（4）、式（5）计算6个高频小波分解系数阈值；采用式（2）所提出的改进型阈值函数去噪模型对6个高频小波分解系数进行处理；对低频小波分解系数和去噪后的高频小波分解系数进行逆双树复小波变换获得去噪图像。采用MATLAB编程语言对改进型去噪模型进行实现，试验图像为1幅青菜图像。试验中引入了小波硬阈值函数模型、软阈值函数模型、经典小波半软半硬阈值函数模型与本研究去噪模型进行去噪效果对比，结果如图2所示。此外，采用均方误差百分比（ratio of mean square errors，RMSE）[7]对上述4种模型的去噪效果进行总体性评价，评价结果如表1所示。

图2-a为1幅添加了方差为0.05的高斯噪声、密度为15%的椒盐噪声形成的模糊图像。分别采用小波硬阈值函数模型、软阈值函数模型、半软半硬阈值函数模型对其进行去噪，结果如图2-b至图2-d所示。小波硬阈值函数模型、软阈值函数模型去噪效果非常接近，图2-b、图2-c中青菜轮廓、叶片边缘非常模糊，噪声残留程度较为严重。相对而言，图2-d的清晰度有了较大改善，但青菜叶片边缘仍有一定的模糊，这说明半软半硬阈值函数模型具有一定的去噪效果。图2-e为本研究改进型模型去噪结果，图中青菜叶片边缘较为清晰，说明模型的改进策略具有一定的合理性。表1中，改进型模型的RMSE值明显低于其余3种模型，说明经过改进型模型处理后的图像与原始图像最为接近，去噪效果较好。

4结论与讨论

结合双树复小波变换，提出了1种改进型农业图像半软半硬阈值函数去噪模型。该模型对传统的半软半硬阈值函数模型添加了1个小波分解系数相关性因子，并且对模型阈值进行了自适应改进，使得改进后的模型能够根据小波分解层数灵活地确定阈值，并且能够更为有效地保持图像细节信息的连续性。试验结果佐证了改进策略的有效性。

参考文献：

[1]张宏群，陶兴龙. 基于形态学和分形理论的农产品图像去噪[J]. 湖北农业科学，2013，52（5）：1168-1171.

[2]李景福，赵进辉，龙志军，等. 基于离散小波变换的农业图像处理研究[J]. 安徽农学通报，2007，13（3）：43-45.

[3]宋怀波，何东健，韩韬. Contourlet变换为农产品图像去噪的有效方法[J]. 农业工程学报，2012，28（8）：287-292.

[4]卫娟，孙冬. 基于提升小波变换的农产品图像有效处理方法[J]. 江苏农业科学，2014，42（6）：364-366.

[5]周非，贺志恒，蒋青. 一种结合双树复小波变换和SVD分解的视频水印方法[J]. 实验室研究与探索，2014，33（7）：23-28.

[6]李秋妮，晁爱农，史德琴，等. 一种新的小波半软阈值图像去噪方法[J]. 计算机工程与科学，2014，36（8）：1566-1570.

小波阈值算法 篇4

小波域滤波通常有3种方法:Mallat提出的模极大值处理算法、由Xu等提出的空域相关滤波算法和由Donoho提出的阈值滤波算法[1,2,3]。由于小波阈值滤波方法简单计算量小,致使它在工程中得到广泛的应用,基于小波分析的滤波理论及应用也得到了很大的发展[4,5,6]。本文主要研究小波阈值滤波算法的改进和性能的提升。Donoho提出了小波硬阈值和软阈值的滤波方法[1,2,3],其中硬阈值方法存在函数不连续的缺陷,而软阈值方法会产生估计小波系数与分解小波系数存在恒定偏差的问题。文献[4,5,6]通过对软、硬阈值函数的折衷处理,分别构造了兼顾二者优点的半软阈值函数,取得了较好的滤波效果。但是,这些方法在小波阈值邻域内不具有高阶可导性,从而导致小波系数在临界状态的过渡不够平滑;小波系数的收缩程度缺乏灵活性,难以适应低信噪比的含噪输入信号。

经过分析研究,本文提出了基于过渡临界区域和收缩调和参数的小波阈值函数。通过多种典型信号的仿真实验结果表明:与文献[4,5,6]中的算法以及软、硬阈值函数法相比,本文提出的阈值函数滤波方法能够获得更好的滤波效果。

1 小波阈值去噪方法

假定具有加性噪声的一个有限长信号[7]如:

$y{}_i=x{}_i+\epsilon n{}_i(1)$

它作为一个有限长信号x的信号观测,即用i.i.d (独立同分布)零均值和具有标准差ε的高斯白噪声ni(即$n{}_i\stackrel{\text{i}.\text{i}.\text{d}}{{\displaystyle ~}}{\rm N}(0,1))$使信号受到干扰,目的是通过观测信号y复原信号x。

Donoho和Johnstone提出的小波阈值去噪方法的基本思想[1,2,3]是:当小波分解系数[8,9]小于某个临界阈值时,将对应的小波系数置为0;当小波分解系数大于或等于临界阈值时,将对应的小波系数予以保留(硬阈值方法)或者按照某个固定量向零收缩(软阈值方法),最后利用修改的小波系数进行小波重构[8,9]得到去噪后的信号。

由于硬阈值函数的不连续性和软阈值函数的恒定偏差问题,人们提出了多种半软阈值方法,该类方法能够兼顾软、硬阈值函数的优点,能够在一定程度上修复软、硬阈值方法所造成的缺陷。

综上分析可得,小波分解后的系数处理方法主要有硬阈值法(Hard Threshold Function)[7]、软阈值法(Soft Threshold Function)[7]和半软阈值法[4,5,6]。

对于小波域滤波的阈值估计,它的选取主要有4种方法[10]:采用Stein无偏似然估计(rigrsure)、采用启发式阈值选择(heursure)、采用通用阈值$\sqrt{2\log (\cdot )}(\text{S}\text{q}\text{t}\text{w}\text{o}\text{l}\text{o}\text{g})$和采用极大值极小值进行阈值选择(Minimaxi)。其中Donoho和Johnstone在文献[2]中证明了用Sqtwolog规则估计的信号在最小均方差:

${\rm N}{}^{-1}E\parallel \widehat{f}-f\parallel {}^2={\rm N}{}^{-1}{\displaystyle \sum _{k=0}^{{\rm N}-1}(}\widehat{f}(k)-f(k)){}^2(2)$

意义上是有效的[4]。

2 改进的小波阈值去噪方法

小波阈值去噪方法因其实现简单计算量小而被广泛地应用到实际的工程中,但是Donoho提出的硬阈值函数具有不连续性,很容易导致重构信号出现振荡现象;由于阈值附近的小波系数通过硬阈值滤波会产生突变,从而会导致恢复的信号欠缺光滑性;虽然Donoho的软阈值函数具有较好的整体连续性,且总是以较高的概率至少像原始信号那样光滑,但是当小波系数大于某一阈值时,小波系数的估计值与分解的小波系数之间以较高的概率存在着恒定的偏差。同时,Bruce和Gao已经证明了以下结论:硬阈值法往往会有较大的方差而软阈值法则会产生较大的偏差[6]。虽然文献[4,5,6]提出的半软阈值函数在滤波效果上优越于软、硬阈值方法,但是它们与软阈值函数一样,其导数在阈值λ处是不连续的,这将直接影响着重构信号与真实信号的接近程度。

文献[4,5,6]以及传统的软、硬阈值处理方法具有共同点,它们都是以滤波阈值为分界点,在滤波阈值的左右两个区域中分别采用不同的系数处理方法。而本文提出一种基于临界区域插值的处理方法:以阈值的某个邻域作为过渡临界区域,依据定义在该区域内的插值函数(阈值函数) 对原有小波系数进行处理,不再单纯地以阈值作为分界点。由此以来,小波系数在阈值处产生的突变将被“分散”到临界区域上,从而使得临界区域获得更加平滑的过渡,同时有效地提高了临界区域内小波去噪的分辨率和精度。

本文采用阈值λ的邻域(0.5λ,1.5λ)和(-1.5λ,-0.5λ)作为过渡临界区域,在此区间构造含有收缩调和参数k的阈值处理函数,调和参数的大小决定了临界区域内小波系数的收缩程度,即阈值函数的走向趋势。对于因小波系数收缩而引起的恒定偏差问题,在区间(1.5λ,+∞)和(-∞,-1.5λ)上引入新的阈值处理函数进行修复。本文提出的改进小波阈值处理函数如式(3)所示。

$\widehat{w}{}_{j,k}=\{\begin{array}{l}\text{s}\text{i}\text{g}\text{n}(w{}_{j,k})\left[|w{}_{j,k}|-\frac{1.5\lambda *k}{\exp (1.5\lambda *\frac{|w{}_{j,k}|-1.5\lambda }{{\rm N}})}\right],\\ |w{}_{j,k}|\ge 1.5\lambda \\ (\frac{-(w{}_{j,k}-0.5\lambda ){}^3}{2\lambda {}^2}+\frac{2(w{}_{j,k}-0.5\lambda ){}^2}{\lambda })(1-k),\\ 0.5\lambda <w{}_{j,k}<1.5\lambda \\ (\frac{-(w{}_{j,k}+0.5\lambda ){}^3}{2\lambda {}^2}-\frac{2(w{}_{j,k}+0.5\lambda ){}^2}{\lambda })(1-k),\\ -1.5\lambda <w{}_{j,k}<-0.5\lambda \\ 0‚(|w{}_{j,k}|<0.5\lambda )\end{array}(3)$

在式(3)中,(0.5λ,1.5λ)和(-1.5λ,-0.5λ)两个区间的定义,主要是根据高斯白噪声的概率分布和试验过程中对噪声标准方差的估计方法而确定的。对于高斯白噪声ε,存在3个重要的数据[6]:

$\{\begin{array}{l}{\rm P}(\mu -\sigma <z\le \mu +\sigma )=\Phi (1)-\Phi (-1)=0.6826\\ {\rm P}(\mu -2\sigma <z\le \mu +2\sigma )=\Phi (2)-\Phi (-2)=0.9544\\ {\rm P}(\mu -3\sigma <z\le \mu +3\sigma )=\Phi (3)-\Phi (-3)=0.9974\end{array}(4)$

式中:μ为随机变量的数学期望;δ为噪声的标准差。对于高斯白噪声,若选取阈值δ,2δ和3δ可分别抑制68.26%,95.44%和99.74%的噪声。在试验中采用$\lambda =\delta \sqrt{2\log {\rm N}}/\log (j+1){}^{[11]}$的阈值估计方法(j为小波分解的层数,N为信号的采样点数)。经过计算得出:小波分解第1层的滤波阈值是在以5.37δ为中心的邻域内;小波分解第5层的滤波阈值是在以2.07δ为中心的邻域内。随着分解层数的递增,白噪声对应的小波系数会逐步地衰减,大量的低频信号被保留下来,因此滤波阈值随着分解层数的增加而逐渐减小。经过第一层分解获得的小波系数包含了大量的噪声信息,选择分界系数0.5能够使该层的一个分界点接近3δ,通过归零处理能够过滤掉3δ以内的噪声;由于较高分解层的小波系数所包含的噪声信息相对较少,选择分界系数1.5使得第5层的分界区域变为(δ,3δ),通过归零处理过滤掉δ以内的噪声。为了避免对靠近滤波阈值的小波系数产生过度“扼杀”或“纵容”的现象,在临界区域内对小波系数实施插值细化处理,在保留原有信号弱特征的同时,对噪声信号进行适当地衰减。以上分析表明,通过分界系数0.5和1.5,能够在不同分解层上保证至少99.74%(理论概率值)的高斯白噪声的小波系数得到归零或衰减处理。

在公式(3)中,收缩调和参数k∈[0,1],参数k的取值和噪声的阈值是相互关联的:当噪声的阈值偏大时,k的取值要偏小一点;当噪声的阈值偏小时,k的取值要偏大一点。因此,参数k可以在一定程度上对阈值估计的“过失”进行适当的修复。

对于小波系数wj,k,当|wj,k|=0.5λ时,$\widehat{w}{}_{j,k}=0$;当|wj,k|→0.5λ时,$\widehat{w}$j,k→0,则$\widehat{w}$j,k在|wj,k|=0.5λ处是连续且可导的。当|wj,k|=1.5λ时,$\widehat{w}{}_{j,k}=1.5\lambda (1-k)；$当|wj,k|→1.5λ时,$\widehat{w}{}_{j,k}\to 1.5\lambda (1-k)$,则$\widehat{w}$j,k在|wj,k|=1.5λ处是连续的。随着|wj,k|的不断增大,|wj,k|与$\widehat{w}$j,k之间的偏差逐渐减小,当$|w{}_{j,k}|\to \infty \text{时}‚\widehat{w}{}_{j,k}/w{}_{j,k}\to 1$(即$w{}_{j,k}=\widehat{w}{}_{j,k})$,从而大大减少了软阈值函数中所产生的恒定偏差。

收缩调和参数k取不同的值,阈值函数的发展走向会呈现不同的趋势,如图1所示。在图中,soft代表软阈值函数的情形,hard代表硬阈值函数的情形,其余的曲线代表不同k值下本文提出的阈值函数的发展趋势。通过对比分析发现,本文提出的阈值函数与文献[4,5,6]中的方法也有相似的特点,适当地选择k值,会使新的阈值函数介于硬阈值函数和软阈值函数之间;不同的地方是改进的阈值函数对于阈值邻域内小波系数的处理更加平滑细化。

3 Matlab仿真实验

为了验证改进的阈值函数在噪声滤波应用中的有效性和优越性,分别利用传统的硬、软阈值函数方法以及文献[4,5,6]中提出的方法,与本文提出的阈值函数方法进行Matlab对比消噪试验。试验中的测试信号选用含有高斯白噪声的Doppler信号、Heavy sine信号以及Piece-Wise Smooth信号,其中3类输入信号的信噪比分别为12.058 4 dB,14.978 3 dB和9.897 3 dB,采样点数N=1 024,采用的小波基函数为db4,分解层数为5,收缩调和参数k的取值根据不同输入信号的信噪比而定。Donoho提出的通用阈值估计函数$\lambda =\delta \sqrt{2\log {\rm N}}$在不同的尺度上是恒定不变的,然而噪声的小波系数随着分解尺度的变化,呈现出逐渐减小的趋势。因此,在仿真实验中取$\lambda =\delta \sqrt{2\log {\rm N}}/\log (j+1){}^{[11]}$,其中j为分解尺度。在实际应用中,噪声方差δ是不可知的,消噪处理时可以依据Donoho提出的方差估计取δ=median(|wj,k|)/0.674 5[2,6]。图2为原始信号与含噪信号的曲线图,图3和图4为利用不同阈值函数作用于Piece-Wise Smooth信号的滤波处理效果对比图。

图2中第一部分为不含噪声的原始信号,第2部分是加入了高斯白噪声的含噪信号。图3中第1部分为用本文提出的方法去噪后得到的信号,第2和第3部分为分别用硬阈值函数和软阈值函数去噪后得到的信号。图4为结合参考文献[4,5,6]提出方法而获得的滤波效果图。从图中可以看出,硬阈值函数去噪在局部的奇异点处(如图3第2部分时间序列400和500之间)产生了伪吉布斯现象[12],并且伴随着波形的失真;软阈值函数由于估计小波系数与分解小波系数存在恒定的偏差,致使原始信号的边缘部分变得模糊(如图3第3部分时间序列800和900之间),过于平滑而丢失了边缘特征。对比分析图3和图4发现,本文提出的方法尤其在对时间序列400至500和700至800处小波系数的处理效果上要优越与文献[5]提出的方法。

为了更加精确地表示去噪效果,可以通过计算去噪后信号的信噪比(SNR)和均方误差(MSE)作为评判的依据。设原始不含噪声的信号为s(n),经过滤波后的信号为$\stackrel{⌢}{s}(n)$,则信噪比定义为[10]:

$\text{S}\text{Ν}\text{R}=10\lg \left[\frac{{\displaystyle \sum _{n=0}^{{\rm N}-1}s}{}^2(n)}{{\displaystyle \sum _{n=0}^{{\rm N}-1}[}s(n)-\widehat{s}(n)]{}^2}\right](5)$

原始信号与消噪信号的均方差定义为[10]:

$\text{Μ}\text{S}\text{E}=\sqrt{\frac{1}{{\rm N}}{\displaystyle \sum _{n=0}^{{\rm N}-1}[}s(n)-\widehat{s}(n)]{}^2}(6)$

信号的信噪比越高,原始信号与消噪信号的均方差越小,消噪信号越接近于原始信号,去噪效果相对较好。表1～表6列出了几种不同处理方法对于含噪信号处理后的信噪比(SNR)和均方差(MSE)。

注:输入信号信噪比为9.897 9 dB,k为0.25。

改进阈值函数中的收缩调和参数k是一个非常重要的参数。参数k的取值跟滤波阈值和输入信号的信噪比有关,当k的取值过大时,它会导致滤波后的信号曲线过于平滑,丢失了大量的边缘细节;当k的取值过小时,小波分解系数收缩变化较小,噪声不能够被充分地抑制。经过大量的试验表明,改进阈值函数对低信噪比的输入信号,获得的滤波效果是比较好的,而文献[4,5,6]提出的方法对低信噪比输入信号的滤波效果相对较弱。

注:输入信号信噪比为14.978 3 dB,k为0.45。

注:输入信号信噪比为12.058 4 dB,k为0.1。

4 结 语

本文根据小波阈值滤波的基本原理,结合传统阈值滤波函数的特征,构造了一种新的阈值函数,该函数不仅兼顾了软、硬阈值函数的优点,而且在一定程度上弥补了软、硬阈值函数固有的缺陷。通过在阈值函数中引入收缩调和参数k和过渡临界区域,细化了阈值邻域内小波系数的处理,在一定程度上降低了小波阈值消噪方法对滤波阈值的完全依赖性。最后,从仿真实验可以看出,新的阈值函数消噪效果相比传统的阈值滤波方法和文献[8,9,10]的方法有了明显的改进,小波阈值滤波算法的性能得到了改善。同时,我们将结合其他的阈值估计方法,在车载液压传感器信号的处理中对该算法作出进一步的验证。

摘要：针对现有的小波阈值函数在阈值邻域内不具有高阶可导性,小波系数收缩缺乏灵活性,在此构造了一种具有过渡临界区域和收缩调和参数的阈值函数。根据白噪声的概率密度分布和滤波阈值的估计值确定过渡临界区域,细化阈值邻域内小波系数的处理。通过收缩调和参数调整小波系数的收缩程度,以提高滤波信号的信噪比。实验结果表明,在此构造的小波阈值函数能够在消噪和保留原有信号的弱特征之间获得较好的平衡,从而改善小波阈值滤波算法的性能。

小波阈值算法 篇5

随着科学技术及工业的发展, 许多自动化程度很高的工业用户, 对电能质量的要求越来越高[1]。任何电能质量问题都将导致产品质量的下降, 甚至导致工程作业停顿, 给用户造成不可估计的损失。有效地监测和分析电能质量问题是治理和改善电能质量的前提。

近年来, 电能质量扰动检测与辨识成为电能质量分析领域研究的热点问题之一。小波变换以其良好的时频局部化性能被广泛应用于电力系统中, 特别是在对电能质量扰动信号的检测中[2]。虽然小波域阈值滤波算法表现出了非常好的滤波性能, 但为获得准确的检测结果, 对于小波综合性能的要求越来越高[3], 由于正交小波变换缺乏平移不变性, 因此滤波结果会出现失真;且Donoho提出的通用阈值在实际应用中显得过大[4]。

本文提出一种改进的小波域阈值滤波算法, 以解决上述问题。本文利用改进的小波变换算法对暂态电能质量检测的新方法进行了研究, 分析了基本原理, 完成了的改进, 进行了仿真实验, 以期进一步提高对扰动信号分析定位的精确度。

1 小波域阈值滤波算法

小波变换具有一种“集中”的能力[5]。信号经小波变换后, 可认为由信号产生的小波系数包含信号的重要信息, 其幅值较大, 但数目较少, 而噪声对应的小波系数幅值小[6]。通过在不同尺度上选取一合适的阈值, 并将小于该阈值的小波系数置零, 而保留大于阈值的小波系数, 从而使信号中的噪声得到有效的抑制, 最后进行小波逆变换, 得到滤波后的重构信号[7]。

在小波域中有$|\widehat{\theta }{}_{j,i}|\le |\theta {}_{j,i}|(1)$

式中:1≤i≤N为位置;j为尺度;θj, i表示真实信号在尺度j上的第i个小波系数。

当小波变换为正交小波变换时, γ=1。则:

$\frac{1}{{\rm N}}E\parallel \widehat{\theta }-\theta \parallel {}_F^2\le \sigma \cdot \sqrt{2\ln {\rm N}}(2)$

由式 (2) 可知, 对于任何$|\theta {}_{j,i}|\le \sigma \sqrt{2\ln {\rm N}}$, 取$\widehat{\theta }{}_{j,i}=0$, 可取阈值:

$t=\sigma \sqrt{2\ln {\rm N}}(3)$

2 小波域阈值滤波算法的改进

2.1 平移不变小波变换

计算出所有可能平移下的小波变换, 再取平均, 这样就避免了小波变换值随信号平移而变化的问题。

该变换形式和离散二带小波变换的形式相同, 不同的是, 二带小波重构时采用的是重构小波对应的滤波器[8];而正交小波重构时采用的是分析滤波器的共轭滤波器;若为双正交小波则采用相应的综合滤波器。如图1所示。

Hj (Gj) 表示H0 (G0) 的2j尺度膨胀 (即在滤波系数间插入2j-1个零) 。

2.2 基于平移不变小波变换的阈值滤波

仿真实验表明, 经过平移不变小波变换的小波系数经阈值滤波后, 其滤波效果在均方差和信噪比方面均优于正交变换的结果。

对于图1所示, ε通过第一尺度的高通滤波器和低通滤波器后, 得到尺度系数μS1和小波系数μW1如下:

$\begin{array}{l}\mu S{}_1(\omega )=Se{}_1(\omega )+So{}_1(\omega )\\ \mu W{}_1(\omega )=We{}_1(\omega )+Wo{}_1(\omega )\end{array}(4)$

用阈值t对小波系数μW1进行硬阈值化处理, 得到μ$\widehat{W}$1, 则:

$\mu \widehat{W}{}_1(\omega )=\widehat{W}e{}_1(\omega )+\widehat{W}o{}_1(\omega )(5)$

重构信号为:

$\epsilon {}_u(\omega )=[\mu S{}_1(\omega )\widetilde{{\rm H}}{}_0(\omega )+\mu \widehat{W}{}_1(\omega )\tilde{G}{}_0(\omega )]\frac{1}{2}(6)$

3 仿真算例分析

为验证上述方法的有效性、准确性和鲁棒性, 本文运用Matlab6.5进行仿真实验, 采样频率均为12 800 Hz, 采样点数N=2J, J为小波分解的尺度数, 这里选14, 即N=16 384。

电压凹陷和暂态振荡的起始和中断的终止时刻出现过零点扰动, 电压凹陷和暂态振荡的终止和中断的起始时刻出现非过零点扰动。改进算法的仿真波形如图2和图3所示。采用基于改进的小波域阈值算法, 对不同频率类型的故障数据 (电压凹陷和暂态振荡) 分别进行了仿真实验。

结果表明, 该算法减小了文件长度和数据通信的负担。通过改变阙值可控制不同频率分量的取舍及其压缩比和精度。

表1对仿真结果进行比较, 根据检测结果计算的扰动, 幅值与理论计算存在较小误差, 这表明可以较为准确地计算扰动量。

4 结 语

本文针对暂态电能质量扰动分类问题, 提出改进的小波变换算法, 在小波变换后采用阈值法, 保证了重构信号的失真率很小, 符合一定的压缩比和重构误差。仿真证明这种方法具有较好精度。并表明该方法具有较高的正确率和实时性, 暂态电能质量扰动分类效果良好。但是, 该方法在识别电压凹陷+振荡时对参数选择具有较强的依赖性, 在实际应用中需根据实际情况进行具体分析和参数设计。

摘要：为提高电能质量分析的准确性, 提出一种改进的小波域阈值算法。通过在不同尺度上选取一合适的阈值, 并将小于该阈值的小波系数置零, 而保留大于阈值的小波系数, 从而使信号中的噪声得到有效的抑制, 最后进行小波逆变换, 得到滤波后的重构信号。基于改进的小波域阈值算法实现了电力系统故障录波的检测, 仿真证明这种方法具有较好的精度。

关键词：电能质量,阈值法,小波变换,滤波,奇异点

参考文献

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[2]陈祥训.采用小波技术的几种电能质量扰动的测量与分类方法[J].中国电机工程学报, 2002, 22 (10) :1-6.

[3]沈申生, 杨奕.小波包变换在电能质量扰动检测中的应用[J].高电压技术, 2006, 32 (7) :116-117.

[4]Gaing Z L.Wavelet-based neural network for power disturbancerecognition and classification[J].IEEE Trans on Power Delivery, 2004, 19 (4) :1 560-1 568.

[5]Huang J S, Negnevitsky M, Thong D T.A neural-fuzzy classifierfor recognition of power quality disturbances[J].IEEE Trans onPower Delivery, 2002, 17 (2) :609-616.

[6]姚斌, 肖玉龙, 杨金飞, 等.一种基于小波包变换和有效值算法的电压暂降检测方法[J].中国农村水利水电, 2007, (5) :33-37.

[7]Omer Nezih Gerek, Dogan Gokhan Ece.2-D analysis and compres-sion of power-quality event data[J].IEEE Transactions on PowerDelivery, 2004, 19 (2) :791-798.

小波阈值算法 篇6

电力系统故障和有非线性负载时常造成各种电能质量问题,而对电能质量治理的前提条件是准确检测电能质量信号。在实际工程应用中,由于设备安装的位置、外界的电磁干扰等因素,检测到的信号通常包含噪声干扰。噪声的存在会影响某些分析方法的效果,甚至使其失效,故对检测到的信号去噪尤为重要[1]。

对被高斯白噪声污染的电能质量信号进行去噪是电能质量信号分析的经典问题,其目的是在尽可能多地滤除噪声的同时又最大限度地保留信号的重要特征。小波(包)阈值去噪以其简单有效而得到了广泛的应用[2,3,4],阈值的选取是影响小波去噪效果的主要因素,为此,文献[5,6,7]对阈值的选取进行了一些改进,小波去噪的性能有了一定的提升。上述方法中采用的阈值是随子带自适应调整的,属于全局性阈值,由于仅仅依据系数幅度的大小和子带的单一阈值进行处理,而没有充分利用子带内小波系数的局部相关特性,因此对那些扰动特征较多的电能质量信号,就不能有效地对信号特征系数和噪声系数加以甄别,其去噪效果还有进一步提升的可能。

信号经过小波分解后,每个子带内的小波系数之间存在一定的相关性,对于大的系数其邻域附近的系数往往也较大,利用这种子带内的局部相关性,可以有效地改善去噪算法的性能。文献[8]在这方面做了一些工作,利用小波系数分布具有“簇聚”性质,将小波系数分成若干块进行阈值处理,在全局适应性和空间适应性方面有了提升,但还是涉及到如何合理选择“块”大小和阈值的问题。文献[9]通过邻域系数间的相关性,针对一维信号提出了分块阈值处理的方法,文献[10]在此基础上提出了一种基于邻域统计特性的阈值萎缩策略。以上这些算法都利用了小波系数的邻域信息,从而具有局部自适应性,与子带自适应阈值去噪算法相比,去噪效果明显得到了改进。

由于尺度上大的小波系数主要集中在信号发生突变位置处。同时,在一个小邻域窗口内的小波系数之间存在着一定的统计相关性,利用这种子带内系数的局部相关性确定阈值,其全局适应性和局部适应性将更强。基于这种观察和思考,本文提出了一种基于小波邻域阈值分类的自适应阈值电能质量信号去噪算法。实验结果表明,本文算法既能较好地平滑噪声,又能较完整地保留突变点信息,适合于电能质量信号去噪。

1 基于模极大值小波域最佳邻域窗口的确定

邻域窗口尺寸的选取会影响小波去噪效果,而且窗口尺寸也与所用小波函数相关。结合所用小波函数,本文提出基于模极大值小波域确定最佳邻域窗口尺寸。

小波变换模极大值点的位置反映了信号变化的奇异点,利用模极大值能实现电能质量扰动检测与定位[11],但在小尺度上由于噪声的存在,有可能无法确定扰动信号产生的模极大值点,但是扰动信号和噪声的小波模极大值在不同尺度上的传递特性是不同的,利用这个性质就能将属于扰动信号的小波变换模极大值与由噪声引起的小波变换模极大值区别开来[12]。对于小波变换的模极大值有如下定义:

定义1 小波模极大值:在尺度a下,若f(a,b)的小波变换Wf(a,b)满足

$\frac{\partial W{}_f(a,b)}{\partial b}=0(1)$

设式(1)在b=b0有一过零点,则称(a,b0)为小波变换的模极大值点,若对属于b0的某一邻域内的任意点b有|Wf(a,b)|≤|Wf(a,b0)|,则尺度空间(a,b)中所有模极大值点的连线称为模极大值线。

定义2 模极大值的小波域:以模极大值点为中心,左右两边的小波系数绝对值连续减少的邻域。

由定义1可知,对于模极大值点(a,b0)有:

$\{\begin{array}{l}|W{}_f(a,b{}_0)|>|W{}_f(a,b{}_0-1)|>\cdots >\\ |W{}_f(a,b{}_0-n{}_1)|\\ |W{}_f(a,b{}_0)|>|W{}_f(a,b{}_0+1)|>\cdots >\\ |W{}_f(a,b{}_0+n{}_2)|\end{array}(2)$

则模极大值点(a,b0)的小波域为,其中b0-n1≥0,b0+n2≤na,na为子带长度。

定义3 小波消失矩:如果小波函数Ψ(t)满足

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }t}{}^k\Psi (t)\text{d}t=0k=0,1,\cdots ,p-1\\ {\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }t}{}^p\Psi (t)\text{d}t\ne 0\end{array}(3)$

则小波函数Ψ(t)具有p阶消失矩,且等价于小波滤波器函数H(ω)在π有p重零点,其中

${\rm H}(\omega )=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum h}{}_k\text{e}{}^{-\text{j}k\omega }(4)$

式中:{hk}为2尺度系数。

由定义3可知,消失矩的阶数与滤波器的长度相关。小波函数Ψ(t)确定后,其消失矩的阶数与滤波器的长度也就确定了。由此可以确定定义2中模极大值的小波域。

例如DbN小波系小波函数的消失矩阶数为N,则滤波器的长度为2N,除Db1(Haar)小波外,其余DbN小波对应的滤波器系数均不满足对称性,但是可把模极大值的小波域定为(域长度取为奇数)。文献[2]中详细讨论了用于电能质量扰动分析的小波函数的选择问题,认为Db2小波具有最佳的分析性能。为此,本文选用Db2小波用于分析, 则最佳邻域窗口尺寸定为5(如附录A图A1所示)。

2 自适应邻域阈值去噪

叠加有噪声的电能质量信号f(i)可以表示为:

$f(i)=s(i)+n(i)(5)$

式中:i=1,2,…,N;N为信号长度,即采样点的个数;s(i)为真实电能质量信号,包括基波和扰动;n(i)为噪声信号,其独立同分布且服从N(0,σ${}_n^2$);σ2n为噪声方差。

这里假定s(i)与n(i)独立。设Wα,j=Uα,j+Vα,j(简写成W=U+V)为式(5)相对应的小波系数,其中 Wα,j表示信号在α尺度下的第j个小波系数。

设当前待处理的小波系数为 W(j),当邻域窗口尺寸为5时,其邻域系数是W(j-2),W(j-1),W(j+1),W(j+2), 设邻域窗口中系数的平方和为:

S(j)=W2(j-2)+W2(j-1)+W2(j)+

W2(j+1)+W2(j+2) (6)

则$\widehat{U}(j)$为[9]

$\widehat{U}(j)=W(j)(1-\frac{\lambda {}^2}{S(j)})(7)$

式中:$\lambda =\sqrt{2\sigma {}_n^2\lg n}$;n为小波系数个数。

噪声标准差σn由Donoho的鲁棒性中值估计得到[13,14]:

$\widehat{\sigma }{}_n=\frac{\text{m}\text{e}\text{d}\text{i}\text{a}\text{n}|W{}_{\alpha ,j}|}{0.6745}(8)$

式(7)表明,若S(j)<λ2,则当前系数置零;否则按式(7)进行萎缩处理。因此,根据每个系数的邻域信息S(j)来调整邻域阈值λ2/S(j),实现了算法的局部自适应性。同时,邻域窗口沿着不同尺度进行滑动,每次滑动步长为1。图1所示为实际电网中采集到的电压骤降扰动信号[15]及其3尺度小波分解(采用Db2小波)得到的系数分布图,其小波邻域窗口滑动示意图如图1(b)所示。

3 基于小波邻域阈值分类的去噪算法

3.1 小波系数分类

大部分电能质量信号是由大段平滑基波区域和少数扰动剧变区域组成,这些具有不同统计特性的区域在小波域中表现不同(如图1所示):

1)对应于重要信号特征如骤升、骤降等边缘剧变区,其小波系数个数很少、幅度大,占据了小波域能量的绝大部分,属于高能量区域;平滑基波区域所对应的系数特点正好相反,属于低能量区域。

2)小波系数存在空间(局部)聚集性。

在前面的邻域阈值λ2/S(j)中,S(j)是邻域窗口中的能量,它能够较好地同时表示当前系数W(j)的能量大小和空间聚集性,因此将它用于小波系数的分类:

$S(j)=\{\begin{array}{l}1(\text{大})S(j)>\lambda {}^2\\ 0(\text{小})\text{其}\text{他}\end{array}(9)$

3.2 分类后系数的不同处理策略

注意到S(j)是邻域窗口中的总能量,而不是平均能量, 若S(j)<λ2,直观上可以认为W(j)及其邻域中的系数处于低能量区域,因而可以简单地将“小”系数视为噪声的贡献,直接置零。对“大”系数,认为代表的是信号重要特征,需要对其进行更精确的估计。这里采用最小均方误差(MSE)估计技术,为此对“大”系数采用零均值高斯分布进行建模(在方差给定的前提下),其方差又假设是具有局部强相关的随机变量,可以从邻域中得到。设当前系数U(j)的方差为σ2(j),则利用近似的最大似然估计有[16]:

$\widehat{\sigma }{}^2(j)=\arg \underset{\sigma {}^2\ge 0}{{\displaystyle \max }}{\displaystyle \prod _{i\in {\rm K}(j)}p}(W(i)|\sigma {}^2)=$

max$0,\frac{1}{{\rm M}}{\displaystyle \sum _{i\in {\rm K}(j)}W}{}^2(i)-\sigma {}_n^2)(10)$

式中:K(j)为邻域窗口;M为窗口尺寸(系数个数)。

由式(6),式(10)可改写为:

$\widehat{\sigma }{}^2(j)=\max (0,\frac{S(j)}{{\rm M}}-\sigma {}_n^2)(11)$

其中,噪声标准差σn由式(8)得到。

得到了U(j)的方差估计$\widehat{\sigma }{}^2(j)$后,就可利用最小MSE估计得到$\widehat{U}(j){}^{[17]}$:

$\widehat{U}(j)=\frac{\widehat{\sigma }{}^2(j)}{\widehat{\sigma }{}^2(j)+\widehat{\sigma }{}_n^2}W(j)(12)$

3.3 去噪算法步骤

基于小波邻域阈值分类的去噪算法步骤如下:

步骤1:对含噪的电能质量信号进行小波变换。

步骤2:由式(8)计算噪声标准差估计$\widehat{\sigma }{}_n$。

步骤3:除近似系数子带外对每一个高频细节子带,计算$\lambda =\sqrt{2\sigma {}_n^2\lg n},S(j)$(式(6)),并按式(9)对系数进行分类;对“小”系数直接置零;对“大”系数按式(11)计算信号方差$\widehat{\sigma }{}^2(j)$,由式(12)得到真实系数的估计$\widehat{U}(j)$。

步骤4:进行小波逆变换,得到去噪后的恢复信号。

3.4 去噪效果的衡量

在信号的去噪处理中,判断去噪效果的好坏主要有信噪比(SNR)及信号的重构MSE这2个标准。一般,SNR越大,MSE越小,去噪效果就越好。SNR和MSE的计算式分别为:

$\begin{array}{l}\gamma {}_{\text{S}\text{Ν}\text{R}}=10\lg \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}\widehat{f}}{}^2(i)}{{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}(}\widehat{f}(i)-f(i)){}^2}(13)\\ \epsilon {}_{\text{Μ}\text{S}\text{E}}=\frac{1}{{\rm N}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}(}\widehat{f}(i)-f(i)){}^2(14)\end{array}$

式中:f(i)为第i个点的原始信号值;$\widehat{f}(i)$为第i个点经过去噪处理后的值。

4 仿真与实验结果

4.1 最佳邻域窗口尺寸的实验

实验采用图1所示信号,所加噪声标准差σ分别为0.005,0.01,0.03,0.05,0.1,0.2,采用Db2小波进行3尺度分解,邻域窗口尺寸分别取3,5,7,9,11,性能用SNR和MSE来评价(实验结果见附录A表A1),图2给出了5种尺寸邻域窗口的SNR曲线。为了更清楚地展示它们的性能,图3给出了这5种尺寸邻域窗口提升SNR的曲线。从中可以看出,针对所用小波函数,不同尺寸邻域窗口的性能是有微小差别的,也就是说,选取邻域窗口尺寸时需考虑所用的小波函数;同时,当选用Db2小波时,考察SNR、MSE和提升SNR等性能指标,M=5在这5种尺寸邻域窗口中是最佳的。

4.2 本文算法仿真

为了验证本文算法的性能,参与实验的常用自适应阈值去噪算法有:Donoho等人的软阈值VisuShrink算法[13],Nason的交叉验证(CV)算法[18],Donoho等人的软阈值SureShrink算法[14],Chang等人的BayesShrink算法[19],Cai等人的NeighShrink算法[9]。实验同样采用图1所示信号,所加噪声标准差σ分别为0.005,0.01,0.03,0.05,0.1,0.2,用Db2小波进行3尺度分解,邻域窗口尺寸取5,性能用SNR和MSE来评价(实验结果见附录A表A2),图4 给出了6种算法的SNR曲线。

为了更清楚地展示本文算法与其他5种算法的性能比较,图5给出了这6种算法提升SNR的曲线。从中可以看出:

1)VisuShrink算法的滤波结果有较大的偏差,在这6种算法中去噪效果最差;

2)CV算法是一种均方差准则确定最优阈值的统计方法,虽然性能相对VisuShrink算法有了一定的提升,但其滤波效果仍不理想;

3)SureShrink算法使重构误差极小,能获得较为满意的滤波效果,但结果中有时会含有“毛刺”;

4)BayesShrink算法通过极小化贝叶斯风险得到阈值,其滤波效果接近于SureShrink算法;

5)NeighShrink算法虽然利用了邻域系数间的相关性,但对“大”系数的处理过于简单,所以去噪效果相对BayesShrink算法有一定的改善,但不如本文算法;

6)综合观察SNR,MSE和提升SNR等性能指标,本文算法在这6种算法中总体上去噪效果是最好的。

现在观察本文算法在实际不同的电能质量扰动信号去噪处理中的表现,特选取实际电网中采集到的骤降、谐波、振荡暂态3种典型的扰动信号[15],实验所加噪声标准差σ为0.05,实验结果证明本文算法对不同类型的电能质量扰动信号都有很好的去噪效果(原始波形、信号加噪后的波形及去噪后的波形如附录A图A2所示)。

4.3 突变信息保留程度

对于突变点信息保留能力的判断,可直接读取实验信号突变点的幅值,用去噪误差δ比较使用各算法处理后突变点幅值与理想幅值的接近程度[20],δ的计算公式如下:

$\delta =\frac{|V{}_{\text{去}\text{噪}}-V{}_{\text{原}\text{始}}|}{V{}_{\text{原}\text{始}}}\times 100\%(15)$

式中:V去噪为去噪处理后信号点的幅值;V原始为原始信号点的幅值。

由于是实测信号,一般无法得到原始信号点的准确幅值。对骤降扰动信号,其最主要的信息为基波幅值的改变,所以可用离散傅里叶变换(DFT)得到去噪前后信号的基波幅值来代替式(15)中骤降点去噪前后的幅值,由4.2节计算得到图1所示信号的DFT频谱图如图6所示。由表1可以清楚地看出,对于实验信号,本文算法的去噪误差最小(与NeighShrink算法相同),即其突变保留程度最大。

综合SNR,MSE,提升SNR和去噪误差δ等性能指标,本文算法总体去噪效果优于其他5种常用的自适应阈值去噪算法,更适合于电能质量信号的去噪,效果良好。

5 结语

利用信号小波系数的局部相关性,提出了一种基于小波邻域阈值分类的自适应阈值去噪算法,分析了如何结合所用小波函数,利用模极大值小波域确定最佳邻域窗口尺寸;利用各个尺度内小波系数的局部相关性,通过对不同类别的系数采取不同的处理策略,得到了较满意的去噪效果。对于实际电能质量扰动信号,本文算法的去噪能力和突变保留能力均优于其他5种常用的自适应阈值去噪算法,更适合于电能质量信号的去噪,实验证明有效而且效果良好。当然,若将尺度间模型加以考虑,并对“小”系数进行更精确的处理,而不是简单置零,将有可能进一步改善去噪性能。

附录见本刊网络版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。

小波阈值算法 篇7

关键词：小波阈值去噪,阈值函数,图像去噪,峰值信噪比

0 引言

图像在传输过程中, 很容易受到噪声的污染, 为了提高图像质量, 便于图像后续处理, 需要对图像进行去噪。人们根据图像的实际特点、频谱分布规律和噪声的统计特征, (1) 提出了很多图像去噪方法。1995年, Donoho (2) 提出软、硬阈值函数的图像去噪方法。为了克服软、硬阈值去噪中存在的问题, 后续国内外许多学者提出了很多改进的阈值函数, (3) (4) 这些阈值函数连续可导, 便于求解阈值最优问题, 但它们没有可调因子, 不够灵活, 或者计算复杂。本文针对以上阈值函数的不足, 提出了一种改进的阈值函数。

1 小波阈值去噪理论

1.1 理论依据

设有含噪模型:

其中, () 为原始图像信号, () 为高斯白噪声。

对作离散小波变换:

其中, 分别为含噪图像信号, 原始图像信号和噪声在第层上的小波系数;和分别为最大分解层数图像的总像素数。

小波变换后信号主要分布在小波系数的低频部分, 而噪声分布在小波系数的高频部分; (5) 并且信号对应的小波系数大于噪声对应的小波系数。于是可以用一个阈值, 把信号小波系数和噪声小波系数分开。然后用新的小波系数进行图像重构, 达到去除噪声的目的。

1.2 具体步骤

(1) 对含噪图像信号进行小波分解, 利用合适的小波基和分解层数, 进行离散小波变换, 得到各尺度小波系数

(2) 对分解后的各层高频系数利用阈值和阈值函数进行处理, 得出估计小波系数使尽可能的小

(3) 对小波分解的低频系数和估计小波系数进行重构, 得到去噪后的图像。

1.3 阈值函数的选取

常用的阈值函数有:

(1) 硬阈值函数表达式为:

(2) 软阈值函数表达式为:

2 改进的阈值函数

针对硬阈值函数不连续和软阈值函数总存在恒定偏差, 以及常用改进阈值函数没有可调参数或者计算复杂的问题, 本文构造出一个连续且可导的改进阈值函数, 该函数计算简单, 同时通过可调因子, 可以控制估计小波系数与原始小波系数的逼近速度和程度, 这有利于该函数对不同类型图像和噪声的适应性。其表达式为:

3 仿真实验和结果分析

为了检验本文提出的改进阈值函数在小波阈值图像去噪中的优越性和实效性, 本文利用上述算法, 分别采用常用阈值函数和本文改进的阈值函数, 对加入均值为0, 方差为0.01的高斯白噪声图像进行matlab仿真实验, 实验都采用固定阈值形式, 使用sym4作为小波基, 其中参数取值0.2, 其去噪结果如图1所示。

从图1可以看出, 硬阈值法去噪后图像连续性差, 软阈值法去噪后图像模糊, 折中法去噪效果较好, 但仍存在噪声点;本文改进阈值法去噪后图像更光滑, 细节特征保留更完好。为了更客观的比较各种方法的去噪效果, 本文采用峰值性噪比 (PSNR/d B) 和均方误差 (MSN) 作为图像去噪性能指标, 利用matlab软件得出各阈值函数法去噪后的峰值性噪比和均方误差, 其比较结果如表1所示。

从表1可以看出, 改进的阈值函数法整体上比软、硬阈值法去噪后均方误差更小, 峰值性噪比更高。通过调节控制因子可以得到不同的去噪效果, 本文通过多次反复实验, 当取值在0.2附近时, 在此实验条件下去噪效果最好。

4 结束语

本文在小波阈值去噪原理的基础上, 针对常用阈值函数的缺点, 构造了一种改进的阈值函数, 并利用Matlab软件进行仿真对比。结果表明, 利用本文改进的阈值函数进行小波阈值图像去噪具有较好的去噪效果, 去噪后的图像在峰值性噪比、均方误差和主观视觉效果方面均优于传统常用阈值函数。

注释

11 姚敏.数字图像处理[M].北京:机械工业出版社, 2006.

22 Donoho DL.Denoising by soft thresholding[J].IEEE Trans.on Inform Theory, 1995.41 (3) :613-617.

33 王蓓, 张根耀, 李智.基于新阈值函数的小波阈值去噪算法[J].计算机应用, 2014.34 (5) :1499-1502.

44 金显华, 赵元庆.改进的阈值图像去噪算法仿真研究[J].计算机仿真, 2012.29 (1) :191-194.

小波阈值算法 篇8

图像去噪算法有多种,各有优缺点。评价去噪方法的好坏并不绝对,每种噪声都有最佳的去噪方法[2]。输送带裂纹图像属于低对比度图像,采用小波变换去噪效果要比其他去噪方法更合适,它能较好地保留图像特性,且去噪后的图像纹理清晰度更好[3]。小波图像去噪有多种算法,归结起来主要有3类:模极大值检测法、阈值去噪法和屏蔽(相关)去噪法。其中阈值去噪法是最常用的一种[4]。

本文分别采用非线性小波变换、小波硬阈值、小波软阈值和改进的小波变换阈值等去噪算法,分别对输送带裂纹图像去噪处理,并对各种去噪算法的效果进行比较,得出采用改进的小波变换阈值算法对图像去噪效果最佳的结论。

1 小波变换去噪算法

1.1 小波变换图像去噪原理

两尺度小波如图1所示[5],LL为图像低频部分,聚集了图像内绝大多数信息;HL、LH和HH依次表示水平、垂直以及对角线方向上的局部信息,均为图像高频部分。把目标图像低频部分信息进行剖分处理,便可获得多尺度的目标信息[6]。

由图1可知,小波分解本质就是目标图像信号被剖分为频带界限不相同图像分量[7]。

1.2 非线性小波变换去噪算法

非线性小波变换去噪算法流程如下[8]:

(1)读入原图像;

(2)目标图像经过小波分解之后,获得LL以及LH、HL和HH;

(3)高频系数经过增强之后,实现滤除噪声的结果。增强之后的小波系数为

式中,G表示为增强的倍数;T1表示为阈值;Win(i,j)和Wout(i,j)依次表示为目标图像剖分之后的小波系数。

1.3 基于小波变换的阈值图像去噪

通过非线性小波变换后,目标图像信号中含有的噪声一般出现在分辨率较高的图像部分,而且小波系数的值也相对小。系数经过非线性函数全面放大时,虽然目标图像增强了,但噪声也被增强了[9]。经研究发现,图像的硬阈值去噪法或软阈值去噪法能够较好地解决这一问题[10]。

(1)硬阈值去噪算法[11]。若阈值为Tj,i,小波系数经过任意层次的变换后,幅值比Tj,i小的小波系数对应的是噪声,进一步减弱;幅值比Tj,i大的小波系数对应的是目标图像,进一步提升。若增强系数为Wi,j,留存下来的小波系数经过变换处理后,得到再增强的小波系数为

式(2)中,WTh(m,n)为硬阈值增强的小波系数,Wji为WTh(m,n)的系数。其曲线如图2所示。

经过硬阈值增强处理后,得到的目标图像,边缘的锐化效果较好,但缺点是像素值会相对集中于一个区域,使图像出现块效应现象[12]。

(2)软阈值去噪。给定一个阈值Tji,对任意层获得的小波系数按照式(3)计算。该小波系数的曲线如图3所示。经过软阈值增强处理得到的目标图像,在较好地减弱图像噪声的同时,也能增强目标图像的边缘细节[13]。

1.4 改进的小波变换阈值去噪算法

综合分数阶微分和小波分解各自的特征[14],提出一种更好的对图像去噪箕法,该算法称为改进的小波变换阈值去噪法。算法思想是:

(1)小波分解依次进行多层次、多尺度方面进行剖分图像,并且把目标图像中含有的高频和低频成份重构;

(2)含有8个对称方向上的分数阶微分掩膜算子,依次把目标图像中含有的高频和低频成份的图像进行处理,再把处理后的结果叠加。

在目标图像区域内,低频成份包含了轮廓特征;高频成份包含了边缘特征[15]。改进的小波变换去噪算法流程框图如图4所示。

2 小波变换图像去噪实验结果与分析

在Matlab软仵平台上,输入实际输送带裂纹图像,经过反复实验和仿真,输送带裂纹图像去噪效果比较如图5所示。原始图像如图5(a)所示,非线性的小波增强效果图像如图5(b)所示,由图5(b)可见,非线性的小波增强(传统型)算法,在一定程度上改善图像,但处理后的图像表现较暗或者较亮;虽然图像的边缘获得了增强,但细节部分并没有增强,对噪声还不能完全衰减。

硬阈值小波增强与软阈值小波增强效果图像如图5(c)和图5(d)所示。由图5(c)和图5(d)可见,硬阈值函数能够很好地将原始图像的边缘等局部特征保留下来,但会出现视觉失真情况;而软阈值处理后图像较为平滑,但会出现图像边缘模糊现象。

改进的小波变换阈值去噪效果图像如图5(e)所示,由图5(e)可见,经改进的小波变换去噪后,图像的细节表现得更为明显。原因是,图像所含的信息大部分聚集在低频部分;边缘所包含的信息聚集于中、高频部分[15]。传统小波增强可以增强图像中高频段内的信息,却失去了中频或低频部分的大量信息,因此,目标图像的质感有了变化。改进的小波变换去噪法可以保留图像大部分的低频信息,因此,去噪后的图像纹理比较清晰。

3 结束语

各种小波变换算法对图像去噪的效果不尽相同。通过实际输送带裂纹图像去噪的实验与仿真效果来看,非线性小波增强在对目标图像增强时,能够在一定程度上改善图像质量,但对噪声衰减效果欠佳。硬阈值增强算法与软阈值增强算法较好地解决了非线性小波变换去噪存在的问题,还能保持图像的边缘信息。相对而言,小波软阈值去噪法的图像质量优于小波硬阈值去噪法的图像质量。改进的小波变换阈值去噪法可以保留图像大部分的低频信息,去噪后的图像纹理比较清晰,图像的平滑度有所提高。

摘要：煤矿井下输送带裂纹原始图像含有各种噪声,在对图像处理前,需先对原始图像去噪。因此,提出一种改进的小波变换阈值去噪算法,该算法综合了分数阶微分和小波分解的算法,对目标图像依次进行多层次、多尺度的剖分,并通过含有8个对称方向上的分数阶微分掩膜算子,依次将目标图像中含有的高频和低频成份重构后再叠加。实验仿真结果表明,该算法克服了小波硬阈值去噪法存在的图像视觉失真和小波软阈值去噪法存在的图像边缘模糊等缺点,获得较好的图像去噪效果。

小波阈值算法 篇9

信号经小波变换之后,其小波系数在各尺度上有较强的相关性,尤其是在信号的边缘附近,其相关性更加明显,而噪声对应的小波系数在尺度间却没有这种明显的相关性。基于信号和噪声在不同尺度上的不同表现形态,对信号和噪声的小波变换系数进行不同处理,目的是减小以至完全剔除由噪声产生的系数,同时最大限度地保留原信号对应的小波系数。本文就是基于这个思想,对原信号和噪声进行最大限度区分,保留原信号的小波系数;对非原信号产生的小波系数结合阈值去噪法,根据该系数对应于原信号的置信程度进行最佳处理。实验结果表明,利用本算法处理的带噪图像的主、客观质量都有很好效果。

1 平稳小波变换

离散正交小波变换中,由于不存在冗余信息,其小波系数之间没有任何关联,因此无法从中找出信号随时间推移的信息,导致在小波重构中出现人工噪声,可以使用平稳小波算法克服这种缺陷。平稳小波变换是一种非正交的小波变换,其冗余性和平移不变性特别适合处理相关性问题。若正交小波滤波器H、G的系数为hj和gj,则平稳小波滤波器H*、G*的系数为为插值补零算子,即(当k不等于2r整数倍); (当k不等于2'整数倍),的关系如图1所示。

若fk为原始信号,令c0=fk,H0*=H,G0*=G,则信号的平稳小波变换为,表明信号平稳小波变换过程中不采用下抽样处理,每次平稳小波变换的逼近信号和细节信号长度与原信号长度相同,各尺度系数Sj和各个方向的小波系数Wjd(d=1,2,3)数目都与原图像相等,d代表小波子带的方向,其中尺度系数反映的是信号的低频概貌,而小波系数对那些诸如轮廓、小结构、噪声等富含高频信息的局部细节很敏感。

2 基于尺度相关程度计算图像噪声迹象

在小波域,根据含噪信号在多尺度分解后,原信号的各尺度上的系数间具有很强的相关性,而噪声产生的系数的相关性很弱或者不相关的原理,在各个小波子带上对原图像和噪声对应的小波系数进行辨别区分并作不同的处理。

定义小波相邻尺度的同一空间位置系数的相关量为相邻尺度空间的乘积,记作:

式(1)中,L表示计算乘积的尺度数,(m,n)表示系数的空间位置,j表示尺度。由于边缘等特征的位置会随着尺度的改变而发生一定的偏移,所以L取值通常为2,最多不超过3,本文取L=2。设图像经多尺度分解后得到的相邻两尺度的小波系数为,定义小波相关算子,随着尺度的增加,小波系数值会减小,为了保持小波相关算子和小波系数集在一个能量级上,对小波相关算子进行正规化,得到正规化小波相关算子:

式(2)中如果图像上任一点的正规化小波算子的绝对值大于该点小波系数的绝对值,就认为该点小波系数完全由信号产生;反之,如果该点的正规化小波算子的绝对值等于其对应的,则认为该点小波系数完全由噪声产生,由此定义置信系数如下:αjd(m,n)=

式(3)中,是一个关键量,它反映了该小波系数对应于原信号的置信程度,且的值越大,Wjd(m,n)对应信号为原信号的可能性也就越大。

3 利用尺度相关性和阈值的小波域滤波

设要处理的图像为,其中I0是无噪的原图像,n0是独立同正态分布N (0,σ2)的噪声。经过j+1层平稳小波分解后,得到j个尺度上的置信系数代表分解的尺度,d代表小波子带的方向。对来说,为1时,是原图像对应的小波系数;为0时,是噪声的小波系数;当时,越接近1,越接近原图像,越接近0则越接近噪声。对原图像的完全保留,对非原图像的结合阈值去噪方法,将用其对应的加权,由此达到对原图像的小波系数最大限度的保留。阈值处理采用硬阈值方法。

设计小波域滤波器是的二元函数:

当且时,阈值选用Donoho的VisuShrink方法[3,4]:

式(5)中,N为图像的大小,σ为噪声的标准方差。实际应用中,考虑到噪声主要集中在小尺度信号,且随着分解尺度的增大下降很快,那么阈值在大尺度上应该相对变小,在小尺度上应相对变大,故将阈值设为,j为尺度系数,的估计采用中值估计法:

算法流程图如图2所示。

4 实验结果

选择细节信息丰富的Lena图像作测试,加入均值为0,方差为1 000的高斯白噪声,并将本文方法与其他几种方法作比较,通过去噪后图像的视觉效果(如图3所示)和噪声方差不同时的PSNR曲线(如图4所示)来说明本文方法的有效性。

从图3的视觉效果来看,自适应wiener方法去噪很不彻底,且丢失了很多边缘和细节;软阈值法使图像边缘模糊比较严重;硬阈值法虽然能够较好地保留图像边缘,但图像出现振铃和伪吉布斯效应等视觉失真;使用本文方法处理后视觉效果则明显好得多,特别是在边缘和细节的保持上。从图4的PSNR曲线也可以看出,只有在噪声方差小于400时,硬阈值法的PSNR高于本文方法,但是随着噪声的增大,本文方法处理效果始终好于其他方法。由此可见,本文方法对污染严重的图像的去噪效果不论在视觉上还是在性能(PSNR)上都有明显提高。

5 结语

本文提出一种新的去噪算法,该方法基于小波的尺度相关性理论,结合小波阈值去噪方法,在小波域进行自适应滤波,很好地缓解了去噪时造成的边缘模糊和细节损失问题,对于弱细节信号的带噪图像有很好的效果。

摘要：针对图像去噪时造成的边缘模糊和细节损失问题,结合小波尺度相关性理论和经典的阈值去噪方法,提出了一种新的图像去噪算法,该算法利用不同尺度上小波系数间的相关性,对原图像和噪声对应的小波系数进行最大程度的区分,对前者予以保留,对后者则结合闽值去噪方法和该小波系数是原图像的置信程度进行处理。实验结果表明,该算法在达到很好的图像去噪的同时,能很好地保留图像的边缘和细节信息。

关键词：小波变换,尺度相关性,置信系数,阈值,自适应算法

参考文献

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