将军饮马

将军饮马（精选4篇）

将军饮马 篇1

传说古罗马时代, 亚历山大城有一位精通数学和物理的学者, 名叫海伦。一天, 一位罗马将军专程去拜访他, 向他请教一个百思不得其解的问题:将军每天从军营A出发, 先到河边C处饮马, 然后再去同侧的B地开会, 应怎样走, 才能使路程最短?这就是著名的将军饮马问题。

为了解决上面的问题, 我们回忆一下学过的数学知识中有关“线”最短的定理、公理有哪些?

1:连接两点的所有线中, 以线段为最短, 简称二点之间线段最短。

2:直线外一点和直线所有点的连线段中, 垂线段最短。

显然我们可以想到这样一个问题:如图, 设A、B两点之间有一条直线l, 直线上找一点P, 使PA+PB最短, P的位置在哪里?如何证明?

连接AB, 交直线l于点P, 则P点即为所求。设点P'是直线上异于点P的点, 则由两点之间线段最短, ∴P'A+P'B﹥AB。也可以理解为三角形两边之和大于第三边。于是, 假设在A点异侧有一个点A“影子”点A', 在l上每一个点P, 使PA=PA', 这样的点A'能确定吗?你能把“将军饮马问题”转化为易于求解的已知问题吗?显然, 作出点A关于l的对称点A', 将军饮马问题就转化为上述问题, 得以解决。同学们自己画图试一试

【拓展1】如图∠MON=45°P为∠MON内一定点, PO=5, Q、R在射线OM、ON上移动, 求△PQR周长最小值。

作点P关于OM的对称点P1, 点P关于ON的对称点P2, 连结P1P2交OM于点Q, 交ON于点R, 则△PQR周长最短。

【拓展2】河两边有A村、B村, 河宽为m, 两村要建桥通路。

1.桥CD建在何处使路程AC+BD最短?

2.如何作图确定桥的位置?

3.如何证明方案正确?

此题的难点是因为河有宽度, 阻碍了我们的思路。如果河的宽度为零, 桥缩成一个点, 我想这个问题就是问题1了吧?能否施展“魔法”将大地进行伸缩呢?

将河岸前推两岸合成一线, 此时, 点B将平移到点B', 平移了河流宽度m, 此题转化为问题1, 连接AB', 交一河岸于点C, 然后把河岸退回, 点C至点D, 点B'至点B, CD=BB', 从而可以确定桥的位置。

如图, 如果异于点C的C'点建桥, 由于桥长C'D'=CD。只要比较AC'+BD'与AC+BD的长短。∵C'D'∥B'B, 则D'B=C'B', 同理DB=CB'∴AC'+BD'=AC'+B'C'﹥AC+CB'=AC+BD。

将军饮马 篇2

在教学教研中“将军、饮马、河”的问题成为一个经典, 从而引起我更多的关于“最短距离”的思考。

问题一:如图所示, 有一位将军骑着马要从A地走到B地, 但途中马要到河里喝一次水, 将军怎样走最近。

乍一看似乎无从下手。观察发现可用“两点之间, 线段最短”来解, 方法:利用轴对称知识点, 做B点与河面的对称点B', 连接AB', 可得到马喝水的地方C。再连接CB得到这道题的解A→C→B。这就是著名的“将军饮马河”问题。如果对答案产生疑问的话, 你可以在河边任意取一点C'连接AC'、C'B、C'B', 利用三角形知识中“两边之和大于第三边”比较一下就会明白了!可见, 在初中数学教学中, 知识的内在联系和恰当应用是非常重要的。

问题二:如图, 在正方形ABCD中, AB边上有一点E, AE=3, EB=1, 在AC上有一点P, 使EP+BP为最短。求:最短距离EP+BP。

分析:此题中, 点E、B的位置就相当于问题一中的点A、B, 动点P所在直线 (作为对称轴) 相当于问题一中的小河。故根据正方形沿对角线的对称性, 可得无论P在什么位置, 都有PD=PB, 故均有EP+BP=PE+PD成立;所以原题可以转化为求PE+PD的最小值问题, 分析易得连接DE与AC, 它们的交点就是要求的点的位置。这道习题考核的知识点虽然是最短距离的问题, 但是又和正方形所具有的图形性质以及轴对称知识相结合, 体现了知识的内在联系, 同时又为我们展现了相同知识点的不同的考核方式。

教学中在此知识掌握的基础上, 我又引申出一个新的思考, 那就是“三角形周长最短”的问题:

问题三:A是锐角∠MON内部任意一点, 请在∠MON的两边OM, ON上分别取一点B, C组成三角形ABC, 并使三角形ABC的周长最小。

解析:利用问题一的结论, 我们可以作点A关于直线OM的对称点D和点A关于直线ON的对称点E。连接DE (如图所示) , 据上题铺垫, 我们可得, AB=BD, AC=CE, 又因为D、B、C、E在一条直线上, 所以, 这时得到的三角形的周长是最短的。

总结:本题可总结为“三角形的一点决定”。

问题四:AB是锐角∠MON内部的一条线段, 请在∠MON的两边OM, ON上各取一点C, D组成四边形, 使四边形周长最小。

解析:有了上一题的铺垫, 本题似乎简单了许多, 作点A关于直线OM的对称点E, 再作点B关于ON的对称点F, 连接EF即可。如下图, 四边形ACDB的周长便是最小的。

“将军饮马问题”的探究与启示 篇3

基本问题:人教版八年级数学上册P42有一道探究题, 源于古希腊著名的“将军饮马问题”, 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.课文原题如下:如图1, 要在燃气管道l上修建一个泵站, 分别向A, B两镇供气, 泵站修在管道的什么地方, 可使所用的输气管线最短?

课本给出了如下的作图及证明方法:

如图2, 作B关于直线l的对称点B′, 连接AB′与直线l交于点C, 点C就是所求的位置.

证明 如图3, 在直线l上另任取一点C′, 连接AC′, BC′, B′C′.

∵直线l是点B, B′的对称轴, 点C, C′在l上,

∴CB=CB′, C′B=C′B′, ∴AC+CB=AC+CB′=AB′.

在△AC′B′中, ∵AB′

∴AC+CB

反思 本问题实际上是利用轴对称变换的思想, 把A, B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧, 从而可利用“两点之间线段最短”, 即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决 (其中C在AB′与l的交点上, 即A, C, B′三点共线) .本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型.

二、问题探讨

1.在三角形 (或四边形) 中的运用

例1 如图4, 已知正方形ABCD的边长为8, M在DC上, 且DM=2, N是AC上的一动点.则DN+MN的最小值为多少?

分析 要求DN+MN的最小值, 联想我们所学过的知识, 什么情况下两条线段加起来长度会达到最短?DN和MN是在同一个三角形中, 我们没办法在△DMN中来做, 所以我们想法作点M关于AC的对称点E (如图5) , 且易知点E应该在线段BC上, 这样MN=NE, 那么题目就转化成求DN+NE的最小值了, 由于点N在AC上移动且D, N, E可能构成一个三角形, 因为“两点之间线段最短”, 所以, 当点N移动到DE与AC交点处, 即点D, N, E共线时, DN+NE=DE=10, 达到最小值.

反思 若引导学生把题中的D, M看成是基本问题中的A, B两点, 把AC看成是基本问题中的燃气管道l, 本问题即为基本问题, 学生可通过基本问题的联想和迁移解决本问题.

2.在平面直角坐标系中的运用

例2 (2009年济南) 如图6, 已知抛物线的对称轴为x=-1, 与x轴交于A, B两点, 与y轴交于点C, 其中A (-3, 0) , C (0, -2) .

(1) 求这条抛物线的函数表达式;

(2) 已知在对称轴上存在一点P, 使得△PBC的周长最小.请求出点P的坐标;

(3) 若点D是线段OC上的一个动点 (不与点O、点C重合) .过点D作DE//PC交x轴于点E, 连接PD, PE.设CD的长为m, △PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值, 若存在, 请求出最大值;若不存在, 请说明理由.

分析 (本题只对第 (2) 问作详细分析) (1) 抛物线的解析式为undefined连接AC, BC.因为BC的长度一定, 要使△PBC周长最小, 就是使PC+PB最小.B点关于对称轴的对称点是A点, 通过A (-3, 0) , C (0, -2) 可求AC的解析式为undefined与对称轴x=-1的交点即为所求的点undefined当m=1时, undefined

反思 本题对第 (2) 问的解答是转化为“求定直线x=-1上一动点与直线外两定点B, C的距离和的最小值”, 它的原型就是“将军饮马问题”的基本问题, 由于和函数结合一起, 增加了命题的想象空间, 这里, 蕴涵了丰富的“数”与“形”相互转化的数学思想.

3.在代数式中的运用

例3 已知a, b均为正数, 且a+b=12, 求代数式undefined的最小值.

分析 由a, b均为正数, 且a+b=12, 得undefined, 构造合适图形可将其转化为求两条线段和的最小值问题.如图8, 取AC=2, BD=3, AB=12, 作C关于AB的对称点C′, 连接C′D交AB于P, 连接CP, 设PA=a, 则undefined.此时C′, P, D三点共线, undefined为最小值.

反思 正是由于a, b均为正数, 可以把此题构造成“将军饮马问题”的基本图形, 顺利地求出undefined的最小值为13, 想法新奇但又顺理成章.

三、问题推广

1.由“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”推广到“求两定直线上各一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题

例4 (义务教育课程标准实验教科书八年级上册P47第9题) 如图9, A为马厩, B为帐篷, 牧马人某一天要从马厩牵出马, 先到草地边某一处牧马, 再到河边给马喝水, 然后回到帐篷, 请你帮助他确定这一天的最短路线.

分析 如图10, 作A关于ON的对称点E, B关于OM的对称点F, 连接EF交ON于C, 交OM于D, 连接AC, BD, 即可得出答案.

证明 如图11, 在ON上任意取一点T, 在OM上任意取一点R, 连接FR, BR, RT, ET, AT.

∵A, E关于ON对称, ∴AC=EC.

同理BD=FD, FR=BR, AT=ET,

∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF,

AT+TR+BR=ET+TR+FR.

∵ET+TR+FR>EF,

∴AC+CD+DB

即沿AC-CD-DB路线走是最短的路线.

反思 根据对称点推出AC=EC, BD=FD, FR=BR, AT=ET, 则四点E, C, D, F在同一直线上 (基本问题中三点共线的推广) , 根据两点之间线段最短即可求出答案.

2.从用“三角形周长最短”证明推广到用“一边为定值的四边形周长最短”的证明

例5 (2010年天津) 如图12, 在平面直角坐标系中, 矩形OACB的顶点O在坐标原点, 顶点A, B分别在x轴、y轴的正半轴上, OA=3, OB=4, D为边OB的中点.

(1) 若E为边OA上的一个动点, 当△CDE的周长最小时, 求点E的坐标;

(2) 若E, F为边OA上的两个动点, 且EF=2, 当四边形CDEF的周长最小时, 求点E, F的坐标.

分析 (1) 由于C, D是定点, 则CD是定值, 如果△CDE的周长最小, 即DE+CE有最小值.为此, 作点D关于x轴的对称点D′, 当点E在线段CD′上时, △CDE的周长最小.

(2) 由于DC, EF的长为定值, 如果四边形CDEF的周长最小, 即DE+FC有最小值.为此, 作点D关于x轴的对称点D′, 在CB边上截取CG=2, 当点E在线段D′G上时, 四边形CDEF的周长最小.

反思 此题主要考查轴对称——最短路线问题 (将军饮马问题) , 它是在基本图形证明线段和 (一边为定值的三角形周长) 最短的基础上增加了平移的线段 (GE) 和 (两边为定值的四边形周长) 最短的问题, 只要学生充分体会“将军饮马”的问题, 通过对基本问题知识的类比与迁移, 可以解决此问题.

四、问题启示

基于对“将军饮马问题”的探索, 笔者认为对数学教育工作者有两方面的启示:

1.对习题设计者 (试卷命题者) 的启示

对习题的变式题的设计要“从学生发展的内在需要出发, 从教学内容的发生、发展过程的角度出发”, 能融数学的教与学为一体, 重视知识的形成过程, 重视知识的“内化”;对试题的设计要立足于教材, 对例题或基本图形进行深入的挖掘, 以教材的例题或基本图形为起点, 结合学生的生活经历, 难度视本题型在试卷所处的位置而定.

2.对教师教学的启示

从本文的解法反思中可以看出, 即使是比较复杂的问题, 所用到的知识也是简单的基础知识, 这就要求教师在日常的教学中, 特别是单元复习和中考复习时, 不仅要从不同角度去分析问题, 还原知识的发生、发展及形成的过程, 教给学生解题的方法, 而且要与学生共同探究基本问题与解题的联系, 使学生能够说出“为什么这样想”“用到哪些知识”等, 增强学生解答综合题的信心, 提高学生解答综合题的成功率.

参考文献

[1]金建荣.趣谈将军饮马问题[J].中学生数学 (初中版) , 2005 (2) .

由“将军饮马”引申的竞赛题简析 篇4

精通数学、物理的海伦稍加思索, 便回答了这个问题。这个问题后来被称为“将军饮马”问题。其解法如下:

(1) 作出A点关于河岸的对称点A';

(2) 连接A'B, 交河岸于C, C点即为所求的点。即:从A地到C处饮马, 再从C处去B地, 所走的总路程最短。

证明略。

这一流传近2 000年的名题, 仍有良好的教育功能, 至今还被命题者所喜爱, 并通过改编和引申编出许多竞赛题, 这些题目都是有关线路最短问题, 其解题的基本思路是利用两点之间线段最短。

一、把A, B位置放在河的两岸, 引申成建桥问题。

例1如图2, 某工厂A在河的对岸有一分厂B, 为了便利A, B间的往来, 要在河上造一座桥。为了使A, B之间路程为最短, 问桥应造在什么地方?在图上 (假设河两岸MN与PQ平行, A, B连线与MN不垂直) 作出桥的位置, 写出作法, 并加以证明。 (1990年绍兴市初二数学竞赛题) 。

作法: (1) 自A作NM的垂线, 并取AA'等于河宽 (即两平行线间的距离) 。

(2) 连接A'B交PQ于D。

(3) 过D作CD⊥PQ交MN于C。

(4) 折线ACDB是自A到B的最短路程, CD是架桥位置。

二、把A、B位置放在两河的对岸, 引申为建两桥问题

例2如图3所示, A, B两个村之间有两条平行的河 (一河宽为a, 另一河宽为b) , 从A至B经过两座垂直于河岸的桥, 要使路途最近, 请你设计修桥地点, 并说明根据。 (1986年宿州市初中数学竞赛题) 。

解:设河岸分别为l1, l2, l3, l4 (如图4) 。

(1) 过A作AA1⊥l1, 使AA1=a, 过B作BB1⊥l4, 使BB1=b。

(2) 连接A1B1, 分别交l2, l3于M, N, 则M, N便是修桥地点。设垂直于河岸的桥分别为MM1, NN1, 则从A到B可沿折线AM1MNN1B行走, 折线为A到B的最短路线。

证明:若另选修桥地点, 设在M', N'处。所修垂直于河岸的桥是M'M2, N'N2, 则从A到B须经折线AM2M'N'N2B。连接A1M'、B1N', 显然A1M'=AM2, B1N'=BN2, 因此, 折线AM2M'N'N2B=折线AA1M'N'B1B。而折线AM1MNN1B=折线AA1MNB1B, 又折线A1M'N'B1>线段A1B1, 故折线AM2M'N'N2B>折线AM1MNN1B。

即折线AM1MNN1B为从A经过两座垂直于河岸的桥到达B点的最短路线。

三、把背景放在两河之间, 编成新题

例3如图5, 两条河交汇于O点, 夹75°角, 旅行家住在P点, 离O点200米, 离河岸AO为100米, 他希望到AO上任一点C处欣赏风光, 再折到河岸BO上任一点D处眺望景物, 最后回到住地。则旅行家最少要走__________米路程 (答准确数) (第四届五羊杯初三数学竞赛试题) 。

简解 如图6, 分别作点P关于OA, OB的对称点P1, P2, 连结P1P2分别交OA, OB于点C, D, 连接PC, PD, 容易证明PC=P1C, PD=P2D, 且折线PCDP为最少路程。

设PP1交OA于E, 则PE⊥OA, PE=100 m, 又∵PO=200 m, ∴∠POE=30°, ∠OPE=60°, 又∠AOB=75°, ∴∠OPP2=∠POB=45°, ∴∠P1PP2=105°。由余弦定理, 得

因此旅行家最少要走米。

把例3抽象化为几何问题就有:设∠a是一个锐角, A点是∠a内部的一个已知点。今要在∠a的一条边上找到一点B, 在∠a的另一条边上找到一点C, 使△ABC的周长为最小。试问应如何确定B点与C点的位置?

四、把A, B位置放在河的沿岸, 改编成安装电线问题

例4如图7, 江宽a里, 两岸几乎是平行线。江滨电力厂 (A) 向下游对岸工厂 (B) 供电, 单位长电线的安装费水底是陆上的m倍, 应该怎样安装电线使得费用最省? (福州市1963年中学生数学竞争试题)

简解过A作直线l与AC成角a, 使。设电线在D'处入水, 作D'E'⊥l, 垂足为E', 则y=A D'B=m (D'E'+D'B) 。

显然当B, D', E'三点共线时, 折线B D'E'的长D'E'+D'B最小, 于是, 过B作l垂线交AC于点D, 则D点就是电线入水处。这时, CD=a。