《李将军列传》的启示

《李将军列传》的启示（精选2篇）

《李将军列传》的启示 篇1

一、问题再现

基本问题:人教版八年级数学上册P42有一道探究题, 源于古希腊著名的“将军饮马问题”, 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.课文原题如下:如图1, 要在燃气管道l上修建一个泵站, 分别向A, B两镇供气, 泵站修在管道的什么地方, 可使所用的输气管线最短?

课本给出了如下的作图及证明方法:

如图2, 作B关于直线l的对称点B′, 连接AB′与直线l交于点C, 点C就是所求的位置.

证明 如图3, 在直线l上另任取一点C′, 连接AC′, BC′, B′C′.

∵直线l是点B, B′的对称轴, 点C, C′在l上,

∴CB=CB′, C′B=C′B′, ∴AC+CB=AC+CB′=AB′.

在△AC′B′中, ∵AB′

∴AC+CB

反思 本问题实际上是利用轴对称变换的思想, 把A, B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧, 从而可利用“两点之间线段最短”, 即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决 (其中C在AB′与l的交点上, 即A, C, B′三点共线) .本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型.

二、问题探讨

1.在三角形 (或四边形) 中的运用

例1 如图4, 已知正方形ABCD的边长为8, M在DC上, 且DM=2, N是AC上的一动点.则DN+MN的最小值为多少?

分析 要求DN+MN的最小值, 联想我们所学过的知识, 什么情况下两条线段加起来长度会达到最短?DN和MN是在同一个三角形中, 我们没办法在△DMN中来做, 所以我们想法作点M关于AC的对称点E (如图5) , 且易知点E应该在线段BC上, 这样MN=NE, 那么题目就转化成求DN+NE的最小值了, 由于点N在AC上移动且D, N, E可能构成一个三角形, 因为“两点之间线段最短”, 所以, 当点N移动到DE与AC交点处, 即点D, N, E共线时, DN+NE=DE=10, 达到最小值.

反思 若引导学生把题中的D, M看成是基本问题中的A, B两点, 把AC看成是基本问题中的燃气管道l, 本问题即为基本问题, 学生可通过基本问题的联想和迁移解决本问题.

2.在平面直角坐标系中的运用

例2 (2009年济南) 如图6, 已知抛物线的对称轴为x=-1, 与x轴交于A, B两点, 与y轴交于点C, 其中A (-3, 0) , C (0, -2) .

(1) 求这条抛物线的函数表达式;

(2) 已知在对称轴上存在一点P, 使得△PBC的周长最小.请求出点P的坐标;

(3) 若点D是线段OC上的一个动点 (不与点O、点C重合) .过点D作DE//PC交x轴于点E, 连接PD, PE.设CD的长为m, △PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值, 若存在, 请求出最大值;若不存在, 请说明理由.

分析 (本题只对第 (2) 问作详细分析) (1) 抛物线的解析式为undefined连接AC, BC.因为BC的长度一定, 要使△PBC周长最小, 就是使PC+PB最小.B点关于对称轴的对称点是A点, 通过A (-3, 0) , C (0, -2) 可求AC的解析式为undefined与对称轴x=-1的交点即为所求的点undefined当m=1时, undefined

反思 本题对第 (2) 问的解答是转化为“求定直线x=-1上一动点与直线外两定点B, C的距离和的最小值”, 它的原型就是“将军饮马问题”的基本问题, 由于和函数结合一起, 增加了命题的想象空间, 这里, 蕴涵了丰富的“数”与“形”相互转化的数学思想.

3.在代数式中的运用

例3 已知a, b均为正数, 且a+b=12, 求代数式undefined的最小值.

分析 由a, b均为正数, 且a+b=12, 得undefined, 构造合适图形可将其转化为求两条线段和的最小值问题.如图8, 取AC=2, BD=3, AB=12, 作C关于AB的对称点C′, 连接C′D交AB于P, 连接CP, 设PA=a, 则undefined.此时C′, P, D三点共线, undefined为最小值.

反思 正是由于a, b均为正数, 可以把此题构造成“将军饮马问题”的基本图形, 顺利地求出undefined的最小值为13, 想法新奇但又顺理成章.

三、问题推广

1.由“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”推广到“求两定直线上各一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题

例4 (义务教育课程标准实验教科书八年级上册P47第9题) 如图9, A为马厩, B为帐篷, 牧马人某一天要从马厩牵出马, 先到草地边某一处牧马, 再到河边给马喝水, 然后回到帐篷, 请你帮助他确定这一天的最短路线.

分析 如图10, 作A关于ON的对称点E, B关于OM的对称点F, 连接EF交ON于C, 交OM于D, 连接AC, BD, 即可得出答案.

证明 如图11, 在ON上任意取一点T, 在OM上任意取一点R, 连接FR, BR, RT, ET, AT.

∵A, E关于ON对称, ∴AC=EC.

同理BD=FD, FR=BR, AT=ET,

∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF,

AT+TR+BR=ET+TR+FR.

∵ET+TR+FR>EF,

∴AC+CD+DB

即沿AC-CD-DB路线走是最短的路线.

反思 根据对称点推出AC=EC, BD=FD, FR=BR, AT=ET, 则四点E, C, D, F在同一直线上 (基本问题中三点共线的推广) , 根据两点之间线段最短即可求出答案.

2.从用“三角形周长最短”证明推广到用“一边为定值的四边形周长最短”的证明

例5 (2010年天津) 如图12, 在平面直角坐标系中, 矩形OACB的顶点O在坐标原点, 顶点A, B分别在x轴、y轴的正半轴上, OA=3, OB=4, D为边OB的中点.

(1) 若E为边OA上的一个动点, 当△CDE的周长最小时, 求点E的坐标;

(2) 若E, F为边OA上的两个动点, 且EF=2, 当四边形CDEF的周长最小时, 求点E, F的坐标.

分析 (1) 由于C, D是定点, 则CD是定值, 如果△CDE的周长最小, 即DE+CE有最小值.为此, 作点D关于x轴的对称点D′, 当点E在线段CD′上时, △CDE的周长最小.

(2) 由于DC, EF的长为定值, 如果四边形CDEF的周长最小, 即DE+FC有最小值.为此, 作点D关于x轴的对称点D′, 在CB边上截取CG=2, 当点E在线段D′G上时, 四边形CDEF的周长最小.

反思 此题主要考查轴对称——最短路线问题 (将军饮马问题) , 它是在基本图形证明线段和 (一边为定值的三角形周长) 最短的基础上增加了平移的线段 (GE) 和 (两边为定值的四边形周长) 最短的问题, 只要学生充分体会“将军饮马”的问题, 通过对基本问题知识的类比与迁移, 可以解决此问题.

四、问题启示

基于对“将军饮马问题”的探索, 笔者认为对数学教育工作者有两方面的启示:

1.对习题设计者 (试卷命题者) 的启示

对习题的变式题的设计要“从学生发展的内在需要出发, 从教学内容的发生、发展过程的角度出发”, 能融数学的教与学为一体, 重视知识的形成过程, 重视知识的“内化”;对试题的设计要立足于教材, 对例题或基本图形进行深入的挖掘, 以教材的例题或基本图形为起点, 结合学生的生活经历, 难度视本题型在试卷所处的位置而定.

2.对教师教学的启示

从本文的解法反思中可以看出, 即使是比较复杂的问题, 所用到的知识也是简单的基础知识, 这就要求教师在日常的教学中, 特别是单元复习和中考复习时, 不仅要从不同角度去分析问题, 还原知识的发生、发展及形成的过程, 教给学生解题的方法, 而且要与学生共同探究基本问题与解题的联系, 使学生能够说出“为什么这样想”“用到哪些知识”等, 增强学生解答综合题的信心, 提高学生解答综合题的成功率.

参考文献

[1]金建荣.趣谈将军饮马问题[J].中学生数学 (初中版) , 2005 (2) .

[2]刘金英, 张义民, 王立明.中考数学试题分类解析 (二) [J].中国数学教育 (初中版) , 2011 (1-2) .

《李将军列传》的启示 篇2

一、成也其能

对于李广的才能, 我们后人基本上是从《史记》中认识到的, 那么司马迁笔下的李广究竟有何才能呢?

1. 射技高超

文中突出表现在以下几处: (1) 李广家世代学习射法, 因为善骑射、杀敌多, 而被封为汉中郎。 (2) 中贵人带领数十骑兵, 被匈奴三射雕手射杀殆尽, 李广亲自射那三人, 杀死两人, 活捉一人。

2. 足智多谋

李广在射杀匈奴射雕手后, 发现匈奴的数千骑兵, 此时, 他表现得从容镇定, 以进为退, 以假乱真, 迷惑了敌人, 保全了自身。

3. 勇猛过人

(1) 李广射杀匈奴三射雕手, 不用其骑兵, 而亲自射杀, 不仅是射技高超, 更显其勇猛。 (2) 李广被擒时, 匈奴人把他放网里躺着, 他居然能腾跃而起, 骑上胡儿的好马, 射杀追骑, 最终逃脱。 (3) 李广居右北平时, 亲自射虎, 出猎时, “中石没镞”。

4. 善待士卒

李广带兵每逢遇到粮食和水缺乏的处境时, 在士兵没有全部喝完、吃完的情况下, 自己是不会喝水、吃饭的。有人说他是我国历史上第一个官兵一致的将领, 成为后来许多将领的楷模。

可以说正是这些才能成就了李广“飞将军”之美名。后来的文人墨客也对“飞将军”传诵不衰, 使李广成为老百姓心中一个不朽的形象。然而就是这样一位令敌人闻之丧胆, 令士卒爱戴, 令百姓敬仰的将军的人生仕途为何不顺呢?他的人生悲剧是“数奇”原因呢, 还是人为造成的呢?后人读《史记》, 大部分人认为司马迁将造成李广悲剧的矛头指向汉武帝及卫青等人, 是人为因素酿成李广的悲剧。我认为外在因素仅仅是起推动作用的, 李广的人生悲剧更是个人性格悲剧。那么李广的突出性格特征是什么呢?通读《李将军列传》, 我认为这个性格特征就是“自恃其能”。

二、败也其能

1. 逞匹夫之勇

中贵人带领数十骑兵被匈奴三射雕手射杀殆尽, 李广竟带一百多骑兵追杀三个人, 结果遇到匈奴大部队, 虽然用疑兵之计, 得以脱身, 但作为一名将帅竟然鲁莽地丢下自己的大军, 追杀三个射雕手, 大军都不知自己的统帅到哪去了, 试想如果疑兵之计骗不过敌人, 那后果将是怎样?这显然不是一个称职的将帅所为, 反而是匹夫之勇, 是逞能行为, 从中也让我们看出李广缺乏将帅的指挥才能的事实。

2. 心胸狭窄, 公报私仇

李广被贬为庶民后, 与故灌颖阴侯孙出猎时, 经过霸陵, 霸陵尉阻止他经过, 说就是现在的将军也不能在夜间经过, 更不必说以前的将军了, 但李广并不这样想, 他认为我这大名鼎鼎的飞将军谁不知, 现任将军不能经过, 我也能经过。没想到霸陵尉的那一句话, 惹来了后来被杀的灾难。试想那个霸陵尉所为可能只是恪尽职守, 按章办事, 并无过错。俗话说“宰相肚里能撑船, 将军额头能跑马”, 但李广似乎没有将军的风范, 可以说这给他人生留下了重重的污迹。

3. 多次犯上

元狩四年, 大将军、骠骑将军出击匈奴, 李广请求随行出战, 汉武帝认为他已老, 就没同意他出战, 但在李广多次请求之下, 汉武帝最终同意了他出战, 并任他为前将军。实际上李广已经犯了大忌, 那就是触犯了皇上, 我们都知道皇上的话是一言九鼎的, 尽管李广是想为国建功, 但是他的举动显然并不合汉武帝的意愿, 所以也就有后来汉武帝私下里告诫卫青不要让李广担当重任的事。李广不仅触犯了汉武帝, 也触犯了大将军卫青。当卫青下令李广徙并于右将军军部时, 李广坚决向卫青辞免徙并, 在大将军不同意的情况下, 李广竟然不辞而别, 对上司连最基本的礼节都没有, 当然就是犯上。

4. 固执己见, 不知变通

选文中讲到“其射, 见敌急, 非在数十步之内, 度不中不发, 发即应弦而倒。用此, 其将兵数困辱, 其射猛兽亦为所伤云”。我们肯定李广百中百发的高超射艺, 只可惜他带兵屡次受困受辱, 自己也常被猛兽所伤。俗话说“穷则思变”, 但李广固执己见, 不思变通。这实际上是战术上的错误。如果我们对历史有点了解的话, 就应该知道汉文帝、汉景帝时, 汉朝对匈奴作战基本以防守为主, 当然李广的射艺可能还比较容易发挥。但到汉武帝时, 汉对匈作战已经采用主动出击的骑兵奔袭作战策略, 这种情况下, 李广仍然“非在数十步内, 度不中不发”, 其将兵怎能不受困辱, 怎能建功立业呢?

以上种种表现都是李广“自恃其能”的性格在作祟, 最终酿成了悲惨的结局。