洛伦兹曲线（精选4篇）
洛伦兹曲线 篇1
随着经济的发展, 国家之间、国内社会成员之间收入分配差距日益扩大, 贫富差距问题已成为人们日益关心和争论的热门话题[1]。
洛仑兹曲线与基尼系数分别是国际上用来衡量一个国家或地区经济部门专门化 (集中化) 程度及国民收入分配不平等 (贫富分化) 程度的坐标图形和分析指标。不仅可以用来静态地刻画一个国家或地区的财富分配情况及社会稳定性, 而且可以用于检验政府政策在调节收入分配上的作用。基尼系数可以把分析结果用一束精确的具体数据表示出来, 具有可量化性和确切性。然而, 这一精确的数字是建立在拥有准确的洛伦兹曲线之上的。由此可见, 洛伦兹曲线和基尼系数存在着密切的内在联系。
1 洛伦兹曲线新模型
本文通过2006年湖北省农村、城镇的收入分组数据 (见表1) , 分别针对性地拟合出适合农村的洛伦兹曲线模型和适合城镇的洛伦兹曲线模型。
1.1 农村收入分组数据的洛伦兹曲线模型
2006年湖北省农村收入分组数据如表1所示。表1中, [xi, xi+1]为收入区间, 单位为元;fi是该区间内的人口比例;IUi (Income Uunits) 是所调查收入区间在[xi, xi+1]的单位数目;CAi (Class Average) 是这些单位在区间[xi, xi+1]的平均收入;pi是[0, xi+1]中人口比例;Li是[0, xi+1]中人口拥有的总收入比例, 因此 (pi, Li) 是洛伦兹曲线上的点。首先画出数据散点图, 如图1所示。
结合表1的数据, 用最小二乘法Matlab实现, 可以分别求出a、b、g、h的值:
将所建立的新模型应用于表1的数据, 绘制出农村收入数据模型拟合曲线, 如图2所示。然后再通过Excel运用回归分析法做回归统计, 结果如表2所示。
从图2拟合曲线可以直观看出, 拟合曲线非常接近数值点;从表2回归统计值可以看出, 拟合度R2=0.999999 13, 拟合效果很好。
1.2 城镇收入分组数据的洛伦兹曲线模型
2006年湖北省城镇收入分组数据如表3所示。
将农村收入分组数据稍作修正, 建立城镇收入分组数据的模型为:
用同样的方法求出:
将所建立的新模型应用于表3的数据, 绘制出城镇收入数据模型拟合曲线如图3所示。然后再通过Excel运用回归分析法做回归统计, 结果如表4所示。
从图3拟合曲线可以直观看出, 拟合曲线非常接近数值点;从表4回归统计值可以看出, 拟合度R2=0.999998 504, 拟合效果很好。
2 模型对比
第1种模型, L1 (P) =1- (1-P) β;
第3种模型,
第5种模型,
第6种模型,
第7种模型,
第8种模型,
第9种模型,
3 结论
分析表5数据, 可以得出如下结论:1第2种模型的城镇收入分组数据的最大绝对误差、平均绝对误差、均方误差均大于本文模型, 农村收入分组数据的平均绝对误差小于新模型, 然而最大绝对误差、均方误差却大于新模型, 从其拟合度0.999 998 882小于新模型可以看出, 第2种模型拟合效果不如新模型;2第9种模型的农村收入分组数据的最大绝大误差虽然小于新模型, 但是平均绝对误差、均方误差却大于新模型, 这说明新模型的拟合效果还是要好些, 从其拟合度0.999 998 117小于新模型可以看出;3第10种模型的城镇收入分组数据最大绝大误差虽然小于新模型, 但是平均绝对误差、均方误差却大于新模型, 这说明新模型的拟合效果较好些, 从其拟合度0.999 998 437小于新模型可以看出;4第11、12、13种模型的城镇收入分组数据最大绝对误差、平均绝对误差、均方误差均大于本文模型, 但是农村收入分组数据最大绝对误差、平均绝对误差、均方误差均小于本文模型, 尽管如此, 二者误差数据数值很接近, 这可能是因为农村收入的离散性比城镇要大, 故此产生一些偏差。
结合上述分析, 第1种模型到第10种模型的拟合精度没有新模型效果好, 第11种模型到第13模型的农村收入分组数据最大绝对误差、平均绝对误差、均方误差均小于本文模型, 但是城镇收入分组数据最大绝对误差、平均绝对误差、均方误差均大于本文模型。从整体效果来看, 本文对农村和城镇收入分组数据各提出的一个新模型, 拟合效果较好。
参考文献
[1]李聪睿.计算基尼系数的算法研究及其应用[J].广东工业大学学报, 2005 (2) :125-128.
洛伦兹曲线 篇2
1970年出现的阿特金森定理建立了比较收入分配的第一种方法, 即将洛伦兹曲线与社会福利联系在一起。阿特金森定理影响巨大, 它在很大程度决定了后续研究的结构和程序。实际上, 现有的两种基本分析框架, 一种是洛伦兹曲线, 另一种是Shorrocks在1983年提出的一种变相, 即所谓的广义洛伦兹曲线。
我们可以用不同收入集团的收入份额占总收入的份额来测定收入分配的不公平程度, 如将总人口的10%最穷人的收入占总收入的比重大小进行分析, 同时可以对10%最富的人所占的总收入份额与最穷10%的人进行比较分析, 以观察现有的收入分配是否公平, 对不同收入阶层居民的影响大小, 以便依此对现行政策进行进一步的调整优化。洛伦兹曲线包含了收入分配中所有关于分位数份额的信息, 依据收入的多少从低到高排列收入单位, 沿横轴将相对人口积累比例从0增加到1, 按照这些收入单位的收入占总收入的累计份额作图所得到的曲线即洛伦兹曲线。
只要存在不公平, 那么每个“高分位数”阶层的收入份额总比他们所占人口的比例高, 并且每一个从最低收入开始的分位数阶层的收入份额将低于其人口份额。通过不同洛伦兹曲线的比较可以直接观察到两种收入分配的不公平程度, 也可求出基尼系数进行比较分析, 但无论是洛伦兹曲线还是相对应的基尼系数都存在着一些无法忽视的问题, 它们只能体现收入分配的不平等情况, 不能体现总收入的规模或人口数量。为了使不同收入分配的相对福利水平更加准确, 除了洛伦兹曲线的形状之外引入平均收入及收入差距的附加信息, 形成广义洛伦兹曲线。
二、分析方法及来源
为了对不同阶段社会福利水平进行比较, 本文做如下假设:收入分配中的社会福利可以用严格凹的收入效用函数计算出来的平均效用衡量。收入分配{x1, x2, …, xN}中的社会福利可以表示为
用W1来表示假设所描述的社会福利函数并把这类社会福利函数写成W∈W1。U (x) 的严格凹是保证从富人向穷人的收入转移使社会福利增加的充分必要条件, 附加限制条件以便集中分析满足科尔姆原则的社会福利函数W1, 实际等同U″ (x) >0, 把这类社会福利函数写成W∈W2。依据阿特金森推论, 令A和B表示两种收入分配。
对于所有p∈[0, 1], W∈W1
其中μ表示平均收入, L (p) 表示洛伦兹曲线, W表示社会福利, p表示人口比例。公式 (1) 的结果代表A种收入分配方式比B种分配方式更具社会福利优势。
舒罗克斯对阿特金森定理进行了扩展, 首先将收入分配A中的广义洛伦兹曲线定义为GLA=μAL (p) , 广义的洛伦兹曲线优势正是公众接受福利的充分必要条件的标准。依据舒罗克斯定理, 令A和B是两种收入分配, 于是有
在实际的比较中, 可能会出现两条广义洛伦兹曲线相交的情况, 虽然从理论上讲可能存在多个交点, 但在实践中这种情况并不常见, 广义洛伦兹曲线最常见的情况是有一个交点。依据达戴诺尼和拉姆伯特定理, 假定收入分配A和B的广义洛伦兹曲线相交于一点, 如果
如果
其中z是任何一种收入分配中的最高收入, W不包括最小不公平厌恶社会福利函数。
式 (1) 、 (2) 、 (3) 作为序数比较方法, 不能对所有可能的社会状态进行社会福利比较, 依据Sen提出的社会福利函数, 得出社会福利指数, 即
数据来源:《中国统计年鉴》2001~2012年数据整理
其中wA指A种方法的社会福利指数, GA是A种方法的基尼系数。依据Chatterjee、Podder和Mukhopadhaya思想, 可以整理出以下比较方法, 即
表示与A方法的收入分配相比, B方法更具有社会福利优势。尽管式 (4) 只是社会福利帕累托改善的必要而非充分条件, 但它仍旧可以对总体社会福利进行比较。
根据式 (1) 、 (2) 、 (3) 、 (4) 的应用, 可以对我国2000年以来各年度社会福利状况的改善状情况进行比较分析。
三、基于我国城乡居民年度福利状况的实证分析
2000年以来, 随着我国经济的飞速发展, 城乡居民收入水平上升趋势明显, 但贫富收入阶层间的收入差距不断扩大, “贫者愈贫, 富者愈富”现象越来越明显, 2000~2011年各年度的洛伦兹曲线和基尼系数的比较如表1所示。
由表1可知, 从2000年以来, 城镇居民收入分配的不平等状况并未得到应有的改善, 在2000~2005年间洛伦兹曲线呈下降趋势, 依据公式 (1) 可以看出, 单以收入分配平均水平来看, 城镇居民收入分配格局进一步恶化, 虽然在2006~2011年得到一定控制, 贫富差距并未进一步增加, 但并未有明显好转的趋势。由基尼系数的变化趋势也可证明这一观点, 基尼系数由2000年的0.2376持续上升到2005年的0.316, 2006年后一直保持在0.31上下浮动, 2010~2011年达到六年来最低的0.305。2000~2005年的洛伦兹曲线没有交点, 而2006~2011年的洛伦兹曲线均相交。
由公式 (2) 可知, 与洛伦兹曲线相比, 广义洛伦兹曲线更能代表社会福利水平, 将人均收入这一因素加入后得到城镇居民广义洛伦兹曲线。加入人均收入因素的城镇居民广义洛伦兹曲线会有明显变化, 2000~2003年的广义洛伦兹曲线有交点, 其中2000年与2002、2003年各有一个交点, 2001年与2002、2003年同样各有一个交点, 而2004~2011年的广义洛伦兹曲线则没有交点, 社会福利水平完全呈逐年递增状态。2000~2003年社会福利优势见表2。
广义洛伦兹曲线可观察到, 福利水平2000年低于2001年, 2002年低于2003年, 利用公式 (3) 对2001年广义洛伦兹曲线与2002年广义洛伦兹曲线进行福利优势比较, 最终得出2001年的福利水平低于2002年, 由传导性可得出2000~2003年福利水平递增。由此, 整体上2000~2011年福利优势逐年递增, 说明从城镇居民最终所得福利角度来看, 我国经济发展引起的居民收入增长抵消了收入结构不合理造成的福利损失。虽然城镇居民贫富差距扩大并未得到有效解决, 但最终城镇居民福利水平呈逐年上升趋势。从另一角度看, 如果城镇居民收入差距过大问题不能得到有效改善, 随着我国经济发展陷入瓶颈状态导致居民收入增长缓慢必将引起福利水平的降低, 不能因为总体福利水平增长而忽略收入分配差距存在的问题。比较城乡居民收入福利水平, 对我国农村居民洛伦兹曲线与广义洛伦兹曲线比较如表3、表4所示, 由于数据原因农村居民数据采用五分, 由2002年起。
数据来源:《中国统计年鉴》2001~2004年数据整理
与城镇居民相比农村居民有两点劣势:一是各收入阶层收入差距更大, 贫富差距悬殊, 相应的基尼系数远大于城镇居民基尼系数, 并且呈不断上升趋势;二是人均收入水平明显低于城镇居民, 导致农村居民社会福利水平整体过低。与城镇居民相同的是农村居民社会福利水平也是逐年上升的, 收入分配差距扩大导致的社会福利损失被人均收入的增长抵消。
数据来源:《中国统计年鉴》2001~2012年数据整理
数据来源:《中国统计年鉴》2001~2012年数据整理
为了更清晰的观察人均收入水平与居民收入结构差距对城乡居民福利水平增长的影响, 利用公式 (4) 得到表5和表6。
数据来源:《中国统计年鉴》2001~2012年数据整理
由上表可知, 我国城乡居民福利水平wi呈逐年递增趋势, 居民福利水平增长Δw由 (1-G) Δμ与1-μΔG两者决定, 其中 (1-G) Δμ代表了居民人均收入增长对福利水平的影响程度, -μΔG则代表了居民收入分配差距对福利水平的影响程度, 在居民收入差距扩大即基尼系数增加的情况下为负值, 表示对居民福利水平增长的负面影响, 可看出居民收入增加对社会福利水平的影响一直要高于居民收入差距带来的负面影响, 因此我国城乡居民收入福利水平才一直呈逐年上升趋势。当居民收入分配差距对社会福利的负面影响大于收入增长带来的正面影响, 或是收入增长趋势变缓甚至降低时对社会福利的正面影响小于居民收入分配差距带来的负面影响时, 我国城乡居民社会福利水平增长将变缓直至下降。
四、结论
本文以2000年来我国城乡广义洛伦兹曲线与基尼系数为基础, 衡量了社会福利的变化及形成这种变化的原因及意义, 通过改变社会福利函数的各项约束条件, 对我国城乡居民社会福利指数进一步分解。由于数据选取的原因, 只对我国城镇2000年之后、农村2002年之后人均收入等数据进行分析, 得出我国城镇从2000年以后广义洛伦兹曲线虽在最初2003年之前有所交叉, 但直至2012年为止, 社会福利函数均呈逐步上升趋势, 我国农村2002年后同样呈现这一趋势。
然而, 在社会福利不断上升的同时必须清楚地认识表面之下隐藏的问题, 从社会福利指数的分解中可看出, 社会福利的上升是由人均收入的不断增长保持, 作为另一保持社会福利增长的重要方面———居民收入分配, 仍存在较多问题。因此, 在经济飞速发展的今天, 如何合理调节城乡间及城乡内部居民收入结构减小居民收入差距, 将成为进一步提高居民社会福利增长速度、改善居民生活质量水平的重中之重。
参考文献
[1]张世伟, 万相昱.我国城镇居民收入分配的变动趋势:基于社会福利比较的视角[J].税务与经济, 2008 (02) .
[2]李实, 张平, 魏重, 等.中国居民收入分配实证分析[M].北京:社会科学文献出版社, 2000.
洛伦兹曲线 篇3
1理论基础
洛伦兹曲线是由20世纪初美国统计学家M.O.Lorentz提出的反应一个国家或 地区收入 分配非均 衡程度的 曲线 (见图1)。图1中横轴代表人口累计百分比,纵轴代表收入累计百分比;OI表示收入绝对平均,称为绝对平均线,此线上任 一点都表明,某一百分比的人口,在收入分配中获得相同百分比的收入;OXI称为绝对不平均线,表示所有成员中,除1人外其余收入都为零;OFGI表示收入不平均线,即实际的收入分配曲线,与OI线差距越大,说明越不平均[5]。
意大利经济学家基尼将洛伦兹曲线进一步量化提出基尼系数,又称为洛伦兹系数,一般用G表示:
式中:A表示洛伦茨曲线与绝对平均线之间的面积;B表示洛伦茨曲线与绝对不平均线之 间的距离;A+B=1/2;G的取值为[0,1],G值越大表示收入分配越不平均,反之亦然,一般按照国际标准和惯例,基尼系数 小于0.2为“绝对平 均”,0.2~0.3为“相对平均”,0.3~0.4为“比较合理”,0.4~0.5为“差距过大”,在0.5以上为“高度不平均”,因此0.5为警戒线[6]。
综上所述,洛伦兹曲线和基尼系数是用于衡量收入分配非均衡程度的一种客观指标,但其实质上是研究资源分配非均衡性的。在自然界,水资源在地 域空间上 的分布也 具有非均 衡性,其内涵的数学规律十分类似于收入分配的均衡性问题[7]。因此,用洛伦兹曲线和基尼系数描述水资源在地域空间上分配的非均衡程度,具有很好的一致性。本文借鉴洛伦兹曲线和基尼系数原理构建水资源空间匹配模型,为水资源 分布的非 均衡程度寻求一个新的量化指标。
2水资源空间匹配模型的构建与计算
2.1构建原理
根据2012年重庆市水资源公报[8],生产用水 占全市总 用水量的82.87%,而第1产业和第2产业用水分别占生产用水的36.64%、58.84%。可见,重庆市用水结构主要由生活用水、第1产业用水、第2产业用水3大部分组成。从水资源需求的空间特征来看,生活用水与人口数量、第1产业用水与耕地的分布、第2产业用水与第2产业产值密切相关。基于区域水资源的需求结构及其对应的空间特征,可以以水资源和耕地、人口数量以及第2产业国内生产总值(包括工业和建筑业)空间匹配程度来分析区域水资源空间匹配状况[9]。
依据基尼系数的内涵,可以作如下假设:一定比例的耕地面积(人口数量、第2产业产值)需要相同比例的水资源量与之匹配,水资源的空间分布则为均衡。由此,分别构建水资源与耕地面积、人口数量及第2产业产值的空间洛伦兹曲线,并计算其基尼系数。
2.2构建步骤
(1)将研究区域划分为若干子区域(本文按重庆市行政区域划分38个子区域),选取水资源总量作为基本匹配原象,选取耕地面积(或人口数量、第2产业产值)作为匹配对象。
(2)以单位体积水资源所需服务的耕地面积(人口数量、第2产业产值)作为要素匹配水平分级指标,对研究区域各要素的数据从低到高进行排序。
(3)分别计算各行政区各要素占重庆市对应要素的比例,并依照排序,按水资源量占重庆市的比例将所有子区域分为10组,再依次计算水资源、耕地面积(或人口数量、第2产业产值)占各区域比例的累计总 和 (例如,第1组:水资源累 计比例为10%,耕地资源累计比 例为3%;第2组:水资源累 计比例为20%,耕地资源累计比例为7%,以此类推)。
(4)定义x轴为匹配 原象(水资源总 量)的累计百 分比,y轴为匹配对象(耕地面积、人口数量、第2产业产值)的累计百分比,分别绘制相应的洛伦兹曲线。
(5)选取基尼系数计算公式,计算各项基尼系数。目前基尼系数的计算方法有很多种,为方便计算,本文采用三角形面积法[10]:
式中:G为重庆市水资源空间匹配度;xi为各组水资源的累计比例;yi为各组耕地面积(人口数量、第2产业产值)的累计比例;由于计算时,本文采用分10组的方法,所以n取值范围[1,9];当i=1时,(xi-1,yi-1)视为(0,0)。
3实证分析
3.1研究区概况
重庆市位于中国 内陆西南 部,长江上游 地区,地跨东经105°11‘-110°11′、北纬28°10′-32°13′,幅员面积8.24万km2,辖38个区县(自治县)。属亚热带季风性湿润气候,年平均气温为16~18℃,常年降雨量1000~1450mm。境内河流纵横,长江自西南向东 北横贯市 境,北有嘉陵 江,南有乌江 汇入,形成向心的、不对称的 网状水系。境 内流域面 积大于100km2的河流有274条,其中流域面积大于1000km2的河流有42条。2012年全市水资源总量为476.89亿m3,总用水量为82.936亿m3,人均水资源占有量为1426.34 m3,低于全国 平均水平[8]。2012年总人口为3343.44万人,第2产业总产 值为5975.18亿元[11]。
3.2基尼系数的计算
按照2.2节中模型 构建的具 体步骤,根据重庆 市水资源量[8]、耕地面积(耕地面积数据来源于2012年重庆市国土资源和房屋管理局内部统计资料)、人口数量[11]和第2产业产值数据[11]及表1资料,分别构建水资源与耕地、人口及第2产业的空间洛伦兹曲线(见图2~ 图4),并根据2.2节的公式计算各项基尼系数(见表2)。
3.3结果分析
根据图2,重庆市水 资源与耕 地面积的 基尼系数 为0.3926,处于比较合理的水平,但已紧邻0.4“差距过大”的划分线,说明把重庆市作为一个整体,其水土资源的空间匹配状况比较合理,经过合理安排、统筹规划,水土资源的空间匹配能够达到合理水平,但区域内部也有部分区县的水土匹配状况极不平衡,如渝东北地区的巫溪县水资源总量占全市7.8%,而耕地面积仅占全市2.0%,渝东南地区的酉阳县水资源总量占全市11.0%,而耕地面积仅占全市4.7%,呈现出水资源较 耕地面积富余的趋势;渝西地区(1h经济圈)的合川区水资源总量仅占全市2.2%,而耕地面积占全市4.9%,涪陵区水资源总量仅占全市2.7%,而耕地面积占全市5.2%。这与重庆市 西部地区水资源贫乏但耕地面积比重大,东南、东北地区水资源丰富但耕地面积比重小的事实相一致。
根据图3,重庆市水 资源与人 口数量的 基尼系数 为0.5334,处于高度不平均的水平,且超过了0.5的警戒线,这说明重庆市水资源与人 口的空间 匹配状况 不合理,需要引起 重视。从水资源与人口的洛伦 兹曲线可 以看出,弯曲的程 度较大,重庆市有多个区县都出现了人多、水少的局面。如渝西地区的南岸区水资源总量仅占全市0.2%,而人口数量却占全市5.0%;九龙坡区水资源总量仅占全市0.3%,而人口数量占全市5.2%。除此之外,也有人少、水多的局面。如渝东北地区的巫溪县水资源总量占全市7.8%,而人口数量仅占全市1.9%;渝东南地区的秀山县水资源总量占全市5.0%,而人口数量仅占全市0.7%。这与重庆市西部地区水资源最贫乏但人口最集中,东南、东北地区水资源丰富但人口比重低的事实相一致。
根据图4,重庆市水 资源与第2产业产值 的基尼系 数为0.7094,处于高度不平均的水平,且远远超过了0.5的警戒线,这说明重庆市水资源与第2产业的空间匹配状况极不合理,需要引起高度重视。从水资源与第2产业的洛伦兹曲线可以看出,弯曲的程度大,靠近绝对不平均线。多个区县都出现了水资源难以满足第2产业发展的局面,如渝西地区的沙坪坝区水资源总量仅占全市0.3%,而第2产业产值占全市7.0%;九龙坡区水资源总量 仅占全市0.3%,而第2产业产值 占全市6.8%;渝北区有多个工业园区,第2产值占全市9.8%,但水资源总量仅占全市1.8%。除此之外,也有水资源富余而第2产业未得到发展的局面,如渝东北地区的巫溪县水资源总量占全市7.8%,而第2产业产值仅占全市0.35%;渝东南地区的秀山县水资源总量占全市5.0%,而第2产业产值仅仅占全市0.91%;彭水县水资源总 量占全市6.4%,而第2产业产值 仅占全市0.62%。这与重庆市工业集 中在水资 源贫乏的 西部地区,而东南、东北地区水资源丰富但工业相对不发达的事实相一致。
3.4提升水资源空间匹配度的对策
(1)1h经济圈。重庆市1h经济圈是指以都市区为核心,1h通勤(车程)距离为半径、非农化水平较高且与都市区存在密切社会经济联系的区县[12]。包括都市区9个区、涪陵区、江津区、合川区、永川区、长寿区等21个区县。该区域水资源 总量占全市27.01%,耕地面积 占全市48.49%,人口占全 市的58.82%,第2产业产值 占全市78.76%。该区域农 业比重最大、人口最密集、工业最发达,但水资源却相对较贫乏,资源性缺水突出。基本对策是:一是退耕还林(草),降低耕地比重,大力发展节水灌溉,提高水的利用率,节约农业用水;二是统筹配置、合理利用水资源,把发展规模控制在水资源的合理容量之内,充分利用长江、嘉陵江等过境水资源,加快推进区域性的调水工程和当地重点水源工程建设,重点加强饮用水源保护,实现城乡资源共享,重视污废水等劣质水的再利用,以缓解水资源紧张状况;三是调整产业布局,压缩高耗水的产业,发展低耗水产业,如工业应压缩 化工、造纸、火电 规模,扩大食品、纺织等行业的发展。对技术水平低,生产工艺落后,万元工业产值耗水高,污染严重的小型企业坚决予以关、停、并、转[13]。
(2)渝东北(包括垫江县、开县、万州区等11个区县)。该区域水资源总量占全市39.35%,耕地面积占全市33.33%,人口占全市28.50%,第2产业产值 占全市16.11%。渝东北是重庆市水资源最丰富的区域,水资源与耕地面积、人口的匹配状况较合理,但第2产业产值相对较低。基本对策是:一是注意节水与水循环利用技术的应用与推广,促进水资源的集约与高效利用;二是积极配合全市优化产业结构,由于水资源较丰富,重庆市高耗水的产业应尽可能布置在该区,可适度发展化工、造纸、火电等产业,保持现状水稻种植规模,扩大蔬菜种植规模[13];三是充分利用当地水资源,加强水工程建设。
(3)渝东南(包括武隆县、酉阳县、黔江县等6个区县)。该区域水资源总量占全市33.64%,耕地面积占全市18.18%,人口占全市12.67%,第2产业产值占全市5.13%。该区域水资源较丰富,但经济发展程度较低,且受特殊地质构造和地貌条件的影响,水资源利用难度较高,且水资源与耕地面积、人口、第2产业的匹配状况都不合理。基本对策是:一是加强水利设施建设,完善水利管理机制,有效地开发和利用水资源,提高水资源利用率;二是渝东南地区喀斯特地貌发育,水土流失严重,应合理规划水土流失治理,重视生态环境保护;三是充分利用当地资源,鼓励发展第2产业,分担重庆市1h经济圈第2产业的压力。
4讨论与结语
(1)本文以洛伦兹曲线和基尼系数为理论基础构建水资源空间匹配模型,运用该模型对重庆市水资源空间匹配状况进行定量评价,得出的结 果为:水资源与 耕地面积 的基尼系 数为0.3926,处于比较合理的水平,但匹配度还有待提高;水资源与人口数量的基尼系数为0.5334,水资源与第2产业产值的基尼系数为0.7094,均处于高度不平均的水平,且远远超过了0.5的警戒线,可认为匹配度极差。因此在未来对水资源的优化配置的过程中,应注意其空间匹配的合理性。这与重庆市水资源空间分布的实际状况具有很好的一致性:重庆市1h经济圈是重庆市经济最发达的地区,耕地面积比重最大、人口最集中、工业最发达,但水资源 最贫乏;而水资源 相对富余 的渝东北、渝东南地区耕地面积比重小、人口密度较低、工业未得到发展。说明该模型测算的结果具有有效性,可以从不同角度定量测算区域水资源与社会经济发展要素在空间分布上的差异程度,反映水资源空间分 布的合理 性及公平 性,为地区公 平、合理、高效利用水资源提供依据。
(2)实证分析重庆市水资源空间匹配程度得到的结果为水资源与耕地面积的基尼系数为0.3926,与全国该项基尼系数(0.57)[2]、甘肃省该项基尼系数(0.6536)[14]相比处于优势地位;水资源与人口面积的基尼系数为0.5334,与黑龙江省该项基尼系数(0.4606)[9]相比处于相对劣势地位;水资源与第2产业产值的基尼系数 为0.7094,与黑龙江 省该项的 基尼系数(0.7184)[9]相比处于相对优势地位。说明利用该模型测算的结果具有可靠性,且能够反映不同区域间水资源空间配置的差异程度。
洛伦兹变换推导方法探讨 篇4
1 预备知识
(1) 伽利略变换
设空间两惯性系为s和s′, 它们相应的笛卡尔坐标系彼此平行, 且x轴与x′轴重合, 如图1。
s′系相对于s系沿x轴正向做匀速直线运动, 速度为v。当t=0时s′系与s系的坐标原点重合。设时空点P (事件) 在静系s中的坐标为 (x, y, z) , 在动系s′中的坐标为 (x′, y′, z′) 。经过时间t后两惯性系坐标之间的关系式是:
这种关系式叫伽利略变换。其中时间t对两惯性系是同一的, 此时s系与s′系处于绝对时空状态。
(2) 两条基本原理
(1) 相对性原理——指在一切惯性系中, 物理定律都具有相同的形式。即同一物理实验无论在哪一惯性系中做, 结果都一样。
(2) 光速不变原理——光速c=30万公里/秒 (为简化讨论, 本文只考虑其在真空中的情况) 。在任何惯性系中光速不变 (光速不能加快或减慢) 。光速的大小与惯性系之间的相互运动无关, 与光源、观察者的移动无关[1]。
举例说明光速不变原理:一个以高速v (假设接近于光速c) 运行的发光体, 分析它所发出沿着运行方向及逆着运行方向的两束光, 按常规地面观察者会认为这两束光速度的大小分别为c+v及c-v;但光速不变原理告诉我们, 这两束光速度的大小均等于c。
即从任意一点发出的光线, 对任何相互运动的惯性系中的观察者而言, 其速度均保持不变[2]。
2 洛伦兹变换的常规推导
假设在伽利略变换中, 若s′系相对s系高速运行, 速度为v。根据爱因斯坦相对论, 两惯性系的时间不是绝对同一的, 此时s系与s′系处于相对时空状态, 这与伽利略变换发生了矛盾。为了寻找一个新的时空变换关系, 设时空点P (事件) 在静系s与动系s′中的坐标分别为 (x, y, z, t) 和 (x′, y′, z′, t′) , 于是引入洛伦兹变换, 即:
其中c为光速。
下面对变换公式予以证明。
证明:因为伽利略变换也可以写成
当t=t′=0在两惯性系重合时, 分别开始计时。若x=0则x′+νt′=0, 这是变换需满足的一个必要条件。设任一事件的坐标从s′系到s系的变换为
式中引入了待定系数y, 命名为洛伦兹因子。 (这是一种猜测, 其正确性有待于验证) 。在此基础上引入相对性原理, 即不同惯性系的物理方程其形式应相同。故上述事件的坐标从s系到s′系的变换为
可直接得出。
把 (2) 代入 (1) 解得
在上面推导的基础上引入光速不变原理, 以寻求洛伦兹因子的值。设想由重合的原点O (o′) 发出的一束沿X轴正向的光线, 该光束的波前坐标为 (x, y, z, t) , (x′, y′, z′, t′) , 根据光速不变原理有
以波前这一事件作为对象将 (6) 、 (7) 代入 (1) 、 (2) 得
(8) × (9) 得出
把 (2) 、 (3) 、 (4) 、 (10) 放在一起, 则得到s系到
以上证明的难点和关键在于待定系数即洛伦兹因子x=y (x′+νt′) 的构思。变换式x=y (x′+νt′) 是怎么想出来的呢?着实有些令人难以捉摸。
3 用光速不变原理推导洛伦兹变换的尝试
为了使整个推理过程通俗易懂, 下面论述分三步递进。
(1) 相对论中时间不是绝对同一的
我们看下面的例子。假设大尺度的物体系统s′以亚光速ν相对地面系统s做匀速直线运动。如图2。 (为了讨论方便, 不妨设地球处于静止状态) 。
现在系统s′中央点亮一光源O, 我们把光线由O抵达点A和由O抵达点B分别称为事件A和事件B。根据相对性原理, 在惯性系统s′上的人会看到事件A和事件B是同时发生的;但在地面系统S上的人看来, 事件A先于事件B发生, 因为根据光速不变原理, 对地面系统s上的人而言, O点发出的光线与系统s′上的光源移动无关。系统s′的A端是迎着光线前进, 而系统s′的B端则被光线所追赶。所以, 光线射到A的时间比光线射到B的时间更早。也就是说, 同样两件事A和B, 在不同的系统里发生的时间不一样, 这就是相对论中的“时间不是绝对同一的”案例。
这里需要指出的是:当我们讨论的系统速度跟光速相为极小时, 同时性概念的相对性我们是觉察不到的。只有当我们考察的系统速度可以跟光速相比时, 同时性概念的相对性才会显现出来。
(2) 钟慢尺缩效应
借用上面的例子, 若在系统s′内的A点, 点亮一光源使一束光线从A点竖直射到B点, 如图3。
此时地面系统s的人看到光线是由A点斜射到B1点 (因为B已随系统s′运动到B1, 而A点发出的光对地面系统而言与光源的移动无关) 。由于同一事件在不同的系统里发生的时间不一样, 我们不妨设在s′系中光线由A射到B所需时间为 在s系中光线由A斜射到B1所需时间为t′, 则在R△AB1A1中, AB1=ct′, AA1=νt′, A1B1=ct (c为光速) 。
我们称 是动系中的运动时间, t′是静系中的固有时间。
式 (1′) 说明高速运行系统s′上的时间推移慢于相对静止状态下的地球s上的时间推移, 即s′系上的钟走得比地球s系上的钟要慢。
将 (1′) ×ν, 得
我们称 是动系中的运动距离 (或运动长度) , l′是静系中的固有距离 (或固有长度) 。
式 (2′) 说明在高速运行系统s′的运动方向上空间 (两点) 之间的距离 (或长度) 缩短了。
以上论述的就是相对论中的“钟慢尺缩”效应。
(3) 推导出洛伦兹变换
式 (2′) 中的l′表示静系s中两点AA1的固有距离 (见图3) , 表示动系s′中两点AA1的运动距离。
现在反过来, s′系静止, s系运动, 则相对性原理告诉我们:l′恰好表示静止s′系中两点AA1的固有距离, l恰好表示运动s系中两点AA1的运动距离。
以上例子并非个案, 爱因斯坦相对论认为, 不但运动着的物体会产生收缩, 运动着物体对应的空间也会产生收缩, 或者说物体收缩原本为空间收缩所致[2]。
我们再回到本文的第一部分。在伽利略变换中, s′系相对于s系运动 (绝对时空状态) , 经过时间后, 时空点P (事件) 在s′系中的x′=x-νt为固有长度。当s′系相对于s系高速运动时 (相对时空状态) , 整个s′系在运动方向上空间都会收缩。所以x′的长度也会随之缩短。设x′收缩对应的运动长度为 根据公式 (2′) , 有 成立。此时伽利略变换中的x′=x-νt拟修正为 即
根据相对性原理, 因为从s′到s的变换和从s到s′的变换其方程的形式是一样的, 只是速度的方向相反。我们有
联立式 (3′) 、 (4′) 求出 由于运动并不影响与运动方向垂直的空间, 所以y′=y, z′=z可以直接得出。
综上我们推导出从s系到s′系的洛伦兹变换, 即
当ν<
摘要：用光速不变原理探讨“钟慢尺缩”效应, 从而完成了对洛伦兹变换的一次推导。推导方法有别于常规的洛伦兹变换推导方法。
关键词：光速,钟慢尺缩,洛伦兹变换
参考文献
[1]史蒂芬.霍金.时间简史[M].许明贤, 吴忠超译.长沙:湖南科学技术出版社, 2005.