灰色残差修正模型

2024-09-26

灰色残差修正模型（共6篇）

灰色残差修正模型篇1

0 引言

只有保证电能供需的平衡, 才能有效地保证电网安全稳定运行, 而电力负荷预测是保证电力供需平衡的重要前提, 因此, 合理的电力负荷预测是保证电网安全稳定运行的重要技术。当前电力负荷预测方法主要有传统的回归模型[1]、时间序列模型[2,3]和智能的人工神经网络模型[4,5]、小波分析模型[6]、模糊逻辑模型[7,8]、支持向量机预测模型[9,10]等。

电力负荷影响因素较多且难以分析各种因素对负荷特性的影响程度。各种电力负荷预测方法都存在各自的优缺点, 其中, 人工神经网络以其自适应、自学习、高容错能力等优点, 在电力负荷预测建模中得到广泛应用并取得了很好的效果, 但该方法存在易陷入局部极小、收敛速度慢等缺点, 限制了其进一步应用。传统的时间系列法运算量较小、运算速度较快, 但预测误差较大且不具备自适应学习能力。传统的灰色系统理论主要解决少数据、小样本、信息不完全和经验缺乏的不确定性问题[11,12], 但存在着预测精度不高, 误差趋势增大等缺点。

在时间系列预测模型中, 运用了很多误差改进方法, 如灰色马尔可夫模型[13], 该模型在灰色GM (1, 1) 模型预测的基础上, 利用残差进行二次灰色预测并建立状态转移概率矩阵确定残差符号, 得到最后的预测结果。该模型假设残差值都是按照固定的状态转移矩阵延展, 缺少动态性。

基于以上分析, 本文在灰色GM (1, 1) 模型预测的基础上, 提出傅里叶变换残差修正模型。傅里叶变换是一系列不同频率正弦波的无限叠加, 可提取出频率成分。将残差作为一个能量有限的时间系列, 运用傅里叶变换强大的降噪音能力, 提取出残差中反映负荷本质的信息。因此, 理论上运用傅里叶变换对残差进行改进具有可行性。算例结果表明, 灰色傅里叶变换预测精度相比单一的灰色预测和灰色马尔可夫预测有所提高。

1 GM (1, 1) 模型[14,15]

由于负荷数据是多种因素共同影响的结果, 因此, 有必要对历史数据进行预处理, 过滤掉历史数列中异常值的干扰, 本文采用滑动平均法减弱异常值的影响。

设原始数列x′ (0) =[x′ (0) (1) , x′ (0) (2) , …, x′ (0) (n) ], 滑动平均值计算公式为:

该数据既增加了当年数据的权重, 又避免了数值过度波动。对于两端点的数据, 计算公式为:

GM (1, 1) 模型是最常用的一种灰色模型, 它由一个只包含单变量的一阶微分方程构成, 是电力负荷预测的有效模型。经过预处理后的数据为:

进行一次累加生成处理, 得到:

由于序列x (1) (k) 具有指数增长规律, 而一阶微分方程的解恰是指数增长形式, 因此可以认为序列x (1) 满足下列一阶线性微分方程模型。

为求a与u的值, 把式 (1) 离散化得到, 取不同的k值得到:

简记为Yn=BA, 且有:

利用矩阵求导公式可得:

根据求得的值, 得到的灰色预测模型为:

其中, k=0, 1, 2, …。

2 傅里叶变换残差修正模型

设f (x) 是一个能量有限的模拟信号, 则其傅里叶变换即为f (x) 的频谱。因此将随机序列x的n个观测数据视为一能量有限的时间序列, 对其作傅里叶变换得到观测数据的频谱, 频谱的中心是低频段, 外围是高频段, 一般认为低频段是反映系统本质的信息, 高频段反映的是系统数据的噪声。采集到的电力负荷时间序列数据一般都含有很大的噪声, 作傅里叶变换可将其滤除, 选择反映电力负荷本质的信息[16]。

鉴于傅里叶变换强大的降噪功能, 运用傅里叶变换对灰色GM (1, 1) 的预测残差进行修正, 能够滤除电力负荷时间序列数据中的噪声, 从而提高了预测精度。下面介绍具体建模过程。

构建残差时间序列。由数据的就近原则, 最近的数据反映电力负荷的本质, 所以构建的残差时间序列如下:

傅里叶变换残差表示为:

其中, k=2, 3, …, n;T=n-1。

把η (1) =0代入式 (11) , 得到:

将电力负荷实际值代入式 (12) — (14) 求得an、bn、a0, 进而求得傅里叶变换残差序列η。

因此得到傅里叶变换残差改进的电力负荷预测值为:

其中, Xk为最终预测值, 为一般灰色GM (1, 1) 预测值, 为随机误差。

3 实证分析

本文选取某市从1997年到2004年8年的电力负荷值建立模型, 该历史数据如表1所示。

利用上述8年的历史数据建立模型, 并以接下来4年的历史数据与预测值作比较, 验证所建改进预测模型的有效性。

首先建立一般的GM (1, 1) 模型, 利用滑动平均法对历史负荷数据进行预处理, 得到处理后的负荷值为x (0) =[118.4603, 124.2508, 134.2988, 145.4745, 157.355 3, 168.613 3, 177.976 3, 184.449 0]MW, 进行一次累加得到x (1) =[118.4603, 242.7110, 377.0098, 522.484 3, 679.839 5, 848.452 8, 1 026.429 0, 1 210.878 0]MW。

用MATLAB编程计算得, 代入式 (9) 得到电力负荷预测值为。根据式 (10) 得到残差系列为η=[0, -2.665 2, -1.270 4, 0.662 2, 2.669 8, 3.381 2, 1.478 7, -4.082 0]MW。

把代入式 (12) — (14) , 得到an=3.254×10-3, bn=0, a0=1.968×10-9。

由式 (11) 对i反复取值运算, 使预测值更接近真实值, 进而求得傅里叶变换残差。

最终得到2005年残差修正的电力负荷预测值为。由2005年的真实值和预测值, 得到η (10) =196.35-197.429=-1.079 (MW) , 求得。同理求得, 进而得到X11=230.755 MW, X12=250.013 MW。

傅里叶变换GM (1, 1) 模型计算得到的结果与一般GM (1, 1) 、马尔可夫GM (1, 1) 模型计算得到的结果进行比较与分析, 如表2所示。

由表2可知, 傅里叶变换残差修正模型的预测值比一般GM (1, 1) 模型和马尔可夫GM (1, 1) 模型更接近于真实值, 预测精度较高。

4 结论

a.在对样本值进行预处理时, 运用滑动平均法滤除异常值的干扰, 处理后的样本值对负荷的预测更科学、合理。

b.提出的基于傅里叶变换残差修正的电力负荷预测模型, 克服了马尔可夫残差修正缺乏动态性的缺陷。

c.通过不同方法对同一样本值的预测可知, 傅里叶残差修正模型与马尔可夫残差修正模型相比, 其预测值与真实值的差距较小, 预测精度有所提高, 证明了该模型的有效性。

灰色残差修正模型篇2

关键词：酸雨,降水pH值,灰色模型,马尔科夫链,残差修正

酸雨污染是一个严重的环境问题。降水酸度的变化预测是环境科学研究的一个重要方向。酸雨p H值预测的核心问题是预测的数学模型的建立。目前应用较多的是灰色系统GM (1, 1) 模型。其计算方法简便、所需样本数据少, 适用于波动不大的系统对象, 但对于随机波动性较大的数据序列拟合较差, 预测精度较低[4]。为此, 人们进行了改进。其中, 残差GM (1, 1) 模型在实际中应用最为广泛, 但其预测精度仍然不够理想。而马尔科夫则适合预测随机波动大动态过程。

鉴于以上原因, 本文将在残差灰色模型的基础上, 引入马尔科夫链对酸雨p H值的未来残差进行修正, 同时运用马尔科夫状态转移矩阵判断残差预测值在时的符号。该方法同时综合了灰色预测模型和马尔科夫链的优点, 弥补了灰色理论本身所具有的缺陷。实例证明, 该方法简单可靠, 具有很好的实用性。

1 马尔科夫链基本原理

则随机序列{X t, t=1, 2···}即为马尔科夫链。

设系统的状态有n个, 系统在tm时间处于状态i的条件下, 在下一时间tm+1转为状态j的概率为pu, 则称pu为一步转移概率。将pu依序排列, 构成了一步转移概率矩阵p= (pu) n×n。一步转移概率矩阵具有以下性质:

同理, 系统从tm时间的状态i, 经过k步转移到时间tm+k的状态j的概率为pu, 则pu (k) 称为k步转移概率。k步转移概率矩阵为p (k) = (pu (k) ) n×n。已知xt的分布, 则可推知:

2 加权马尔科夫灰色残差修正模型

2.1 基于加权马尔科夫链的残差修正

原始数据列与预测数列之差为残差, 记为q (0) (k)

令

残差序列可定义为:

使用灰色模型预测法[7], 建立关于e (0) 的灰色预测模型, 得到预测残差序列

为残差的灰拟合精度指标[8]。

运用马尔科夫链的无后效性, 对灰拟合精度指标的波动规律进行分析, 来修正残差灰色GM (1, 1) 模型预测结果, 提高预测精度。加权马尔科夫链预测理论[8~9]可以提高随机波动性大的数据序列的预测精度。

(1) 灰拟合精度指标Y (k) 状态划分。

本文采用的是均值-均方差分级法, 任一状态表示为:

(2) 构造状态转移概率矩阵。

它是根据状态划分标准确定各时段的灰精度指标Y (k) 所对应的状态。由状态iE经过k步转移到状态Ej的灰拟合精度指标Y (k) 样本次数记为Mij (k) , 则由状态Ei经过k步转移到Ej转移概率为

这样可得m×m阶状态转移概率

(3) 计算各阶自相关系数, 确定各滞时的马尔科夫链的权重。

为正确反映各阶 (各种步长) 对马尔科夫链预测值的影响权重, 采用Y (k) 各阶自相关系数反映权值大小, 即

将它k (28) 1们作为各种步长的马尔科夫链的权重, m为按预测需要计算的最大阶数。

(4) 灰拟合精度指标状态的加权马尔科夫链预测

以前一年的残差预测灰拟合精度指标所对应的状态为初始状态Ei, 结合其相应的转移概率矩阵的行向量即可预测出该年灰预测精度指标的状态转移概率向量,

由m阶状态转移概率向量形成的矩阵, 称为阶加权状态转移概率矩阵。

将同一状态的各预测概率加权和作为灰预测精度指标值处于该状态的转移概率, 即

(5) 灰精度指标预测及残差的确定。

确定预测年的灰精度指标后, 采用状态概率线性插值法计算具体灰预测精度指标值, 有

式中m (k (10) 1) 为符号函数

当k≥n时, m (k+1) 的值成为了提高灰色预测精度的关键。

2.2 基于马尔科夫链的残差符号的判定

为了正确求得在k≥n时, m (k+1) 的值, 文中继续引入马尔科夫过程。

3 算列分析

为了测试改进模型, 本文采用文献[7]提供的长沙市1996年至2001年大气降水监测数据 (见表1) , 采用本文的预测模型对该长沙市今后酸性降水p H值进行预测。

将表1中年份1996年至2001重新编号为1、2、2……11、12, 对应酸性降水p H值作为模型输入的原始数据。

对原始数据进行平滑处理, 然后利用GM (1, 1) 模型对p H值进行预测, 得到初步预测结果。通过初步预测结果得到残差值q (0) (k) 及残差序列e (0) (k) 值。再利用GM (1, 1) 模型, 通过1996年至2001年的残差样本序列预测2003年至2007年的残差初值。同时根据残差的符号确定2003年至2007年各年符号状态。预测结果见表2。

其预测结果对照表3, 表中分别给出了真实值和部分预测值, 本文选取相对误差ER和平均绝对百分误差EMAP2项误差指标对表中的两种预测方法进行比较。

由表3可知:基于马尔科夫链的灰色残差修正预测模型最大相对误差为0.8%, 最小相对误差为0, 平均绝对百分误差为0.52;文献[7]灰色预测模型最大相对误差为1.1%, 最小相对误差为0.3, 平均绝对百分误差为0.66。因此, 基于马尔科夫链的灰色残差修正预测模型比文献[7]灰色预测模型的预测精度高。采用本文所提的方法对2003年至2007年的降水p H值进行预测, 结果见表4。

从表4可以看出, 长沙市的酸雨程度逐年有所改善, 但是仍属于较强酸性降水。因此, 其酸雨的治理刻不容缓。

4 结语

(1) 本文所提的方法灰色预测模型在预测结果的精确性和可信任性方面表现出其本身的固有缺点。实证分析表明, 该方法模型简单、计算量小, 精度高, 具有可行性。

(2) 长沙市的酸雨程度虽然逐年有所改善, 但是仍属于较强酸性降水, 其治理刻不容缓。

参考文献

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灰色残差修正模型篇3

文献[3]提出了动态灰色模型,文献[5]提出了灰色系统理论和马尔柯夫链相结合的网络流量预测方法,本文在文献[4]和[5]基础上提出了一种改进的残差灰色预测模型对网络流量进行预测。

1 残差模型的建立及改进

根据灰色系统理论[6,7,8],考虑如下的原始数据:

对X(0)(k)做一次累加生成(1—AGO),得生成数列:

其中:

则生成数列X(1)(k)有如下白化微分方程:

式(1)是一阶一元变量的微分方程,故记为GM(1,1)。响应函数为:

对式(2)进行一次累加生成数列X(1)(k),则有:

这就是GM(1,1)模型,其中:

GM(l,l)模型是当原始数据X(0)(k)={x(0)(1),…,x(0)(n),x(0)(n+1)}确定后,参数a和b的值就确定了,预测值x(0)(n+1),x(0)(n+2)也就确定了。由于网络环境的复杂性、变化性和随机性,随着时间的推移,原始数据的预测比重逐步下降,为了降低误差和提高精确度,我们在保持数据总量不变的前提下,采用加入一个新数据和减少一个原始数据的方法来改进模型,建立的动态灰色模型DGM(l,l)(dy-namical grey model),如下:

新数据

新的1—AGO

然后由此新数据建立新的GM(1,1)模型

我们根据式3依次就出x赞(0)(k+1),最后可得模型的残差:

其中

根据残差序列E我们可以建立残差灰色模型如下:

在结合文献[4]和[5]的基础上,建立如下改进的动态残差灰色模型:

灰色预测理论中,预测序列必须要为非负序列,然后在对网络流量进行灰色建模后产生的残差序列E不能满足非负这一条件。在文献[4]中通过马尔柯夫链来确定残差序列的预测值,本文将采用指数-对数函数变化对残差序列处理,得到预测残差值。具体流程如图1。

2 网络流量的模型建立

本文实验数据来源于某运营商IP城域网骨干网采集的流量数据样本,每隔5分钟取一条实时流量信息,共1556条网络总出口流量容量的记录,采取随机抽样,抽取10条连续流量数据作为实验数据,对数据进行建模,分析其有效性。本文DGM(1,1)模型的原始数据总量为5,使用Matlab进行仿真实验。

原始序列为:X={x(0)(1),x(0)(2)…,x(0)(20)},限于篇幅这里不给出具体数值。

利用建立GM(1,1)模型计算得:

残差序列为:E={ε(0)(1),ε(0)(2),…,ε(0)(5)},残差序列的绝对值:

残差序列的符号函数L(k):经过数值验算,本文令c=0.95,即原残差序列转化为E'={Cε(0)(1),Cε(0)(2),…Cε(0)(5)},对数据E'先归一化后做BX数据处理建模计算得:

将所得预测序列进行对数化取其符号并赋值给相应的符号函数L(k)。

所以改进后的模型为:

DGM(1,1)就是将数据序列中最老的数据剔去,用新的数据去填充,变为X''={x(0)(2),x(0)(3)…,x(0)(6)},然后按上列步骤重新建模。

由表1可知道,在几个参数中,改进的动态灰色残差模型的预测性能最好,图2为最后的模拟仿真图。仿真实验证明改进的残差灰色模型适合于中短期预测,而动态残差灰色模型可以提高其多步预测的精度。

3 结束语

本文结合灰色系统和动态系统的优势,通过指数-对数变化对残差序列进行处理,建立一种网络流量预测的改进的动态残差灰色模型。首先将处理后的流量时间序列建立灰色预测模型,得到流量的拟合值和残差,以流量的残差序列为基础,对其残差序列的绝对值为原始序列建立模型得到残差预测值的绝对数值,用指数-对数的方法建立GM模型,最后求得其相应项的符号函数。用实际网络对该模型进行验证,实验证明,该方法比前面所提到的灰色预测模型有了明显的提高。

如同灰理论本身还有很多需要完善的地方一样,本人所谈论的动态残差灰色模型在理论上和实践上仍存在许多有待于继续学习和探讨的问题。

摘要：网络流量是衡量网络运行负荷和状态的重要参数,也是网络规划,流量管理等方面起着重要作用的重要参数。在流量管理中,流量模型用于评价接入控制机制和预测网络性能。灰色预测模型作为灰色系统理论的重要内容之一,被广泛的应用于各种领域。该文提出一种的对不全为正数的残差序列的处理方法,并应用此方法进行建模对实际网络流量进行预测,结果表明了该方法是有效可行的。

关键词：网络流量,灰色预测模型,残差序列,预测

参考文献

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灰色残差修正模型篇4

关键词：灰色模型,残差,马尔可夫,状态矩阵,灾变预测

0 引言

洪涝是对人类社会危害较大的一种自然灾害,洪涝严重影响农业生产和生态平衡。人们要在系统分析洪涝形成的条件、区域性、多发性特点和时空演变规律的基础上,及时研究新情况和总结新经验,不断提高我国防治洪涝灾害的能力,把洪涝灾害的危害降到最低限度[1]。因此,在现有条件下,通过对洪涝发生发展规律的预测研究,以此制定科学的预防洪涝的减灾策略,将其造成的各方面损失降低到最低程度,具有极其重要的现实意义。

灰色预测是近年来应用比较广泛的一种预测方法。灰色模型(Gray Model)简称GM模型,是以灰色模块为基础,用微分拟合法建立模型。灰色预测具有方法简单、所用资料容易获取、短期预测精度高、实用性较强、可检验等优点。灰色GM(1,1)预测模型已广泛应用于经济、生物、农业、电力和水利等领域。该模型将无规律的原始数据通过“数据生成”,使其变为有规律的生成数列再建立数学模型。然而,GM(1,1)模型和其他预测方法一样也有其局限性。当数据离散程度越大,即数据灰度越大时,预测精度越差;并且不太适合预测长期后推若干年的预测。为了解决上述缺点,对GM(1,1) 模型的改进方法已有很多种,如残差GM (1,1)模型、无偏灰色模型、参数优化灰色模型、新陈代谢GM(1,1)模型等,都在不同的场合下对GM(1,1)模型进行了一定程度的改进[2,3,4,5,6]。残差GM (1,1)模型在实际应用中最为广泛,但其预测精度仍不够理想,本文用马尔可夫状态矩阵对灰色残差模型进行改进,以提高对涝灾的预测精度。

1 残差GM (1,1)灾变模型的建立及改进

1.1 残差灰色灾变预测模型的建立[2,3,4,7,8]

灾变预测就是对原始数据序列X $_{(i)}^{(0)}$ =[X $_{(1)}^{(0)}$ ,X $_{(2)}^{(0)}$ ,…,X $_{(n)}^{(0)}$ ],i=[1,2,…,n]指定阈值ε,然后构建异常(值)序列x(0)(k)=[x(1),x(2),…,x(k)],对异常(值)序列建立灰色预测模型。在残差灰色预测模型建立中,令x(0)(k)为异常(值)序列,x(1)(k)为异常(值)数据的一次累加生成序列, $\hat{x}$ (0)(k)为GM(1,1)的预测输出。

设灰色方程为 $\frac{d x^{(!)} (t)}{d t} + \hat{α} x^{(1)} (t) = \hat{u}$ ,其解为:

$\hat{x}^{(1)} (t) = [\hat{x}^{(0)} (1) - \frac{\hat{u}}{\hat{α}}] e^{- \hat{α} t} + \frac{\hat{α}}{\hat{u}} (1)$

其还原模型为:

$\begin{array}{l} \hat{x}^{(0)} (k + 1) = (e^{- \hat{α}} - 1) [\hat{x}^{(0)} (1) - \frac{\hat{u}}{\hat{α}}] e^{- \hat{α} t} \\ k = (0, 1, 2, 3, \dots, n) (2) \end{array}$

其中,α和u是模型中的待定系数(可用最小二乘法求得)。计算原始数列与预测数列之差如下:

$e^{(0)} (k) = x^{(0)} (k) - \hat{x}^{(0)} (k) (3)$

则有残差数列为:

$e^{(0)} (k) = [e^{(0)} (1), e^{(0)} (2), \dots, e^{(0)} (n)]$

对e(0)(k)取部分子数列有(一般取原点附近的数):

$e^{(0)} (k^{´}) = [e^{(0)} (1^{´}), e^{(0)} (2^{´}), \dots, e^{(0)} (n^{´})]$

对e(0)(k′)建立GM(1,1)模型,其时间响应函数的离散形式为:

$\hat{e}^{(0)} (k^{´} + 1) = (e^{- \hat{α}} - 1) [e^{(0)} (1^{´}) - \frac{\hat{u}^{´}}{\hat{α}^{´}}] e^{- {\hat{α}}^{'} k^{'}} (4)$

依模型可得一组预测数列,即:

$\hat{e}^{(0)} (k^{´}) = [\hat{e}^{(0)} (1^{´}), \hat{e}^{(0)} (2^{´}), \dots, \hat{e}^{(0)} (n^{´})]$

以 $\hat{e}^{(0)} (k^{´} + 1)$ 作为 $\hat{x}^{(0)} (k + 1)$ 的修正模型可得:

$\begin{array}{l} \hat{x}^{(0)} (k + 1) = (e^{- \hat{α}} - 1) [x^{(0)} (1) - \frac{\hat{u}}{\hat{α}}] e^{- \hat{α} t} \\ + δ (k - i) (e^{- {\hat{α}}^{'}} - 1) [e^{(0)} (1^{´}) - \frac{\hat{u}^{´}}{\hat{α}^{´}}] e^{- {\hat{α}}^{'} k^{'}} (5) \end{array}$

其符号函数

$δ (k - i) = {\begin{cases} 1 k \geq i \\ 0 k ≺ i \end{cases} i = n - n^{´}$

其中,α′和u′是模型中的待定系数(可用最小二乘法求得),其他符号意义同前。

1.2 残差灰色预测模型的改进[4]

对该残差灰色预测模型改进的关键是将残差数列的绝对值作为原始数列,建立残差灰色预测模型。然后应用马尔可夫过程判断残差预测值在k>n时的符号。令残差:

$e^{(0)} (k) = | x^{(0)} (k) - \hat{x}^{(0)} (k) | (6)$

其余同理,可得改进后的修正模型为:

$\begin{array}{l} \hat{x}^{(0)} (k + 1) = (e^{- \hat{α}} - 1) [x^{(0)} (1) - \frac{\hat{u}}{\hat{α}}] e^{- \hat{α} t} \\ + m (k + 1) (e^{- \hat{α}^{´}} - 1) [e^{(0)} (1^{´}) - \frac{\hat{u}^{´}}{\hat{α}^{´}}] e^{- {\hat{α}}^{'} k^{'}} (7) \end{array}$

其中:

$m (k) = {\begin{matrix} 1 & x^{(0)} (k) - \hat{x}^{(0)} (k) \geq 0 \\ - 1 & x^{(0)} (k) - \hat{x}^{(0)} (k) ≺ 0 \end{matrix}$

其他各符号意义同前。

由此可见,正确预测k≻n时m(k)值成了提高灰色预测精度的关键。为了正确预测k≻n时m(k)值,引入马尔可夫过程。

1.3 马尔可夫过程[9,10,11,12]

马尔可夫过程是研究事物的状态及其转移的理论,它既适合于时间序列,又适合于空间序列。马尔可夫链分析法是一种以概率论和随机过程理论为基础,运用随机数学模型来分析客观对象发展变化过程中数量关系的一种统计分析方法。一个时间与状态都是离散的马尔可夫过程叫做马尔可夫链简称马氏链。它的特点是:当系统在时间ti所处的状态已知时,系统在ti+1时刻所处的状态仅与ti时刻所处的状态有关,而与ti时刻之前的状态无关,这种性质称为无后效性。马尔可夫过程可以很方便地求出各种状态之间相互转移的概率。状态转移概率具有两个特性:①pij≥0; $② \sum_{j = 1}^{n} p_{i j} = 1 (p_{i j}$ 指从状态i转移到状态j的概率)。

马尔可夫链模型建模过程如下。

设有一个随机过程{Xn,n∈T},若对任意的整数n和任意的i0,i1,…,in+1∈I,条件概率满足:

$\begin{array}{l} p {X_{n + 1} = i_{n + 1} | X_{0} = i_{0}, X_{1} = i_{1}, \dots, X_{n} = i_{n}} \\ = p {X_{n + 1} = i_{n + 1} | X_{n} = i_{n}} (8) \end{array}$

其中i0,i1,…,in,in+1分别为马尔可夫链的状态,称P{Xn,n∈T}为马尔可夫链,N称为马尔可夫链的阶。

转移概率矩阵定义条件概率P $_{i j}^{(n)}$ =P{Xn+1=j|Xn=1}称为马尔可夫链{Xn,n∈T}在时刻n的一步转移概率,其中i,j∈I,简称为转移概率。由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。在马尔可夫链中,系统状态转移可用下列转移概率矩阵P表示:

$Ρ = [\begin{matrix} p_{11} & p_{12} & \dots & p_{1 n} \\ p_{21} & p_{22} & \dots & p_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ p_{n 1} & p_{n 2} & \dots & p_{n n} \end{matrix}] (9)$

将马尔可夫过程引入进来以求残差正、负号状态转移概率,从而确定k≻n时的残差的符号。其步骤如下。

(1)确定状态,在这里只确定两种状态,即+1和-1;

(2)根据残差数据状态(+1,-1)求出状态转移矩阵P;

(3)确定初始状态向量π(0)π(t)=π(0)·p;

(4)根据状态转移公式π(t)=π(0)·p′求出第t期状态转移的结果,取出现概率大的状态,如果出现正负号的概率相等,此时一般取上期确定的符号。

2 改进模型在涝灾预测中的应用

2.1 研究区概况

辽阳市位于东经122°35′04″～123°41′00″,北纬40°42′19″～41°36′32″,面积4 731 km2,人口178.6万人。该区属大陆性季风气候,多年平均降水量为744.8 mm,降水年内分配不均,年际变化较大,降雨量多集中于6～9月份,占全年降水量的73%,洪涝灾害是该区的主要自然灾害。

本文应用改进模型对涝灾进行预测。根据表1所示的1956至2005年辽阳站50年降水资料为依据,首先将表1中年份依次进行编号,对此序列数据进行统计,将降水量等于840 mm为临界值,并认为降水量大于等于840 mm为涝灾异常(值)。将涝灾发生的年份序号挑出,用灰色系统方法建立灰色灾变GM(1,1)模型,进而用马尔可夫改进残差灰色灾变模型进行预测。

2.2 涝灾预测

先以辽阳地区1956～1990年的降水资料作为预测依据,对此序列数据进行统计,在阈值以上的年份有1959、1960、1962、1964、1971、1976、1985、1986年。根据灰色灾变的映射原理,可得上限灾变序列:

$X^{(0)} (k) = [x (4), x (5), x (7), x (9), x (16), x (21), x (30), x (31)]$

由此可建立灰色灾变方程,其时间响应模型为:

$\hat{x}^{(1)} (k + 1) = 20.584 559 e^{0.280 269 k} - 16.584 559 (10)$

然后用GM(1,1)模型求得x(0)(k)的预测公式为:

${\begin{cases} \hat{x}^{(0)} (1) = 4 \\ \hat{x}^{(0)} (k + 1) = 20.584 559 (e^{0.280 269} - 1) e^{0.280 269 (k - 1)} \end{cases} k \geq 1 (11)$

预测结果和残差见表2,表2中预测值1为残差修正前的预测值,预测值2为残差修正后的预测值。同样用e(0)(k)序列(由于修正原点附近的值)取(k≥4),求得预测公式为:

${\begin{cases} e^{(0)} (4) = 2.663 68 \\ \hat{e}^{(0)} (k + 1) = 0.569 363 (e^{0.709 96} - 1) e^{0.709 96 (k - 4)} \end{cases} k \geq 4 (12)$

将式(11)和(12)叠加得:

${\begin{cases} x^{(0)} (3) = 7 \\ \hat{x}^{(0)} (4) = 11.662 68 \\ \hat{x}^{(0)} (k + 1) = 20.584 559 (e^{0.280 269} - 1) e^{0.280 296 (k - 1)} \\ + m (k + 1) 0.569 363 (e^{0.709 96} - 1) e^{0.709 96 (k - 4)} \end{cases} k \geq 4 (13)$

利用马尔可夫过程来确定m(k+1)在k=7时的值。观察表2,m(k)由+1向+1转移的次数是2,向-1的转移次数为

1,因此+1向+1转移的概率为p11=2/3;+1向-1转移的概率p12=1/3,同理-1向+1转移的概率为p21=1/3;同理-1向-1转移的概率为p22=2/3。综上所述得到的状态转移矩阵为:

$p = [\begin{matrix} 2 / 3 & 1 / 3 \\ 1 / 3 & 2 / 3 \end{matrix}] (14)$

由于最后一个值m=-1初始状态向量π(0)=[0 1],预测第t期状态转移的结果:

$π (t) = [0 1] \cdot [\begin{matrix} 2 / 3 & 1 / 3 \\ 1 / 3 & 2 / 3 \end{matrix}]^{t} (14)$

当t=1时,π(1)=[1/3 2/3]出现正号的概率为1/3,负号的概率为2/3,因此m(8)=-1。

1990年以后实际发生涝灾的年份序号为39,当k=8时代入各模型计算结果列于表2最后一行,结果表明相对误差减小了近五倍。为了便于将GM(1,1)模型与改进组合模型进行比较,将预测值与实际绘于图1;将检验值的结果列于表3。

从图1可以看出改进后的模型与实际值较接近,由表3可以看出马尔可夫改进残差灰色模型对灰色模型进行修正后的检验值,明显优于GM (1,1)模型的检验值,且马尔可夫残差改进模型的检验值基本上均达到了一级。

3 结语

研究结果表明:基于马尔可夫过程改进残差灰色模型明显优于一般的GM(1,1)模型,新模型不仅可应用于涝灾的预测,还可以应用于其他灾害预测,只要已知发生灾害的时间序列,就可以应用该模型进行预测。

用马尔可夫改进残差灰色模型对灰色模型进行改进,是一种既方便又可靠的方法。另外,在实际建模中,原始数据序列不一定全部用来建模,选择适当的原始数据将得到更加准确的预测效果;为提高多序列残差灰色预测的精度,将神经网络模型与灰色预测模型相结合,也会大大提高预测精度。

灾变预测的研究目前尚处于起步阶段,很大一部分研究还局限在以年或月为时间段的预测方面,其计算方法还不够成熟;再者很多部门仅以单因素为标准来划分是否发生灾害,没有考虑到其他因素的综合影响,使模型的计算结果具有不确定性,因此还有待于进一步研究。

灰色残差修正模型篇5

关键词：涌水量,煤矿,突水,模型

矿井涌水量的大小直接影响到井下排水能力的设计, 因此为了保证矿井的安全生产, 必须对矿井的涌水量进行科学的预测。煤矿矿井的涌水主要受到地质构造、煤层顶底板的岩性及其组合构造、采动矿压对煤层底板的扰动作用、岩层的富水性、、含含水水层层的的水头压力及地应力等的影响[1]。在整个系统中存在着一定的不确定性与未知性, 所以整个系统呈现出一种“灰”性[2]。因此, 可以用灰色理论来探讨矿井涌水量的问题。关于矿井涌水量的预测方法有很多种[3,4,5,6,7,8], 鲍道亮等运用GM (1, 1) 模型对苏二煤矿的涌水量进行了动态预测[9];肖云等针对矿区复杂的水文地质条件, 通过建立灰色GM (1, 1) 预测模型, 对铜绿山的未来涌水量变化趋势进行了预测[10]。关于该类问题的研究学者还有很多, 如高志扬, 钱家忠, 张国斌, 肖有才等[11,12,13,14]。上述研究把GM (1, 1) 模型应用在矿井涌水量的预测中, 但是对模型的优化与修正方面的研究还不够深入。在此背景下, 这里介绍一种残差GM (1, 1) 理论的预测模型。

1 GM (1, 1) 模型理论及其求解方法[15]

设:

则:

式 (3) 为GM (1, 1) 模型的原始形式。

设:

其中:

式 (5) 为GM (1, 1) 的基本形式。

设X (0) 为非负序列:

其中, x (0) (k) ≥0 (k=1, 2, …, n) ;X (1) 为X (0) 的1—AGO序列。

其中:

若为参数列且:

则GM (1, 1) 模型x (0) (k) +az (1) (k) =b的最小二乘估计参数列满足:

设X0为非负序列, X (1) 为X0的1—AGO序列, Z (1) 为X0的紧邻生成数列, [a, b]T= (BTB) -1BTY, 则称:为GM (1, 1) 模型:x (0) (k) +az (1) (k) =b的白化方程, 也叫影子方程。

设如式 (11) 所述, 则:

1) 白化方程的解也称时间响应函数为:

2) GM (1, 1) 模型x (0) (k) +az (1) (k) =b的时间响应序列为的还原值。

其中, a为发展系数;b为灰色作用量。

设ε (0) = (ε (0) (1) , ε (0) (2) , …, ε (0) (n) ) 为X (0) 的残差序列, 则按前面所述的GM (1, 1) 建模方法可以得出残差的模拟序列为:

则相应的残差修正时间响应式为:

上述式子即为残差GM (1, 1) 模型。

2 实例分析

这里我们选取梧桐庄矿1998年—2002年的涌水资料为依据, 来进行算例分析, 其历年涌水量如表1所示。

1) 据上面所述的计算方法对X (0) 作1—AGO序列可得:

2) 对X (1) 作紧邻均值生成。

令:

得:

于是:

对参数列进行最小二乘估计得:

3) 确定模型:

其时间响应式为:

4) 求X (1) 的模拟值:

(4.920 000, 9.436 749, 16.637 695, 28.117 995, 46.420 765) 。

5) 还原求出X (0) 的模拟值。

由:

得:

6) 检验误差, 由表2可以算出残差的平方和:

平均相对误差为:

7) 取得残差段为:

此为可建模残差段, 取绝对值得:

8) 建立GM (1, 1) 模型, 得ε (0) 的1—AGO序列ε (1) 的时间响应式为:

其导数还原值为:

9) 由可得累减还原式的残差修正模型为:

按此模型对表2中的模拟数据进行修正, 修正后的精度如表3所示。

由表3可以算出残差的平方和:

平均相对误差为:

3 结语

灰色残差修正模型篇6

一般来说, CPI稳定是政府工作的重要社会经济目标, 因此找出哪些因素在起推动作用, 已经成为国家关注的焦点。然而居民消费价格指数的影响因素很多, 可以看作是一个复杂系统, 因此引入灰色系统理论[5]来对居民消费指数进行分析, 预测居民消费指数未来的走势。

灰色系统预测法灵活简便, 对样本数据没有特别的要求和限制, 可在样本容量较小或者数据波动较小的情况下进行短期预测, 但数据波动变化时, 单纯地采用GM (1, 1) 模型[6]进行预测可能误差较大, 因此有必要对普通模型进行改进。本文首先采用残差修正的方法对普通模型进行改进, 然后对改进后的模型进行可靠性验证, 最后对我国居民消费价格指数进行预测。

1 改进GM (1, 1) 模型的方法与步骤

1.1 原始GM (1, 1) 模型

目前, 灰色理论模型应用最多的是含有一个变量和一个一阶灰色微分方程的模型, 简称GM (1, 1) 。该模型的计算主要分为以下四个步骤来完成。

第1步:累加生成。设原始数据序列[7]:

式中。对其进行1次累加生成, 以弱化随机性, 强化规律性, 得到生成序列为:

第2步:均值生成。对累加数据序列 (2) 按式 (3) 作紧邻均值生成, 得到序列[8]:

第3步:建立G M (1, 1) 模型。由一阶灰色模块建立GM (1, 1) , 对应的白化微分方程为如下初值问题:

式中, a、u为待辨识的参数。由常微分方程理论中的常数变易法或Laplace变换法, 求得方程 (4) 的解析解为:

利用最小二乘法估计a、u值为:

其中:

将a、u的最小二乘解代入方程 (5) , 得到近似解:

取离散形式得到式 (10) :

式中,

还原到原始数据, 即为GM (1, 1) 动态预测模型:

第4步:可靠性检验。灰色系统模型的检验方法有三种:残差合格 (相对误差) 、关联合格、后验差合格 (均方差比合格、小误差概率合格) , 一般情况下后验差检验应用最为广泛。因此本文采用后验差检验。

记S1为原始数据的标准差, S 2为绝对误差数据标准差, 方差C=S1/S 2, 后验差比值C越小越好;小误差概率为残差与残差平均值之差小于给定值0.6 74 5 S1的频率:, 小误差P越大越好[9], 判断标准如表1所示。

1.2 残差修正模型的改进

普通的GM (1, 1) 模型如果经过可靠性检验后, 相对误差较大或者关联度不够强, 此时普通的GM (1, 1) 模型就不能用来准确预测了, 需要对模型进行残差修正。若残差数据不满足非负递增的条件, 直接运用GM (1, 1) 模型将因误差太大而不能使用, 因此需要将原始残差数据修正为非负递增的数据。

对于含有负值的数列, 进行多次累加有时可以得到非负数列, 有时候采用累加无法达到目的;采用累加法有时候即使达到了非负数列, 数列却不是递增的, 采用GM (1, 1) 模型也将会导致误差很大。基于此情况, 提出一种解决此问题的方法。

设有原始残差数列, 它含有负值项, b为该数据列中数值最小的一项的值, 即:

很显然b为负值。设再设:

则数列是非负数列。经过一次累加得到:

数列是非负的, 但是当j>1时, 由于, 则该数列不是严格递增的, 因此必须将数列进行二次累加才可以得到非负递增数列:

以为基础建立模型得到预测值:

在此, 可以根据前面对初始值的改进算法, 对初始值进行改进后得:

其中,

得到预测值后还需要经累减及降值还原:

则得到的就是原始数列的预测值。

2 算例应用

针对2007~2011年我国居民消费价格指数情况 (见表2) , 运用灰色理论对2012年我国居民消费指数价格进行预测并与实际值进行对比, 说明改进后的GM (1, 1) 模型的可行性。

根据公式 (1) ~ (11) , 经过计算可以得到a=-0.027, u=106.33, 此时可以得到时间响应函数为:

还原到原始数据, 即为普通GM (1, 1) 动态预测模型:

根据原始序列的灰色预测模型, 可以得出2007~2011年的居民消费价格指数预测值分别为:106.4, 110.69, 113.72, 116.83, 120.03。则与实际值之间的差值 (残差) 为:0, -1.91, 1.82, 1.23, -1.77。即原始残差数列

注:数据来源《中国统计年鉴》。

根据公式 (12) ~ (20) , 经过一次累加, 可得预测的值的灰色模型为:

然后还原到原始残差预测模型值:

综合以上, 可得居民消费价格指数的预测模型为:

表3和图1是我国居民消费价格指数的灰色预测结果。经检验后验差比值C=0.34, 小误差P=0.96, 后验差精度满足一级要求, 结果好。通过计算可得, 普通灰色模型预测出来的结果与实际值之间的相对误差平均百分比为1.237%, 而改进后的相对误差平均百分比为0.060%, 说明改进后的模型比普通模型的预测精度提高了。并且可以看出, 利用普通灰色模型预测2012年值与实际值相比, 相对误差为1.36%, 而通过改进后的灰色模型预测出来的相对误差仅为0.016%。

3 预测与结论

根据改进后的模型可以预测2014~2016年我国居民消费价格指数分别为:130.16、133.72、137.38, 可以看出我国居民消费价格指数在逐年上升。尽管我国居民消费价格指数在上升的过程中会受到很多因素的影响, 比如收入水平的高低、物价的波动、商品经济的发展等, 但从该模型在居民消费价格指数短期预测的结果来看, 具有较高的可信度, 政府可以根据预测结果来制定相应的政策以调控宏观经济的整体运作, 提高我国居民生活质量, 因此可以用该模型来进行短期指导与调控。

摘要：我国居民消费价格指数受到诸多因素的影响, 导致数据波动性较大, 单纯地采用灰色预测模型无法更加准确地进行预测, 因此本文提出了基于残差修正的改进GM (1, 1) 模型。首先, 本文介绍了改进GM (1, 1) 模型的建立方法与步骤;接着结合20072011年我国居民消费价格指数建立新的预测模型, 并用2012年数据对模型进行验证合格, 可以用来预测未来几年我国居民消费价格指数, 便于对我国未来居民消费价格指数的宏观调控。结果表明, 该预测方法是可行的, 为相关预测提供了理论依据。

关键词：居民消费价格指数,预测,残差修正,GM (1, 1) 模型

参考文献

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[6]张雅波.灰色预测的GM (1, 1) 模型[J].吉林建筑工程学院学报, 1999 (4) .

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[8]吴天魁, 王波, 周晓辉, 等.火灾损失预测的改进GM (1, 1) 模型[J].数学理论与应用, 2014, 34 (1) .

【灰色残差修正模型】推荐阅读：

残差模型05-31