灰色动态模型群（共4篇）
灰色动态模型群 篇1
本文以非典之后2004年至2010年江西九江市入境旅游人数统计数据建立GM (1, 1) 灰色预测模型, 对未来5年九江入境旅游需求进行预测, 然后利用灰色动态模型群法改进模型, 减少了预测误差, 提高了模型精度, 预测结果为旅游行业制定相关政策提供了可靠依据。
1 GM (1, 1) 模型介绍
GM (1, 1) 模型是目前最常用的一种灰色动态预测模型, 它主要用于对复杂系统某一主导因素特征值的拟合和预测, 以揭示主导因素变化规律和未来发展变化态势。
2 九江市入境旅游需求的GM (1, 1) 模型预测
2.1 模型的建立与求解
将2004年~2010年九江市入境旅游人数作为原始时间序列, 具体见表1。
2.1.1 级比的平滑检验
, 表明序列是平滑的, 可以作数列灰预测。
2.1.2 级比的界区检验
已知n=7, 有界区
为了使所有级比落入界区内, 将作预处理:.
2.1.3 GM (1, 1) 建模
对X (0) 做一次累加生成, 得到X (1) , 则
对于上述的X (0) 的参数GM (1, 1) 按照下式进行最小二乘估计得
将B, Yn代入辨识算式, 有
得GM (1, 1) 模型为
(1) 灰微分方程:
(2) 白化方程:
(3) 白化方程的时间响应式:
根据
可得还原方程为
此为预测方程。
2.2 模型的检验
(1) 残差检验:设绝对残差, 相对残差。对2004～2010年预测结果做残差检验, 运行结果见表2:
(2) 后验差检验:分别为绝对残差序列和原序列的均方差, 这里0.1055<0.35, 所以模型的精度为优。
2.3 模型的评价
由表2可以得到旅游需求模型的的平均相对误差为7.38%, 后验差比值为0.1055<0.35, 模型精度为二级, 可以进行实际预测。
2.4 模型预测
模型通过检验之后, 根据发展系数a的值决定预测长度。当-a≤0.3时, GM (1, 1) 的预测精度较高, 可用于中长期预测, 当0.3<-a≤0.5时, 可用于短期预测。九江市入境旅游需求模型的发展系数-a分别为0.0786小于0.3, 可用于中长期预测, 由此预测九江未来5年入境旅游人数, 其结果见表3。
根据以上结果, 画出预测值与实际值的变化曲线如图1所示:
3 灰色动态模型群改进模型
3.1 模型的建立与求解
首先, 取, 建立第一个模型:
其次, 取, 建立第二个模型:
以此类推, 取, 建立第个模型:
分别对这个n-3模型进行预测, 将所得到的值求出其平均值作为最终的结果:
这里, n=7, 按照上述计算过程和原始数据我们可以得到如下结果 (见表4) :
根据以上结果, 画出预测值与实际值的变化曲线如图2所示:
3.2 模型的检验
(1) 残差检验:设绝对残差, 相对残差, 对2004～2010年预测结果做残差检验, 运行结果见表5:
3.3 模型的评价
由表5可以得到改进后模型预测的平均相对误差为3.21%<5%, 后验差比值为0.05795<0.1055<0.35, 模型精度提高为一级, 预测结果更加准确。
4 结语
利用4个GM (1, 1) 子模型组成的灰色动态模型群对GM (1, 1) 模型进行改进, 减少了预测的相对误差, 提高了模型精度, 说明模型的改进是有效的。考虑到2003年非典对旅游人数的影响, 数据会产生偏差, 因此近期数据的影响比以往更重要。用该方法进行预测时多次考虑了近期数据对未来的影响, 而对时间序列靠前的数据信息使用频率相对减少, 能够作为九江市旅游人数预测模型。旅游业是九江的支柱产业, 九江市旅游指标的准确预测对九江旅游经济发展具有重要作用。
参考文献
[1]汪晓银, 周保平.数学建模与数学实验[M].科学出版社, 2010.
[2]全国大学生数学建模竞赛组委会.数学建模的实践[M].高等教育出版社, 2007.
灰色动态模型群 篇2
数控机床体现了当前世界机床技术进步的主流,是衡量机械制造工艺水平的重要指标[1]。随着现代科学技术的发展,数控机床日趋复杂化、大型化和精密化,对数控机床的可用性要求越来越高。数控机床的结构越复杂,零部件越多,发生故障的概率越高,可用性就越低。怎样降低数控机床故障发生的概率,已经成为贯穿数控机床整个寿命周期的一个突出的问题。目前主要是从以下三个方面入手:1)提高设计阶段的可用性;2)提高生产阶段的可用性;3)提高使用阶段的可用性。在数控机床的使用阶段,如果能够运用故障预测方法,在故障发生之前有效地预测其发生或发展趋势,即能在已发生故障的基础上对以后的故障做出预测,以便及时展开维修,予以预防,那么,这种预测对于数控机床的使用和可用性研究将具有重要意义。
数控机床的故障是随机发生的,而灰色理论[2,3]认为:一切随机变量都看作是在一定范围内变化的灰色量。对灰色量的处置不是找概率分布、求统计规律,而是根据处理的方法来找数据间的规律,这恰恰弥补了概率统计方法的不足。而且灰色模型的预测方程通常较简单,没有复杂的数理推导,易于推广普及,且只需要较少的样本量就可进行预测,故已成为诸多工程领域预测研究中的主导模型[4,5]。为此本文将灰色理论引入数控机床的故障预测过程,建立GM(1,1,P)灰色预测模型,通过新陈代谢过程确定每一初始条件,并采用粒子群算法对每一次新陈代谢过程的背景值P进行优化,以提高模型的预测精度。
1 GM(1,1,P)灰色预测模型的建立
GM(1,1)灰色预测模型的建模并不是直接采用原始数据,而是先将原始数据进行一定的生成变换累加生成或累减生成,用得到的生成数据建立GM(1,1)预测模型。其基本建模过程如图1所示。
改进的GM(1,1,P)模型是在GM(1,1)模型的基础上发展而来的,其建模过程如下[6]:
1)已知原始数据序列X(0)={x(0)(k)},(k=1,2,…,n;n≥4),将原始数列做一次累加生成(1-AGO)得到数列X(1)={x(1)(k)},其中:
按灰色理论的建模方法,GM(1,1,P)灰色模型的1-AGO白化微分方程形式为:
其中,a、b为待定系数,式(2)只有X(1)一个变量,要求解此微分方程,须先确定参数a、b。
2)由X(1)构造序列Z(1)={z(1)(k)},(k=2,3,…,n,满足:
其中,背景值p(k)[0,1];
将式(2)离散化,微分方程变为差分方程,可得到GM(1,1,P)灰色模型的灰色差分方程
3)令
其中,为原始序列的模拟预测值。
由最小二乘法原理,建立如下方程组:
记
则由式(6)可得到:
4)将根据式(7)求得的a、b代入式(2),解此微分方程,得到:
5)对作一次累减(差分)运算(IAGO),得到原始序列模拟预测值:
2 粒子群优化GM(1,1,P)模型进行故障预测
GM(1,1,P)模型一般取背景值向量P={0.5},即为传统的GM(1,1)模型[7,8]。然而在具体应用中,不同的背景值P对模型预测精度的影响效果是不同的[9]。实际上模型的预测精度不仅受背景值的影响,而且也受初始条件(边值)的影响。对于不同的实际问题,背景值和初始条件对模型预测精度的影响效果是一种非线性关系。因此,只能针对具体的实际问题,在满足给定的最小化准则前提下,寻求最佳的背景值和初始条件,以使在相应的模型检验准则下预测的误差达到最小。
基于以上分析,本文以最大相对误差e(k)达到最小准则为目标函数,来探讨求解背景值P与初始条件的方法。其中:
相对误差e(k)为:
在建模过程中,为了及时校正预测方程的参数以适应因随机扰动等原因引起的时变,需要不断补充新信息;同时为了避免随着信息的增加,计算机内存不断扩大,建模运算量不断增大的困难,需要保持建模维数不变。为此建立了新陈代谢GM(1,1,P)模型,其基本思想是[10]:在原始序列中挑选最新的m个(m≥4)数据建立GM(1,1,P)模型,预测下一个数据(第m+1个数据),然后在原序列中去掉第一个数据,加入一个新数据,继续建立GM(1,1,P)模型预测下一个数据,依此类推,每次去掉一个旧数据加入一个新数据。也就是说每次采得新数据后,式(2)所表示的数列中分别去掉最老的一个数据,增加一个最新数据,然后用新数据组重新估计参数a、b,如此不断循环,使初始数列不断地进行新陈代谢。易见,每一次新陈代谢确定一个新的初始条件,可求出GM(1,1,P)模型中的参数a、b,再根据式(10)求出相对误差e(k),以最大相对误差最小为原则寻求最佳背景值P。由于式(10)既不连续,也不可导,这样传统的优化方法失效,故本文将粒子群理论引入故障预测模型,通过粒子群优化算法来寻求最佳背景值。以下为一次新陈代谢过程。
1)初始化一个规模为M的粒子群,设定初始位置向量P0和初始速度向量V0。为保证GM(1,1,P)模型优于普通GM(1,1)模型,可取P0=(0.5,0.5,,0.5);…
2)将原始数据序列X(0)根据式(1)做一次累加生成得到数列X(1)={X(1)(k)};
3)根据式(3)构造背景值序列Z(1)={z(1)(k)},k=2,3,…,n,由式(7)求得a、b的值;
4)将a、b的值代入式(8),求得;
5)根据式(9)对作一次累减运算,得到原始序列模拟预测值;
6)计算每个粒子的适应值,适应度函数即粒子群优化算法的目标函数,在最大相对误差达到最小准则下,取适应度函数:
7)将每个粒子的适应值与其经历过的个体最优位置pbest的适应值进行比较,若前者优于后者则将前者作为个体最优位置;
8)将每个粒子的适应值与其经历过的全局最优位置gbest的适应值进行比较,若前者优于后者则将前者作为全局最优位置;
9)在找到这两个极值后,根据式(12)、式(13)的速度、位置进化方程来更新粒子[11,12]:
其中:
K-收敛因子,满足
W-惯性权重,满足
N-总进化代数;
c1、c2-学习因子,通常取0~4之间的非负常数;
r1、r2-取0~1之间的随机数。
10)如果满足终止条件,则输出解,否则返回3)。
3 应用
为检验方法的有效性,将提出的预测模型应用于某型数控车床主轴的故障预测。在试验中采集到8个现场故障数据,故障时间依次为{118.99200.39 293.13 400.89 529.50 688.98 899.04 1187.45}(单位为h)。
注:表中e行各列分别表示预测的第6、7、8个故障时间的相对误差。
由于GM(1,1,P)模型的预测精度与建模的维数有关,老信息太多往往会淹没新信息,使预测对系统的波动反映迟缓,跟踪性变差,故取建模维数为5。即以前5个数据为原始序列,通过3次新陈代谢得到后3个数据的预测值,进化过程中选取粒子种群数为20,进化代数为20。其故障预测结果如表1和图2所示。
从表1可知,经过三次新陈代谢所得到的预测结果的相对误差分别为3.97%、1.82%、1.51%,预测值与实际值的相对误差较小,预测精度较高。从图2可以看出,故障发生时间的预测值与实际值变化趋势一致。由此可见将此预测模型应用于数控机床的故障预测是可行的。
4 结论
数控机床的故障是随机发生的,其故障预测较为困难。采用基于粒子群优化算法的GM(1,1,P)改进灰色模型,以采集到的数控机床现有故障数据为依据,预测未来故障的发生时间,其预测精度较高,可为进一步有针对性地制定维修策略、避免事故的发生、提高数控机床的可用性提供理论参考。
参考文献
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灰色动态模型群 篇3
21世纪以来, 经济增长的主要动力来自于知识与科技创新。作为科学知识和技术的载体, 人才是先进生产力的代表, 是推动科技经济发展的主体力量。因此在“十一五”即将结束, 准备迎接“十二五”之际, 切实做好人才队伍的建设工作是实施人才强国战略、实现中华民族伟大复兴的重要保证。所以我们对未来的人才数量的发展趋势做出预测, 并以这种预测作为规划和决定的依据, 正确制定人才资源开发和管理战略。
笔者选用专业技术人员的相关数据作为预测的基础数据, 主要是因为专业技术人才是人才队伍中的主导力量, 它的发展与变化总体上能反映出整个人才队伍的变动趋势。因此, 本文用灰色动态模型对我国专业技术人才需求总量进行了预测, 以便为人才培训政策制定提供决策参考, 为我国经济和社会发展的决策和研究提供科学依据。
2 灰色预测模型原理、方法
灰色系统理论是运用于控制与预测的新模型横断学科理论。灰色系统是指界于白色系统 (信息完全已知) 和黑色系统 (信息完全未知) 之间, 部分信息已知, 部分信息未知的数据系统。其研究对象是“部分信息已知”的小样本、贫信息和不确定系统, 其突出特点是“少数据建模”。灰色系统理论认为, 任何随机过程看成灰色过程。灰色系统通过对原始数据的一定变换处理以寻求其变化规律。
2.1 灰色预测概念
灰色预测的特点是单数列预测。在形式上, 只运用预测对象自身的时间序列建立模型, 与其相关联的因素没有参与运算和建模, 但是这并不是说那些因素对预测对象没有影响和作用。灰色系统的“灰”, 正体现在这里, 任何一个客观系统, 究竟含有多少因素, 是很难说清楚的。如专业技术人才系统, 影响其增长的因素既有经济的, 也有社会的, 还有教育方面的, 这些众多的因素不是用几个指标所能表达清楚的, 而且这些因素之间的结构关系难以准确描述, 它们对专业技术人才的作用更是无法精确计算。多数因素都在动态变化之中, 其运行机制和变化规律难以完全明白。这反映了专业技术人才系统具有明显的灰色性, 它是一个既含有许多已知信息, 又存在许多未知或未确知信息的灰色系统。灰色系统理论把这样受众多因素影响, 而又无法确定其复杂关系的量, 称为灰色量。对灰色量进行预测, 不必拼凑数据不准, 关系不清, 变化不明的参数, 而是从自身的时间序列中寻找有用信息建立模型, 发现和认识内在规律, 并进行预测。灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测, 就是对一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的, 但毕竟是有序的、有界的, 因此这一数据集合具备潜在的规律, 灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型进行预测[1]。而通过分析我们不难发现专业技术人才系统与众多因素有着十分密切的关系, 这些关系中含有许多未知信息, 故可认为是一个灰色系统。因此, 本文选用一阶1个变量的微分方程GM (1, 1) 模型 (Gray Model) 对专业技术人才做较全面地分析及预测。
2.2 GM (1, 1) 模型的计算方法
GM (1, 1) 预测模型如下:[2]
构造原始数列:
x (0) ={x (0) (1) , x (0) (2) , x (0) (3) , …x (0) (N) }
可分别从x (0) 序列中, 选取不同长度的连续数据作为子序列, 对于子序列建立GM (1, 1) 模型的步骤可以概括为:
1) 确定任一子数据序列xundefined=[x (0) (1) , x (0) (2) , …x (0) (n) ]
2) 对原始数列 (1) 做一次累加生成, 可以得到:
x (1) ={x (1) (1) , x (1) (2) , x (1) (3) , …x (1) (N) }
其中undefined。
3) 构造累加矩阵B与常数项向量
undefined
4) 运用最小二乘法求解参数undefined:
undefined。
5) 将灰色参数带入时间函数, 计算x (0) (t) 与undefined之差q (0) (t) 及相对误差e (t) :
undefined
GM (1, 1) 模型精度诊断
在运用GM (1, 1) 模型进行预测的基础上, 还要对预测结果的精度进行诊断与评判。
运用后验差诊断模型的可靠度, 计算观察数据离差s1及离差的残差s2:
undefined
计算后验比和小误差概率为:
C=s1/s2;
undefined
预测结果的诊断标准如表1所示
我们在应用时, 可以根据数列的动态规律和变化特征与系统未来发展趋势是否相近, 来适当选择不同的子序列进行建模, 并从中选择最佳模型进行预报。
3 GM (1, 1) 动态模型的建立
一般情况下, GM (1, 1) 模型通过对数列长度的不同取舍, 可得到系列预测结果, 而组成一个预测灰色区间, 即灰面, 供决策选用。但有时利用GM (1, 1) 模型预测所得灰色区间过大, 而失去意义。因为GM模型预测灰平面成一喇叭型展开, 即预测时刻越远预测的灰区间越大 (如图1) [3]。
因此笔者针对GM (1, 1) 模型的不足, 建立多个维度的GM (1, 1) 模型。本文的基本思路是使用GM (1, 1) 模型预测时, 建立多个不同维度的灰色模型, 从中选取精度最高的M维模型进行预测。GM (1, 1) 模型预测的特点是预测的第一个值效果最好, 因此我用GM (1, 1) 模型只预测第一个值, 然后将这个预测值补充到预测数列后, 同时去掉预测数列的第一个值, 保持一个维度不变的状态依次下去, 灰色依次递补, 达到预测的目的。它可以达到两个目的: (1) 及时补充和利用新的信息, 提高了灰区间的白化度。显然, 用改进后的新模型再预测下一值。这比继续用原模型进行预测要合理、且更接近实际。 (2) 每预测一步模型参数做一次相应的修正, 模型得到改进。因而预测值都产生在动态之中。[3]
3.1 中长序列的灰数递补预测
我们根据《中国人才报告:构建和谐社会历史进程中的人才开发2005》中专业技术人才数量的相关统计数据, 运用灰色动态GM (1, 1) 模型, 采用等维灰数递补动态预测方法, 对我国专业技术人才总数进行不同序列长度的预测, 并进行回代检验与误差分析如下:
分别选取1978—1993和1988—1998年两个不同序列, 建立GM (1, 1) 模型, 进行灰色递补动态预测, 再将1999—2002年预测值与实际统计数字进行误差分析如下表2。
结果分析如下:
1) 从表2中可以看出, 长序列 (15以上) 递补预测预测误差高于短序列 (10年) 递补预测的误差, 且预测时间越远, 误差越大。
2) 10年序列进行递补预测, 误差较小。因此本文可以选用10年或低于10年的序列进行灰数动态递补, 效果会较佳。
3.2 短序列的灰数递补预测
我们根据《中国人才报告:构建和谐社会历史进程中的人才开发2005》中相关统计数据, 采用五维、六维、七维、八维序列进行灰数递补预测, 且必要时对其进行残差调整, 提高预测值的精确度, 然后用1996—2002年的实际人才数进行误差检验。结果分别列于表3-1、3-2、3-3、3-4、3-5、3-6、3-7、3-8:
对以上五—八维四种短序列的灰数递补预测值及其误差检验的分析结果如下:
1) 四种短序列的递补预测误差普遍小于中长序列 (10年以上) 的预测误差。
2) 四种短序列的递补预测误差规律性较强。在没有进行残差调整的情况下, 各误差表中左下角最大, 向上与向右逐步减低, 这表明:预测时间越远误差越大, 而构成预测序列的时间越近预测误差也越小。而由于预测时间越长, 误差就会越大, 因此笔者为了提高预测精度, 对其进行了残差调整, 其结果如上各表。
3) 在四个短序列中, 五维、八维序列的预测值与实际数最为接近, 误差大多数都是在4%一下, 六维、七维序列的预测误差也很小, 从表中可见, 预测一年的误差大部在5%一下。因此本文选用五维、八维序列进行建模, 对未来是十年的专业技术人才数进行预报。
4 运用灰色动态模型对我国未来四十年专业技术人才需求量的预测
根据以上对我国总的专业技术人才预测的实证分析, 本文分别运用最新的五维—八维序列对我国专业技术人才进行了未来40年预测, 结果列于表3:
预测结果的分析:
我们通过以上对我国专业技术人才的需求量预测和分析, 可以得出以下结论:
1) 通过灰色动态模型的预测结果可知, 未来四十年随着知识经济的发展, 社会对专业技术人才数量的需求不断加大。从2010年到2050年, 五、八维度序列预测结果显示, 专业技术人才需求量增长了三倍左右。
2) 相对专业技术人员的需求来说, 专业技术人员的供给具有滞后性, 因此, 基于此研究结果努力做好未来专业技术人员的规划及培训等工作, 从而推动经济又好又快发展。
参考文献
[1]郝永红, 等.灰色动态模型及其在人口预测中的应用[J].数学的实践与认识, 2002 (32) :1.
[2]邓聚龙.灰色系统理论教程[M].武汉:华中理工大学出版社, 1990:9-16.
灰色动态模型群 篇4
关键词：甲型肝炎,动态灰色模型,预测
探索合理的预测方法对于传染病预防与控制非常重要, 灰色模型在传染病预防中的应用日渐增多[1,2]。常规G M (1, 1) 模型建模序列只考虑过去n个数据, 用此模型进行预测, 精度较高的仅仅是邻近的几个数据, 距离当前时刻越远, 预测的意义就越弱。在预测的过程中, 原始数据的个数会直接影响预测结果。以最新数据为端点, 在不小于最小长度的基础上 (一般不低于5个) , 取不同的数据长度建立的G M (1, 1) 模型, 称为动态G M (1, 1) 模型[3]。在灰色模型中, 对于应用多少个时间序列数据来进行预测, 值得深入探索。本文以辽宁省葫芦岛市甲型肝炎发病率数据为基础, 试图通过调整训练数据的个数, 确定适当的训练阈值, 建立一种动态的灰色模型, 为获得最佳学习效果、提高预测精度提供参考和借鉴。
1 资料来源
资料来自辽宁省葫芦岛市疾病预防控制中心, 收集1 9 9 0~2 0 1 3年葫芦岛市2 4年间甲型病毒性肝炎的发病率。
2 方法
2.1 动态G M (1, 1) 预测方法
在普通G M (1, 1) 的基础上[1,2], 通过变换不同的输入数据个数阈值, 利用1 9 9 0~2 0 0 7年发病率构建灰色模型, 然后对2 0 0 8~2 0 1 3年发病率进行预测。
2.2 统计分析
利用E x c e l 2 0 0 7输入数据并构建动态灰色系统模型, 模型的判别标准为:模型的精度由C和P共同决定。一般情况下, 将模型的精度划分为四个等级。当C≤0.3 5, P≥0.9 5时, 模型的精度等级为1级 (好) ;当0.3 5
3 结果
传染病数据动态模型研究地区甲型肝炎1 9 9 0~2 0 1 3年发病率线图, 见图1。1 9 9 3年发病率最高, 达到68.79/1 0万, 以后呈现指数形式的降低趋势。每7~8年有一个小的周期波动。
分别取维数6、9、1 2、1 5和1 8, 灰色模型优劣评估参数见表1。可以看出最优的阈值维数为1 5, 此时模型的C=0.3 57 4, P=0.9 2 8 6, 平均相对误差最小, 模型评价等级为2级, 效果最佳, 见表1。
然后采用动态灰色模型, 分别利用前1 5年的数据预测下一年的发病率, 也就是利用1 9 9 3~2 0 0 7年数据预测2 0 0 8年发病率, 利用1 9 9 4~2 0 0 8年数据预测2 0 0 9年发病率, 以下依次类推, 结果详见表2。从表2中, 可以看出动态模型预测值与真实值更加接近, 优于非动态模型。
4 讨论
与某些传染病发病趋势不同的是, 甲型肝炎的发病率并非一直单调增加或减少, 如果不确定合适的阈值, 基于灰色模型G M (1, 1) 进行预测的效果不理想。本研究采用动态模型, 有效地提高了模型的拟合能力。但前提条件是, 无论是动态灰色模型还是普通模型, 都必须在一定数据满足指数分布才会有效。传染病中某些呈现周期性波动的数据, 即使利用动态模型也会失效。研究发现, 葫芦岛市的甲肝发病率近些年来呈现低发态势, 处于散发状态。如果没有突发的爆发和流行, 预计2 0 1 4年发病率依然会延续以往的趋势。继续保证监测数据的质量, 注重传染病预测方法的研究, 将为提升传染病防控体系奠定良好的基础。
参考文献
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