变截面杆

2024-12-08

变截面杆（共7篇）

变截面杆篇1

0 引言

在实际结构工程设计中, 通常要考虑结构稳定性, 这就涉及临界载荷的计算及求解问题。特别是在工程机械行业, 随着对起重设备作业空间的要求越来越大, 长细结构形式不断涌现, 同时从轻量化角度出发, 出现了阶梯式变壁厚变截面的情况, 这对结构稳定性的临界载荷计算及求解带来难度。

目前, 关于n阶变截面结构临界载荷的计算方法有很多, 主要有能量法、传递函数法、有限单元法、等效刚度法、半解析法等。其中, 能量法[1]是根据能量变分原理中的Ritz法, 依据系统平衡时总势能为驻值的原理求得临界载荷, 其优点是具有通用性, 但该方法以假定变形曲线为条件, 计算结果往往有较大误差;传递函数法[2]是将变截面杆件分成若干小段建立场矩阵, 继而建立特征方程求解其特征值 (即临界载荷) , 但此方法只能适用于直径或边长呈线性变化的锥形压杆;有限单元法[3]是采用三维退化原理, 建立分支屈曲模型, 求解刚度矩阵后代入稳定性特征方程, 得到的最小特征根即是临界载荷, 但需假定屈曲前应力和外载荷是线性的, 且变截面结构材料为线弹性;半解析法[4]是利用模态摄动法原理, 把变截面压杆看作是对应等截面压杆经过小参数修改后得到的新系统, 再利用等截面压杆进行摄动分析计算临界载荷, 此方法适用于各种截面抗弯刚度变化的情况, 但所得的矩阵公式复杂, 解析法求解难度大。对于临界载荷求解的方法及过程, 有学者提出一种数值迭代方法[5], 基于稳定基本原理, 均匀离散变截面结构, 建立挠曲线微分方程组, 再求解其收敛的迭代式, 最终求得临界载荷, 但其计算的临界载荷公式复杂, 求解收敛的迭代式繁琐。另一国外学者提出一种VIM (variational iteration method) 法[6,7], 该方法精度高, 具有高效性和可行性, 但仅针对低阶变截面结构, 且要求截面是连续变化的。

本文针对离散化变截面结构, 建立n阶挠曲线方程组, 根据相邻阶的边界条件, 求解得到n阶变截面临界载荷的关系式, 利用Newton迭代法求解临界载荷。算例表明, 所提出的方法简单易行, 结果合理可信。

1 n阶变截面结构临界载荷的计算方法

图1所示为一变截面悬臂结构, 其底端固支, 顶端自由, 并在顶端受一轴向载荷P作用。当载荷P达到临界值时, 悬臂结构将由直线平衡状态转变为曲线平衡状态, 此时载荷P为临界载荷。通常, 悬臂结构的截面变化是从底端到顶端逐渐减小的, 有连续式的, 也有阶梯式的。若是连续的变截面结构, 可分成多阶阶梯段后对每一阶取其等效的惯性矩即可。在此我们将变截面结构离散化, 即分成多阶不同的阶梯段。

在不考虑结构自重的情况下, 对于任一阶梯段, 当受到轴向载荷P作用时, 由于侧向扰动, 会伴随有侧向弯曲变形, 建立如下挠曲线微分方程[8]:

式中, E为结构材料弹性模量;I为截面惯性矩;y为y方向的挠度;M为因弯曲变形引起的弯矩。

为简化计算难度, 对图1中变截面结构的每一阶独立建立局部坐标系, 由式 (1) 得每一阶的挠曲线微分方程, 任一阶的局部分析图见图2。故n阶阶梯型悬臂结构在弯曲平衡状态下的通用挠曲线方程为

其中, Δi (i=1, 2, …, n) 为各阶最大挠度;Li为变截面结构每一阶长度;Ii为变截面结构的每一阶等效惯性矩;yi为各阶挠度。

将式 (2) 挠曲线方程组转化为二阶常系数非齐次线性微分方程组:

对于图1所示模型的边界条件, 易知结构底端挠度为0, 其偏转角也为0, 即对于一阶, 局部坐标x1=0时, y1=0, y′1=0, x1=L1时, y1=Δ1;对二阶, 局部坐标x2=0时, y2=Δ1, y′2=y′1, x2=L2时, y2=Δ2;同理, 可知其他各阶的边界条件。则二阶常系数非齐次线性微分方程组的边界条件汇总如下:

然后, 由边界条件求得二阶常系数非齐次线性微分方程组的通解:

其中, 系数Ai、φi (i=1, 2, …, n) 是合并三角函数时的替代量, 不用具体求出。

最后, 将边界条件式 (4) 代入方程组通解式 (5) 中, 消去Ai、Δi (i=1, 2, …, n) , 得到Li、ωi及φi (i=1, 2, …, n) 间的关系式。

当n=1时, 即一阶变截面时

当n≥2时

由式 (7) 可以看出, 代入后, 逐步消去式中φi (i=2, 3, …, n-1) , 当n阶变截面结构各阶长度和惯性矩为已知量时, 关系式中只有临界载荷P为未知量, 即以上关系式是关于临界载荷P的方程, 求解之就能得到n阶变截面结构的临界载荷值。当阶数n较小时可用解析法求解, 但当阶数n增大时, 用解析法求解的难度增加。

2 n阶变截面结构临界载荷的求解方法

鉴于前述方程采用解析法求解有难度, 并考虑迭代的收敛性问题, 本文采用Newton迭代法进行求解。Newton迭代法是数值迭代方法中使用最广泛的方法, 其基本思想是将非线性问题转化为线性问题求解, 即取初始值附近展开的泰勒级数的线性部分作为近似方程求解。其最大优点是在f′ (x) ≠0情况下具有平方收敛的性质。在初始值选取合适时可以始终保证迭代过程的收敛性, 且收敛速度快, 另外, 表达式简单, 只需对函数求一阶导数。

对于函数f (x) =0, 其Newton迭代法的表达式如下:

因此, 对于式 (7) , 我们可以看成是关于临界载荷P的函数F (P) =0, 即

然后, 对F (P) =0求一阶导数, 得

故函数F (P) =0的Newton迭代公式为

其中, 迭代的终止条件为|Pj+1-Pj|

式 (7) 中的通式φi (i=2, 3, …, n-1) 及式 (10) 中通式φ′i (i=2, 3, …, n-1) 可在程序中调用循环函数逐一求解。再利用式 (11) 进行数值迭代计算, 迭代终止时所求的临界载荷为P=Pj+1。

本文应用C++语言将算法程序化, 程序界面中只给出最多10阶的计算结果, 可根据需要扩展。界面中给出了变截面长度系数μ2, μ2表示截面变化对结构临界载荷的影响, 它是通过临界载荷欧拉公式[8], 由所求解的临界载荷值反求得到。

为避免求解F (P) =0一阶导数的复杂性, 可采用差商来代替Newton迭代法中的一阶导数值, 这种迭代法称之为弦截法。其优点是可避免求解复杂的一阶导数, 且与Newton迭代法具有同样快的收敛速度。但弦截法需设定两个初始值x0和x1, 且两个初始值的设定要求很高, 否则很容易造成不收敛。弦截法公式具体如下:

3 算例分析

本算例是以1200t全地面起重机伸缩臂为例进行分析。图3为1200t全地面起重机各级臂图, 每一级伸缩臂的截面尺寸不同, 呈阶梯变化, 在回转平面内臂架可看作底端固支、顶端自由的悬臂梁, 作业时将承受轴向载荷。各级臂的长度及截面性质见表1, 臂架截面形式如图4所示。根据式 (7) , 分别应用Newton迭代法、弦截法计算伸缩臂的临界载荷, 所设定的迭代终止条件e=1.00×10-2。不同阶数臂架临界载荷的计算结果见表2。

为进一步验证计算结果的正确性, 与ANSYS有限元软件的计算结果进行对比。采用Beam44梁单元建模, 对不同的截面赋予不同的单元属性, 按悬臂梁方式, 在臂架根部施加位移与角度全约束, 在臂架顶端施加大小为1.0×105N的轴向载荷。然后, 分析模型的稳定性, 获取屈曲特征值 (量纲一量) , 其与施加载荷的乘积即为臂架临界载荷, 即当载荷达到此临界载荷时, 将发生臂架失稳。图5显示了1-2级和1-3级臂全伸时的失稳前后的状态云图, 图中灰度表示失稳时的量纲一位移 (位移进行了归一化处理, 臂架头部的位移最大, 定义为1, 其他部位的位移是其绝对值与最大位移的比值) 。ANSYS的计算结果及三种方法的对比结果如表2所示。从表2可以看出, Newton迭代法、弦截法与ANSYS计算结果基本一致, 表明迭代方法求解结果的可信性。

通过计算发现, 两种迭代法中, 临界载荷初始值的选取对弦截法的影响较大, 如果选择不当, 甚至导致计算无解, 而对Newton迭代法影响很小。表3列出了选取不同初始值8级臂全伸工况下的临界载荷结果比较。由表3可看出, 尽管Newton迭代法在计算一阶导数时相对复杂, 但其计算结果不受初始值影响。因此, 相比之下, Newton迭代法较之弦截法更有效与合理。

4 结论

本文针对n阶变截面结构临界载荷计算及求解的问题, 分析了相应离散化力学模型, 建立了挠曲线方程组, 结合相邻阶的边界条件, 推导出临界载荷的关系式, 应用Newton迭代法和弦截法进行问题求解, 并实现程序化。通过对1200t全地面起重机的伸缩臂实例进行分析, 并与ANSYS有限元分析结果进行对比可知两种方法均是可信的, 初始值对结果的影响分析表明了Newton迭代法的合理性与高效率性。

参考文献

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[8]刘鸿文.材料力学[M].4版.北京:高等教育出版社, 2004.

弹性介质上等截面压杆稳定分析篇2

当压杆结构体系处于稳定平衡状态时, 给予微小扰动使其偏离原来的平衡位置, 体系在可能位移下的应变能U, 结构荷载势能UP。结构在从稳定过渡到不稳定平衡而处在临界状态时, 其势能为:EP=U+UP。设压杆有任意可能位移, 见图1, 变形曲线为: $y = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} ϕ (x)$ 。

其中, ϕ (x) 为满足边界条件的已知函数;ai为任意参数, 则:弯曲应变能:

$U = \frac{1}{2} \int_{0}^{l} E Ι (y^{″})^{2} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{l} E Ι [\sum_{i = 1}^{n} a_{i} ϕ (x)^{″}]^{2} d x$ 。

取微段AB分析, 如图1所示, 则微段两端点竖向位移的差值dλ为:

$\begin{array}{l} d λ = A B - A_{1} B_{2} = d x - \sqrt{d^{2} s - d^{2} y} = d x - d x \sqrt{1 - y^{'}^{2}} \\ \approx \frac{1}{2} (y^{'})^{2} d x 。 \end{array}$

即: $λ = \frac{1}{2} \int_{0}^{l} (y^{'})^{2} d x$ 。

荷载势能: $U_{Ρ} = - Ρ λ = - Ρ \frac{1}{2} \int_{0}^{l} [\sum_{i = 1}^{n} a_{i} ϕ (x)^{'}]^{2} d x$ 。

体系势能:

$\begin{array}{l} E_{Ρ} = U + U_{Ρ} = \frac{1}{2} \int_{0}^{l} E Ι [\sum_{i = 1}^{n} a_{i} ϕ (x)^{″}]^{2} d x - \\ Ρ \frac{1}{2} \int_{0}^{l} [\sum_{i = 1}^{n} a_{i} ϕ (x)^{'}]^{2} d x 。 \end{array}$

由势能驻值原理可知: $\frac{\partial E_{Ρ}}{\partial a_{i}} = 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ , 得:

$\sum_{j = 1}^{n} a_{j} \int (E Ι ϕ^{″}_{i} ϕ^{″}_{j} - F_{Ρ} ϕ^{'}_{i} ϕ^{'}_{j}) d x = 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ 。

令Kij=∫EIϕ″iϕ″jdx, Sij=FP∫ϕ′iϕ′jdx, 则上式可简写为 $(\vec{Κ} - \vec{S}) \vec{a} = 0$ , 这是关于n个未知参数a1, a2, …, an的n个线性齐次方程。

根据特征荷载和特征向量性质, 参数a1, a2, …, an不能全为0, 则:

$| \vec{Κ} - \vec{S} | = 0$ 。

又因有:

EIy″=M (1)

$y^{'} = \int y^{″} d x + C = \int \frac{Μ}{E Ι} d x + C$ (2)

所以可求临界荷载为:

$Ρ_{c r} = \frac{\int_{0}^{l} \frac{Μ^{2}}{E Ι} d x}{\int_{0}^{l} (\int \frac{Μ}{E Ι} d x + C)^{2} d x}$ (3)

根据上述的解法, 现在来计算弹性介质上等截面压杆AB的临界荷载。

当x=0和x=l时, y=0, 所以可假设y=ax2 (l-x) , 则由平衡条件得:

M=-Pax2 (l-x) +Q (l-x) 。

由莫尔积分的图乘法可求得 (弯矩图见图2) :

$\frac{1}{E Ι} (- \frac{1}{3} Ρ l^{3} a \times l \times \frac{1}{4} l + \frac{1}{4} Ρ l^{3} a \times l \times \frac{1}{5} l + \frac{1}{2} Q l \times l \times \frac{2}{3} l) = 0 。$

求得: $Q = \frac{Ρ a l^{2}}{10}$ 。

即: $Μ = (\frac{Ρ a l^{2}}{10} - Ρ a x^{2}) (l - x)$ 。

故有: $\int_{0}^{l} \frac{Μ^{2}}{E Ι} d x = 6.190 5 \times 10^{- 3} \frac{Ρ^{2} a^{2} l^{7}}{E Ι}$ 。

由式 (2) 及边界条件:x=0时y=0, y′=0可得:

$y^{'} = \int \frac{Μ}{E Ι} d x + C = \frac{Ρ a}{E Ι} (\frac{x^{4}}{4} - \frac{l x^{3}}{3} - \frac{l^{2} x^{2}}{20} + \frac{l^{3} x}{10})$ 。

由式 (3) 求得:

综上所述可以看出, 采用能量法并结合图乘法求上端铰支、下端固端等截面压杆的临界荷载与欧拉法相比, 误差很小, 可以忽略不计。能量法解等截面压杆的临界荷载可以得到满意的结果。同样可以应用于其他各类压杆。

参考文献

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[2]孙国钧.材料力学[M].上海:上海交通大学出版社, 2006:239-254.

变截面悬臂钢梁稳定性分析篇3

钢结构稳定问题是钢结构设计中最核心最重要的问题之一[1]。现行钢结构设计规范中仅给出了常用的几种截面、约束形式下钢梁的稳定计算方法,在实际工程中为适应建筑美观的需要,经常会碰到一些超出规范范围的稳定计算问题。本文以一实际工程为例,通过有限元方法分析了不同约束边界条件下钢梁的极限稳定承载力,得出一些有益的结论,为工程设计提供参考。

1 计算模型

本文模型源自杭州市地标建筑西湖文化广场钢屋面。此钢梁的特点在于:不规则大开孔、变截面、悬臂大,显然按常规杆系单元计算无法得到科学、合理、经济的设计,本文重点讨论悬臂端的稳定问题。由于GB 50017-2003钢结构设计规范对此种钢梁未给出合适的稳定计算方法[2],只能借助通用有限元软件MARC来分析它的整体稳定。采用4节点Shell单元进行分割划分,模型梁的一端和中部采用固定铰支座,另一端为外伸悬臂梁,悬臂端有一钢箱梁连接各榀钢梁,计算时悬臂端考虑三种约束条件:Z方向的位移和绕X轴的转动约束、绕X轴的转动约束和自由悬臂梁。有限元模型考虑了材料非线性和几何非线性,材料应力—应变关系简化为理想弹塑性,服从Von Mises屈服准则。材料为各向同性,弹性模量取2.06×105 MPa,泊松比为0.3,屈服强度为235 MPa。

2 钢梁特征值屈曲分析

线性屈曲分析方法也称为弹性特征值屈曲分析,用于预测一个理想弹性结构的理论屈曲强度,等同于弹性屈曲分析方法,由于初始缺陷的影响,很多实际结构的屈曲行为不是线弹性的,所以特征值分析得到的结构稳定承载力偏不安全,只能作为稳定承载力的上限,对结构稳定承载力有一个大概的估计,线性屈曲分析通常不直接应用于实际的工程分析中,是提供结构最可能失稳的模态,以便于进一步进行非线性屈曲分析[3]。

线性屈曲分析的特征值公式为:

其中,[K]为线弹性刚度矩阵;[S]为几何刚度矩阵;[Χ]为位移特征矢量;λ为特征值。特征值表示给定载荷的比例因子,如果给定载荷是单位载荷,则特征值表示屈曲荷载。在钢梁上翼缘作用0.035 MPa的面荷载(相当于11.67 kN/m的设计线荷载),考虑三种不同悬臂端约束,一阶特征值屈曲形态结果见图1～图3。

由图1～图3可以看出,在不同约束情况下,钢梁的失稳模式是不一样的。而实际工程中的钢梁约束应介于端部自由和端部Z向全截面约束之间。

3 钢梁的非线性屈曲分析

悬臂梁的初始缺陷按第一阶屈曲模态施加,采用弧长法进行荷载—位移平衡路径的跟踪分析,同时考虑几何非线性和材料的非线性[5]。研究悬臂梁一阶失稳模态下平面外位移最大点的荷载—位移曲线来分析结构的整体稳定性,不同约束情况下的应力分布变形图和荷载位移曲线见图4～图6。

此外为考察檩条约束受拉侧(悬臂端上翼缘)情况下,钢梁的极限承载力变化,对钢梁也做了非线性分析,由分析结果可知,在本算例中,随着悬臂端约束的加强,钢梁的极限承载力得到提高;端部全截面Z向位移约束时,极限承载力约为端部无约束时的1.7倍,考虑檩条作用下更是达到2倍。

4 结语

对本算例的变截面大悬臂钢梁,采用MARC通用有限元软件,计算了合乎工程实际的悬臂端三种不同约束情况下的极限承载力。结果表明,不同的端部约束条件对钢梁的极限承载力影响明显,同时也证明了在设计荷载作用下钢梁的稳定性。

参考文献

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变截面微梁的变形分析篇4

1 微梁计算模型

图1为两端固支微梁结构示意图, 图中L、h、b、d分别是梁的长度、厚度、宽度和变形前梁与固定极板的距离。对于变截面矩形微梁, 其截面的宽度和厚度均表示为长度x的函数。

梁弯曲时的载荷、内力、位移之间的关系为:

其中, Q, M, ϕ分别为微梁的剪力、弯矩和转角, E为微梁的弹性模量。

在考虑边缘效应后, 静电分布力的集度可以表示为[4]

将 (2) 式代入 (1) 式, 并进行无量纲化, 令, 可以求出考虑边缘效应后变截面微梁的控制方程:

2 数值计算方法

变截面微梁的控制方程 (3) 式是一阶偏微分矩阵方程, 迭代修正齐次扩容精细积分法非常适合于求解此类方程。在计算中将梁沿长度方向分为若干段, 并以每段内几何尺寸的平均值作为计算值。只要所分的段数合适, 这种处理方式是可以保证计算的精度的。

两端固支微梁起点的转角和位移为零 (ϕ|x=0=0, w|x=0=0) , 但剪力和弯矩的数值是未知的, 因此, 起点处的状态向量未知, 不能直接用精细积分法求解。设起点处未知的剪力和弯矩为, 则起点的状态向量为v={z, 0, 0}T。若给赋一个初值, 就可以利用迭代修正齐次扩容精细积分法求出终点处的状态向量。两端固支微梁在终点处的边界条件为:ϕ|x=L=0, w|x=L=0。借助打靶法的思路, 调整z的值使终点的状态向量满足终点边界条件, 该值就一定是起点处真实的剪力和弯矩。本文采用逆Broyden秩1方法来求解满足终点边界条件的z, 迭代公式为:

式中, , k为迭代的次数, Hk为矩阵, sk为变量误差, 即第k次和第k-1次迭代计算出来的z的差值, yk为函数误差, 即第k次和第k-1次迭代计算出来的G的差值。

在逆Broyden秩1方法中, 初值的选择对于计算结果的精度有很大的影响, 若初值不在真实值的附近, 最终的计算结果会产生很大的误差。具体如下:

将驱动电压均匀分成个区间, 每个区间的增量为∆V。在V=0 (无载荷作用) 时, 很容易知道, 梁起点处的剪力和弯矩都为零, v0={0, 0, 0, 0}T一定为起点的真实状态向量。给电压一个较小的增量∆V, 电压V=∆V, v0应该在真实值的附近, 利用 (4) 式求出该区间的真实状态向量, 记为v1。在第i个电压区间, 电压V=i⋅∆V, 以vi-1为迭代初值可求出该区间初向量的真实值vi。重复以上步骤, 最终可以求出电压V=n⋅∆V时初向量的真实值vn。然后以vn为初向量, 由迭代修正齐次扩容精细积分法就可以求出微梁上任意一点的状态向量。上述增量迭代法可以获得较高的精度和收敛性。

3 数值算例

考虑一两端固支的变截面微梁, 几何和物理参数为:L=2×10-4m, d=3×1 0-6 m, E=160GPa, ε=8.854×10-12F/m。令微梁的厚度h=2e-6m, 宽度呈线性分布, 考察微梁宽度对吸合电压的影响。取起点的宽度b1=2e-5m, 终点宽度b2取不同的值时, 在考虑边缘效应和忽略边缘效应两种情况下, 采用本文方法所计算出来的吸合电压的比较如表1所示。

文献[7]采用表1中的第一组数据计算了不考虑边缘效应时两端固支微梁的吸合电压, 文献中的计算结果为168.8V。对比表1中相应的数据可以看出, 本文所计算出来的吸合电压值与文献值吻合得很好。数据表明, 在不考虑边缘效应时, 矩形截面微梁的宽度对吸合电压没有影响。这是因为不考虑边缘效应时, (3) 式中的非齐次项只有一项。而矩形截面的惯性矩为I (x) =b (x) ⋅h3 (x) /12, 代入非齐次项的表达式后即可将b (x) 消去, 因此, 静电力载荷的大小与宽度无关。由于静电力的增加, 吸合电压减小。宽度越小, 边缘效应的影响越大。

令微梁的宽度b=2e-5m, 厚度呈线性变化, 考察微梁厚度对吸合电压的影响。取起点的厚度h1=2e-6m, 终点厚度h2取不同的值时, 在考虑边缘效应和忽略边缘效应两种情况下, 采用本文方法所计算出来的吸合电压的比较如表2所示。

由表2可以看出, 厚度的变化对于吸合电压有很大的影响。厚度的增加可以增强微梁的刚度, 使其吸合电压增大。

取表2中的第3组数据 (b2=2e-5m, h2=1e-6m) , 考虑边缘效应时, 不同驱动电压下, 微梁的挠曲线如图2所示。微梁中点的挠度随驱动电压的变化如图3所示。需要指的是, 由于截面是呈线性变化的, 对于不同的截面, 最大挠度的位置不一样。但由图2可知, 最大挠度所在的位置在梁中点附近, 本文只考虑中点挠度的变化。由图3可以看出, 当驱动电压较小时, 两条曲线几乎重合。由于边缘效应的作用, 静电力增加, 微梁中点的挠度比不考虑边缘效应时的挠度略大。

4 结语

本文提出了一种分析两端固支变截面微梁变形的半解析方法。文中采用该方法分析了两端固支变截面微梁的变形特点, 并讨论了几何尺寸和边缘效应对微梁吸合效应的影响, 得到了一些结论。

摘要：考虑静电力边缘效率的影响, 导出了静电力微梁的耦合控制方程, 并借助打靶法和迭代修正齐次扩容精细积分法提出了一种分析两端固支变截面微梁变形的半解析方法。与文献值的比较表明, 本文方法具有较高的精度, 并采用该方法分析了边缘效应和截面的几何尺寸对微梁变形的影响。

关键词：微梁,变形,变截面,打靶法,迭代修正齐次扩容精细积分法

参考文献

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变截面压电单晶梁发电性能研究篇5

随着微机电产品及便携式电子装备的广泛应用, 以化学电池为主的供能方式的弊端日渐显露, 如体积大、使用寿命较短及容易造成环境污染等[1], 因此, 如何为这些低耗能电子产品进行持续可靠的供能成为目前亟待解决的关键问题之一。考虑到日常生活中机械振动能量的取之不竭及其高能量密度的优点[2], 对振动能量的收集研究受到科技工作者的普遍关注, 其中, 实现振动能量收集的方式主要有压电式[3,4,5,6,7]、静电式[8]和电磁式[9,10]三种。压电式振动能量收集装置因结构紧凑、寿命长、清洁环保等特性, 在不久的将来有望成为电池的替代品, 为各类微机电系统及低功率无源传感器提供动力。

在各种类型的压电式振动能量收集装置中, 悬臂梁形压电振动能量收集装置因结构简单、能量收集效率高而被广泛研究, 但以往主要侧重于截面厚度不变的压电梁发电性能的理论和实验研究。本文将对变截面压电单晶梁的发电性能进行研究。

1 变截面压电单晶梁结构及工作原理

图1为变截面压电单晶梁振动能量收集装置的结构示意图。设l为压电梁的长度, b为压电梁的宽度, tp为压电陶瓷片的厚度, tm为弹性金属基片厚边的厚度, α为变截面梁倾斜边与水平面的夹角。压电梁由变截面弹性金属基片、压电片及固定基座组成, 在压电片的上、下表面分别引出电极以输出产生的电荷。

变截面压电单晶梁装置工作时, 其一端固定在固定基座上, 另一端随着外界环境而振动。外界环境振动引起变截面压电单晶梁的受迫振动, 使得压电梁发生弯曲变形, 从而引起压电片内应力的变化。根据压电学知识, 当压电片内应力发生变化时, 在其表面将有自由电荷生成。压电片所受应力与产生电场的关系可表示为:

其中:{S}为应变向量;{D}为电荷密度向量;{E}为电场强度向量;{σ}为应力向量;[εT]为应力恒定时的自由介电常数矩阵;[sE]为电场恒定时的短路弹性柔顺系数矩阵;[d]为压电应变常数矩阵。

2 有限元仿真分析

为研究变截面压电单晶梁的发电性能, 建立了压电梁的有限元模型, 其中弹性金属基片材料分别选用铍青铜和钢, 压电陶瓷片材料选用PZT-5H。表1为压电梁有限元模型的材料和尺寸参数, 根据表1建立的变截面压电单晶梁有限元模型如图2所示。压电陶瓷片的相对介电常数矩阵εr、压电应力常数矩阵e (C/m2) 、压电弹性系数矩阵c (N/m2) 分别如下:

在有限元建模中, 采用Solid92单元对弹性金属基片进行网格划分, 采用Solid5单元对压电陶瓷片进行网格划分, 并忽略压电陶瓷片与弹性金属基片之间粘结胶层的影响。另外, 将压电陶瓷片与弹性金属基片接触面的电压设为零, 将压电陶瓷片的另一表面的电压进行耦合。在有限元分析中, 设施加在压电梁末端的激励力为1.0N。

图3和图4分别为变截面压电单晶梁产生的开路电压与压电陶瓷片的厚度及压电梁长度的关系。从图3、图4可以看出, 随着压电片厚度及压电梁长度的增大, 变截面压电单晶梁产生的开路电压都在不断升高。由此可见, 为获得变截面压电单晶梁较大的输出电压, 在结构尺寸允许的条件下, 应尽量增加压电片的厚度和压电梁的长度。

保持变截面压电单晶梁的长度和厚度不变, 仅改变其宽度的大小, 得到变截面压电单晶梁产生的开路电压与压电梁宽度的关系如图5所示。从图5可以发现, 随着压电梁宽度的增大, 变截面压电单晶梁产生的开路电压单调递减, 特别是在压电梁宽度较小时, 其开路电压的数值下降较快。因此, 在变截面压电单晶梁的结构设计中, 应充分注意压电梁宽度的选择, 在综合考虑梁的强度及受力情况下, 合理的压电梁宽度将带来变截面压电单晶梁输出电压的明显提高。

图6为变截面压电单晶梁产生的开路电压与压电梁夹角的关系, 在改变压电梁夹角的过程中, 保持压电梁的长度、宽度、压电片的厚度及弹性金属基板厚边的厚度不变。从图6不难看出, 随着压电梁夹角的增大, 变截面压电单晶梁产生的开路电压先增大后减小, 其中, 在压电梁夹角为0.003 4rad时, 压电梁获得最大的电压输出。这说明在变截面压电单晶梁的结构设计中, 通过合理地设计压电梁的夹角, 可以获得其较高的发电能力。

另外, 从图3~图6也不难看出, 无论压电梁的结构参数和材料特性如何变化, 铍青铜基片的压电梁要优于钢基片的压电梁。这主要是由于铍青铜的弹性模量要小于钢的弹性模量, 导致压电梁的等效刚度较小而造成的。

3 实验研究

为了实际测试变截面压电单晶梁的发电效果, 搭建了变截面压电单晶梁发电实验测试装置。实验装置主要由信号发生器、功率放大器、激振器及示波器组成。其工作时, 信号发生器产生频率可调的正弦激励信号, 该信号经功率放大器放大后用来控制高能激振器的振动, 最后, 压电单晶梁压电陶瓷片的输出电压波形由示波器测出。

图7为压电陶瓷片长度为50 mm、宽度为12mm, 铍青铜弹性金属基片长度为250mm、宽度为48mm, 厚边厚度为1mm, 压电梁夹角为0.002rad时, 压电单晶梁输出电压的实验曲线与有限元仿真曲线。实验中, 施加在悬臂梁末端的激励力的峰值为1.0N。从图7中不难看出, 随着压电陶瓷片厚度的不断增大, 输出电压呈逐渐增大的变化趋势, 与有限元仿真结果基本吻合。但是, 由于弹性金属基片与压电陶瓷片之间粘结胶层及压电梁装置加工、安装误差的影响, 使得实验值略低于有限元仿真结果。

4 结论

为研究截面形状变化时悬臂梁形压电发电结构的发电能力, 本文建立了变截面压电单晶梁的有限元仿真模型, 分析了压电梁结构参数对其发电能力的影响。仿真结果表明, 压电陶瓷片厚度和压电梁长度的增加将引起压电梁产生开路电压的升高;压电梁宽度的增加将引起压电梁产生开路电压的不断减小;压电梁夹角的增加将使得其开路电压先增大后减小;铍青铜基片压电梁要优于钢基片压电梁。同时, 通过实验验证了有限元仿真结果, 实验结果与仿真结果基本吻合, 验证了有限元仿真的可靠性。

参考文献

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变截面杆篇6

关键词：桥梁工程,箱梁桥,斜截面抗剪加固

1 概述

目前,国内外修建的大量预应力混凝土连续箱型梁桥,随着运营期的增长和交通量的增长,尤其是重载交通的影响,导致部分箱梁出现了程度不同的病害,比较有代表性的是箱梁腹板产生的大量斜裂缝,一般表现为剪切裂缝,主要出现在箱梁桥的边孔现浇段、L /4截面附近或梁腹厚度变化区段,与顶板大致呈30°～50°角,大多由顶板与腹板交界处开始,向下延伸至1 /3～1 /2 梁高处,方向基本与主拉应力垂直。剪切裂缝直接影响到结构的安全性及耐久性。

箱梁腹板裂缝分为受力裂缝和非受力裂缝两类。箱梁腹板非受力裂缝产生的原因有混凝土收缩和徐变、混凝土性能不稳定、施工质量等。而受力裂缝只有当混凝土承受的拉应力大于混凝土容许拉应力时才会发生,其主要原因有:由于受剪切、扭转作用产生的主应力不足导致斜截面抗剪不足,竖向预应力有效性降低,纵向预应力有效性降低使截面正应力发生变化,以及腹板厚度偏薄、混凝土强度不足等因素影响。

2 加固方法

对于预应力混凝土连续箱梁桥的腹板斜裂缝问题,常用的加固方法主要有以下几种:

(1)粘贴复合纤维加固法。复合纤维材料耐腐蚀性强、重量轻、裁剪及施工方便、强度高。但复合材料对于大跨径连续箱梁桥来说,由于结构的自重较大,复合材料的高强度较难发挥,性价比低。从受力上属于被动加固范畴。

(2)粘贴钢板加固法。是目前对箱梁桥腹板斜裂缝加固较常用的方法,钢板与腹板必须可靠地进行连接,一般采用锚栓与结构胶。但当箱梁腹板不平整时,此法施工困难,且锚固效果稍差。从受力上属于被动加固范畴。

(3)腹板增大截面加固法。其原理是加大断面,当结构的截面尺寸不满足时,常采用此法,但同时会增加结构自重。从受力上属于被动加固范畴。

(4)预应力加固法,包括竖向与纵向预应力。从受力机理上讲,这是一种主动加固法,能有效改善原结构的受力状态,且能充分发挥后补强材料的方法,对于提高结构的强度、控制结构的裂缝以及变形等方面均有较好的应用。

总之,在以上加固方法中,从受力机理上讲,除预应力加固法是主动加固外,其余均是被动加固方法。在目前国内外加固方法中,对箱梁腹板斜裂缝加固方面,主要是粘贴钢板与张拉纵向预应力相结合应用较多,对裂缝的封闭,一般采用壁可法进行封闭或采用粘贴复合材料封闭。我省目前主要采用预应力加固法,同时配合腹板增大截面法,对大跨径预应力混凝土连续箱梁进行抗剪加固。

3 方案对比

根据以上各加固方案对我省某一座预应力混凝土连续箱梁桥的简支端及中支点附近截面进行了方案对比,具体如下:

(1)粘贴碳纤维加固法

加固前后抗剪承载力对比见表1。

(2)粘贴钢板加固法

加固前构件腹板厚度b=400mm,需后加补强钢板条提供的抗剪承载力为300kN左右,按照以上公式进行计算,需要粘贴4mm厚100mm宽钢板条,间距300mm对箱梁腹板进行抗剪加固,加固前后抗剪承载力对比如表2。

(3)增大截面加固法

依据增大截面加固法计算原理,以控制截面边支点腹板变化处(NO·5)及中支点腹板附近(NO·23)截面为例,加固前构件腹板厚度b=400mm,根据计算,箱内腹板边支点梁段需要加厚25cm,中支点梁段加厚20cm抗剪加固处理,对加固后控制截面进行验算如表3。

(4)竖向预应力加固法

据增设竖向预应力钢筋加固法计算原理,在箱内两侧腹板内侧简支端0～L/4及中支点L/2～L区段,增设竖向C22钢筋,顺桥向间距600mm,采用竖向张拉装置进行张拉,张拉力按N=90kN控制,对加固后控制截面进行验算如表4。

4 结论

腹板粘贴碳纤维布与钢板条,只能承担活载(汽车和温度)和二期恒载产生的内力,应力(应变)滞后现象严重,无法改善原构件的应力状态,对结构斜截面抗剪承载力提高幅度非常有限,适用于箱梁配筋率较低或钢筋锈蚀严重、目标抗剪承载能力要求较低的情况。

增大截面加固法具有加固措施技术成熟,加固效果显著,施工工艺相对较简单,加固费用低廉的优点,但是不能改变原有构件内的应力状态;适用于箱梁腹板截面尺寸不满足要求、截面刚度不足及构件有效高度较小的情况。

预应力技术加固箱梁腹板,属于主动加固,能充分发挥加固材料的性能,在竖向预应力作用下,原梁的裂缝将全部闭合或部分闭合,能较大幅度提高或恢复桥梁的承载能力,能明显改善原梁的抗裂性能,提高结构的耐久性,加固效果显著;适用于箱梁腹板斜裂缝开展规律性较强、抗剪承载能力不足及腹板主应力超限或应力状态需要改善的情况。

对“主动加固思想”的深入理解与认识,是确定箱梁腹板抗剪加固方案的核心;桥梁带载加固应考虑“分阶段受力”特点,是确定箱梁腹板抗剪加固方案的关键。

能够根据箱梁腹板斜裂缝检测及分析结果,合理选择不同的加固方法对腹板进行加固,是抗剪加固方案达到预期最佳加固效果的保障。

参考文献

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变截面杆篇7

拐角是回流式风洞的重要组成部件,对风洞的流场品质和运行成本有着重要的影响[10]。气流通过拐角时很容易发生分离和对流现象,形成旋涡,严重影响拐角下游的流场品质,同时也会造成大量的能量损失。在常规风洞中,气流在通过拐角的全部损失占风洞总损失的比例可能高达40%~60%[11]。拐角导流片的合理布置能够优化拐角流动,降低损失,大大提高出口流场的均匀性,因此设计合理的导流片是风洞拐角设计的关键[12]。

由于结冰风洞中装有较大面积的换热设备,如果按照常规风洞设计势必需要较长的回路,这将大大增加风洞的建造成本和运行成本,因此可以考虑将拐角设计为变截面转弯。变截面拐角导流片的设计超出了常规风洞中拐角导流片设计范畴。Seetharam等[13]针对美国波音公司结冰风洞的第三、四拐角进行了变截面转弯研究,研究表明变截面收缩拐角可采用圆弧直线型导流片,经过多次实验修正其预偏角取为10°,拐角出口获得了较均匀的速度分布。美国古德里奇公司结冰风洞第三、四拐角同样采用了变截面设计,导流片采用的圆弧直线型,拐角出口获得了较均匀的速度分布[14]。可见在收缩型变截面拐角导流片的设计中,导流片可采用圆弧直线型导流片,通过调整预偏角的角度,拐角出口的速度能够获得较好的均匀性。

国内结冰风洞建设起步较晚,对于结冰风洞变截面拐角的研究几乎没有。现针对某型结冰风洞的第三收缩型变截面拐角,采用数值计算与实验相结合的方式,研究导流片和预偏角对变截面拐角流动的影响,为变截面拐角及导流片的设计提供参考。

1 数值计算

1.1 计算模型与方法

计算模型包括某型结冰风洞的第二过渡段、制冷段、第三拐角和第二回流段,为1/5缩尺模型,如图1(a)所示。第三拐角为收缩型变截面拐角,拐角导流片选取圆弧直线型,共18片,均布于拐角对角线上,具体参数计算见参考文献[3];导流片直线段与圆弧切线夹角称为预偏角,如图1(b),计算模型分别取预偏角为0°、2.5°、5°、7.5°和10°。为了分析需要,建立拐角出口为A-A截面,第二回流段中间位置为B-B截面。

计算模型利用ICEM进行网格划分,网格总数约为400万个,模型拐角处网格进行了加密处理,如图1(c)所示。计算采用k-ε湍流模型求解,采用速度入口、压力出口和无滑移速度固体壁面为边界条件,压力与速度耦合采用SIMPLE算法利用二阶迎风格式求解[15,16]。为了保证模型与真实风洞流场相似,依据雷诺数相似原则选取入口速度为16.7m/s。

1.2 计算结果分析

1.2.1 导流片对变截面拐角流动的影响

对未安装导流片和安装有预偏角为0°的圆弧直线型导流片的变截面拐角进行了计算对比。由图2可知:未安装导流片时气流在拐角处内侧速度较大,外侧速度较小,并且在拐角外侧形成了较大的旋涡,拐角后的气流主要流向了拐角外侧,导致拐角外侧速度较大,内侧速度小;安装导流片后拐角前后内外侧速度分布都比较均匀,并且拐角处也未出现旋涡。

图3为未安装导流片与安装有导流片拐角出口B-B截面速度分布,由图3(a)可以看出未安装导流片时B-B截面的外侧速度最大值达到24.2 m/s,内侧速度约为14 m/s,内外侧速度均匀性较差,可见未安装导流片时气流通过拐角后更多的流向了拐角的外侧;由图3(b),安装有导流片的B-B截面速度比较均匀,中央核心流区的速度为22.5 m/s,整个截面速度梯度较小且比较均匀。由此可见安装拐角导流片后能够优化拐角流动,消除了拐角处外侧的旋涡,改善拐角出口气流速度的均匀性。

图4给出了气流在通过未安装导流片和安装有0°预偏角的圆弧直线型导流片变截面拐角时压力的沿程当量损失系数曲线。沿程当量损失系数K可由式(1)计算

式中pin为入口总压,pS为沿程某点总压,qin为入口动压。

由图4可知:气流在通过未安装导流片流道的各处损失系数均大于安装有导流片的情况,未安装导流片时整个流道的损失系数达到0.536,安装有导流片流道的总损失系数仅为0.265;拐角段位于流道1.48~2.1 m处,由曲线可以看出气流在通过拐角段时压力损失会显著增大,在未安装导流片的情况下拐角段的损失系数0.278,安装导流片的情况下拐角段的损失系数为0.222;气流通过拐角后,在未安装导流片的情况下由于流动的不均匀仍会导致大量的流动损失。由此可见布置导流片不仅能够降低气流在通过变截面拐角段时的损失,而且能够优化拐角后的流动,减小下游流动损失。

1.2.2 预偏角对变截面拐角流动的影响

分别对安装有预偏角为0°、2.5°、5°、7.5°和10°的圆弧直线型导流片的变截面拐角进行了计算对比。计算结果表明所有预偏角下气流流动都比较均匀,未出现较大的速度梯度和旋涡。图5给出了各预偏角下第二回流段中间位置B-B截面的速度分布计算结果,由图3(b)和图5可知预偏角为0°和2.5°时B-B截面核心流区基本位于截面正中心,速度大小分布比较均匀;当预偏角为5°、7.5°和10°时B-B截面的核心流区偏向拐角内侧,并且随着预偏角的增大核心流区不断被挤压,其主要原因是预偏角过大,气流被导向了拐角内侧。

预偏角的改变会导致拐角出口速度分布的差异,势必也会影响整个流道的流动损失。图6给出了不同预偏角对拐角流动损失影响的曲线,由图可知安装导流片后整个流道的损失均小于未安装导流片时的损失;当预偏角为0°和2.5°时整个流道损失最小,损失系数分别为0.265和0.262,当预偏角增大为5°、7.5°和10°时,流动损失明显上升,分别达到0.312、0.368和0.413。

气流在拐角段的损失依次为0.222、0.22、0.261、0.31和0.344,当预偏角为7.5°和10°时拐角段损失甚至大于了未安装导流片时的损失,究其原因主要是因为安装导流片增大了风道内的堵塞度,增大了流动的局部阻力,带来了较大的局部压力损失,当该损失大于导流片对流动优化减小的损失时,安装导流片也会造成拐角段流动损失的增大。由此可见只有布置合理的导流片才能降低拐角段流动的损失。

2 实验与测量

2.1 实验模型与测量方法

实验模型与计算模型相同,风道入口设有喇叭口,以保证气流均匀进入风道,第二回流段通过方转圆过渡段与风机相连,如图7所示。模型风道、导流片均采用有机玻璃材料,导流片通过制模热烘成形。拐角段制有两套,预偏角分别为5°和10°。风机采用抽吸的方式为气流提供动力,通过变频器控制风速,最大风量为12 410 m3/h,风压为850 Pa。七孔探针安装于X-Y位移平台上,通过小型步进电机精准的控制探针测量位置,能够扫描出测量平面的速度场。七孔探针数据采集模块采用PSI公司的64通道压力扫描阀。实验数据自动采集,采集点分12排,每排11个点,除边界点外每个测量点上下左右间距均为20 mm。

2.2 实验结果与分析

图8给出了预偏角分别为5°和10°下B-B截面速度分布实验结果。由图可知:当预偏角为5°时B-B截面速度均匀性好于预偏角为10°的情况。预偏角为5°时核心流区基本位于截面中心,略有偏内,速度大致都在22 m/s左右;预偏角为10°时主流区靠近拐角内壁,最大速度达到23.2 m/s;外壁附近气流速度较小,最小仅为19.2 m/s左右,这说明10°的预偏角较大,气流更多的流向了拐角内侧。实验结果表明预偏角为5°时的出口速度分布均匀性好于预偏角为10°的情况。

4 结论

(1)变截面拐角安装导流片后能够消除拐角处的旋涡,提高拐角出口速度的均匀性,降低整个流道的流动损失。

(2)在预偏角为0°和2.5°的情况下,整个风道和拐角段的损失最小;随着预偏角增大为5°、7.5和10°,整个风道和拐角段损失增加,尤其在预偏角为5°和10°的时候,拐角段损失甚至超过了未安装导流片的情况。

(3)预偏角为0°和2.5°时B-B截面速度分布均匀,核心流区位于截面中心;随着预偏角增大至5°、7.5°和10°后,B-B截面核心流区不同程度的向拐角内侧偏移。

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