机电耦合系统

机电耦合系统（精选5篇）

机电耦合系统 篇1

0 引言

伺服系统用来控制被控对象的某种状态, 属于自动控制系统的一种。机电相结合的伺服系统主要是由机械传动部分和控制部分组成的, 除此之外往往还有润滑、液压部分, 系统通过各部分的耦合实现控制。对于传动系统, 若在非平稳的状态下发生机电耦合振动, 将对系统的安全运行造成威胁。因此, 分析伺服系统中精密传动系统的耦合机理就显得十分重要, 这也对工业生产有重大意义。本文介绍了永磁交流伺服精密驱动系统机电耦合及其相关模型的建立, 同时结合具体实例, 分析了该系统在实际运作中的特点以及一些对应参数的变化规律, 以便理解机电耦合模型, 同时也给我们的建模提供一些建设性的意见。

1 永磁交流伺服精密驱动系统机电耦合概述

作为现代交流伺服系统的主流, 永磁同步电动机具有结构简单、功率高、易于散热、转动惯量低等许多优点。精密传动是一种非常重要的基础性零件, 也是双向高精度传递运动机械传动形式的总称。这类机械传动形式是做高精度机械传递运动, 具有极高的承载能力和运动精度, 并且具有刚度高、体积小、响应快等特点。精密传动包括很多种, 例如常见的齿轮传动和螺旋传动, 以及不常见的少齿差行星传动、谐波传动和轮系传动等。同样, 永磁交流伺服驱动系统也包含很多种子系统, 如驱动系统、传动系统、冷却系统以及负载系统等, 这些子系统相结合才组成了完整的主系统。各子系统间存在大量的物理过程和多参量耦合关系, 这些耦合关系以及关系的输入和输出决定了相应的永磁交流伺服精密驱动系统的动态性能, 而各个子系统的动态性能又受到其他子系统动态性能的影响。因此, 在分析永磁交流伺服精密驱动系统的动态性能时要先建立局部的耦合模型, 通过对局部耦合模型、耦合方式及规律的分析得出整体的规律, 才能更加快捷准确地解决问题, 找准原始的规律, 这对更好地分析永磁交流伺服精密驱动系统的运作规律及方式有很大帮助[1]。

2 伺服系统中耦合的建模分析

高精度伺服系统具有精密控制系统运行、保持过程高度稳定性的特点, 并且对制造过程有精密的自动调节能力。在对伺服系统进行耦合分析时要采取耦合事实提取、耦合问题建模、耦合参数模型解耦等步骤, 下面我们就通过建模的方法对伺服系统中的局部耦合和整体耦合作相应分析[2]。

2.1 局部耦合建模分析

要想对局部耦合问题进行建模分析, 就得先把问题从整体中分离出来, 利用现有的数学、物理公式建立模型, 并作相应分析。通常, 一个伺服系统都是由许多基本元件组成的, 如电感、电阻、弹簧、电容等, 可以对应地写出其各自的特性规律方程, 即:

(1) 电感的物理特性方程:u=Ldi/dt, 即流经电感L的电流i和电感端电压的关系;

(2) 电阻的物理特性方程:u=Ri, 即电阻两端电压与流经电阻的电流i的关系;

(3) 弹簧的物理特性方程:F=K∫vdt+F0, 即在外力F作用下的刚度为K的弹簧与其速度v的关系;

(4) 电容的物理特性方程:i=Cdu/dt, 即电容在充电或放电的条件下与电流的关系。

机电回路是由机电元件连接组成的, 因而机电系统中的输入和输出关系满足基尔霍夫电流和电压定律, 即在任意一个闭合回路中有u=0或经过任意一个节点的i=0。同时, 在机电系统中仍然遵循达朗贝尔空间连接定律, 即在机械网络中, 绕任一回路的位移和速度的和均为0。通过对每一个元件的特性方程的列举, 并结合对应满足的定律就可以建立起相应的数学模型, 而通过对建立的模型进行试验和分析就可以解决部分耦合问题。

2.2 全局耦合建模分析

通过对耦合参数基本规律的了解, 可以对全局耦合结构进行相应的分析, 从而对系统的全局耦合进行建模。伺服系统是由很多个子系统组成的, 其通过子系统之间的耦合来实现整体的联系, 因此必须根据各部分之间的关系, 并结合对应的方程才能建立起关于整体耦合的模型。具体要解决以下几个问题: (1) 分析耦合参数与主运动的关系及全局耦合模型如何解耦; (2) 分析奇异点的条件和动态规律, 进行解耦单元设计; (3) 对部分进行分析解离, 然后找到各部分之间的耦合方式, 从而实现数学模型的建立。

3 机电耦合模型的算例分析

永磁精密传动装置的机电耦合动力学方程组是多变量及非线性的, 因此在求解时不宜用解析法, 最好用数值计算法来对其动力学规律进行研究。假设存在一个传动系统, 相关的参数如下:定值电阻5.6Ω, dq轴电感11.57 mH, 转子永磁体磁通量0.125 Wb, 极对数为4, 转子转动惯量为0.384×10-4 kg·m2, 额定转矩为1.47N·m, 额定转速4 000r/min, 电机粘滞摩擦系数为0, 减速器转动惯量为1.25×10-6 kg·m2, 减速器粘滞摩擦系数为0.001kg·m2/s。系统空载启动时电机转速设定为800r/min, 空载三相定子电流波形在0.015s后为一条平滑的水平线, 在开始到0.015s之间为波动的波形, 且平稳后的电流显示为0。对应的空载转速波形, 同样是在0.015s之前波动极大, 0.015s后稳定在大约800r/min。同样, 空载的转矩波形也是在0.015s前后呈现不同的变化规律, 随后稳定在0值。为了进一步分析, 在系统运作的0.06s时突加负载转矩2N·m, 且初始转速不变, 此时波形图出现明显变化, 并且三相定子电流在0.06s后出现极大的波动, 波动区间为-5~5A。三相定子电流在持续0.1s后仍是一种波动的形态, 此时, 对应的转速波形在0.06~0.065s之间波动, 在0.065s后稳定在与前一阶段相同的转速值上。此时, 转矩波形则不同, 即在0.06~0.07s的整个区间内都出现波动, 而在0.07s后的稳定值明显大于前一阶段的稳定值。通过对初始转速相同, 系统启动后不加载和启动后加载这2种情况的分析可看出, 加载后系统的转速波形和转矩波形在0.06s都有变化, 但是最终保持稳定。这种现象正好符合PMSM特性, 说明对应的PMSM机械特性比较显著。同时, 上述分析也成功模仿了系统空载和突加负载的情况, 也正好验证了所建立数学模型的正确性[3]。

4 结语

永磁交流伺服精密驱动系统是一种机电耦合系统, 它的主要作用是实现机电能量的转换, 因此在分析其耦合特性时, 必须从复杂机电系统的角度对其进行局部耦合和全局耦合的分析, 从而达到建立相应的数学模型的目的, 以方便分析和实验。只有对该系统的每一部分都进行仔细的分析, 并结合适用的方程及原理, 才能建立耦合模型, 从而通过对模型的研究实验来解决机电耦合中的问题。同时, 这对现代工业化生产也是很有利的, 不但可以提升工作效率, 还可以降低机电耦合问题的发生率, 减少机械生产的损失。如今, 永磁交流伺服精密驱动系统在我们的工业化生产中运用较多, 其具有运作完美流畅的明显优点, 不过仍需要我们进行仔细的分析, 从根本上了解其运作规律和方法, 以便更好地运用。

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机电耦合系统 篇2

（重庆大学资源及环境科学学院，重庆 400030）

引 言

旋转结构的动特性和动力响应分析是进行旋转机械和旋转结构可靠性设计和安全性评价的理论基础。进行风力发电机风轮、直升机螺旋桨、离心机叶轮及其叶片设计时，了解旋转结构的特征频率变化既是材料选取和结构优化的依据，也为避免结构共振实施控制策略提供关键参数。旋转结构的动力分析涉及结构的变形以及应力状态等，为结构变形控制和强度校核、确定动态测试方案提供基础的分析数据。由于旋转结构运行在离心环境下，结构自身的弹性变形与旋转运动耦合在一起，造成离心环境严重影响结构的动特性和动力学响应。譬如风力机风轮的坎贝尔图是关于风轮的各阶频率与风轮转速的关系［1］，可为风轮共振分析和风电机组控制提供设计和分析参数。因为旋转结构动力学在实际工程中的巨大应用价值，几十年来引起了学术界和工程界的持久兴趣。直到最近，大量的文献依然关注旋转的杆梁结构、旋转环、旋转盘和板、旋转壳的振动特性和响应［2～23］，其中旋转结构的科氏力效应，动力刚化问题，旋转角速度对结构特征频率的影响，复值的特征矢量和复模态处理等是研究重点，特别是旋转和变形的耦合机制还不完全清楚，解决这些问题有赖于揭示刚体旋转与弹性变形的耦合机理，建立精确可靠的动力学分析模型，发展合适的算法以及实验或工程验证。

旋转结构较之非旋转结构的复杂性在于结构进一步承受由于运动耦合带来的附加惯性力，这种附加惯性力影响结构动力学，同时结构变形影响结构的刚性旋转运动。为揭示运动变形耦合以及对结构动力学造成的影响，本文引入双自由度的质量弹簧振动系统作已知的刚体旋转，系统可考虑刚体旋转形成的初始离心力、质量点振动造成的离心力改变以及科氏力等。这种简化模型既不失去结构变形与刚体旋转耦合的典型特性，又可通过考察简单物理模型来探讨动力学规律，为复杂结构的动力学分析提供清晰的参考。

1 双自由度离心振动系统的动力学模型

考虑刚体绕定轴作匀速圆周运动，转动的角速度为ω，刚体上任意一点r的线速度v为

二阶反对称张量Ω可表示旋转轴和绕轴旋转角速度，即有［24］

式中e为笛卡尔坐标系下的置换张量，角速度ω为反对称张量Ω的反偶矢量或轴矢量。二阶反对称张量Ω对任意矢量u的映射为

二阶反对称张量只关联着转动角速度，正交张量能描述刚体作定轴有限转动的旋转角速度和旋转角。现令单位矢量n代表旋转轴方向，θ为旋转角，引进反对称张量A＝－e·n，对正交张量R有［25］

上式为Euler－Rodrigues旋转公式。对匀速转动，正交张量R可进一步改写为

ω为角速度矢量ω的模。

现在关注一个质量点m与4个相同弹簧组成的双自由度振动系统作平面刚体旋转运动（忽略振动造成的离心振动系统转动惯量的变化），振动系统固定在刚体上以垂直于旋转平面的恒角速度ω作逆时针旋转。建立固定和转动两个坐标系，见图1，质量点的初始位置r0为转动坐标系的原点，两个坐标基分别沿转动的径向和切向，质量点在转动坐标系的振动位移为r，则质量点在转动坐标系的位置为r0＋r。由于正交张量描述了刚体有限转动，则任意时刻质量点在固定坐标系的位置为

图1 双自由度振动系统作定轴平面转动Fig．1 The vibrating system with two degrees of freedom rotates around with a fixed axis

这里正交张量R代表转动坐标系与固定坐标系构成的两点张量。对式（6）取时间导数，利用式（3）和（5）得质量点在固定坐标系的绝对速度为

再对式（7）取时间导数并再次应用式（3）和（5），得固定坐标系下质量点的绝对加速度为

式（7）和（8）中˙r和¨r表示质量点在转动坐标系的振动速度和加速度。利用正交张量的转置张量RT立即得到在转动坐标系下质量点的绝对加速度

式中ω×（ω×r0）为振动系统的初始向心加速度、ω×（ω×r）是由于质量点振动导致的向心加速度增量、2ω×˙r为科氏（Coriolis）加速度。由此可知，如果质量点在垂直于旋转平面的方向上运动，不产生科氏加速度和向心加速度的增量。

应用达朗贝尔原理，忽略质量点重力作用，可建立质量点m在转动坐标系的动力学方程

k为弹簧的弹性系数。由式（10）可知，质量点m受到弹簧回复力、相对惯性力、初始离心力、离心力增量和科氏力的共同作用，注意到质点动力学方程（10）与旋转角θ无关。由于质量弹簧系统的刚体转动和振动都在旋转平面上（图1），在转动坐标系中有

u和v表示在转动坐标系质量点的两个位移分量，进一步令r0的模为r0。利用式（11）以及矢量的二重叉积公式，改写式（10）得到沿转动坐标系两个坐标轴e1和e2的动力学方程

把式（12）和（13）联立成为矩阵形式

改写式（14）得离心振动系统动力学方程的一般形式

式（15）中质量矩阵M，科氏矩阵C，振动刚度矩阵K，离心矩阵KS分别为：

科氏矩阵C为反对称矩阵，尽管在动力学方程出现一阶项但不造成系统的阻尼衰减。式（15）也是线弹性情况下旋转结构动力学方程的典型形式。观察式（14）可知在旋转平面内，由于刚体旋转与弹性振动的运动耦合产生科氏力，导致u和v两个方向的运动也是耦合的，而运动耦合也反之影响科氏力，这正是离心振动系统复杂性的本质。此外，离心振动系统刚度阵K－KS的系数应为正，表明为保持系统稳定应存在最大刚体转速，下面将进一步说明。

2 双自由度离心振动系统的动频和动模态

为研究离心振动系统的动力学性质，将动力学方程（15）改写成下述形式

记zT＝｛u˙uv˙v｝T，则式（17）在形式上成为一阶非齐次线性微分方程组

式（18）中的T和g取与式（17）右端对应的方阵和列阵。方程组（18）的齐次方程解的形式为z＝Cφeλt，对应的特征方程为｜T－λI｜＝0，容易得到系统的特征值为

ω1＝分别表示振动系统两阶模态的圆频率，而f1和f2分别为随转速变化的两阶动频。作为例子，令m＝0．1kg，k＝10 N／m。系统两阶特征频率随转速变化的曲线见图2。当转速为零时刚体旋转对振动的影响消失，系统的两阶动频退化为系统的固有频率（基频）。随刚体转速增加系统的第一阶动频f1线性减小而第二阶动频f2线性增加，当转速达到固有频率时，第一阶动频趋于零，表示刚体转动造成了振动系统失稳，所以，刚体的最大转速等于质点振动的固有频率。

图2 离心振动系统的两阶动频与旋转运动（转速）的关系Fig．2 Two order dynamic frequencies of the centrifugal vibrating system vary with rotational velocity

对式（18）的齐次形式以及式（19）的特征值，可以确定特征值对应的广义特征矢量。令λ1＝－ω1i，λ2＝ω1i，λ3＝－ω2i，λ4＝ω2i，所对应的广义特征矢量分别为

特征值λ1，λ2，λ3，λ4所对应的复值解分别为

利用线性微分方程组解的可叠加性，对每组复值解作简单的代数运算可得到每个特征值所对应的线性独立的实值解，即为两阶模态，它们分别为

两阶模态都是刚体转速ω的函数。κ1和κ2表示系统的第1阶动模态，κ3和κ4表示系统的第2阶动模态。注意到这些实值解列阵中的第1行和第3行分别为质量点的两个模态位移分量，显然，两个模态位移分量的平方和均为1，表明系统的两阶动模态都是半径为1的极化圆周运动，模态圆周运动以及模态位移的初始位置（相位）见图3。系统第1阶动模态的转动方向为逆时针，圆周运动的角速度即为系统第1阶圆频率ω1。第2阶动模态的转动方向为顺时针，圆周运动的角速度即为系统第2阶圆频率ω2。第1阶动模态的转动速度随系统转速ω的增加变得越来越慢，直至趋于第1阶动频的最小值，而第2阶动模态的转动速度随转速ω的增加会变得越来越快。

图3 离心振动系统两阶动模态的极化圆周运动及其相位Fig．3 The polarized circular motion with the two order dynamic modal and the phase of the centrifugal vibrating system

3 双自由度离心振动系统的质点运动轨迹

根据式（23）可写出方程组（18）的齐次形式的基解矩阵为

由于Z（0）≠I，可以选取基解矩阵为Z′（t）＝Z（t）Z－1（0），则非齐次微分方程组（18）的通解形式为［26，27］

将式（24）带入到式（25）可得

令振动系统的初始条件为t＝0时，u（0）＝u0，˙u（0）＝˙u0；v（0）＝v0，˙v（0）＝˙v0。将初始条件代入式（26）和（27）中可得振动系统响应解的系数

质点的动力学响应即为质点的平面运动轨迹，由式（26），（27）以及（28）可知，质点的运动轨迹取决于振动初始条件、振动刚度、刚体转速、质点初始位置r0。由于质点振动的同时作平面刚体转动，所以质点初始位置可视为离心振动系统的初始偏心位置。

为考察质点的运动轨迹，进一步令振动的初始条件t＝0．0s时，u（0）＝0．1m，v（0）＝0．05m，˙u（0）＝˙v（0）＝0．0m／s，初始偏心位置r0＝0．4m。当刚体转速分别为ω＝0．25r／s和ω＝1．0r／s时，质点的位移时程曲线见图4和5。根据质点随时间变化可以得到质点在转动坐标系下的平面运动轨迹，图6为刚体转速ω＝0．25r／s和ω＝1．0r／s时的质点运动轨迹，对给定的初始条件和振动刚度，质点的运动轨迹和振幅强烈依赖于刚体转速。图7表示质点振幅与转速的关系曲线，在一定的振动刚度和振动初始条件下，存在一个临界转速（在本例中为1．0r／s），超过临界转速后，质点振动幅值会迅速增加，超越线性振动的范围。前面关于系统动频的分析提到过刚体的最大转速，但对质点动力响应的分析表明，为保持系统的线性振动，刚体的转动应该小于刚体临界转速。

观察式（26）和（27）右端可以发现，质点的运动实际上由非偏心运动和偏心运动两部分构成，非偏心运动取决于振动初始条件、刚体转速和振动刚度，而偏心运动依赖于初始偏心位置、刚体转速和振动刚度。

图4 刚体转速为0．25r／s时的位移时程曲线Fig．4 Mass displacement history atω＝0．25r／s

图5 刚体转速为1．0r／s时的位移时程曲线Fig．5 Mass displacement history atω＝1．0r／s

图6 转速为0．25r／s和1．0r／s时质点的运动轨迹Fig．6 Mass trajectories atω＝0．25r／s andω＝1．0r／s

图7 质点振幅随刚体转速的变化Fig．7 Mass displacement amplitude vary with the rotational velocityω

图8和9分别为刚体转速为0．2 5r／s和1．0 r／s时分解的非偏心运动和偏心运动轨迹，注意到非偏心运动的幅值在不同刚体转速下是相同的，而偏心运动的幅值强烈依赖于刚体转速。当刚体转速为0．25r／s时，质点的运动轨迹主要是非偏心运动轨迹，偏心运动的影响很小。当刚体转速为1．0r／s时，偏心运动的影响显著影响质点总的运动轨迹。当初始偏心位置和振动刚度一定，偏心运动幅值随刚体转速增加而增大，考虑到非偏心运动和偏心运动的相位因素，这解释了图6和7的质点振幅随刚体转速先降后升的变化，特别是刚体转速超过某一临界值时，偏心运动逐渐主导了质点的运动轨迹。

图8 转速为0．25r／s时的非偏心运动和偏心运动轨迹Fig．8 Split non－eccentric and eccentric motional trajectories of the mass atω＝0．25r／s under rotating

图9 转速为1．0r／s时的非偏心运动和偏心运动轨迹Fig．9 Split non－eccentric and eccentric motional trajectories of the mass atω＝1．0r／s under rotating

4 结 论

本文借助双自由度离心振动系统的简单模型，讨论了大范围刚体转动和双自由度振动的耦合动力学问题。在已知刚体转动中，质点受到弹簧回复力、相对惯性力、初始离心力、离心力增量和科氏力。随着刚体转速的增加，第1阶动频线性降低而第2阶动频线性增加，刚体的最大转速就是振动系统的固有频率。双自由度离心振动系统的两阶模态都是极化的圆周运动，圆周运动的角速度对应于系统的两阶圆频率。

离心振动系统的质点运动轨迹与振动初始条件、振动刚度、刚体转速和初始偏心距离有关。质点运动轨迹由非偏心运动和偏心运动两部分构成，非偏心运动取决于振动初始条件、振动刚度和刚体转速，偏心运动取决于初始偏心距离、振动刚度和刚体转速，当初始偏心距离和振动刚度一定，偏心运动的振动幅值随刚体转速增加而增加。在有初始偏心情况下，离心振动系统存在临界刚体转速，超过临界转速后质点振动幅值迅速升高。对于大范围刚体运动下的线弹性振动系统，为保持线弹性范围内的振动，应考虑临界的刚体转速。

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轧机机电耦合引起的振动研究 篇3

关键词：冷轧机,机电耦合,扭振,电气控制系统

随着对轧机生产带钢产品的质量和效率要求越来越高, 大量新技术在轧机中的应用, 导致轧机振动问题日益凸显。邯宝冷轧厂的生产线是集机械、电气、液压、计算机技术于一体的复杂系统, 这使得对轧机振动问题的分析与解决略显复杂。以往只是对轧机扭转、水平及垂直三种属性振动耦合进行研究, 而缺少电气控制部分引起机电耦合振动的研究。由于机电耦合振动造成设备的损坏和断带现象时有发生, 所以轧机机电耦合引起的振动研究成为了当务之急。

本文运用数值分析和模拟仿真的方法[2], 说明了轧机机电耦合形成的原因及其引起振动的分析。

一、机电耦合引起轧机扭振机理分析

将轧机电动机与主传动系统的连接系统简化为二自由度简化系统[3], 其简化的力学模型如图1所示。

图1中, Me为电动机的电磁转矩;J1为电动机的等效转动惯量;ω1为电动机转子速度;ω2为工作辊转速;k为连接电动机输出轴与工作辊等效弹簧刚度;c为连接电动机输出轴与工作辊等效阻尼系数;J2为工作辊的等效转动惯量;Md为负载转矩。

本文考虑电气和机械系统的耦合[3], 得出其转矩平衡方程为:

在轧机工作过程中, 电动机的负载保持不变, T2为常数, T0忽略不计, 可知工作电动机的电磁转矩为:

其中:θ为功率角;E0为感应电动势;xs为同步阻抗, 其值为xα+xσ, xσ为漏电流, xα为电枢反应电流;U为电压幅值, F4轧机使用的是凸极同步电动机, 根据基尔霍夫定律可得其电压向量表示形式为:

其中, j I觶dxd为直流电枢反应电动势;I觶ra为电枢一相绕组的压降;j I觶qxq为交流电枢反应电动势。

转子磁场的感应电动势为:

其中, Ce为电势常数;Φ为磁通;n为转子转速。

由文献[4]知, 电枢磁场即为定子磁场, 定子对称绕组上通有三相交流电时产生的电枢磁场将会改变转子励磁绕组在定子和转子之间气隙磁场的分布, 由此决定了合成磁场的分布状态, 这也就建立了机械转矩和电磁场的电磁耦合关系, 这种耦合关系是最基本的机电耦合形式。

机械转矩和电磁场的电磁耦合关系会使交流电动机的主回路产生谐波电流, 导致机械系统和电气系统之间产生谐波转矩的耦合, 谐波电流通过影响定子和转子之间的磁场将电能转化为机械能, 从而产生的电磁转矩可以表示为:

电磁转矩引起机械扭矩的产生。由文献[5]知, 主传动系统的扭振是由于电动机主回路的谐波电流频率与主传动系统的固有频率一致。反之, 当主传动系统受到外界的突加载荷, 还有轧机的咬钢、抛钢和制动时, 轧机机械系统的力学特性会发生变化, 电气控制回路一些参数的变化可以通过机电耦合的作用引起。

二、基于Simulink交流电动机控制系统仿真分析

使用MATLAB/Simulink进行系统仿真分析, 只需知道Sinulink模块的输入、输出及各个模块的功能, 不需要了解模块内部的实现过程[6]。进行仿真分析时, 将相应的模块调用, 并把他们按照一定的顺序连接起来即可构成所需的系统模型。

根据仿真结果分析可知, 轧机在工作过程中电气系统的轧制参数对其控制系统有较大的影响, 当轧制速度出现波动时, 速度闭环控制系统会产生电磁振荡, 形成速度控制系统与轧辊回转运动系统的机电耦合。晶闸管整流系统在换路时会产生一定的电磁谐波分量, 导致相应频率谐波转矩的产生, 从而使主传动系统产生扭振。

三、结论

实际生产中发现, 机电耦合振动不单是由电机与主传动机械系统的耦合引起。基于磁场定向的交-交变频驱动控制系统会通过影响电机而使其与主传动机械系统和辊系形成机电耦合, 也就是所谓的交交变频-同步电机-机械传动-辊系负载构成的机电耦合模型, 对于机电耦合后续的研究和分析, 这将是一个重要方向。

参考文献

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微板机电耦合非线性动力学分析 篇4

关键词：微机电系统,微板,机电耦合,非线性动力学,林滋泰德—庞加莱法,动力学响应

0 引言

微板作为一种典型的微机电系统 (micro-electromechanical system, MEMS) 结构元件, 在现代工程技术中得到了广泛的应用, 微型阀、微型泵、微传感器等微机械器件设计中常采用各种微板结构[1]。微机械通常采用静电力驱动, 其构件受到静电力的作用而发生变形, 而结构的尺寸和各构件的空间位置又会反过来影响电场的分布, 这是一种很强的耦合作用, 静电力的变化和结构的变形之间并非简单、规则的线性关系, 因此这也是一个典型的非线性问题[2,3]。通常采用多能量域耦合方程进行仿真计算, 但该方法计算量大, 且大大降低了系统设计精度。

为解决此问题, 本文以泊松-克希霍夫 (Poisson-Kirchhoff G.) 建立的弹性薄板小挠度弯曲理论为基础, 建立了静电力作用下微板机电耦合结构模型, 采用林滋泰德—庞加莱法 (Lindstedt-Poincaré) 求解其动力学响应, 进行了模态分析。以静电微泵泵膜[4,5]为研究对象, 进行了实例计算。

1 微板机电耦合动力学方程的推导

图1所示为静电力作用下微板机电耦合结构模型, 包含机械系统、电系统和耦合部分, 机械部分是一个施加电场力的微板, 电场力沿微板横向均匀分布;电系统包括电源、电阻和电容。机械系统和电系统通过电场力达到机电耦合状态。微板遵循弹性小挠度理论的基本假定:①直法线假设;②忽略沿中面垂直方向的法向应力;③无沿中面内方向的变形;④只计入质量的移动惯性力, 略去其转动惯性力矩[6]。

基于以上基本假设, 以中面上的矩形微元代替微元体, 表示微元的受力情况, 如图2所示, q (x, y, t) 为分布在单位面积上的静电场力, -ρ h∂2w/∂t2为单位面积微板的惯性力, Mx、My为弯矩, Mxy为扭矩, Qx、Qy为剪力, 根据文献[6]可得微板运动方程:

$\frac{\partial Q{}_x}{\partial x}+\frac{\partial Q{}_y}{\partial y}+q-\rho h\frac{\partial {}^{2}w}{\partial t{}^2}=0$ (1)

剪力表达式为

$Q{}_x=-D\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial {}^{2}w}{\partial x{}^2}+\frac{\partial {}^{2}w}{\partial y{}^2})=-D\frac{\partial }{\partial x}\nabla {}^{2}w$ (2)

$Q{}_y=-D\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial {}^{2}w}{\partial x{}^2}+\frac{\partial {}^{2}w}{\partial y{}^2})=-D\frac{\partial }{\partial y}\nabla {}^{2}w$ (3)

$\begin{array}{l}\nabla {}^2=\frac{\partial {}^2}{\partial x{}^2}+\frac{\partial {}^2}{\partial y{}^2}\\ D=\frac{Eh{}^3}{12(1-\nu {}^2)}\end{array}$

式中, ∇2为拉普拉斯算子;ρ为微板质量密度;D为微板抗弯刚度;ν为泊松比;E为弹性模量;w (x, y, t) 为微板中面挠曲函数;h为上层微板厚度。

由式 (1) ～式 (3) 得到直角坐标系中微板横向振动基本微分方程:

$\frac{\partial {}^{4}w}{\partial x{}^4}+2\frac{\partial {}^{4}w}{\partial x{}^2\partial y{}^2}+\frac{\partial {}^{4}w}{\partial y{}^4}+\frac{\rho h}{D}\frac{\partial {}^{2}w}{\partial t{}^2}=$

∇2∇$2w+\frac{\rho h}{D}\frac{\partial {}^{2}w}{\partial t{}^2}=\frac{q(x,y,t)}{D}$ (4)

当在两板之间施加工作电压时, 固定电极与上层微板之间形成静电场, 忽略电场的边缘部分, 可以将微板机电耦合系统视为平行板电容器, 根据文献[7], 单位面积静电场力大小为

$q{}_{\text{e}}=\frac{1}{2}\frac{U{}^2\epsilon {}_0}{(t{}_0-w+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}){}^2}$ (5)

式中, ε0为真空介电常数, ε0=8.85×10-12C2/ (N·m2) , εr为相对介电常数;t0为两微板之间的初始间隙大小;dc为上层微板内壁的涂层厚度;U为两板之间施加的工作电压。

将电容C、电压U、单位面积静电场力qe表示为静态和动态两部分, 电容对动态间隙求导, 忽略高阶无穷小量, 得到动态电场力密度Δq1:

$\text{Δ}q{}_1=\frac{U{}_0^2\epsilon {}_0}{(t{}_0-w{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}){}^3}\text{Δ}w$ (6)

式中, U0为平均电压值;Δw为上层微板的主振动振幅;w0为上层微板的初始静态位移。

将式 (6) 代入式 (4) 得到微板机电耦合的动态弯曲振动方程:

$\begin{array}{l}\frac{\partial {}^4\text{Δ}w}{\partial x{}^4}+2\frac{\partial {}^4\text{Δ}w}{\partial x{}^2\partial y{}^2}+\frac{\partial {}^4\text{Δ}w}{\partial y{}^4}+\\ \frac{\rho h}{D}\frac{\partial {}^2\text{Δ}w}{\partial t{}^2}=\frac{\text{Δ}q{}_1(x,y,t)}{D}(7)\end{array}$

考虑电场力的非线性因素, 将动态电场力密度在$w=\overline{w}{}_0$静态平均位移处进行泰勒级数 (Taylor) 展开:

$\begin{array}{l}\text{Δ}q{}_1=\frac{U{}_0^2\epsilon {}_0\text{Δ}w}{(t{}_0-\overline{w}{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}){}^3}+\\ \frac{3U{}_0^2\epsilon {}_0\text{Δ}w{}^2}{2(t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}){}^3\overline{w}{}_0}(\frac{\overline{w}{}_0}{t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}})[1+\\ \frac{\overline{w}{}_0}{t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}}+(\frac{\overline{w}{}_0}{t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}}){}^2+\cdots ]{}^4+\\ \frac{2U{}_0^2\epsilon {}_0\text{Δ}w{}^3}{(t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}){}^4\overline{w}{}_0}(\frac{\overline{w}{}_0}{t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}})[1+\\ \frac{\overline{w}{}_0}{t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}}+(\frac{\overline{w}{}_0}{t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}}){}^2+\cdots ]{}^5+\cdots (8)\end{array}$

引进与变量无关的实数小参数$\epsilon ,\epsilon =\frac{\overline{w}{}_0}{t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}},0＜\epsilon ＜1$, 得

$\text{Δ}q{}_1=\frac{U{}_0^2\epsilon {}_0\text{Δ}w}{(t{}_0-\overline{w}{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}){}^3}+\frac{3U{}_0^2\epsilon {}_0\text{Δ}w{}^2}{2(t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}){}^3\overline{w}{}_0}\epsilon +$

$\frac{2U{}_0^2\epsilon {}_0\text{Δ}w{}^3}{(t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}){}^4\overline{w}{}_0}\epsilon +\cdots$ (9)

将式 (9) 代入式 (7) , 忽略高阶无穷小量, 得到系统振动方程:

$\begin{array}{l}\frac{\partial {}^4\text{Δ}w}{\partial x{}^4}+2\frac{\partial {}^4\text{Δ}w}{\partial x{}^2\partial y{}^2}+\frac{\partial {}^4\text{Δ}w}{\partial y{}^4}+\frac{\rho h}{D}\frac{\partial {}^2\text{Δ}w}{\partial t{}^2}=\\ \frac{U{}_0^2\epsilon {}_0\text{Δ}w}{D(t{}_0-\overline{w}{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}){}^3}+\frac{3U{}_0^2\epsilon {}_0\text{Δ}w{}^2}{2D(t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}){}^3\overline{w}{}_0}\epsilon +\end{array}$

$\frac{2U{}_0^2\epsilon {}_0\text{Δ}w{}^3}{D(t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}){}^4\overline{w}{}_0}\epsilon$ (10)

采用分离变量法求解, 将系统的主振动写成模态函数ϕ (x, y) 与广义坐标q′ (t) 乘积的形式:

Δw (x, y, t) =ϕ (x, y) q′ (t) (11)

将式 (11) 代入式 (10) 并化简得到关于时间函数的动力学方程:

${\ddot{q}}^{\prime }(t)+q^{\prime }(t)(\omega {}_0^2-\frac{b{}_1}{\rho h}\epsilon q^{\prime }(t)-\frac{b{}_2}{\rho h}\epsilon q^{\prime }{}^2(t))=0(12)$

我们认为作用力的非线性因素不影响模态函数ϕ (x, y) , 设ω0为不计非线性因素时系统的固有圆频率, 令:

$\begin{array}{l}{\rm P}=\frac{U{}_0^2\epsilon {}_0}{(t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}-\overline{w}{}_0){}^3}b{}_1=\frac{3U{}_0^2\epsilon {}_0\overline{\text{ϕ}}}{2(t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}){}^3\overline{w}{}_0}\\ b{}_2=\frac{2U{}_0^2\epsilon {}_0\overline{\text{ϕ}}{}^2}{(t{}_0+d{}_{\text{c}}/\epsilon {}_{\text{r}}){}^4\overline{w}{}_0}\overline{\text{ϕ}}\approx \frac{1}{ab}{\displaystyle {\int }_0^a{\displaystyle {\int }_0^b{\displaystyle \sum \text{ϕ}}}}{}_i(x,y)\text{d}x\text{d}y\\ \overline{\text{ϕ}}{}^2\approx \frac{1}{ab}{\displaystyle {\int }_0^a{\displaystyle {\int }_0^b{\displaystyle \sum \text{ϕ}}}}{}_i^2(x,y)\text{d}x\text{d}y\\ \frac{{\rm P}\text{ϕ}(x,y)-D\nabla {}^2[CX]\nabla {}^2[CX]\text{ϕ}(x,y)}{\rho h\text{ϕ}(x,y)}=-\omega {}_0^2\end{array}$

当小参数ε=0时, 式 (12) 退化为原系统的派生系统:

${\ddot{q}}^{\prime }(t)+\omega {}_0^2{q}^{\prime }(t)=0$ (13)

2 微板机电耦合动力响应计算

根据文献[8], 采用林滋泰德—庞加莱法进行求解, 将原系统的解展开成ε的幂级数:

q′ (t, ε) =q′0 (t) +ε q′1 (t) +ε2q′2 (t) +… (14)

将原系统的自由振动圆频率ω也展开成ε的幂级数:

ω2=ω${}_0^2$ (1+ε σ1+ε2σ2+…) (15)

系统的初始位移激励为Q0, 各方程的初始条件为

将式 (14) 、式 (15) 代入式 (12) , 引入新的自变量φ=ω t, 将原来的微分符号改定义为对φ的微分, 并令ε的同次幂的每一项系数为零, 导出各阶近似的线性方程组, 利用各方程的初始条件式 (16) 进行迭代计算, 最终推导出能够满足所需精确度的时间函数周期解:

得到非线性系统自由振动圆频率与振幅的关系式:

由于ε2项对ω数值的影响很小, 将式 (18) 简化为

$\omega {}^2=\omega {}_0^2(1-\epsilon \frac{3b{}_{2}Q{}_0^2}{4\rho h\omega {}^2})$ (19)

3 算例分析

以上述理论为基础, 以静电微泵泵膜为研究对象, 求解其动力学响应。为了增加泵腔容积, 提高微泵的输出效率和运动灵敏度, 泵膜采用柔性铰链结构, 泵膜可以简化为图1所示的四边简支微板机电耦合系统, 设计参数如表1所示, 由式 (11) 、式 (17) 可得微板机电耦合自由振动的各阶位移的时域动态响应 (图3) 以及幅频响应特性关系曲线 (图4) , 在图5中, 将非线性分析方法求解的位移时间响应与传统的线性分析结果进行了对比。

以静电微泵泵膜为研究对象, 对四边简支边界条件下微板机电耦合的非线性自由振动进行了定量分析, 计算结果如图3～图5所示, 结果表明:①阶次不同, 微板振动的峰值位置和位移函数的变化周期是不同的, 高阶模态固有圆频率值越大, 达到振动峰值的点越多, 振动周期越小;②非线性解的动态响应出现了不对称现象, 这是由于非线性解中的非线性因素使自由振动出现了直流和谐波成分, 使得响应不再对称于系统的平衡位置, 这种动态响应更加符合微机械系统实际的工作状态;③考虑了非线性因素的幅频特性曲线并非直线而是朝频率减小的方向弯曲, 呈现出软弹簧特性, 这种特性与非线性因素ε有关;④振动系统的自由振动圆频率不仅与系统本身属性有关, 还与振幅的变化相关, 此点也不同于线性系统, 在进行微系统动态性能设计时应当给予特别的注意;⑤由时间函数的周期解还可以看出, 周期解中除基频为ω的谐波以外, 还有频率为3ω、5ω的高次谐波存在, 在进行微系统动态性能设计时还要注意避免倍频共振的发生。

4 结论

(1) 采用非线性分析方法求解微板机电耦合系统的动力学响应是合理的, 非线性方法更加符合微泵等微机械器件的实际工作状态, 比采用传统的线性分析方法更为准确。

(2) 得到微板系统的机电耦合非线性动力学方程, 为静电驱动MEMS系统典型元件的动力学设计提供了理论基础。

(3) 采用林滋泰德—庞加莱法求得的非线性多项式解可以校正线性分析方法的计算误差, 提高设计精度。对于静电场较强的MEMS系统, 采用非线性分析方法具有更加重要的意义。

(4) 本文针对四边简支微板的非线性动力响应进行了分析, 对于其他条件下的微板, 只要选取适当的边界条件, 同样可以得到对应的非线性动力响应解。

(5) 这种非线性分析方法不仅适用于微泵的系统设计, 也适合微传感器等具有其他边界条件微板结构的微机械器件的设计。

参考文献

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机电耦合系统 篇5

电场活化聚合 物 (dielectric elastomer,DE) 是电活性聚合物中一类智能薄膜材料[1]。薄膜材料的力学性能是影响机电耦合致动性能的重要因素。DE薄膜材料 具有高弹 性能密度 (3.4 J/g)[2],在外加电场下能产生较大的应变。当电场超过电场活化聚合物的临界点时,薄膜材料被击穿,导致电场活化聚合物驱动器机电耦合系统不稳定。为了研究其机电耦合系统稳定性,可以应用多个材料常数的弹性应变能函数模型对电场活化聚合物驱动器的机电稳定性进行分析[3]。但这些机电耦合研究,大多只是利用单一的应变能函数模型加以分析,并没有同时考虑多种应变能函数模型对机电耦合性能的影响。本文选用常用应变能函数模型(Mooney-Rivlin模型、Ogden模型和Yeoh模型)进行研究,构建三者应变能函数形式的机电耦合模型。通过平面机电驱动实验数据,将3种模型结果与实验数据进行对比分析,寻求影响电场活化聚合物机电稳定性的重要因素, 从而确定最佳的机电耦合模型来指导电场活化聚合物器件的设计。

1DE驱动器机电耦合工作原理

材料的机电耦合特性的工作机理类似于一个电容器:中间层是DE薄膜材料,上下两层是屈从电极,如图1所示。当上下层电极通电后,DE薄膜材料处于电场中并产生形变,与此同时,涂敷在薄膜材料表面的电极材料也随电场的 变化而变化,在上下薄膜表面上形成电场并保持其导电性。在电场的作用下,电极之间产生的有效压应力为

式中,ε为绝缘常数;ε0为真空介电常数,ε0=8.85×10-12F/m;E为电场强度;U为施加电压;d为电力线方向的材料厚度。

根据电场活化聚合物材料自身所具有的超弹性力学特性,基于连续介质力学理论,假设薄膜材料在3个方向上的主延伸率为

式中,x、y、d分别为电场活化聚合物变形后的长度、宽度和厚度;x0、y0、d0分别为该 材料变形 前的长度、宽度和厚度。

根据假设条件,电场活化聚合物具有不可压缩性, 则材料变 形前后体 积不变即xyd = x0y0d0。由于薄膜材料并不完全绝缘,在工作过程中存在一定量的传导电流,所以,在建立电场活化聚合物驱动器的电路模型中并联一个电阻,根据图2所示DE驱动器电路模型[4?5],得到电路模型方程:

式中,Uc为薄膜材料两端电压;Re为电极电阻;te为电路的时间常数;c为薄膜电容。

诸多实验表明,DE具有正 -逆压电效 应特性:在施加电场时产生伸缩变形,在施加压力时产生电压。因此,DE材料既可以作为致动器的基础材料,也可以作为传感器的基础材料。

2构建DE驱动器的机电耦合模型

2.1DE驱动器的本构关系

设预拉伸状态下的延伸率为λpi(i=1,2,3),其中λp1=λp2=λp;材料通电状态下的延伸率为 λi,材料预拉伸状态与通电状态的延伸率关系为

式中,k为静电力作用下的薄膜厚度的变化参数,0<k< 1/λ21。

由式(2)、式(3)可得到预拉伸伸长比λ 和k的函数方程:

当DE材料用于驱动器的设计时,工作频率不超过30Hz[6]。如果在同一个平面内材料沿着长度方向和宽度方向对薄膜材料进行双向拉伸,延伸率相等,即λ1=λ2,材料厚度方向上的应力σ3为零; 如果在长度方向上进行拉伸,则其他两个方向延伸率相等,材料宽度方向和厚度方向上的应力σ2和 σ3为零。根据超弹性材料的应变能函数,DE材料具备不可 压缩特性,则材料的 体积不变,即 λ1λ2λ3= 1。因此,主伸长比之间关系如下:

单轴拉伸

双轴拉伸

若是单轴拉伸,薄膜材料在平面内的名义应变可定义为

平面内Cauchy主应力张量σ1、σ2为材料的真实应力:

式中,σp为预应力;p为静水压力;W为应变能。

所以,材料厚度方向上的Cauchy主应力为

Cauchy主应力相当于电极产生的静电压力:

式中,εr(λ1,λ2,λ3)为电活化状态后的相对介电常数。

厚度d0和厚度d的关系为

根据式(11)、式(12)和式(13)可得

从式(14)得出,DE大变形之后,其相对介电常数随着材料平面和厚度方向上的长度比呈线性变化[7?8]:

式中,εi为初始相对介电常数,εi=4.7ε0;A、B为材料的电致伸缩系数。

为了得到精确 的材料机 电特性方 程,将式 (15)简化得到

式中,Q为电致伸 缩系数,通常Q取 -0.0053、0、1、2、 -0.25。

根据式(14)、式(16)可得到电场活化聚合物的机电特性方程:

2.2DE驱动器的机电耦合模型

根据材料的本构理论,采用不同的应变能函数(Mooney -Rivlin模型、Ogden模型、Yeoh模型)分别与薄膜 材料的电 学模型相 结合来建 立DE驱动器的动态机电耦合模型[5]。

2.2.1 Mooney-Rivlin形式

Mooney-Rivlin应变能方程[9?10]:

根据式(17)和式(19)可得

根据式(20)、式(4)、式(6)得

所以,根据式 (3)、式 (21)可得DE驱动器Mooney-Rivlin形式的机电耦合模型。

2.3Ogden形式

Ogden应变能方程为[11?13]

根据式(17)和式(23)可得

根据式(24)、式(4)、式(6)可得

所以,根据式 (25)、式 (3)可得到驱 动器Ogden形式机电耦合模型。

2.4Yeoh形式

Yeoh应变能方程为[14?15]

根据式(17)和式(27)可得

根据式(28)、式(4)、式(6)得

根据式(29)、式(3)可得到驱动器Yeoh形式的机电耦合模型。

综上所述,机电耦合特性显现出材料驱动电压、薄膜表面延伸率λp与模型的材料参数之间的关系。因此,研究这3种因素对该材料的机电耦合性能的影响,对研究DE机电稳定性行为和设计制造驱动器件有着更深远的意义。

3试验和方法

为了深入研究电场活化聚合物机电稳定性, 对薄膜材料进行机电耦合特性试验。

3.1试验过程

选取试件材料 尺寸为30mm×10mm和30mm×30 mm ×1.1 mm,预拉伸比 分别取100%和200%,电极区域为19mm×0.45mm。 在原有的拉伸试验装置中,增加了测试系统,如图3所示。对材料进 行驱动试 验:首先,进行预拉 伸。预拉伸分为单轴预拉伸和双轴预拉伸,单轴预拉伸是指薄膜材料沿着一个方向(长度或半径) 拉伸,双轴预拉伸指材料在互相垂直的两个直线方向上将薄膜拉伸。然后,在预拉伸的试件上加电施压。如图4所示,试验过程分别为3种状态: 薄膜原始形状,薄膜预拉伸形状以及薄膜加电状态(薄膜是透明状,为了识别将材料中间涂抹黑色

导电膏作为电极材料)。

3.2数据处理过程

整理应变能 函数本构 方程 (Mooney-Rivlin模型、Ogden模型和Yeoh模型)拟合试验数据, 选定了3种模型的材料参数(表1)。不同测试驱动电压下直径方向的变形和长度方向的变形如图5所示。利用MATLAB软件编写3种机电耦合模型的函数关系式,从而得到理论模型,如图6所示。

从图5对比曲线看出,无论试件材料选取的是圆形还是矩形,同种预拉伸比下试验的结果大致相同,即随着预拉伸的增大,材料的变形率逐渐增大。当预拉伸比为100%时,圆形试件沿着直径方向产生5.8 mm位移,需要的驱 动电压为6255V;矩形试件表面在5889V驱动电压状态下,材料沿着长度方向(或宽度方向)产生的位移只有3.1mm;当预拉伸比为200% 时,圆形材料沿着直径方向产生5.5mm的位移,需要的驱动电压为3590V,矩形材料沿着长度方向(或宽度方向)产生5.6mm位移,需要电压为3740V。这些数据充分表明,材料的变形量与预拉伸比有关, 预拉伸比相同的情况下,圆形材料和矩形材料曲线略有不同,这是试验过程中人为操作误差所致, 并不影响后续研究中将平面机电耦合模型与试验数据进行对比。

4试验结果及分析

4.1延伸率对驱动性能的影响

预拉伸的延伸率λ是衡量DE机电稳定性的重要参数,其对DE材料的驱动性能影响很大,根据DE材料平面机电耦合模型特性和麦克斯韦理论,随着延伸率增大,材料表面在电场作用下所产生的应力增大。通过DE力学模型的材料参数, 得到材料驱动机电响应的3种模型拟合曲线,如图6所示。这3种模型曲线特征呈现出材料的非线性及驱动响应程度。

图6a中,3个模型的应力延伸率曲线相互接近,材料的非线性 特征不是 非常明显,MooneyRivlin模型曲线几乎呈现的是线性特性。这说明对材料进行单轴拉伸适合于小变形研究范围。

图6b中,薄膜材料的弹性模量很小,变形很大,如图所示,当延伸率λ2在2%以内时,Ogden模型和Yeoh模型比较接近;当λ2超过3%时,随着电压的 增大,Ogden模型、Yeoh模型相距 较远,应力增大趋势非常明显,两种模型曲线也不再有所交错,因此,Yeoh模型在大变形时的性能不如Ogden模型,这说明Ogden模型适合材料不同延伸率范围。但是,从Ogden模型拟合的曲线来看,由于本身的材料常数比较多,这里选择的是2个参数的Ogden模型,所以它能较精确说明材料非线性力 学特性。Mooney-Rivlin模型趋于 线性,应力增大趋于迟缓,不能反映材料的非线性程度。

4.2材料参数对驱动性能的影响

根据机电耦合特性试验数据结果,结合DE本构模型的材料参数,将平面驱动试验数据与应变能机电耦合模型数据进行对比,如图7所示。

分析图7可以看出:

(1)材料预拉伸比为100%时,随着施加电压的增大,3种机电模型驱动响应趋势都有增强,其中,Ogden模型曲线和试验曲线相吻合;Yeoh模型相比Ogden模型实验数据略有偏离,但是偏离值不是很大。预拉伸比为200%时,Ogden模型与试验曲线吻合;Yeoh模型与Ogden模型模型曲线虽然偏离试验数据,但也能反映DE材料的机电响应变化规律。

(2)Mooney-Rivlin模型和试 验数据相 差很大,机电响应不明显,曲线显现出线性特性,这与实际情况需要相差很大,在单轴和双轴预拉伸情况下,都不能作 为后续器 件设计与 研究参考 的依据。

(3)对比试验数据与模型可知,Ogden模型和Yeoh模型与试验数据比较接近,它们能充分反映DE材料的平面机电驱动特性,并且Ogden模型比Yeoh模型更适 用于平面 机电驱动 响应研究。

5结语