订购模型

订购模型（精选3篇）

订购模型 篇1

1 简介

有效管理库存一直以来都是运筹学和管理学研究的主要议题,面对快速变化的随机需求,每个制造企业如何决定自己的最优产量?每个零售企业如何决定自己的最优库存量?一些重要的服务业如何设计最优的运作空间?这些都是世界上各大企业所面对的共同难题。作为这类问题研究的理论基石,经典的报贩模型由于结构简单,并能够刻画大量现实中商业和生产运作模式,从而具有广泛的应用前景,因此长期以来都是学者和管理者强烈关注的焦点。

报贩问题一类重要的扩展模型是同时考虑报贩的定购定价决策。该模型里,报贩不仅进行订购决策同时还要考虑如何制定价格来保证自己的竞争优势。然而,关于该类问题研究的大多数文献都是基于决策者是风险中性的假设,即决策者根据利润最大化或者成本最小化原则进行决策。而在实践中,很多现实的例子表明管理者的决策总是和期望利润或期望成本原则并不一致。观察到理论与现实之间的这种鸿沟,一些学者试图在期望效用框架下使用风险厌恶来描述决策者的行为偏差(Behavioral Bias),例如:Eeckhoudt,Gollier和Schlesinger(1995)[1],Agrawal和Seshadri(2000)[2],Chen和Sim等(2007)[3],Chen,Xu和Zhang(2009)[4]。然而这些学者并没有注意到使用期望效用理论(EU)来刻画决策者行为的不足。事实上,自上个世纪50年代以来,大量来自现实和实验中的观察对于EU理论的有效性不断提出挑战。

另一方面,在心理学和行为经济学领域相关研究已经证实悲观偏差总是和人类的一切消极情绪密切相关,因而在各种决策问题中这种行为偏差对决策者行为有着重要的影响。Hey(1984)[5]认为乐观悲观和未来世界状态的不确定性密不可分,因此他根据人们对于不确定事件概率的主观态度,定义悲观者为总是过低估计有利结果发生的概率而过高估计不利结果发生的概率。尽管悲观偏差作为决策者对于不确定事件概率的态度,是人类普遍存在的一类心理偏差,然而经典期望效用理论却无法描述这种重要行为偏差。

基于以上原因。本文试图使用更一般和更现实的决策模型,来描述定价环境报贩问题中决策者的行为模式,一方面弥补期望效用理论内在的不足,另一方面考虑决策者的悲观偏差对于决策行为的影响。因此,本文使用预期效用理论(Anticipated Utility)来刻画决策者的行为。预期效用理论不仅能够有效的解释EU理论中一些悖论,而且能够恰当的包含决策者对于概率的态度,特别该模型对于决策者悲观态度都能给予很好的刻画[6]。从而使模型更加贴近于现实。

此外, 近年来使用风险管理领域的风险度量工具来研究报贩问题逐渐变得流行起来(Ahmed,Cakmak和Shapiro(2007)[7],Choi和Ruszczynski(2008)[8],Chen,Xu和Zhang(2009)[4]。Artzner等(1999)[9]奠基性的工作提出了一致风险度量的概念,从而开启了风险管理领域的新时代。遗憾的是风险管理领域最常使用的工具VaR却并不是一致风险度量。为此,Rockafellar和Uryasev(2002)[10],Acerbi和Tasche(2002)[11]发展了更具吸引力的工具CVaR并证明CVaR满足一致风险度量的所有公理。Acerbi(2002)[12]提出了一类重要的一致风险度量,称为谱风险度量(Spectral Risk Measurement,SRM),SRM包含CVaR为特例,Kuauoka(2003)[13]对于谱风险度量提出了更一般的表示公式。令人惊讶的是谱风险理论和经济学领域早期由Yarri(1987)[14]提出的对偶理论(Dual Theory,DU)尽然是相同事物的不同表征,有兴趣的读者参阅Follmer和Schied(2004)[15]。然而,众所周知对偶理论仅仅是AU理论的特殊情形。因此,本文在AU框架下建立的报贩模型包含了EU和DU为特例,从而扩展了报贩问题在EU和CVaR框架下相关结论。这是本文使用AU作为工具刻画报贩行为模式的第二个动机。

本文第2节介绍基本报贩模型和预期效用理论(AU),第3节讨论在加需求模型下报贩的悲观偏差对于报贩定价行为的影响,第4节给出结论。

2 报贩模型和预期效用理论

2.1 基本的报贩模型

假定一个报贩在清晨从批发商那里以批发价格c订购Q份报纸,该报纸具有连续的随机需求$\tilde{X}$,不妨假设相应的分布函数和概率密度函数分布为F(x)和f(x),报贩以零售价格p将报纸销售给读者,如果在当天实现的需求小于初始订购量Q,则报贩以价格v处理掉未销售的报纸,如果实现的需求大于初始订购量Q,则报贩有二次订购机会但此时的批发价格为b,通常0≤v≤c≤b≤p.上述模型综述如下。

Q 报贩的订购数量

p 商品的零售价格

$\tilde{X}$商品的随机需求

c 商品的订购价格

F(x)$\tilde{X}$的累积分布函数

v 商品的残值

f(x)$\tilde{X}$的概率密度函数

b 商品应急订购价格

在定价订购联合决策模型里,报贩的决策变量是商品的零售价格和订购数量,并且订购价格对于商品的随机需求产生一定的影响。假设价格相关的随机需求为$\tilde{D}(p)=d(p,\tilde{X})$, 具有支撑[0,T], 其中$\tilde{X}$是一个随机变量, 函数d(p,x)是价格p和随机变量$\tilde{X}$实现值x的二元函数,并且是p的减函数, 是x的严格增函数, 从而关于x有反函数记为x=d-1(p,y),符号F(y)表示价格相关随机需求$\tilde{D}$(p)的分布函数,而随机因素$\tilde{X}$的分布函数为F(x),二者的关系如下:

$\begin{array}{l}F{}_{\tilde{D}}(y)\\ =p(d(p,\tilde{X})\le y)\\ =p(\tilde{X}\le d{}^{-1}(p,y))\\ =F{}_{\tilde{X}}(d{}^{-1}(p,y))\end{array}$

假设平均需求为α(p),通常假定为p的非增凹函数,此外为了方便讨论还假定它具有连续的二阶导数。在本文我们假定p∈[c,k],当p≥k时假设α(p)=0,在本文的模型里允许零售价格低于应急订购价格b,因为更低的价格将会给报贩带来更大的需求,从而增加他的利润。报贩的随机支付具有下列的形式:

$\begin{array}{l}{\rm Z}(\tilde{D}({\rm P}),Q,p)\\ =\{\begin{array}{l}{\rm Z}{}_{-}(\tilde{D}({\rm P}),Q,p)\\ =p\tilde{D}({\rm P})-cQ+v(Q-\tilde{D}({\rm P})),\tilde{D}({\rm P})\le Q\\ {\rm Z}{}_{-}(\tilde{D}({\rm P}),Q,p)\\ =p\tilde{D}(p)-cQ-b(\tilde{D}(p)-Q),\tilde{D}(p))\ge Q\end{array}\end{array}(1)$

对于一般形式的函数d(p,$\tilde{X}$), 由于两个决策变量使得问题的分析变得更复杂, 往往难以得到比较明确的结果,因此在文献中通常有两种形式的函数被使用,一类称为乘法模型,一类称为加法模型。本文使用加需求模型,即$D(p,\tilde{X})=d(p,\tilde{X}))=\tilde{X}+\alpha (p)$,遵循定价环境报贩模型的通常假设,这里随机变量$\tilde{X}$在一个区间[-m,m]取值,并且期望为0,因而$\tilde{X}$可以被解释为一个随机噪声,而α(p)被理解为在价格p下没有随机因素影响的报纸或商品的需求量。此外本节假定随机需求大于等于零,因此α(k)-m≥0。

2.2 预期效用模型介绍

Quiggin(1982)提出离散随机变量的预期效用理论,Chew等(1987)[16]将该公式扩展到连续性随机变量。如果报贩是预期效用决策者,则他关于随机支付Z($\tilde{D}$(p),Q,p)的效用函数可以表示如下:

$\begin{array}{l}\underset{Q,p}{{\displaystyle \max }}AU(Q,p)\\ =E{}_g[u({\rm Z}(\tilde{D}(p),Q,p))]\\ ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }u}(x)dg(F{}_{{\rm Z}(\tilde{D}(p))}(x))\\ ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }u}({\rm Z}(x,Q,p))dg(F{}_{\tilde{D}(p)}(x))\end{array}(2)$

其中, 效用函数u(x)是递增的凹函数,反映决策者对于财富的态度。而概率扭曲函数g(t)为定义在[0,1]、取值也在[0,1]的严格增的连续函数,反映决策者对于概率的态度。本中假定g(t)为凹函数,这表明决策者是悲观决策者。事实上,当g(t)是凹函数时,通过简单的变形可以看出决策者对于随机变量低的实现值给予更高的权重而对于高的实现值给予更低的权重,这恰好体现了悲观者的心理的特质。为了讨论方便,本文始终假定函数u(x)和g(t)都二阶连续可微。

从上面的表达不难看出,预期效用函数是在扭曲概率分布下的期望效用,因此该模型又称为广义期望效用理论。此外,该模型包含了期望效用理论、Yarri的对偶理论和期望值决策理论为特例。当扭曲函数g(t)是线性函数时,它退化为期望效用理论;当效用函数是线性函数时,它退化为对偶理论;而效用函数和扭曲函数都是线性函数时,它恰好是随机变量的期望值。

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\underset{Q,p}{{\displaystyle \max }}EU(Q,p)\\ =E{}_g[u({\rm Z}(\tilde{D}(p),Q,p))]\\ ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }u}(x)dF{}_{{\rm Z}(\tilde{D}(p))}(x)\\ ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }u}({\rm Z}(x,Q,p))dF{}_{\tilde{D}(p)}(x)\end{array}(3)\\ \begin{array}{l}\underset{Q,p}{{\displaystyle \max }}DU(Q,p)\\ =E{}_g[{\rm Z}(\tilde{D}(p),Q,p)]\\ ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }x}dg(F{}_{{\rm Z}(\tilde{D}(p))}(x))\\ ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\rm Z}}(x,Q,p)dg(F{}_{\tilde{D}(p)}(x))\end{array}(4)\\ \begin{array}{l}\underset{Q,p}{{\displaystyle \max }}E{\rm P}(Q,p)\\ =E[{\rm Z}(\tilde{D}(p),Q,p)]\\ ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }x}dF{}_{{\rm Z}(\tilde{D}(p))}(x)\\ ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\rm Z}}(x,Q,p)dF{}_{\tilde{D}(p)}(x)\end{array}(5)\end{array}$

后文中分别用符号QA(p),QU(p),QD(p)和QE(p)表示在给定价格p下预期效用报贩、期望效用报贩、对偶效用报贩和风险中性报贩的订购量,而符号p*A,p*U,p*D和p*E表示预期效用报贩、期望效用报贩、对偶效用报贩和风险中性报贩设定的最优价格。

3 悲观偏差对于报贩

决策行为的影响

本节主要讨论报贩的悲观偏差对于报贩订购和定价行为产生的影响。由式(1)和式(2)以及D(p,$\tilde{X}$)的表达,将式(2)重新写作下列形式。

$\begin{array}{l}AU(Q{}_A(p),p)\\ ={\displaystyle {\int }_{\alpha (p)-m}^{Q{}_A(p)}u}(py-cQ{}_A(p)+v(Q{}_A(p)-y))dg(F{}_{\tilde{X}}(y-\alpha (p)))\\ +{\displaystyle {\int }_{Q{}_A(p)}^{\alpha (p)+m}u}(py-cQ{}_A(p)-b(y-Q{}_A(p)))dg(F{}_{\tilde{X}}(y-\alpha (p)))\\ ={\displaystyle {\int }_{-m}^{\eta {}_A(p)}u}([(p-v)x-(c-v)\eta {}_A(p)]+(p-c)\alpha (p))dg(F{}_{\tilde{X}}(x))\\ +{\displaystyle {\int }_{\eta {}_A(p)}^{m}u}([(p-b)x+(b-c)\eta {}_A(p)]+(p-c)\alpha (p))dg(F{}_{\tilde{X}}(x))\end{array}(6)$

其中,QA(p)=ηA(p)+α(p),这里使用符号QA(p)并不表示它们是价格p的函数,仅仅表示报贩在给定价格p下可能的订购量, 对于变换因子ηA(p)也有同样的解释。 对于期望效用报贩、对偶效用报贩和风险中性报贩同样可以定义相应的变换因子ηU(p),ηD(p)和ηE(p)。根据上式,可将最优化问题$\underset{Q,p}{{\displaystyle \max }}AU(Q,p)$转化为关于变量ηA(p)的优化问题$\underset{\eta {}_A(p),p}{{\displaystyle \max }}AU(\eta {}_A(p),p)$,这仍然是一个二元优化问题。然而下面将会看到利用预期效用的性质、 模型和平均需求函数的性质,可以将上述问题转化为单变量的决策问题。对式(6)关于变换因子ηA(p)分别求一阶和二阶导数有:

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{\partial AU(\eta {}_A(p),p)}{\partial \eta {}_A(p)}\\ =-(c-v){\displaystyle {\int }_{-m}^{\eta {}_A(p)}{u}^{\prime }}({\rm Z}{}_{-})dg\\ +(b-c){\displaystyle {\int }_{\eta {}_A(p)}^m{u}^{\prime }}({\rm Z}{}_{+})dg(F{}_{\tilde{X}}(x))\end{array}(7)\\ \begin{array}{l}\frac{\partial {}^{2}AU(\eta {}_A(p),p)}{\partial \eta {}_A(p){}^2}\\ =(c-v){}^2{\displaystyle {\int }_{-m}^{\eta {}_A(p)}{u}^{″}}({\rm Z}{}_{-})dg(F{}_{\tilde{X}}(x))\\ +(b-c){}^2{\displaystyle {\int }_{\eta {}_A(p)}^m{u}^{″}}({\rm Z}{}_{+})dg(F{}_{\tilde{X}}(x))\\ -(b-v)u^{\prime }[(p-c)(\eta {}_A(p)\\ +\alpha (p))]g^{\prime }(F{}_{\tilde{X}}(\eta {}_A(p)))f{}_{\tilde{X}}(\eta {}_A(p))\\ \le 0\end{array}(8)\end{array}$

排除v=c=b以及极度悲观和乐观的平凡情形,上面的不等式事实上是严格成立的。

定理1 如果报贩是悲观的预期效用决策者,对于任意给定的销售价格p,则他的预期效用式(6)是变换因子ηA(p)的凹函数。

由之前的假设可知$\frac{\partial AU(\eta {}_A(p),p)}{\partial \eta {}_A(p)}$关于ηA(p)连续,且$\frac{\partial AU(\eta {}_A(p),p)}{\partial \eta {}_A(p)}|{}_{\eta {}_A(p)=-m}>0,\frac{\partial AU(\eta {}_A(p),p)}{\partial \eta {}_A(p)}|{}_{\eta {}_A(p)=m}<0$, 由定理1可知对于给定的价格p,方程$\frac{\partial AU(\eta {}_A(p),p)}{\partial \eta {}_A(p)}=0$有唯一解。记方程的唯一解为η*A(p),显然由此定义了价格p一个函数。由此将二元决策问题转化为一个一元决策问题。

$\underset{\eta {}_A(p),p}{{\displaystyle \max }}AU(\eta {}_A(p),p)\iff \underset{p}{{\displaystyle \max }}AU(\eta {}_A^{*}(p),p)(9)$

引入记号η*U(p)、η*D(p)和η*E(p),分别表示期望效用、对偶效用和风险中性报贩在给定价格p下对应的最优变换因子。有如下结论。

定理2 如果一个悲观的预期效用报贩的效用函数和概率扭曲函数分别是u(x)和g(t),一个期望效用报贩具有相同的效用函数u(x),一个对偶效用报贩具有相同的概率扭曲函数g(t),则对于任意给定的价格p,总有下列关系成立:①η*A(p)≤η*D(p)≤η*E(p); ②η*A(p)≤η*U(p)≤η*E(p)。

证明 ①由定理1和式(7)知,要证η*A(p)≤η*D(p),只需证$\frac{\partial AU(\eta {}_A(p),p)}{\partial \eta {}_A(p)}|{}_{\eta {}_A(p)=\eta {}_D^{*}(p)}\le 0$即可。由假设u(x)是凹函数可知有下列不等式成立:

$\begin{array}{l}\frac{\partial AU(\eta {}_A(p),p)}{\partial \eta {}_A(p)}|{}_{\eta {}_D^{*}(p)}\\ =-(c-v){\displaystyle {\int }_{-m}^{\eta {}_D^{*}(p)}{u}^{\prime }}({\rm Z}{}_{-})dg(F{}_{\tilde{X}}(x))\\ +(b-c){\displaystyle {\int }_{\eta {}_D^{*}(p)}^m{u}^{\prime }}({\rm Z}{}_{+})dg(F{}_{\tilde{X}}(x))\\ \le u^{\prime }[(p-c)(\eta {}_A(p)+\alpha (p))]\\ \cdot \left\{-(c-v){\displaystyle {\int }_{-m}^{\eta {}_D^{*}(p)}d}g(F{}_{\tilde{X}}(x))+(b-c){\displaystyle {\int }_{\eta {}_D^{*}(p)}^{m}d}g(F{}_{\tilde{X}}(x))\right\}\\ =u^{\prime }[(p-c)(\eta {}_A(p)+\alpha (p))]\frac{\partial DU(\eta {}_D(p),p)}{\partial \eta {}_D(p)}|{}_{\eta {}_D^{*}(p)}=0\end{array}(10)$

最后的等式是由于η*D(p)的定义。由于对偶效用是预期效用的特殊情形,即u(x)为线性函数,从而由式(8)可知DU(ηD(p),p)也是ηD(p)的凹函数。由g(t)是凹函数,使用同样的技巧可证$\frac{\partial AU(\eta {}_A(p),p)}{\partial \eta {}_D(p)}|{}_{\eta {}_D(p)=\eta {}_E^{*}(p)}\le 0$,这表明η*D(p)≤η*E(p)。

同理可证②。

由变化因子η*A(p)的定义,可以得到在给定价格p下报贩的最优订购量Q*A(p),由定理2可以得到如下最优订购量的关系。

推论1 如果一个悲观的预期效用报贩的效用函数和概率扭曲函数分别是u(x)和g(t),一个期望效用报贩具有相同的效用函数u(x),一个对偶效用报贩具有相同的概率扭曲函数g(t),则对于任意给定的价格p,总有下列关系成立:①Q*A(p)≤Q*D(p)≤Q*E(p);②Q*A(p)≤Q*U(p)≤Q*E(p)。

尽管在给定价格p下,能够得出预期效用、期望效用、对偶效用报贩和风险中性报贩最优订购量的具有上述关系。然而,由于在本文的模型里报贩可以设定价格,那么他们的最优订购量是否具有上述关系呢?遗憾的是一般来说答案是否定的。为了看到这一点,必须找出最优的变换因子之间的关系,最优变换因子记为:η*A=η*A(p*A),η*U=η*U(p*U),η*D=η*D(p*D),η*E=η*E(p*E)。在后文中,假定式(9)右端的单变量优化问题总存在唯一解,以及对应的期望效用、对偶效用和风险中性优化问题存在唯一解。

定理3 给定价格p下,有:$①\eta {}_E^{*}(p)=F{}_{\tilde{X}}^{-1}\left(\frac{b-c}{b-v}\right)$;$②\eta {}_D^{*}(p)=F{}_{\tilde{X}}^{-1}\left(g{}^{-1}\left(\frac{b-c}{b-v}\right)\right)$。

证明 在式(7)中令取u(x)为线性函数g(t)为恒同函数, 则(7)恰好是期望利润关于ηE(p)的导数, 让其等于0, 解方程可得最优解为$\eta {}_E^{*}(p)=F{}_{\tilde{X}}^{-1}\left(\frac{b-c}{b-v}\right)$, 由于假定为连续随机变量, 所以分布函数有反函数, F-1为其反函数。同理在式(7)中令u(x)为线性函数, 则得到对偶效用泛函关于 ηD(p)的导数, 解方程可得$\eta {}_D^{*}(p)=F{}_{\tilde{X}}^{-1}\left(g{}^{-1}\left(\frac{b-c}{b-v}\right)\right)$。

由定理3可知η*D(p)与η*E(p)与价格p无关,由定理2得下列推论。

推论2 如果一个悲观的预期效用报贩的效用函数和概率扭曲函数分别是u(x)和g(t),一个对偶效用报贩具有相同的概率扭曲函数g(t),则对于任意给定的价格p,总有下列关系成立η*A≤η*D≤η*E.

证明 由定理2可知$\eta {}_A^{*}=\eta {}_A^{*}(p{}_A^{*})\le \eta {}_D^{*}(p{}_A^{*})=F{}_{\tilde{X}}^{-1}\left(g{}^{-1}\left(\frac{b-c}{b-v}\right)\right)=\eta {}_D^{*}$,而当g(t)为凹函数时,总有η*D≤η*E.

定理4 如果报贩是悲观的预期效用决策者,对于任意给定的ηA,则他的预期效用式(6)是价格p的凹函数。

证明 对于式(6)关于p求偏导可得

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{\partial AU(\eta {}_A,p)}{\partial p}\\ ={\displaystyle {\int }_{-m}^{\eta {}_A}{u}^{\prime }}({\rm Z}{}_{-}(x,\eta {}_A,p))(x+\alpha (p)+(p-c){\alpha }^{\prime }(p))dg(F{}_{\tilde{X}}(x))\\ +{\displaystyle {\int }_{\eta {}_A}^m{u}^{\prime }}({\rm Z}{}_{+}(x,\eta {}_A,p))(x+\alpha (p)+(p-c){\alpha }^{\prime }(p))dg(F{}_{\tilde{X}}(x))\end{array}(11)\\ \begin{array}{l}\frac{\partial {}^{2}AU(\eta {}_A,p)}{\partial p{}^2}\\ ={\displaystyle {\int }_{-m}^{\eta {}_A}{u}^{″}}({\rm Z}{}_{-}(x,\eta {}_A,p))(x+\alpha (p)+(p-c){\alpha }^{\prime }(p)){}^{2}dg(F{}_{\tilde{X}}(x))\\ +{\displaystyle {\int }_{-m}^{\eta {}_A}{u}^{\prime }}\left({\rm Z}{}_{-}(x,\eta {}_A,p)\right)(2{\alpha }^{\prime }(p)+(p-c){\alpha }^{″}(p))dg(F{}_{\tilde{X}}(x))\\ +{\displaystyle {\int }_{\eta {}_A}^m{u}^{″}}({\rm Z}{}_{+}(x,\eta {}_A,p))(x+\alpha (p)+(p-c){\alpha }^{\prime }(p)){}^{2}dg(F{}_{\tilde{X}}(x))\\ +{\displaystyle {\int }_{\eta {}_A}^m{u}^{\prime }}({\rm Z}{}_{+}(x,\eta {}_A,p))(2{\alpha }^{\prime }(p)+(p-c){\alpha }^{″}(p))dg(F{}_{\tilde{X}}(x))\le 0\end{array}(12)\end{array}$

由于效用函数u(x)是递增的凹函数,上面不等式左边第一和第三项为负,由于需求函数α(p)是递减的凹函数,从而第二项和第四项为负。

上面的结论对于u(x)或g(t)是线性函数同样成立,因而期望效用、对偶效用以及风险中性效用都是价格p的凹函数。

定理5 如果一个悲观的预期效用报贩的效用函数和概率扭曲函数分别是u(x)和g(t),一个对偶效用报贩具有相同的概率扭曲函数g(t),则对于任意给定的价格p,总有下列关系成立p*A≤p*D≤p*E.

证明 重新写式(11)如下:

$\begin{array}{l}\frac{\partial AU(\eta {}_A,p)}{\partial p}|{}_{\eta {}_A^{*}(p{}_D^{*}),p{}_D^{*}}\\ ={\displaystyle {\int }_{-m}^m{u}^{\prime }}({\rm Z}(x,\eta {}_A^{*}(p{}_D^{*}),p{}_D^{*}))(x+\alpha (p{}_D^{*})\\ +(p{}_D^{*}-c){\alpha }^{\prime }(p{}_D^{*}))g^{\prime }(F{}_{\tilde{X}}(x))dF{}_{\tilde{X}}(x)\end{array}(13)$

相应的对偶效用报贩在最优点满足一阶条件

$\begin{array}{l}\frac{\partial DU(\eta {}_D,p)}{\partial p}|{}_{\eta {}_D^{*},p{}_D^{*}}\\ ={\displaystyle {\int }_{-m}^m(}x+\alpha (p{}_D^{*})+(p{}_D^{*}-c){\alpha }^{\prime }(p{}_D^{*}))g^{\prime }(F{}_{\tilde{X}}(x))dF{}_{\tilde{X}}(x)\\ =0\end{array}(14)$

令H(x,p*D)=x+α(p*D)+(p*D-c)α′(p*D),关于x求导可得H′(x,p*D)=1,从而H(x,p*D)是x连续的严格增函数。由于g′(F(x))是x的减函数并且非负,要使得式(14)成立,必然存在一点xD,使得H(xD,p*D)=0;当x∈[-m,xD)时有H(x,p*D)<0;当x∈(xD,m]时有H(x,p*D)>0。式(13)变形如下:

$\begin{array}{l}\frac{\partial AU(\eta {}_A,p)}{\partial p}|{}_{\eta {}_A^{*}(p{}_D^{*}),p{}_D^{*}}\\ ={\displaystyle {\int }_{-m}^m{u}^{\prime }}({\rm Z}(x,\eta {}_A^{*}(p{}_D^{*}),p{}_D^{*})){\rm H}(x,p{}_D^{*})g^{\prime }(F{}_{\tilde{X}}(x))dF{}_{\tilde{X}}(x)\\ ={\displaystyle {\int }_{-m}^{x{}_D}{u}^{\prime }}({\rm Z}(x,\eta {}_A^{*}(p{}_D^{*}),p{}_D^{*})){\rm H}(x,p{}_D^{*})g^{\prime }(F{}_{\tilde{X}}(x))dF{}_{\tilde{X}}(x)\\ +{\displaystyle {\int }_{x{}_D}^m{u}^{\prime }}({\rm Z}(x,\eta {}_A^{*}(p{}_D^{*}),p{}_D^{*})){\rm H}(x,p{}_D^{*})g^{\prime }(F{}_{\tilde{X}}(x))dF{}_{\tilde{X}}(x)\\ \le u^{\prime }({\rm Z}(x,\eta {}_A^{*}(p{}_D^{*}),p{}_D^{*})){\displaystyle {\int }_{-m}^{x{}_D}{\rm H}}(x,p{}_D^{*})g^{\prime }(F{}_{\tilde{X}}(x))dF{}_{\tilde{X}}(x)\\ +u^{\prime }({\rm Z}(x{}_D,\eta {}_A^{*}(p{}_D^{*}),p{}_D^{*})){\displaystyle {\int }_{x{}_D}^m{\rm H}}(x,p{}_D^{*})g^{\prime }(F{}_{\tilde{X}}(x))dF{}_{\tilde{X}}(x)\\ =u^{\prime }({\rm Z}(x{}_D,\eta {}_A^{*}(p{}_D^{*}),p{}_D^{*}))\frac{\partial DU(\eta {}_D,p)}{\partial p}|{}_{\eta {}_D^{*},p{}_D^{*}}\\ =0\end{array}(15)$

不等式是由于u′(Z(x,η*A(p*D),p*D)是x的减函数。由于AU(η,p)对于任意给定η是p的凹函数,从而p*A≤p*D.

由风险中性效用在最优点的一阶条件为

$\begin{array}{l}\frac{\partial E{\rm P}(\eta {}_E,p)}{\partial p}|{}_{\eta {}_E^{*},p{}_E^{*}}\\ ={\displaystyle {\int }_{-m}^m(}x+\alpha (p{}_E^{*})+(p{}_E^{*}-c){\alpha }^{\prime }(p{}_E^{*}))g^{\prime }(F{}_{\tilde{X}}(x))dF{}_{\tilde{X}}(x)\\ =0\end{array}(16)$

由式(16)可知,必然存在一点xE使得H(xE,p*E)=1;当x∈[-m,xE)时,H(x,p*E)<0;当x∈(xE,m]时,H(x,p*E)>0。

$\begin{array}{l}\frac{\partial DU(\eta {}_D,p)}{\partial p}|{}_{\eta {}_D^{*},p{}_E^{*}}\\ ={\displaystyle {\int }_{-m}^m{\rm H}}(x,p{}_E^{*})g^{\prime }(F{}_{\tilde{X}}(x))dF{}_{\tilde{X}}(x)\\ ={\displaystyle {\int }_{-m}^{x{}_E}{\rm H}}(x,p{}_E^{*})g^{\prime }(F{}_{\tilde{X}}(x))dF{}_{\tilde{X}}(x)\\ +{\displaystyle {\int }_{x{}_E}^m{\rm H}}(x,p{}_E^{*})g^{\prime }(F{}_{\tilde{X}}(x))dF{}_{\tilde{X}}(x)\\ \le g^{\prime }(F{}_{\tilde{X}}(x{}_E)){\displaystyle {\int }_{-m}^{x{}_E}{\rm H}}(x,p{}_E^{*})dF{}_{\tilde{X}}(x)\\ +g^{\prime }(F{}_{\tilde{X}}(x{}_E)){\displaystyle {\int }_{x{}_D}^m{\rm H}}(x,p{}_E^{*})dF{}_{\tilde{X}}(x)\\ =g^{\prime }(F{}_{\tilde{X}}(x{}_E))\frac{\partial E{\rm P}(\eta {}_E,p)}{\partial p}{}_{\eta {}_E^{*},p{}_E^{*}}\\ =0\end{array}$

不等式是由于g′(F(x))是x的减函数。由于DU(η,p)对于任意给定η是p的凹函数,从而p*D≤p*E.

尽管推论2给出预期效用报贩、对偶效用报贩和风险中性报贩最优变化因子之间关系,定理5给出他们设定的最优价格之间的关系,然而却无法确定他们最优订购量之间的关系。例如,Q*A=η*A+α(p*A),Q*D=η*D+α(p*D),但由于α(p)是p的减函数,从而无法确定Q*A和Q*A之间的大小关系。

4 结论

本文使用更一般和更现实的预期效用决策模型来刻画报贩的决策行为,在加需求模型下,讨论了报贩的悲观偏差以及边际递减效用对于报贩决策行为的影响。我们证明报贩的悲观偏差使得他的最优定价总是小于风险中性报贩的最优定价,而悲观偏差和边际递减效用的联合作用使得报贩的最优定价进一步小于风险中性报贩的最优定价。令人遗憾的是我们无法确定悲观偏差和边际效用递减对于报贩最优订购量的影响。

心理学、实验经济学和行为金融学的相关文献表明,悲观偏差和边际效用递减是人类普遍存在的两种心理偏差, 本文同时考虑这两类偏差来对于单个报贩决策问题的影响, 这对于分析整个供应链的运作效率具有重要意义。

摘要：研究报贩的悲观偏差对于其联合定价订购决策的影响。本文使用预期效用(Anticipated Utility)决策模型,预期效用理论最大优点是包含了决策者的概率相关的风险态度,从而可以很好地刻画决策者的悲观偏差。我们证明了随机需求具有加形式时,悲观偏差使得报贩设定的最优价格低于期望利润最大化报贩的最优价格,而悲观偏差和边际效用递减的联合作用使得报贩的最优定价进一步向下偏离于期望利润最大化报贩的最优价格。然而无法确定这两类心理偏差对于报贩最优订购量的影响。

关键词：行为科学,悲观偏差,决策分析,报贩模型,预期效用,对偶效用

订购模型 篇2

我国工业品流通费用占产品成本的20%至40%, 而发达国家仅占10%左右;我国商品的库存周期为35天到45天, 而发达国家一般不超过10天。因此有效降低库存成本是为企业获取利润的一条重要途经。随着制造企业在中国的大力发展, 零部件库存成本占用了大量的流动资金, 大量多品种零部件库存管理变得非常重要, 库存管理水平的高低对整个企业的目标、生产率、资金周转、利润水平以及可持续性发展有着重要的影响, 减少原材料库存, 采取科学的库存模型和方法, 制定合理的库存策略是制造企业库存管理面临的重要课题。

在压缩机制造行业, 产品零部件大多凭借生产经验采用按需订购的方式, 订货周期不固定, 最终会造成部分零部件积压过多, 占用大量流动资金;而有些常用零部件可能会出现订购量太少, 产生缺货现象, 严重影响了企业的生产效率。因此, 必须采用现代化的库存管理方法对压缩机零部件进行控制, 降低库存成本, 提高企业生产效率。

1 经济订购批量模型的基本原理

1.1 不允许缺货的经济订购批量模型

不允许缺货的经济订购批量存贮模型, 是一种最基本的确定性、生产时间很短的存贮模型。在这种模型里, 需求率即单位时间从存贮中取走物资的数量是常量或近似乎常量;当存贮降为零时, 可以立即得到补充并且所要补充的数量全部同时到位 (包括生产时间很短的情况, 可以把生产时间近似地看成零) 。这种模型不允许缺货, 并要求单位存贮费, 每次订购费, 每次订货量都是常数, 分别为一些确定的、不变的数值, 其原理图如图1所示。

假设主要参数, 一段时间的需求率为d, 单位货物单位时间的存贮费为c1 (贮存仓库的费用、保险费用、损耗费用、管理费用) , 每次订购费为c3 (订货费指订一次货所支付的手续费、电话费、交通费、采购人员的劳务费等) , 单位时间内的总需求量为D。

1.2 允许缺货的经济订购批量模型

所谓允许缺货是指企业在存贮量降至0时, 不急于补充等一段时间, 然后订货。顾客遇到缺货也不受损失或损失很小, 并假设顾客会耐心等待, 直到新的补充到来。当新的补充一到, 企业立即将所缺的货物交付给这些顾客, 即缺货部分不进入库存。如果允许缺货, 对企业来说除了支付少量的缺货费用外无其他的损失, 这样企业就可以利用“允许缺货”这个宽松条件, 少付几次订货费用, 少付一些存贮费用, 从经济观点出发这样的允许缺货现象对企业是有利的, 允许缺货的经济订购批量模型原理图如图2所示。

在这种存贮模型中, 最大缺货量为S;单位时间缺少一个单位货物所支付的单位缺货费为c2;其余参数与允许缺货的经济订购批量模型相同。

那么, 使TC达最小值的最佳订购量为

订购量为Q*时的最大缺货量为

单位时间的最低总费用为

订购量为Q*时的最大存贮量为

2 压缩机零部件经济订购批量模型实例分析

“接线端子”是全封闭涡旋压缩机中日用量较大的零件, 每台压缩机使用一件, 由于压缩机生产厂址距离零件采购地较远, 因此每次订货量较大, 平均每年的库存成本也较高, 达到一万元以上。下面就这种零件的存储管理采用两种经济订购批量模型进行分析, 并选出较经济的方案。

2.1 不允许缺货情况下库存模型及经济分析

经调研, 压缩机企业的“接线端子“库存相关费用如下:每件的存贮费为c1为110元/年·件, 每次订购费c3为350元/次, 总需求量D为91250件/年。

则根据公式 (1) ~ (5) 可以得到不允许缺货情况下的参数。

使总费用最小的最佳订购批量为Q*=760件

一年的存贮费用为C1=41911.4元

一年的订货费用为C3=41911.4元

一年的总费用为TC*=83822.8元

两次订货间隔时间为T0=3天

2.2 允许缺货情况下库存模型及经济分析

“接线端子”在缺货情况下对公司影响较大, 因此缺货损失费也较高, 一天缺少一件零件所支付的单位缺货费c2为1000元/件·年, 那么根据公式 (6) ~ (9) 可以得到允许缺货情况下的参数。

使TC达最小值的最佳订购量为Q*=43件

订购量为Q*时的最大缺货量为S*=75件

一年最低总费用为TC*=76561.01元

订购量为Q*时的最大存贮量为Q’=240件

2.3 两种情况下的比较

从以上分析可知, 全封闭涡旋压缩机的重要零件“接线端子”的库存管理无论选择以上那种模型都会比目前库存的总费用更低。而两种模型相比较而言, 不允许缺货情况下经济订货批量为760件, 总的总费用为83822.72元, 允许缺货情况下, 最佳订购量为43件, 总费用为76561.01元, 虽然第二种情况下订货次数增加了, 但是总的费用却减少了, 具有更大的选择余地。

因此, 全封闭涡旋压缩机的重要零件“接线端子”选择允许缺货的经济订购批量库存模型对于企业降低库存成本, 提高生产利润有重要意义。但是, 如果缺货费非常大的情况下, 企业管理者可能会避免缺货, 这种情况就变为不允许缺货经济订购批量模型, 因此, 选用何种库存管理模型, 需要库存管理者计算各种指标的数值, 再进行比较决策。

3 结论

本文针对压缩机常用零部件库存管理提出了两种经济订货批量模型, 通过比较允许缺货的经济定后批量模型能够使得库存成本更低, 也较为灵活, 因此这种模型可以推广到其他制造业的零件的库存管理中。

除了选用科学的库存管理模型, 对于制造型企业来说还必须重视管理制度的建立, 强化质量和成本管理意识, 加强全面管理和技术素质的培养, 不断地从体制、方法规定等诸方面降低企业成本, 提高生产利润。

参考文献

[1]谢海娟, 陶晓美.存货经济订货批量模型[J].财会月刊, 2010, 11:59-62.

[2]黄庆扬, 陈俊芳, 张华伟.提前期与质量可控且再订购折扣的经济订购批量模型[J].上海交通大学学报, 2008, 42 (9) :1501-1505.

[3]张俊才, 袁瑜.经济订购批量模型在医疗器械管理中的应用研究[J].医疗卫生装备, 2009, 30 (11) :87-89.

[4]胡运权.运筹学教程[M].三版.北京:清华大学出版社, 2007.

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