非线性最优化（共11篇）
非线性最优化 篇1
摘要：尽管给排水管网系统设计计算中存在着关系错综复杂的约束条件, 但是只要对其中的某些条件适当取舍, 合理地应用数学工具, 就可以把它简化、抽象为容易解决的数学模型, 通过计算得出最优解。非线性规划法基于求导原则, 即目标函数的导数为零的点就是所求的最优解。本文拟采用一种新的精确罚函数, 使得含约束的非线性规划问题能采用无约束优化方法中许多有效的解析方法, 对雨水管道进行优化设计。
关键词：雨水管道,优化,罚函数,管径
1带有约束条件的非线性规划问题
在一定约束条件下求目标函数的最优值的问题, 通常称为规划问题, 通常写为:
minf (x) , x∈Rn
undefined
当目标函数和约束函数中至少有一个是x的非线性函数时, 称式 (1.1) 为非线性规划。
由于雨水管道的约束条件是不等式约束, 因此, 本文只介绍不等式约束问题 (1.2) 的最优性条件。
minf (x) , x∈Rn (1.2)
s.t.gi (x) ≤0, i=1, 2, …, m
记D1={x∣gi (x) ≤0, i=1, 2, …, m}, 称为问题 (1.2) 的可行域。
定义 设x*∈D1, 若对某个i有gi (x*) =0, 称gi (x) ≤0为点x*处的起作用约束, 也称有效约束、积极约束。记I (x*) ={i∣gi (x*) =0}为起作用约束下标集, 简记为I。若gi (x*) <0, 则称gi (x) ≤0为在点x*处的不起作用约束。
罚函数法又称为序列无约束极小化方法, 是解决非线性约束最优化问题的一个重要的途径, 其基本思想是:利用问题中约束函数作出适当的惩罚函数, 由此构造出带参数的辅助函数, 将约束问题转化为求解一系列无约束的最优化问题。但是, 罚函数法的主要缺点是目标函数的病态性质, 这种病态性质是由罚因子的无限增大或减小而引起的, 从而使得辅助函数的无约束非线性规划的求解出现数值困难。为了改造罚函数法提出的各种方法中, 精确罚函数法是一种重要的算法, 它吸引了许多人的注意。这种罚函数的构造都是按约束给出的。本文拟采用一种新的精确罚函数, 使得含约束的非线性规划问题能采用无约束优化方法中许多有效的解析方法。这种新的精确罚函数不同于已经研究的罚函数形式, 在一定条件下同时具有精确性和光滑性。
对于问题 (1.2) , 其中可行解的集合是D1={x∣gi (x) ≤0, i=1, 2, …, m}。
令Φ (t) =[max (0, t) ]2, 于是对于t有连续的一阶导数。当t≥0时, Φ′ (t) =2t;当t<0时, Φ′ (t) =0。
再令undefined, 易知S (x) ≥0, 且S (x) =0的充要条件是gi (x) ≤0 (i=1, 2, 3, …m) 。于是问题 (1.2) 的解x*满足S (x*) =0, 且对任意满足S (x) =0的点x都有f (x) ≥f (x*) 。
对于问题 (1.2) , 我们研究下面的罚函数:
F (x, μ) =Φ[f (x) -μ]+S (x) (1.3)
易知F (x, μ) ≥0。
考虑新的罚函数对应的无约束优化问题:
minF (x, μ) x∈Rn (1.4)
设其最优解为xμ*, 则对任意的x、μ, 有0≤F (xμ*, μ) ≤F (x, μ) , 且
F (xμ*, μ) =0的充要条件是f (xμ*) ≤μ且S (xμ*) =0。
定理1 如果x*是问题 (1.2) 的最优解且μ=f (x*) , 则x*是罚问题 (1.4) 的最优解且F (x*, μ) =0。
定理2 设x*是问题 (1.2) 的最优解, 对某个μ, xμ*是罚问题 (1.4) 的最优解和问题 (1.2) 的可行解, 并且F (xμ*, μ) ≠0。如果μ≤f (x*) , 那么xμ*是问题 (1.2) 的最优解。
2实例分析
某飞机维修机库, 屋面面积为5 000 m2, 屋面为拱形, 由中线向两侧倾斜。设计为压力流 (虹吸式) 屋面雨水排水系统, 管材为塑料管。
该机库位于南方某市, 取设计重现期=5a, 查设计手册q=5.38 L/s·100 m2。机库雨水总量Q=F×q=50×5.38=269 L/s。选用DN75压力流 (虹吸式) 雨水斗, 取单斗排水量q=12 L/s, 则需用雨水斗的个数N=Q/q=269/12=22.4只。
设计使用雨水斗24只, 当取雨水斗的排水量12 L/s时, 设计重现期略大于5a。每侧12只分成两个系统, 每个系统6只雨水斗。斗前水深0.07 m。雨水系统平面布置见图1。
在已布置管线下, 各管段的长度是确定的, 如图1所示。
根据雨水管道的总投资最小为优化目标建立的目标函数可知, 在已定线的情况下, 各管段的管径较小时, 造价较低。但是, 各管段还受一些约束条件的限制。以管段13～14为例, 优化计算管道的管径, 寻求造价最低:
1) 流量计算:
Q13～14=6×12=72 L/s
2) 估算管径:
等效长度L0=1.5L=1.5×49.2=73.8 m
单位等效长度水头损失的初始估算值R0=E/L0=ρgH/100L0=1 000×9.81× (1.2+14.4+0.6+0.07) /100×73.8=21.63mbar/m
根据求出的Q13～14和R0在水力计算图上查出管径:在DN125和DN150之间。
3) 约束条件:
13～14管段的约束主要为流速和压力约束。
a.流速约束:管内流体最低流速不小于1 m/s, 即4Q13～14/πD2≥1 (管径m;流量m3/s)
b.压力约束:悬吊管内呈不断增大的负压, 在与立管的交叉点处14点负压最大, 那么, 14点的压力不能超过-800 mbar且绝对值要不小于13点的压力绝对值。13点经过优化计算后压力为-352.32 mbar。那么, 14点的压力满足:
undefined
4) 优化问题的形式:
设已知管道的年折旧率及维修率e1=7.4%, 投资偿还期T=7a, 假设已经按照本步骤通过计算求出了13～14管段以前的管段管径的最优值 (本文不一一赘述) , 则13～14管段管径的优化问题经过化简以后, 即可表示如下:
undefined
其中, 式 (1) 为流速约束, 式 (2) 、 (3) 为压力约束。
根据式 (1.3) 构造罚函数, 化简以后得:
undefined
直接解出 (1.5) 的约束 (2) 和 (3) 比较麻烦。由于管道直径不是连续的, 而是离散并且规格一定, 如DN50、DN75、…、DN300, 因此, 对 (2) 和 (3) 式的求解最简单的方法就是遍历可能的管径来寻找问题 (1.5) 的可行解, 求出DN125、DN150和DN200为问题 (1.5) 的可行解。这时, 可以令▽F (D13～14, μ) =0来求得使F (D13～14, μ) 最小的D13～14值, 或者由定理2, μ取小于465.93D1.425的任何值时 (保证F (D13～14, μ) ≠0) , DN125为问题 (1.6) 的最优解, 也是问题 (1.5) 的最优解。
以上过程若用手工求解较为繁琐, 可以利用计算机来完成。依据以上分析, 确定了优化雨水管道的程序计算思路如下:首先输入原始数据 (流量、管长等) , 依据管径、流速和压力的约束条件计算第一管段可利用管径, 计算各管径下的该段费用, 把使费用最低的管径保留下来, 作为该段的最优管径。根据保留下来的第一管段的管径, 依据流速、压力的约束条件确定下一管段可利用管径并计算最优管径, 根据相同办法直至计算完全部设计管段后, 各管段的最优管径的组合即为使总费用最低的组合, 即最优设计方案。
表2是采用非线性规划法与普通查图表方法的计算结果比较: (只比较地面以上的管道部分)
可以看出, 39.2 m的雨水管道, 应用相同的造价函数, 普通查图表法的工程造价1408.7元, 而用非线性规划法优化以后的工程造价为1251.47元, 可节约投资11.2%。
3 结论
尽管给排水管网系统设计计算中存在着关系错综复杂的约束条件, 但是只要对其中的某些条件适当取舍, 合理地应用数学工具, 就可以把它简化、抽象为容易解决的数学模型, 通过计算得出最优解。非线性规划法基于求导原则, 即目标函数的导数为零的点就是所求的最优解, 从而可以找到适合该建筑的最优或准最优设计方案, 为进行方案评价和决策提供可靠依据, 但可能求出的最优解并不符合市场情况 (比如优化管径时, 对于求出的最优解, 市场并无该规格的管径出售) 。每一个建筑都因其建筑功能的不同, 采用的屋面雨水排水系统也不同, 从而在雨水管道管径的选择中需要考虑不同的约束条件, 应该具体问题具体分析。
参考文献
[1]唐中良.排水管道造价指标的费用函数分析[J].中国市政工程, 2006, (1) :42-47.
[2]姚青云, 李佳奇, 冯淑萍.压力管道经济管径计算[J].中国农村水利水电, 2005, (4) :56-57.
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[4]王增长.建筑给水排水工程 (第四版) [M].北京:中国建筑工业出版社, 1998:128-130.
非线性最优化 篇2
一类求解非线性等式和不等式约束优化问题的区间算法
在Moore二分法的基础上,通过构造的.区间列L中标志矢量R的分量取值来删除部分不满足约束条件的区域,将非线性约束优化问题转化为初始域子域上的无约束优化问题,该算法可利用极大熵方法求解多目标优化问题,理论分析和数值结果均表明,这种算法是稳定且可靠的.
作 者：黄时祥 梁晓斌 HUANG Shi-xiang LIANG Xiao-bin 作者单位：上饶师范学院,数学与计算机系,江西,上饶,334001刊 名：大学数学 PKU英文刊名：COLLEGE MATHEMATICS年，卷(期)：200925(2)分类号：O242.29 O221.2关键词：区间算法 全局约束优化 非线性函数 多目标规化
线性规划参数问题解法优化 篇3
我们先回顾问题及其解答:
已知满足条件2x+y≤10,x+2y≤10,x+y≤6,x≥0,y≥0,且z=mx+y在点(2,4)处取得最大值,求实数m的范围.
图1
分析:要让函数z=mx+y在点(2,4)处取得最大值,则函数所表示的直线过点(2,4),且在区域的上方.
解:∵(2,4)在区域的上边界上,函数z=mx+y在点(2,4)处取得最大值,则m>0且区域在直线z=mx+y的下方,由图可知:kAB 又∵kAB=-2,kBC=-1,∴-2 点评:逆向思维,灵活理解,恰当运用线性规划知识. 质疑一:问题要求的是m的范围,给出的却是关于k的结论.如果仅仅是字母的差异,并无大碍,但k的范围也不是m的正确范围. 质疑二:目标函数z=mx+y在点(2,4)处取得最大值,但并不是说使取得最大值的点仅有(2,4)一个,结论中的范围应该是闭区间而不是开区间,端点应该可以取得到. 质疑三:原有解法借用图象说服力不强,特别是线性目标函数对应直线的斜率和边界的斜率一致或比较接近时,图象的不足也就暴露无遗,正如华罗庚先生所言:形缺数时难入微. 另外,最大值和最小值的区分也不明显. 改进:只要在原有线性规划思想上,变换角度来看原有问题可能更加方便. 如图1,在原有可行区域基础上,构造二元变量函数z(x,y)=mx+y,找到可行区域中五个关键点O(0,0),A(0,5),B(2,4),C(4,2),D(5,0). 要使z(x,y)=mx+y在点(2,4)取得最大值,只须 z(2,4)≥z(0,0),z(2,4)≥z(0,5),z(2,4)≥z(4,2),z(2,4)≥z(5,0), 也就是2m+4≥0,2m+4≥5,2m+4≥4m+2,2m+4≥5m,可得m的正确范围为12≤m≤1. 在改进原有的解法中,不等式组略复杂,其实当可行区域图形复杂时,中间许多步骤是可以省略的,这时只需简化为z(2,4)≥z(0,5),z(2,4)≥z(4,2)即可.大家能够悟出其中的道理吗? 另外一方面,解法中对端点的处理是比较到位的,从而回避了原有解法中对图形的过度依赖. 总的来说,上面的解法对线性规划中参数范围的问题具有通用性:将端点的函数值一一计算出来的,其中最大(小)值就是目标函数的最大(小)值. 图2 有了前面的经验后,再来看下面一则类似的问题,相信你可以很快准确完成. 【练习】如图2,已知A(0,5),B(1,1),C(3,2),D(4,3),动点P(x,y)所在的区域为ABCD(含边界).若目标函数z=ax+y仅在D点处使z取得最小值,求实数a的取值范围. (参考答案:a<-1) 参考文献 杨建明.线性规划的常见类型与应用[J].中学生数学,2008(1). 固体媒介的微观细小缺陷, 即非线性性质, 会与频率单一的正弦超声波产生非线性作用, 这些非线性作用主要源于固体介质的晶格非谐和性或位错、滑移带等晶体缺陷。以最简单的各项同性固体中二次谐波激发为例, 当一列正弦超声波A0sinωt在固体中传播时, 其三级近似解为: 式 (1) 中:x——位移; t——时间; A1——基波幅值; k——波数; ω——角频率; γ——三阶非线性系数。 二次谐波幅值为: 式 (2) 中:β——二阶非线性系数。 三次谐波幅值为: 由式 (1) (2) (3) 可知, 二阶非线性系数β为: 由式 (4) 可知, 在一定的样品大小和声波频率条件下, 通过测量基波及高次谐波幅值A1, A2, 可以实现对二阶非线性系数的计算, 而二阶非线性系数β可以对复合材料的微观缺陷进行检测和评价。为了简化烦琐的计算过程, 采用相对非线性系数β~A2/A12来表征复合材料的内部结构。 2 实验系统的建立、优化及改进 实验室所搭建的非线性实验系统主要包括函数发生器Tektronic AFG 3102、T&C Power Conversion公司的功率放大器AG1020、Tektronix TDS3032B数字式荧光示波器、发射与接收换能器和计算机。改进后的实验系统原理如图1所示。 3 系统可靠性的验证 为了确定新系统非线性评价方法的可靠性, 利用RAM-5000-SNAP超声非线性测试系统检验实验系统测量结果是否准确, 测试用高阶非线性系数评价RTM/纺织复合材料中孔隙率变化是否准确。实验样品为含有一定量孔隙的RTM/纺织复合材料的试样和厚度约为3 mm的试块 (面积为150 mm×150 mm) 。取试块中30 mm×30 mm的区域, 将每块试块所选区域均匀划分为9个10 mm×10 mm的小区域。实验分为三组, 分别基于RAM-5000-SNAP平台、自搭建实验平台和改进后的自搭建实验平台。实验测量用超声换能器接收二次谐波。在相同的耦合条件下, 对每个区域测量三次, 然后取其平均值。经过式 (1) ~式 (4) 的计算, 得出对应的相对非线性系数。三组实验对比结果如图2所示。 由图2可以看出, 此RTM/纺织复合材料试块在三个系统中的二阶非线性系数都呈现递增的趋势, 且走势基本一致。在第一个点处, β1在1.03E~03左右, 在第九个点处, β9在1.20E~03左右, 说明改进后的实验系统和原来的自搭建系统与SNAP非线性超声系统测量结果一致。综上所述, 改进后的实验系统保持了原有系统的特性, 同时又提升了整个实验系统的工作效率, 能够保证新系统对非线性超声检测实验的后续研究工作。 4 结论 改进后的系统利用集成有采集卡的计算机精简了原有实验系统, 简化了实验的操作步骤, 从而提高了实验系统的工作效率。新系统与原系统及商业化SNAP实验平台的实验结果一致, 可将其用于后续的实验研究工作。 摘要：对实验室已建立的非线性超声实验系统的数据采集与处理进行了改进和优化。结果表明, 新系统在保证实验结果准确、可靠的同时, 提高了数据采集、分析的速度和整个系统的集成化程度, 从而提升了实验系统的工作效率。 关键词：非线性超声技术,检测系统,正弦超声波,二次谐波 参考文献 [1]税国双, 汪越胜, 曲建民.材料力学性能退化的超声无损检测与评价[J].力学进展, 2005, 35 (01) . 本文针对非线性不等式约束优化问题,提出了-个可行内点型算法.在每次迭代中,基于积极约束集策略,该算法只需求解三个线性方程组,因而其计算工作量较小.在-般的.条件下,证明了算法具有全局收敛及超线性收敛性. 作 者：朱志斌 简金宝 ZHU ZHIBIN JIAN JINBAO 作者单位：朱志斌,ZHU ZHIBIN(桂林电子科技大学数学与计算科学学院,桂林,541004) 简金宝,JIAN JINBAO(广西大学数学与信息科学学院,南宁,530004) 关键词:水资源系统规划;优化配置;线性规划;单纯形法 中图分类号:TV212 文献标识码:A 文章编号:1000-8136(2010)21-0006-02 1线性规划简介 线性规划是运筹学中应用最为广泛的一个分支,也是运筹学最基本的部分。线性规划是研究在现有人力、物力等资源条件下,合理调配和有效使用资源,以达到最优目标(产量最高、利润最大、成本最小、资源消耗最少等)的一种数学方法。目前已广泛应用于生产管理、资源分配、运输问题、生产计划问题、环境保护、军事等众多领域。线性规划的数学理论成熟、建模简单,有通用算法和计算机软件进行计算。一般首先根据研究问题的性质确定决策变量;根据问题的目标,列出与决策变量有关的目标函数;根据问题的限制条件,列出与决策变量有关的约束条件来建立数学模型。线性规划的求解有图解法和单纯形法,在实际应用中一般采用单纯形法进行求解。 2线性规划模型及求解 线性规划模型一般由3个要素组成:①变量,或称决策变量,是问题中要确定的未知量,它用以表明规划中的用数量表示的方案、措施,可由决策者决定和控制;②目标函数,它是决策变量的函数,按优化目标分别在这个函数前加上max或min;③约束条件,指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制,通常表达为含决策变量的等式或不等式。 线性规划模型可以表示为: (1)求和形式: Opt Z= cjxj s.t.aijxj≤(=,≥)bj i=1,2,…,m xj≥0,j=1,2,…,n (2)矩阵形式: Opt Z=CX S.t.AX≤(=,≥)b X≥0 (3)集合形式: {opt Z|Z=CX,AX≤(=,≥)b,X≥0} 其中:“s.t”(subject to的缩写)表示约束于;“opt”表示 最优的意思,一般是max或min。 求解一般线性规划问题有图解法和单纯形法。图解法是求解线性规划的一种直观方法,可用于解决含有两个决策变量的线性规划问题,其目的是判别线性规划问题的求解结局和存在最有解的条件下,把问题的最有解找出来。图解法的步骤可概括为:在平面上建立直角坐标系,两个坐标轴对应于两个决策变量;图示约束条件,找出可行域;图示目标函数和寻找最优解。 根据线性规划解的基本定理,线性规划问题的可行域为凸集或无界域(如果可行域不为空集);凸集有有限个顶点,每个基可行解对应于一个顶点;若线性规划模型有最优解,必定在某个顶点上取得。对于决策变量数n、约束方程数m比较小的情况,可以采取枚举法,通过比较有限个基可行解的目标函数值来确定最优解与最优值。但对于n、m比较大的情况,完全枚举法的计算量较大,这就需要采用更有效的方法——单纯形法(simplex method)来求解线性规划模型。 单纯形法的求解思路是:对于给定的LP模型,从某个基可行解(可行域的一个顶点)开始,按照一定的规则转换到另一个基可行解(顶点),使新顶点的目标函数值优于原目标函数值,经过有限次迭代直至目标函数达到最优。需要解决3个关键问题:初始基可行解(顶点)的确定;基可行解的转换规则;最优行判断准则。单纯形法的计算步骤主要包括:①将LP模型转换为标准型;②求初始基可行解,列出初始单纯形表;③求得初始基可行解后进入迭代过程,在每一次迭代过程中还包括根据最优性条件确定最优解或换入变量和根据可行性条件确定换出变量两步。确定新的基可行解后继续进行迭代,经过有限次迭代后就可以找到最优解。 3用线性规划模型优化配置水资源 某供水工程年供水能力为6 500万m3,主要用于工业、农业以及生活用水,有关需水量、水价、供水成本、供水要求见表1。由于向不同部门供水的水价以及供水成本不一样,因此利润也不样,在满足供水要求的情况,就需确定最优配水方案,才能使供水效益最大。 3.1决策变量的确立 主要向工业、农业、生活三部门供水,因而可确定工业、农业、生活用水量为决策变量,分别为X1、X2、X3。 表1需水量、水价、供水成本、供水要求表 用水机构需水量 (万m3)水价 (元/m3)成本 (元/m3)供水要求 工业用水3 0002.81.5 农业用水5 0000.60.20最小供水量 3 000万m3 生活用水1 0002.00.6 总计9 000 3.2目标函数的建立 根据有关部门的用水量要求,以及水价和成本来确定最优分配方案,使供水效益最大,即Max Z=(2.8-1.5)X1+(0.6-0.25)X2+(2.0-0.6)X3。 3.3约束方程 (1)三部门的总用水量小于供水工程总供水量,即: X1+X2+X3≤6 500 (2)三部门的最大用水量限制 X1≤3 000,X2≤5 000,X3≤1 000。 (3)三部门的最小用水量限制 X1≥0,X2≥3 000,X3≥0。 3.4求解 由于该模型含有3个决策变量,不便于用图解法来求解,可采用单纯形法来求解,按照单纯形法的求解步骤及要求可求得目标值为5 700万元,达到最优解时的各变量值分别为:X1=2 500万m3、X2=3 000万m3、X3=1 000万m3。也可以利用Microsoft Excel 规划求解工具进行规划求解,Microsoft Excel 规划求解工具可用于求解一定限制条件下目标单元的最大值、最小值及相应的可变单元(决策变量)值,规划求解工具具有数据输入直观、简单、计算快捷,并可生成完整的求解报告等特点。 4结论及建议 水资源规划目的是根据经济社会可持续发展和环境保护对水资源的要求,提出水资源合理开发、优化配置、高效利用、有效保护和综合治理的总体布局及实施方案,促进我国人口、资源、环境和经济的协调发展,以水资源的可持续利用支持经济社会的可持续发展。 水资源规划是全面落实国家或地区实施可持续发展战略的要求,适应经济社会发展和水资源的时空动态变化,着力缓解水资源短缺、水环境恶化等水问题的一项重要工作。它是根据国家或地区的社会、经济、资源和环境总体发展规划,以区域水文特征及水资源状况为基础来进行的。 通过对线性规划的介绍与实例分析,线性规划的建模过程简单,首先是明确模型的目标函数和约束方程,然后根据线性规划解的求解方法和过程,很容易得到模型的全局最优解。从结果可以看出,在满足供水要求的前提下,供水效益最大,从而为水资源的合理配置提供了理论依据和基础。但在生产实践中,目标函数与约束条件往往不是决策变量的线性函数,为了解决生产实际中的问题,往往还需要用到非线性规划法、动态规划法以及人工神经网络的应用,满足水资源优化配置的更高要求。 Linear programming applied in the water resource systems planning optimization allocation Kang YongHui, Wang BaoHong Abstract:Water resource system planning is based on watershed or regional economic development planning and production, life and environmental demand for water resources, combine region water resources condition and characteristic, select and set down the best practices and implementation plan of water resources integration development and utilization, achieve the water resources optimization allocation and efficient use. In order to achieve the sustainable use of water resources, and promote the sustainable and coordination development of China’s population, resources, environment and economic, which require the rational and efficient planning for water resources and study water resources planning method. At present have many water resources systems analysis methods, such as model-based methods, forecasting, optimization methods and so on, and linear programming is the most basic method in the optimization method which is an important branch of mathematical programming. Linear program modeling relatively simple, after American scholar G.B.Dantzing bring forward simplex method for solving linear programming in 1947, the application scope of linear programming extending, also is a branch of Operational Research most widely used, in water resource system planning and management is also widely used. 开关磁阻电机 (SR电机) 是一种新型调速驱动系统, 以结构简单、成本低、效率高、调速性能优良和可控性灵活等优点迅速成为交流电机调速系统、直流电机调速系统和无刷直流电机调速系统强有力的竞争者, 具有广阔的发展前景。国内在SR电动机理论上取得了一定研究成果并研制出不同功率的电机产品, 北京中纺锐利机电有限公司研制的2.2~400KW系列产品已被应用到纺织机械、电动车辆、煤矿皮带机等领域。然而, SR电机特殊的双凸极结构使其在运行过程中存在显著的边缘效应和局部饱和现象, 因此造成了非正弦的相电流和脉振式的饱和磁场。电感和磁链均是关于电流和转子位置上的二维函数, 给SR电机准确模型的建立带来困难。目前对SR电机的建模、设计和控制方法的研究已成为热点:国内对SR电机建模大多建立在电感曲线的基础上, 文献[1]基于电感函数建立了SR电机非线性仿真模型, 但其主要模块均采用M文件编程实现相应功能, 严重影响仿真速度。文献[2]建立了开关磁阻电机的准线性模型, 具有一定的精度。文献[3]建立了开关磁阻电机线性电感模型, 给出不同控制模式下的相电流波形, 对其定性分析有一定指导意义。国外对SR电机的建模多数是以磁链函数为基础, 文献[4]通过电流和转矩函数, 利用插值模块建立SR电机非线性模型, 具有较高计算精度和仿真速度。文献[5]基于有限元仿真得到的电感曲线和转矩曲线建立SR电机的自适应网络模型。正是由于SR电机建模方法的不断发展, 新的控制策略如神经网络法[6]、自抗扰控制法、直接转矩控制法[7]、滑模变结构控制法[8]等控制方法也得到广泛应用。随着非线性模型精度的不断提高, SR电机将会在更多更广的领域发挥重要作用。尤其在电机故障诊断方面[9], 开关磁阻电机有较大的优势。因此, 为了建立较精确的电机模型准确的分析其性能特性, 利用有限元仿真软件Ansoft计算出的电感曲线, 在Matlab/Simulink中搭建SR电机非线性仿真模型, 研究SR电机在角度位置控制 (APC) 和电流斩波控制 (CCC) 运行方式下电机的稳态特性, 给出变速条件下SR电机的运行特性曲线, 验证电机模型的准确性。同时, 研究不同开通角和关断角对电机性能的影响, 给出SR电机在高速运行时不同开通角和关断角对电机相电流影响波形, 调节开关角使电机在一定转速时输出平均电磁转矩最大或者效率最高, 获得角度最佳控制。同时, 对开通角和关断角的调整可以有效改善SR电机振动和噪声, 为SR电机优化设计提供理论依据。 一SR电机电感法建模的数学模型 SR电机采用双凸极结构, 定转子的凸极由普通硅钢片叠压而成, 电机转子上无绕组和永磁体, 绕组集中在定子凸极上, 单方向通电, 径向相对极的绕组串联成一相, 如图1所示为典型的三相6/4结构SR电机截面图和主电路。SR电机遵循“磁通最小”的运行原理, 即磁通总是沿着磁阻最小的路径闭合。D1和D2是为能量回馈提供通道的续流二极管, K1和K2为控制电路通断的开关管。若此时导通C相定子绕组, 由于此位置磁阻最小, 无法产生切向磁拉力而转动, 若A相导通, 所产生的磁场力力图使转子旋转到定子极Aa和转子极13重合的位置, 在此过程中产生磁阻性质的电磁转矩, 使电机转动, 当完全重合后相邻相定子绕组导通又会产生相应电磁转矩继续维持电机转动。按A-B-C-D顺序导通相绕组, 则转子便按逆时针方向连续转动, 反之, 顺时针方向转动。 设电源电压为U, 开关管导通压降为Ut, 二极管压降为Ud, 相绕组电阻为Rs, 当两开关管闭合时, 根据电路理论有[10]: 磁链和电感有如下公式: 将式 (1-2) 代人式 (1-1) 可得: 开关管关断时有; 整理可得: SR电机电磁转矩可以表述为: 平均转矩可以由瞬时转矩得到: 其中, τr为电机转子极距, wr为电机转子转速。 系统效率通过下式计算: 其中, m为相数, ua为A相电压, ia为A相电流。 二基于Matlab的SR电机电感法建模 (一) SR电机本体建模 电感法是利用有限元分析软件Ansoft仿真出来的电感曲线 (电感关于转子位置角和相电流的函数) 来进行建模的方法, 如图2所示为在Ansoft中仿真得到的电感波形。 结合电感法建模的数学模型相关公式, 可建立如图3所示一相相绕组模型。其中, 忽略轴向端部效应, 不计涡流影响, 该模型可以作为电动机和发电机的仿真模型。La+和La-是相绕组两端接口, 接开关管, delta A为A相绕组的位置信号, Ta是A相瞬时转矩, Rs是电机相绕组电阻, 三相SR电机由三个这种一相绕组模型构成。 图中两个二维查找模块LookupTable (2-D) 和一个受控电流源ControlledCurrentSource是建模的关键:第一个二维查找模块的输入输出数据是电感曲线, 第二个二维查找模块是转矩对角度的偏导数 () , 两个二维查找模块的第一个输入 (行向量) 都是角度, 第二个输入 (列向量) 都是电流。二维查找模块将两个输入端的值与预先输入的行列值进行比较, 相同的输出预先设置的值, 不相同输出线性差值, 输入值不在行列值范围之内, 模块将利用开始或最后两点外推得出输出值。在已知电流源的瞬时值和电感、电感对角度的偏导等数据前提下, 利用非线性数学模型的公式可求得瞬时转矩。建模的难点是电感偏导数的求取, 因为非线性的电感曲线无法用函数解析式表示, 而在Matlab中求微分需要函数表达式。因此, 建模中采用三次样条插值法拟合出电感函数进行插值来求取偏导数。 (二) SR电机控制部分建模 SR电机一般采用带有转子位置检测器的闭环控制, 这是研究SR电机及其控制系统的基础。利用Matlab/Simulink建立6/4极三相开关磁阻电机控制系统仿真模型是当前比较理想的建模方法。如图4所示, SR电机带有转速和电流的双闭环, 电机转速作为主要被控量放在控制系统的外环, 以确保转速能够准确跟随给定转速, 电机电流负反馈作为内环, 转速调节器的输出作为电流调节器的输入, 再用电流调节器的输出控制功率变换器。 该控制系统由电机本体模块、功率变换器模块、位置检测器模块和PI控制器模块[11]等组成:开关磁阻电机本体采用上述相绕组模型封装;功率变换器采用控制方便、效率高、结构简单的不对称半桥型, 开关管为IGBT, 在软件中封装成子模块被调用;PI控制器调节转速, 输入为转速误差, 输出的是给定电流, 设置PI参数为kp=30, kp=1, 可以得到理想转速曲线, 实现良好的稳定性能;电流调节器采用电流滞环比较器来控制相绕组的通断, 通过设定滞环宽度参数以限定绕组电流大小, 此设计是在电机转速较小时控制斩波电流的上下限;位置检测器子模块内部如图5所示, 首先对转速积分, 得到三相转子旋转机械角度, 然后对角度取余得到三相转子位置角, 最后和设置的开关角进行比较, 在大于开通角时刻导通, 大于关断角时刻关断, 控制电机运行。 三SR电机模型仿真验证 定义SR电机在转子极与定子槽中心线对齐位置处 (此时相电感最小) 的转子位置角为0。设转子导通角θon=0°, 为保证导通角期间产生的电磁转矩是驱动性质的转矩, 关断角需要满足以下公式: 当转子极数Nr=4, 转子极弧βr=32°时, 有导通角θon=0°, 则关断角θoff=29°。实际的SR电机控制中, 一般需要提前导通, 保持导通角为29°或者30°为最好。按照所搭建系统对所建立的6/4结构三相SR电机模型仿真验证, 导通角θon=-5°, 关断角θoff=28°, 电机额定转速nN=3450r/min。 稳态运行仿真波形如图6所示为SR电机在高速时三相磁链, 三相电流, 电磁转矩, 转子转速等特性曲线。如图7所示为SR电机在低速时运行在电流斩波控制方式下特性曲线。SR电机运行在角度位置控制方式下, 恒功率负载, 相电流为85A, 相电流在每一相的关断时刻相邻相导通, 电磁转矩稳定在50N·m左右上下波动, 反映出电磁转矩的脉动情况;电机在低速时运行在电流斩波控制方式下, 电流滞环宽度为10A, 为限制电流大小, 斩波电流为200A, 电磁转矩较大为100N·m, 三相电流依次导通, 电磁转矩在电机每相的关断时刻附近脉动最大。得出所建模型及系统的有效性。 四开关角的优化 SR电机的四个控制参数中, 转速为设定值, 绕组电流由速度环给出或直接给定, 电机的出力、效率和噪声等性能指标都与开关角密切相关, 所以有必要研究开关角对SR电机电动性能的影响。SR电机角度参数优化是一个需要考虑多种因素约束和影响的多目标综合参数选择问题, 系统运行稳定性要求关断角大些, 而降低噪声和振动要求关断角尽可能小些。通过调节开关角使得一定转速时平均转矩最大或效率最高, 得到角度最佳控制。 图8为转速n=3450r/min, 导通角θon=-5°、-4°、-3°, 关断角θoff=28°条件下的波形。图9为相同转速下, 关断角θoff=25°、27°、30°, 导通角θon=-5°条件下的波形。由图得知, 开关角对电机性能影响非常明显, θon在一定范围内提前越多, 相电流峰值越大, 电机出力越大;θoff的改变不影响电流峰值, 但随之增加, 在电感下降区的电流续流越长, 电机出力越小。所以对于不同的转速, 存在角度的最优控制。 不考虑运动方程, 令转速n=3450r/min恒定值, 获得稳态仿真的平均转矩随开关角变化关系曲线, 从图10可以看出, 无论关断角取何值, 开通角在-5°到1°范围内平均转矩最大, 考虑到效率最高, 开通角最优取值为1°。从图11可以看出, 不管开通角取何值, 关断角为22°时平均转矩最大, 因此, 最优关断角为22°。一次类推, 可以优化电机在其他转速下的开关角, 以供电机动态仿真和设计控制软件使用。 五结论 通过所建立的三相SR电机非线性模型, 对运行在高速和低速的控制系统进行仿真, 给出负载加重时的动态响应波形, 验证了该模型和调速系统的有效性, 并且在电机平均转矩最大或者效率最高条件下对电机的开关角进行了最优组合仿真, 为实际电机控制系统的设计和调试提供了新的思路。 摘要：利用非线性磁化曲线簇, 结合外部电路方程和有限元 (FEM) 仿真, 在Matlab/Simulink中通过实时的电感插值法建立开关磁阻电机非线性模型。并以此模型为基础, 对开关磁阻电机驱动系统进行高低速仿真研究, 结果验证此电机模型及其驱动系统的有效性。同时给出开通角-5°-3°, 关断角-25°-30°之间的相电流波形, 平均转矩随开关角变化曲线。在转速为3450r/min时最高效率和最大平均转矩条件下的最优开通角为-1°, 关断角为22°。开关磁阻电机角度位置运行控制下开通角和关断角的不同组合, 可以提高电机效率, 降低噪声, 抑制振动, 为开关磁阻电机优化指明方向。 关键词：开关磁阻电机,非线性模型,电机优化 参考文献 [1]陈新, 郑洪涛, 蒋静坪.基于MATLAB的开关磁阻电动机非线性动态模型仿真电气传动[J].2002年第6期.X Chen, H T Zheng, J P Jiang.Nonlinear Dynamic Modeling of SRM Based on Matlab, Electric Drive, 2002, 6. 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Regulator)最优控制理论所设计的控制器也是原非线性系统在扩展二次型输出调节性能指标下的最优控制器。同时,以惯性中心坐标下的电力系统模型为例,设计了基于广域信息的非线性全局综合控制器,并对比了它与常规PID控制器、非线性分散综合控制器的控制效果。 1 非线性系统的控制器设计 多变量非线性系统状态方程一般形式可描述为 其中,X∈Rn为状态向量,U∈Rm为输入向量,Y∈Rr为输出向量。f、h是以X、U为自变量的解析函数。 由求逆算法可以求出式(1)的逆系统为 此时,Y为输入向量,U为输出向量,X为状态向量,其维数仍为r、m、n维,且Y(α)=[y1(α1),…,yr(αr)]T。 再由输入重定义法可求出式(1)的α阶积分逆系统的方程,表示为 其中V为输入,U为输出,且 其中,为yi(t)的αi-βi维子向量;而分别表示逆系统方程中yi(t)的最高阶和最低阶导数。 将α阶积分逆系统串联在原系统前,再通过反馈替代逆系统方程(3)中的X,从而将原系统!补偿为标准积分型解耦系统(伪线性系统),且满足方程 其动态补偿的控制输入为 对于线性系统式(4),应用LQR最优控制理论,可得到该线性系统的最优控制规律为 其中,K是解Riccati方程得到的反馈增益阵。 将式(6)代入到式(5)中,则可得到原非线性系统式(1)的反馈控制律: 2 非线性系统最优控制的证明 原非线性系统式(1)经反馈线性化后变换为如式(4)所示的线性系统。对于该线性系统,二次型最优状态调节问题就是寻找一个控制规律V*,使得如下二次型性能指标最小: 其中Q∈Rl×l和R∈Rr×r分别为半正定和正定的权矩阵,矩阵中元素体现了对Z和V中各分量的重视程度。 性能指标式(8)最小所表征的物理意义是,在控制量V受约束的条件下,线性系统式(4)的状态变量Z与理想状态的误差的平方的积分为最小值。 根据 可知: 其中,是由R扩展而成的,即 将式(9)代入到式(8)中,可得新的二次型性能指标为 进一步,将状态向量Z=[z1T,z2T,…,zrT]T扩维为 则式(10)将变为 其中,是由Q和R扩维组合而成的,即 由于中的元素只是原非线性系统中输出向量Y的分量及其若干阶导数,所以,每一个元素都具有清晰的物理意义。 对于原非线性系统式(1),二次型最优输出调节问题的性能指标为 对比式(11)和式(12)可知,如果将作为输出向量Y的扩维向量,那么性能指标式(11)就是原非线性系统的扩展二次型最优输出调节的性能指标,它所表征的物理意义是,在控制量U不受约束的条件下,原非线性系统式(1)的扩维输出向量与理想的扩维输出向量的误差平方的积分为最小值。此时求得的控制规律式(7)即为在该性能指标下的原非线性系统的最优控制。 对性能指标式(11)的2点讨论: a.虽然性能指标式(11)表面上对控制量U没有约束,但实质上该控制量约束隐含在扩维输出向量中,因为中的向量元素Y(α)包含了控制量,即 b.扩维输出向量中除了Y和Y(α)外,还包含了输出向量Y其余阶数的导数,针对实际非线性系统,它们都具有特定的物理意义,因此,在控制器设计时,可根据各个元素的重视程度选取权矩阵。 3 电力系统非线性全局综合控制器设计 3.1 COI坐标下多机电力系统ut/θ受控模型 多机电力系统在惯性中心坐标COI下计及励磁和汽门控制的数学模型为 其中,状态向量为,输出为Y=h(X,U)=[y1,y2]T=[uti,θi]T,控制输入为U=[u1,u2]T=[Efi,Ugi];θi和ω’i分别为惯性中心坐标下的转子角度和转子角速度,PHi为汽轮机高压缸的输出功率,Efi为励磁电压,Ugi为主调节汽门控制器发出的电控制信号,τ′d0i为励磁绕组时间常数,τHi为高压缸调节汽门控制的等效时间常数,CH、CML分别为高压及中低压缸的功率分配系数,Di为阻尼系数;uti为发电机出口母线的端电压,。 在本模型中,只考虑主调节汽门(高压缸调节汽门)的控制作用,即认为中低压缸的输出功率恒定,这种假设符合电力系统的实际情况。 3.2 控制规律设计 汽轮发电机组励磁与汽门系统的状态方程式(13)经逆系统方法反馈线性化后,其线性系统的状态空间形式[14]为 其中,ut0i,θ0i,θ!0i=0,θ#0i=0为稳态值,即系统通过控制所需到达的理想状态。 利用LQR最优控制求取式(14)的最优控制律。当选取Q=diag{[10,50,100,50]},R=diag{[1,1]}时,得到的控制律为 进而,可得到原非线性电力系统的最终控制规律为 3.3 性能指标合理性的验证 多机电力系统的控制规律式(16)是在二次型性能指标式(11)下的最优控制,针对实际电力系统模型式(13),其具体的性能指标为 由2个原因可知该指标是合理、有效的。 a.标准的二次型最优输出调节问题的性能指标如式(12)所示,对比式(17)和式(12)可知,式(17)是一个扩展的最优输出问题的指标,该指标除了对输出量uti和θi约束外,也对它们的导数进行了约束(其中,是θi的一阶导数)。而且,尽管式(17)中未显含控制量[u1,u2]=[Efi,Ugi],但对其的约束是隐含在输出量uti和θi的导数中的,如下所示: u!ti=α1+β11u1,·ω)i·=α2-Di.ω)i/Mi+β21u1+β22u2 b.电力系统发生扰动后的动态过程中,人们希望发电机的端电压保持恒定,机组间的振荡幅值小,振荡时间短,这和式(17)的性能指标是相一致的。如果对非线性电力系统采取二次型最优状态调节控制,则受约束的将是状态变量θi、ω)i、E′qi、PHi,即希望它们在动态过程中变化最小,这不是实际电力系统所追求的。因此,在电力系统中,采取二次型最优输出调节控制要比..二次型最.优状态调节控制更有效。 4 仿真算例 为验证所设计的基于广域信息的非线性全局综合控制器的作用与效果,本文对图1所示WSCC 4机系统进行了动态仿真,并对比了它与常规PID控制作用下的功角、端电压响应曲线,发电机参数和线路参数详见文献[15]。 当系统在8号节点上出现40 MW的冲击负荷时,以第4台机为参考机,分别在2种控制器作用下的第2台机的相对功角响应曲线如图2所示。图中,曲线1为未采取控制,2为采取PID控制,3为采取非线性全局综合控制;下同。由该图可看出,与PID控制措施相比,基于广域信息的非线性全局综合控制器不仅给系统提供了良好的阻尼,而且使得系统的动态品质指标,如过渡时间、振荡次数及振荡幅度都有很大的改善。 当系统在5号节点和9号节点之间的线路上0 s发生三相短路,并在0.25 s切除线路时,以第4台机为参考机,2种控制器作用下的发电机相对功角和端电压响应曲线分别如图3、图4所示。 由图3(a)和图3(b)可看出,虽然2种控制措施都可以改善系统的动态性能,但改善程度却有很大的差别。采取常规PID控制时,第1台机经过4次摇摆后在4.7 s时平息振荡,最大振幅是101°;第3台机经过8次摇摆后在4.5 s时平息振荡,最大振幅是58°。而采用非线性全局综合控制器时,第1、3台机只经过1次摇摆后在1.3 s时就可平息振荡,其最大振幅分别是78°和23°。由此可见,非线性全局综合控制显著优于常规PID控制。 由图4(a)和图4(b)可知,采取非线性全局综合控制器时,2台发电机G1和G3的端电压均在2.1 s时趋于稳定,而采取PID控制时,G1和G3的端电压分别稳定于4.2 s和4.5 s。 5 结论 在线性混合模型下, 盲信号分离 (BSS) 的基本数学模型为 其中s=[s1, s2, …, sM]T为M个未知的、相互独立的、非高斯分布 (或至多有一个高斯分布) 的随机变量, x=[x1, x2, …, xM]T是N个观测矢量, A=[a1, a2, …, aM]为N×M的混合矩阵。在此模型下BSS的基本问题为:在A和s均未知的情况下, 根据源分量相互独立的先验条件, 由观测矢量x分离出源分量s1, s2, …, sM, 允许有幅度与符号和分量顺序的模糊性存在。 目前已提出多种分离方法, 除特征值 (奇异值) 分解方法给出闭式解外, 其他方法都是根据某种分离准则构造目标函数, 然后迭代求解目标函数的极值点。比较流行的分离准则有:信息最大化 (informax) 准则、互信息准则、最大似然准则、非高斯性 (nongaussianity) 准则等。常用的迭代算法有:梯度法、自然梯度法 (natural gradient) 、不动点算法 (fixed-point algorithm, 算法命名为fastica) 等[1]。对于源信号独立同分布的线性混合问题, 采用基于负熵最大化的固定点迭代 (fastica) 算法可以获得良好的分离效果。在实际的通信环境中大量存在的语音信号是具有超高斯分布的特性的[2], 因此研究具有较小的计算复杂度, 同时具有精确分离性能的超高斯信号分离算法很有必要。 对于超高斯信号混合的分离问题, 目前常用的评价函数 (评价函数的定义为:g (s) =-f′ (s) /f (s) , 其中f (s) 为源信号的概率密度函数) 是tanh (·) 以及高斯函数等, 这些函数都含有exp (·) 无理数指数运算, 相对于有理函数的运算有较高的计算复杂度。如果用具有较小计算复杂度的评价函数来建立目标函数, 将会提高现有算法的分离性能。文献[3]给出了3种非线性有理函数的经验公式, 但并没有对这些非线性函数的适用性做严格的证明, 本文通过仿真证明了这些函数在ICA算法中的可用性, 并且利用这些函数计算复杂度较小的特点对目前常用的fastcia算法进行了改进, 理论分析和仿真结果表明这些算法在分离超高斯混合信号时达到了较高的分离精度, 同时具有较小的计算复杂度。 2 非线性函数在盲信号分离算法中的应用 如果基于负熵最大化的固定点迭代算法中的评价函数恰好由源信号的概率密度函数得到, 那么分离效果将会达到最佳[4]。然而在盲分离的实际应用中常常无法得到源信号的概率密度函数, 但在某些应用场合中可以知道源信号概率分布的类型, 比如超高斯或次高斯的, 在这种情况下用某些非线性函数作为源信号概率分布函数的近似也可以得到很好的分离效果。目前常用于分离超高斯信号的评价函数表达式为[5]: 这三种函数都含有的exp (·) 无理数指数运算, 相对于有理函数有较高的计算复杂度。如果采用具有较小计算复杂度的评价函数, 将会提高现有算法的分离性能。文献[3]针对目前常用的非线性函数, 给出了3种新的可用于超高斯信号分离的非线性函数的经验式子。其表达式为: 但该文献对这些非线性函数的适用性并没有做严格的证明, 下面将在文献[3]的基础上结合仿真对上述非线性函数在基于负熵的ICA算法中的适用性给出证明。 对于x=As的线性混合模型目前有大量的盲信号分离算法, 文献[4]给出了对所有的算法性能进行评价的统一标准:全局混合矩阵元素的克拉美罗-拉奥下界 (CRLB) , 即全局混合矩阵元素的方差下界。其中G=WA, W是基于fastica算法得到的分离矩阵, G是全局混合矩阵。fastica算法分为单个分量逐步抽取和对称分离两种情况[6], 全局混合矩阵元素对应的CRLB也不同。但逐分量抽取算法中涉及到信号分量的消减过程, 而消减会造成误差的累积, 所以对称分离算法的分离性能要优于逐分量抽取算法, 本文只考虑对称分离这一种情况。 文献[4]指出对称分离的fastica算法得到的全局混合矩阵元素服从渐进高斯分布N (0, V 其中k和l分别表示全局混合矩阵G行序数和列序数, N为源信号的采样点数, 其它量分别为:γk=βk-μ 其中 在得到全局混合矩阵后, 每一行只有一个主元素对应于感兴趣的信号分量, 其它值视为干扰, 这样可以将全局混合矩阵转化为性能指标:干信比 (Interference to Signal Ratio) 。计算各种算法的ISR值并与式 (9) 给出的理论值进行比较, ISR越小, 分离性能曲线与CRLB曲线越接近则分离效果越好。 这里考虑最简单的适定混合矩阵, 即源信号的个数与传感器的个数相同。假定源信号为8路独立同分布的超高斯随机信号, 广义高斯指数α位于[0.6, 1.6], 每路信号的采样点数为3000点。在各种评价函数下使用对称分离方式实现信号分离, 各种算法独立运行100次后取平均。 由图可知, 当源信号都是超高斯分布时, 函数Func1 (x) 和目前常用的函数tanh (x) 具有相似的性能, 同样函数Func3 (x) 与EXP1 (x) 的分离性能很相近;在高斯指数较小时即超高斯较强时, Func2 (x) 的分离性能要强于tanh (x) , Func3 (x) 的分离性能要好于Gaus (x) ;但是当高斯指数变大时, 所有的非线性函数的分离性能趋于相同。这是因为随着高斯指数的增加, 源信号的分布也逐步趋近于高斯信号, 而没有时间结构的独立同分布的高斯信号采用基于负熵准则的算法是无法分离的。总之, 可以看出文献[3]给出的3种非线性函数都可以用于基于负熵最大化准则的fastica算法, 这为下一步算法的实现奠定了基础。 3 改进的对称分离fastica算法 描述与性能仿真 下面给出本文改进的对称分离fastica算法的描述: (1) 对数据进行中心化使其均值为0; (2) 对数据进行白化得到z; (3) 选择要估计的独立成分的个数m; (4) 初始化所有的分离矢量wi, i=1, …, m, 其中每一个wi都具有单位范数; (5) 对每个i=1, …, m, 更新wi←E{zg (w (6) 对分离矩阵W= (w1, …, wm) T进行对称正交化:W← (WWT) -1/2W; (7) 如果尚未收敛, 则返回步骤 (5) 。 下面将本文改进得到的fastica算法与目前常用的经典算法JadeR[7]、fastica-tanh[8]、fastica-gaus[6]和pearson-ica[9] (其中JadeR是联合近似对角化算法JADE的实数形式) 分别在不同的参数条件下进行比较, 仍然采用干信比作为衡量指标。本文改进算法分别标记为:fastica-Func1、fastica-Func2和fastica-Func3。 (1) 采样点数目不同时的分离性能比较: 源信号为10路独立同分布的广义超高斯分布的数据, 采样点数为15000点, 广义高斯指数α为1.2, 各种算法独立运算50次后取平均, 假设由信道噪声引入信噪比 (下同) 为35dB, 混合矩阵为12×10的超定混合矩阵。仿真结果如图 3。 (2) 源信号的路数不同时的分离性能比较: 源信号为独立同分布的广义高斯分布的数据, 采样点数固定为5000点, 广义高斯指数α为1.2, 混合矩阵都是 (n+2) ×n型的, 其中n是源信号的个数, 混合矩阵的条件数控制在区间[10, 30], 独立运算50次后取平均, 信噪比为40dB。仿真结果如图 4。 (3) 广义高斯指数变化时分离性能比较: 源信号为10路独立同分布的超高斯信号, 采样点数为5000点, α在[0.3, 1.2]的范围内变化, 独立运算50次后取平均, 信噪比为40dB。仿真结果如图 5。 (4) 计算复杂度比较: 混合矩阵与 (1) 中的情况相同, 广义高斯指数α为0.6, 采样点数为10000点, 分别计算各算法在不同采样点处的计算时间, 独立运算50次后取平均, 信噪比为40dB, 仿真结果如图 6。 仿真结果分析:本文首先在广义高斯指数α为1.2时进行了仿真, 研究了源信号路数固定时算法在不同采样点数目时性能对比, 采样点固定而源信号路数不同时的性能对比, 以及α位于[0.3, 1.2]的区间内, 源信号路数和采样点数固定时的算法性能对比。仿真结果表明, 随着采样数据点的增加, 所有算法的干信比都减小, 这是由于随着数据量的增加, 获得的关于源信号的信息量也增加, 因而能够获得更好的分离性能。可以看出, fastica-Func2和fastica-Func3相对于目前常用的fastica算法以及基于4阶累积量的JADE算法都有更好的性能;当评价函数为Func1 (x) 时对应的fastica-Func1的性能比前面提到的常用算法性能差一点, 评价函数选择Func1 (x) 的主要优势在于计算复杂度较低, 这从图6的计算时间对比可以看出。结合上述仿真可以得到这样的结论:如果要实现超高斯信号的分离, 采用评价函数为Func2 (x) 和Func3 (x) 的fastica算法是一种很好的选择。这两种算法既有较高的分离精度, 而且计算量较小。 4 小结 基于负熵最大化的fastica算法中, 如果评价函数选择恰当可以达到很高的分离精度。文献[3]给出了3种非线性函数的经验公式, 相对于前面的评价函数有较低的计算复杂度, 但并没有指出具体的算法。本文首先在fastica算法框架类内, 将Func1 (x) 、Func3 (x) 、Func3 (x) 和其它典型的评价函数以干信比作为指标进行比较, 并以克拉美罗-拉奥下界作为最佳分离标准, 证明了这三种函数在fastica算法中的适用性, 其次利用这三种函数对目前对称分离fastica算法进行了改进, 并且通过仿真验证了改进后的算法具有较高的分离精度和较小的计算复杂度, 其中基于Func2 (x) 和Func3 (x) 的fastica算法的性能是最好的。 摘要：针对超高斯混合信号的分离算法中评价函数的计算复杂度较高的不足, 提出了一种使用非线性有理函数进行优化的盲信号分离 (BSS) 算法, 通过仿真验证了新算法在取得较高分离精度的同时, 具有较小的计算复杂度。 关键词：盲信号分离,超高斯信号,克拉美罗-拉奥下界 (CRLB) 参考文献 [1]丁志中, 叶中付.基于负熵准则盲分离方法的剖析与研究[J].系统仿真学报.Vol.19, No.13, July.2007.2999-3004. 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[8]A.Hyvarinen, et al.A fast fixed-pointalgorithm for in-depedent component analysis[J].Nerual Computation, 9 (7) , 1483-1492, 1997. 1 卫星非线性信道数学模型 图1可认为是跟踪与数据中继卫星返向信道的模型。其中,星上功率放大器(TWTA)是一个非线性器件,该器件将引起包括幅度和相位在内的非线性失真。 如果输入信号表示为: 其中,ω0为载波频率,r(t)和ψ(t)分别是调制包络和调制相位。该信号通过非线性信道后,其输出信号将为: 其中,A[r(t)]表示AM/AM,Φ[r(t)]表示AM/PM,这里采用Saleh非线性模型,则有[4]: 式(3)为非线性信道的数学模型,对于信道的不同非线性度,采用不同的参数来表征。表1列出了TWTA模型的测量参数[5]。 2 卫星非线性信道下MAPSK非对称设计 2.1 APSK星座 MPSK星座主要特点是由多个同心圆环组成的环形星座。本文讨论4-12APSK和4-12-16APSK的非对称优化设计,其星座图如图2所示。 2.2 非线性失真对MAPSK的影响 总的来说,信道非线性特性对信号的影响有两方面。(1)造成映射的信号点的幅度和相位的失真,星座信号点的相对位置发生变化;(2)尽管是无记忆非线性系统,但在接收端会出现码间干扰(ISI)。 对于4-12APSK调制信号,当经过卫星非线性信道后,其信号点的相位和幅度发生了变化,图3是比较了经过非线性信道前后信号点幅度和相位的变化情况。 由图3知,经非线性信道后,幅度和相位失真比较严重。对于4-12APSK来说,相对应的内环半径为0.188 3,外环半径为0.508 5。经过非线性放大器后内环半径为0.390 6,外环半径为0.845 8,内环放大2.074 3倍,外环放大1.663 3倍。内环星座点向左旋转7.626 9°,外环星座点向左旋转38.696 8°。 2.3 MAPSK星座非对称设计理论分析 从上面的分析得知,卫星信道的非线性特性使通信质量严重下降。通过在调制端选取最优的相对半径ρ和相对相位φ,使其在非线性信道下性能得到提升。根据HPA的AM/AM、AM/PM转换特性,得到经过HPA的星座,对星座的相对半径和相对相位进行修正。这种星座优化设计方法就是根据HPA非线性失真特性测算星座点幅度和相位的变化,在调制端对星座进行非对称设计,使其经过HPA,使相位和幅度恢复原来的标准映射星座,而在解调端解调时,仍然以标准的映射星座进行解调,提高信号抵抗非线性失真的能力。 非对称性星座参数优化步骤如下: (1)无白噪声进行传输时,计算自匹配滤波器的S组有W个符号的质心; (2)计算每组最后的错误符号; (3)对星座的信号点进行更新。 最后一步可以通过迭代的LMS算法来进行。其原理如下式: 式(4)中,n指星座的点数,l(n)定义指向n的条件,s为迭代算法的步长,y(k)是第k个符号匹配滤波器的输出复采样,x(n)为APSK星座的复星座点,γc(n)(s)和θc(n)(s是以步长s计算的符号匹配滤波器输出的第n个复质心的模和相位,x(n)是以步长s计算的第n个星座点,γr和γφ相应计算优化星座点的模和质心的自适应步。 4-12APSK星座非对称性优化设计的关键点是对HPA非线性特性的测算,由于HPA的特性参数不同,所以得到的优化参数也不同。上面的自适应测量非线性特性的算法比较复杂。为了简化处理,设新星座点为x′,其半径和相位用矫正的修正值rk′和φk′表示,使星座点半径和相位满足下面方程,从而使星座点利用HPA的非线性特性,又恢复到理想最优位置。 式(5)中,rk和φ2为标准星座的幅度和相位,通过解方程,可以得到修正值rk′和准k′。按照修正值对星座进行设计,这样经过HPA后,就可以恢复到原来的理想星座。 2.4 MAPSK的非对称优化设计 由于不同的HPA参数不同,下面分三种情况对不同参数的HPA进行星座的设计:Berman and Mahle,Hetrakul and Taylor和Eric、Kaye and George测量参数模型。 Eric、Kaye and George测量参数:a1=2.158 7,b1=1.151 7;a2=4.033;b2=2.104为了方便比较16-PSK和16QAM,使输入功率相同,取16PSK的幅度为0.45,4-12APSK和16 QAM与其相比分别为:ratio1=1.13,ratio2=0.95。相对半径仍然以DVB-S2中编码速率为3/4时,频谱效率为3(b/s)/Hz,其最优相对半径取ρ=2.85,则标准4-12APSK的内环半径r1=0.178 4,r2=0.508 5。内环初始相位为phase1=π/4,外环初始相位phase2=π/12。将参数代入式(5),计算出新的星座参数:r1′=0.083 3,r2′=0.252 9,phase1′=0.757 8,phase2′=0.034 4。其相对半径为ρ′=3.036。根据新的星座参数对映射星座进行设计,见图4。 根据上述方法,可计算出其他参数表征的非线性模型下的星座优化参数以及32APSK的优化参数见表2。 3 仿真分析 以Eric、Kaye and George测量参数为非线性信道模型的参数,仿真非对称4-12APSK和标准4-12APSK在非线性信道下的性能见图5,非对称和对称4-12-16APSK在非线性信道下的性能见图6。 由图5和图6可知,非线性信道下,采用非对称设计参数的16APSK和32APAK性能远远好于对称的16APSK和32APSK。 不同测量参数表征的非线性模型的非线性程度不同。下面,根据表2的优化星座参数,比较4-12APSK在非线性程度不同的非线性信道模型下的误码率性能,如图7,Hetrakul and Taylor测量参数下优化的星座性能最好,而Eric测量参数和Berman测量参数优化的星座性能接近。实际卫星通信中,应该对影响通信质量最严重HPA表征参数,选择合适的测量参数模型,以期达到跟实际相符。 针对卫星信道的非线性失真特性,在卫星通信系统中采用DVB-S2标准中的具有较高功率和频谱利用率的MAPSK调制技术,利用其包络起伏较小并具有内在的对抗非线性失真能力的优点,来提高卫星通信系统的通信质量。在利用不同的测量参数来表征非线性信道非线性程度的基础上,提出了在调制端对MAPSK映射星座进行非对称设计,在解调端采用标准的解映射星座进行解调,来补偿非线性失真对MAPSK调制信号带来的相位和幅度的影响。 摘要：为了克服非线性失真对卫星通信系统的影响,首先论述了卫星非线性信道的特性,提出了在调制端对MAPSK映射星座进行非对称设计,在解调端采用标准的解映射星座进行解调的方法。通过仿真试验验证了此方法能够补偿非线性失真对MAPSK调制信号带来的相位和幅度的影响。 关键词：MAPSK,非线性信道,非线性失真,误码率 参考文献 [1]THOMAS C M,WEIDNER M Y,DURRANI S H.Digital amplitude 2 phase keying with M-ary alphabets[J].IEEE Trans Commun,1974,22(2):168-180. 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[4]SALEH A A M.Frequency-independent and frequen-cy-dependent nonlinear models for TWT amplifiers[J].IEEE Transactions on Communications,November 1981,29(11):1715-1720. 预测控制算法是通过保证目标函数中的预测误差最小从而获取最优控制值。这是将目标函数作为单目标进行优化求解［3］。实际上,一个被控系统的多个输出变量的性能指标是不同的。因此,可以根据系统需求,设定不同的输出变量的预测误差的范围。这样,对非线性预测控制已由单目标优化求解变成为偏好的多目标优化求解。 近年来,多目标优化的进化算法获得了飞速发展,已有多种成熟的算法出现,例如NSGA-II,PAES,SPEA-II等算法［4-6］。文献[7]将粒子群算法应用到多目标优化问题中,提出了MOPSO算法。但是出于决策偏好或求解需要,决策者要求获取偏好区域的Pareto解。为此,按照偏好方向将粒子种群引导至偏好区域,可以采用权重矩阵、参考点、参考区域、参考方向等引导方式［8］。目前,多数文献采用的引导形式是单一的,采用混合引导形式的多目标进化算法较为罕见。 本文将非线性预测控制算法中的预测误差作为偏好多目标优化的对象并将动态参考区域和移动参考点两种引导形式结合起来,提出了一种新的混合引导方式。该算法利用混合引导方式增加非劣解的选择压力,同时也保证了偏好区域的范围。另外,本文利用g-dominance［9］概念实现全局最优粒子的选取,实现对整个粒子群的有效引导,获得了最佳的控制效果。Matlab仿真结果表明本文所提改进的算法控制效果是令人满意的。 1 基本原理和问题 1.1非线性预测控制的原理 非线性数学模型可描述为 式中:f (⋅) 为非线性函数;na,nb为系统输入和输出的阶次;d为非线性系统时滞,一般令d=0。 目标函数为 式中:λ 为控制输入加权因子,λ1j= λ2j= … =λjNu= λ ,一般取值为1;q为输出误差系数;Nu为控制域长度;NP为预测域长度;yr为系统参考轨迹。 1.2 多目标问题 一般多目标问题可描述如下: 式中:X为R空间的决策变量;gi(x),hj(x)分别为约束不等式和约束等式。 多目标问题常采用Pareto解集作为寻优的结果,目前已推出了多种改进算法。 1.3 g-dominace概念 g-dominace是由Molina J提出的一种划分目标空间,实现偏好方向引导的方法［9］。本文采用g-dominace实现全局最优粒子的选择,其具体定义如下。 已知2 个点w和w*∈ Rm,只要满足以下2 个条件之一就可以称为点wg支配w*: 1)Flagg(w)> Flagg(w*); 2)wi≤ wi*,∀i=1,2,…,m,满足 至少存在1个j使得wj< wj*。 Flagv(w)定义: 式中:v为目标空间上的参考点;w为目标空间的任意一点。 2 多目标优化的MOPSO-NPC 2.1 基于多目标优化的预测控制目标函数 使用常规的预测控制算法实现对多变量系统控制时,都是通过保证目标函数中的预测误差最小,将目标函数作为单目标进行优化从而获取最优控制值。但多变量系统内部存在严重耦合时,目标函数中的各个输出变量的预测误差相互干扰,因此,其预测误差很难保证同时最小。这样,根据系统控制需求,设定不同输出变量的预测误差的范围,从而可确定各个输出变量预测误差的偏好区域。为此,本文将偏好多目标优化的思想引入到了非线性预测控制优化求解过程中。 2.2 参考区域的设计 目前,虽然基于偏好信息的多目标进化算法已经取得了巨大进步,但是当种群靠近Pareto前沿时,增加选择压力并同时控制偏好区域和偏好范围等问题仍需进一步深入研究。为此,本文提出了混合引导的思想:设置参考点为参考区的中心并同时从初始点开始移动。当参考点到达Pareto前沿时,参考区动态减小为一个最小区域,该范围内的非支配解就是最优解。因此,本文提出的混合动态引导的方法实现了偏好方向的准确引导同时完成了对偏好范围的控制,解决了某些算法非支配解容易收敛到一点的问题［9-10］。 2.3 参考区域及引导方程 为了获得一个可动态调整大小的参考区域,本文将参考区域设计成一个超立方体,具体表达式为 式中:s为解空间的任意一点;c为区域中心点;dp为超立方体半径,即超立方体中心到超立方体一个面的距离;m为目标维数。 根据式(5)可知,在种群初始时,应该设置超立方体半径为一个较大值,这样可以容纳更多的粒子。超立方体半径dp大小可依据各个粒子的适应度以及参考点位置来计算。 混合引导策略涉及参考点和参考区2 个公式。其中,参考区大小主要取决于超立方体半径变化,因此,超立方体半径dp可以代表参考区的变化。具体公式如下。 1)移动参考点表达式 式中:gen为当前次数;genmx为总运行次数;repgen为参考点;ASgen为外部档案中的非劣解。 2)超立方体半径dp表达式: 式中:dmax,dmin分别为超立方体半径的上、下限值。 2.4 混合引导过程 下面仅以两目标为例说明本文提出的混合引导策略的执行过程。混合引导策略过程如图1所示。在算法初始化时,将参考点设置为正方形中心并确定正方形的dmax和dmin值。根据式(6)和式(7)可知,当移动参考点的同时,动态减小超正方形半径,从而造成粒子选择压力的增加。当算法运行到最大次数时,参考点也正好到达Pareto前沿上,此时,dp取最小值。每次算法循环时,都要在正方形区域内选取进入外部档案的非支配解。当dp取最小值时,档案内的非劣解即为所求。 图1 中实线正方形为算法初始和停止时参考区域形状,虚线正方形是算法运行时若干个过渡形状。因此,控制dp下限值就可以控制偏好范围。 2.5 全局最优粒子的选择 本文利用粒子群算法实现动态混合引导策略,并采用档案保存历史最优解,并从外部档案中随机选取全局最优粒子,引导整个粒子种群向偏好区域飞行。 为了保证全局最优粒子向偏好方向飞行,本文采用了g-dominance概念。g-dominance的优点之一就是算法的有效收敛性与参考点是否在可行域无关。g-dominance可以将档案集进行划分,flag1 的区域是全局最优粒子选取的范围,具体可见图2和图3。 另外,还应注意到参考点设置在Pareto前沿上的情况。如果这时还要移动参考点,可能造成偏好信息丢失。为了保证偏好区域的准确,将不再移动参考点,可以将参考点作为粒子群全局最优的粒子,引导种群飞行。 3 算法流程 据此,本文提出的MOPSO-NPC算法的流程如下。 Step1:初始化。对预测控制和粒子群主要参数赋值,例如:设置预测域长度Np和预测控制域长度Nu;迭代次数gen=0,最大迭代次数genmx,超立方体半径下限dmin等。根据多目标优化的目标个数m,随机产生种群数量为N的初始种群,设定档案大小n。 Step2:判断参考点是否设置在Pareto前沿上。如果是,令position=1,否则position=0。 Step3:计算各个粒子的多目标适应度值。 Step4:获取满足式(5)的粒子,利用Pareto支配选择档案粒子。当外部档案中非劣解超过规定数量时,采用拥挤距离方法进行维护。 Step5:当position=1 时,选择参考点为全局最优粒子;当position=0 时,利用g-dominance策略划分档案中的非劣解,随机选择全局最优值;利用支配关系选择个体最优值。 Step6:如果position=0 时,参考点更新。否则,不更新。 Step7:超立方体的d更新。 Step8:粒子群粒子更新。 Step9:gen = gen + 1,如果迭代次数小于最大迭代设定值转到step 3,否则结束循环。 4 性能分析 本文选取ZDT［11］的主要测试函数来验证本文提出混合引导策略的性能。本文将MOPSO-NPC算法中的混合引导策略和比较典型的g-dominance算法进行了性能比较和分析,其中,将NSGA-Ⅱ算法融入到g-dominance算法中。相关仿真的基本参数设置为:种群大小为100,档案大小为100,变量维数为30,交叉概率为0.99,变异概率为0.1,最大运行次数为200。c1=c2=2,w=0.5。ZDT1,ZDT2,ZDT3,ZDT4测试函数各独立运行25次。 4.1 收敛性和分布性测试情况 本文利用GD和SP作为衡量算法收敛性和分布性能的指标［12-13］。GD和SP值越小,表明算法解的收敛性、分布性越好。 测试函数ZDT1~ZDT4的参考点设置为(0.5,0.5),本文提出的混合引导策略与g-dominance算法的GD和SP的均值如表1所示。 通过上述性能分析,本文提出的混合偏好引导策略的收敛性指标和分布性指标均接近或超过g-dominance算法。因此,本文的偏好引导策略具有较好的收敛性和分布性。 4.2 参考点位置和dmin变化的影响。 当混合引导算法的参数发生变化时,选择不同的测试函数进行仿真。利用ZTD1函数进行测试时,参数dmin=0.035,参考点起始位置(0.7,0.6),测试结果如图4 所示。从图4 中可知,参考点位于可行域。 当参考点起始位置为(0.35,0.35),dmin=0.05,参考点位于不可行域,采用ZTD2函数测试,结果如图5所示。 利用测试函数ZTD3检测不连续空间性能,参考点位置为(0.55,0.35),dmin=0.2,测试效果如图6所示。 为了测试参考点设置Pareto前沿上或附近时的算法性能,参考点为(0.5,0.4),dmin=0.015,ZTD4测试的效果如图7所示。 根据以上测试结果可知,当参考点位置无论处于可行域或不可行域,处于Pareto前沿上或远离前沿,算法都可以得到设定范围内的非劣解。当改变dmin值时,算法可以控制偏好范围,获得希望的最优解集。 5 实例分析 本文以连铸过程中的多变量结晶器系统作为被控对象进行分析,系统组成如图8 所示。具体参数详见文献[14]和文献[15]。 为了说明系统控制效果,分别采用SOPSO-NPC和MOPSO-NPC进行仿真。预测步长Np=6,预测控制步长Nu=3。仿真分为3 种情况:1)设定拉速从vr=1.4 m/min阶跃到vr=1.6 m/min,结晶器液面保持为H=50 mm;2)系统稳定后设定结晶器液面从H=50 mm上升到H=60 mm(t ≥ 10)。3)拉速和液面同时发生变化。设定拉速从vr=1.4m/min阶跃到vr=1.6 m/min,结晶器液面从H=50mm上升到H=60 mm。 图9为偏好解空间分布情况图,其中,obj1为结晶器出口铜板温度预测误差的平方和,obj2 为结晶器液位预测误差的平方和。根据结晶器控制的需要选取相应点的非劣解进行仿真,仿真结果如图10 和图11 所示。其中,图10 为结晶器出口铜板温度输出曲线,图11为结晶器液位输出曲线。从图10 中可知,结晶器拉速上升时,系统的温度输出增加3 °C左右。SOPSO-NPC和本文改进的MOPSO-NPC都能实现温度调节,但是MOPSO-NPC算法的输出超调适中、响应较快。根据图11仿真情况可知,液位设定从50 mm提高到60 mm时,运用本文所提算法,获得了较好的控制效果,没有较大震荡和超调从而说明了该算法的有效性。 另外,当拉速稳定在1.6 m/min,时间为10 s时,结晶器液位发生阶跃,SOPSO-NPC算法的温度输出发生了0.4°C的震荡,说明温度控制受到了液位控制的耦合影响,但本文设计算法输出比较正常,没有较大波动。同理,在图11 中液位输出受到拉速的耦合影响,基于SOPSO-NPC算法的液位输出发生了波动。本文设计算法可以较好跟踪设定值,效果良好。 针对第3 种仿真情况,结晶器液位和出口温度的仿真结果如图12和图13所示。当液位和拉速同时变化时,由于两者之间的耦合作用,SOPSO-NPC算法的液位和出口温度都出现了超调和震荡,控制性能降低;本文提出的算法控制结果比较稳定,在两者同时调整时没有出现较大的震荡,说明本文算法完全可以消除系统内部的强耦合影响。 另外,在仿真过程中,需要合理选择有关系统系数。例如,迭代次数设置过小会造成较大的粒子选择压力,迭代次数过大又会使算法运行时间增加,影响系统响应速度。根据仿真研究的结果,迭代次数可设定50~200次较为合适;对于超立方体半径下限的设定,目前没有统一的标准和公式,但可视具体情况从[0.001~0.5]范围选择合适的值;对于预测步长和控制步长而言,一般仿真步数越多仿真结果越精确,但同时也会增加系统计算负担。当本文选择预测步长超过6,控制步长超过3 时,发现控制效果并没有明显增加。为此,本文设定预测步长Np=6,预测控制步长Nu=3。 6 结论非线性超声实验系统的改进与优化 篇4
非线性最优化 篇5
非线性最优化 篇6
非线性最优化 篇7
基于逆系统方法的非线性最优控制 篇8
非线性最优化 篇9
非线性最优化 篇10
非线性最优化 篇11