非线性最优控制

非线性最优控制（精选9篇）

非线性最优控制 篇1

0 引言

在非线性多变量控制系统的设计中,传统的方法是将其在某一平衡点处近似线性化,然后按照线性控制理论加以分析和设计。对于强非线性系统,例如电力系统、机械手控制系统等,当系统的运行状态偏离选定的平衡点较远时,利用这种方法设计的控制器的控制效果很难保证。

随着反馈线性化技术的发展,已经形成了一类非线性控制系统的最优设计方法。这类方法主要是通过精确反馈线性化方法、逆系统方法等对非线性系统实现线性化,进而利用线性系统最优控制理论设计控制器。精确反馈线性化方法只适用于仿射非线性系统[1,2,3,4,5],由于它应用深奥的微分几何理论对系统进行复杂的坐标变换,所以不易为工程技术人员所接受。而逆系统方法并不局限于仿射非线性系统,也不需进行复杂的坐标变换,便可通过非线性反馈补偿去抵消系统中的非线性因素,从而达到线性化的目的[6,7,8,9,10,11,12]。由于该方法数学过程简明,物理概念清晰,所以更适合于工程应用。

然而,无论采用哪种反馈线性化方法,最终设计的非线性最优控制器都是在线性系统上实现的。它对于线性系统而言是最优的,但当作用到原非线性系统上时,该控制器是否为真正的最优控制器,值得深入研究。文献[13]证明了采用精确反馈线性化方法和线性最优控制理论所设计的控制器是某一性能指标下的原非线性系统的最优控制器。但是,由于精确反馈线性化方法需要复杂的坐标变换,并且变换后的状态空间中的变量不具有清晰的物理意义,所以该性能指标也不具有物理意义。

本文验证了应用逆系统方法将非线性系统线性化后,线性系统的二次型最优状态调节控制的性能指标等价于原非线性系统的扩展二次型最优输出调节控制的性能指标,这说明在线性系统下根据线性二次型调节器LQR(Linear Quadratic Regulator)最优控制理论所设计的控制器也是原非线性系统在扩展二次型输出调节性能指标下的最优控制器。同时,以惯性中心坐标下的电力系统模型为例,设计了基于广域信息的非线性全局综合控制器,并对比了它与常规PID控制器、非线性分散综合控制器的控制效果。

1 非线性系统的控制器设计

多变量非线性系统状态方程一般形式可描述为

其中,X∈Rn为状态向量,U∈Rm为输入向量,Y∈Rr为输出向量。f、h是以X、U为自变量的解析函数。

由求逆算法可以求出式(1)的逆系统为

此时,Y为输入向量,U为输出向量,X为状态向量,其维数仍为r、m、n维,且Y(α)=[y1(α1),…,yr(αr)]T。

再由输入重定义法可求出式(1)的α阶积分逆系统的方程,表示为

其中V为输入,U为输出,且

其中,为yi(t)的αi-βi维子向量;而分别表示逆系统方程中yi(t)的最高阶和最低阶导数。

将α阶积分逆系统串联在原系统前,再通过反馈替代逆系统方程(3)中的X,从而将原系统!补偿为标准积分型解耦系统(伪线性系统),且满足方程

其动态补偿的控制输入为

对于线性系统式(4),应用LQR最优控制理论,可得到该线性系统的最优控制规律为

其中,K是解Riccati方程得到的反馈增益阵。

将式(6)代入到式(5)中,则可得到原非线性系统式(1)的反馈控制律:

2 非线性系统最优控制的证明

原非线性系统式(1)经反馈线性化后变换为如式(4)所示的线性系统。对于该线性系统,二次型最优状态调节问题就是寻找一个控制规律V*,使得如下二次型性能指标最小:

其中Q∈Rl×l和R∈Rr×r分别为半正定和正定的权矩阵,矩阵中元素体现了对Z和V中各分量的重视程度。

性能指标式(8)最小所表征的物理意义是,在控制量V受约束的条件下,线性系统式(4)的状态变量Z与理想状态的误差的平方的积分为最小值。

根据

可知:

其中,是由R扩展而成的,即

将式(9)代入到式(8)中,可得新的二次型性能指标为

进一步,将状态向量Z=[z1T,z2T,…,zrT]T扩维为

则式(10)将变为

其中,是由Q和R扩维组合而成的,即

由于中的元素只是原非线性系统中输出向量Y的分量及其若干阶导数,所以,每一个元素都具有清晰的物理意义。

对于原非线性系统式(1),二次型最优输出调节问题的性能指标为

对比式(11)和式(12)可知,如果将作为输出向量Y的扩维向量,那么性能指标式(11)就是原非线性系统的扩展二次型最优输出调节的性能指标,它所表征的物理意义是,在控制量U不受约束的条件下,原非线性系统式(1)的扩维输出向量与理想的扩维输出向量的误差平方的积分为最小值。此时求得的控制规律式(7)即为在该性能指标下的原非线性系统的最优控制。

对性能指标式(11)的2点讨论:

a.虽然性能指标式(11)表面上对控制量U没有约束,但实质上该控制量约束隐含在扩维输出向量中,因为中的向量元素Y(α)包含了控制量,即

b.扩维输出向量中除了Y和Y(α)外,还包含了输出向量Y其余阶数的导数,针对实际非线性系统,它们都具有特定的物理意义,因此,在控制器设计时,可根据各个元素的重视程度选取权矩阵。

3 电力系统非线性全局综合控制器设计

3.1 COI坐标下多机电力系统ut/θ受控模型

多机电力系统在惯性中心坐标COI下计及励磁和汽门控制的数学模型为

其中,状态向量为,输出为Y=h(X,U)=[y1,y2]T=[uti,θi]T,控制输入为U=[u1,u2]T=[Efi,Ugi];θi和ω’i分别为惯性中心坐标下的转子角度和转子角速度,PHi为汽轮机高压缸的输出功率,Efi为励磁电压,Ugi为主调节汽门控制器发出的电控制信号,τ′d0i为励磁绕组时间常数,τHi为高压缸调节汽门控制的等效时间常数,CH、CML分别为高压及中低压缸的功率分配系数,Di为阻尼系数;uti为发电机出口母线的端电压,。

在本模型中,只考虑主调节汽门(高压缸调节汽门)的控制作用,即认为中低压缸的输出功率恒定,这种假设符合电力系统的实际情况。

3.2 控制规律设计

汽轮发电机组励磁与汽门系统的状态方程式(13)经逆系统方法反馈线性化后,其线性系统的状态空间形式[14]为

其中,ut0i,θ0i,θ!0i=0,θ#0i=0为稳态值,即系统通过控制所需到达的理想状态。

利用LQR最优控制求取式(14)的最优控制律。当选取Q=diag{[10,50,100,50]},R=diag{[1,1]}时,得到的控制律为

进而,可得到原非线性电力系统的最终控制规律为

3.3 性能指标合理性的验证

多机电力系统的控制规律式(16)是在二次型性能指标式(11)下的最优控制,针对实际电力系统模型式(13),其具体的性能指标为

由2个原因可知该指标是合理、有效的。

a.标准的二次型最优输出调节问题的性能指标如式(12)所示,对比式(17)和式(12)可知,式(17)是一个扩展的最优输出问题的指标,该指标除了对输出量uti和θi约束外,也对它们的导数进行了约束(其中,是θi的一阶导数)。而且,尽管式(17)中未显含控制量[u1,u2]=[Efi,Ugi],但对其的约束是隐含在输出量uti和θi的导数中的,如下所示:

u!ti=α1+β11u1,·ω)i·=α2-Di.ω)i/Mi+β21u1+β22u2

b.电力系统发生扰动后的动态过程中,人们希望发电机的端电压保持恒定,机组间的振荡幅值小,振荡时间短,这和式(17)的性能指标是相一致的。如果对非线性电力系统采取二次型最优状态调节控制,则受约束的将是状态变量θi、ω)i、E′qi、PHi,即希望它们在动态过程中变化最小,这不是实际电力系统所追求的。因此,在电力系统中,采取二次型最优输出调节控制要比..二次型最.优状态调节控制更有效。

4 仿真算例

为验证所设计的基于广域信息的非线性全局综合控制器的作用与效果,本文对图1所示WSCC 4机系统进行了动态仿真,并对比了它与常规PID控制作用下的功角、端电压响应曲线,发电机参数和线路参数详见文献[15]。

当系统在8号节点上出现40 MW的冲击负荷时,以第4台机为参考机,分别在2种控制器作用下的第2台机的相对功角响应曲线如图2所示。图中,曲线1为未采取控制,2为采取PID控制,3为采取非线性全局综合控制;下同。由该图可看出,与PID控制措施相比,基于广域信息的非线性全局综合控制器不仅给系统提供了良好的阻尼,而且使得系统的动态品质指标,如过渡时间、振荡次数及振荡幅度都有很大的改善。

当系统在5号节点和9号节点之间的线路上0 s发生三相短路,并在0.25 s切除线路时,以第4台机为参考机,2种控制器作用下的发电机相对功角和端电压响应曲线分别如图3、图4所示。

由图3(a)和图3(b)可看出,虽然2种控制措施都可以改善系统的动态性能,但改善程度却有很大的差别。采取常规PID控制时,第1台机经过4次摇摆后在4.7 s时平息振荡,最大振幅是101°;第3台机经过8次摇摆后在4.5 s时平息振荡,最大振幅是58°。而采用非线性全局综合控制器时,第1、3台机只经过1次摇摆后在1.3 s时就可平息振荡,其最大振幅分别是78°和23°。由此可见,非线性全局综合控制显著优于常规PID控制。

由图4(a)和图4(b)可知,采取非线性全局综合控制器时,2台发电机G1和G3的端电压均在2.1 s时趋于稳定,而采取PID控制时,G1和G3的端电压分别稳定于4.2 s和4.5 s。

5 结论

结合逆系统方法和LQR最优控制理论,提出了非线性系统中控制器的一般设计方法,并证明了所设计的控制器是非线性系统在扩展二次型最优输出性能指标下的最优控制器。并以电力系统为例,设计了基于广域信息的非线性全局综合控制器,与常规PID控制器相比,它更能缩短系统的过渡时间,更能减小系统的振荡次数及振荡幅度,更快地使系统的电压趋于稳定。

非线性最优控制 篇2

逆Nyquist 阵列(Inverse Nyquist array)Gershgorin’s Theorem: 设 Zmm是复矩阵，则 Zmm的特征值在m个圆的并集内，这m个圆的中心为 zii，半径为

m zij, i1,2,,mj1ji

H问题的解(Solution of the H problem)问题: 在镇定补偿器K上，最小化minimize Fl(P,K)

优化问题将转化为

minimizeT11T12QT21QHFl(P,K)，即

这是模型匹配问题(model-matching problem)继续转化为 Hankel 逼近问题，或 Nehari 扩展问题 Hankel approximation problem or Nehari extension problem minimizeT11T12QT21QH minimizeRQQH

We formulated the general H-inf problem as minimize Fl(P,K) Over stabilizing compensators K.第六章 Lyapunov稳定性理论与最优控制

6.1 李雅普诺夫意义下的稳定性

(t)f(x,t)设系统状态方程

x给定初始条件(初值)x(t0)x0 其解

x(t)(t,x0,t0)平衡状态

f(xc,t)0

线性定常系统当A为非奇异矩阵时只有一个平衡状态，非线性系统可以有一个或多个平衡状态。

李雅普诺夫意义下的稳定性

对于任意给定的正数0，总存在正数(,t0)0，使得当x(t0)xc时，在充分大的时间后，总有x(t)xc，则称系统的平衡状态xc是(李雅普诺夫意义下)稳定的。

渐近稳定性

若系统的平衡状态xc稳定，并且在其某邻域内的初始状态引起的系统响应x(t)，当t时趋于xc，则称系统的平衡状态是渐近稳定的。

大范围渐近稳定性

若系统的平衡状态xc稳定，并且对于任意初始状态引起的系统响应x(t)，当t时趋于xc，则称系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。不稳定性

线性系统稳定性

6.2 判别系统稳定的李雅普诺夫方法 李雅普诺夫第一法(间接法)

通过系统平衡状态附近线性化，得系统矩阵(雅可比矩阵)A(Af(x,t)xT)，若其特征值都具有负实部，则系统平衡状态渐近稳定。

正实部对应不稳定，零实部需要进一步判定。

李雅普诺夫第二法(直接法)

设V(x,t)是一个标量函数，满足下列条件：

(1)V(x,t)是正定的，即如果x0时，V(x,t)0，而在x0处，V(x,t)0；

(2)V(x,t)是负定的，即V(x,t)是正定的。

则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。这时称即V(x,t)为李雅普诺夫函数。如果随着x，函数V(x,t)，则称系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

解释：正定函数，正半定函数，负(半)定函数，不定函数 关于二次型函数，对称矩阵性质(略)例6.1 确定下列标量函数性质(正定性)(1)V(x)2x13x2;

(2)V(x)(x12x2);(3)V(x)2x13x1x2;(4)V(x)2x13x24x1x2.例6.2 设系统状态方程为

10x23x1x14x2 222222判定该系统的稳定性。解

2法一： 求特征值sIAs4s30得s11, s23，系统渐近稳定。

法二：构造李雅普诺夫函数：V(x)x2212x1x22x2 V(x)x212x1x222x20

V(x)2x21x22x22x1(3x14x2)4x2(3x14x2)6x218x211x214x20系统渐近稳定。关键：选择适当的Lyapunov函数。法三：直接验证

x(t)(t)x(0)eAtx(0)3t1e3t1t1e3tA(2e22e23et3e3t1t3x1(0) 3tx2(0)222e2e也说明系统渐近稳定。

稳定性判定：

设V(x,t)是一个标量函数，满足(1)V(x,t)是正定的，(2)V(x,t)是负半定的，则在原点处的平衡状态是稳定的。而如果(3)当x时，V(x,t)，则此平衡状态是大范围渐近稳定的。

故6.3线性定常系统李雅普诺夫方程

Ax，选李雅普诺夫函数设线性定常系统 x(x)xT(ATPPA)xxTQx。V(x)xPx，则VTAx的平衡状态大范围渐近稳定的充要所以，线性定常系统 x条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q，都存在唯一一个对称正定矩阵P，使得

APPAQ

这个方程称为李雅普诺夫方程。通常取QI。

离散系统：x(k1)Gx(k)的平衡状态大范围渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q，都存在唯一一个对称正定矩阵P，使得GPGPQ。

TT6.4非线性系统李雅普诺夫函数 例6.3 设非线性系统状态方程

21x2x1(x12x2x)22x1x2(x12x2x)

判别平衡状态的稳定性。

解

平衡状态xc0。选标量函数V(x)x1x2，则

2212x2x22(x12x2V(x)2x1x)

22由于V(x)正定，而V(x)负定，故系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。

6.5 状态观测器设计 Design of State Observers AxBu, yCx，xˆ(AHC)xˆBuHy 设计观测器： xˆx e:x(AHC)e, e(0)xˆ(0)x(0)e(AHC)稳定，则 e(t)0, t。

用观测器的状态代替原系统状态：

AxBu,xBuHy,ˆ(AHC)xˆxˆ,uKxyCx.则

AxˆHCxxx:A ˆˆAHCBKxxBK分离定理： sIAsIABKsIAHC。

6.6 动态反馈镇定――补偿器的设计 Compensator’s design 设开环系统为

cAcxcBcyxAxBux，设计补偿器(控制器)uCxDy yCxccc则闭环系统为 ABDcCxxcBcCBCcxAcxc

控制器设计就是求Ac, Bc, Cc, Dc使得上面闭环系统稳定。观测器可以作为补偿器(控制器)使用。镇定与极点配置问题： 状态反馈

uKx 静态输出反馈

uKy

cAcxcBcyx动态输出反馈

uK(s)yuCxDy

ccc(补偿器或称控制器)关于补偿器的阶的进一步说明

AxBu, yCx x00A...0a010...0a101...0a2...............000B......，10an110C1000

理论上存在n-1阶控制器。例6.4：设 0A04103001, B0, C12100

理论上2阶控制器就够了，但1阶控制器不能控制该系统。

sI(ABDcC)BcC10sBCc0s14dsIAc32s b 0000c as不存在a,b,c,d使闭环系统极点都在左半平面上。(自己验证)例6.5

设

0A3一阶控制器：

10, B, C1210

sI(ABDcC)detBcC32sBCcdet3dsIAcb1s200csas(2a)s(3d2a)sa(3d)bc可任意配置闭环系统极点。二阶控制器： sI(ABDcC)detBcCs22s3det143sBCc3det0sIAc1c1c2s1s2000c1sa2c21sa102sa1sa2s(a12)s(a22a13)s......也可任意配置闭环系统极点。6.7 最优控制问题

变分法 极大值原理 动态规划  最优控制 通常情况下，最优控制问题的性能指标可表示为：

J(x(tf),tf)tft0L(x(t),u(t),t)dt

针对不同的具体问题，J一般可以取为不同的形式，例如： 最短时间问题 J线性二次最优控制问题 J12tft0dttft0

tft0(XQXuRu)dt

TT最优控制问题求解：解析解，数值解。无约束的二次性能指标可以给出解析解。无限时间调节器问题的解 regulator 系统状态方程为： AxBu, x(0)x0, t0, x求控制uKx，使性能指标

J(u)为最小。

120(xQxuRu)dt

TT结论：最优控制为 u*(t)R1BPx(t)

T其中，P为矩阵黎卡提（Riccati）微分方程的正定对称解：

PAAPQPBR最优轨线x*(t)为： x*(t)eT0T1BP0

1T(ABRBP)tTx(0)

而最优性能指标为： J*xPx0。

5.8 反馈镇定――线性矩阵不等式介绍

A x 线性系统

x该系统零解渐近稳定当且仅当A的特征值位于复平面的左半平面。另一方面，如果取二次型V(x)xPx作为Lyapunov函数，其中P是正定矩阵，那么

TTV(x)xAPPAx。所以系统稳定(AT的TA0。特征值都在左半平面)当且仅当

APPA＋BK稳定当且仅当存在正定矩阵P使得

P(ABK)(ABK)P0

T令P=Q，上式成立也即（合同变换）-1QATAQBKQ(BKQ)T0

令 KQ=Y 得到

QATAQBY(BY)T0.)定理

(A,B是能稳的当且仅当存在对称正定阵Q和矩阵Y使得

QATAQBY(BY)T0.定理(Schur补引理)给定对称矩阵

SSS1112SS，(STT2111S1,1 S 2222S以下三个条件是等价的：

(i)S0;(ii)ST1110, S22S21 S11S120;(iii)ST1

220, S11S12 S22S210.二次型矩阵不等式

ATPPAPBR1BTPQ0

ATPPAQPB等价于

BTPR0。

非线性最优控制 篇3

关键词：改进；匈牙利算法；运输问题；参数线性规划；最优解

中图分类号：F253.9文献标识码：A文章编号：1002-3100(2007)12-0033-04

Abstract: This paper is mainly studying of optimal solutions distribution area of one kind of parametric linear programming about transportation problem with developed Hungry algorithm used in reference document[1], the thought, method, process, and example are also given.

Key words: improved; Hungry algorithm; transportation problem; parametric linear programming; optimal solution

0引言

在实际生活中，运输问题中的物资供应量，物资需求量都可能会发生波动，研究运输问题的参数线性规划很有实用意义。而如果用通常求解运输问题的方法——表上作业法，首先我们须利用最小元素法或西北角法求出一组基本可行解，再检验此解是否最优，否则要进行改进。这一过程比较麻烦，编程也过于繁琐。若再含有参量，则又得重复此过程，工作量非常大。因此我们采用文献[1]中的改进的匈牙利算法研究关于运输问题的参数线性规划，根据参量δ在不同区间改变，可以保留有用的数据，则相对就简便很多了。

1改进的匈牙利算法

引理1设给定了n×n矩阵C，又设把C的某一行（或列）的所有元素都减去一个数d得到矩阵C'，则以C为价格矩阵的分配问题A和以C'为价格矩阵的分配问题A'等价的。

改进的匈牙利算法以最小运输量为分配目标，每次分配都为当前已分配的最优解。因此，当完成所有运输任务后，得到的是全局最优解。由引理可知，在匈牙利算法中，可以使初始可行解对应的目标函数值显著减小，使之更逼近最优解，减少迭代次数，减少计算量。同时匈牙利算法解决的指派问题具有0-1整形和运输问题的双重特点。因此可以很方便地利用改进的匈牙利算法研究含参量时的最优解。

2运输问题的参数线性规划

3算例分析

参考文献：

[1] 胡运权. 运筹学教程[M]. 北京：清华大学出版社，2003.

[2] 管梅谷，郑汉鼎. 线性规划[M]. 山东：山东大学科技出版社，1983.

[3] 张建中，许绍吉. 线性规划[M]. 北京：科学出版社，1997.

非线性最优控制 篇4

发电机励磁控制除维持机端电压恒定和保证并联运行的机组间无功功率合理分配外,也是改善和提高电力系统稳定的最经济、有效的技术手段之一[1]。针对发电机励磁控制系统的强非线性特点,通常采用的方法是对其进行线性化处理。近年来,随着非线性控制理论的迅速发展,较好地解决了非线性控制系统的大范围线性化问题。运用非线性理论设计的励磁控制器在改进大干扰稳定方面比线性控制方法优越[1,2,3,4]。

大量的研究结果表明非线性励磁控制在电力系统受到小扰动和大扰动时,具有突出的提高系统功角和频率稳定的能力[5,6],但由于其控制量中没有机端电压项,所以在机端电压控制方面效果并不是很理想[7]。而PID控制对机端电压具有优良的控制效果[8,9],因而将基于机端电压偏差的PID控制和非线性励磁控制相结合可以达到在电力系统稳态和暂态时对发电机功角、频率和机端电压的良好控制效果。

1 励磁控制的基本理论

1.1 状态反馈精确线性化

由于电力系统是强非线性系统,如果采用在一点处近似线性化的数学模型,按线性系统进行设计的控制规律,在远离近似线性化所选的状态点处,对系统的控制可能达不到理想的效果。如果能够在一定条件下,将一个仿射非线性系统进行精确线性化[10,11,12,13],那么这个状态反馈可保证控制系统的稳定性,并且能有较好的动态品质。

当发电机励磁为快速可控硅励磁方式时,发电机励磁控制系统可以用以下非线性微分方程描述:

这是一个仿射非线性系统[14,15]。

式(1)中

经检验系统(1)满足精确线性化条件。

通过坐标变换系统(1)可转换成布鲁诺夫斯基标准型。

态反馈为:

1.2 求解最优控制规律

对于定常系统最优控制规律实质上是寻找反馈矩阵K,使二次型目标函数最优。二次性能指标为[15]:

其中:Q、R为对应的状态量和控制量的权矩阵;Q为正定或半正定阵;R为正定阵。权矩阵直接反映了系统的各种性能指标要求,如系统的动态品质要求、抗干扰能力的要求等。

利用极值定理可以证明这个最佳控制规律是存在的,而且是唯一的。

其表达式是:U=-R-1BT PX=-KX。

其中矩阵P满足Riccati代数方程式PA+AT P-PBR-1BP+Q=0的解。

当选定了权矩阵后利用Matlab软件中22lpr.m函数求解状态反馈系数,便可以得到最优控制规律,将其代入式(3)便可求出非线性最优控制规律。

2 带电压反馈的非线性最优励磁控制器设计和仿真

2.1 算例参数

图1为单机无穷大系统,其中各参数为:

同步发电机参数(隐极式):变压器及线路参数:

系统平衡点的参数:Pe=0.5,δ0=70°。

当给定Q以及R值后,可以求解最优控制器反馈系数矩阵K,对线性化后的系统进行最优励磁控制设计。

仿真时依次改变Q和R值,观察控制效果。在综合选择参数的动态响应中,选择D=diag[520 50 1],R=0.01的作用比较理想。

利用Matlab软件中lpr.m函数求解式(2)所表示的系统的状态反馈系数,可以得到:v=-228z1-115z2-18z3。将其代入式(3)即可求得非线性最优励磁控制器控制规则(不带电压反馈),

2.2 非线性最优励磁控制器仿真

对于式(4)设计出来的控制规律,在图1所示的单机无穷大系统中进行静态小扰动仿真和暂态大扰动仿真,并分析仿真结果。

仿真算例:

静态小扰动仿真:在1 s时发电机机械功率Pm由0.5增加到0.525并维持不变。

暂态大扰动仿真:在0.1 s时一条线路上发生三相接地短路,100 ms后,故障切除,系统单回路供电。

(1)静态小扰动

仿真结果见图2。通过仿真,机端有功功率和功角在扰动结束后2~3 s内稳定在新的状态。励磁控制器能够使系统很快地稳定在新的状态下。但是

发电机机端电压,发生了偏移,机端电压不能得到有效控制。

(2)暂态大扰动

仿真结果见图3。通过仿真,机端有功功率在扰动结束后3~4 s内恢复到原来的状态,机端电压和功角稳定在新的平衡状态。励磁控制器能很好地提供阻尼,对干扰具有很好的抑制能力,但机端电压出现了偏离,电压和有功功率的超调较大。

2.3 带电压反馈的非线性最优励磁控制器设计

通过仿真可以看出,当出现机械功率的阶跃变化或系统结构发生变化时,虽然该控制器能够很好地提供阻尼,系统能够稳定。但是发电机机端电压将会产生偏移,机端电压得不到控制,这是因为设计的过程中没有采用电压变量作为其中的反馈量。因此,考虑在反馈变量中加入电压调节。设计中加入机端电压偏差PID控制,用以调节电压达到要求值。

参数取Kp=40,TI=0.1,TD=2。

带有电压反馈PID控制的非线性最优励磁控制器的实现如图4所示。

利用式(5)的控制规律在图1所示的单机无穷大系统中,再次进行静态小扰动仿真和动态大扰动仿真,并分析仿真结果。

(1)静态小扰动

仿真结果见图5。通过仿真说明,增加了电压反馈后,电压能够在扰动结束后3 s时间恢复到原设定值。带电压反馈的非线性最优励磁控制器,既能够保证发电机机端电压的稳定,同时也能够使系统在扰动结束后3~4 s内稳定下来。

(2)暂态大扰动

仿真结果见图6。通过仿真说明,增加了电压反馈后,非线性最优励磁控制器在大扰动下,机端电压、有功功率、功角能够在扰动结束后4~5 s内恢复到稳定状态,增加电压反馈后的电压和有功功率的超调量也明显减少。励磁控制器能够保证发电机机端电压的调节精度,同时也能够使系统较快稳定下来,对大干扰有很好的抑制作用。

系统采用带电压反馈的非线性最优励磁控制器后,能够在大扰动和小扰动情况下控制发电机励磁,保证机端电压基本恒定,功角达到稳定状态。虽然功角比扰动前变化较大,但其能在短时间内达到新的稳定值,基本满足稳定控制的要求。

3 结论

非线性最优控制 篇5

关键词：振动控制,LQR,最优控制

0 引言

振动控制是振动研究领域内一个重要分支,是振动研究的出发点和落脚点。振动控制包括两个方面的内容:一是振动的利用,即充分利用有利的振动如各类振动机器;另一内容是振动的抑制,尽量减小有害的振动,因为振动加速机械设备的磨损,缩短产品与结构的寿命,使人易于疲劳,使仪器易于失灵与损坏。此处所讨论的振动控制只是振动的抑制。振动控制的任务就是通过一定的手段使受控对象的振动水平满足人们的预定要求。振动主动控制是主动控制技术在振动领域中的一项重要应用,是当前振动工程领域内的高技术,是动力学、自动控制、计算机、电气及材料科学等诸多学科的综合。和振动被动控制相比,由于它具有振动控制效果好、适应性强等优越性,目前已成为国内外振动工程领域的研究热点,并在船舶海洋工程、航空航天、车辆工程及土木建筑领域得到了初步应用。一个振动系统主要由受控对象、作动器、控制器、测量系统、输入能源、附加子系统等几个环节组成。其中控制器(控制律)的设计是中心环节,作动器的设计是关键。

区别于被动控制,振动主动控制主要是需要独立的控制体系从外界获得控制所必需的控制能量,按某种控制规则提供给受控对象以控制力,改变整个系统的动态特性,有效地减少受控结构体的振动幅度以及改变振动体的振动加速度,从而达到减振的目的。因此线性二次型最优控制属于主动控制中的一种。

结构主动控制主要是需要实时测量结构反应和环境干扰,采用现代控制理论的主动控制算法,在结构模型的基础之上运算和决策最优控制力,最后作动器在很大外部能量输入下实现最优控制。[1]本文主要介绍了二次型最优控制算法的原理,选取研究对象,采用数值计算和数学仿真,对其振动控制的效果进行了检验,对其性能进行了评价。

1 振动系统数学方程

N个自由度刚体结构在外力F(t)的作用下的运动方程表达式为:

式(1)中,X(t)∈Rn是结构的位移向量;M、C和K∈Rn×n分别是振动结构的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵;Ds∈Rn×r是外力作用的位置矩阵;X(t)、X'(t)∈Rn分别是结构的初始位移向量和初始速度向量。

2 主动控制的流程

运用结构主动控制对振动结构体进行减振,需要实时测量结构反应或者外部环境的干扰,采用了控制理论的主动控制在精确的结构模型基础上计算,得到最优控制力,其大小根据系统反馈(和外部干扰力有关)时的变化[2],如图一所示。

3 利用线性二次型最优控制法计算控制力

振动系统方程表达式如下:

为了控制结构的振动,在振动结构体上安装q个控制装置,如图二所示。设作动器在结构体施加的作动力为U(t)∈Rq,相应的作用位置矩阵为Rs∈Rn×q,于是受控振动系统方程表达式就变为:

式(3),中动态系统的位移X(t)和速度X'(t)都是独立向量。设:

于是受控振动可以描述为下面的状态方程:

式(4)中:

输出方程:

式(5)中,Y(t)∈Rm输出向量;C0∈Rn×2n为输出矩阵;B0∈Rm×r,D0∈Rm×q为传递矩阵。

式(6)中,Q∈Rn×n为半正定矩阵,R∈Rq×q为正定矩阵。

第一项T1代表振动系统振动所具有的能量,第二项T2代表系统趋于振动稳定状态所要消耗的控制输入能量。当Q相对R较大时,表示指标J的性能更重于控制能量的消耗。当R=0时,二次最优控制问题称为最短响应时间问题,例如防空导弹的控制问题。

反之,当Q相对R较小时,则表示指标J的性能更重于节约控制能量的损耗。当Q=0时,二次最优控制问题称为最少“燃料消耗”问题,比如远距离航天飞行器的控制问题。

系统控制的任务是,当系统由于外部干扰力的作用而偏离平衡状态时,作动器立即开始作用,施加控制输入,使振动结构体趋于平衡状态。系统最优控制问题就是在时间区域[t,∞)寻找最合适的U(t),使振动体由状态Z0趋近于平衡状态,并且使性能泛函J取得极小值,则该问题就演变成条件变分问题。即:

用拉格朗日乘子法构造新的泛函:

由条件变分求极值,具体见参考文献[3],可以得到控制力U(t)的大小为:

其中称G(t)是最优状态反馈增益矩阵。

P(t)是对称矩阵,其是Riccati矩阵代数方程PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0的解。

当t→∞时,即所谓的无限时间最优控制,有P'(t)=0,因而P(t)=P,所以P是常矩阵。

所以Z'(t)=(A-BR-1BTP)Z(t)+DF(t)

权矩阵是通过试算的方法给出的,到目前为止还没有一个通用的算法准确地算出,这给最优控制力的计算带来不便,增加了计算的工作量。但是线性二次型最优控制设计时,权矩阵Q、R对控制的效果和控制力有显著影响,因此选取权矩阵比较关键;一般来说,Q越大,受控结构的反应越小,控制效果越好;R越大,则控制输入越小,控制效果越差。这为我们选取Q和R提供了一定依据,可以减小工作量。一般取,R=αIn,其中α、β为常系数。

4 算例结果及其分析

对于图示三层振动系统:

它是一个振动系统的简化图[4],已知质量m1=m2=m3=5×105Kg,k1=k2=k3=2×108N/m,c1=1.278×106N·s/m,c2=1.244×106N·s/m,c3=0.088×106N·s/m,环境干扰力F(t)=[1000sin(t)0 0]T,振动的计算数据为:

由函数LQR得到控制力状态反馈增益矩阵,即:

则最优控制力:U=-GZ

结构状态方程:Z'(t)=(A-BG)Z(t)+DF(t)

输出状态方程:y0(t)=C0Z(t)

C0、D0是观测输出矩阵。对于LQR最优振动控制算法而言,y0与z是相同的,此时C0取单位矩阵。LQR最优控制是全状态反馈,因此D0取零矩阵,t是外力作用的时间向量,y0是输出向量。

无控时第一层振动结构体的位移为:

无控时第三层振动结构体的位移为:

从图四至图九的仿真计算结果可以看出:振动结构体在线性最优二次型主动控制作用下,结构的振动位移和振动加速度都得到有效的降低。第一层结构体在受控作用下最大振动幅度降为原来无控时的14.33%,受控时的加速度降低为原来无控时的69.05%。在振动的整个过程中,由于线性二次型最优控制需要实时测量结构反应和环境干扰,主动控制算法在结构模型基础上运算得到最优控制力,在作动器能量输入作用下实现最优控制,这样一来可以避免发生共振。

5 结束语

从上文仿真计算结果可以看出,线性最优二次型控制方法,对于振动结构体振动幅度及加速度控制是行之有效的,其对振动结构体可以进行时时控制,振动体的振动幅度及加速度降低了,其自身的所包含的能量也就减小了,结构振动辐射噪声也会随之降低。因此,线性二次型最优控制对结构振动控制的效果是显著的,同时也可有效地控制振动噪声。

参考文献

[1]王滨庆.基于机械作动器的振动主动控制研究[J].哈尔滨工程大学学报,2005.

[2]孙国春,史文库.振动主动控制技术的研究和发展[M].北京:北京工业出版社,1995.

[3]欧进萍.结构振动控制[M].北京:科学出版社,2003.

非线性最优控制 篇6

励磁系统是同步发电机的重要组成部分。从某种程度上看, 励磁系统决定了同步发电机输出的电能质量。AVR+PSS的控制方式是在低频振荡不足的条件下诞生的。由于它在控制方面具有突出的效果, 所以, 直到今天仍在广泛地使用, 随着电能质量与电力系统的要求逐渐地提高, 相比之下, 这种控制方式出现了一些障碍。一些新型的控制方式在现代控制理论的发展中脱颖而出, 而最优控制理论就是其中的一种, 它具有独特的优点[1], 是现代控制理论中比较完善的一种。基于多变量的励磁控制方式要比单变量的励磁控制方式所取得的控制性能要好, 多变量励磁调节方式也是未来励磁调节方式的发展方向之一[2]。所以本文基于多变量的线性最优算法励磁控制方式的励磁调节器的仿真研究是设计最优控制器的重要方法与手段。

本文的目的就是在线性二次型最优控制的基础上设计7MW的励磁控制器, 通过MATLAB的仿真, 对比AVR+PSS控制下的励磁控制系统与最优控制下的励磁系统在小扰动下的静态特性与大扰动下的暂态特性, 从而, 既可以证明最优控制比AVR+PSS控制更好, 又可以验证最优控制的7MW励磁控制器的设计是更好的。

1 水电站自并励发电机励磁系统建模

1.1 自并励励磁系统的组成

图1 就是自并励静态励磁系统的结构图。从整体来看, 发电机励磁绕组的电源来自发电机, 只不过, 这种电能不是由发电机直接输出的, 而是由变压器变换电能后通过整流装置变换获得的。励磁控制器的控制量是非常灵活的, 既可以是电压互感器的二次电压, 又可以是附加的电流互感器的二次电流, 还可以是发电机的转速与电磁功率。发电机的运行状况是随着电网的运行变化而变化的, 同时, 励磁控制器都可以采集到这些变化量, 通过这种变化量, 调节可控整流装置的控制角, 从而就可以改变发电机的励磁[3,4,5]。

1.2 单机- 无穷大系统的数学模型

从宏观上来看, 发电机有三个绕组, 分别是定子绕组、转子绕组以及阻尼绕组, 而这几个绕组之间都存在磁耦合, 同时由于转子的位置在不断地变化, 这必然导致绕组之间的磁耦合与转子位置存在着函数系。所以, 励磁控制系统的模型是非常复杂的, 也是一个随着时间而变化的动态过程。在一定的约束范围下, 一个简单的模型可以代替一个复杂的模型, 因为那些次要的因数对整个励磁控制系统的影响并不大。因此, 可以采用图2所示的单机——无穷大母线输电系统的数学模型[6,7]。

2 自并励发电机励磁系统线性二次型最优控制器设计

2.1 线性最优控制原理

线性最优控制原理就是选取最优的控制规律, 在特定的指标约束条件下让控制系统性能达到最优。最优控制系统框图3 所示。

线性定常系统状态空间方程的一般形式为:

式中, A为状态系数矩阵;B为控制系数矩阵;X为n维状态向量;U为r维控制向量。

如图3 所示, 可以引入状态反馈构成闭环系统以达到改善系统性能。反馈系统的状态向量为:

式中, K为状态反馈增益矩阵。

将式 (1) 和式 (2) 合并, 可以得到:

由 (3) 可见, 最优控制的本质就是选取反馈矩阵K, 以使它在给定控制规律下达到特定条件下的最优[8,9,10,11]。

2.2二次型性能指标

式中, J是随函数y (t) 而变化的一个泛函数, 是在0~ ∞时间内求取偏差平方的积分, 称为二次型指标。

在二次型性能指标中, 也需要引入控制量约束。如果没有这个约束, 所设计的控制器中, 控制量的变化范围可能会很大, 难以实现。引入控制量约束的二次型指标为:

式中Q和R分别表示态向量和控制向量的权矩阵。

为了便于分析, 通常把系统平衡点置于状态空间的原点, 即X (t) =0, 则式 (6) 可以变换为:

公式 (7) 作为性能指标设计最优控制系统的唯一依据, 而且可以证明这个最优控制规律是存在且唯一的, 表达式为:

2.3 线性二次型最优控制器的数学模型

本文的研究对象是建立在某水电站7MW的水轮发电机上, 利用可控硅的自并励励磁方式, 建立比较精准的同步发电机数学模型七阶派克模型[13]。由于转子绕组的时间常数与定子绕组的时间常数大得多, 所以, 在建立线性最优励磁控制器的数学模型时, 可以忽略不计, 而且在满足一定的约束范围内, 为了简化计算, 还可以作如下的假设[10]:

(1) 同步发电机的此暂态过程可以忽略;

(2) 同步发电机定子回路电阻与输电线路电阻对模型建立的影响极小, 可以忽略不计;

(3) 忽略转速变化对电磁过程的影响, 用恒定阻尼系数D来反映机械阻尼转矩的影响;

(4) 励磁机的时间常数Te≈0, 系统控制量是发电机的励磁绕组的偏差ΔEf。

由于转子的运动偏差方程为:

励磁绕组的动态偏差方程为:

所以系统状态方程为:

式 (14) 即为在单机无穷大系统条件下, 最优励磁控制系统的状态空间方程。下面对该状态方程中的相关变量的求解作一阐述。

无论是对于凸极机还是隐极机有:

在以上各式中, Vs表示无穷大母线电压, δ称为转子运行角, Td0为定子绕组开路时励磁绕组的时间常数, D为机组的阻尼系数[12,13,14]。

2.4 7MW线性二次型最优励磁控制系统设计

由线性二次型最优励磁控制系统的数学模型如式 (14) 知, 系数矩阵:

7MW水轮发电机的仿真参数如表1所示:

由上面的数据, 可以计算出q轴电势, 暂态电势与阻尼系数为

则系数矩阵分别为

由于D=[B AB A2B], 经计算D的行列式不等于零。根据控制理论, 该励磁控制系统完全可控。

3 算例仿真分析

3.1 仿真模型的建立

为了保证所研究的问题具有普遍性, 本文仍是采用单机无穷大系统这个模型为基本假设, 建立7MW的同步发电机多变量线性最优二次型励磁控制系统的仿真模型如下图5, MATLAB提供的模块有7MW同步发电机 (Synchronous Machine) 、出口侧升压变压器、励磁调节器 (Excitation system) 、测量元件等[14,15,16,17]。

上图4 仿真模型中的励磁控制器的内部模型如下图5

同时, 为了验证本文设计的线性二次型最优励磁控制器的合理性、正确性。因此与AVR+PSS励磁控制器在静态小扰动和暂态大扰动下的控制效果进行对比。

3.2 在线性二次型最优励磁控制与AVR+PSS励磁控制下的静态小扰动仿真

由图6 与图7 可知, 在最优控制与AVR+PSS控制两种控制下, 施加相同的小扰动, 无论是从波动的幅度还是持续波动的时间的角度来看, 最优控制下的励磁控制器有绝对的优势, 因为它不仅波动的幅度小, 而且持续的波动时间也短, 对小扰动表现了更强的适应性。

3.3 在线性二次型最优励磁控制与AVR+PSS励磁控制下的暂态大扰动仿真

由图8 与图9 可知, 在线性二次型最优控制与AVR+PSS控制两种控制下, 施加相同的大扰动, 无论是从波动的幅度还是持续波动的时间的角度来看, 最优控制下的励磁控制器有绝对的优势, 因为它不仅波动的幅度小, 而且持续波动的时间也短, 对大扰动表现了更强的动态特性。

4 结论

区间线性双层规划的最好最优解 篇7

自从Stackelberg应用Stackelberg博弈模型对非均衡市场进行了成功的研究[1]之后, 双层规划作为一种处理递阶决策问题的模型与方法, 被人们广泛地应用与研究。不仅在双层规划的理论研究上取得了重大的成果, 而且还提出了许多求解双层规划的算法, 比如K次最好法[2]、K-T条件法[3,4]、罚函数法[5]、启发式算法[6]以及模糊算法[7,8]等。上述算法都要求所有参数均为常数。然而, 在现实的决策环境中, 各种参数往往是不确定的。因此, 随机规划和模糊规划被提出来解决这一问题。但是, 提前指定参数的概率分布或隶属度函数并非易事, 有时甚至是不合理的。某些情况下, 决策者只知道参数的上界和下界, 可以用区间规划来处理这类问题。

目前, 求解单层区间规划的方法主要分为两种:第一种方法将区间目标函数转化为由区间端点值、区间中值和区间宽度构成的多目标或单目标函数, 基于区间数排序将区间约束条件转化为确定型约束条件, 求解确定型规划, 最终给出该区间规划的一个满意解[9];第二种方法是直接求得区间规划目标函数的取值区间[10]。两种方法的本质区别是前者在求解过程中融合了决策者的偏好直接做出决策, 而后者只是在现有数据的基础上挖掘出更多的信息以供决策者参考。同时, 后者求出的目标函数的最好值和最差值也是前者建立决策偏好 (满意度函数) 经常用到的参数。相比根据目标函数的上下界估计建立的满意度函数, 根据后者方法求出的目标函数最好值和最差值建立满意度函数, 更能准确地反映决策者的偏好以及满意程度。

本文采用第二种方法处理区间线性双层规划问题。首先定义区间线性双层规划的最好最优解以及最好最优值, 然后提出基于K次最好法的求解方法, 并分析下层目标函数系数的变动对最好最优解的影响, 最后用数值例子验证该算法的有效性和可行性。

2 区间线性双层规划及其解的概念

本文考虑如下形式的区间双层线性规划:

$\underset{x{}_1,\cdots ,x{}_m}{{\displaystyle \min }}F(x,y)={\displaystyle \sum _{i=1}^{m}c}{}_{1i}x{}_i+{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}d}{}_{1j}y{}_j$

其中y1, …, yn是规划

$\begin{array}{l}\underset{y{}_1,\cdots ,y{}_n}{{\displaystyle \min }}f(x,y)={\displaystyle \sum _{i=1}^{m}c}{}_{2i}x{}_i+{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}d}{}_{2j}y{}_j\\ \text{s}.\text{t}.{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}a}{}_{ki}x{}_i+{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}b}{}_{kj}y{}_j\ge h{}_k,k=1,\cdots ,p\\ x{}_i\ge 0,y{}_j\ge 0,i=1,\cdots ,m,j=1,\cdots ,n\end{array}(1)$

的解。其中, $c{}_{1i}\in [\underset{¯}{c}{}_{1i},\overline{c}{}_{1i}],c{}_{2i}\in [\underset{¯}{c}{}_{2i},\overline{c}{}_{2i}],d{}_{1j}\in [\underset{¯}{d}{}_{1j},\overline{d}{}_{1j}],d{}_{2j}\in [\underset{¯}{d}{}_{2j},\overline{d}{}_{2j}],a{}_{ki}\in [\underset{¯}{a}{}_{ki},\overline{a}{}_{ki}],b{}_{kj}\in [\underset{¯}{b}{}_{kj},\overline{b}{}_{kj}],h{}_k\in [\underset{¯}{h}{}_k,\overline{h}{}_k],i=1,\cdots ,m,j=1,\cdots ,n,k=1,\cdots ,p.$

模型 (1) 的矩阵-向量形式可表示为:

$\underset{x}{{\displaystyle \min }}F(x,y)=c{}_{1}x+d{}_{1}y$

其中y是规划

$\begin{array}{l}\underset{y}{{\displaystyle \min }}f(x,y)=c{}_{2}x+d{}_{2}y,\\ \text{s}.\text{t}.Ax+By\ge h\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}(2)$

的解。其中, 行向量$c{}_1=(c{}_{11},\cdots ,c{}_{1m})\in [\underset{¯}{c}{}_1,\overline{c}{}_1],c{}_2=(c{}_{21},\cdots ,c{}_{2m})\in [\underset{¯}{c}{}_2,\overline{c}{}_2],d{}_1=(d{}_{11},\cdots ,d{}_{1n})\in [\underset{¯}{d}{}_1,\overline{d}{}_1],d{}_2=(d{}_{21},\cdots ,d{}_{2n})\in [\underset{¯}{d}{}_2,\overline{d}{}_2]$, 矩阵$A=(a{}_{ki}){}_{p\times m}\in [\underset{¯}{A},\overline{A}],B=(b{}_{kj}){}_{p\times n}\in [\underset{¯}{B},\overline{B}],$列向量h= (h1, …, hp) T∈$[\underset{¯}{h},\overline{h}],x=(x{}_1,\cdots ,x{}_m){}^{{\rm T}},y=(y{}_1,\cdots ,y{}_n){}^{{\rm T}}$, 区间线性双层规划的约束域记为S (A, B, h) ={ (x, y) |x≥0, y≥0, Ax+By≥h}。

假设1 在区间系数的取值范围内, 任取 (A, B, h) , 约束域非空且为紧集。

假设2 在区间系数的取值范围内, 任取 (c1, c2, d1, d2, A, B, h) , 对任意x∈{x:∃y, x≥0, y≥0, Ax+By≥h}, 下层规划有唯一最优解。

定义1 在区间系数的取值范围内, 任取 (c1, c2, d1, d2, A, B, h) , 模型 (1) 转变为确定型线性双层规划, 称该规划的最优解为 (1) 的一个可能最优解, 称相应的目标函数值F (x, y) 为 (1) 的一个可能最优值。

定义2 区间线性双层规划 (1) 的可能最优值的集合记为Ω, 称$\overline{F}=\min \{F|F\in \Omega \}$为 (1) 的最好最优值, 相应的解称为 (1) 的最好最优解。

定义3 若存在$c{}_1^{*}\in [\underset{¯}{c}{}_1,\overline{c}{}_1],d{}_1^{*}\in [\underset{¯}{d}{}_1,\overline{d}{}_1]$, 使得对任意的$c{}_1\in [\underset{¯}{c}{}_1,\overline{c}{}_1]$和$d{}_1\in [\underset{¯}{d}{}_1,\overline{d}{}_1]$有c*1x+d*1y≤c1x+d1y, 则称c*1x+d*1y为区间线性双层规划 (1) 的最优目标函数。

定义4 若存在$A{}^{*}\in [\underset{¯}{A},\overline{A}],B{}^{*}\in [\underset{¯}{B},\overline{B}]$和$h{}^{*}\in [\underset{¯}{h},\overline{h}]$, 使得对任意$A\in [\underset{¯}{A},\overline{A}],B\in [\underset{¯}{B},\overline{B}]$和$h\in [\underset{¯}{h},\overline{h}]$均有S (A, B, h) ⊆S (A*, B*, h*) , 则称S (A*, B*, h*) 为区间线性双层规划 (1) 的最大约束域。

由x≥0, y≥0, 显然有以下定理成立:

定理1 区间线性双层规划 (1) 的最优目标函数为$\underset{¯}{c}{}_{1}x+\underset{¯}{d}{}_{1}y.$

定理2 区间线性双层规划 (1) 的最大约束域为S ($\overline{A}$, $\overline{B}$, $\underset{¯}{h})$。

3 K次最好法

Bard给出了线性双层规划的基本定理[11]:

定理3 若约束域非空且为紧集, 且下层规划有唯一最优解, 则最优解在约束域的一个顶点上达到。

将定理3扩展到区间线性双层规划, 即:

定理4 在假设条件1、2下, 区间线性双层规划 (1) 的最好最优解在其最大约束域S ($\overline{A}$, $\overline{B}$, $\underset{¯}{h})$的一个顶点 (x*, y*) 上达到, 区间线性双层规划的最好最优值为$\underset{¯}{c}{}_{1}x{}^{*}+\underset{¯}{d}{}_{1}y{}^{*}.$

证明S ($\overline{A}$, $\overline{B}$, $\underset{¯}{h})$为区间线性双层规划 (1) 的最大约束域, 根据定义4, 对任意$A\in [\underset{¯}{A},\overline{A}],B\in [\underset{¯}{B},\overline{B}]$和$h\in [\underset{¯}{h},\overline{h}]‚S(A,B,h)$的顶点是S ($\overline{A}$, $\overline{B}$, $\underset{¯}{h})$的内点或者顶点。由定理3可知, (1) 的最好最优解在S ($\overline{A}$, $\overline{B}$, $\underset{¯}{h})$的一个顶点 (x*, y*) 达到。由定理1、定义2和定义3可知, $\underset{¯}{c}{}_{1}x{}^{*}+\underset{¯}{c}{}_{1}y{}^{*}$是 (1) 的最好最优值。

基于定理4, 设计K次最好法求解最好最优解。算法的基本思想为:按$\underset{¯}{c}{}_{1}x{}^{[q]}+\underset{¯}{d}{}_{1}y{}^{[q]}$取值的升序枚举S ($\overline{A}$, $\overline{B}$, $\underset{¯}{h})$的顶点 (x[q], y[q]) , q=1, 2, …, 若存在$c{}_2^{*}\in [\underset{¯}{c}{}_2,\overline{c}{}_2]$和$d{}_2^{*}\in [\underset{¯}{d}{}_2,\overline{d}{}_2]$使得y[q]是x=x[q]时下层规划的解, 那么 (x[q], y[q]) 即为最好最优解, $\underset{¯}{c}{}_{1}x{}^{[q]}+\underset{¯}{d}{}_{1}y{}^{[q]}$为最好最优值。

为方便讨论, 以下假设$\overline{A}x+\overline{B}y\ge \overline{h}$中已经包含了x≥0, y≥0。对于上层规划给定的x=x[q], 下层规划如何选择y仅与d2的取值有关, 与c2没有关系。为了检验y[q]是否是x=x[q]时下层规划的解, 只需考虑下层规划的K-T条件:

$\{\begin{array}{l}\underset{¯}{d}{}_2\le d{}_2=\gamma {}^{{\rm T}}\overline{B}\le \overline{d}{}_2\\ \gamma {}_k\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m\overline{a}}{}_{ki}x{}_i^{[q]}+{\displaystyle \sum _{j=1}^n\overline{b}}{}_{kj}y{}_j^{[q]}-\underset{¯}{h}{}_k\right)=0\\ \gamma {}_k\ge 0,k=1,\cdots ,p\end{array}(3)$

如果存在K-T乘子向量γ= (γ1, …γp) T使得式 (3) 成立, 那么存在$d{}_2^{*}\in [\underset{¯}{d}{}_2,\overline{d}{}_2]$使得y[q]为x=x[q]时下层规划的最优解, 并且相应的d2的取值范围可以由γ的取值范围间接确定。

定义5 给定x=x[q], A, B, h, 令$S{}_1=\{y|{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}a}{}_{ki}x{}_i^{[q]}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}b}{}_{kj}y{}_j\ge h{}_k,k=1,\cdots ,p\}‚S{}_2=\{y|{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}a}{}_{ki}x{}_i^{[q]}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}b}{}_{kj}y{}_j\ge h{}_k,k=1,\cdots ,p,k\ne k{}_0\}$, 如果S1=S2, 则称${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}a}{}_{k{}_{0}i}x{}_i^{[q]}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}b}{}_{k{}_{0}j}y{}_j\ge h{}_{k{}_0}$为 (x[q], A, B, h) 下的非有效约束 (非有效约束的识别算法参见文献[12]) 。

K次最好法的具体步骤如下:

Step1 置q=1, 应用单纯形法求解如下线性规划问题$\underset{x}{{\displaystyle \min }}\{\underset{¯}{c}{}_{1}x+\underset{¯}{d}{}_{1}y|\overline{A}x+\overline{B}y\ge \underset{¯}{h}\}$得到最优解 (x[1], y[1]) 。令W={ (x[1], y[1]) }, T=K[1]1=K[1]2=∅.

Step2 依次检查约束条件, 如果约束条件满足${\displaystyle \sum _{i=1}^m\overline{a}}{}_{ki}x{}_i^{[q]}+{\displaystyle \sum _{j=1}^n\overline{b}}{}_{kj}y{}_j^{[q]}\ne \underset{¯}{h}{}_k$, 则令γk=0且K[q]1=K[q]1∪{k}。

Step3 为保证约束条件梯度线性无关, 依次检查约束条件, 若${\displaystyle \sum _{i=1}^m\overline{a}}{}_{ki}x{}_i^{[q]}+{\displaystyle \sum _{j=1}^n\overline{b}}{}_{kj}y{}_j\ge \underset{¯}{h}{}_k$是 (x[q], $\overline{A}$, $\overline{B}$, $\underset{¯}{h})$下的非有效约束, 令γk=0, K[q]1=K[q]1∪{k}, K[q]3={1, …, p}-K[q]1-K[q]2;如果第k1个和第k2个约束可构成一个等式约束, 即$\overline{b}{}_{k{}_{1}j}/\overline{b}{}_{k{}_{2}j}=(\underset{¯}{h}{}_{k{}_1}-\overline{a}{}_{k{}_{1}i}x{}_i^{[q]})/(\underset{¯}{h}{}_{k{}_2}-\overline{a}{}_{k{}_{2}i}x{}_i^{[q]})=e<0$成立, 令K[q]1=K[q]1∪{k1}, K[q]2=K[q]2∪{k2}, K[q]3={1, …, p}-K[q]1-K[q]2, γk1=0, γk2为无约束变量。

Step4 若凸集${\rm N}{}^{[q]}=\{\gamma |\underset{¯}{d}{}_2\le \gamma {}^{{\rm T}}\overline{B}\le \underset{¯}{d}{}_2,\gamma {}_{k{}_1}=0,\gamma {}_{k{}_3}>0,k{}_1\in {\rm K}{}_1^{[q]},k{}_3\in {\rm K}{}_3^{[q]}\}$非空, 停止, 令K=q, (x[K], y[K]) 即为最好最优解, $\underset{¯}{c}{}_{1}x{}^{[{\rm K}]}+\underset{¯}{d}{}_{1}y{}^{[{\rm K}]}$为最好最优值, 相应的系数集为$\{(c{}_1,c{}_2,d{}_1,d{}_2,A,B,h)|c{}_1=\underset{¯}{c}{}_1,c{}_2\in [\underset{¯}{c}{}_2,\overline{c}{}_2],d{}_1=\underset{¯}{d}{}_1,A=\overline{A},B=\overline{B},d{}_2=\gamma {}^{{\rm T}}\overline{B},\gamma \in {\rm N}{}^{[{\rm K}]},h=\underset{¯}{h}\}$;否则转step5。

Step5 令W[q]为由 (x[q], y[q]) 的相邻顶点构成的集合, 这些顶点 (x, y) ∈W[q]均满足$\underset{¯}{c}{}_{1}x+\underset{¯}{d}{}_{1}y\ge \underset{¯}{c}{}_{1}x{}^{[q]}+\overline{d}{}_{1}y{}^{[q]}$.置T=T∪{ (x[q], y[q]) }, W={W∪W[q]}T.

Step6 置q=q+1, 选择 (x[q], y[q]) 且$\underset{¯}{c}{}_{1}x{}^{[q]}+\underset{¯}{d}{}_{1}y{}^{[q]}=\min \{\underset{¯}{c}{}_{1}x+\underset{¯}{d}{}_{1}y|(x,y)\in W\}$, 置K[q]1=K[q]2=∅.转Step2。

注1 对给定的$d{}_2^{*}\in \{d{}_2|d{}_2=\gamma {}^{{\rm T}}\overline{B},\gamma \in {\rm N}{}^{[{\rm K}]}\}$及$A=\overline{A},B=\overline{B},h=\underset{¯}{h}$, 区间线性双层规划 (1) 的最优值区间为$[\underset{¯}{c}{}_{1}x{}^{[{\rm K}]}+\underset{¯}{d}{}_{1}y{}^{[{\rm K}]},\overline{c}{}_{1}x{}^{[{\rm K}]}+\overline{d}{}_{1}y{}^{[{\rm K}]}]$。

注2 对给定的$d{}_2^{*}\notin \{d{}_2|d{}_2=\gamma {}^{{\rm T}}\overline{B},\gamma \in {\rm N}{}^{[{\rm K}]}\}$但$d{}_2^{*}\in [\underset{¯}{d}{}_2,\overline{d}{}_2]$, 只需从算法的Step5继续执行, 即可获得相对于d*2的最好最优解和最好最优值, 因为顶点 (x[1], y[1]) 到 (x[K], y[K]) 已经被检验过。

4 算例

考虑区间线性双层规划:

$\underset{x}{{\displaystyle \min }}[-2,-1]y$

其中y是规划

$\begin{array}{l}\underset{y}{{\displaystyle \min }}[2,3]x+[-1,2]y\\ \begin{array}{l}\text{s}.\text{t}.g{}_1:[0.5,1]x+[1,2]y\ge [10,12]\\ g{}_2:[-2,-1]x+[1.5,2]y\ge [-6,-5]\\ g{}_3:[-3,-2]x+[0.6,1]y\ge [-21,-18]\\ g{}_4:[-1.5,-1]x+[-3,-2]y\ge [-38,-36]\\ g{}_5:[0.6,1]x+[-3,-2]y\ge [-18,-15],\\ g{}_6:x\ge 0\\ g{}_7:y\ge 0\end{array}(4)\end{array}$

蹬解。

求解过程如下:

Step1 q=1, (x[1], y[1]) = (10, 14) , W={ (10, 14) }, T=K[1]1=K[1]2=∅.

Step2 γ1=γ2=γ3=γ6=γ7=0, K[1]1={1, 2, 3, 6, 7}。

Step3 g4为非有效约束, 令γ4=0, K[1]1={1, 2, 3, 4, 6, 7}, K[1]3={5}。

Step4${\rm N}{}^{[1]}=\{\gamma |0<\gamma {}_5\le \frac{1}{2},\gamma {}_1=\gamma {}_2=\gamma {}_3=\gamma {}_4=\gamma {}_6=\gamma {}_7=0\}\ne \varnothing$.停止, K=1。最好最优解为 (10, 14) , 最好最优值为-28, 相应的系数集为$\{(c{}_1,c{}_2,d{}_1,d{}_2,A,B,h)|c{}_1=0,c{}_2\in [2,3],d{}_1=-2,d{}_2\in [-1,0),A=\overline{A},B=\overline{B},h=\underset{¯}{h}\}$。

对于d2∉[-1, 0) , 我们可以从Step5继续执行上面的算法来求得区间线性规划 (1) 的最好最优解。下面以d2=2为例。

Loop1:W[1]={ (16, 11) , (0, 9) }, T={ (10, 14) }, W={ (16, 11) , (0, 9) }, 转Step 6。置q=2, 选择 (x[2], y[2]) = (16, 11) , 置K[2]1=K[2]2=∅, 转Step2。

Loop2:γ1=γ2=γ5=γ6=γ7=0, K[1]1={1, 2, 5, 6, 7}, 转Step3。合并约束g3和g4为一个等式约束, 即y=11。令γ3=0, γ4为无约束变量。K[2]1={1, 2, 3, 5, 6, 7}, K[2]2={4}, K[2]3=∅.转Step4。N[2]={γ|γ4=-1, γ1=γ2=γ3=γ5=γ6=γ7=0}≠∅.停止, K=2。最好最优解为 (16, 11) , 最好最优值为-22, 相应的系数集为$\{(c{}_1,c{}_2,d{}_1,d{}_2,A,B,h)|c{}_1=0,c{}_2\in [2,3],d{}_1=-2,d{}_2=2,A=\overline{A},B=\overline{B},h=\underset{¯}{h}\}$。

5 结语

应用双层规划对现实决策问题进行建模时, 经常会遇到各种系数很难给出确定数值, 只能估计系数变化区间的情况。本文引入了区间线性双层规划的最好最优解和最好最优值的概念, 提出K次最好法求解, 分析下层目标函数系数变动对最好最优值的影响, 从而为决策者提供决策依据, 而不是引入决策偏好来消除决策的不确定性。同时, 最好最优解和最好最优值也是建立满意度函数的必要参数。数值算例验证的算法的有效性和可行性。

摘要：针对目标函数系数和约束条件系数均为区间数的线性双层规划问题, 提出了区间线性双层规划的最好最优解和最好最优值的定义, 提出了K次最好法来求解最好最优解, 并分析了下层目标函数的系数的变动对最好最优解的影响, 数值例子验证的该方法的有效性和可行性。

关键词：线性双层规划,区间系数,最好最优解,K次最好法

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[11]Bard J.Practical bilevem optimization:algorithmsand applications[M].Kluwer Academic Publishers, 1998.

基于VB线性规划优化模型最优解 篇8

一、问题的引出

某食品厂用四种原料L1、L2、L3、L4生产一种儿童点心, 要求该点心中的蛋白质、脂肪、钙磷、铁锌及维生素C的含量每公斤分别不低于280千卡、14克、200毫克、3毫克、100毫克。四种原料的单价及每种所含营养素见表1, 原料配制精度为0.01kg。问应如何配制该食品, 使得所需要的原料成本最低。

二、建模

2.1矩阵序列。由表1列出矩阵序列[4,5]:

2.2确定目标方程。目标方程是最终要达到的成本最小化的结果函数, 它由四种原料合成的价格组成, 由矩阵序列中的C获取。

设四种原料的用料量分别为A1、, A2、A3、A4千克, 则目标方程值Min Ma:

2.3确定约束条件。由矩阵表达式中的A、b列出[6,7,8]。

对于蛋白质含量, 四种原料要求满足表达式:

同理, 对于其他四种营养成份, 其约束条件分别为:

四种原料的用量均为正值, 因此还有以下约束条件:

三、算法实现

约束条件表达式 (2) - (7) 涉及的变量多、条件多, 用通常解决线性规划问题的方法解此问题是非常困难的。而计算机程序由于运行速度快, 可以编写计算机程序加以实现, 获得可行解[9,10]。

3.1解方程法

在式 (2) - (6) 五个条件中先取出任意四个, 比如 (2) 、 (3) 、 (4) 、 (5) , 按四元一次方程分别列出计算A1-A4的表达式, 通过运行程序计算出A1-A4的值。再将所得到的A1-A4的值代入 (6) 式, 观察所得到的结果是否满足 (6) 式的要求, 分为三种情况:

(1) 在一定范围内满足, 比如大于而非远大于15, 程序结束。 (2) 小于15, 此时不能满足营养要求。需要不断地增加A1-A4的值, 可以通过四重循环语句不断地进行调整, 每调整一次, 观察 (6) 式满足否, 直到满足为止。 (3) 远大于15, 如5倍以上。此时不能采用降A1-A4值的方法来满足 (6) 式, 否则会造成其他条件不能满足, 而必须重新选择约束条件, 比如 (2) 、 (3) 、 (4) 、 (6) , 进行重复操作, 直到满足要求。

在条件表达式最恶劣的情况下, 程序运行时间小于3秒钟。此法在约束条件数目较小时可以应用, 但是当约束条件较多时, 手工解方程的过程相当漫长。

3.2逐渐趋近法。此种方法充分利用计算机程序快速解决级数问题的优势, 逐渐增加基变量或非基变量的值, 直至达到目标函数所要求的解。

用VB语言编写程序。

考虑到最低成本要求, 由于原料L4的成本最低, 而L1的成本最高, 应当尽量加大原料L4的使用量, 所以相对应的变量A4将作为四重循环中的最内层循环, 而成本最高的A1变量则作为最外层循环。

由于参数设置的随机性很强, 很有可能造成题目无解的情况, 应有相应的提示。

运行结果, 制作1公斤此点心, 原料L1、L2、L3、L4的需要量分别为0.01、0.11、0.11、0.81公斤, 成本22.65元, 所包含的热量、蛋白质、钙磷、铁锌、维生素C分别为313.8T千卡、17.85克、235毫克、5.71毫克、162.58毫克, 满足要求。

四、结束语

编制计算机程序解决线性规划问题快速而高效, 但是, 由于不同的生产问题所涉及到的目标函数、约束条件、变量个数均不相同, 甚至涉及到几十个约束条件, 因此, 编制通用程序解决线性规划问题还有相当大的难度, 不同的问题仍然需要单独编写代码, 但是由于这一类程序代码的编写并不复杂, 因此, 对此类线性规划问题采用计算机求解是很值得的。

摘要：在生产实践中经常遇到解线性规划最优解的问题, 按传统解法, 需要先经过确定初始基、换基、检验数判优等操作, 过程十分复杂。利用计算机程序快速、高效的特点, 将线性规划问题编制为程序代码, 迅速获得结果。

关键词：线性规划,算法,目标函数,原料,成本

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非线性最优控制 篇9

经典最优试验设计理论假设响应曲面为真, 但在对所采用线性模型的准确性没有足够认识的前提下, 总是希望预测值与真实响应值之间的误差达到最小。

基于均方误差准则下的试验设计能使所拟合的模型预测效果最好。对于单响应线性模型, William J.Welch给出了判别准则以及构造最优设计的方法[1]。但现实中, 多响应线性模型应用更为广泛, 然而多响应情形涉及到复杂的设计矩阵, 不易于数学推导。值得注意的是Khuri在处理多响应线性模型时运用了对各响应进行线性组合的方法将原多响应模型转化为新的单响应模型[2], 避免了繁琐的矩阵处理。由此, 只要对线性组合系数有合理的定位, 那么完全可以将这种技巧应用于均方误差准则下多响应线性模型的最优试验设计上。本文即以此方法建立了多响应情形下的判别准则和构造最优设计的方法, 从而使得拟合的多响应线性模型有理想的预测效果。解决了多响应线性模型预测的试验设计问题。

1模型转换

在设计区域S上, 设在任意水平x处的各响应观测为$y{}_i\left(x\right),i=1,2,\cdots ,r$, 选用线性模型为

式 (1.1) 中fi为ki维函数向量, βi为ki维参数向量。令响应向量$y=\left(y{}_1,\cdots ,y{}_r\right)$, 而$f\text{'}=\left(f\text{'}{}_1,\cdots ,f^{\prime }{}_2\right)‚\beta =\text{d}\text{i}\text{a}\text{g}\left(\beta {}_1,\cdots ,\beta {}_r\right)$, 记$k={\displaystyle \sum _{i=1}^r}k{}_i$, 则模型 (1.1) 可表示为多响应线性模型:

不失一般性地, 假设y服从r维正态分布, 其协方差阵为$\Sigma =\left(\sigma {}_{ij}\right){}_{r\times r}$为已知的r维常数方阵。

利用对响应作线性组合的方法可将复杂的多响应模型转化为简单的单响应线性模型。方法如下:

设有r×1维常数向量$c=\left(c{}_1,\cdots ,c{}_r\right)´$。令$y{}_c\left(x\right)=y\left(x\right)c‚\beta {}_c=\beta c=\left(c{}_1{\beta }^{\prime }{}_1,\cdots ,c{}_r{\beta }^{\prime }{}_r\right)´$是k维参数向量, 则模型 (1.2) 转化为单响应模型:

$Ey{}_c\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)\beta {}_c={\displaystyle \sum _{i=1}^r}c{}_i{f}^{\prime }{}_i\left(x\right)\beta {}_i$ (1.3)

且设$\sigma {}_c^2=\mathrm{var}\left(y{}_c\right)=\mathrm{var}\left(yc\right)=c^{\prime }{\displaystyle \sum c}={\displaystyle {\sum }_{i=1}^{r}c}{}_i^2\sigma {}_{ii}+2{\displaystyle {\sum }_{i\ne j}c}{}_{ij}\sigma {}_{ij}$。

对于组合系数向量c的确定, 仍采用Khuri的方式[2]。为使模型能有最大的失拟检验功效, 检验模型 (1.3) 的F统计量为$\frac{c^{\prime }G{}_{1}c}{c^{\prime }G{}_{2}c}=\lambda {}_{\max }\left(G{}_{1}G{}_2^{-1}\right){}^{[3,4]}$, 其中矩阵G1, G2的定义可参阅参考文献[2], 而$\lambda {}_{\max }\left(G{}_{1}G{}_2^{-1}\right)$表示G1 G${}_2^{-1}$的最大特征值, 相应的组合系数向量c即为$\lambda {}_{\max }\left(G{}_{1}G{}_2^{-1}\right)$对应的标准特征向量。

2判别准则

设计区域$S=\left\{x{}_1,x{}_2,\cdots ,x{}_l\right\}$, 其中xj为第j个试验水平 (j=1, 2, …, l) 。对任一含n个水平 (可重复) 的设计

$\xi {}_n=\left(\begin{array}{l}x{}_{1}x{}_2\cdots x{}_1\\ \frac{n{}_1}{n}\frac{n{}_2}{n}\cdots \frac{n{}_1}{n}\end{array}\right),n{}_j\ge 0,{\displaystyle \sum _{j=1}^l}n{}_j=n$

, 构造模型 (1.3) 响应估计值与其真实值的均方误差:

$\begin{array}{l}J=\frac{n}{\sigma {}_c^2{\displaystyle {\int }_S\text{d}}\xi {}_n}{\displaystyle {\int }_{S}E}\left[\widehat{y}{}_c\left(x\right)-y{}_c\left(x\right)\right]{}^2\text{d}\xi {}_n=\\ \frac{n}{\sigma {}_c^{2}l}{\displaystyle \sum _{j=1}^{l}E}\left[\widehat{y}{}_c\left(x{}_j\right)-y{}_c\left(x{}_j\right)\right]{}^2=\\ \frac{n}{\sigma {}_c^{2}l}{\displaystyle \sum _{j=1}^l\mathrm{var}}\widehat{y}{}_c\left(x{}_j\right)+\frac{n}{\sigma {}_c^{2}l}{\displaystyle \sum _{j=1}^l\left[E\widehat{y}{}_c\left(x{}_j\right)-y{}_c\left(x{}_j\right)\right]}{}^2。\end{array}$

可令:

$\{\begin{array}{l}V\left(\xi {}_n\right)=\frac{n}{\sigma {}_c^{2}l}{\displaystyle \sum _{j=1}^l\text{v}}\text{a}\text{r}\widehat{y}{}_c\left(x{}_j\right),\\ B\left(\xi {}_n\right)=\frac{n}{\sigma {}_c^{2}l}{\displaystyle \sum _{j=1}^l\left[E\widehat{y}{}_c\left(x{}_j\right)-y{}_c\left(x{}_j\right)\right]}{}^2,\end{array}$

则均方误差$J\left(\xi {}_n\right)=V\left(\xi {}_n\right)+B\left(\xi {}_n\right)$。

显然希望均方误差J达到最小, 即最优试验设计$\xi {}_n=\arg \underset{\xi {}_n}{{\displaystyle \min }}J\left(\xi {}_n\right)$。注意到V只与ξn有关, 而B受ξn及响应值的影响, 故上述最优设计难以实现。

设反应响应与水平间关系的真实模型为:

令$z=\left(z{}_1,\cdots ,z{}_r\right)$, 则模型 (2.1) 可表示为多响应模型:

类似地, 化为单响应模型:

其中zc=zc。

在设计区域$S=\left\{x{}_1,x{}_2,\cdots ,x{}_l\right\}$上, 模型 (2.3) 也即:

并令$z{}_{\max }=\underset{1\le j\le l}{{\displaystyle \max }}\left|z{}_{cj}\right|‚{\rm Z}{}_c=\left(z{}_{c1},\cdots ,z{}_{cl}\right)´$, 定义:

此时, 有新的且可行的最优设计判别准则, 即最优设计满足:

3最优设计的构造

对设计ξn, 设$p{}_j=\frac{n{}_j}{n},j=1,2,\cdots ,l$, 构造上述最优设计即选取p1, …, pl使$J{}^{*}\left(p{}_1,\cdots ,p{}_l\right)$达到最小。

定义设计矩阵$F{}_{l\times k}=\left(f^{\prime }\left(x{}_1\right),\cdots ,f^{\prime }\left(x{}_l\right)\right)´‚{\rm P}=\text{d}\text{i}\text{a}\text{g}$$\left(p{}_1,\cdots ,p{}_l\right)‚p=\left(p{}_1,\cdots ,p{}_l\right)´$, 则信息阵即为${\rm M}=F^{\prime }{\rm P}F={\displaystyle \sum _{j=1}^l}p{}_{j}f\left(x{}_j\right)f^{\prime }\left(x{}_j\right)$, 假定可逆。又设$Y{}_c=\left(y{}_c\left(x{}_1\right),\cdots ,y{}_c\left(x{}_l\right)\right)´$, 于是 (2.4) 即模型:

根据William J.Welch (1983) 的结论, 对前述V, B成立:

$\{\begin{array}{l}V\left(p\right)=\text{t}\text{r}\left[{\rm M}{}^{-1}\left(p\right){\rm M}\left(p{}_{un}\right)\right],\\ B\left(p,{\rm Z}{}_c\right)=\frac{n}{\sigma {}_c^{2}l}{{\rm Z}}^{\prime }{}_c\left(FQ-{\rm I}\right)´\left(FQ-{\rm I}\right){\rm Z}{}_c,\end{array}$

其中pun指均匀设计:$p{}_1=\cdots =p{}_l=\frac{1}{l}‚Q={\rm M}{}^{-1}{F}^{\prime }{\rm P}$。

而在$\left|z{}_{cj}\right|\le z{}_{\max },j=1,2,\cdots ,l$区域内, 显然B在区域顶点达到最大, 区域顶点共2l种:$\left(\pm z{}_{\max },\cdots ,\pm z{}_{\max }\right)´$。由此建立:

其中$\alpha =\frac{nz{}_{\max }^2}{\sigma {}_c^2}‚B{}^{**}=\text{t}\text{r}$$\left[Q{Q}^{\prime }{\rm M}(p{}_{un})\right]-\frac{2k}{l}+1$, 此时J**仅依赖于p, 构造最优设计即选择p使J**达到最小。当然不能找到同时使V, B**达到最小的p的显式解, 但可以给出构造近似最优设计的迭代算法[5,6]:

步骤: (1) 选择初始设计p (0) ; (建议采用均匀设计) 。

(2) 计算l个梯度:

$g{}_j\left(p{}^{\left(0\right)}\right)=\left[\frac{d}{d\alpha }J{}^{**}\left(p{}^{\left(0\right)}+\alpha \delta {}_j\right)\right]{}_{\alpha =0},j=1,2‚\cdots ,l$其中l×1维向量δj除第j个分量与$p{}^{\left(0\right)}$的第j个分量相同外, 其余分量为0。

(3) 确定h, i使得:

(4) 构造新设计$p{}^{\left(1\right)}=p{}^{\left(0\right)}+\alpha \left(\delta {}_h-\delta {}_i\right)$, 而成立$J{}^{**}\left(p{}^{\left(1\right)}\right)\le J{}^{**}\left(p{}^{\left(0\right)}\right)$。

(5) 重复步骤 (2) 、 (3) 、 (4) 得到第s个设计$p{}^{\left(s\right)}$, 而$J{}^{**}\left(p{}^{\left(s-1\right)}\right),J{}^{**}\left(p{}^{\left(s\right)}\right)$差别不大, 则认为$p{}^{\left(s\right)}$即为近似最优设计。

4结论

通过线性组合各响应, 将多响应模型转化为易于处理的单响应模型。由此, 根据William J.WELCH (1983) 给出的判别准则和最优设计构造方法得到多响应线性模型的均方误差判别准则以及构造最优设计的迭代算法。从而, 使应用更为广泛的多响应线性模型从预测角度上能构造最优试验设计。

摘要：WilliamJ.Welch (1983) 给出了单响应线性模型均方误差准则下的最优试验设计。基于此结论, 通过对多响应模型进行合理线性组合的方法将其转化为易于处理的单响应模型, 由此给出均方误差准则下多响应模型最优设计的构造方法。解决了多响应线性模型预测的试验设计问题。

关键词：多响应线性模型,最优设计,均方误差,线性组合

参考文献

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