最优H∞鲁棒控制

最优H∞鲁棒控制（共8篇）

最优H∞鲁棒控制 篇1

PWM整流器是实现武器装备全电化、船舶综合电力系统等直流组网的关键环节,并对于提高供电性能和有效利用有限空间具有重要的意义;在野战条件下,当单个军用电站受到攻击或出现故障而不能正常供电时,如何实现多种电压、频率制式的军用电站快速组网,并构建直流输电网,对于实现用电装备的逆变应急供电同样具有重要军事意义。近年来,许多学者在PWM整流器的控制算法改进等多个方面进行了有效的研究［1］。

文献[2-3]对电流环采用前馈解耦控制策略后,基于PI的控制理论,设计了双闭环的控制系统。文献[4-5]分别从预测控制和神经网络控制2 个方面建立了三相电压型PWM整流器的智能控制系统,取得了较好的实验结果。然而以上控制方式中,部分采用PI控制方式,忽略了系统本身的非线性特性,不能保证系统的快速响应和在大范围扰动的情况下保持稳定;部分采用智能控制和其他控制方式相结合的方法,导致控制算法过于复杂,不能较好地应用于工程实践。

本文基于三相电压型PWM整流器的非线性数学模型,对传统双环PI控制系统的电流内环进行改进,采用状态反馈线性化的方式使电流内环实现线性解耦,保证了控制系统的本质非线性特性。为降低诸如输入电压波动、负载突变等外部干扰和输入控制器的参数误差、测量误差等内干扰对输出的不利影响,对解耦后的系统采用非线性鲁棒控制的设计方法,建立了相应的控制规律,使系统的动态响应速度和鲁棒性得到较好提升。最后通过仿真验证了控制系统的优越性,该整流器能够为战场条件下的武器装备提供有效的应急电力支持。

1 三相电压型PWM整流器的数学模型

三相电压型PWM整流的拓扑结构如图1所示。

图1中,ea, eb, ec为交流侧相电压;ia, ib, ic,为交流侧各相电流;udc代表直流侧电压;ua, ub,uc为整流器交流侧输入电压;iL为负载电流。

在dq坐标系下三相电压型PWM整流器模型［6］为

2 非线性鲁棒控制

2.1 电流内环控制系统模型

首先,对式(1)前2 行进行变换,选取状态变量和输入变量分别为

同时设定输出变量为

式中:idref,iqref分别为交流电网侧的三相电流经dq变换后在d轴和q轴的分量。

由于电路中电容、电感参数和理想设定值在运行的过程中不能保持绝对一致,且输入电压存在小范围波动,不能维持稳定的数值,为将所有的干扰和不确定的因数归结为一项［8-9］:取干扰项为 ε =[ε1,ε2]T。

由此建立如下仿射非线性系统模型:

其中

2.2 基于反馈精确线性化的电流内环控制

为了得到线性解耦的控制系统,首先验证式(2)的非线性系统是否满足精确反馈线性化条件:

通过将式(3)的值带入判定矩阵中,可知矩阵[ g1(x) g2(x) adfg1(x) adfg2(x) ]的秩为2,和系统的维数n相等。

当系统维数n = 2 时,可知向量场集合D ={g1(x) g2(x) adfg1(x) adfg2(x)} 是对合的,由此系统可实现精确线性化。在系统满足状态反馈精确化的条件下,对给定输出通过Lie导数计算系统的相对阶:

由式(4)知矩阵的奇异值不等于0,因此系统的关系度集合为r ={r1,r2}={1, 1} ,并且关系度总数与系统的维数相等r = n 。根据反馈精确线性化理论选择坐标映射为

选择相应的控制向量为

相应的干扰项经过坐标映射后变为

φ1和 φ2为干扰项经过坐标映射式(5)变换后得到的表达式,并且干扰项由于只和参数相关,因此通过坐标映射后也实现了相应的线性解耦,由此系统的所有量经过坐标映射后,得出了非线性解耦后的表达式,结合式(2)、式(5)、式(6)、式(7)得到如下线性解耦系统:

由于式(8)中不显含状态变量z ,对其进行变换后得到如下标准化系统:

其中

式(9)中的v1和v2由控制系统所要达到的控制效果决定,为保证式(9)的线性解耦系统在干扰输入到输出的L2增益最小的前提下,在平衡点z0=[0, 0]T上稳定,求解如下所示Riccati不等式:

存在非负解P*,则此时最优的控制策略v*为

相应的最坏可能干扰为

经计算并最终选择P*的最优解为

结合式(6)、式(12)、式(13)可知原非线性系统的最优控制率为

式中:K = 9 × 105L 。

取式(14)中的第1项进行变换可得:

当相电压出现突变或者电路参数R,L与设定值存在误差时,K (id- idref) 也会出现突变,并且变化的数量级比其他项都要大,从而使干扰对系统产生的不利影响得到抑制,同理式(14)中第2 项也实现了干扰的抑制,由此本文提出的控制规律实现了系统的鲁棒控制。

其控制模型如图2所示。

3 仿真和试验研究

为验证本文所建立的控制系统的可行性和有效性,在Matlab/Simulink环境下对三相电压型PWM整流器进行仿真实验。仿真参数为:相电压有效值Us= 110 V ,交流侧等效电阻R =0.1 Ω ,交流侧电感L = 10 m H ,直流侧稳压电容C =5 000 μF ,直流母线设定电压U*dc= 500 V ,整流器开关频率为f = 2 000 Hz,初始负载R = 100 Ω 。为了直观反映改进后的控制规律的优越性,下面分为以下3 个方面对现有双环PI控制和外环PI控制与内环非线性鲁棒控制相结合的控制效果相比较。

采用双环PI控制时,电压外环和电流内环的参数分别为:Kup= 3,Kui= 15和Kip= 15,Kii= 30 ;采用改进后的控制系统时,电压外环控制器的PI参数为:Kp= 1 ,Ki= 80 ,电流内环采用非线性鲁棒控制,其控制方式为

为了方便比较交流侧相电压与相电流的关系,将0.1 倍交流侧相电压测量瞬时值与相电流瞬时值相比较,并反映到仿真图像中。

3.1 PWM整流器启动动态响应

额定负载条件下PWM整流器启动后,双环PI控制系统和非线性鲁棒控制系统下直流响应、交流侧相电压与相电流的关系分别如图3、图4所示。

比较图3、图4 可知:改进后的控制系统能使输出电压较快实现在500 V处稳定,并且稳定后可实现精确单位因数整流。

3.2 交流侧电压突变时,系统的动态响应

为验证系统在交流侧电压出现大范围扰动时,系统依然能保持稳定。额定负载条件下交流侧相电压在0.6 s时由110 V突变为55 V,维持0.2 s后,在0.8 s时由55 V突变为220 V,两种控制方式下系统的直流侧电压响应、状态变量id如图5、图6所示。

比较图5、图6 可知,不论交流侧电压在一定范围内如何突变,改进后的控制系统都能使直流侧电压更快更好地实现稳定,并且在运行过程中状态变量的震荡较小,使系统更易于保持稳定。

3.3 电感参数摄动时,系统的动态响应

启动三相电压型PWM系统时,输入电感由系统设定的L = 10 m H变为L = 40 m H后,比较两种控制方式下直流侧电压响应、状态变量id,i的变化曲线如图7、图8所示。

比较图7、图8 可知,改进后的控制系统能使直流电压在超调后快速实现稳定,并且状态变量id在系统稳定后就实现了在设定值处稳定,iq也实现了摄动最小化。

4 结论

针对三相电压型PWM整流器的模型,基于现有双环PI控制的基础上,对电流内环进行改进,提出了反馈线性化最优H∞鲁棒控制策略,对系统在固定范围内外部干扰和内部扰动的情况下进行了深入分析。通过理论分析和仿真验证得到:提出的控制系统在保证系统稳态启动的情况下,能实现直流电压的快速稳定;保证在交流侧电压存在剧烈震荡、电路参数出现一定范围内摄动时,依然能保持系统的稳定和功率因数整流。该控制方法适合作为系统存在强干扰,交流端电压变化大的三相电压型PWM整流的应用场合。

参考文献

[1]程启明,程尹曼,薛阳,等.三相电压型电压源型PWM整流器控制方法的发展综述[J].电力系统保护与控制,2012,40(3):145-154.

[2]Ye Y,Kazerani M.A Novel Modeling and Control Method for Three-phase PWM Converters[C]//PESC.2001 IEEE 32th Annual.2001,1:102-107.

[3]李龙,牛聪,贪洪奇,等.三相电压型PWM整流器的自适应PI控制研究[J].电力电子技术,2013,47(4):93-95.

[4]Bouafia A,Krim F,Gaubert J P.Fuzzy-logic-based Switching State Selection for Direct Power Control of Three-phase PWMRectifier[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2009,56(6):1984-1992.

[5]Cheng K W E,Wang H Y,Sutanto D.Adaptive Directive Neural Network Control for Three-phase AC/DC PWM Converter[J].IEE Proceedings-electric Power Applications,2001,148(5):425-430.

[6]汪万伟,尹华杰,管霖.双闭环矢量控制的电压型PWM整流器参数整定[J].电工技术学报,2010,25(2):67-72.

[7]张敏,刘京湘.一类参数不确定系统的鲁棒镇定[J].控制理论与应用,2004,21(5):830-834.

[8]张平化,杨贵杰,李铁才.三相电压型PWM整流器的反馈线性化直接电压控制[J].中国电机工程学报,2010,30(18):39-46.

[9]乐江源,谢运祥,张志,等.三相电压型有源电力滤波器精确反馈线性化空间矢量PWM复合控制[J].中国电机工程学报,2010,30(15):32-39.

最优H∞鲁棒控制 篇2

基于LMI的航空发动机鲁棒H∞控制器设计

研究了系统矩阵均具有参数不确定性系统的非标准H∞鲁棒控制问题.基于LMI的H∞控制器设计方法,给出了参数不确定性系统用3个线性矩阵不等式表征的非标准H∞控制问题可解的充分必要条件,采用“内点法”求解线性矩阵不等式,可得使闭环系统对于所有可能的参数不确定性均二次稳定且传递函数的H∞范数γ有界的.鲁棒控制解.该方法应用于非“标准”系统--某型双转子涡喷发动机稳态双变量调节控制器的设计,通过在气动热力学模型上的仿真结果表明,取得了良好的结果.

作 者：谢光华 曾庆福 XIE Guang-hua ZENG Qing-fu 作者单位：西北工业大学,数据处理中心,陕西,西安,710072刊 名：航空学报 ISTIC EI PKU英文刊名：ACTA AERONAUTICA ET ASTRONAUTICA SINICA年，卷(期)：200021(2)分类号：V233.7关键词：航空发动机 线性矩阵不等式 参数不确定性 鲁棒H∞控制

最优H∞鲁棒控制 篇3

未来空间技术的发展,对空间机械臂的要求越来越高,关于空间机械臂柔性行为(包含柔性臂等)控制的基础科学问题研究日益广泛[1,2,3,4,5,6]。未来空间机械臂柔性行为控制不仅要探索如何认识空间机械臂柔性行为的运动规律,而且还要研究如何对柔性行为施加外部影响以保证空间机械臂执行在轨操作任务按期望要求得以实现[7]。由于空间机械臂往往具有轻质、臂长、高精度、高负载等特点(导致臂杆柔性大),因此空间机械臂的柔性是不可忽略的。目前国内有关柔性空间机械臂的控制研究主要集中在单个柔性臂系统,且系统的柔性振动会影响系统的控制精度[8,9]。在太空失重环境下,柔性空间机械臂是一个非常复杂的动力学系统,载体与臂杆的动力学耦合作用及刚性关节运动和柔性振动的相互作用,使得空间机器人系统的控制设计难于地面机器人系统[10,11]。因此,建立相应的系统动力学模型和设计高精度的控制器以有效地抑制柔性臂振动,是目前空间机械臂研究和应用必须面对和解决的重点[12,13,14]。

文献[15]提出了一种混合的系统,该系统结合了分数阶控制的鲁棒性和滑模控制的优势,但该控制方法未考虑外部扰动的影响。文献[16]提出了一种稳定的自适应模糊滑模控制器,用于非线性多变量系统的不可测状态,滑模变结构控制器对空间机械臂的外部扰动与未建模误差具有强鲁棒性,从而可以克服系统的不确定性。文献[17]提出了一种自适应算法,该算法具有简单性和通用性,并考虑了机械臂的参数未知等问题。但上述文献均未考虑柔性臂对空间机械臂控制的影响。文献[18]将虚拟刚性机械臂和假设运动反解相结合,设计了柔性空间机械臂模型的扩展PD控制,但该控制方法未能实现实时的振动抑制。

为了实现漂浮基柔性空间机械臂运动轨迹的渐近跟踪并抑制由柔性臂引起的系统柔性振动,利用积分流的思想建立奇异摄动模型,将系统动力学模型分解为慢变子系统和快变子系统。首先,针对慢变子系统,设计了自适应模糊H∞控制算法,通过设计模糊逻辑系统,用来逼近系统的不确定性,对不确定性进行补偿,对其参数进行自适应调节,整个闭环系统是Lyapunov意义下渐近稳定的。然后,设计鲁棒补偿项,借助H∞性能指标将逼近误差和外部干扰衰减到期望的程度。最后,针对快变子系统,采用线性二次最优控制方法主动抑制,保证系统的稳定性。

1 漂浮基柔性臂空间机械臂的动力学模型

考虑做平面运动的自由漂浮基柔性臂空间机械臂的几何模型如图1所示。其中,B0为系统的刚性载体基座,B1为系统的刚性连杆,B2为系统的柔性连杆(可视为Euler-Bernoulli悬臂梁且仅产生横向振动),Bi-1和Bi(i=1,2)间均使用刚性旋转铰进行连接。

建立平动的惯性坐标系Oxy,各分体Bi(i=0,1,2)的主轴连体坐标系Oixiyi,O1、O2分别为相应两个转动铰的中心;x0通过O0与O1的连线,x1和x2分别是B1和B2的对称轴,ei为沿xi(i=0,1,2)轴方向的基矢量;C为系统总质心。mi、ji分别为Bi(i=0,1)的质量与中心转动惯量,B2单位长度的均匀质量密度为ρ,均匀弯曲刚度为EI;并定义q0为航天器载体姿态角,q1和q2为关节O1、O2的相对转角。

由弹性理论可知,基于假设模态变形描述法[19],横向弹性变形v(x2,t)可描述为

其中,φi(x2)和δi(t)分别为柔性杆的第i阶模态函数及其坐标,n为截断阶数。考虑到低阶模态对杆件的弹性振动起主导效应,本文取前两个低阶模态进行研究,即

利用拉格朗日法和动量守恒关系,可导出载体位置不受控和姿态受控的柔性空间机械臂动力学方程如下:

其中,M(q,δ)为正定、对称惯性矩阵,M(q,δ)∈R5×5;为从包含离心·力、科氏力列向量中分离出来的矩阵,;q、δ分别为系统广义坐标列向量的刚性变量和柔性变量,q=(q0,q1,q2)T、δ=(δ1,δ2)T;Kδ为系统的抗弯刚度矩阵,Kδ=diag(kδ1,kδ2);u为系统的控制力矩列向量,u=(u0,u1,u2)T;抗弯刚度矩阵中的对应元素可表示为

2 控制器设计

2.1 系统动力学奇异摄动分解

根据式(3),姿态受控柔性空间机械臂的动力学模型可展开为

其中,Mrr∈R3×3,Mrf∈R3×2,Mfr∈R2×3,Mff∈R2×2,均为M∈R5×5的子矩阵;Hrr∈R3×3,Hrf∈R3×2,Hfr∈R2×3,Hff∈R2×2,均为H∈R5×5的子矩阵。

若约定

假设柔性臂刚度矩阵Kδ中的最小刚度为kδmin,并定义μ=1/kδmin,引入新的变量σ=δ/μ、Kμ=μKδ,式(4)可变换为

令μ=0并将其代入式(6),得慢变子系统:

其中,带“—”的变量表示当μ=0时相应的矩阵或者向量,us表示慢变子系统的控制器,仍满足斜对称性。

定义快变时标tf及边界层修正项,可得到快变子系统的动力学方程:

式中,uf为快变子系统的控制器。

通过奇异摄动法将慢变控制律us与快变子系统控制律uf结合,由于这两个子系统在时标上具有独立性,因此可分别对每个子系统进行相应控制器的设计,并最终组成系统的总控制器u,可同时使关节运动稳定追踪期望轨迹及柔性杆振动得到抑制,即设计的总控制器u可由两部分组成u=us+uf。

2.2 快变子系统的控制器设计

忽略不确定部分,则快变子系统为线性系统,且完全可控。为抑制弹性振动,本节拟采用最优控制策略来对快变子系统(式(8))进行控制。为此,定义系统性能指标函数为

其中,Rf∈R3×3和Qf∈R4×4分别为正定、半正定常值矩阵。

设Pf为如下Ricatti方程的唯一解:

则快变最优控制律可定义为

2.3 慢变子系统的控制器设计

假设式(3)有相对度向量,并且零动态具有指数吸引性质。

设是系统状态向量,对于给定的期望轨迹,其中,qd=(qd0,qd1,qd2)T,定义跟踪误差为e=xd-x。将慢变子系统(式7)改写成如下状态空间的形式,且考虑外部干扰,则有

设系统的位置和速度是完全可测的,设计一个鲁棒自适应模糊控制器和可调参数的自适应律,使得整个闭环系统趋于稳定,式(12)可表示为

控制目标是利用模糊逻辑系统设计自适应控制律,满足:①系统中所涉及的变量有界;②跟踪误差e取得H∞跟踪性能,即

其中,X∈[0,∞),w∈L2[0,X]是模糊逼近误差,L2为H∞跟踪性能下的一个指标;Q和P为两个正定矩阵;为参数的误差向量,;η、ρ为两个给定的参数,η>0,ρ>0。

慢变子系统的控制器为

其中,选取合适的uσ可使系统趋于稳定。为模糊逻辑系统,用它逼近不确定项,慢变子系统应用模糊逻辑系统构造自适应模糊控制器。uλ为H∞鲁棒项,用于克服误差和干扰,λ是一个设计参数,λ>0,且有

另外

其中,Kσ1、Kσ2的选取满足Hurwitz多项式。

设模糊逻辑系统为

式中,θ为可调参数;ξi(xi)为模糊基函数。

确定抑制水平β>0,且满足条件2β2≥λ,P是满足下面黎卡提方程解的一个正定矩阵:

其中,ai(i=1,2,…,6)的选取使得矩阵A的特征根都在左半开平面内。

2.4 模糊自适应算法

定义参数向量θ的最优参数为θ*,则

式中,Ω为适当的包含θ的有界集;Uc为紧集,Uc∈Rn。

为了便于分析,将控制量代入式(13)中,得到误差方程形式如下:

其中,是参数估计误差,,参数向量θ的自适应律为

为了保证实施控制过程中参数向量θ在指定的范围内,利用投影算子对参数θ向量的自适应律进行修正,定义如下的有界闭集Ω={θ‖θ‖2≤L},Ωε={θ‖θ‖2≤L+ε},根据实际问题,确定出设计参数L>0和ε>0。

取参数向量θ的调节律为

式中,Pr(·)为投影算子。

考虑式(3)的控制对象,取控制律us为式(14),则设计的控制方案保证如下的性能:

(1)q∈Ω,x、e、us∈L∞,L∞为H∞跟踪性能下的一个指标。

(2)对于给定的抑制水平β,跟踪误差达到H∞跟踪性能指标。

证明取Lyapunov函数为

求V对时间的导数得

由于,根据式(20)得

由式(15)可得

根据黎卡提方程(式(19))及参数向量θ的自适应律(式(21)),可得

对式(23)从0~X积分得

由于V(X)≥0,所以由式(24)得

即跟踪误差取得H∞控制性能指标。

3 仿真算例与分析

为验证上述控制算法的有效性,对图1所示的柔性空间机械臂进行动力学数值模拟仿真。利用快变子控制器uf和关节运动慢变子控制器us对系统进行仿真分析。选取系统惯性参数的真实值为m0=200kg,m1=2kg,m2=1kg,l0=1.5m,l1=l2=3 m,j0=70kg·m2,j1=1.5kg·m2。仿真过程中柔性杆B2单位长度的均匀质量密度取ρ=1.0kg/m,均匀弯曲刚度取EI=20 N·m2。同时,控制器相关参数选取为η=0.1,λ=0.005,β=0.05,Qf=10diag(1,1,1,1),Rδ=100diag(1,1,1)。

假定两柔性杆空间机械臂系统各连杆关节在关节空间的期望运动轨迹分别为

且系统初始运动位置为

确定外部干扰为

系统的柔性杆B2被视为Euler-Bernoulli悬臂梁,其模态函数φi(x2)取为

模糊规则定义为:如果q0是F1j、q1是F2j、q2是F3j,则yi是Bj(i=1,2,3)。选择如下形式的隶属度函数:

利用本文所设计的自适应模糊鲁棒H∞控制算法对漂浮基柔性空间机械臂进行计算机模拟仿真运算。仿真结果如图2~图5所示。图2是当Kσ1=diag(6,6,6)和Kσ2=diag(9.5,9.5,9.5)(条件1)时,空间机械臂载体姿态、关节角度跟踪误差图;图3是当Kσ1=diag(12,12,12)和Kσ2=diag(36,36,36)(条件2)时,空间机械臂载体姿态、关节角度跟踪误差图;图4为在开启(实线)和关闭(虚线)快变子系统情况下,柔性臂的一阶模态坐标对比图;图5为在开启(实线)和关闭(虚线)快变子系统情况下,柔性臂的二阶模态坐标对比图;仿真过程全部耗时t=30s。

从图2可以看出,条件1下,空间机械臂载体姿态、机械臂关节角度跟踪误差在t=25s时基本收敛到零;从图3可以看出,条件2下,空间机械臂载体姿态、机械臂关节角度跟踪误差在t=15s时基本收敛到零。在收敛过程中控制器的控制增益系数对系统跟踪误差收敛速度有决定性影响;即可以通过调节控制增益系数Kσ1和Kσ2的大小来调整系统跟踪误差收敛速度的快慢。如通过增大Kσ1和Kσ2值,可以使得所设计控制算法的收敛速度加快、收敛时间缩短;反之亦然。虽然增大控制增益系数可以加快系统跟踪误差的收敛速度,然而也加大了关节电机的输出功率或力矩,有时会造成电机输出功率饱和反而影响控制效果;因此实际应用中会根据需要适当选择控制增益系数Kσ1和Kσ2的大小。

仿真结果表明,本文所设计的控制算法能够稳定地跟踪期望运动轨迹,系统的柔性振动得到了有效的抑制。通过开启与关闭快变子系统抑振控制的对比图可以看出,开启快变子系统抑振控制使得跟踪误差及柔性振动较快收敛到零。

4 结语

最优H∞鲁棒控制 篇4

1 倒立摆系统控制

倒立摆系统示意图如图1所示。小车通过轮电机的输入电压U(t)产生运动力f(t),使小车沿滑轨在x方向运动,并且使倒立摆在垂直平面内得到稳定。

对倒立摆系统的控制可以分解为两部分:一部分是控制摆杆倒立,称为“摆杆控制”,另一部分是将小车控制到要求的位置上,称为“小车控制”,然后再对这两个控制系统进行加权混合控制。“摆杆控制”采用T-S模糊模型描述系统,利用系统的不确定性把系统表示成不确定系统的形式,利用鲁棒H_∞控制策略及LMI优化算法解出反馈值,设计出全局渐进稳定的模糊模型;“小车控制”采用对位置误差和小车速度进行模糊化计算,再利用模糊控制器进行处理计算,最终得出控制量[3,4]。

倒立摆系统[1]的状态方程为:

其中:

式中:x1为小车的移动距离;x2为小车的移动速度;x3为摆杆的摆动角度;x4为摆杆的摆动角速度。

取系统参数为:

;由x1,x2构成的子系统1对应于小车的位置控制,由x2,x3,x4构成的子系统2对应于摆杆的控制。

为了实现小车的快速运动,加速阶段应以尽量大的加速度加速,同时使系统到达最大速度时载荷角度降至零。同时为了适于长距离的运输和在运输过程中始终以最大速度进行(消除干扰后恢复最大速度进行),需对位置误差进行一次饱和运算:

定义位置偏差e1的语言变量值为:E=Kee1,取语言变量E的模糊子集为{NL,NS,ZE,PS,PL}。隶属度函数为三角形,均匀分布,全交迭的隶属函数,如图2所示。速度v的输入同上。对于摆杆的控制,针对系统2组成的状态方程建立T-S模型,用下面两条来描述系统动态行为:

在此,系统(ΔC,γ)的最大摄动值为(-0.06,0.95),假定系统参数是不确定的但是有界,不大于最大摄动值的50%。定义:

利用Matlab中的LMI工具箱[5]可以求解出控制器增益为:

则摆杆控制的输出为u2=μ1K1*X+μ2K2*X,其模糊隶属函数如图3所示。

随着小车接近目标位置,位置误差逐渐减小,而此时正好处于减速阶段,载荷摆角较大。这样,位置控制的作用就远小于载荷摆动控制作用,不利于实现快速定位,可能出现位置超调或减速时间过长。因此把小车的位置X*的绝对值调整对系统1输入的权重N1,通过摆的偏转角θ的绝对值来调节系统2的输入权重N2。则系统的控制输入为:

系统仿真研究:

(1)倒立摆的标称系统即δ(ẋ)=0,ΔC=0,且C0=0.06(N·m)/s。当给定初始状态为,沿f(t)方向给车加脉冲力40δ(t)。在此基础上,在t为5 s时要求小车以坐标原点跃变0.2 m,系统仿真曲线如图4所示。

从仿真结果可以看出,此系统在受到较强干扰时能快速稳定,具有很好的抗干扰性能,并且在加速、减速和运输过程中,本方法都可以有效地平衡两个子系统之间的关系,较快地到达目标平衡点。

(2)当系统分别给定γ=0.475和ΔC=-0.03摄动时系统响应曲线如图5,图6所示。

由仿真结果可以看出此系统无论在抗干扰性能上,还是在台车位置调节问题上,都能较好的达到要求,说明此系统就有较好的鲁棒性能。

2 结论

为了建立控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台,本文针对文献[1]中给定的具有结构参数不确定性和具有干扰的倒立摆系统进行了研究。首先把此系统分解为小车控制系统和摆杆控制系统,然后对两个系统进行鲁棒H_∞加权混合控制。

通过对倒立摆系统外加干扰信号、给定平移指令、参数摄动等实验,系统均可在0.4 s的时间内取得良好的控制效果。实验结果表明:本文所提出的加权控制方法具有较强的鲁棒稳定性和良好的抗干扰性能。

摘要：为了建立控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台,研究了存在结构参数不确定性和具有干扰信号的倒立摆系统。首先将该系统分解为摆杆控制系统和小车控制系统。摆杆控制系统采用T S模糊模型来描述,利用系统的不确定性把系统表示成不确定系统的形式,采用鲁棒H∞控制策略及LMI优化算法解算出反馈值,并设计出全局渐进稳定的模糊模型;小车控制系统则采用对位置误差和小车速度进行模糊化计算的方法,再利用模糊控制器进行处理计算,并最终得出控制量。最后再对两个系统进行加权混合控制。对倒立摆系统进行外加干扰信号、给定平移指令以及参数摄动等实验时,系统均可以在0.4 s的时间内取得良好的控制效果。实验结果表明:提出的加权控制方法具有较强的鲁棒稳定性和良好的抗干扰性能,验证了该方法的有效性。

关键词：倒立摆系统,TS模糊控制,鲁棒镇定,参数不稳定性,线性矩阵不等式

参考文献

[1]申铁龙,梅生伟,王宏,等.鲁棒控制基准设计问题:倒立摆控制[J].控制理论与应用,2003,20(6):974-975.

[2]LEE Ho Jae,JIN Bae Park,CHEN Guan rong.Robust fuzzycontrol of nonlinear systems with parametric uncertainties[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2001,9(2):369-379.

[3]刘殿通,易建强,谭民.一类非线性系统的滑模模糊动态加权控制[J].系统仿真学报,2004(5):721-723.

[4]孙继磊,李明.倒立摆模糊控制器的设计与仿真[J].宿州学院学报,2011,26(8):49-51.

[5]GAHINET P,NEMIROVSKI A,LAUB A J,et al.LMI con trol toolbox[M].Natick,MA:MathWorks,1995.

[6]刘文秀,郭伟,余波年.倒立摆状态反馈极点配置与LQR控制Matlab实现[J].现代电子技术,2011,34(10):88-90.

最优H∞鲁棒控制 篇5

关键词：静止同步补偿器,无功补偿,鲁棒性,H∞控制,混合灵敏度优化问题

0 引言

静止同步补偿器(Static synchronous compensator,STATCOM)的核心是电力电子逆变技术,它能对电力传输的三个主要参数(电压、相位和阻抗)进行快速、可靠的控制,具有动态响应速度快,输出波形品质好,控制灵活,调节特性受接入点电压影响小等优点[1,2]。20世纪80年代,STATCOM被引入到电力系统的无功补偿领域,现在已经是柔性交流输电系统的核心装置,在提高输电系统传输容量、改善电力系统稳定性、抑制功率振荡等方面发挥着重要的作用[3,4,5]。

近年来,国内外学者为STATCOM的研究做出了巨大努力,并取得了显著的成绩,STATCOM控制策略是研究的重要内容之一。STATCOM的数学模型在dq坐标系下是强耦合、非线性的[6]。针对这样的非线性控制对象,各种基于微分几何理论和大范围反馈线性化理论的非线性控制器应运而生。如基于微分几何的方法[7,8]、逆系统方法[9]、直接反馈线性化方法[10,11,12]等,这些控制策略克服了局部线性化方法的不足,但在电力系统实际运行中还存在着参数不确定、干扰未知及建模误差等问题,影响了所设计的控制器的使用效果。

对于这种不确定性系统,鲁棒H控制是一种很好的处理方法。H控制理论是通过对所研究对象的某些闭环性能指标的H范数优化而获得最优控制器的一种控制理论[13]。一个稳定的传递函数矩阵H范数的物理意义是系统所能获得的最大能量增益。对一单变量系统,其H范数即为其Bode图中幅频特性之最大值。控制系统H最优化就是在H空间中极小化某些闭环系统频率响应的峰值。

本文在STATCOM模型系数不能精确测量及受到干扰的情况下,考虑负载支路影响,建立包含不确定参数和外部扰动的数学模型,选定加权函数,将H控制器设计归结为混合灵敏度问题,求得鲁棒控制器。仿真结果表明该控制器能够在系统具有不确定参数时取得良好的无功补偿性能,可以抑制干扰对系统输出的影响。

1 STATCOM的数学模型

STATCOM主电路如图1所示。

本文研究的STATCOM主回路是将基于IGBT的三相电压源型PWM(脉宽调制)逆变器通过电抗器接人系统。图中Vsa,Vsb,Vsc是电网电压;S1-S6是由IGBT与反并联二极管组成的开关单元;C为逆变桥直流侧电容,为逆变桥提供一个稳定的直流电压,保证补偿器正常运行。STATCOM与无功负

式(3)化简可得

荷并联接入电网,由它产生对称三相可控电压,以实现无功功率的动态补偿。

图2为考虑负载支路的STATCOM等效电路。图中Vs为电网电压,Vc为逆变器等效输出电压,VL为负载支路扰动电压。ic为STATCOM补偿电流,is为电源提供电流。R2和L2分别为连接电阻和连接电抗,R3和L3为负载等效电阻和电抗。

包含电源支路和STATCOM支路的单相回路电流方程为

包含电源支路和负载支路的回路电流方程(单相)为

经整理可得

综合式(1)和式(2)可得包含不确定参数和外部扰动的STATCOM数学模型为

通过Park变换矩阵T将电压和电流将其变换到dq坐标系下,有isabc=T-1isdq,icabc=T-1icdq,uabc=T-1udq。定义新的坐标系中的d轴与瞬时电压矢量保持同一方向,则有Vsd=V,Vsq=0。其中V为系统电压有效值。将式(4)导数项展开可得STATCOM系统在dq坐标系下的状态方程为

式中,V是系统电压的有效值。

由式(9)～式(11)可得STATCOM系统的状态空间实现为

2 STATCOM的控制策略

考虑到电压逆变器与电网通过三相制联接,所以没有零序分量。同时由于STATCOM运用了PWM技术,故可忽略逆变器产生的电压谐波,这样直流侧与交流侧的关系式就可以写成

其中:Vdc是直流电容器上的电压;Kc是由逆变器结构决定的参数;m是PWM的调制比;δ是开关的导通角同时也是逆变器输出电压和系统电压间的相角差,它是由STATCOM的运行状态所决定的。δ和m是调制信号。

STATCOM控制系统的结构如图3所示。

控制框图中的无功参考电流仅由STATCOM运行模式、操作指令和系统变量决定。在实际运行中,电容器上的电压应该保持恒定。电容电压的变化是由有功功率的变化引起的,因此可以通过控制有功电流Id来保证电容电压为期望值。故将电容电压的差(Vdc-Vdcref)作为调制信号通过一个PI环节引入到有功电流的反馈控制通道。

3 H控制器设计

3.1 广义被控对象

标准H控制问题如图4所示,ω为外部扰动,u为控制输入,z为评价输出,y为量测输出。由输入信号u,ω到输出信号z,y的传递函数P(s)称为广义被控对象,它包括实际被控对象和为了描述设计指标而设定的加权函数等。K(s)为控制器。

输入输出关系可由方程

描述。若记

则从ω到z的闭环传递函数为

由于所研究STATCOM系统中同时含有不确定性参数和外部扰动,故采用混合灵敏度优化,混合灵敏度问题可以同时考量干扰抑制和参数变化[14]。图5所示的系统中,r为有功参考电流和无功参考电流,e为电流跟踪误差,W1、W2、W3为根据系统性能要求选取的加权函数。

外部干扰ω到评价输出z1、z2、z3的传递函数分别为W1S、W2R、W3T。其中S=(I+GK)-1为灵敏度函数,引入S是为改善系统对参考输入信号的跟踪和外部扰动的抑制能力。R=K(I+GK)-1,R的无穷范数是对系统加性摄动的允许摄动幅度大小的度量。T=GK(I+GK)-1为补灵敏度函数,T的无穷范数是对系统乘性摄动中允许摄动幅度大小的度量。选取目标函数

引用式(16)可得广义被控对象

3.2 加权函数选择

W1应具有积分特性或高增益低通特性,其增益的大小可依据系统性能要求反复调整[14]。分别选取有功电流和无功电流的加权函数,有功电流的加权函数下标用1,无功电流的加权函数下标用2。选取

选取合适的W 2可以限制控制量u的大小,防止系统在实际工作过程中产生严重的饱和现象,为此W 2的静态增益应该适当地大[15]。W 2对系统的带宽也有着很大的影响,为保证系统具有足够的带宽,W 2的静态增益应该适当的小。所以W 2的选择既要考虑系统的饱和现象又要考虑系统带宽的要求,对二者性能进行折中。选取

W3的选择要求在某一较高频率处,补灵敏度函数T的最大奇异值有一定的衰减,承受大于该频率的高频未建模动态引起的传递函数幅值的变化,保证系统具有充分的稳定裕度[15]。W3具有高通滤波特性。选取

3.3 控制器求取

参数R1=1 mΩ,L1=15 mH,R2=1.6Ω,L2=85m H,R3=7.25Ω,L3=195 mH。代入式(9)～式(12),可求得STATCOM状态空间实现G。根据系统状态方程和加权函数W1、W2、W3,可由式(18)求得广义被控对象。

利用Matlab鲁棒控制工具箱,通过解Riccati方程,得到控制器为

4 仿真结果分析

在Matlab仿真平台上搭建三相STATCOM模型,无穷大系统电压35 kV,直流侧电容12 000μF。研究本文给出的H控制器的性能,并与传统电压双闭环PI控制进行较,文献[16]给出PI参数计算方法,本文不再赘述。直轴电压控制:KP=5,Ki=300;交轴电压控制KP=2,Ki=100;直流侧电容点Kp=0.63,Ki=4.71。

令无功电流参考量在0.1 s由0阶跃为1 300 A(峰值负荷),在模型参数精确且没有扰动的情况下,PI控制器和H控制器都能快速准确地跟踪无功参考电流,当参数L2发生变化△L2=+30%L2时,系统响应如图6所示。

由图6可知,采用H控制器的STATCOM可获得良好的补偿特性,而采用PI控制器的STATCOM出现大小约为8%的明显超调。H控制器对参数变化具有更好的适应性。

考虑外部扰动,负载支路加入扰动电压(白噪声和受控电压源组成),无功电流响应曲线如图7所示。截取0.2～0.25 s输出稳定后无功电流跟踪误差,稳态误差如图8所示。

图8说明在系统存在外部扰动的情况下,H控制器的性能稍有降低,而PI控制器性能出现明显恶化。前者具有很好的干扰抑制特性。

5 结论

最优H∞鲁棒控制 篇6

随着现代工业生产的迅速发展,系统的可靠性日益重要和复杂。不确定性和时滞现象广泛存在于复杂的控制系统中,它们是造成闭环系统性能指标下降或系统不稳定的主要因素。因此,考虑系统部件可能发生故障的情形,研究不确定时滞系统的可靠控制更有实际意义且得到越来越多的学者关注[1,2]。但关于控制器增益变化的时滞系统的可靠控制的研究还很少见。目前大部分时滞系统的控制器设计都是只考虑系统参数的不确定性, 而未考虑控制器增益存在摄动[3,4,5]。然而,在实际系统中,控制器在实现过程中由于软件误差和硬件不确定性以及控制器本身所需的附加调整等各方面因素的存在,使得控制器增益不可避免地存在一定的误差[6],可能造成系统不再能够保持稳定或某些性能指标变差。因此,设计控制器时能将控制器参数的不确定性考虑进去,允许控制器增益在一定范围内变化是很有现实意义的[7]。

本文主要讨论在执行器故障情况下,具有控制器增益变化的离散时滞系统鲁棒H∞可靠控制问题。分别对控制器增益具有乘法式摄动和加法式摄动两种情况进行讨论。在系统模型和控制器同时存在不确定性的情况下,设计了一种状态反馈可靠控制器,使得闭环系统是渐进稳定的,且满足H∞性能指标约束。

1 问题描述

考虑不确定离散时滞系统

$\{\begin{array}{l}x(k+1)=\overline{A}x(k)+\overline{A{}_d}x(k-d{}_1)+\overline{B}u(k)+\\ \overline{B{}_d}u(k-d{}_2)+\overline{B{}_w}w(k)\\ z(k)=\overline{C}x(k)+\overline{C{}_d}x(k-d{}_1)+\overline{D}u(k)+\\ \overline{D{}_d}u(k-d{}_2)+\overline{D{}_w}w(k)\end{array}(1)$

式(1)中:

$\begin{array}{l}\overline{A}=A+\Delta A,\overline{A{}_d}=A{}_d+\Delta A{}_d,\overline{B}=B+\Delta B,\overline{B{}_d}=\\ B{}_d+\Delta B{}_d；\end{array}$

$\overline{B{}_w}=B{}_w+\Delta B{}_w,\overline{C}=C+\Delta C,\overline{C{}_d}=C{}_d+\Delta C{}_d$;

$\overline{D}=D+\Delta D,\overline{D{}_d}=D{}_d+\Delta D{}_d,\overline{D{}_w}=D{}_w+\Delta D{}_w$。

式中:x(k)∈Rn是状态向量,u(k)∈Rm为控制向量;w(k)∈Rl为干扰信号;z(k)∈Rp为被控输出;A,Ad,B,Bd,Bw,C,Cd,D,Dd,Dw为适当维数的已知矩阵;d1>0,d2>0分别为系统的状态时滞和输入时滞,ΔA,ΔAd,ΔB,ΔBd,ΔBw,ΔC,ΔCd,ΔD,ΔDd,ΔDw为系统的参数不确定性,且满足如下匹配条件:

$\{\begin{array}{l}[\Delta A\Delta A{}_d\Delta B\Delta B{}_d\Delta B{}_w]=G{}_{1}F{}_1(k)[E{}_{1}E{}_{2}E{}_{3}E{}_{4}E{}_5]\\ [\Delta C\Delta C{}_d\Delta D\Delta D{}_d\Delta D{}_w]=G{}_{2}F{}_2(k)[{\rm H}{}_1{\rm H}{}_2{\rm H}{}_3{\rm H}{}_4{\rm H}{}_5]\end{array}(2)$

式(2)中G1,G2,Ei,Hi(i=1,2,…,5)为已知适维常数矩阵,表示系统不确定性的结构信息。F1(k)和F2(k)为未知时变实函数矩阵,且满足FTj(k)Fj(k)≤I,(j=1,2),I为单位矩阵。系统初始条件为x(t)=0,k<0;x(0)=x0。

本文考虑设计如下状态反馈控制器

$u(k)=({\rm K}+\Delta {\rm K})x(k)(3)$

式(3)中:K为控制器的增益,ΔK为控制器摄动。

本文将考虑如下两种形式的控制器增益摄动:

1)ΔK是范数有界的乘性摄动,即

ΔK=GaFa(k)EaK, FaT(k)Fa(k)≤I (4)

2)ΔK是范数有界的加性摄动,即

ΔK=GbFb(k)Eb,FbT(k)Fb(k)≤I (5)

式(5)中:Ga,Gb,Ea,Eb是适维常数矩阵。Fa(k)和Fb(k)为未知时变实函数矩阵。

考虑执行器可能失效情况,引入表示执行器连续故障的矩阵M,其形式为

M=diag(m1,m2,…,mp)。

其中:0≤mil≤mi≤miu。显然,当mi=0时,表示第i个执行器完全失效;当mi=1时,表示第i个执行器正常工作;当0≤mil≤mi≤miu且mi≠1时,第i个执行器部分失效;引入如下矩阵: M0=diag(m01,m02,…,m0p),J=diag(j1,j2,…,jp),

L=diag(l1,l2,…,lp),

$\left|L\right|=\text{d}\text{i}\text{a}\text{g}$$(\left|l{}_1\right|,\left|l{}_2\right|,\cdots ,\left|l{}_p\right|)$。

其中:

$m{}_{0i}=\frac{(m{}_{il}+m{}_{iu})}{2},j{}_i=\frac{m{}_{iu}-m{}_{il}}{m{}_{iu}+m{}_{il}},l{}_i=\frac{m{}_i-m{}_{0i}}{m{}_{0i}}(i=1,2,\cdots ,p)$

由此可知 M=M0(I+L);$\left|L\right|\le J\le {\rm I}(6)$

则含执行器故障的闭环系统可表示为

$\{\begin{array}{l}x(k+1)=(\overline{A}+\overline{B}{\rm M}\overline{{\rm K}{}_{}})x(k)+\overline{A{}_d}x(k-d{}_1)+\\ \overline{B{}_d}{\rm M}\overline{{\rm K}{}_{}}x(k-d{}_2)+\overline{B{}_w}w(k)\\ z(k)=(\overline{C}+\overline{D}{\rm M}\overline{{\rm K}{}_{}})x(k)+\overline{C{}_d}x(k-d{}_1)+\\ \overline{D{}_d}{\rm M}\overline{{\rm K}{}_{}}x(k-d{}_2)+\overline{D{}_w}w(k)\end{array}(7)$

式(7)中:$\overline{{\rm K}}={\rm K}+\Delta {\rm K}$。

引理1[5] 设,A,B,K,E为适当维数的矩阵,矩阵KTK≤I,P是满足下式的正定对称矩阵

P-1-ηBBT>0, η>0,则有

(A+BKE)TP(A+BKE)≤AT(P-1-ηBBT)-1A+

ε-1ETE。

引理2[8] 设,X,Y为适当维数的矩阵,Q为任意实对称矩阵,则存在满足(X+Y)TP(X+Y)+Q<0的正定对称矩阵P的充分必要条件是存在正常数β>0,使得 β-1I-P>0,

XTPX+XTP(β-1I-P)-1PX+ε-1YTY+Q<0。

引理 3[9] 给定适当维数的矩阵S1,S2为适当维数常值矩阵,F为任意对称实矩阵,H(t)维数时变对角矩阵,且满足$\left|{\rm H}(t)\right|\le U$,U为正定对角矩阵,则

F+S1HS2+S1THTS2T<0 成立的充要条件是存在一个常数ζ>0,使得

F+ξS1US2+ξ-1S1TUTS2T<0。

引理4[10] 给定适当维数的矩阵X,F,Y,其中F是对称的,则 F+XHY+YTHTXT<0。

对所有满足HTH≤I矩阵H成立,当且仅当存在一个常数ε>0,使得 F+εXXT+ε-1YTY<0。

2 系统稳定性分析

为对于含执行器故障的不确定系统(7),考虑控制器增益分别存在式(4)、式(5)两种形式的摄动时,寻求状态反馈控制律K,在无外部扰动输入时,闭环故障系统(7)渐进稳定。

定理1 考虑同时具有状态和输入时滞的不确定离散系统(1),在无外界扰动输入时,当控制器增益存在乘性摄动时,若存在矩阵W和正定对称矩阵X,使得下面线性矩阵不等式成立

$[\begin{array}{ccccc}-X+{\rm N}{}_1+{\rm N}{}_2& 0& 0& XA+W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}B{}^{\text{Τ}}& XE{}_1+W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}E{}_3{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & -{\rm N}{}_1& 0& XA{}_d^{\text{Τ}}& XE{}_2{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & \cdots & -{\rm N}{}_2& W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}B{}_d^{\text{Τ}}& W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}E{}_4{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \psi {}_{1a}& \psi {}_{2a}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \psi {}_{3a}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}$

$\begin{array}{cccc}W{}^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& W{}^{\text{Τ}}E{}_a^{\text{Τ}}& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& W{}^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& W{}^{\text{Τ}}E{}_a^{\text{Τ}}\\ \epsilon {}_{4}B{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& \epsilon {}_{5}B{}_d{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \epsilon {}_{4}E{}_3{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& \epsilon {}_{5}E{}_4{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ -\epsilon {}_2{\rm I}+\epsilon {}_{4}J{}^{1/2}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0& 0\\ 0& -\epsilon {}_3{\rm I}+\epsilon {}_{5}J{}^{1/2}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \cdots & \cdots & -\epsilon {}_4{\rm I}& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & -\epsilon {}_5{\rm I}\end{array}]<0(8)$

式(8)中:

ψ1a=-X+ε1G1GT1+ε2BM0JM0BT+ε3BdM0JM0BTd+

ε4BM0GaGTaM0BT+ε5BdM0GaGTaM0BTd;

ψ2a=ε2BM0JM0ET3+ε3BdM0JM0ET4+ε4BM0GaGTaM0ET3+

ε5BdM0GaGaTM0ET4;

ψ3a=-ε1I+ε2E3M0JM0ET3+ε3E4M0JM0ET4+

ε4E3M0GaGTaM0ET3+ε5E4M0GaGTaM0ET4。

则含执行器故障的闭环系统式(7)是渐进稳定的,其状态反馈增益矩阵为K=WX-1。

证明 对闭环故障系统式(7),取Lyapunov函数为

$\begin{array}{l}V(x(k),k)=x{}^{\text{Τ}}(k){\rm P}x(k)+\\ {\displaystyle \sum _{i{}_1=1}^{d{}_1}x}{}^{\text{Τ}}(k-i{}_1)R{}_{1}x(k-i{}_1)+\\ {\displaystyle \sum _{i{}_2=1}^{d{}_2}x}{}^{\text{Τ}}(k-i{}_2)R{}_{2}x(k-i{}_2)(9)\end{array}$

式(9)中P为正定矩阵,R1,R2为待定半正定矩阵。当干扰输入为零时,对闭环系统式(7)求差分得

ΔV(x(k),k)=V(x(k+1),(k+1))-V(x(k),k)=

$\begin{array}{l}[(\overline{A}+\overline{B}{\rm M}{\rm K}\overline{{}_{}})x(k)+\overline{A{}_d}x(k-d{}_1)+\\ \overline{B{}_d}{\rm M}\overline{{\rm K}}x(k-d{}_2)]{}^{\text{Τ}}{\rm P}[(\overline{A}+\overline{B}{\rm M}\overline{{\rm K}{}_{}})x(k)+\\ \overline{A{}_d}x(k-d{}_1)+\overline{B{}_d}{\rm M}\overline{{\rm K}{}_{}}x(k-d{}_2)]-\end{array}$

xT(k)Px(k)+xT(k)(R1+R2)x(k)-

xT(k-d1)R1x(k-d1)-xT(k-d2)

R2x(k-d2) (10)

因为[ΔAΔAdΔBΔBd]=G1F1(k)[E1E2E3E4 ],F1T(k)F1(k)≤I,应用引理1和引理2,有

ΔV(x(k),k)≤

[xT(k)xT(k-d1)xT(k-d2)]∑[xT(k)xT(k-

d1)xT(k-d2)]T <0 (11)

则故障闭环系统式(7)是鲁棒渐进稳定。

式(11)中

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum =}\left[\begin{array}{c}(A+B{\rm M}\overline{{\rm K}{}_{}}){}^{\text{Τ}}\\ A{}_d{}^{\text{Τ}}\\ (B{}_d{\rm M}\overline{{\rm K}{}_{}}){}^{\text{Τ}}\end{array}\right]\left({\rm P}{}^{-1}-\epsilon {}_{1}G{}_{1}G{}_1^{\text{Τ}}\right){}^{-1}\left[\begin{array}{c}(A+B{\rm M}\overline{{\rm K}{}_{}}){}^{\text{Τ}}\\ A{}_d{}^{\text{Τ}}\\ (B{}_d{\rm M}\overline{{\rm K}{}_{}}){}^{\text{Τ}}\end{array}\right]{}^{\text{Τ}}+\\ \epsilon {}_1^{-1}\left[\begin{array}{c}(E{}_1+E{}_3{\rm M}\overline{{\rm K}{}_{}}){}^{\text{Τ}}\\ E{}_2{}^{\text{Τ}}\\ (E{}_4{\rm M}\overline{{\rm K}{}_{}}){}^{\text{Τ}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}(E{}_1+E{}_3{\rm M}\overline{{\rm K}{}_{}}){}^{\text{Τ}}\\ E{}_2{}^{\text{Τ}}\\ (E{}_4{\rm M}\overline{{\rm K}{}_{}}){}^{\text{Τ}}\end{array}\right]{}^{\text{Τ}}+\\ \left[\begin{array}{ccc}-{\rm P}+R{}_1+R{}_2& 0& 0\\ 0& -R{}_1& 0\\ 0& 0& -R{}_2\end{array}\right](12)\end{array}$

式(11)成立等价于

$\left[\begin{array}{ccccc}-{\rm P}+R{}_1+R{}_2& 0& 0& (A+B{\rm M}\overline{{\rm K}}){}^{\text{Τ}}& (E{}_1+E{}_3{\rm M}\overline{{\rm K}}){}^{\text{Τ}}\\ \cdots & -R{}_1& 0& A{}_d{}^{\text{Τ}}& E{}_2{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & \cdots & -R{}_2& (B{}_d{\rm M}\overline{{\rm K}}){}^{\text{Τ}}& (E{}_4{\rm M}\overline{{\rm K}}){}^{\text{Τ}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & -{\rm P}{}^{-1}+\epsilon {}_{1}G{}_{1}G{}_1^{\text{Τ}}& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & -\epsilon {}_1{\rm I}\end{array}\right]<0(13)$

将执行器故障M=M0(I+L)和控制器$\overline{{\rm K}}={\rm K}+\Delta {\rm K}‚\Delta {\rm K}=G{}_{a}F{}_a(k)E{}_a{\rm K}$代入式(13),并先后运用引理3、引理4和Schur 补定理,可知存在ε2>0,ε3>0,ε4>0,ε5>0使得

$\begin{array}{l}[\begin{array}{ccccc}-{\rm P}+R{}_1+R{}_2& 0& 0& (A+B{\rm M}{}_0{\rm K}){}^{\text{Τ}}& (E{}_1+E{}_3{\rm M}{}_0{\rm K}){}^{\text{Τ}}\\ \cdots & -R{}_1& 0& A{}_d{}^{\text{Τ}}& E{}_2{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & \cdots & -R{}_2& (B{}_d{\rm M}{}_0\overline{{\rm K}}){}^{\text{Τ}}& (E{}_4{\rm M}{}_0\overline{{\rm K}}){}^{\text{Τ}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \psi {}_1& \psi {}_2\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \psi {}_3\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\\ \begin{array}{cccc}{\rm K}{}^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& {\rm K}{}^{\text{Τ}}E{}_a^{\text{Τ}}& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& {\rm K}{}^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& {\rm K}{}^{\text{Τ}}E{}_a^{\text{Τ}}\\ \epsilon {}_{4}B{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& \epsilon {}_{5}B{}_d{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \epsilon {}_{4}E{}_3{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& \epsilon {}_{5}E{}_4{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ -\epsilon {}_2{\rm I}+\epsilon {}_{4}J{}^{1/2}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0& 0\\ \cdots & -\epsilon {}_3{\rm I}+\epsilon {}_{5}J{}^{1/2}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \cdots & \cdots & -\epsilon {}_4{\rm I}& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & -\epsilon {}_5{\rm I}\end{array}]<0(14)\end{array}$

式(14)中:

ψ1=-P-1+ε1G1GT1+ε2BM0JM0BT+ε3BdM0JM0BTd+

ε4BM0GaGTaM0BT+ε5BdM0GaGTaM0BTd;

ψ2=ε2BM0JM0ET3+ε3BdM0JM0ET4+ε4BM0GaGTaM0ET3+

ε5BdM0GaGaTM0ET4;

ψ3=-ε1I+ε2E3M0JM0ET3+ε3E4M0JM0ET4+

ε4E3M0GaGTaM0ET3+ε5E4M0GaGTaM0ET4。

对式(14)分别左乘右乘diag(P-1,P-1,P-1,I,I,I,I,I,I),并令X=P-1,W=KX,N1=P-1R1P-1,N2=P-1R2P-1, 整理后即可得到矩阵不等式(8)。定理1得证。

推论1 考虑同时具有状态和输入时滞的不确定离散系统式(1),在无外界扰动输入时,当控制器增益存在加性摄动时,若存在矩阵W和正定对称矩阵X,使得下面线性矩阵不等式成立,

$\begin{array}{c}[\begin{array}{ccccc}-X+{\rm N}{}_1+{\rm N}{}_2& 0& 0& XA+W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}B{}^{\text{Τ}}& XE{}_1+W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}E{}_3{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & -{\rm N}{}_1& 0& XA{}_d{}^{\text{Τ}}& XE{}_2{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & \cdots & -{\rm N}{}_2& W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}B{}_d{}^{\text{Τ}}& W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}E{}_4{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \psi {}_{1b}& \psi {}_{2b}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \psi {}_{3b}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\\ \begin{array}{cccc}W{}^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& XE{}_b^{\text{Τ}}& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& W{}^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& XE{}_b^{\text{Τ}}\\ \epsilon {}_{4}B{\rm M}{}_{0}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& \epsilon {}_{5}B{}_d{\rm M}{}_{0}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \epsilon {}_{4}E{}_3{\rm M}{}_{0}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& \epsilon {}_{5}E{}_4{\rm M}{}_{0}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ -\epsilon {}_2{\rm I}+\epsilon {}_{4}J{}^{1/2}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0& 0\\ \cdots & -\epsilon {}_3{\rm I}+\epsilon {}_{5}J{}^{1/2}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \cdots & \cdots & -\epsilon {}_4{\rm I}& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & -\epsilon {}_5{\rm I}\end{array}]<0\end{array}(15)$

式(15)中:

ψ1b=-X+ε1G1GT1+ε2BM0JM${}_0^{}$BT+ε3BdM0JM${}_0^{}$BTd+

ε4BM0GbGTbM${}_0^{}$BT+ε5BdM0GbGTbM${}_0^{}$BTd;

ψ2b=ε2BM0JM${}_0^{}$ET3+ε3BdM0JM${}_0^{}$ET4+ε4BM0GbGTbM${}_0^{}$ET3+

ε5BdM0GbGTbM${}_0^{}$ET4;

ψ3b=-ε1I+ε2E3M0JM${}_0^{}$ET3+ε3E4M0JM${}_0^{}$ET4+

ε4E3M0GbGTbM${}_0^{}$ET3+ε5E4M0GbGTbM${}_0^{}$ET4。

则含执行器故障的闭环系统式(7)是渐进稳定的,其状态反馈增益矩阵为K=WX-1。

3 鲁棒H∞可靠控制器设计

对于闭环故障系统式(7),考虑控制器增益分别存在式(4)、式(5)两种形式的摄动时,寻求状态反馈控制律K,在外部扰动输入不为零时,从干扰输入到被控输出的传递函数Twz(γ)的H∞范数满足‖Twz(γ)‖∞≤γ1。

定理2 考虑不确定时滞闭环系统式(7),外部干扰输入不为零,当控制器增益存在乘性摄动时,对于给定的干扰衰减指标γ1>0,若存在矩阵W和正定对称矩阵X,满足

$[\begin{array}{ccccccc}\text{Φ}& 0& 0& 0& XA+W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}B{}^{\text{Τ}}& XC+W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}D{}^{\text{Τ}}& XE{}_1+W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}E{}_3{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & -{\rm N}{}_1& 0& 0& XA{}_d{}^{\text{Τ}}& XC{}_d{}^{\text{Τ}}& XE{}_2{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & \cdots & -{\rm N}{}_2& 0& W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}B{}_d{}^{\text{Τ}}& W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}D{}_d{}^{\text{Τ}}& W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}E{}_4{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & -\gamma {}^2{\rm I}& B{}_w^{\text{Τ}}& D{}_w^{\text{Τ}}& E{}_5{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \Lambda {}_{1a}& \Lambda {}_{2a}& \Lambda {}_{3a}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \Lambda {}_{5a}& \Lambda {}_{6a}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \Lambda {}_{8a}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}$

$\begin{array}{ccccc}X{\rm H}{}_1+W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_0{\rm H}{}_3{}^{\text{Τ}}& W{}^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& W{}^{\text{Τ}}E{}_a^{\text{Τ}}& 0\\ X{\rm H}{}_2{}^{\text{Τ}}& 0& 0& 0& 0\\ W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_0{\rm H}{}_4{}^{\text{Τ}}& 0& W{}^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& W{}^{\text{Τ}}E{}_a^{\text{Τ}}\\ {\rm H}{}_5{}^{\text{Τ}}& 0& 0& 0& 0\\ \Lambda {}_{4a}& \epsilon {}_{5}B{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& \epsilon {}_{6}B{}_d{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \Lambda {}_{7a}& \epsilon {}_{5}D{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& \epsilon {}_{6}D{}_d{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \Lambda {}_{9a}& \epsilon {}_{5}E{}_3^{}{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& \epsilon {}_{6}E{}_4^{}{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \Lambda {}_{10a}& \epsilon {}_5{\rm H}{}_3^{}{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& \epsilon {}_6{\rm H}{}_4^{}{\rm M}{}_{0}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \cdots & -\epsilon {}_3{\rm I}+\epsilon {}_{5}J{}^{1/2}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0& 0\\ \cdots & \cdots & -\epsilon {}_4{\rm I}+\epsilon {}_{6}J{}^{1/2}G{}_{a}G{}_a^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & -\epsilon {}_5{\rm I}& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & -\epsilon {}_6{\rm I}\end{array}]<0(16)$

式(16)中:Φ=-X+N1+N2;

Λ1a=-X+ε1G1GT1+ε3BM0JM${}_0^{}$BT+ε4BdM0JM${}_0^{}$BTd+

ε5BM0GaGTaM${}_0^{}$BT+ε6BdM0GaGTaM${}_0^{}$BTd;

Λ2a=ε3BM0JM${}_0^{}$DT+ε4BdM0JM${}_0^{}$DTd+ε5BM0GaGTaM${}_0^{}$DT+

ε6BdM0GaGTaM${}_0^{}$DTd;

Λ3a=ε3BM0JM${}_0^{}$ET3+ε4BdM0JM${}_0^{}$ET4+ε5BM0GaGTaM${}_0^{}$ET3+

ε6BdM0GaGTaM${}_0^{}$ET4;

Λ4a=ε3BM0JM${}_0^{}$HT3+ε4BdM0JM${}_0^{}$HT4+ε5BM0GaGTaM${}_0^{}$HT3+

ε6BdM0GaGTaM${}_0^{}$HT4;

Λ5a=-I+ε2G2GT2+ε3DM0JM${}_0^{}$DT+ε4DdM0JM${}_0^{}$DTd+

ε5DM0GaGTaM${}_0^{}$DT+ε6DdM0GaGTaM${}_0^{}$DTd;

Λ6a=ε3DM0JM${}_0^{}$ET3+ε4DdM0JM${}_0^{}$ET4+ε5DM0GaGTaM${}_0^{}$ET3+

ε6DdM0GaGTaM${}_0^{}$ET4,

Λ7a=ε3DM0JM${}_0^{}$HT3+ε4DdM0JM${}_0^{}$HT4+ε5DM0GaGTaM${}_0^{}$HT3+

ε6DdM0GaGTaM${}_0^{}$HT4;

Λ8a=-ε1I+ε3E3M0JM${}_0^{}$ET3+ε4E4M0JM${}_0^{}$ET4+

ε5E${}_3^{}$M0GaGTaM${}_0^{}$ET3+ε6E${}_4^{}$M0GaGTaM${}_0^{}$ET4;

Λ9a=ε3E3M0JM${}_0^{}$HT3+ε4E4M0JM${}_0^{}$HT4+ε5E${}_3^{}$M0GaGTaM${}_0^{}$HT3+

ε6E${}_4^{}$M0GaGTaM${}_0^{}$HT4;

Λ10a=-ε2I+ε3H3M0JM${}_0^{}$HT3+ε4H4M0JM${}_0^{}$HT4+

ε5H${}_3^{}$M0GaGTaM${}_0^{}$HT3+ε6H${}_4^{}$M0GaGTaM${}_0^{}$HT4。

则存在H∞可靠控制器使得闭环系统(7)渐进稳定,且满足‖Twz(γ)‖∞≤γ1的约束。其控制器为K=WX-1。

证明 引入和定理1相同的Lyapunov函数,在零初始条件和存在外部扰动输入时,若有

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left[z{}^{\text{Τ}}(k)z(k)-\gamma {}_1{}^{2}w{}^{\text{Τ}}(k)\text{w}(k)+\Delta V(x(k),k)\right]}<0(17)$

则闭环系统不仅鲁棒渐进稳定,且满足H∞性能指标约束。即只需要

zT(k)z(k)-γ12wT(k)w(k)+ΔV(x(k),k)<0 (18)

即可。将闭环故障系统式(7)带入式(18)并进行化简即可得到式(16),具体证明过程同定理1。

推论2 考虑不确定时滞闭环系统式(7),外部干扰输入不为零,当控制器增益存在加性摄动时,对于给定的干扰衰减指标γ1>0,若存在矩阵W和正定对称矩阵X,满足

$\begin{array}{l}[\begin{array}{ccccccc}\Phi & 0& 0& 0& XA+W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}B{}^{\text{Τ}}& XC+W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}D{}^{\text{Τ}}& XE{}_1+W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}E{}_3{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & -{\rm N}{}_1& 0& 0& XA{}_d{}^{\text{Τ}}& XC{}_d{}^{\text{Τ}}& XE{}_2{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & \cdots & -{\rm N}{}_2& 0& W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}B{}_d{}^{\text{Τ}}& D{}_w^{\text{Τ}}& W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_{0}E{}_4{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & -\gamma {}^2{\rm I}& B{}_w^{\text{Τ}}& \Lambda {}_{2b}& E{}_5{}^{\text{Τ}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \Lambda {}_{1b}& \Lambda {}_{5b}& \Lambda {}_{3b}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \Lambda {}_{6b}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \Lambda {}_{8b}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\\ \begin{array}{ccccc}X{\rm H}{}_1+W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_0{\rm H}{}_3{}^{\text{Τ}}& W{}^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& XE{}_b^{\text{Τ}}& 0\\ X{\rm H}{}_2{}^{\text{Τ}}& 0& 0& 0& 0\\ W{}^{\text{Τ}}{\rm M}{}_0{\rm H}{}_4{}^{\text{Τ}}& 0& W{}^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& XE{}_b^{\text{Τ}}\\ {\rm H}{}_5{}^{\text{Τ}}& 0& 0& 0& 0\\ \Lambda {}_{4b}& \epsilon {}_{5}B{\rm M}{}_{0}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& \epsilon {}_{6}B{}_d{\rm M}{}_{0}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \Lambda {}_{7b}& \epsilon {}_{5}D{\rm M}{}_{0}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& \epsilon {}_{6}D{}_d{\rm M}{}_{0}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \Lambda {}_{9b}& \epsilon {}_{5}E{}_3^{}{\rm M}{}_{0}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& \epsilon {}_{6}E{}_4^{}{\rm M}{}_{0}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \Lambda {}_{10b}& \epsilon {}_5{\rm H}{}_3^{}{\rm M}{}_{0}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& \epsilon {}_6{\rm H}{}_4^{}{\rm M}{}_{0}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \cdots & -\epsilon {}_3{\rm I}+\epsilon {}_{5}J{}^{1/2}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0& 0\\ \cdots & \cdots & -\epsilon {}_4{\rm I}+\epsilon {}_{6}J{}^{1/2}G{}_{b}G{}_b^{\text{Τ}}J{}^{1/2}& 0& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & -\epsilon {}_5{\rm I}& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & -\epsilon {}_6{\rm I}\end{array}]<0(19)\end{array}$

式(19)中:

Λ1b=-X+ε1G1GT1+ε3BM0JM${}_0^{}$BT+ε4BdM0JM${}_0^{}$BTd+

ε5BM0GbGTbM${}_0^{}$BT+ε6BdM0GbGTbM${}_0^{}$BTd;

Λ2b=ε3BM0JM${}_0^{}$DT+ε4BdM0JM${}_0^{}$DTd+ε5BM0GbGTbM${}_0^{}$DT+

ε6BdM0GbGTbM${}_0^{}$DTd;

Λ3b=ε3BM0JM${}_0^{}$ET3+ε4BdM0JM${}_0^{}$ET4+ε5BM0GbGTbM${}_0^{}$ET3+

ε6BdM0GbGTbM${}_0^{}$ET4;

Λ4b=ε3BM0JM${}_0^{}$HT3+ε4BdM0JM${}_0^{}$HT4+ε5BM0GbGTbM${}_0^{}$HT3+

ε6BdM0GbGTbM${}_0^{}$HT4;

Λ5b=-I+ε2G2GT2+ε3DM0JM${}_0^{}$DT+ε4DdM0JM${}_0^{}$DTd+

ε5DM0GbGTbM${}_0^{}$DT+ε6DdM0GbGTbM${}_0^{}$DTd;

Λ6b=ε3DM0JM${}_0^{}$ET3+ε4DdM0JM${}_0^{}$ET4+ε5DM0GbGTbM${}_0^{}$ET3+

ε6DdM0GbGTbM${}_0^{}$ET4;

Λ7b=ε3DM0JM${}_0^{}$HT3+ε4DdM0JM${}_0^{}$HT4+ε5DM0GbGTbM${}_0^{}$HT3+

ε6DdM0GbGTbM${}_0^{}$HT4;

Λ8b=-ε1I+ε3E3M0JM${}_0^{}$ET3+ε4E4M0JM${}_0^{}$ET4+

ε5E${}_3^{}$M0GbGTbM${}_0^{}$ET3+ε6E${}_4^{}$M0GbGTbM${}_0^{}$ET4;

Λ9b=ε3E3M0JM${}_0^{}$HT3+ε4E4M0JM${}_0^{}$HT4+

ε5E${}_3^{}$M0GbGTbM${}_0^{}$HT3+ε6E${}_4^{}$M0GbGTbM${}_0^{}$HT4;

Λ10b=-ε2I+ε3H3M0JM${}_0^{}$HT3+ε4H4M0JM${}_0^{}$HT4+

ε5H${}_3^{}$M0GbGTbM${}_0^{}$HT3+ε6H${}_4^{}$M0GbGTbM${}_0^{}$HT4。

则存在H∞可靠控制器使得闭环系统(7)渐进稳定,且满足‖Twz(γ)‖∞≤γ1的约束。其控制器为K=WX-1。

4 仿真实例

考虑不确定时滞系统式(1),其系统模型参数为

Ad=diag$\left\{\begin{array}{cc}0.06& 0.02\end{array}\right\}$, Bd=diag$\left\{\begin{array}{cc}0.03& 0.04\end{array}\right\}$,Cd=diag$\left\{\begin{array}{cc}0.02& 0.02\end{array}\right\}$,Dd=diag$\left\{\begin{array}{cc}0.01& 0.01\end{array}\right\}$,Bw=diag$\left\{\begin{array}{cc}0.03& 0.01\end{array}\right\}$, Dw=diag$\left\{\begin{array}{cc}0.02& 0.06\end{array}\right\}$。系统的不确定参数矩阵为