静态受力分析

2024-11-19

静态受力分析（精选4篇）

静态受力分析篇1

分析好物体 (或物体系) 的受力情况是正确解答动力学和静力学问题的关键。对于这类问题, 准确把握物体所受的摩擦力又是顺利解答相关问题的前提。当一个处于匀速运动状态的物体 (或系统) 在另一个均匀的静止物体表面上运动时, 运动物体所受的摩擦力不变, 因此, 分析该物体受力时, 可把均匀运动的物体视为“相对静止”的物体来处理。同理, 一个静止的物体与一个做缓慢运动的物体叠放在一起, 或是两个缓慢运动的物体叠放在一起, 在分析它们的受力情况时, 可把缓慢运动的物体视作“相对静止”的物体来处理, 从而提高分析解答问题的速度。在此, 笔者结合自己的教学实践, 对这类问题作分类分析。

一、一个静止的物体与一个做匀速运动的物体叠放在一起的情形

“静止”与“运动”本是两个截然不同的概念。但在力学中, “静止”与“匀速运动”二者又都是平衡状态, 这两种情况下物体所受的合力都为零。当静止的物体与匀速运动的物体叠放在一起时, 它们之间的滑动摩擦力是不变的。此时可以把运动的物体视为静止, 但有运动趋势的情况来处理, 从而简化物理过程, 提高解题速度。

【例1】如图1所示, A、B两物体叠放在水平地面上, 已知A、B的质量分别为mA=10kg, mB=20kg。A、B之间, B与地面之间的动摩擦因数均为μ=0.5。一轻绳一端系住物体A, 另一端系于墙上, 绳与竖直方向的夹角为37°, 今欲用外力将物体B匀速向右拉出, 求所加水平力F的大小, 并画出A、B的受力分析图。 (取g=10m/s2, sin37°=0.6, cos37°=0.8)

【方法1】纯隔离分析

由题意可知, A物体处于静止状态, B物体处于匀速运动状态, 二者处于相对运动状态。二者接触面间的摩擦力属于滑动摩擦力。

首先对A进行受力分析 (如图2所示) , 由隔离A得

得T=50N

再对B进行受力分析 (图略) , 由于B处于平衡状态, 所以B在竖直方向上, 受A对B的作用力、B自身的重力、地面对B的支持力而平衡;在水平方向上, B受A对B和地面对B的摩擦力, 外力F对B的拉力而平衡, 结合上面的分析以及地面对B的支持力N =N1′+mBg, 可以分析计算出外力F=μN+fAB=160N。

【方法2】整体加隔离分析

先对A进行受力分析, 同上。

再对二者的整体受力分析, 如图3所示, F=Tsin37°+fDB=Tsin37°+μN

得F=160N

显然, 两种方法求得的结果是相同的。那么, 叠放在一起的一个静止的物体与一个做匀速运动的物体, 是不是都可以视为处于“相对静止”状态的一个整体来处理呢?请再看一个实例。

【例2】质量为M的木楔倾角为θ, 在水平面上保持静止, 当将一质量为m的木块放在斜面上时正好匀速下滑, 现用沿与斜面成α角的力F拉着木块匀速上升, 如图4所示.求:

(1) 当α 多大时, 拉力F有最小值, 求此最小值;

(2) 当拉力最小时, 水平面对木楔M的摩擦力是多大?

对本题, 依然用两种方法来求解。

【方法1】纯隔离分析

求解 (1) 时, 对m进行受力分析, 将F沿斜面分解, 有Fcosα=mgsinθ+μ (mgcosθ-Fsinα) , 由题意可知μ=tanθ, 分析解得F=mgsin2θ/cos (α-θ) 。显然, 当α=θ时, cos (α-θ) =1, 是最大值, 则F有最小值, 即F=mgsin2θ。

求解 (2) 时, 对M进行受力分析, 除地球给的重力外, 同时受到木块m给的垂直斜面向下的压力和平行斜面向上的滑动摩擦力, 还受到水平面给的竖直向上的支持力和水平方向的静摩擦力, 由于M的运动趋势尚未能明确判断, 故该静摩擦力的方向未知。

继续对m进行分析。木块m给的垂直斜面向下的压力和平行斜面向上的滑动摩擦力大小分别为mgcos3θ、mgsinθcos2θ, 二者在水平方向的分力大小相等, 均为mgsin2θcos2θ/2, mgsin2θcos2θ/2=mgsin4θ/4, 方向相同, 均为水平向右, 则合力mgsin4θ/2使M在水平面上有向右运动的趋势, 即得水平面给M的静摩擦力水平向左, 大小为fJ=mgsin4θ/2。

【方法2】整体加隔离分析

求解 (1) 同上。

求解 (2) 时, 将匀速运动的木块m与静止的木楔M视为“相对静止”。对整体进行受力分析 (如图5所示) , 将F水平分解, 可知

fJ=Fcos2θ=mgsin4θ/2

可见, 当把叠放在一起的一个静止的物体与一个做匀速运动的物体, 视为处于“相对静止”状态的一个整体分析时, 可使问题大大简化。

二、一个静止的物体与一个做缓慢运动的物体叠放在一起的情形

在力学中, “缓慢运动”也是一种动平衡状态, 和匀速运动状态一样, 也满足合力为零, 是否也能用“一”中的受力分析法处理呢?我们依然用两种方法来验证。

【例3】如图6所示, 顶端装有定滑轮的斜面体放在粗糙水平地面上, A、B两物体通过细绳连接, 并处于静止状态 (不计绳的质量和绳与滑轮间的摩擦) 。现用水平向右的力F作用于物体B上, 将物体B缓慢拉高一定的距离, 此过程中斜面体与物体A仍然保持静止。在此过程中 () 。

A.水平力F一定变小

B.斜面体所受地面的支持力一定变大

C.地面对斜面体的摩擦力一定变大

D.物体A所受斜面体的摩擦力一定变大

【方法1】纯隔离分析

首先对B进行受力分析, 如图7所示。GB一定, F=GBtanθ, T=GB/cosθ。θ角越大, tanθ越大, 则F越大, 故A选项错误;θ角越大, cosθ越小, 则T越大。

再对A进行受力分析, 如图8所示。则A所受斜面体的摩擦力fJ1=∣GAsinα-T ∣, 由于fJ1方向未知, 无法确定其大小变化情况, 故D错误。

最后对A和斜面的整体进行受力分析, 得地面对斜面体的静摩擦力大小为拉力T沿水平方向的分力, 即fJ2=Tcosα, T增大, α角不变, 则fJ2增大, C选项正确。而地面对斜面体的支持力要受两股绳子对定滑轮作用的影响, 两股绳拉力无论怎样改变, 它们在竖直方向上的分量是不变的, 所以斜面体所受地面的支持力一定不变。故正确选项为C。

【方法2】整体加隔离分析

先对B进行受力分析, 同上。

再将A、B、斜面三者视为一个“相对静止”的整体, 进行受力分析, 如图9所示, F始终水平, 与地面对斜面体的静摩擦力等大反向, 所以F增大, 则地面对斜面体的摩擦力一定变大, 故C选项正确。同时, 斜面体所受地面的支持力等于三者重力之和, 故大小一定不变, 故B选项错误。

物体A所受斜面的摩擦力是静摩擦力, 只能对A进行受力分析, 依然无法确定大小和方向, 故D选项错误。

方法2明显比方法1简单得多。可见, 一个静止的物体与一个做缓慢运动的物体叠放在一起时, 可视为二者处于“相对静止”状态。

三、两个缓慢运动的物体连在一起的情形

【例4】如图10所示, A、B两物体的质量分别为mA、mB且mA>mB, 整个系统处于静止状态。滑轮的质量和一切摩擦均不计, 如果绳一端由Q点缓慢地向左移到P点, 整个系统重新平衡后, 物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ的变化情况是 () 。

A.物体A的高度升高, θ角变大

B.物体A的高度降低, θ 角变小

C.物体A的高度升高, θ 角不变

D.物体A的高度不变, θ 角变小

解析:绳一端由Q点缓慢地向左移到P点的过程中, 物体A、B必然也要缓慢移动, 虽然移动方向不同, 但整个系统仍然处于平衡状态, A、B物体仍然保持“相对静止”。

共点力将绳一端的固定点Q缓慢向左移到P点时, 绳子的拉力大小不变。分析动滑轮的受力情况, 作出受力分析图, 如图11。由于动滑轮两侧绳子的拉力大小相等, 由平衡条件知, 两侧绳子关于竖直方向具有对称性。

设绳子的拉力大小为F, 两绳子的夹角为2α, 由于动滑轮两侧绳子的拉力关于竖直方向对称, 则有2Fcosα=mAg, 由于F=mBg, 保持不变, 则得知α保持不变, 由几何知识知, α+θ=90°, 则θ保持不变。当绳一端的固定点Q缓慢向左移到P点时, 动滑轮将上升, 则物体A的高度增大。故C正确, ABD均错, 故选C。

四、一个静止的物体与两个做缓慢运动的物体叠放在一起的情形

【例5】半圆柱体P放在粗糙的水平地面上, 其右端有一固定放置的竖直挡板MN。在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q, 整个装置处于平衡状态, 如图12 所示是这个装置的截面图。现使MN保持竖直并缓慢地向右平移, 在Q滑落到地面之前, 发现P始终保持静止。则在此过程中, 下列说法中正确的是 ( ) 。

A.MN对Q的弹力逐渐减小

B.P对Q的弹力逐渐增大

C.地面对P的摩擦力逐渐增大

D.Q所受的合力逐渐增大

解析:挡板MN保持竖直并且缓慢地向右平移的过程中, 小圆柱体Q也将缓慢地沿着半圆柱体P的表面缓慢下滑, 而P始终保持静止, 此三者可看成“相对静止”。

先对圆柱体Q进行受力分析, 受力图如图13, Q受到重力、杆MN的支持力和半球P对Q的支持力, 其中重力的大小和方向都不变, 杆MN的支持力方向不变、大小变, 半球P对Q的支持力方向和大小都变。然后根据平衡条件并运用合成法得到各个力的变化规律;最后对PQ整体受力分析, 根据共点力平衡条件得到地面对整体的摩擦力。

分析圆柱体Q的受力情况, 可知Q受重力、杆MN的支持力和半球P对Q的支持力作用。

重力的大小和方向都不变, 杆MN的支持力方向不变、大小变, 半球P对Q的支持力方向和大小都变, 然后根据平衡条件, 得到N1=mgtanθ, N2=mg/cosθ。

由于θ不断增大, 故N1不断增大, N2也不断增大, 故A错误, B正确;分析PQ整体的受力情况, 可知整体受到总重力、MN杆的支持力N1, 地面的支持力N3, 地面的静摩擦力f, 如图14, 根据共点力平衡条件, 有f=N1=mgtanθ, 由于θ 不断增大, 故f不断增大, 故C正确;物体Q一直保持静止, D错误, 故选BC正确。

五、两个均做匀速运动的物体连在一起的情形

【例6】如图15所示, 跨过定滑轮的细绳的两端悬挂着重物A和B, 当用一水平力F将A压在竖直墙上时, 悬挂A的绳恰好竖直。已知物体A重GA=10N, A与墙之间的动摩擦因数μ=0.4, 水平压力F=5N。要使物体匀速下滑, 物体B的重力GB应为多大? (不计细绳的质量及滑轮的摩擦)

解析:由题意知, 匀速下滑的物体一定是A, 则B一定匀速上升, 将二者视为“相对静止”。

则竖直墙面给A的滑动摩擦力方向竖直向上, 从平衡条件知, 摩擦力的大小等于A、B重力的和减去绳对定滑轮的拉力 (大小为2GB) , 其大小为fD=μF, 联立有GA-GB=μF, 代入求解可得GB=8N。

【例7】如图16所示, 位于水平桌面上的物块P, 由跨过定滑轮的轻绳与物块Q相连, 从滑轮到P和到Q的两段绳都是水平的。已知Q与P之间以及P与桌面之间的动摩擦因数都是μ, 两物块的质量都是m, 滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦都不计。若用一水平向右的力F拉Q使它做匀速运动, 则F的大小为 ( ) 。

A.μmg B.2μmg

C.3μmg D.4μmg

解析:由题意可知, Q向右做匀速运动, 则P一定向左做匀速运动, 这样正反向匀速运动的两个物体可以看作“相对静止”, 即可将P、Q视为一个整体, 受两绳相等的拉力F0和地面的摩擦力f及拉力F作用, 做匀速运动, 有F=2F0-2μmg。

隔离分析Q, 由平衡条件得F=F0+μmg。

由以上两式联立解得F=4μmg。

想一想如果水平向右的力作用在P上, 如图17所示, 其他条件相同, 结果会发生变化吗?

仍然用整体法, 同样有F=2F0+μmg。

再对Q隔离, 进行受力分析, 由平衡条件得F0=μmg。

同样联立两式, 得同样的结果F=4μmg。

综上所述, 当物体处于上述几种情况下的“相对静止”时, 和原始的“相对静止”一样, 完全可以用整体法进行分析。即处于平衡状态的非静止物体系统, 在受力分析时, 可视为“相对静止”的物体系统来处理, 从而大大简化分析求解过程。

参考文献

[1]杜志建.高考复习讲义 (修订版) [M].乌鲁木齐:新疆青少年出版社, 2009:28.

[2]杜志建.高考复习讲义 (修订版) [M].乌鲁木齐:新疆青少年出版社, 2009:37.

[3]杜志建.小题狂练 (第三版) [M].乌鲁木齐:新疆青少年出版社, 2014:12.

[4]杜志建.高中常考问题一本全[M].乌鲁木齐:新疆青少年出版社, 2012:33.

[5]杜志建.高考状元纠错笔记 (修订版) [M].乌鲁木齐:新疆青少年出版社, 2011:12.

[6]钟山.高考备考工具书[M].沈阳:辽宁教育出版社, 2010:17.

静态受力分析篇2

1.重力

产生：物体在地面上大学网或地面附近，由于地球的吸引而使物体受到的力但又不能说重力就是地球对物体的引力。

方向或者说是垂直于水平地面的。重力也不是恰好指向地球的球心

大小：根据二力平衡条件可知，物体受到的重力等于物体静止时对竖直悬绳的拉力或对水平支持面的压力。

作用点：重心。形状规则、质量分布均匀物体的重心在其几何中心。用悬挂法可以找薄板状物体的重心。重心不一定在物体上

2.弹力

产生条件：接触、发生弹性形变（接触力、被动力）

方向：作用在使之发生形变的物体上，与接触面垂直（点接触时，垂直于过接触点的切面），指向形变前的位置，一个物体形变产生的弹力不会作用于自身

常见的弹力：弹簧的弹力、绳的拉力、压力和支持力

大小：弹簧的弹力大小遵守胡克定律f=kx，劲度系数k（N/m）

3.摩擦力

产生条件：接触、接触面不光滑、有正压力、发生相对运动和相对运动的趋势（接触力、被动力，有摩擦力必有弹力）

方向：沿接触面，与相对运动或相对运动趋势的方向相反

大小：

（1）.滑动摩擦力f=μFN，动摩擦因数μ，FN指物体对接触面的正压力，其大小与接触面对物体的支持力等大.

（2）.静摩擦力f0、最大静摩擦力fm可由二力平衡条件求，fm略大于滑动摩擦力，在近似计算时，fm近似等于滑动摩擦力

摩擦力既可以做阻力，也可以做动力。

二、受力分析基本步骤.

受力分析是指分析物体实际所受力的情况，在对物体进行受力分析时要注意防止“漏力”和“添力”现象,按一定的步骤和顺序进行受力分析是防止“漏力”的最有效的.措施.一般情况下对物体进行受力分析可按照以下步骤：

1.明确研究对象，并把研究对象隔离出来.

2. 分析重力：地面附近的物体一定受到地球对物体的重力作用。

3.观察跟研究对象接触的物体，并逐个分析与这些接触物对研究对象的弹力、摩擦力（先分析弹力再分析摩擦力）当很难判断是否受弹力、静摩擦力时，可根据假设法进行判断.

4.只分析研究对象所受的力，不分析研究对象对其它物体所施加的力.

5.为了使问题简化，将物体简化，将所有力的作用点都画在物体的重心上.（对杆进行受力分析时例外）

整体法

若研究对象是几个物体组成的，这时可以将这几个物体视为一个整体来对待，然后分析和求解某个力。

三.实例分析

1.分析满足下列条件的各个物体所受的力，并指出各个力的施力物体.

（5）沿传送带匀速运动的物体（2）在力F作用下静止水（

1）沿水平草地滚动的足球

平面上的物体

V V

3）在光滑水平面上向右（

（6）沿粗糙的天花板向右（4）在力F作用下行使在

运动的物体球运动的物体 F>G 路面上小车

2.对下列各种情况下的物体A进行受力分析

（3）静止在斜面上的物体（2）沿斜面上滑的物体A （1

）沿斜面下滚的小球，

（接触面光滑）

接触面不光滑.

（4）在力F作用下静止在物块A （5）各接触面均光滑斜面上的物体A.

3. 对下列各种情况下的物体A进行受力分析，在下列情况下接触面均不光滑.

（3）向上爬杆的运动员

（1）A静止在竖直墙面上（2）A沿竖直墙面下滑

（6）在拉力F作用下静止

在斜面上的物体A

（5）静止在竖直墙面（4）静止在竖直墙面

轻上的物体A 轻上的物体A

A进行受力分析（各接触面均不光滑）

B同时同速向右行（ 1）A、（2）A、B同时同速向右行使向使向

（4）静止的杆，竖直墙面

光滑 A

（6

）小球静止时的结点

（7）沿电梯匀速上升

5.对下列物体作受力分析

A沿着斜面向上运动以上A都处于静止状态 A沿着墙向上运动 A沿着水平面向右运动

6． A物体都静止，分析A物体的受力情况

7．分析下列物体所受的力(竖直面光滑，水平面粗糙)

ABB

8.分析物体在水平面上物体A和B的受力

（图中A、B相对静止匀速向右运动）（图中A、

B相对静止加速向右运动）

分析A和B物体受的力分析A和C受力

静态受力分析篇3

环板式减速器是一类平行轴少齿差行星传动装置, 具有传动比大、承载能力高、结构紧凑、制造成本低、适应性广等诸多优点。以机构学的观点分析, 环板式减速器属于平行四边形机构与齿轮机构的串联组合。为消除机构的运动不确定状态并实现功率分流, 环板式减速器常采用多相平行四边形机构并列布置的形式, 其中以相位差为120°的三环减速器最为常见。尽管该类减速器已广泛应用于冶金、矿山、石油、建筑等领域, 但因设计理论尚未完善, 致使其在使用中出现振动和噪声较大、行星轴承易烧蚀等问题, 制约了其进一步推广。有鉴于此, 有必要对环板式减速器的力学行为进行系统的分析, 准确揭示出系统各环节的受力状态, 从而为后续的减速器强度设计和结构优化提供理论依据。

环板式减速器属过约束机构, 为准确揭示系统各环节的受力状态, 建模时应计入尽可能多的影响因素, 并构造恰当的变形条件。文献[1,2]利用运动副的接触变形和环板、轴的刚体位移建立了机构的变形协调条件, 进而构建了三环减速器的受力分析模型。文献[3]认为高速轴 (输入轴、支撑轴) 的弯曲变形和环板的拉压变形是系统的主要变形环节, 从而提出了考虑上述变形的三环减速器受力分析模型, 但文中将环板视为等截面杆的处理似乎有失偏颇。文献[4]的研究更进一步, 计入了输入轴、支撑轴、行星轴承、啮合轮齿与输出轴支承轴承的弹性以及高速轴偏心套误差等因素, 建立了三环减速器的弹性动力学方程, 求解了系统的固有频率和各环节的受力。但是, 该模型没有计入环板的弹性, 在一定程度上影响了分析的准确性。文献[5,6]的研究表明, 环板受力状况复杂, 且其变形对系统的受力状况影响较大, 不能简单地处理为刚体。由于文献[5,6]的分析都借用了商用有限元软件, 计算量大, 不适用于需要反复迭代的动态设计场合。

为避免复杂的有限元计算, 本文应用材料力学方法将环板处理成变截面梁, 分别计算了环板的拉压和弯曲变形。通过对各环节变形的分析, 提出了考虑环板、高速轴、齿轮副、轴承的变形以及支撑轴自由转角等因素的环板式减速器的变形协调方程, 并采用力-位移混合法建立了该类传动的动态静力分析模型。最后以一台120°相位差的三环减速器样机为例, 分析了系统中各主要零部件的受力, 并将分析结果与有限元模型的分析结果作了对比。

1 受力分析

不失一般性, 以一台相位差为120°的对称式三环减速器为例, 对其进行受力分析。减速器的结构如图1所示。

1.输入轴 2.带外齿轮的输出轴 3.带内齿轮的环板 4.偏心套 5.支撑轴 6.支撑轴承 7.行星轴承

1.1环板的静力平衡方程

第i相环板的受力如图2所示。

图2中, A、B、C分别为输入轴行星轴承孔中心、支撑轴行星轴承孔中心和内齿轮中心;Faxi、Fayi、Fbxi、Fbyi分别为环板所受的行星轴承反力;Fni为环板所受的齿轮啮合力;Pi为环板的惯性力;Gi为环板的重力, i=1, 2, 3。

对上述平面力系, 可列出其静力平衡方程:

$\begin{array}{l} F_{a x i} + F_{b x i} + F_{n i} \sin (φ_{i} - α^{'}) + Ρ_{i} \cos φ_{i} = 0 \\ F_{a y i} + F_{b y i} - F_{n i} \cos (φ_{i} - α^{'}) + Ρ_{i} \sin φ_{i} - G_{i} = 0 \\ F_{a y i} a - F_{b y i} a - F_{n i} r_{b 2} = 0 \end{array}}$

(1)

式中, φi为第i相机构的曲柄转角;α′为齿轮副啮合角;a为减速器的中心距;rb2为内齿轮基圆半径。

1.2输出轴的静力平衡方程

输出轴的受力情况如图3所示。

图3中, S为输出轴质心位置;GS为输出轴的重力;N1x、N1y、N2x、N2y分别为输出轴前后端支承轴承在x、y方向的支反力;s1、s2分别为1、3相环板的中点以及前后端支承轴承中点到质心的距离。

对作用于输出轴上的空间力系, 可列出其静力平衡方程如下:

$\begin{array}{l} Ν_{1 x} + Ν_{2 x} - F_{n 1 x} - F_{n 2 x} - F_{n 3 x} = 0 \\ Ν_{1 y} + Ν_{2 y} + F_{n 1 y} + F_{n 2 y} + F_{n 3 y} - G_{s} = 0 \\ - Ν_{1 y} s_{2} + Ν_{2 y} s_{2} - F_{n 1 y} s_{1} + F_{n 3 y} s_{1} = 0 \\ Ν_{1 x} s_{2} - Ν_{2 x} s_{2} - F_{n 1 x} s_{1} + F_{n 3 x} s_{1} = 0 \\ Τ_{o} - r_{b 1} (F_{n 1} + F_{n 2} + F_{n 3}) = 0 \end{array}}$

(2)

Fnix=Fnisin (φi-α′) Fniy=Fnicos (φi-α′)

式中, To为输出轴上的输出转矩;rb1为外齿轮基圆半径;Fnix、Fniy为齿轮啮合力在x、y方向的分量。

1.3支撑轴的转矩平衡方程

对支撑轴而言, 由于该轴不与电机直接相连, 故其传递的总转矩为零, 于是有

$e \sum_{i = 1}^{3} F_{b x i} \sin φ_{i} - e \sum_{i = 1}^{3} F_{b y i} \cos φ_{i} = 0$ (3)

式中, e为高速轴的偏心距。

联立式 (1) ～式 (3) , 可得15个代数方程, 其中未知量的数目为19个, 即Faxi、Fayi、Fbxi、Fbyi、Fni、N1x、N1y、N2x、N2y (i=1, 2, 3) 。由于方程的数目小于未知量的数目, 故需补充恰当的变形协调条件才能求解。

2 弹性变形协调条件

2.1弹性变形环节及其描述

环板式传动系统中的变形主要包括高速轴的弯曲变形、运动副的接触变形以及环板的拉压和弯曲变形。

(1) 高速轴的弯曲变形。

由于减速器工作时高速轴理论上不受轴向力作用, 故其弯曲刚度可按简支梁计算[7]。由材料力学知识不难确定高速轴在三相机构所在平面处的弯曲变形为

$\begin{array}{l} x_{a i} = - \sum_{j = 1}^{3} o_{i j} F_{a x j} \\ y_{a i} = - \sum_{j = 1}^{3} o_{i j} F_{a y j} \\ x_{b i} = - \sum_{j = 1}^{3} o_{i j} F_{b x j} \\ y_{b i} = - \sum_{j = 1}^{3} o_{i j} F_{b y j} \end{array}}$

(4)

式中, xai、yai、xbi、ybi分别为两高速轴在第i相环板处x、y方向的弯曲变形;oij为高速轴第i相和第j相环板处的柔度系数。

(2) 运动副的接触变形。

运动副的接触变形包括高速轴行星轴承的弹性变形、输出轴支承轴承的变形以及齿轮副的啮合变形。高速轴行星轴承的弹性变形为

式中, δaxi、δayi、δbxi、δbyi分别为两高速轴行星轴承在x、y方向的弹性变形;Ra、Rb分别为两高速轴行星轴承的径向支承柔度。

相应地, 可列出输出轴支承轴承的弹性变形

$\begin{array}{l} x_{Ν i} = R_{o} Ν_{i x} \\ y_{Ν i} = R_{o} Ν_{i y} \end{array}} i = 1, 2, 3$

式中, Ro为输出轴支承轴承的径向支承柔度。

齿轮副沿啮合线方向的弹性变形为

pi=RmFni (7)

式中, Rm为齿轮副的平均综合啮合柔度。

(3) 环板的变形。

环板的结构如图4所示。图4中, a为减速器的中心距, rC1、rC2分别为轴承座和内齿轮处的环板外缘尺寸, r1、rf2分别为轴承座孔半径和内齿轮齿根圆半径。根据环板的结构, 可将环板处理为跨度为AB的等效变截面梁[3]。考虑到环板的对称性, 仅取1/4环板加以分析。不妨取A点为坐标原点, 水平方向为x轴, 竖直方向为y轴, 建立坐标系, 可得环板的截面高度曲线方程。

AD段:

$y (x) = k x + b - \sqrt{r_{1}^{2} - x^{2}} 0 \leq x < r_{1}$

DE段:

y (x) =kx+br1≤x<a-rf2

EF段:

$y (x) = k x + b - \sqrt{r_{f 2}^{2} - (a - x)^{2}} a - r_{f 2} \leq x < x_{1}$

FC段:

$y (x) = \sqrt{r_{C 2}^{2} - (a - x)^{2}} - \sqrt{r_{f 2}^{2} - (a - x)^{2}}$

x1≤x<a

式中, x1、k、b皆由环板的几何形状决定。

不难想象, 一个运动周期内, 齿轮啮合力的作用点是曲柄转角φi的函数, 这将引起环板纵向载荷 (产生拉压变形) 与横向载荷 (产生弯曲变形) 的大小和方向不断变化。

对于由纵向载荷产生的拉压变形, 若设定φi沿逆时针方向为正, 则当φi-α′∈[0, π/2) ∪[3π/2, 2π) 时, 啮合力作用点位于C点左侧。此时, 环板的纵向受力可用图5所示的简化图表示。

图5中, Pix为第i相环板惯性力在x方向的分量;Ni为啮合点在x方向的投影。

根据环板的截面高度曲线方程, 采用数值积分法可求解出环板的拉压变形为

式中, ζ1i、ζ2i为环板AC、CB段拉压变形;j1、j2为环板AC、NC段的拉压柔度, 且有

$j_{1} = \frac{1}{2 E b} \int_{0}^{a} \frac{d x}{y (x)}$

$j_{2} = \frac{1}{2 E b} \int_{a - r_{b 2} \cos (φ_{i} - α^{'})}^{a} \frac{d x}{y (x)}$

式中, E为环板材料的弹性模量;b为环板的厚度。

相应地, 当φi-α′∈[π/2, 3π/2) 时, 啮合力作用点位于C点右侧。此时可得环板的拉压变形为

$\begin{array}{l} ζ_{1 i} = - j_{1} F_{a x i} \\ ζ_{2 i} = j_{1} F_{b x i} + j_{2} F_{n i x} \end{array}}$

(9)

对环板所受的横向载荷, 可将其简化为图6所示的环板横向受力简化图。

图6中, Piy为第i相环板惯性力在y方向的分量。

同样可由材料力学知识求解环板中心C点的弯曲变形y′Ci:

y′Ci=w1 (Piy-Gi) -w2Fniy (10)

$\begin{array}{l} w_{1} = \frac{3}{4 E b} (\int_{0}^{a} \int_{0}^{r_{f 2}} \frac{x}{y (x)} d x d r - \frac{1}{2 a} \int_{0}^{a} \int_{0}^{r_{f 2}} \frac{x}{y (x)} d x d r) \\ w_{2} = \frac{3}{2 E b} \frac{a - r_{b 2} \cos (φ_{i} - α^{'})}{2 a} (\int_{0}^{a} \int_{0}^{r_{f 2}} \frac{a}{y (x)} d x d r - \\ \frac{1}{2 a} \int_{0}^{a} \int_{0}^{r_{f 2}} \frac{a}{y (x)} d x d r) \end{array}$

式中, w1、w2为环板的弯曲柔度。

2.2变形协调条件

环板的变形示意图如图7所示。

由图7可知各变形之间存在如下关系:

式中, uAix、uAiy、uBix、uBiy分别为环板左右轴承孔中心 (A、B点) 沿x、y方向的位移;xCi、yCi、γi分别为内齿轮中心 (C点) 沿x、y方向的位移及环板的刚性转角。

由于支撑轴不传递转矩, 故该轴及其上的偏心套可绕行星轴承作自由回转。设支撑轴的回转角为θ, 则由其引起的环板上支撑轴行星轴承孔中心的附加位移为

注意到环板行星轴承孔中心的位移是高速轴弯曲变形和行星轴承弹性变形的叠加, 则有

联立式 (11) 、式 (13) 可得

将式 (4) 、式 (5) 、式 (8) 或式 (9) 代入式 (14) 有

$\begin{array}{l} x_{C i} + \sum_{j = 1}^{3} o_{i j} F_{a x j} + j_{1} F_{a x i} + j_{2} F_{n i x} - R_{a} F_{a x i} = 0 \\ y_{C i} + \sum_{j = 1}^{3} o_{i j} F_{a y j} - w_{1} (Ρ_{i y} - G_{i}) + \\ w_{2} F_{n i y} - a γ_{i} - R_{a} F_{a y i} = 0 \\ x_{C i} + j_{1} F_{b x i} + \sum_{j = 1}^{3} o_{i j} F_{b x j} - R_{b} F_{b x i} = 0 \\ y_{C i} - w_{1} (Ρ_{i y} - G_{i}) + w_{2} F_{n i y} + a γ_{i} + \\ \sum_{j = 1}^{3} o_{i j} F_{b y j} - R_{b} F_{b y i} = 0 \end{array}} (15)$

另外, 由图3可知输出轴存在如下变形关系:

$\begin{array}{l} x_{Ν 1} = x_{S} + s_{2} β_{y} \\ x_{Ν 2} = x_{S} - s_{2} β_{y} \\ y_{Ν 1} = y_{S} - s_{2} β_{x} \\ y_{Ν 2} = y_{S} + s_{2} β_{x} \end{array}}$

(16)

式中, xS、yS、βx、βy分别为输出轴质心S沿x、y方向的位移及其绕x、y轴的转角。

将式 (6) 代入式 (16) 有

$\begin{array}{l} x_{S} + s_{2} β_{y} - R_{o} Ν_{1 x} = 0 \\ X_{S} - s_{2} β_{y} - R_{o} Ν_{2 x} = 0 \\ y_{S} - s_{2} β_{x} - R_{o} Ν_{1 y} = 0 \\ y_{S} + s_{2} β_{x} - R_{o} Ν_{2 y} = 0 \end{array}}$

再来考察内外齿轮副沿啮合线方向的相对位移。由文献[4]可知:

pi= (xSi-xCi) sin (φi-α′) -

(ySi-yCi) cos (φi-α′) +rb1βz-rb2γi (18)

$\begin{array}{l} x_{S 1} = x_{S} + s_{1} β_{y} \\ x_{S 2} = x_{S} \\ x_{S 3} = x_{S} - s_{1} β_{y} \\ y_{S 1} = y_{S} - s_{1} β_{x} \\ y_{S 2} = y_{S} \\ y_{S 3} = y_{S} + s_{1} β_{x} \end{array}}$

(19)

式中, βz为输出轴绕z轴的转角;xSi、ySi分别为第i相机构位置处外齿轮中心在x、y方向的位移。

联立式 (7) 、式 (18) 、式 (19) 有

式 (15) 、式 (17) 、式 (20) 即为系统的弹性变形协调条件。

将上述弹性变形协调条件与系统的静力平衡方程式联立, 可得环板式减速器的弹性动态静力方程:

kx=q (21)

x= (FA, FB, Fn, N, Xo, XC, θ) T

FA= (Fax1, Fay1, Fax2, Fay2, Fax3, Fay3)

FB= (Fbx1, Fby1, Fbx2, Fby2, Fbx3, Fby3)

Fn= (Fn1, Fn2, Fn3) N= (N1x, N1y, N2x, N2y)

XC= (xC1, yC1, γ1, xC2, yC2, γ2, xC3, yC3, γ3)

Xo= (xS, yS, βx, βy, βz)

式中, k为系统的系数矩阵;x为系统的广义坐标列阵;q为系统的广义力列阵。

3 算例分析

以一台120°相位差的SH400型三环减速器为例[8], 应用上述弹性动态静力学模型对其进行受力分析。减速器的基本参数如表1所示。

经分析, 可获知一个运动周期内, 减速器中各运动副处的受力及各关键零部件的弹性变形。本文仅给出齿轮啮合力和高速轴行星轴承载荷以及环板的拉压、弯曲变形。

图8所示为三相机构齿轮啮合力的变化曲线。由图8可知, 三相机构的齿轮啮合力呈周期性变化, 且各相机构间载荷的变化规律基本相同, 近似呈120°相位差。从机构学的角度来说, 在一个运动周期内, 对每一单相机构均存在两个运动不确定位置 (第1相:φ1=0°和φ1=180°;第2相:φ2=120°和φ2=300°;第3相:φ3=240°和φ1=60°) 。但从图8中可以看出, 在上述位置处, 各相机构的齿轮啮合力均不为零且连续变化, 这表明对于对称式三环减速器而言, 不存在所谓的“死点”位置, 当然也就无所谓的“死点冲击”[9]。

1.Fn1 2.Fn2 3.Fn3

图9所示为高速轴行星轴承的载荷变化曲线, 其中, $F_{A i} = \sqrt{F_{a x i}^{2} + F_{a y i}^{2}} ‚ F_{B i} = \sqrt{F_{b x i}^{2} + F_{b y i}^{2}} (i$ =1, 2, 3) 。由图9不难看出, 两高速轴行星轴承的载荷呈周期性变化, 各相间也近似呈120°相位差。另外, 输入轴行星轴承的载荷状况远高于支撑轴行星轴承的载荷, 表明前者的受力状态明显较后者恶劣, 此点与文献[10]的实测数据完全一致。从上述分析结果可推断环板式减速器应用中出现的行星轴承早蚀现象应该是由于输入轴行星轴承恶劣的载荷状况造成的。另一方面, 环板的结构决定了行星轴承的选择余地较小, 特别是计入少齿差行星传动的多齿弹性啮合效应[11]后, 齿轮承载能力的提高与行星轴承使用寿命间的矛盾将进一步加剧, 这一现象必须引起设计者的足够重视。

1.FA12.FA23.FA34.FB15.FB26.FB3

在获知各轴承载荷的情况下, 可以进一步计算减速器箱体作用于机座上的摆动力矩, 其结果如图10所示。

1.水平方向 2.垂直方向

图10表明三环减速器在工作过程中, 箱体作用于机座上的摆动力矩在水平方向和竖直方向均呈周期性变化, 且二者的变化规律类似;就其幅值而言, 水平方向要略高于竖直方向。当减速器上作用有上述周期性变化的力矩时, 必然会引起箱体的振动, 而这正是造成三环减速器振动的主要原因。

从高速轴行星轴承的载荷可反求出该环节的弹性变形。经计算可知输入轴行星轴承最大变形为7.6×10-2mm, 支撑轴行星轴承的最大变形为4.4×10-2mm。

图11所示为一个运动周期内三相机构环板的变形。显然, 三相机构环板的拉压变形和弯曲变形的变化规律基本相同, 只是幅值和相位存在一定差异。以第1相机构为例, 当φ1=198°时, 环板的拉压、弯曲变形分别为0.0200mm和-0.0087mm。

1.环板1弯曲变形 2.环板2弯曲变形 3.环板3弯曲变形 4.环板1拉压变形 5.环板2拉压变形 6.环板3拉压变形

若采用文献[5]的有限元方法分析, 可知环板的变形如图12所示。

通过后处理程序, 可知环板中心孔在x、y方向的位移分别为0.0213mm和-0.0094mm。两种模型计算结果的相对误差分别为6.1%和7.4%, 考虑到有限元模型的复杂性, 上述计算误差一般情况下是可以接受的。

进一步的研究发现高速轴的弯曲变形、行星轴承的弹性变形、齿轮副的啮合变形以及环板的拉压、弯曲变形的数量级均为10μm。这表明环板式减速器中各关键零部件在工作载荷下的变形量相差不大, 不能舍弃任一。换言之, 若要准确揭示系统的受力状态, 在建立环板式减速器的受力分析模型时, 必须计入上述各构件的变形。因此, 前人研究中仅计入运动副的变形[1,2]、将环板处理为刚体[4]或仅计入其拉压变形[3]的作法都是值得商榷的。

4 结论

(1) 以120°相位差的三环减速器为例, 从系统受力与构件位移的角度出发, 通过寻求环板式减速器传动系统中的变形协调条件, 建立了该类传动的弹性动态静力学方程。与现有方法相比, 该方法综合考虑了高速轴、环板、运动副的弹性变形及支撑轴附加转角等诸多因素, 能较准确地揭示系统各主要零部件的受力及变形情况。

(2) 环板式减速器工作时, 环板同时产生拉压、弯曲变形, 且该变形与高速轴的弯曲变形及运动副的弹性变形数量级相同, 不可忽略上述变形中的任何一个。

(3) 将环板简化成等效变截面梁所得的变形与有限元法获得的变形的相对误差不超过8%, 表明本文提出的建模方法具有较好的精度。

参考文献

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