全局最优

2024-05-26

全局最优（精选5篇）

全局最优篇1

实现全局最大功率点跟踪是提高光伏并网发电系统效率的一种非常有效措施［1-2］。同一系统的光伏陈列在相同辐照和温度下,其输出P—U曲线表现为单峰值特性,采用传统的电导增量法(IC)、扰动观测法(P&O)等算法都可实现光伏阵列的最大功率点跟踪［3］。但在实际工程应用中,由于光伏阵列会遇到局部遮挡、老化以及积尘覆盖等原因会导致光伏阵列输出的特性不一致,此时光伏阵列的P—U曲线将表现为多峰值特性［4］,传统的单峰值算法将会使系统处于局部峰值点,导致光伏阵列不能持续工作在系统最大输出功率点,减少了系统向电网或负荷注入的电能,从而造成系统的总体发电效率下降［5］。

本文提出一种基于局部扫描法与P&O相结合的全局最优MPPT算法,该方法在系统启动后先采用固定大步长进行一次全局扫描来寻找全局最大功率点,当扫描结束后使系统运行于全局最大功率点附近,然后启动变步长P&O算法变步长扫描,找到精确的最大功率点。该方法解决了传统的单峰值算法导致光伏阵列不能持续工作在系统最大输出功率点的问题,能使光伏阵列运行在系统全局最大功率点。

1 局部阴影下的光伏输出特性

图1 为光伏阵列有/无阴影输出特性示意图。本文针对光伏阵列在有/无阴影输出的特性进行研究,假设初始时刻光伏阵列表面无阴影,在运行过程中出现阴影,其输出特性的变化规律为:1)在正常情况下光伏阵列只有1个峰值点,当出现局部阴影后,光伏阵列输出功率将会减小,系统会出现2 个或2 个以上的峰值;2)光伏阵列从无阴影到出现阴影过程中,其输出特性曲线上的全局最大功率点可能向电压减小的方向移动,或仍在原最大功率点对应的电压附近;3)当光伏阵列输出呈现多峰特性时,一般情况下,各个局部峰值点呈阶梯状,即在全局MPP点左右两边,局部MPP点逐次减小,距离全局最大功率点越远,局部最大功率点的功率越小。特殊情况下会在2个较大局部峰值点之间存在一个较小峰值点。

当光伏阵列出现如图1中所示的局部阴影下多峰输出特性时,传统的MPPT算法可能会失效。基于以上输出特性规律,本文提出了局部扫描法与P&O相结合的全局最优MPPT算法。

2 全局MPPT算法设计

2.1 系统启动阶段

在系统启动阶段,有2种方案。

1)一般在全局最优MPPT算法中,默认系统启动时光伏阵列输出为单峰值,故采用传统的MPPT启动,当阴影出现后,再使能全局MPPT算法。但是,系统在实际启动之前无法确定光伏阵列输出处于单峰值还是多峰值状态,所以本方法中系统启动后先进行一次全局扫描来寻找全局最大功率点。由于全局扫描范围较大,为减小功率损失,先采用固定大步长扫描,扫描结束后使系统运行于全局最大功率点附近,然后启动变步长P&O算法变步长扫描,找到较精确的最大功率点。

2)若系统启动时光伏阵列表面无局部阴影,则测量此时的开路电压,并以0.9 倍的开路电压为参考电压,启动变步长P&O算法,此时无需进行全局MPPT扫描算法。

2.2 稳定运行阶段

变步长P&O算法:即在传统的P&O算法上增加变步长算法,具体实施方法就是每改变一次搜索方向,步长变为原步长的一半,该方法可以减小在最大功率点附近震荡带来的能量损失。

系统启动后,根据此时的扰动步长可以判定系统是否处于稳定阶段,当扰动步长足够小时,认为系统已稳定运行在全局最大功率点上。

当系统稳定运行后,使能光伏阵列阴影判断功能,此时设定阈值ΔP0。另外,令ΔP=P(t)-P(t-1),其中P(t)和P(t-1)分别为当前功率值和上一次功率值,考虑到系统的响应时间及振荡,故设P(t)和P(t-1)为某一时间段内功率的平均值。若光伏阵列输出功率不发生突变,即| ΔP| < ΔP0时认为光伏阵列无阴影,则继续执行P&O算法;否则认为光伏阵列有阴影,需要启动局部扫描法。

2.3 变步长的P&O算法

1)功率平均值的计算。在P&O算法执行过程中,系统处于稳态,则无需进行频繁的扰动,选取扰动时间间隔为500 ms,而功率计算平均值的时间则为500 ms中后半200 ms。

2)ΔP0的取值。因为P&O算法是在不停地进行扰动,当无局部阴影发生时,采用变步长P&O算法产生功率差值很小;在无阴影条件下,光伏阵列工作在全局最大功率点处时,扰动步长为ΔU,扰动带来的功率变化ΔP与ΔU、最大功率点处电流成比例关系。因此设定ΔPmax= k ·ΔU·Imax,其中k为系数,为防止太容易进入局部阴影扫描,故选取ΔU的最大值。当局部阴影发生时,若对光伏阵列输出功率产生的影响比较小时,也无需启动局部扫描算法,以避免扫描过程中带来的功率损失。

因出现局部阴影后,光伏阵列输出功率变小,最大功率点保持在原工作电压点附近或向电压减小的方向移动,故进入局部扫描算法后,从当前工作电压点处向电压减小的方向扫描,并将当前工作点的功率、电压分别记作Pmax,UPmax。由于扫描范围较大,故扫描的固定步长可以略大于P&O算法中的最大步长。系统不断向电压减小的方向进行扫描,直到出现新的峰值,若新峰值的功率值大于Pmax,则更新UPmax的值,继续向电压增大的方向进行扫描,若新峰值的功率值小于Pmax,则停止扫描。另外,若搜索到扫描范围的电压下限值Umin,也停止扫描。局部扫描过程不宜太长,故在系统稳定的前提下,减小扰动时间间隔,相应计算P(t)和P(t-1)的平均值时间的减小,扰动时间间隔取为300 ms以内。

3 仿真和实验结果

本文搭建了基于Matlab/Simulink的仿真模型,对全局最优MPPT算法进行了仿真验证。

3.1 基于Matlab的仿真模型

图2为光伏阵列仿真模块。光伏阵列的开路电压、短路电流、最大功率点电压、电流,以及温度、光照强度和每个组件中被遮挡的光伏阵列个数具体见图中给定的参数。其中2个阶跃信号表示光伏阵列第2 块组件与第3 块组件在1 s时突然出现阴影,这样导致光伏阵列输出特性出现多峰现象。PV_3_531模块为S-Function模块,可根据输入条件与当前工作电压,得到光伏阵列对应的输出电流值。其中,用Boost电路控制光伏阵列的输出电压,寻找光伏阵列的全局最大功率点。Boost电路的输入端接光伏阵列,输出端接直流电压源,作为稳定的母线电压。

3.2 Matlab仿真结果

1)仿真条件。在光照度为1 000 W/m2时系统启动,输出单峰特性曲线。在1 s时第2个与第3 个组件都有4 个阵列出现阴影。因为6 k W逆变器的MPPT最低电压为200 V,最高电压为500V,故设置P—V曲线的扫描范围为220~480 V。

2)仿真过程。1系统启动后从0.9 倍的开路电压处开始进行P&O算法,算法初始步长为20V,寻找最大功率点并保存;2当P&O算法的步长足够小时,认为光伏阵列已稳定运行于最大功率点,启动功率判断功能,在功率发生突变时执行步长为20 V的局部扫描法,寻找全局最大功率点并保存,若功率没有发生突变,继续执行P&O算法;3在1 s功率发生突变,启动局部扫描法;4启动局部扫描法扰动结束后,参考电压给定为全局最大功率点处电压,执行P&O算法,算法初始步长为20 V;5返回步骤3。

3)仿真结果。图3 为仿真过程中,全局最优MPPT算法给定的参考电压变化过程。正常情况时,光伏阵列输出特性如曲线1所示,系统运行于最大功率点O。曲线2为出现局部阴影时的光伏输出特性。

图4、图5分别为全局最优MPPT算法过程中光伏阵列输出电压、功率变化仿真波形图。

系统启动后开始进行P&O算法,经过t1时间,系统扫描到最大功率点O,此时输出功率大约为6.2 k W。t2=1 s时出现局部阴影,光伏阵列输出电压不变,电流减小,输出功率降为4.4 k W左右,光伏阵列工作于A点。随后启动局部扫描法,将A点记为功率最大点Pmax,并从A点开始向电压减小的方向进行扰动扫描。扫描到局部功率最大B点后,由于B点功率小于A点,继续向电压减小的方向扫描,但由于B点左边没有功率减小的局部峰值点,故需扫描到MPPT的电压下限Umin处时停止扫描,然后回到记录中的最大功率点A后附近扫描,由于C点功率为4.42 k W,并且右边没有功率减小的局部峰值点,t3时刻将C点的电压作为参考电压,启动P&O算法,使光伏阵列工作在C点左右,等待下次功率突变的发生。此时光伏阵列输出最大功率为4.42 k W。至此,此种全局最优MPPT算法已完成,其工作点依次为O→A→B→A→C。

3.3 实验装置及结果

为验证本文的算法,搭建了功率为6 k W的单相光伏并网逆变器,图6 为用毛毯遮住部分电池组件。装置的主要参数为:PV输入功率6 k W,升压电感0.22 m H,Boost IGBT型号IKW40N65H5,Boost二极管型号APT30DQ120BG,母线DC-link315 V/1 000 μF。

图7、图8分别为全局最优MPPT算法过程中光伏阵列输出电压、功率变化实际瞬态波形图。

图7和图8是系统开始无阴影时工作电压、输出功率分别约520 V,6 000 W,在150 s时用毛毯遮住部分电池组件,在270 s时移去毛毯后系统电压、功率的动态变化波形。从图中可以看出:在出现阴影的情况下,系统立即对光伏输出特性曲线不断的扫描,当扫描结束后使系统运行于全局最大功率点附近,这样减少系统能量的损失,与仿真及理论分析相符。

图9为光伏模拟器模拟当光伏组件有2个峰值时光伏阵列全局最大输出功率点时波形图。

从图9 可以看出,当系统存在2 个局部最大功率点时,通过本文提出的算法能很快找到全局最大功率点,如图9中圆点所示。通过同样的方法,当系统存在2个及2个以上的局部最大功率点时也能通过比较找到全局最大功率点。

4 结论

本文提出一种新的基于局部扫描法与P&O相结合的全局最优MPPT算法,通过仿真与实验说明了采用全局最优MPPT算法的过程,该算法有以下优点:

1)相较于全局MPPT扫描算法,此算法扫描范围较小,减少了扫描过程中功率的损失;

2)此算法避免了短路电流的在线测量,而开路电压值也只需在开机前读取即可;

3)结合传统的P&O算法,不需要在无阴影的情况下对光伏输出特性曲线不断的扫描,从而减少了功率损失,同时有利于系统的稳定运行。

摘要：针对光伏阵列出现多个局部功率峰值时,传统的MPPT算法导致系统工作在某个局部最大功率点的问题,提出一种新的基于局部扫描法与P&O相结合的全局最优MPPT算法,该方法在系统启动后先采用固定大步长进行全局扫描来找到全局最大功率点,当系统运行在全局最大功率点附近时,然后采用变步长P&O算法变步长扫描来找到精确的最大功率点。基于Matlab/Simulink的仿真模型,对全局最优MPPT算法进行了仿真验证;并搭建一个功率为6 k W的实验平台验证当系统出现多个峰值时的效果。仿真和实验结果验证了所提出的全局最优MPPT算法在光伏阵列出现多峰值时具有很好的MPPT效果。

关键词：光伏阵列,全局优化,最大功率点跟踪,算法

参考文献

[1]Kjaer S B.Evaluation of the Hill Climbing and the Incremen-tal Conductance Maximum Power Point Trackers for Photovol-taic Power Systems[J].IEEE Transactions on Energy Conver-sion,2012,27(4):922-929.

[2]Ji Y H,Jung D Y,Kim J G,et al.A Real Maximum PowerPoint Tracking Method for Mismatching Compensation in PVArray Under Partially Shaded Conditions[J].IEEE Transac-tions on Power Electronics,2011,26(4):1001-1009.

[3]张兴,曹仁贤.太阳能光伏并网发电及其逆变控制[M].北京:机械工业出版社,2011.

[4]Hiren Patel,Vivek Agarwal.Maximum Power Point TrackingScheme for PV Systems Operating Under Partially ShadedConditions[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2008,55(4):1689-1698.

[5]Maki A,Valkealahti S.Power Losses in Long String and Paral-lel-connected Short Strings of Series-connected Silicon-basedPhotovoltaic Modules Due to Partial Shading Conditions[J].IEEE Transactions on Energy Conversion,2012,27(1):173-183.

全局最优篇2

1 系统总成本最小站距模型

公交线路系统总成本最小站距模型,是利用全局最优化方法,并以时间价值理论与系统总成本的观念,建立站距对乘客总出行时间成本及车辆营运成本之间的关系模型,并将这两者成本之和当作系统总成本,并使系统总成本最小。

根据车辆行驶状态的不同,将每日车辆营运总成本划分为车辆正常行驶时的营运成本及车辆在站点停站时的营运成本。这样划分每日车辆营运总成本,是因为车辆以正常车速行驶和停站两种情况下,二者单位时间的油耗及轮胎的损耗不同,而且只有在停站情况下,车辆营运成本才和站距关系密切。将乘客各阶段的出行时间分别乘以不同的单位时间价值,即可得到公交线路每日乘客出行时间成本。

2 建模及模型推导

假设一条公交线路有如下基本特点:车辆以固定行车间隔从一端驶至另一端;乘客出行起讫点沿公交线路均匀公布;车辆以一定的匀减速度及匀加速度进出站。基于上述基本假设,可以推导出有关车辆运行时间和乘客平均出行时间的表达式。

2.1 每日车辆营运成本Cv

每日车辆营运成本等于车辆以正常行驶时的时间乘以其时间成本和车辆在站点停站时的时间乘以成本之和。车辆运行时间可表示成

$\begin{array}{l} Τ_{v} = Τ_{C} + Τ_{b} + Τ_{s} ‚ Τ_{C} = \frac{L}{V} ‚ \\ Τ_{b} = t_{d} \cdot n = t_{d} \cdot \frac{L}{d} ‚ Τ_{s} = \frac{L}{d} \cdot Ζ . \end{array}$

式中:Tv车辆单向运行于起终点的时间(s);TC车辆以稳定车速V运行时间(s);Tb车辆因停站而加速所损失时间(s);Ts车辆停站上下时间(s)。L为线路长度(m);V为车辆的运行速度(m/s);td为车辆一次加减速度时的损失时间(s);n为公交站点数(辆);d为公交站距(m);Z为每段上下车时车辆的平均停车时间(s)。

假设公交车辆在停站点停靠时,其营运成本为油耗的(L+α)倍,车辆以正常运行车速行驶时单位时间成本为Kb,则有:

$\begin{array}{l} C_{v} = \sum_{t = 1}^{Τ} \frac{L}{V_{t}} \cdot Κ_{b} \cdot f_{t} + (1 + α) \times \sum_{t = 1}^{Τ} \frac{L}{d} \cdot F_{p} \cdot \\ (C_{s} + C_{r} \cdot Ζ_{t}) \cdot f_{t} . \end{array}$

式中:Cs为每次停站加减速时的油耗值(L/次);Cr为停站单位时间油耗(L/s);Fp为燃油价格(元/L);Zt为t时段每站乘客上下车时车辆的平均停车时间(s);ft为t时段服务班次(次);α为除燃油成本以外的其它成本系数,通常取α=1。

2.2 每日乘客总出行时间成本Cu

2.2.1 每日乘客到站步行成本C1。

包括乘客步行到达公交线路的时间成本和乘客沿公交线路步行到达最近的公交站点的时间成本。

1)乘客步行到达公交线路的时间t11。

对于一条固定公交线路来说,乘客步行到达公交线路的平均距离可以看成常数,它与设站距离关系不大,因此可以假设乘客步行到达公交线路的平均距离为常数w。据统计,其值约为线路网平均间距的1/3左右;则所有乘客步行到达公交线路的时间为

$t_{11} = \frac{Ρ_{w}}{v_{a}} .$

式中:P为公交线路乘客需求运量(人/s);va为乘客步行速度(m/s)。

乘客步行到达公交线路的时间成本C11为

$C_{11} = Κ_{a} \sum_{t = 1}^{Τ} \frac{w}{v_{a}} \cdot p_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} .$

式中:Ka为乘客步行时间价值 (元/s);va为乘客步行速度(m/s);w为乘客平均到达公交线路的距离(m);P $_{t}^{a}$ 为t时段公交线路乘客需求运量(人/s);Pt为t时段持续时间(s)。

2)乘客沿公交线路到达最近公交站点的时间t12。

乘客沿公交线路到达最近公交站点的距离,需要分析乘客选择站点分界点的行为特性,如图1所示。乘客在考虑使用任一个站点的分界点时,应以乘客步行到达k+1站点的时间加上候车时间等于步行到达k站点加上车辆行驶到k+1站点的时间与候车时间之和,表达式为 $\frac{Η}{v_{a}} + Τ_{w} = \frac{G}{v_{a}} + Τ_{s} + Τ_{w} ‚ G + Η = d .$

式中:Ts为站点k及k+1站之间的旅行时间(s);Tw为在站点的平均候车时间(s)。

推导出

$\begin{array}{l} G = \frac{1}{2} (d - Τ_{s} v_{a}) . (1) \\ Η = \frac{1}{2} (d + Τ_{s} v_{a}) . (2) \end{array}$

已知车辆在站间行驶车速为V,进站减速度为b,出站加速度为a,停站时间(即乘客上下车平均时间)为Z,则可以看出,车辆站间旅行时间包括车辆站间以正常车速行驶的时间、车辆进站减速时间、车辆停站时间及车辆出站加速时间,则有

$Τ_{s} = \frac{d}{V} + Τ_{1} ‚ Τ_{1} = \frac{V}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + Ζ . (3)$

式中:T1为车辆停站损失时间(包括车辆加减速的时间和停车乘客上下车的时间)。

把式(1)代入(3)得

$G = a \cdot d - r ‚ Η = E \cdot d + r . (4)$

其中 $a = \frac{1}{2} (1 - \frac{v_{a}}{V}) ‚ E = \frac{1}{2} (1 + \frac{v_{a}}{V}) ‚ r = \frac{Τ_{1}}{2} v_{a} .$

若已知上述参数值,则乘客沿公交线路到达最近站点的时间即可导出。则所有乘客沿公交线路到达最近站点的时间为

$t_{12} = (G^{2} + Η^{2}) \frac{p \cdot n}{2 v_{a}} = (G^{2} + Η^{2}) \frac{Ρ L}{2 d v_{a}} .$

乘客沿公交线路步行到站时间成本C12

$\begin{array}{l} C_{12} = Κ_{a} \sum_{t = 1}^{Τ} \frac{L}{2 d v_{a}} (G^{2} + Η^{2}) \cdot Ρ_{1}^{a} \cdot Ρ_{t} ‚ \\ C_{1} = Κ_{a} \sum_{t = 1}^{Τ} \frac{w}{v_{a}} \cdot Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} + \\ Κ_{a} \sum_{t = 1}^{Τ} \frac{L}{2 d v_{a}} (G^{2} + Η^{2}) \cdot Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} . \end{array}$

2.2.2 每日乘客候车时间成本C2

$C_{2} = \sum_{t = 1}^{Τ} Κ_{w} (β h_{t}) \times Ρ_{t}^{a} \times Ρ_{t} .$

式中:Kw为乘客候车时间价值(元/s);β为平均候车时间与发车间隔比值;ht为t时段的发车间隔(s)。

2.2.3 每日乘客车内乘车时间成本C3。

包括乘客车内乘车时间与乘客因车辆停靠点而损失的时间。

1)乘客车内乘车时间成本C31

$C_{31} = \sum_{t = 1}^{Τ} Κ_{v} (\frac{L_{a}}{V_{t}}) Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} .$

式中:Kv为乘客车内时间价值(元/s);La为乘客平均乘距(m)。

2)乘客所乘车辆停靠点站点而损失的时间成本C32为

$\begin{array}{l} C_{32} = \sum_{t = 1}^{Τ} Κ_{v} (\frac{L_{a}}{d}) Ζ_{t} Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} \cdot Τ_{t} ‚ \\ Τ_{1} = \frac{V}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + Ζ ‚ \\ C_{3} = \sum_{t = 1}^{Τ} Κ_{v} (\frac{L_{a}}{V_{t}}) Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} + \\ \sum_{t = 1}^{Τ} Κ_{v} (\frac{L_{a}}{d}) \cdot Ζ_{t} Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} \cdot Τ_{1} . \end{array}$

2.2.4 每日乘客离站步行时间成本C4。

对一条固定的公交线路来说,该成本基本与每日乘客到站步行时间成本相等,即C4=C1。由上述分析可知,一条固定公交线路的每日社会总成本为每日车辆营运总成本与每日乘客总出行时间成本之和。因此,为使每日社会总成本最小,建立如下数学模型为Min C=Cv+Cu。

$\begin{array}{l} C_{u} = C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4} ‚ \\ C = \sum_{t = 1}^{Τ} \frac{L}{V_{t}} \cdot Κ_{b} \cdot f_{t} + (1 + α) \cdot \sum_{t = 1}^{Τ} \frac{L}{d} \cdot F_{p} \cdot \\ (C_{s} + C_{1} \cdot Ζ_{t}) \cdot f_{t} + \sum_{t = 1}^{Τ} Κ_{v} (\frac{L_{a}}{V_{t}}) Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} + \\ \sum_{t = 1}^{Τ} Κ_{v} (\frac{L_{a}}{d}) Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} \cdot Τ_{1} + 2 Κ_{a} \sum_{t = 1}^{Τ} \frac{L}{2 d v_{a}} \\ (G^{2} + Η^{2}) \cdot Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} + \\ \sum_{t = 1}^{Τ} Κ_{w} (β h_{t}) \cdot Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} . \end{array}$

把公式(4)代入可得

$\begin{array}{l} C = \sum_{t = 1}^{Τ} \frac{L}{V_{t}} \cdot Κ_{b} \cdot f_{t} + \\ (1 + α) \cdot \sum_{t = 1}^{Τ} \frac{L}{d} \cdot F_{p} \cdot (C_{s} + C_{r} \cdot Ζ_{t}) \cdot \\ f_{t} + \sum_{t = 1}^{Τ} Κ_{v} (\frac{L_{a}}{V_{t}}) Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} + \sum_{t = 1}^{Τ} Κ_{v} (\frac{L_{a}}{d}) Ρ_{t}^{a} \cdot \\ Ρ_{t} \cdot Τ_{1} + \\ 2 Κ_{a} \sum_{t = 1}^{Τ} \frac{w}{v_{a}} \cdot Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} + 2 Κ_{a} \sum_{t = 1}^{Τ} \frac{L}{2 d v_{a}} [(a d - r)^{2} + \\ (E d + r)^{2}] \cdot Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} + \sum_{t = 1}^{Τ} Κ_{w} (β h_{t}) \cdot Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} . \end{array}$

令 $\frac{\partial c}{\partial d} = 0$ ,且设

$\begin{array}{l} W_{1} = (1 + α) \cdot \sum_{t = 1}^{Τ} L \cdot F_{p} \cdot (C_{s} + C_{r} \cdot Ζ_{t}) \cdot f_{t} ‚ \\ W_{2} = \sum_{t = 1}^{Τ} Κ_{v} (L_{a}) Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} \cdot Τ_{1} ‚ \\ W_{3} = 2 Κ_{a} \sum_{t = 1}^{Τ} \frac{L}{2 v_{a}} \cdot Ρ_{t}^{a} \cdot Ρ_{t} . \end{array}$

则有

$\frac{1}{d^{2}} (W_{1} + W_{2} + 2 r^{2} W_{3}) = W_{3} (a^{2} + E^{2}) .$

即 $d = \sqrt{\frac{(W_{1} + W_{2} + 2 r^{2} W_{3})}{W_{3} (a^{2} + E^{2})}}$ 。 (5)

本文分别对以上部分进行讨论,据此建立目标函数,以便获得线路最佳站距设计值。近年来,由于城市的发展、市区范围的不断扩大、人口的增加,车辆行驶速度逐年降低。为适应上述情况并加速车辆周转,因此,实际应用时需对其进行相应修正,公式为

$d_{l} = ϕ d .$

式中:ϕ为站距修正系数,对市区线路一般取1.0～1.3,通过市中心或闹市区的线路可取较低值;接近市区边缘或平均运距较长的线路可取较高值。

3 结束语

本文应用系统总成本最小站距模型对城市公交站距的设置进行了数学建模推导,并综合考虑了车辆配置限制模型和乘客总出行时间最小站距模型, 对系统总成本最小站距模型进行了完善, 可为公交的布局和规划提供参考,在以后的工作中还应深入研究出行换乘次数和公交枢纽换乘问题。

摘要：在分析城市公交站点布设模型的基础上,结合车辆配置限制模型和乘客总出行时间最小站距模型的特点,运用系统总成本最小理论建立了公交站点优化的数学模型,该方法原理简单、便于操作。

关键词：公交站点优化,全局最优化,系统总成本最小

参考文献

[1]伍识煤.公交站点设置问题的研究[D].哈尔滨:哈尔滨工业大学,2002.

[2]高成.城市公共汽车站点规划研究[J].城市公共交通,2003(3):13-14.

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[4]潘鲁萍.用动态规划方法求解最优设站问题[J].交通与计算机,2002(3):20-22.

全局最优篇3

全局最优化在许多领域有广泛的应用, 如计算机科学, 经济管理, 资源管理, 工程设计, 生物工程等.自70年代以来有关全局最优化的新的理论及计算方法层出不穷.人们已提出的有效全局优化方法可以分成两类:确定性方法, 如打洞函数法[3,4,5,10], 填充函数法[1,2]等.不确定方法, 又称随机类方法, 如模拟退火算法[11], 遗传算法[12]等.因此, 研究全局最优化方法, 既具有十分重要的理论意义, 又具有广泛的直接应用前景.

填充函数法最早是由西安交通大学的葛仁傅教授在文章[1]中首先提出的, 它的基本思想是:在目标函数f (x) 的当前的局部极小点x*1处构造填充函数P (x) , 如果P (x) 的一个极小点 $\bar{x}$ 在比x*1所在盆谷更低的盆谷中, 则以 $\bar{x}$ 为初始点极小化f (x) 可得到f (x) 的比x*1更低的极小点x*2, 再用x*2代替x*1可找到更低的极小值点.重复以上过程, 在一定条件下结束.最终可以找到f (x) 的全局极小点x*g.

文献[7,8,9]针对两个参数不易调节的问题利用文献[1]的定义加以修改, 构造出了单参数的填充函数.文中是在以上文献的基础上给出的一种有效的单参数填充函数.

本文的结构如下:第2节是预备知识, 给出填充函数的定义以及一些假设条件;第3节给出一个单参数的填充函数, 通过证明它的性质说明所给的函数是一个填充函数;第4节给出填充函数的算法, 并用数值试验结果来说明算法的有效性和可行性;第5节给出结论.

2 预备知识

我们考虑如下无约束最优化问题:

${\begin{cases} \min f (x), \\ s . t x \in R^{n} . \end{cases} (2.1)$

首先我们做如下假设:

假设1f (x) 在Rn上连续可微, f (x) 的局部极小点个数可以有无限个, 但其局部极小值个数只有有限个.

假设2f (x) 是一个强制函数, 即当x→+∞时, 有f (x) →+∞.

显然, 由假设2可知, 存在这样一个强紧集Ω⊂Rn, 它的内部包含f (x) 的所有极小点.为方便起见, 设Ω被一些常数ci, di, i=1, …, n所确定, 特别, 不妨令Ω={ (x1, …, xn) |ci≤xi≤di, i=1, …, n}, 这里ci, di, i=1, …, n是常数.所以, 原极小化问题等价于如下的极小化问题:

${\begin{cases} \min f (x), \\ s . t x \in Ω . \end{cases} (2.2)$

接下来我们介绍几个概念.

定义2.1 一个连通区域B*称为f (x) 在孤立局部极小点x*的盆谷, 是指x*∈B*, 而且从B*内任一点出发, f (x) 的最速下降轨迹一定趋向于x*, 但从B*外的任一点出发, f (x) 的最速下降轨迹一定不趋向于x*.类似地, 称B*为f (x) 的孤立局部极大点x*处的山丘, 若B*为-f (x) 在x*处的盆.

如果f (x) 的两个局部极小点x*1和x*2处的函数值满足f (x*1) ≤f (x*2) , 称x*1处的盆比x*2处的盆低;否则称x*1处的盆比x*2处的盆高.显然有这样的结论:如果B*是x*的盆谷, 那么对∀x∈B*且x≠x*, 有f (x) >f (x*) .

定义2.2 设x*是f (x) 的一个局部极小点, x*处的简单盆S*是一个含于B*内的一个连通区域, 对∀x∈S*且x≠x*, 不等式 (x-x*) T∇f (x) >0成立, 类似地可以定义简单山丘.

定义2.3F (x, q) 称为极小化问题 (2.1) 的对应于局部极小点x*处一个填充函数, 如果F (x, q) 满足如下性质:

(1) x*是F (x, q) 的一个严格局部极大点;

(2) ∇F (x, q) ≠0, 当x∈S1时, S1={x|f (x) ≥f (x*) , x∈Ω＼x*};

(3) 如果x*不是f (x) 的一个全局极小点, 且S2={x|f (x) <f (x*) , x∈Ω}≠Ø, 那么存在一个点 $\bar{x}$ ∈S2是F (x, q) 的一个局部极小点.

3 填充函数的构造及其性质

我们构造在f (x) 当前局部极小点x*处的填充函数的形式如下:

F (x, q) =-ln (f (x) -f (x*) +1) -q (x-x*) 2. (3.1)

这里, x*是f (x) 当前局部极小点, q>0且足够大.

对任意的x∈Ω, 令d (x) =x-x*;L1=max∇f (x) , 其中x∈Ω;D=minf (x) -f (x*) , 其中x∉S1, S1是x*包含的简单盆.

下面我们将证明F (x, q) 满足定义2.3.

定理3.1 假设x*是函数f (x) 的一个局部极小点, 则x*一定是F (x, q) 的一个严格局部极大点.

证明因为x*是函数f (x) 的一个局部极小点, 所以存在x*的一个领域N (x*, δ) (δ>0) 使得对任意的x∈N (x*, δ) 都有f (x) ≥f (x*) .故, 对任意的x∈N (x*, δ) /{x*}都有

F (x, q) =-ln (f (x) -f (x*) +1) -q (x-x*) 2<0=F (x*, q) . (3.1)

所以, x*是函数F (x, q) 的一个严格局部极大点.

定理3.2 对任意的d∈Ω, 且f (x) >f (x*) , 若dT∇f (x) ≥0, dT (x-x*) >0, 或dT∇f (x) >0, dT (x-x*) ≥0, 那么, d都是F (x, q) 在x*处的一个下降方向.特别沿x-x*方向, F (x, q) 是下降的.

证明由 (3.1) 可知:

$\begin{array}{l} d^{Τ} \nabla F (x, q) \\ = - d^{Τ} (\frac{\nabla f (x)}{f (x) - f (x^{*})} + 2 q | x - x^{*} |) \\ = - (\frac{d^{Τ} \nabla f (x)}{f (x) - f (x^{*})} + 2 q d^{Τ} (x - x^{*})) . (3.2) \end{array}$

由定理2的条件可得:dT∇F (x, q) <0, 故d是F (x, q) 在x*处的下降方向.特别地, 当x∈S1时, F (x, q) 沿方向x-x*是下降的, 则S1变成F (x, q) 的一个山丘.

定理3.3 若f (x) >f (x*) , 且dT∇f (x) <0, dT (x-x*) >0时, 有

$q > \frac{- d^{Τ} \nabla f (x)}{2 d^{Τ} (x - x^{*}) (f (x) - f (x^{*}))} = a (x), (3.3)$

则d是F (x, q) 在x*处的下降方向, 特别在x-x*方向成立.

证明只需要证明dT∇F (x, q) <0即可.由 (3.2) 可知, 要使dT∇F (x, q) <0, 只要 $\frac{d^{Τ} \nabla f (x)}{f (x) - f (x^{*})} + 2 q d^{Τ} (x - x^{*}) > 0$ 即可.在题设条件下, 只要 (3.3) 式成立, 就有dT∇F (x, q) <0, 故d是F (x, q) 在x*处的下降方向, 特别在x-x*方向成立.即当 $q > \frac{L_{1}}{D}$ 时, d是F (x, q) 在x*处的下降方向.

定理3.2和定理3.3说明, 在f (x) 的一个极小点x*1的盆S2中, 只要S2比S1高, 即f (x) >f (x*) , 则至少沿方向x-x*, x∈S2, F (x, q) 总是下降的, 所以F (x, q) 在S2中不可能有任何极小点或鞍点, 即∇F (x, q) ≠0.

定理3.4 若f (x) >f (x*) , 且dT∇f (x) <0, dT (x-x*) >0时, 有q<a (x) , 则d是F (x, q) 在x*处的一个上升方向.

证明仿定理3.3的证明可得, 在给定的条件下有dT∇F (x, q) >0.

定理3.5 当 $\frac{L_{1}}{D} < q < a (x) (3.4)$

时, F (x, q) 在比S1低的盆中必有极小点或鞍点.

证明由定理3.3和定理3.4, 可得定理3.5.此外, 在比x*的盆S1低的盆S2中, 当f (x) -f (x*) →0+时, a (x) →+∞, 这时 (3.3) 式右侧趋于正无穷大.这个性质保证, 不管q多大, (3.4) 式都成立, 同时也保证了全局极小点不会丢失.

4 算法和数值试验

求解问题 (2.1) 全局最优解的新的单参数填充函数算法[6]如下:

步0.选取M>0作为q的终止值.选取方向ei, i=1, …, k0和整数k0≥2n, 这里n是变量的个数.选取一个初始点x $_{1}^{0}$ ∈Ω.令k∶=1.

步1.从初始点x $_{k}^{0}$ 出发, 用局部极小化方法得到目标函数f (x) 的一个局部极小点, 记为:x*k.取一个初始参数q∶=q0, 令i=1, δ>0 (δ可适当选取) .

步2.令F (x, q) =-ln (f (x) -f (x*) +1) -q (x-x*) 2. (4.1)

步3.令 $\bar{x}_{k}^{*} = x_{k}^{*} + δ e_{i}$ .如果 $f (\bar{x}_{k}^{*}) < f (x_{k}^{*})$ , 则令 $x_{k + 1}^{0} ∶ = \bar{x}_{k}^{*}, k ∶ = k + 1$ 转步1.

步4.以 $\bar{x}_{k}^{*}$ 为初始点, 用局部极小化方法解极小化问题 (4.1) , 令 $\bar{x}$ q, x*k为所得极小点, 如果 $\bar{x}$ q, x*k∈int Ω, 则令 $x_{k + 1}^{0} ∶ = \bar{x}_{q, x_{k}^{*}}, k ∶ = k + 1$ 转步1;如果 $\bar{x}$ q, x*k∈∂Ω, 则转步5.

步5.如果q<M, 则令i∶=1, 增加q, 转步4.否则, q:=q0, 转步6.

步6.如果i<k0, 令i∶=i+1, 转步3.否则, 停止, x*k已经是极小化问题的一个全局极小点.

我们验算如下算例:

以下算例的局部极小值点都是在Matlab 7.0的工具箱fmincon, Windows XP, Celeron (R) CPU 2.80 GHZ上得到的.每个算例的数值结果都分别用表格给出, 在运算或绘制的表格中我们用到如下记号:

ei, i=1, …, n:其第i个元素为1, 其它元素为0.

k:表示极小化问题 (2.1) 的局部极小化过程的次数.

q:表示用于寻找第k+1个局部极小值点的参数.

x $_{k}^{0}$ :表示原极小化问题 (2.1) 的第k次极小化过程的初始点.

x*k:表示原极小化问题 (2.1) 的第k个极小值点.

f (x*k) :表示原极小化问题 (2.1) 的第k个极小值点处的函数值.

time:表示算法停止时所占用CPU的时间.

数值试验结果如下:

算例1 Goldstein-Price问题

我们取Ω={-3≤xi≤3|i=1, 2}.以 (1, 1) 为初始点, 用上述算法得到全局极小值点为x*= (0.0000, -1.0000) ;对应的全局极小值为f (x*) =3.0000.

算例2 Three-Hump Camel-back问题

f (x) =2x $_{1}^{2}$ -1.05x $_{1}^{4}$ +x $_{1}^{6}$ /6-x1x2+x $_{2}^{2}$ .

我们取Ω={-3≤xi≤3|i=1, 2}.以 (2, 2) 为初始点, 用上述算法得到全局极小值点为x*=1.0e-005 (-0.4384, 0.1846) ;对应的全局极小值为f (x*) =4.9931e-011.

算例3 Six-Hump Camel-back问题

f (x) =4x $_{1}^{2}$ -2.1x $_{1}^{4}$ +x $_{1}^{6}$ /3-x1x2-4x $_{2}^{2}$ +4x $_{2}^{4}$ .

我们取Ω={-3≤xi≤3|i=1, 2}.以 (0, 0) 为初始点, 用上述算法得到全局极小值点为x*= (0.0898, 0.7127) ;对应的全局极小值为f (x*) =-1.0316.

5 结论

本文给出了一个单参数的填充函数, 这个填充函数是满足定义2.3的, 并给出了相应的算法, 并且数值试验表明了这个算法的可行性和有效性.

参考文献

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[5]Barben, J., Protopopescu, V.and Reister, D..TRUST:A deterministic algorithm for globaloptimization[J].Science 276 (1997) , 1094-1097.

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[10]Cetin, B.C., Barben, J.and Burdick, J.W..Terminal Repeller Unconstrained SubenergyTunneling (TRUST) for Fast Global Optimi-zation[J].Journal of Optimization Theory andApplications, 1993, 77 (1) , 97-126.

[11]VAPNIK VLADIMIR N.The nature of sta-tistical learning theory[M].New York:Springer-Verlag, 1995.

全局最优篇4

1 多基线极化最优相干技术

单基线最优相干技术本身存在着一定的数据处理限制,每次仅仅可以对两景影像进行处理,从中提取出一幅最优干涉图。这种技术在对大量数据进行处理时效率相对较低。而如果选择多基线极化最优相干技术,其能够在一次处理中加入所有的数据,得到相应的最优干涉图[1]。

多基线极化最优相干方法,能够对全部的全极化SLC数据进行综合分析和处理,使得所有的影像都能够保持统一的散射机理,并体现在其所对应的干涉图中。与单基线极化最优相干技术只能对两景影像进行处理相比,全局最优相干可以得到更加全面的干涉图,使得所有的影像都能够对应统一的散射中心,虽然其会降低相干性,但是可以得到更加精确可靠的干涉相位。

1.1 多基线极化最优相干准则

多基线极化最优相干技术在数据处理方面优势显著,能够一次性处理所有数据,得到最优干涉图,在这种情况下,最优相干准则需要包含全部的相干信息。对于所有的全极化SLC数据,可以参照Pauli基,针对相应的散射矢量进行定义,则

其中,和以及分别表示第i景影像在VV通道、HH通道和HV通道的数据,此时,多基线极化相干矩阵为

在矩阵中,<.>代表多视处理,*代表共轭转置。对相干系数进行分析,可以定义最优化函数作为全局最优化准则

结合不同散射机理,是上述公式达到最大值,就可以完成最优相干过程[2]。

1.2 MSM多基线极化最优相干算法

将SVD算法放在多基线条件下,进行相应的延伸和拓展,就可以得到MSM算法,这种算法在实际应用中,需要将不同影像的对应散射机理判定为不同。为了完成最优相干过程,得到公式(1)的最大值,在其中引入拉格朗日乘数,构建相应的方程式,求解最大特征值,所得结果的平方根就是相干系数。

1.3 ESM多基线极化最优相干算法

相比较1MSM算法,ESM算法的同样是在传统NR算法的基础上发展起来的,在实际应用中,需要将不同影像的对应散射机理判定为相同。对矩阵以及其所对应的相干系数进行定义,明确数值半径,引入相移量。对相移量的大小进行调整,当其与最优相干条件下的干涉相位相等时,可以得到在实际应用中需要注意,这种算法并不能对散射矢量和最优相干相位进行直接计算,而是必须经过迭代计算的方式得到相应的数值。对于最优散射矢量值,则可以结合厄米特矩阵,进行最大特征值以及对应特征向量的求解得到。

1.4 对比分析

从理论层面分析,几乎不能存在完全相同的数据获取,因为其必然会受到各种因素的影响和制约。对上述几种算法进行对比分析,发现相比较ESM算法,MSM算法假设的不同散射机理更加趋近于实际情况,从某种程度上讲,这种算法具备更好的相位分辨率[3]。

2 试验分析

2.1 反演流程

本文提出的面向多基线干涉SAR高程反演方法具体流程见图1。

2.2 国产机载X-SAR试验

以组合模式下,国产X-SAR机载双天线系统进行试验,雷达载波频率9.6GHz,组合模式为:定义两副天线为A和B,假定在某个特定时刻,A天线发射信号并接收信号,B天线同时接收,下一时刻B天线发射信号并接收信号,A天线同时接收,将得到的4景影像分别定义为AA、AB、BA、BB。考虑AB与BA信号的一致性,仅针对其中三个信号进行处理。在数据处理方面,以MLE方法进行相位估计,在极化方法上,则选择HH极化、SVD方法、ESM方法以及MSM方法,从多个方面进行分析,以保证分析结果的可靠性和准确性。结果表明,从总体角度分析,考虑噪声削弱、强散射体干扰抑制以及检查点的精度,MLE-ESM方法具备更好的效果和精度[4]。

2.3 结果分析

在上述处理方法中,SVD与MSM的实现条件是不同散射机理,NR与ESM的实现条件是相同散射机理,同为假设条件,经高程反演,可以看出:

(1)与单极化数据进行对比,发现全局最优相干方法能够得到更加平滑的高程,也可以对噪声进行有效控制。

(2)在基于同散射机理的假设中,ESM方法明显优于NR方法。试验中获取的各景影响间隔与空中基线较短,能够符合假设条件。

(3)在基于不同散射机理的假设中,对比计算结果,可以发现SVD算法的优势更加明显,主要是MSM算法自身具备更高的噪声敏感度,因此得到的计算结果存在一定的误差。

(4)对比两种不同的多基线最优相干方法,ESM具备更大的优势,其可以针对噪声进行抑制,得到更加平滑的高程图。

3 结论

本文结合多基线极化干涉SAR数据,提出了面向多基线干涉SAR高程反演的全局最优相干方法,对多基线干涉SAR高程反演过程中各个干涉图的相位中心进行了统一,在很大程度上提高了干涉相位的精确性和可靠性。同时,结合相关实验,ESM方法具备良好的噪声抑制效果,相位精度较高,可以保证散射中心的一致性;MSM方法在理论上具备更加显著的优势,同样能够保证散射中心的一致性,但是由于其对噪声较为敏感,在处理过程中,容易放大噪声引起的误差,必须进行更加深入的研究。

参考文献

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[2]花奋奋,张继贤,黄国满,王萌萌.面向多基线干涉SAR高程反演的改进最大似然高程估计方法[J].测绘科学,2014(03):13-18.

[3]花奋奋,张继贤,黄国满,王萌萌.基于严密模型的多基线In SAR高程反演方法[J].南京理工大学学报,2014(06):726-732.

全局最优篇5

关键词：非线性整数规划,严格路径连通域,填充函数,填充函数法,全局极小点

离散全局优化广泛应用于如排序、物流的供应链及工业设计等领域。在过去的整数规划中, 人们大多局限于线性整数规划的研究, 对非线性整数规划的研究甚少。求解线性整数规划有许多的算法, 如分枝定界法、割平面法等, 但非线性整数规划问题则较困难。对于连续的非线性全局优化问题, 人们已找到了许多种确定性算法, 如填充函数法[1,2], 打洞函数法[3]。对于非线性离散全局优化问题, 最初是把非线性整数规划“连续化”[4], 随后的许多在文献[4]的基础上给出了离散全局优化问题的填充函数定义, 并给出了填充函数。但把离散问题连续化有许多弊病。一般地, 连续情形的填充函数的第3个定义条件在离散的情形不适用。文献[5,6,7,8]中提出了一套求解离散全局优化问题的填充函数法。本文在文献[4]中定义的填充函数的基础上, 构造一个新的填充函数, 详细讨论了其理论性质, 并给出了相应的算法。

求解全局优化问题有2个困难要解决, 一是如何从一个局部解出发找到更好的局部解;二是如何判定一个局部解是全局解。本文探讨第一个问题。

1 基本知识

考虑下列离散全局最优化问题:

(P) :min{f (x) :x∈X⊂Zn}。

这里f:Zn→R, Zn是Rn中的整点集, X是Zn的一个子集。事实上, 令f (x) =∞, x∈Zn＼X, 则上述问题等价于:min{f (x) :x∈Zn}。

定义1 序列{xi} $_{i = - 1}^{u}$ 在X上如果满足x-1=x*, xu=x**;对于所有i, xi∈X;如果i≠j, 那么xi≠xj;并且对于所有的i, 有‖x0-x*‖=‖xi+1-xi‖=‖x**-xu-1‖=1, 则序列{xi} $_{i = - 1}^{u}$ 被称为一个连接不同点x*和x**的离散路径。如果x*和x**之间在X中存在一条离散路径, 那么称它们是连通的。进一步, 如果在X中任意两点都是连通的, 那么称X为连通集。另外, 对于所有的i, 如果‖xi-x*‖<‖xi+1-x*‖, 那么该序列称为严格离散路径。如果x*和x*之间在X中存在一条严格离散路径, 那么称它们是严格连通的。

定义2 d={±ei:i=1, 2, …, n}称为Zn中的坐标轴方向集, 这里ei是第i个单位向量, 即该向量的第i分量为1, 其余分量为0的向量。

定义3 如果x∈Zn, 则集合N (x) ={x, x±ei:i=1, 2, …, n}称为点x的离散邻域。

定义4 如果当x∈X∩N (x*) 时, 有f (x) ≥f (x*) , 那么称点x∈X为f在X上的离散局部极小点。如果当x∈X时, 有f (x) ≥f (x*) , 那么称点x∈X为f在X上的离散全局极小点。

引理假设x, x*∈X, 如果存在i∈{1, 2, …, n}使得x±ei∈X, 那么存在d∈D, 使得‖x+d-x*‖>‖x-x*‖。

定义5 给定 (P) 的一个局小点x*, 如函数p (x) 满足下列条件, 则称其为f (x) 在x处的离散填充函数:

1) :x*是p (x) 在X上的离散严格局大点。

2) :设x∈X, 且f (x) ≥f (x*) , x≠x*, 则x一定不是问题 (P) 的局小点。

3) :设x*是 (P) 的局小点, 但不是全局极小点。设x*1是 (P) 的另一极小点, 且 f (x*1) <f (x*) , 则存在一条连通路径, 使得x*1是在此连通路径上的p (x) 的极小点。

2 一个新的离散填充函数及其性质

问题 (P) 提出一个新的离散填充函数。假定x*是问题 (P) 的一个当前局小点, 则我们给出在x*处的填充函数如下:

$p (x) = \frac{r + \min (0, f (x) - f (x^{*}) + r)}{1 + ∥ x - x^{*} ∥}$ , 这里参数r>0。

将证明p (x) 当参数r>0在满足适当的条件下是一个符合在第2节定义的离散填充函数。

定理1 给定 (P) 的一个局小点x*。若r>0适当小, 则x*是p (x) 在X上的离散严格局大点。

证因为x*为 (P) 的局小点, 则∃x*的一个领域N (x*) , 使得

f (x*+d) ≥f (x*) , 对∀x*+d∈X∩N (x*) , d∈D。

故若 $0 < r < \underset{f (x_{1}) \neq f (x_{2}), x_{1}, x_{2} \in X}{\min | f (x_{1}) - f (x_{2}) |}$ ,

则对∀x*+d∈X∩N (x*) , 有

$f (x^{*} + d) - f (x^{*}) + r \geq 0 ‚ p (x^{*} + d) = \frac{1}{2} r < r = p (x^{*})$ , 故x*是p (x) 在X的离散严格局大点。

定理2 设x∈X, 且f (x) ≥f (x*) , x≠x*。若r>0适当小, 则x一定不是问题 (P) 的局小点。

证设x∈X, x≠x*, f (x) ≥f (x*) 。考虑下列二种情形:

情形Ι 存在di0∈D, 使得x+di0∈X, 且f (x+di0) <f (x*) 。

设 $0 < r \leq \frac{1}{2} \underset{x_{1}, x_{2} \in X, f (x_{1}) \neq f (x_{2})}{\min | f (x_{1}) - f (x_{2}) |}$ , 则2r+f (x+di0) -f (x*) ≤0。

$∴ p (x + d_{i_{0}}) = \frac{2 r + f (x + d_{i_{0}}) - f (x^{*})}{1 + ∥ x - x^{*} + d_{i_{0}} ∥} \leq 0 < \frac{r}{1 + (x - x^{*})} = p (x)$ 。

故在这种情况下, x不是p (x) 的局小点。

情形Ⅱ 若对∀x+d∈X, d∈D有

f (x+d) ≥f (x*) ,

则由引理知, ∃di0∈D, 使得‖x+di0-x*‖>‖x-x*‖。

$∴ p (x + d_{i_{0}}) = \frac{r}{1 + ∥ x + d_{i_{0}} - x^{*} ∥} < \frac{r}{1 + ∥ x - x^{*} ∥} = p (x)$ , 从而x不是p (x) 的局小点。

综合上述二种情况知:x一定不是问题 (P) 的局小点。

定理3

(1) 若f (x1) , f (x2) ≥f (x*) , ‖x1-x*‖>‖x2-x*‖>0, 则p (x1) <p (x2) 。

(2) 若f (x2) ≥f (x*) >f (x1) , ‖x1-x*‖> ‖x2-x*‖>0, 则p (x1) <p (x2) 。

证明较易, 故省略.

定理4 设x*是 (P) 的局小点, 但不是全局极小点。设x*1是 (P) 的另一极小点, 且f (x*1) < f (x*) , 则存在一条连通路径, 使得x*1是在此连通路径上的p (x) 的极小点。

证在X中选择一条路径{xi} $_{i = a}^{μ + 1}$ , 使得x0=x*, xμ=x*1, xμ+1=x*1+d, d由以后决定, d∈D, 且 ‖x0-x1‖=‖x1-x2‖=…=‖xi-1-xi‖=…=‖x*1+d-x*1‖=1。

‖xi+1-x*‖>‖xi-x*‖=1, i=0, 1, 2, …, μ-1。

不失一般性, 假定对i=0, 1, 2, …, μ-1有f (xi) ≥f (x*) 。

(不然, 若∃i0, 使得f (xi0) <f (x*) , 取x0=xi0。若有其他点, 可类似处理) 。

则易证p (x) 在x*到xμ-1的路径上单调下降。

由x*1是 (p) 的极小点, 且根据引理, 可选取d∈D使‖x*1-x*+d‖>‖x*1-x*‖, f (x*1+d) ≥f (x*1) 。取r满足 $0 < r \leq \frac{1}{2} \underset{x_{1}, x_{2} \in X, f (x_{1}) \neq f (x_{2})}{\min | f (x_{1}) - f (x_{2}) |}$ , 则

$p (x_{1}^{*}) = \frac{2 r + f (x_{1}^{*}) - f (x^{*})}{1 + ∥ x_{1}^{*} - x^{*} ∥} \leq 0$ 。

于是对i=0, 1, 2, …, μ-1, p (x*) ≤p (xi) 。

对于点x*1 + d, 考虑下列2中情况:

(1) 若f (x*1+d) ≥f (x*) , 则 $p (x_{1}^{*} + d) = \frac{r}{1 + ∥ x_{1}^{*} - x^{*} + d ∥} > 0$ 。于是p (x*) ≤p (x*+d) 。

(2) 若f (x*1+d) <f (x*) , 则 $p (x_{1}^{*} + d) = \frac{2 r + f (x_{1}^{*} + d) - f (x^{*})}{1 + ∥ x_{1}^{*} - x^{*} + d ∥} \leq 0$ , 由 $∥ x_{1}^{*} - x^{*} + d ∥ > ∥ x_{1}^{*} - x^{*} ∥ ‚ p (x_{1}^{*}) = \frac{2 r + f (x_{1}^{*}) - f (x^{*})}{1 + ∥ x_{1}^{*} - x^{*} ∥} \leq 0$ , 知p (x*1 ) ≤p (x*1 + d) 。

综上所述, 有p (x*1) ≤p (xi) , (i=0, 1, …, μ-1, μ, μ+1) ,

∴ x*1 为x*至x*1+d路径上的p (x) 的极小点。

3 填充函数算法及数值试验

填充函数算法由2个算法。第一个算法用于极小化问题 (P) (见文献[8] 中算法1) , 第二个算法即下列算法, 用于极小化问题填充函数。

算法2:

(1) 给定ε=1×10-8作为极小化问题 (P) 的可接受的终止参数;令D={±ei, i=1, 2, 3, …, n};任选初始点x $_{0}^{(0)}$ ∈X。

(2) 从x $_{0}^{(0)}$ 出发, 利用离散下降算法求的 (P) 的离散布局极小点.令k=0, r=1。

(3) 置x $_{k}^{(0) i}$ =x*k+di, di∈D, i=1, 2, …, 2n, i=1。

(4) 令x=x $_{k}^{(0) i}$ 。

(5) 如果f (x) <f (x*k) , 则以x为初始点, 利用离散下降算法的 (P) 的离散局部极小点x*k+1, 使得f (x*k+1) <f (x*k) 。令k=k+1。转步 (3) 。

(6) 令D0={d∈D:x+d∈X}。如果存在d∈D0, 使得f (x+d) <f (x*k) , 则以x+d* 为初始点 (这里d*=argmind∈D0{f (x+d) }) , 利用算法1求的 (P) 的离散局部极小点x*k+1, 使得f (x*k+1) <f (x*k) 。令k=k+1, 转步 (3) 。

(7) 令D1={d∈D0:‖x+d-x*k‖>‖x- x*k‖}。如果D1=∅转步 (9) 。

(8) 令D2={d∈D1:f (x+d) <f (x) , p (x+d, x*k) <p (x, x*k) }。如果D2≠∅, 则令d*=argmind∈D2{f (x+d) +p (x+d, x*k) };否则, 令d*=argmind∈D1{p (x+d, x*k) }。令x=x+d*转步 (6) 。

(9) 如果i<2n, 则令i=i+1。转步 (4) 。

令 $r = \frac{r}{10}$ 。如果r≥e, 则转步 (3) ;否则, 算法不能找到更好的离散局部极小点, 算法终止x*k作为离散全局极小点。

算例1

minf (x) =g (x) h (x) ,

s.t.xi=0.001yi, -2 000<yi<2 000, i=1, 2。

这里yi是整点, 这里

g (x) =1+ (x1+x2+1) 2 (19-14x1+3x $_{1}^{2}$ -14x2+6x1x2+3x $_{2}^{2}$ ) ,

h (x) =30+ (2x1-3x2) 2 (18-32x1+12x $_{1}^{2}$ +48x2-36x1x2+27x $_{2}^{2}$ ) 。

算例2

minf (x) =100 (x2-x $_{1}^{2}$ ) 2+ (1+x1) 2+90 (x4-

x $_{3}^{2}$ ) 2+ (1-x3) 2+10.1[ (x2-1) 2+

(x4-1) 2]+19.8 (x2-1) (x4-1) 。

s.t.-10≤xi≤10, i=1, 2, 3, 4这里xi是整点。

参考文献

[1] Ge R P. A filled function method for finding a global minimizer of a funciton of several variables. Mathematical Programming, 1990;46:191—204

[2]Ge R P, Qin Y F.A class of filled functions for finding global mini-mizers of a function of several variables.Joural of Optimization Theory and Applications, 1987;54:241—252

[3]Levy A V, Montalvo A.The tunnelling algorithm for the global mini-mization of functions.SIAM J Sci statist Comput, 1985;6 (1) :15—29

[4]Ng C K, Zhang L S, Li D, et al.Discrete filled function method for discrete global optimization.Computational Optimization and Applica-tion, 2005;31 (1) :87—115

[5] Ng C K, Li D, Zhang L S. Discrete global descent method for discrete global optimization and nonlinear integer programming, Journal of Global Optimization, 2007;37 (3) :357—379

[6]Shang Y L, Zhang L S.A filled function method for finding a global minimizer on global integer optimization.J of Computational and Ap-plied Mathematics, 2005;181:200—210

[7]Yang Y J, Liang Y M.Anewdiscrete filled function algorithm for dis-crete global optimization.Journal of Computational and Applied Math-ematics, 2007;202:280—291

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