行列式的应用

2024-09-22

行列式的应用（共10篇）

行列式的应用篇1

在线性代数教材中, 行列式一般处在第一章, 但是行列式的应用贯穿在整个线性代数中, 在线性代数的教学中处在非常重要的地位.下面总结一下行列式的一些应用.

1. 求矩阵的逆

矩阵A可逆|A|≠0, 并且A-1=A*/|A|, 其中A*为矩阵A的伴随矩阵.

2. Cramer法则

求解线性方程组AX=b, 其中A为n阶方阵且可逆,

因为A可逆, 所以

所以线性方程组的解为xi=|Bi|/|A|, 其中|Bi|=b1A1i+b2A2i+…+bnAni, 即Bi为矩阵A中第i列被向量b代替后得到的矩阵.这就是Cramer法则, 由上面推导过程显然还可以得到这时线性方程组的解是唯一确定的.

3. 行列式计算体积

用行列式计算体积 (一维称长度, 二维称面积) , 这也就是向量的叉积、混合积.

一维:行列式|a|=a, 这里的|·|代表求行列式, 其结果有正有负, 对一维向量的行列式再取绝对值, 则就是向量的长度.

二维:a与b是二维平面的向量, 用坐标表示a= (a1, a2) , b= (b1, b2) , 则由向量a与b所围成平行四边形 (图一) 的面积为下列行列式的绝对值:

三维:a, b与c是三维平面的向量, 用坐标表示a= (a1, a2, a3) , b= (b1, b2, b3) , c= (c1, c2, c3) .则由向量a, b与c所围成平行六面体 (图二) 的体积为下列行列式的绝对值: (向量的混合积) .

n维 (n≥4) :这时n个n维向量在空间中仍可生成一个平行n面体, 和上面讨论类似, n阶行列式的绝对值对应n面体的体积.

摘要：行列式在线性代数当中处在非常重要的地位, 很多线性代数的问题都可以转换成计算一个行列式的大小.本文旨在总结行列式在计算矩阵的逆、线性方程组以及向量构成几何体的体积的应用.

关键词：行列式,矩阵的逆,线性方程组,几何体体积

参考文献

[1]同济大学数学系.线性代数[M].上海:同济大学出版社, 2011.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2012.

行列式的应用篇2

【关键词】分块矩阵；逆矩阵；行列式

一、引言

关于矩阵的求逆问题，文献[1]—[6]中都有讨论，文献中求逆矩阵的方法主要有初等变换法、公式法、定义法等；行列式的计算也是非常重要的，文献[2]—[10]中一般用定义法、依行依列展开法、加边法、递推法等计算行列式的值。本文利用分块矩阵降阶的思想得出分块矩阵在求逆矩阵和行列式值两方面的应用。

二、主要结果及证明

（一）利用矩阵的分块求矩阵的逆

定理1 设P=A BC O是一个n阶方阵，并且B，C分别为r阶和s阶可逆方阵，r+s=n，则有P-1=OC-1

B-1-B-1AC-1.

证明：设X为P的逆矩阵，将X按P的分法进行分块

X=X1X2X3X4，则有ABCO X1X2X3X4=

IOOI，

于是得AX1+BX3=I（1）

AX2+BX4=O（2）

且CX1=O，CX2=I，因为C可逆，用C-1左乘CX1=O，CX2=I，得X1=O，X2=C-1，

将X1=O代入（1），得BX3=I，又B可逆，得X3=B-1，将X2=C-1代入（2）得：AC-1+BX4=O，所以BX4=-AC-1，于是X4=-B-1AC-1，

则有

X=OC-1B-1-B-1AC-1，

即P-1=OC-1B-1-B-1AC-1

用同样的方法可证得以下两个定理：

定理2 设P=OBCD是一个n阶方阵，并且B、C分别为r阶和s阶可逆方阵，r+s=n，则有 P-1=-C-1DB-1C-1B-1O

定理3 设P=OBCO是一个n阶方阵，并且B、C分别为r阶和s阶可逆方阵，r+s=n，则有P-1 =OC-1B-1O

定理4 设M=ABCD，其中B，C均为n阶可逆矩阵，并记P=C-DB-1A，且P可逆，则M-1=-P-1DB-1P-1

B-1+B-1AP-1DB-1-B-1AP-1

证明：设M-1=xyzw，其中，x，y，z，w都是n阶方阵，则由MM-1=M-1M=I

得ABCD xyzw=Ax+BzAy+BwCx+DzCy+Dw=IOOI，

可得Ax+Bz=I（3）

Ay+Bw=O（4）

Cx+Dz=O（5）

Cy+Dw=I（6）

由（3）得z=B-1-B-1Ax（7）

代入（5）得Cx+D（B-1-B-1Ax）=O ，解出x得 x=-（C-DB-1A）-1DB-1=-P-1DB-1 ，

代入（7）得z=B-1+B-1AP-1DB-1.同理，由（4）得

w=-B-1Ay（8）

将（8）代入（6）得（C-DB-1A）y=I，即y=P-1，代入（8）得w=-B-1AP-1，则

M-1=xyzw

=-P-1DB-1P-1B-1+B-1AP-1DB-1-B-1AP-1

（二）利用矩阵的分块求行列式的值

定理5 设P=ABCD是2n阶方阵，A，B，C为n阶方阵，

则有

|P|=（-1）n|B|·|C|.

证明：因为A，B，C均为n阶方阵，则

ABCD

InInOIn

InO-InIn

=-BA+BOC，

两边取行列式，得

ABCO

InInOIn

InO-InIn=

-BA+BOC，

即ABCO=-BA+BOC，

由引理2，得

-BA+BOC=

-B·-C=（-1）nB·C，

用同样的方法可证得以下两个定理：

定理6 设P=OBCD是2n阶方阵，B，C，D为n阶方阵，则有

-B=（-1）nB·C.

定理7 设P=OBCD是2n阶方阵，B，C为n阶方阵，则有

P=（-1）nB·C.

定理8 设A，B，C，D都为n阶矩阵，其中B≠0.，并且BD=DB，则有

ABCO=（-1）nBC-DC.

证明：因为-B≠0，故B可逆，B-1存在，则

ABCO

IO-B-1AI

=OBC-DB-1AD，

显然有IO-B-1AI=1，故上式两端取行列式得

ABCO=

OBC-DB-1AD，

由推论6知

OBC-DB-1AD=（-1）nB·C-DB-1A

=（-1）nOBC-DBB-1A，

注意到BD=DB，则有

（-1）nBC-BDB-1A=（-1）nBC-DBB-1A

=（-1）nBC-DA，

即 ABCO=（-1）nBC-DA



【参考文献】

[1]张玉莲，童李娜.求逆矩阵的一些方法[J].平顶山学报，2007，22（2）：71-73.

[2]张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1999.

[3]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]张小红，蔡秉衡等.高等代數专题研究选编[C].西安：陕西科学技术出版社，1992.

[5]滕加俊，罗剑，吴红等.高等代数辅导及习题精解（上册）[M].西安：陕西师范大学出版社，2004.

[6]孔庆兰.分块矩阵的应用[J].枣庄学院学报，2006，23（5）：23-26.

[7]钱吉林，刘丁酉.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2005.

[8]廖军.分块矩阵求阶行列式的值[J].文山师范高等专科学校学报，2004，17（2）：164-168.

[9]Steven J.Leon.Linear Algebra with Applications（Sixth Edition）[M].China Machine Press，2004.

[10]陈志杰，陈咸平.高等代数与解析几何习题精粹[M].北京：科学出版社，2002.

【基金项目】

陕西省教育厅专项科研计划项目（07JK430）

【作者简介】

明道忠（1988— ），男，海南人，延安大学数学与计算机科学学院硕士研究生。研究方向：数学。

行列式的应用篇3

泰勒公式是高等数学的一个重要内容, 主要被用于判断函数的单调性、极值及求函数的极限.本文则试图用它来证明不等式和求解行列式.

1 泰勒公式的介绍

设f (x) 在含有x0的开区间内有直到n+1阶导数, f (x0) , f′ (x0) , f″ (x0) , …, f (n) (x0) 为已知, 现在需要寻求一个n次的代数多项式Pn (x) , 使得Pn (x0) =f (x0) , P′n (x0) =f′ (x0) , …, P $_{n}^{(n)}$ (x0) =f (n) (x0) , 是不是可以用Pn (x) 来近似代替f (x)

设Pn (x) =a0+a1 (x-x0) +…

+an (x-x0) n.

由Pn (x0) =f (x0) ⇒a0=f (x0) .

对Pn (x) 求关于x的一阶导数得:

P′n (x) =a1+2a2 (x-x0) +…

+nan (x-x0) n-1.

由P′n (x0) =f′ (x0) ⇒a1=f′ (x0) .

对Pn (x) 求关于x的二阶导数得:

P″n (x) =2a2+3×2a3 (x-x0) +…

+n (n-1) an (x-x0) (n-2) .

$\begin{array}{l} 由 Ρ^{″}_{n} (x) = f^{″} (x_{0}) \Rightarrow a_{2} = \frac{1}{2 ！} f^{″} (x_{0}) ‚ \dots ‚ \\ a_{n} = \frac{1}{n!} f^{(n)} (x_{0}) . \end{array}$

这样就得到所求的代数多项式为:

$\begin{array}{l} Ρ_{n} (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) \\ + \frac{f^{″} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots \\ + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n ！} (x - x_{0})^{n} . (1) \end{array}$

式 (1) 称为函数f (x) 在x0处的n阶泰勒多项式.

因为Pn (x) 只是f (x) 的近似函数, 所以二者之间肯定存在误差, 我们不妨假设Rn (x) =f (x) -Pn (x) , 我们称其为f (x) 和Pn (x) 的误差函数, 显然

Rn (x0) =R′n (x0) =…=R $_{n}^{(n)}$ (x0) =0.

由柯西公式可得:

$\begin{array}{l} \frac{R_{n} (x)}{(x - x_{0})^{n + 1}} \\ = \frac{R_{n} (x) - R_{n} (x_{0})}{(x - x_{0})^{n + 1} - 0} \\ = \frac{R^{'}_{n} (ξ_{1})}{(n + 1) (ξ_{1} - x_{0})^{n}} \\ = \frac{R^{'}_{n} (ξ_{1}) - R^{'}_{n} (x_{0})}{(n + 1) (ξ_{1} - x_{0})^{n} - 0} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{R^{″}_{n} (ξ_{2})}{(n + 1) n (ξ_{2} - x_{0})^{n - 1}} \\ = \dots \\ = \frac{R_{n}^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} ‚ \end{array}$

其中ξ在x与x0之间.而

R $_{n}^{(n + 1)}$ (x) =f (n+1) (x) -0,

即 R $_{n}^{(n + 1)}$ (x) =f (n+1) (x) .

从而有

$\begin{array}{l} f (x) = Ρ_{n} (x) + R_{n} (x) \\ = Ρ_{n} (x) + \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1) ！} (x - x_{0})^{(n + 1)} ‚ (2) \end{array}$

其中ξ在x与x0之间.式 (2) 称为函数f (x) 关于 (x-x0) 的n阶Taylor公式, 其中余项

$R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} (x - x_{0})^{(n + 1)}$

称为拉格朗日余项.特别地, 当n=0时,

R0 (x) =f′ (ξ) (x-x0) ,

即 f (x) -f (x0) =f′ (ξ) (x-x0)

(ξ在x与x0之间) 就是我们熟悉的Langrange公式.

当x0=0时,

$\begin{array}{l} f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + \dots \\ + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + R_{n} (x) \end{array}$

称为函数f (x) 的n阶麦克劳林公式, 其中

$R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (θ x)}{(n + 1)!} (x - x_{0})^{(n + 1)}$ ,

这里0<θ<1.

若设f (x) 在含有x0的某个开区间 (a, b) 内有直到n+1阶导数, 且f (n+1) (x) 在 (a, b) 内有界, 那么对∀x∈ (a, b) , 有

$\begin{array}{l} f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x - x_{0}) \\ + \frac{f^{″} (x_{0})}{2 ！} (x - x_{0})^{2} + \dots \\ + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x) \end{array}$

其中

Rn (x) =o (x-x0) n,

称为佩亚诺型余项.

2 泰勒公式的应用

泰勒公式是一种非常开放的数学公式, 从而在解决数学计算及推理某些重要结论方面有很重要的应用, 在实际应用中, 我们大致可以分为以下几种类型:

2.1 利用泰勒公式证明不等式

2.1.1 利用泰勒公式证明一般不等式

针对类型适用于题设中函数具有二阶和二阶以上导数, 且最高阶导数的大小或上下界可知的命题.

证题思路 ①写出比最高阶导数低一阶的Taylor展开式;

②恰当选择等式两边x与x0 (不要认为展开点一定以x0为最合适, 有时以x为佳) ;

③根据所给的最高阶导数的大小或界对展开式进行缩放.

例1 设f (x) 在[0, 1]上的二阶导数连续, f (0) =f (1) =0, 并且当x∈ (0, 1) 时, |f″ (x) |≤A.求证: $| f^{″} (x) | \leq \frac{A}{2} ‚ x \in (0 ‚ 1) .$

证明因为f (x) 在[0, 1]上有二阶连续导数, 所以f (x) 可以展开为一阶泰勒公式

$\begin{array}{l} f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) \\ + f^{″} (ξ) \frac{(x - x)^{2}}{2 ！} ‚ (3) \end{array}$

其中ξ在x与x0之间.

取x=0, x0=x, 则泰勒公式为:

$\begin{array}{l} f (0) = f (x) + f^{'} (x) (0 - x) \\ + f^{″} (ξ_{1}) \frac{(0 - x_{0})^{2}}{2 ！} ‚ (4) \end{array}$

其中0<ξ1<x≤1.

因为f (1) =f (0) =0, 式 (4) 减去式 (3) 得:

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = f (1) - f (0) + \frac{1}{2!} [f^{″} (ξ_{1}) x^{2} \\ - f^{″} (ξ_{2}) (1 - x)^{2}] \\ = \frac{1}{2!} [f^{″} (ξ_{1}) x^{2} - f^{″} (ξ_{2}) (1 - x)^{2}] . \end{array}$

又|f″ (x) |≤A, x∈ (0, 1) , 所以,

$\begin{array}{l} | f^{'} (x) | \leq \frac{A}{2} [x^{2} + (1 - x)^{2}] \\ = \frac{A}{2} (2 x^{2} - 2 x + 1) . \end{array}$

而 0≤x≤1, (2x2-2x+1) ≤1,

故 $| f^{″} (x) | \leq \frac{A}{2} .$

2.1.2 利用泰勒公式证明定积分不等式

针对类型已知被积函数f (x) 二阶或二阶以上可导, 且又知最高阶导数的符号.

证题思路直接写出f (x) 的Taylor展开式, 然后根据题意对展开式进行缩放.

例2 设f (x) 在[a, b]上单调增加, 且f″ (x) >0, 证明: $(b - a) f (a) ＜ \int_{a}^{b} f (x) d x ＜ (b - a) \frac{f (a) + f (b)}{2} .$

证明由题意, 对∀x∈[a, b], 当x>a时, f (x) >f (a) , 故

∫baf (x) dx> (b-a) f (a) .

对∀t∈[a, b], f (t) 在点x处的Taylor展开式为

$\begin{array}{l} f (t) = f (x) + f^{'} (x) (t - x) \\ + \frac{1}{2!} f^{″} (ξ) (t - x)^{2} ‚ \end{array}$

其中ξ在t与x之间.

因为f″ (ξ) >0, 所以

f (t) >f (x) +f′ (x) (t-x) . (5)

将t=b, t=a分别带入 (5) 式并相加, 得

f (b) +f (a)

>2f (x) + (a+b) f′ (x) -2xf′ (x) .

在[a, b]上积分得:

[f (b) +f (a) ] (b-a)

>2∫baf (x) dx+ (a+b) ∫baf′ (x) dx

-2∫baxf′ (x) dx

⇒2[f (b) +f (a) ] (b-a)

>4∫baf (x) dx.

故 $\int_{a}^{b} f (x) d x ＜ (b - a) \frac{f (a) + f (b)}{2} .$

综上可知:

$\begin{array}{l} (b - a) f (a) ＜ \int_{a}^{b} f (x) d_{x} \\ ＜ (b - a) \frac{f (a) + f (b)}{2} . \end{array}$

2.2 利用泰勒公式解行列式

我们求行列式时经常利用代数知识中的递推法、数学归纳法, 其实泰勒公式也可以用于求解行列式.利用泰勒公式计算行列式的主要思路:根据所求行列式的特点, 构造相应的行列式函数, 再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开, 只要求出行列式函数的各阶导数值即可.

例3 求下列n阶行列式的值:

$D_{n} = | \begin{matrix} a & b & b & \dots & b \\ c & a & b & \dots & b \\ c & c & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c & c & c & \dots & a \end{matrix} | .$

解把行列式Dn看做关于x的函数,

记 $D_{n} (x) = | \begin{matrix} x & b & b & \dots & b \\ c & x & b & \dots & b \\ c & b & x & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c & c & c & \dots & x \end{matrix} |$ ,

则 Dn (x) =Dn (a) .

将Dn (x) 在x=b处按泰勒公式展开:

$\begin{array}{l} D_{n} (x) = D_{n} (b) + \frac{D^{'}_{n} (b)}{1!} (x - b) \\ + \frac{D^{″}_{n} (b)}{2!} (x - b)^{2} + \dots \\ + \frac{D_{n}^{(n)} (b)}{n!} (x - b)^{n} ‚ \end{array}$

其中

$D_{n} (b) = | \begin{matrix} b & b & b & \dots & b \\ c & b & b & \dots & b \\ c & c & b & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c & c & c & \dots & b \end{matrix} | .$

第k-1列乘以 (-1) +第k列 (k=n, n-1, …, 2) 得:

$D_{n} (b) = | \begin{matrix} b & 0 & 0 & \dots & 0 \\ c & b - c & 0 & \dots & 0 \\ c & 0 & b - c & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c & 0 & 0 & \dots & b - c \end{matrix} |$

=b (b-c) n-1.

对Dn (x) 求各阶导数得:

$\begin{array}{l} D^{'}_{n} (x) = | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ c & x & b & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c & c & c & \dots & x \end{matrix} | \\ + | \begin{matrix} x & b & b & \dots & b \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c & c & c & \dots & x \end{matrix} | \\ + | \begin{matrix} x & b & b & \dots & b \\ c & x & b & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix} | . \end{array}$

各行列式分别按只有一个元素所在行展开得

D′n (x) =nDn-1 (x) .

类似地:

D″n (x) =nD′n-1 (x) ,

……

D $_{n}^{(n)}$ (x) =nD $_{n - 1}^{(n - 1)}$ (x) .

由递推关系还可以推出:

D′n-1 (x) = (n-1) D (n-2) (x) ,

……

D′2 (x) =2D1 (x) ,

D′1 (x) =1 (因为D1 (x) =x) , 则

D′n (b) =nDn-1 (b) =nb (b-c) n-2,

D″n (b) =nD′n-1 (b) =n (n-1) Dn-2 (b)

=n (n-1) b (b-c) n-3,

D‴n (b) =nD″n-1 (b) =n (n-1) D′n-2 (b)

=n (n-1) (n-2) Dn-3 (b)

=n (n-1) (n-2) b (b-c) n-4,

……

D $_{n}^{(n - 1)}$ (b) =n (n-1) …2D1 (b)

=n (n-1) …2b,

D $_{n}^{(n)}$ (b) =n!.

代入Dn (x) 在x=b处的泰勒展开式得:

$\begin{array}{l} D_{n} (x) = b (b - c)^{n - 1} + \frac{n b (b - c)^{n - 2} (x - b)}{1!} \\ + \frac{n (n - 1) b (b - c)^{n - 3}}{2!} + \dots \\ + \frac{n (n - 1) \dots 2 b}{(n - 1)!} (x - b)^{n - 1} \\ + (x - b)^{n} . \end{array}$

若b=c, 则

Dn (x) =0+0+…+0+nb (x-b) n-1

+ (x-b) n

= (x-b) n-1[x+ (n-1) b].

若b≠c, 则

$\begin{array}{l} D_{n} (x) \\ = \frac{b}{b - c} [(b - c)^{n} + \frac{n}{1!} (b - c)^{n - 1} (x - b) \\ + \frac{n (n - 1)}{2!} (b - c)^{n - 2} (x - b)^{2} + \dots \\ + (x - b)^{n}] - \frac{c}{b - c} (x - b)^{n} \end{array}$

= $\frac{b}{b - c} [(b - c) + (x - b)]^{n} - \frac{c}{b - c} (x - b)^{n}$

$= \frac{b (x - c)^{n} - c (x - b)^{n}}{b - c} .$

令x=a, 得

$D_{n} = {\begin{cases} (a - b)^{n - 1} [a + (n - 1) b] ‚ 当 b = c 时 ‚ \\ \frac{b (a - c)^{n} - c (a - b)^{n}}{b - c} ‚ 当 b \neq c 时 . \end{cases}$

参考文献

[1]复旦大学数学系.数学分析 (上) [M].北京:高等教育出版社, 1983:180-192.

[2]吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京:高等教育出版社, 1984:80-101.

[3]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局出版社, 2003:81-93.

线性代数中行列式与矩阵的比较篇4

【基金项目】盐城工学院人才引进项目（XKR2011022）。

【中图分类号】O151.22-4【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）35-0003-02

行列式和矩阵是线性代数中最先介绍的两个基本概念，贯穿整个线性代数课程。但部分同学在学完了线性代数之后，对它们的符号、性质及应用却依然没有搞清楚，往往混淆。多年来已有一些作者对这一对概念进行分析，但由于这两个概念在线性代数的每个部分都需要用到，所以详细地、多角度地分清这两个基本概念，对学好、用好线性代数这门课程非常必要。文献[1，2]对这行列式与矩阵从概念与性质角度已做了部分辨析，下面笔者拟从概念、运算、化简、应用四个方面对这两个概念进行剖析，给出它们之间的区别与联系，串起线性代数中大部分内容，希望能对线性代数的教与学提供一个参考。

1.概念的比较

1.1行列式与矩阵概念的区别

由行列式和矩阵的定义可知，虽然行列式与矩阵表面上都是将一些数按行按列排成数表，再在两边加上一个符号的形式，但这两个概念是完全不同的。

首先，两边所加的符号不同：行列式两边用竖线“||”，而矩阵两边用圆括弧 “（）”或方括弧“”[ ]。其次，形状不同：行列式的行数与列数必须相等，但矩阵的行数与列数可以不相等。再次，意义不同：n阶行列式是由n个数a（1≤i，j≤n）按规定的运算法则所确定的一个数，而m行n列矩阵是由m×n个数aij（1≤i≤m，1≤j≤n）按行按列排成的一个数表。

故两个表面不一样的行列式，它们的值却可能相等；而两个矩阵相等则要求必须是同型矩阵且相同位置元素相等，所以两个不同型的零矩阵是不相等的。

1.2与行列式、矩阵相关的一些概念

当A是方阵（行数=列数）时，有对应的行列式|A|，称为方阵A阵的行列式；当A不是方阵时，没有对应的行列式。

在一般m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。当A是方阵时，由A的行列式|A|的各个元素的代数余子式所构成的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，其中余子式Mij均是将|A|中的第i行，第j列划去所得到的n-1阶行列式。

2.运算的比较

将若干行列式（矩阵）按某种法则处理得到一个新的行列式（矩阵），称为行列式（矩阵）的运算.行列式与矩阵在同类运算过程中所满足的性质并不相同。

2.1 转置运算

行列式与它的转置行列式相等，而矩阵与它的转置矩阵不一定相等。若A=A时，称A为对称矩阵，此时A一定是方阵。

2.2 数乘运算

数与行列式相乘，等于用数乘以行列式的某一行（列）中所有元素；而数与矩阵相乘，等于用数乘以矩阵中的所有元素。当矩阵A是n阶方阵时，设λ为数，则。

2.3 加法运算

若行列式的第i行（列）的元素都是两数之和，则行列式可以表示为两个行列式之和，参见[3]中第一章第五节性质5。而矩阵的加法是对两个同型矩阵，将相同位置上的元素相加。若A，B为同阶方阵，则|AB|=|A||B|

2.4 乘法运算

两个行列式相乘就是它们的值相乘，结果是一个数，并不是将行列式中的元素直接相乘得到一个新的行列式。而两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等，结果是一个新的矩阵。

2.5 交换两行（列）

行列式交换两行（列）行列式要变号；而矩阵交换两行（列），前后两个矩阵不一定相等，它们之间是等价的关系。

3.行列式化简为上（下）三角形行列式与矩阵化简为行阶梯形（行最简形）矩阵的比较

无论是行列式还是矩阵，都有以下三种初等变换：交换第i，j两行（列）；将第i行（列）乘以某个非零数k；将第j行（列）乘以某个数k加到第i行（列）上去。

利用这三种初等变换及相关性质，可以将一个行列式化为一个上（下）三角形行列式，从而算得行列式的值；也可以将一个矩阵化为一个行阶梯形矩阵或行最简形矩阵，从而求出相关问题。这两种化简的思路相同，但在具体化简过程中又要注意一下区别：在行列式化簡过程中，可以仅使用行变换化简，但使用列变换也是允许的，且前后两个行列式之间用“=”连接，表示前后始终要保持相等；而在矩阵的化简过程中，只允许使用行变换，且前后两个矩阵之间用“～”或“→”连接，表示前后两个矩阵仅是等价关系，一般并不相等。

例如，为了计算行列式的值，可以将D化为上三角形行列式如：，所以。而若要将矩阵化为行阶梯形矩阵，可采用如下化简过程：

。

由于这两个化简过程思路相同，而部分同学对行列式与矩阵又没有搞清楚，因此在计算中就往往会将行列式与矩阵混淆，“=”与“～”混淆，最后得出错误结果。

4.应用的比较

在线性代数中，有许多问题既可以借助于矩阵来解决，也可以用行列式来解决，学生往往对使用哪一种方法及如何使用搞不清楚。下面我们就来比较一下矩阵与行列式在这些问题中用法的不同。

4.1 求矩阵的逆

给定一个方阵A，若|A|≠0，则A可逆，即存在一个矩阵B，使得AB=BA=E，称B为A的逆矩阵，记作A。那么如何求A呢？我们有如下两种方法。

（1）用伴随矩阵求逆：先计算|A|的值，若|A|≠0，再计算|A|中每个元素的代数余子式，构造伴随矩阵A，由公式，即得A。

（2）用初等变换求逆：将（A，E）通过初等行变换化为（E，X），则A=X，若（A，E）不能化为形如（E，X）的矩阵，则说明A不可逆。若将A与E放在一列，也可通过初等列变换求逆。endprint

因此用伴随矩阵求逆需要计算一个n阶行列式和n个n-1阶行列式，计算量非常大，且易出错，往往只对一些特殊的矩阵（如阶数≤3的矩阵）采用这种方法，而对一般的可逆矩阵用初等变换求逆就比较简便。

4.2 求矩阵的秩

给定一个矩阵A，若A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有的r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，则D称为A的最高阶非零子式，r称为A的秩，记为R（A）。那么如何求矩阵的秩呢？

（1）初等变换法：利用若A与B等价，则R（A）=R（B），这个结论将矩阵A经过初等行变换变成行阶梯形矩阵B，然后B中非零行的行数就是A的秩。

（2）定义法：由定义计算A中的子式的值，找出最高阶非零子式，从而求出矩阵的秩。

因此求一般矩阵的秩往往使用初等变换法。仅对一些特殊矩阵，如含0较多的或阶数较低的矩阵，考虑使用定义法。

4.3解线性方程组

给定一个n个未知数m个方程的线性方程组，解方程组是指先判断方程组是否有解，然后若有解再求出通解，主要有以下两种求解方法：

（1）矩阵法：对任一线性方程组，均可使用矩阵法解方程组，取增广矩阵，对作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，比较R（B）与R。若R（B）

（2）行列式法：仅当m=n且系数行列式时，方可使用行列式法。此时由克莱默法则知方程组有唯一解，其中是把系数行列式D中第i列的元素用代替后所得到的n阶行列式。

注意，若m≠n或m=n但D=0，克莱默法则并不成立。

4.4判断向量组的线性相关性

给定一个由m个n维列向量构成的向量组，判断该向量组是线性相关还是线性无关，我们也有两种方法。

（1）矩阵法：对任一向量组，均可使用矩阵法判断线性相关性。即构造矩阵A=（），对A作初等行变换，化为行阶梯形矩阵B，比较A的秩R（A）（即B中非零行的行数）与向量的个数m的大小。若R（A）

（2）行列式法：仅当向量的个数m=向量的维数n时，方可使用行列式法来判断向量组的线性相关性。此时构造n阶行列式，并计算|A|的值。若|A|=0，则向量组线性相关；若|A|≠0，则向量组线性无关。

4.5判断向量是否可由向量组线性表示

给定向量组A：和向量，如果存在一组数，使，则称向量能由向量组A线性表示。

由定义可知求向量由向量组A线性表示的问题，可以转化为线性方程组求解的问题。而非齊次线性方程组求解的问题我们在前面4.3节已讨论过。

4.6求矩阵的特征值与特征向量

设A是n阶方阵，为了计算A的特征值与特征向量，需要先解出的全部解，这些解就是A的全部特征值。然后对每个特征值，求出的通解，其中全部非零解就是A的属于特征值的特征向量。

在计算A的特征值与特征向量过程中，既需要计算行列式，也需要利用初等行变换解线性方程组。学生往往在这个地方将作为矩阵做初等行变换，或是将作为行列式来处理，从而引起错误。

参考文献

[1]蒋卫华，王红滨.线性代数教学中两组概念的处理[J].大学数学，2005.21（1）.

[2]郭竹梅.对线性代数教学中几组易混淆概念的分析[J].赤峰学院学报（自然科学版），2011.27（8）.

行列式的应用篇5

一、泰勒公式

(一) 泰勒公式的定义

它主要是根据该函数的特性, 对其进行分析并计算, 为了准确且高效的对该函数进行求解, 对其进行精准的分析并对其进行计算, 我们可以使用泰勒公式将一些初等函数转换为幂函数进行计算, 从而打破无理和超越函数的极限对其换算, 在一定程度上省略了很多换算的步骤, 这也是它能广泛应用于高等数学的一个重要特点。

(二) 泰勒公式

二、泰勒公式在不等式和行列式中的应用

(一) 泰勒公式在不等式中的应用

分析:根据该题的已知条件, 我们可以知道二阶可导, 所以当高阶导数存在时, 我们应该运用泰勒公式对其进行分析并证明, 该函数的左边有被积函数f (x) , 右边有 (a, b) , 所以我们可以在点x处运用泰勒公式将其展开, 使t=a, 同时也让t=b。从而找出其中三者之间的关系, 证明该题目。

证明:运用泰勒公式将其展开为:

再对其进行积分

根据函数的特性, 我们在证明有关定积分不等式的过程中, 为了使不等式在证明问题的过程中, 能够比较明确易懂的证明, 有时候会需要构造一个函数与泰勒公式和介值定理进行证明并相互使用。泰勒公式在对某一定点的证明问题上也有很大的作用。[3]

根据以上描述题目, 我们了解一个步骤, 在以后使用泰勒公式证明与定积分不等式有关的问题时, 我们可以遵循这些步骤快速又准确的对其进行分析并证明, 如:在用泰勒公式进行证明时, 定积分不等式中必然会存在二阶或者二阶以上的导数, 在函数中, 在对不等式进行证明之前, 可以先选一个展开点, 然后在展开点的地方使用泰勒公式, 可以使用介值定理对 (a, b) 进行合理的放缩。

2.泰勒公式在证明初等函数和幂函数不等式中的应用。在题目要求证明的不等式中有初等函数、三角函数、超越函数和幂函数相结合的证明问题时, 应该选取合适的基本函数, 利用泰勒公式中的迈克劳林展开式对要证明的题目问题进行有效的分析。

在证明不等式的问题时, 如果出现以下几种时, 我们可以优先考虑泰勒公式的迈克劳林表达式, 如已知的题目中已经告知含有一阶导数、二阶导数、初等函数、三角函数或者超越函数与幂函数等。

3.泰勒公式在证明一般的不等式时的应用。对于证明一般不等式时我们则可以运用泰勒公式根据以下几个方面对其进行证明:首先我们根据此不等式中含有的高阶导数写出比已知的最高的导数要低一阶的泰勒展开式, 而且要根据题目的特征, 选择合适的等式, 然后再根据题目中已知的最高阶导数的大小进行合理的放缩展开式。[4]

分析:从该题目中我们可以得知该函数连续可到并且直到最高阶导数, 所以我们可以运用泰勒公式对其展开证明。证明:根据题目以及泰勒公式可得知

(二) 泰勒公式在行列式的计算方式中的应用

在行列式计算时, 我们一般采用代数知识如递推法、数学的归纳法等进行有效的计算, 很少会运用到微积分等知识原理进行行列式的计算, 根据这个特点泰勒公式很适合运用于行列式的计算中。我们可以根据所求行列式的自身特点, 对其先进行相应的研究, 再对其构造相应的行列式函数, 再把该行列式函数根据泰勒公式在某一个点展开并求出行列式函数的各阶导数值。

例4.运用泰勒公式求出n阶行列式的数值

最后可以算出该函数的各阶的导数值

根据其递进的关系得出

将以上所得到的信息运用泰勒公式可以得

三、结束语

根据本文的描述, 我们对泰勒公式的一些相关知识以及其在高等数学中的应用都有了一定的了解, 它可以有效的解决高等数学中遇到的一系列难度较大的问题, 是高等数学应用中必不可少的公式, 我们根据泰勒公式在高等数学中的广泛应用, 举例并说明了这一特征, 但是为了使泰勒公式在教育方面有更大更高效的作用, 我们还应对其进行深入的分析研究, 从而将它的作用扩大到最大化, 以便更好的适应现代教育并有效的解决现代教育遇到的一系列难题。

摘要：在现代教育发展越来越快速的今天, 人们知道的且要研究的领域越来越多, 高等数学的研究也是必不可少的, 在高等数学的研究中, 泰勒公式是其领域内的一个非常重要的研究对象, 泰勒公式在对高等数学的发展上有很大的作用, 所以人们也越来越重视对泰勒公式的理解与应用, 本文根据一些例子重点对泰勒公式在不等式和行列式中的应用进行分析。

关键词：泰勒公式,不等式,行列式,应用

参考文献

[1]董海峰, 孔文聪.泰勒公式及其应用[J].课程教育研究, 2013 (30) :185-187.

[2]姚志健.泰勒公式在证明不等式中的应用[J].兰州文理学院学报 (自然科学版) , 2015 (01) :86-89.

[3]赖华丹.泰勒公式在数学研究中的应用研究[J].数学学习与研究, 2014 (23) :123.

范德蒙行列式及其应用篇6

n阶范德蒙行列式的标准形式及结果为:

文[1]中用数学归纳法也证明了该结论.

下面将结合实例说明将一些特殊行列式化为范德蒙行列式计算的常用方法及应用.

1. 化为范德蒙行列式计算的常见情形及方法

( 1) 直接利用行列式的性质计算

例1计算n + 1阶行列式

解我们观察到该行列式具有逐行元素方幂递减的特点,故可将第n + 1行依次与上面各行做两两对换,将它交换到第1行,再第n行依次与上面各行做两两对换,将它交换到第2行,…,直至第2行与第1行交换放到第n行,这样共经过n + ( n - 1) + … + 2 + 1 =n( n + 1)/2次行的交换,得到范德蒙行列式

根据范德蒙行列式的结果可得Dn +1= n! ( n 1) ! …2! .

( 2) 利用升阶法计算

解容易发现Dn虽不是范德蒙行列式,但我们可以采取添加一行一列构造n + 1阶范德蒙行列式来间接的求出Dn. 令

将f( x) 按第n + 1列展开得f( x) = A1,n +1·1 + A2,n +1·a + … + An,n +1·an -1+ An +1,n +1·an.

其中an -1的系数为An,n +1= ( - 1)n + ( n +1)Dn= - Dn

又根据范德蒙行列式的结果知:

( 3) 利用拆项法计算

则有

把第1行拆成两项之和,并利用范德蒙行列式的结果,得

2. 范德蒙行列式的应用

范德蒙行列式不仅构造独特,形式优美,而且应用广泛. 一般地,范德蒙行列式多应用于与多项式理论及线性方程组理论相关的讨论.

例4设a1,a2,…,an互是两两互不相同的数,证明下列方程组有唯一解,并求它的解.

解因为方程组的系数行列式为

所以原方程组有唯一解. 令x1,x2,…,xn为其一组解,我们考虑关于y的多项式f( y) = yn- x1yn -1- … - xn -1y - xn,

由于f( ai) = ain- x1ain -1- … - xn -1ai- xn= 0,( i =1,2,…,n) ,即a1,a2,…,an为f( y) 的根,

由n次多项式根与系数的关系可得该方程组的解为

行列式的应用篇7

数学归纳法多用在证明题中. 在计算高阶行列式时,需要先计算同结构的低阶行列式,观察,作出合理的猜想,再用数学归纳法证明.

例1证明:

当 n = k 时,

递推法就是利用一个高阶的行列式可以用比它低阶的同结构的行列式来表示,进而推导出递推关系式,通过变形,计算出行列式的值.

例2求2n阶行列式的值

解将D2n按照第1,2n行与第1,2n列展开

从上面的例子可以看出数学归纳法和递推法是处理高阶行列式计算问题的有力工具. 但是在某些更为复杂的高阶行列式中,往往要把二者结合起来,起到一个相辅相成的作用. 请看下面的例子:

例3求n阶行列式Dn的值

则当n = k时,将Dn按最后一行展开,得:

高职数学行列式的计算方法篇8

根据行列式的性质及线性方程组存在的本质联系,高职阶段对低阶行列式的求解方法大致有以下几种:

方法1: 对角线法则( 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,四阶及四阶以上的行列式不适合用)

方法2: 化三角形法( 运用行列式的性质,将行列式化为上或下三角行列式)

方法3: 降阶法( 代数余子式法)

用行列式的性质使某行或某列的零元素充分多,再按该行或该列展开.

方法4: 升阶法( 加边法)

行列式与复数、向量两例篇9

a21a22…a2n

am1am2…amn,其中A的第i行是(ai1,ai2,…ain),1≤i≤m,第j列是a1ja2jamj,1≤j≤n.称A为m乘n矩阵(m by n Matrix);如果m=n,则称A为一个n阶方阵(Square Matrix of Order).元素a11,a22,a33,…,ann形成了A的主对角(The Main Diagonal),元素aij称为矩阵A的第i行和第j列的元素,也可记为(i,j),常将矩阵记为A=[aij].

例1 定义一种运算如下:abcd=ad-bc,则1+i-123i的共轭复数是.

解析由所给的定义,得1+i-123i=3i-3-(-2)=-1+3i,所以其共轭复数为-1-3i.

例2 平行六面体ABCDA′B′C′D′中,底面ABCD是一个平行四边形,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AA′=(-1,2,-1).

(1) 求平行六面体ABCDA′B′C′D′的体积;

(2) 定义运算x1y1z1x2y2z2x3y3z3=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,对于向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),有(a×b)•c=x1y1z1x2y2z2x3y3z3,则(AB×AD)•AA′=;

(3) 比较平行六面体ABCDA′B′C′D′的体积与(AB×AD)•AA′,知|(AB×AD)•AA′|的几何意义是.

解析 (1) 因为AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AA′=(-1,2,-1),

所以AB•AA′=(2,-1,-4)•(-1,2,-1)=-2-2+4=0,

AD•AA′=(4,2,0)•(-1,2,-1)=-4+4+0=0,cos〈AB,AD〉=AB•AD|AB||AD|=2×4-1×2-4×021×25=3105=335,

所以AB⊥AA′,AD⊥AA′.

又AB∩AD=A,所以AA′⊥平面ABCD.

又|AB|=22+(-1)2+(-4)2=21,|AD|=

42+22=25,|AA′|=(-1)2+22+(-1)2

=6,sin〈AB,AD〉=1-335=4235,而ABCD是平行四边形.

故VABCDA′B′C′D′=|AA′||AB||AD|sin〈AB,AD〉=6×2105×4235=48.

(2) 由所给的定义,得(AB×AD)•AA′=2×2×(-1)+4×2×(-4)-4×(-1)×(-1)-(-1)×2×(-4)=-48.

(3) 因为|(AB•AD)•AA′|恰好等于平行六面体ABCDA′B′C′D′的体积,

所以|(AB•AD)•AA′|的几何意义是以AB,AD,AA′为棱的平行六面体的体积.

n阶行列式的解法技巧篇10

行列式的计算是高等代数和线性代数中的基本问题, 也是重要问题. 由于n阶行列式计算的技巧性较强, 所以其计算也是学习中的难点. 现结合本人的实际学习体会和实际教学经验, 总结出以下几种方法.

1. 定义法

利用n阶行列式的定义计算.

解根据行列式的定义, 行列式展开后每项都是n个位于不同行不同列的元素相乘, 而此题Dn中只有一个非零项1×2×…× (n-1) n=n!, 此项的逆序数为n-1, 故Dn= (-1) n-1n!.[1]

2. 降阶法

直接展开或者用Laplace定理展开, 降阶后为上下三角形行列式. 如例1, 按最后一行展开或者用Laplace定理展开后得到对角行列式

3. 化三角形法

能够利用三角形行列式来计算的行列式的特点是: 有很多相同的元素, 利用行列式的性质进行线性运算的时候可以出现很多的0 元素, 进而化为上 ( 下) 三角形来计算.

4. 递推法

能使用递推法的n阶行列式, 一般按某一行 ( 列) 展开后, 可以得到与原行列式类型相同的低阶行列式, 这样就可以得到Dn与Dn - 1的递推关系式进行运算, 两条线型行列式用此法比较便捷.

5. 间接递推法

能使用间接递推法的n阶行列式, 一般按某一行展开后, 可以得到与原行列式类型相同的低阶行列式, 这样就可以得到Dn, Dn - 1与Dn - 2的递推关系式, 一般要写成Dn-αDn - 1= β ( Dn - 1- Dn - 2) 来进行运算. 同时要得到按某一列展开的递推关系式, 这样两个方程联立解方程组即可求出Dn, 三条平行线型n阶行列式用此法一般比较容易解.

6. 差分法

7. 提取公因式法

对于箭头型 ( 也可称为爪型) 的n阶行列式, 可按行 ( 列) 提取公因子, 化为上下三角形行列式来做.

8. 加边法 ( 升阶法)

其原理是: 利用行列式展开的性质, 把n阶行列式通过加行 ( 列) 变成与之相等的n + 1 阶行列式, 利用行列式的性质, 把添加进去的行 ( 列) 适当的倍数加到其他行 ( 列) , 使其他行列出现更多的零元素或者化成箭头型行列式, 再进行计算[4].

加边法适用于除对角元外, 其余元素几乎相同或者成比例的行列式, 或者是各个行 ( 列) 所加数的规律比较明显或相同的行列式.

9. 范德蒙行列式法

遇到具有逐行 ( 列) 元素方幂递增或者递减的所谓范德蒙型的行列式时, 可以考虑将其转化为范德蒙行列式, 并利用相应的结果进行解题.

运用行列式的性质进行计算更是常用方法, 此外, 还有析因子法, 数学归纳法等方法, 不同的题目适合不同的方法, 需因题而异. 很多情况下, 一道题目, 可能有很多种解法, 那选择哪种方法都是可以的. 我们只需要选择我们善于使用的方法或者是一种更为简单的方法来解决即可.

N阶行列式, 虽然是高等代数中的一个难点, 但其方法和技巧却比较好理解和使用, 只要我们在做题过程中善于发现其规律和特点, 就能选择合适的方法来解决N阶行列式的相关题目, 就会化难为易, 轻松解决基本知识.

摘要：n阶行列式的计算是高等代数和线性代数中的基本问题, 也是重要问题.现整理出几种常用的解题方法, 促进学习.

【行列式的应用】推荐阅读：