时变不确定性

2024-12-19

时变不确定性（共3篇）

时变不确定性篇1

0 引言

给定一个能量有界的系统噪声输入信号, 如果我们能够使得滤波误差系统传递函数的H∞范数小于给定值, 那么我们便完成了滤波器的设计。而近年来H∞滤波理论的研究之所以得到大大关注, 和H∞控制理论的发展密不可分。在此类系统的设计中, 我们的主要依赖于两种手段, 一是利用代数Riccati, 二是利用线性矩阵不等式, 目前主要采用线形矩阵不等式来解决相关问题。

在实际工程中我们到处可以看到时滞的发生, 而它的危害更是不言而喻, 系统不稳定, 系统性能降低以及系统出现混沌这些都有可能是系统时滞引起的, 所以对时滞系统进行研究不仅具有理论意义, 而且对工程应用也有着积极影响。因此, 近年来, 时滞系统的分析与综合成为了广大学者关注的对象。过去控制器的设计, 获得了大量的有效的结果, 但是对于滤波器的设计相对有较少的关注, 仍然有很多地方有待于研究, 尤其是不确定和时变时滞离散时间系统这方面。

鲁棒H∞滤波其实很简单, 主要有两点, 一是满足H∞性能准则, 二是满足模型参数不确定性。当遇到参数不确定的系统时, 通常的作法会使结果具有较大的保守性, 这主要是因为要想找到一个统一的Lyapunov函数使所有允许的不确定参数得到满足是非常困难的。而有一种方法可以大大降低保守性, 那就是寻找一个Lyapunov函数使得它和系统的不确定性相关联即可。这样的方法不仅可以在不确定系统中得到应用, 在滤波设计中也应该可以使用, 这一课题的研究价值很大。

此文中, 一个新的鲁棒稳定性条件被提出了, 并且作者给出了满足这一条件的鲁棒H∞滤波设计方法, 在该方法的提出中解决了凸优化问题, 并且给出了具体算例对所提出的算法进行了验证。

1 问题描述

首先, 我们假设不确定离散系统满足下面的一些条件:

其中x (k) ∈Rn为状态变量, y (k) ∈Rm为测量输出, z (k) ∈Rp为要估计的信号, ω (k) ∈Rq为噪声输入, h (k) 为时变时滞, 假设满足hm≤h (k) ≤hM, 且定义h=hM-hm其中mh, Mh为正整数。ϕ (k) , k=-hM, -hM+1, L, 0为已知的初始条件。A, 1A, 1B, C, 1C, L, 1L, 3B可以用其它已知矩阵的凸组合来表示出来, 而且其均为不确定矩阵。比如, 以下的写法是合理的:

其中 (A i, A1i, B1i, C i, C1i, B2i, L i, L1i, B3i) (i=1, 2, L, p) 称为顶点矩阵。 (2)

构造全阶滤波器:

其中, AF∈Rn×n, BF∈Rn×m, CF∈RP×n, DF∈Rp×m是待确定的滤波参数。

则滤波误差系统的状态方程为:

I为适当维数的单位矩阵。

本文的目的是为系统 (1) 设计一个如同 (3) 形式的滤波器, 并且满足如下两个条件:

<1>当ω (k) =0时, 滤波误差系统 (4) 是渐近稳定的;

<2>滤波误差系统 (4) 的增益H∞不超过给定的常数γ, 即在零初始条件下,

其中

满足以上两个条件的滤波器称为H∞滤波器。

2 H∞性能分析

定理1考虑系统 (1) , 设χ∈ℜ为任意确定性常值矩阵, 则滤波误差系统 (3) 渐近稳定且满足H∞性能γ的充分条件为存在矩P>0, Q>0, R>0, M:=[M1M2], M3, W满足下面的线性矩阵不等式。

证明:首先我们定义两个向量ζ (k) :=ξT (k) ξT (k-h (k) ) ETωT (k) T

选择的Lyapunov函数为:

定义∆V (k) =V (k+1) -V (k)

结合以上各式我们得到:

这里利用Schur补引理, 考虑上式, 我们可得到在ω (k) =0时, ∆V (k) <0, 即系统在ω (k) =0时是渐进稳定的。

下面我们考虑在零初始条件下, 对任意的非零ω∈l2, 有成立。

如果 (5) 成立, 利用Schur补引理, 我们可得到∆V (k) <λ2ωT (k) ω (k) -eT (k) e (k) , 在V (k) =0条件下, 不等式两边求和可得到证毕。

下面我们引进两个变量T1, T2采用参数依赖的Lyapunov函数处理多胞型不确定性。

定理2如果存在合适维数的实矩阵Pi>0, Qi>0, Ri>0, M1i, M2i, M3i, W i, T 1, T2满足下面的不等式成立, 那么系统 (4) 对所有满足 (2) 的不确定性是渐进稳定的。

其中, Θ1i=MT E+ET Mi-Pi+ (h+1) ET Qi E, Θ2i=-MiT+ET M3i, Θ3i=-MT3i-M3i-Qi, Mi:=[M1iM2i]。

3 H∞滤波设计

这一部分, 我们根据以上定理, 给出滤波器存在的充分条件。

定理3如果存在合适维数的矩阵

P1i, P2i, P3i, Ri>0, Q i, M1i, M3i, G i, T 1, V 1, V 2, A, B, C, W i, DF对于i=1, 2, L, p满足下面的不等式, 那么满足条件的滤波器是存在的。

证明:令T2=X3X4X1X2, 因X4+X4T>0, X4可逆, 我们定义:J1=I00X2 X4-1

J2=diag{J 1, I, I, I, I, I, J 1}, J 2Φ1iJ2T=Φ2i, i=1, 2Lp, 接下来我们定义变量:

于是可得到滤波器的参数Af=AV2-1, Bf=B, Cf=CV2-1, Df=DF, 证毕。

4 数值算例

考虑如下不确定离散时变时滞系统:

利用Matlab软件中的LMI求解器, 我们得到滤波器矩阵

5 结论

本文研究了一类不确定性离散时变时滞系统的状态滤波问题, 主要是根据H∞性能指标, 利用线性矩阵不等式的方法来设计鲁棒滤波, 给出滤波器存在的充分条件, 通过Matlab中的LMI工具箱, 很容易地设计出了系统的滤波器。最后给出实例证明该方法的有效性。

摘要：本文主要是将H∞性能指标引入到凸多面体不确定离散时变时滞系统中, 并研究基于这一指标的滤波器设计问题。在此系统中, 通过构造Lyapunov-Kra-sovkii函数, 利用Schur补性质, 基于线性矩阵不等式, 得到了渐进稳定的H∞滤波器滤波误差动态系统。在此类不确定系统的鲁棒H∞滤波器设计中, 我们给出了滤波器存在的充分条件, 而这一过程中求解凸优化的问题是关键。如果外界扰动信号能量有界, 我们能保证所设计的滤波误差系统的H∞性能指标小于一定值。数值算例验证了所提出算法的可行性和有效性。

关键词：离散时变时滞系统,鲁棒滤波,线性矩阵不等式,H∞性能,凸优化

参考文献

[1]愈立.鲁棒控制--线性矩阵不等式处理方法[M].北京:清华大学出版社, 2002.

[2]Y.He, M.Wu, Q.L.Han, J.H.She.Delay-dependentcontrol of linear discrete-time systems with an interval-like time-varying delay.Int.J.of Systems Science, 39 (2008) :427-436.

[3]J.H.Kim, S.J.Ahn, S.Ahn.Guaranteed cost and-ltering for discrete-time polytopic uncertain systems with time-delay.J.Franklin Inst.342 (2005) :365-378.

[4]Xian-Ming Zhang, Qing-Long Han.Robust filtering for a class of uncertain linear sy-sterms with time-varying delay.Automatica44, 2008:157-166.

[5]Gao, H., &Wang, C. (2004) .A delay-dependent approach to robust ltering for uncertaindiscrete-time state-delayed systems.IEEE Transactions on Signal Processing, 52 (6) :1631-1640.

[6]Yong-he, Guo-Ping, , Min-Wu (2008) filtering for discrete-time systems with time-varying delay.

[7]Yu Yong-Xin, Zhao Hai-Xia (2011) Robust Filtering for Polytopic Uncertain Discrete Time-Delay Systems.

[8]Yong-Gang Chen, Wen-Lin Li (2009) Improved Results on Robust Control of Uncertain Discrete-time Systems with Time-varying Delay.

[9]Jia-Xu, Jitao Sun (2012) Finite-time filtering for discrete-time linear impulsive systems.

时变不确定性篇2

近年来, 鉴于神经网络在优化求解, 人工智能, 不动点测量及其它工程领域的广泛应用, 神经网络稳定性问题的研究吸引了大批研究人员的关注。在实际应用中, 生物神经元以及电路的实现本身都存在时滞, 因此, 时滞神经网络更能真实的模拟人脑处理信息的属性。另一方面, 神经网络建模过程中通常存在着各种不确定性和干扰, 其中一类不确定性可描述为系统的不确定参数在有界的区间内变化, 这就是区间神经网络。研究时滞区间神经网络的鲁棒稳定性在理论和实践上都具有重要意义。

本文讨论了时变时滞区间神经网络的鲁棒稳定性问题, 利用区间神经网络的等价转换和自由矩阵技术, 以线性矩阵不等式的形式给出新的时滞区间神经网络的全局鲁棒稳定性条件。最后, 通过数值例子进一步证实了本文所提算法的正确性和保守性。

2 问题描述及预备知识

考虑如下时变时滞区间神经网络:

undefined

其中u(t)是状态向量,g(u(·))为神经元的激励函数,I为常值外部输入,C=diag(a1,a2,…,an),A=(aij)n×n,B=(bij)n×n假设矩阵C,A,B未知但有界,满足:C∈CI,A∈AI,B∈BI其中

undefined

系统(1)中的激励函数gi(·)有界且满足如下假设:

(A1): 对任意ξ1,ξ2∈ℝ, 存在正实数σi, 使得

由文献[1]可知, 系统(1)存在唯一平衡点, 设其为u*, 通过变换x(t)=u(t)-u*,将平衡点转移到原点, 则系统(1)可转化为:

undefined

由(A1)可知:fi(·) 有界,fi(0)=0且满足:

(H1): 对任意ξ1,ξ2∈ℝ, 存在正实数σi, 使得

|fi(ξ1)-fi(ξ2)|≤σi|ξ1-ξ2|,i=1,2…,n.

给出本文的主要结论之前, 先介绍一些符号和引理。

设

undefined

HC,HA,HB中元素均为非负数, 定义:

undefined

其中ei∈ℝn(i=1,…,n)表示n×n的单位矩阵第i个列向量.

引理1[2]设

由引理1可知, 系统(3)等价于如下系统:

undefined

其中ΩC∈Ω,△A,△B∈△,那么, 系统(3)全局鲁棒稳定当且仅当系统(4)是全局鲁棒稳定的。

引理2[4]对任意向量x,y∈ℝ, 正定矩阵P∈ℝn×n及正常数ε>0都有:

其中F(t)为满足‖F(t)‖≤1的不确定矩阵.

3 主要结论

定理1 假设条件(H1)成立, 如果存在适当维数的矩阵P>0,Q>0,W>0,Z>0,对角矩阵T=diag(t1,…tn)≥0,S=diag(s1,…sn)≥0,对称矩阵X=XT≥0,正常数θi>0,i=1,2,3,4及矩阵M=[MundefinedMundefined]T,N=[NundefinedNundefinedNundefinedNundefinedNundefined]T,使得不等式

undefined

成立, 其中

undefined

undefined,则区间神经网络(4)在原点是全局鲁棒渐近稳定的。

证明:选取Lyapunov函数:

V(xt,t)=xT(t)Px(t)+∫undefined[xT(s)Qx(s)+fT(x(s))Wf(x(s))]ds+∫undefined∫undefinedundefinedT(s)Zundefined(s)dsdθ,其中,undefined。

根据引理1, 2及自由矩阵技术, 可以得到

undefined

其中

undefined,因此, 由Lyapunov稳定性理论知, 系统(6)的平衡点是全局鲁棒渐近稳定性。

注1. 文献[2,3]中要求时变时滞τ(t)的导数上界小于1, 而本文中定理1则没有此约束条件,因此, 本文定理1所给出的鲁棒稳定性条件较文献[2,3]的适用范围更广。

4 数值例子

例1. 考虑具有如下参数的区间神经网络(文献[2]中的例子):

undefined

假设时滞函数满足:undefined, (文献[2]中假设undefined,激励函数满足(H1)且σ1=0.5633,σ2=0.0478。

因为此模型中时滞导数大于1, 所以文献[2,3]中的判据均不能应用于本例。通过Matlab工具箱可解得线形矩阵不等式条件(5),(6)的一系列可行解。因此, 根据定理1可知, 满足以上条件的时滞区间神经网络是全局鲁棒渐近稳定的,这就意味着本文定理1中条件较文献[2,3]中所给出的判据保守性更低。图1进一步证实本文所给条件可以保证该系统具有唯一的全局鲁棒稳定平衡点。

摘要：本文主要研究时变时滞区间神经网络的全局鲁棒稳定性问题,利用区间神经网络的等价转换和自由矩阵技术,给出一个新的区间神经网络平衡点的时滞依赖全局鲁棒稳定性的充分条件,这个条件以线性矩阵不等式的形式给出,容易验证,保守性低。最后,通过数值实例验证了所提算法的正确性和更低的保守性。

关键词：区间神经网络,全局鲁棒稳定,时变时滞,线形矩阵不等式(LMIs),Lyapunov泛函

参考文献

[1]J.Cao and D.Zhou.Stability analysis of delayed cellular neu-ral networks.Neural Networks,11:1601-1605,1998.

[2] S. Xu, J. Lam, D. W. C. Ho. Novel global robust stability criteria for interval neural networks with multiple time-varying delays. Physics Letters A, 342:322-330, 2005.

[3] X. F. Liao,Wang. Global and robust stability of interval Hopfield neural networks with time-varying delays. Int. J. Neural Systems, 13(3), 2003.