2等差数列及其前n项和

2等差数列及其前n项和（精选8篇）

2等差数列及其前n项和 篇1

二、等差数列及其前n项和

答案：第23项与第24项

：

1.等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，义的表达式为.2.等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么通项公式为an＝.[思考探究1]

已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n项an能否用am与d表示？

提示：可以.an＝am＋(n－m)d.3.等差中项

如果三个数a，A，b成等差数列，则三数的关系是A＝.思考探究2]

三数成等差数列时，一般设为a－d，a，a＋d；四数成等差数列呢？ 提示：可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.考点一：等差数列的判定与证明

1.证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种：(1)利用等差数列的定义证明，即证明an＋1－and(n∈N*)(2)利用等差中项证明，即证明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*).2.解选择题、填空题时，可用通项或前n项和直接判断：

(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an ＝An＋B，则{an}是等差数列；

(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列.[特别警示] 若说明一个数列不是等差数列，则只需找到其中连续三项不是等差数列即可.[例1]已知数列{an}中，a1＝

5，an＝2－

1an

1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝

1an1

(n∈N*).(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.[思路点拨]

1.已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d＝()A.－

3B.

C.13

D.23

[课堂笔记](1)证明：∵an＝2－

1an1

1an1

1an11

答案：D

2.已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()

A.4B.5C.6D.7 答案：C

3.设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列 {an}前8 项的和为()A.128B.80C.64D.56 答案：C

4.已知等差数列共10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为答案：3

5.数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则该数列中乘积是负值的相邻两项为.(n≥2，n∈N*)，bn＝

1an1

.∴n≥2时，bn－b

n－1＝

－＝

＝

∴数列{bn}是以－

2＝1.又b1＝，为首项，以1为公差的等差数列.(2)由(1)知，bn＝n－

72，则an＝1＋

1bn

＝1＋，设函数f(x)＝1＋，(2)＝

－6，因为t是奇数，.令2m－3＝t，∈N，所以t可取的值为±1.易知f(x)在区间(－∞，)和（72，＋∞)内为减函数，∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.考点二：等差数列的基本运算

1.等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝

n(a1an)

当t＝1，m＝2时，t＋ －6＝3，2×5－7＝3是数列{an}中的项；

t＝－1，m＝1 时，t＋ －6＝－15，2数列{an}中的最小项是－5不符合.n(n1)

所以满足条件的正整数m＝2.＝na1＋d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两

22222

[变式]若将“a2a3a4a5，S7＝7”改为“S10＝30，S20＝50”，求通项an和

个，体现了用方程的思想解决问题.S30的值.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差

数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.[特别警示] 因为

snn

＝

d2

n＋a1－

d2，故数列{

snn

}是等差数列.解：由题意得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－

解之得n＋

7120

[例2](2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足

a2a3a4a5，S7＝7.amam1am2

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得[思路点拨]

为数列{an}中的项.[课堂笔记](1)设{an}通项公式an＝a1＋(n－1)d，d≠0，则 由性质得，－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0.① 又由S7＝7得7a1＋

d＝7.②

S30＝30a1＋d＝60.考点三：等差数列的性质 1.等差数列的单调性：

等差数列公差为d，若d＞0，则数列递增.若d<0，则数列递减.若d＝0，则数列为常数列.2.等差数列的简单性质：

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和..(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(4)S2n－1＝(2n－1)an.(5)若n为偶数，则S偶－S奇＝

n2

联立①②解得a1＝－5，d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项).(6)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列(其中c、p、q均为常数，{an}，{bn}是等差数列).[例3](2009·宁夏、海南高考改编)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am－1＋am

＋

1－am＝0，S2m－1＝38，求m的值.[思路点拨]

[课堂笔记] 由条件得2am＝am－1＋am＋1＝a，从而有am＝0或2.又由S2m－1＝

×(2m－1)＝38且2am＝a1＋a2m－1得(2m－1)am＝38，故am≠0，[自主体验]

已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝

2an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值.解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}为等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，{bn}前n项和为Tn.由a3＝10，S6＝72，得则bn＝

则有2m－1＝19，m＝10.[变式]若将“am－1＋am＋1－am＝0，S2m－1＝38”改为“S6＝72”，如何求a3＋a4.解：∵数列{an}为等差数列，∴S6＝∴a3＋a4＝

3∴

得

∴an＝4n－2，≤n≤

.an－30＝2n－31.由

＝3(a1＋a6)＝3(a3＋a4)，S6＝

∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15项为负值，∴T15最小，可知b1＝－29，d＝2，∴T15＝

＝－225.×72＝2

4高考对等差数列的常规考法为：（1）在解答题中考查等差数列的判断或证明；（2）

在选择题、填空题或解答题中考查等差数列的基本性质以及an，a1,d,n,Sn中的“知三求二”问题.09年安徽高考以选择题的形式考查了等差数列前n项和的最值问题，是高考命题的一个新方向.[考题印证](2009·安徽高考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.又Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18 【解析】 ∵{an}为等差数列，∴a1＋a3＋a5＝105，a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，d＝a4－a3＝33－35＝－2，∴{an}是递减数列.an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41，an≥0，－2n＋41≥0，n≤，∴当n≤20时，an>0，n≥21时，an<0，∴n＝20时，Sn最大.【答案】 B

1.(2009·辽宁高考){an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3 ＝0，则公差d＝()A.－2B.－

C.12

D.2

答案：B

2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A.13B.35C.49D.63 答案：C

3.已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是()

A.4或5B.5或6C.6或7D.8或9 答案：B 4.(2009·山东高考)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝.答案：13

5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，则S7∶S3等于.答案：2∶1

6.(文)(2010·惠州模拟)等差数列{an}前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上.(1)求c，an；

(2)若kn＝

an2

n，求数列{kn}的前n项和Tn.∵

是与n无关的常数，则

故存在实数λ＝－1.使得数列＝0，得λ＝－1.要使

解：(1)点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上，∴Sn＝n2＋c

a＝S＝1＋c，a＝S－S＝(4＋c)－(1＋c)＝3，为等差数列.11221a3＝S3－S2＝5，又∵{an}为等差数列，∴6＋c＝6，c＝0，d＝3－1＝2，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)kn＝，Tn＝

①

②

①－②得Tn＝

(理)已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a1＝5.(1)若存在一个实数λ，使得数

an

2列为等差数列，请求出λ的值；n



(2)在(1)的条件下，求出数列{an}的前n项和Sn.解：(1)假设存在实数λ符合题意，则

必为与n无关的常数，(2)由(1)可得＝1，∴d＝1，且首项为 ＝2，∴

＝2＋(n－1)＝n＋1，∴an＝(n＋1)2n＋1(n∈N*).令b n ＝(n ＋1)2n且前n

项和为Tn，∴Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)2n，2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，①－②得－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n＋1

＝2＋(2＋…＋2n)－(n＋1)2n＋1

＝2n＋1－(n＋1)2n＋1 ＝－n·2n＋1，∴Tn＝n·2n＋1，∴Sn＝n·2n＋1＋n.①

②

2等差数列及其前n项和 篇2

药房里有一种数丸器, 可以很快地数清同样大小的药丸数量。它是一个等边三角形的盘子, 把要数的药丸放在盘内, 将盘向一角倾斜, 轻轻晃动, 药丸便在一角整齐地排成每行比前一行多一粒的形式。如果排满了n行, 此外还有k粒 (k≤n) , 问盘内共有药丸多少粒?

分析:关键是求从第一行到第n行药丸粒数之和 (各行的药丸粒数组成等差数列, 其中首项为1, 公差为1) , 也就是求等差数列1, 2, 3, …, n的前n项和, 即

Sn=1+2+∧+n-1+n=? (请同学探究这里Sn等于什么呢?采取:先求S100=?, 再求Sn=?)

二、探索思路, 体验过程

探法一:Sn=1+2+∧+n-1+n (1) (正序)

Sn=n+n-1+∧+2+1 (2) (倒序)

(1) + (2) 得:2Sn= (1+n) + (2+n-1) +∧+ (n-1+2) + (n+1)

(正序+倒序:称为“倒序相加”)

(利用“倒序相加”的思想方法得到)

故盘内共有药丸粒。

三、拓展规律, 得出结论

设等差数列{an}的公差为d, 前n项和为Sn,

则Sn=a1+a2+∧+an-1+an (请同学猜想等于什么呢?)

(1) + (2) 得:2Sn= (a1+an) + (a2+an-1) +∧ (an-1+a2) + (an+a1) (“倒序相加”)

Θ1+n=2+n-1=∧=n-1+2=n+1

∴a1+an=a2+an-1=∧=an-1+a2=an+a1 (在等差数列{an}中, 距首末两项等距离的项的和相等。通过公式推导的过程, 展现数学中的对称美)

有2Sn= (a1+an) n

即 (采用“倒序相加”的思想方法证得)

说明: (1) 采用“倒序相加”的思想方法, 我们得出, 同学们联想这个公式与我们学过的什么公式类似呢? (学生:梯形面积公式) , 请同学们类比梯形面积公式把它记住。Sn= (a1+an) n2

(2) 在研究等差数列的时候, 我们常说基本量, 基本量是什么? (学生:首项a1和公差d) , 我们知道, 如果a1和d确定了, 那么等差数列就确定了, 能不能用a1和d表示这个等差数列前n项和公式呢? (学生:能, Θan=a1+ (n-1) d∴

(3) 我们发现, 两个求和公式靠通项公式联结, 出现了5个量, 分别是Sn, n, a1, d, an, 如果知道其中三个, 就很容易求出另外两个 (学生:解“知三求二”问题, 一般有三种解法, 要注意选择最佳方案) 。

四、体验公式, 简单应用

某表演场共有24排座位, 后一排比前一排多2个座位, 最后一排有110个座位, 问这个表演场一共有多少个座位? (找学生说出解法:教师ppt打出:)

分析:问这个表演场一共有多少个座位, 也就是求从第1排到第24排座位数之和 (各排的座位数组成等差数列) , 即求等差数列{an}前24项和S24。

解法一:已知n=24, d=2, a24=110, 先求a1, 再来求S24

解法二:n=24, d=2, a24=110, 不求a1, 直接求S24

可以把这个数列倒过来, 新数列与旧数列的和是相等的, 我们可以把110当作首项, 公差变成-2进行求和。

(大胆对题目进行等价变换, 也正是倒序的思想体现)

答:这个表演场一共有2008个座位。

点评:解等差数列应用题的基本步骤: (教师提出:学生合作答出:ppt打出:)

(1) 将应用题转化为等差数列模型 (把文字语言翻译成数学符号语言) 。

(2) 在等差数列{an}中, 写出已知的量和要求的量。

(3) 运用等差数列的通项公式和前n项和公式 (通过解方程或解方程组) 求出实际答案。

五、总结思路, 提炼思想

教师:现在请同学们总结一下本节课学到的知识和方法。

同学a:我们为了解决现实生活、工作中遇到的实际问题, 进一步学习了等差数列的两个求和公式, 并且体会了公式的简单应用。

同学b:还有一个重要的思想方法, “倒序相加”法 (即根据有些数列的特点 (如等差数列) , 将Sn倒写后再与Sn相加, 从而达到 (化多为少) 求和的目的) , 这是我们接触的全新的思想, 非常巧妙, 让我们开阔了思路。

同学c:我们采用“问题解决”的教学模式 (即以实际问题为中心, 选择、组织数学教学内容, 并以解决实际问题为主要学习方式的教学模式) 。与教材的教学模式 (主要是先讲理论教学内容, 然后到公式理论运用, 实际应用放在次要位置) 不同。

教师:一是同学们懂得了数学源于生活 (实践) , 服务于生活 (实践) 的特点, 体会到自己在学“有价值的数学”, 而且是富有兴趣地去学;二是突出实践在教学内容中的主导地位, 用实际问题来引领理论, 使理论从属于实践;三是我们为了解决实际问题, 体验了等差数列求和的发展过程, 希望同学们掌握“倒序相加”的思想, 提高构造的能力, 熟记两个公式并会适当选择、应用。

参考文献

[1]周映平.新课程背景下“问题解决”的数学教学模式的建构.数学通讯, 2007 (1) .

2等差数列及其前n项和 篇3

教学是师生共同参与的活动过程，在这个过程中，教师是活动的主导，学生是活动的主体，教师的主导要为学生主体达到学习目标服务，也就是就教师在使用讲授法的同时，必须辅之以指导学生亲自探究、发现、应用等活动，为学生思维指路搭桥。通过学生自主的尝试活动，使他们在感知的基础上有效地揭示知识的内在联系，从而使学生获取知识，提高能力，本堂课的设计正是以这个原则为主旨的。

二、学生情况与教材分析

1.学生通过上一节的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点。

2.几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习来理解数学，是数学学习中的重要方面。

3.本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。

三、教学目标

1.知识目标

（1）了解等差数列前n项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前n项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式。

（2）用方程思想认识等差数列前n项和的公式，利用公式求和；等差数列通项公式与前n项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值。

（3）会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究前n项和的最值。

2.能力目标

（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比的思维能力。

（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感目标

（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

（2）通过公式的运用，树立学生“大众教学”的思想意识。

（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

四、教学重点、难点

重点：等差数列前n项和公式。

难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路。

五、教学方法

启发引导、交流讨论、合作探究。

六、教具准备

现代教育多媒体技术。

七、教学流程图

八、教学过程

1.引入新课

（1）复习

师：上一节课中，我们学习了等差数列的定义及通项公式，知道了“公差d=______，通项公式an=______”（见黑板）

生1：（回答黑板上的问题）

（2）故事引入

师：那等差数列的前n项和怎样求？今天，我们主要探讨等差数列的前n项和公式。说起数列求和，我由地想起德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题“1+2+3…+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。下面给同学们一点时间来挑战高斯。

生2：5050

师：看来我们班还是有不少高斯的。继续努力，说不定将来也成了数学家。下面请这位同学说一说是怎样算出来的。

生3：（说明如何进行首尾配对进行求和的。）

师：根据等差数列的特点，首尾配对求和的确是一种巧妙的方法。不过，对于以下的题，“例：求等差数列8、5、2…的前20项的和（见课件）”这种方法可就没那么方便了。因此我们非常迫切地需要推导出等差数列的前n项和公式。

2.合作学习，探求新知

师：下面我们从一个稍稍简单一点的等差数列来推导探讨等差数列的前n项和公式。

（学生观察幻灯片上以等差数列逐层排列的一堆钢管。）

师：如何求？

生4：利用刚才的方法.（略）

师：想一想，除了刚才的首尾配对求和的方法外，还有没有其他的方法呢？

（课件演示：引导学生设想，如果将钢管倒置，能得到什么启示）

生5：每一层都和上一层是一样多的。一共有8层，所以为8×（4+11），但一共有两堆，所以为S8=

师：那如果如下图所示共有n层，第一层为a1，第n层为an，请大家来猜想一下这个呈等差数列排列的钢管的总和Sn等于多少？

生6：Sn=

解:钢管的数量为:S8=

等差数列前n项求和公式:Sn=

师：这个猜想对不对呢？下面我们用所学过的知识一起来证明一下。

板书：Sn=a1+a2+a3+…+an

即Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+［a1+（n-1）d］

把上式的次序反过来又可以写成：

Sn=an+（an-d）+（an-2d）+…+［an+（n-1）d］

两式相加：

2Sn=（a1+an）+（a1+an）+…（a1+an）=n（a1+an）

所以Sn=

看来，我们的猜想是正确的。下面我们做几道练习来熟悉一下公式。

3.合作学习，巩固并探求新知

学生练习一：（1）在等差数列｛an｝中，已知a1=1，a10=8，求S10.

（2）求正整数列是前1000个数的和;

学生小组合作练习，分组进行交流。

师：看来，大家对公式的掌握还是不错的。下面，我们再来看一道练习。

学生练习二：在等差数列｛an｝中，a1=1，d=-2已知a1=1，d=-2，求S10；

学生思考，并讨论解答。

学生讲解如何进行求解这题。

师：刚才那道题给出了a1，d和n=10，a10没有给出，但我们一样可以将S10求出，

那我们能不能直接由a1，d和n，得到an呢？

学生根据求和公式一和通项公式导出公式二：Sn=na1+d

学生练习三：求正整数中前500个偶数的和（用多种方法求解）。

学生讨论解答此题，并请学生上台讲解。

4.总结

师：今天，大家学得不错。下面我们再来回顾一下本堂课的内容。今天我们主要倒序相加的方法推导了等差数列前n项和公式一，并结合等差数列通项公式二推导出等差数列前n项和公式二，希望同学们在今后的解题要灵活运用这两个公式。

5.教学反思

等差数列前n项和教案 篇4

【课题】

等差数列前n项和第一课时

【教学内容】

等差数列前n项和的公式推导和练习

【教学目的】

（1）探索等差数列的前项和公式的推导方法；

（2）掌握等差数列的前项和公式；

（3）能运用公式解决一些简单问题

【教学方法】 启发引导法，结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.【重点】

等差数列前项和公式及其应用。

【难点】

等差数列前项和公式的推导思路的获得 【教具】

实物投影仪，多媒体软件，电脑 【教学过程】

1.复习回顾 a1 + a2 + a3 +......+ an=sn

a1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自学

问题一： 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1 支铅笔，往上每一层都比它下面一层 多放一支，最上面一层放 100支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？

思考：(1)问题转化求什么 能用最短时间算出来吗？

(2)阅读课本后回答，高斯是如何快速求和的？

他抓住了问题的什么特征？

(3)如果换成1+2+3+…+200=？我们能否快速求和？，(4)根据高斯的启示，如何计算 18+21+24+27+…+624=？

3..合作互学（小组讨论，总结方法）

问题二： Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?

倒序相加法

探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？

问题三： 已知等差数列{an }中，首项a1，公差为d，第n项为an , 如何求前n项和Sn ？

等差数列前项和公式： n(a1 + an)=2Sn

问题四： 比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？

n(a1 + a n)=2Sn

公式记忆 —— 类比梯形面积公式记忆

n（a1 + a n)=2S 问题五： 两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？

展示激学

应用公式

例1.等差数列－10，－6，－2，2的前多少项的和为-16 例2.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?

【思考问题】如果一个数列{an }的前n项和Sn = pn2 + qn + r，(其中p,q,r为常数，且p ≠ 0)，那么这个数列 一定是等差数列吗？若是，说明理由，若不是，说明Sn必须满足的条件。

等差数列前n项和教学设计说明 篇5

本课的教学设计反映了等差数列求和公式推导过程中数学思想方法——倒序相加法的生成过程，这是本节课教学设计的重中之重；设计中结合本班学生学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节并以此来确定教学目标。下面从以下几个方面进行详细说明。

一、教学内容的本质、地位及作用分析

等差数列前n项和S n

 a 1 

a 2 



 a

，这是教材给出的前n项和的定n1an义，但需要说明的是这只是一个形式定义，表示求和是一般意义的加法运算，而本节课的数学本质是倒序相加法及其生成过程（即变不同“数”的求和为相同“数”的求和），进而推导和掌握等差数列的求和公式。

本节内容是必修五第二章第三节的第一课时，本节课对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式及性质的基础上进一步研究等差数列，其学习的平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用．

对求和公式的认识中，将公式1与公式2与梯形的面积公式建立了联系，从而起到延伸知识，提示事物间内在联系，更能激发学生学习兴趣，感受思考的魅力。

二、教学目标分析

本节课是等差数列的前n项和的第一课时，从知识点来说，掌握求和公式对每个学生来说并不困难，而难点是在于如何从求和公式的推导过程中体会倒序相加求和的思想方法及生成过程，渗透新课标理念，根据学情进行了具体分析，并结合学情制定本节课的教学目标。

学情分析：

1、学生已学习了函数、数列等有关基础知识，并且高二学生的抽象逻辑推理能力基本形成，能在教师的引导下独立地解决问题。

2、学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题。

3、学生对新知识很有兴趣，对用多媒体进行教学非常热爱，思维活跃。结合以上的学情分析，确定知识技能目标是：（1）理解等差数列前n项和的概念（2）掌握等差数列的前n项和公式的推导过程（3）会灵活运用等差数列的前n项和公式。过程与方法的目标是：（1）通过对等差数列前n项和公式的推导过程，渗透倒序相加求和的数学思想且自然生成的过程（2）通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归的能力及掌握方程的思想和方法。并且从教学过程渗透本课的情感态度目标：结合具体情景，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。

三、教学问题诊断

1、根据教学经验，在本课的学习中，学生对公式的掌握及简单应用并不困难，而难点在于在推导等差数列前n项和的过程中如何自然地生成倒序相加求和法，是本课教学环节中的一个重点内容。首先让学生回顾高斯求和法，学生容易进行类比，将首末两项进行配对相加，但是很快遇到问题，当项数为奇数的前n项和时配不成对，这里引导学生意识到奇数项与偶数项的问题影响了首尾配对法。为了改进首尾配对法的局限性，设计了两个探索与发现，分别对应项数为奇数和偶数时，根据动画引导学生发现颠倒顺序再相加变为上下配对，体现了倒序相加法自然的生成过程，避免了对项数是奇与偶的讨论，从而实现变不同“数”的求和为相同“数”的求和。

2、在对两个求和公式的认识中，学生不容易想到将两个公式与梯形面积公式建立联系，此时教师可做适当的动画来提示，学生便能迅速找到二者的关系。认识过程中再次强调倒序相加的思想方法且强化了对公式的记忆和理解。

3、本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，多次设计动画帮助学生观察和思考，形象直观且高效地提升了课堂的效益和效率，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。

4、等差数列求和的两个公式中涉及的量比较多，有a1、n，sn，d，an五个量，通过公式应用及练习引导学生体会方程的思想方法，具体来说就是熟练掌握“知三求二”的问题和方法。

四、教法特点及预期效果分析 根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用“探究——发现”教学模式．引导学生在活动中进行探究，在师生互动交流中，发现等差数列前n项和的推导方法，教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导，学生的学法突出探究与发现，通过创设情景激发兴趣，在与教师的互动交流中，获得本节课的知识与方法。

根据学生具体情况，我力求达到：1、形成学生主动参与，自主探究的课堂气氛。

2等差数列及其前n项和 篇6

常州市第二中学 季明银

一、教学设计意图：

数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分。现行教材把《数列》放在《函数》之后，非常合理。本节课《等差数列前n项和》，是在学生学习了数列的有关概念的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，也是培养学生数学能力的良好题材。数列部分历来是高考的重点，每年高考都要对其进行重点考察，不仅选择题填空题每年必考，而且解答题也是重点考察的对象。等差数列作为数列部分的主要内容，也就备受青睐。（1）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

二、教学目标描述

（1）知识目标： 掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。

（2）能力目标：通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

（3）情感目标：（数学文化价值）

公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶；通过公式的运用，树立学生“大众教学”的思想意识。

三、教学过程设计

1、创设问题情景

德国伟大的数学家高斯“神速求和”的故事：小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。（教师观察学生的表情反映，然后将此问题缩小十倍）。

2、师生互动

例1：计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后，让学生自行发言解答。

拓展1： 1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢？

数列{an}是等差数列，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.类比：Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1

两式相加得2Sn=（a1+an）+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)Sn=

n个

(I)

如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得Sn=na1+

上面（I）、（II）两个式子称为等差数列的前n项和公式。公式（I）是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式（上底+下底）×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n。引导学生总结：这些公式中出现了几个量？

四、能力提升

I直接代公式（让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式）例

2、计算：

（1）1+2+3+......+n

（2）1+3+5+......+(2n-1)

（3）2+4+6+......+2n

（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

d(II)

例

3、（1）数列{an}是公差d=-2的等差数列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。

拓展2：①数列{an}等差数列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n

拓展3：②若此题不求a1，d而只求S10时，是否一定非来求得a1，d不可呢？引导学生运用等差数列性质，用整体思想考虑求a1+a10的值。

II用整体观点认识Sn公式。

例4，在等差数列{an}，（1）已知a2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=20，求S11。

五、总结和评估

通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式及推导等差数列前n项和公式的方法。在Sn公式有5个变量,已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量（知三求二）.在解题时应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法。注意在运用Sn公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解。已知等式是不能直接求出a1，an和d的，但由等差数列的性质可求a1与an的和，于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数学问题的体现。

六、教后反思

等比数列前n项和公式的探究过程 篇7

提出问题: 已知等比数列{ an} 的首项为a1, 公比为q, 求它的前n项和Sn.

问题分析: 这个问题中给出的已知条件就是等比数列、首项和公比, 要求的是前n项和. 我们已经学习过等差数列的相关概念和公式, 那么等比数列是否也可以用类似于等差数列前n项和公式的推导方法进行推导呢? 经过思考和实践, 主要总结出了以下的几种推导思路.

一、以等差数列前n项和公式的推导为参考

当{ an} 为等比数列时, 这样就表示出了Sn, 但这个式子里面共有n项相加, 必须要化简, 消除其中的一些项, 只用某几项来表示. 从上面的式子我们可以观察到, 从第二项起, 每一项都是前一项的q倍, 那么我们可以采用类似于等差数列前n项和的方式, 对该式的两边同时乘q得到一个新的式子:, 用这个式子减去Sn, 就可以把大部分的项都消除掉, 得到, 整理得:且当q≠1时, 当 q = 1 时, Sn= na1.

反思这种方式类似于等差数列前n项和的推导过程, 主要就是通过适当的变形和相减, 把大部分项都消除掉, 达到化简的目的, 使Sn能够写成用a1, q和n表示的形式.

二、以等差数列的通项公式推导方式为参考

在等差数列中, 当n≥2时, 有a2- a1= d, a3- a2= d, …将这些等式的两边分别相加起来, 就可以消除掉等式左边的中间项, 得到an- a1= ( n - 1) d, 且当n = 1时, 这个等式也成立. 那么把这个推导方法运用到等比数列中得:也就是同样的, 把这些等式都加起来, 就得到了等式的左边少了加上a1可以凑成Sn等式的右边括号内加上an也可以凑成Sn, 所以等式可以写成Sn- a1= ( Sn- an) ·q且当q≠1 时, 当 q = 1 时, Sn= na1

反思这种方法是根据等比数列的定义推导出来的, 把每一项表示出来, 用累加的方式就可以得到与Sn相关的式子, 再进行适当的变换, 用已知把Sn表示出来就得到了我们需要的目标公式. 这种推导方式的实质就是建立一个有关于Sn的方程, 解出这个方程, 就是用相关的已知量来表示Sn, 因此, 这可以说是一种方程思想的应用.

三、以等比数列的定义结合比例式的性质进行推导

根据等比数列的定义，与方法二中相似的方法, 要使得式子中出现要求的Sn, 就要凑出通过观察可以发现这个式子的特点是分子中含有除a1外的其他项, 那么, 我们结合 比例式的 性质, 可以得到也就是同样可以得到有关于Sn的方程.

反思这种思路直接从定义出发, 结合等比例的性质, 更容易理解, 思路方面比第二种方法更加清晰自然. 相同之处都是运用了方程的思想, 用解方程的方式把所求的公式表达出来.

等比数列是高中数学的重点和难点, 特别是有关公式的推导, 教师在教学中一定要重视, 只有经过认真思考和推导之后, 学生们对公式的理解才比较彻底, 在实际运用中才能更加灵活.

参考文献

[1]吴静, 祝世清 (指导教师) .方程法变形数列递推公式.中学生数学:高中版, 2013 (9) .

[2]汪元健.求数列通项公式的技巧.中国文房四宝, 2013 (6) .

《等差数列的前n项和》教学设计 篇8

从近年来高考试题中分析得知，考查数列的比重越来越大，其价值越来越得到重视。尤其是相关数列的题型不仅能够锻炼学生的探究能力，培养学生严谨的思维能力，而且对学生分析能力、归纳能力的培养也起着不可替代的作用。同时，等差数列的前n项和也是上节课等差数列的后继内容。本节课的主要内容是：等差数列前n项和公式的推导及运用。

二、教学目标

1.知识与技能目标：

（1）掌握等差数列前n项和的公式以及推导过程；

（2）会用等差数列的前n项和解决相关的一些问题。

2.能力目标：

通过让学生自主推导前n项和公式来锻炼学生的自主学习能力

通过相关问题情境的创设来培养学生的独立思考能力和探究能力。

3.过程与方法：

自主探究模式、数学思想的渗透。

三、教学重点与难点

重点：等差数列前n项和公式的推导。

难点：等差数列前n项和公式的灵活运用。

四、学生分析

“以学生为中心”的教学思想是新课程改革下的基本教学理念，也是学生健全发展的保障。所以，对于高中阶段的学生来说，他们已经具备了自主学习的能力，而且多年的学习也促使学生有了特有的学习方法，因此，我们可以借助自主探究式教学模式来给学生搭建自主学习的平台，进而为学生获得更大的发展空间打下坚实的基础。

五、教学过程

导入环节：回顾等差数列的通项公式[（a■=a■+（n-1）d）]。思考：如果将某个等差数列各个项相加，会得到怎样的结果？

（设计意图：一是让学生回顾和复习上节课的内容；二是提出问题，调动学生的求知欲，使学生带着问题走进课堂。）

情境创设：德国伟大数学家高斯在九岁那年，用很短的时间完成了教师布置的一道数学题：对自然数从1到100的数进行求和。老师非常惊讶高斯为什么能在这么短的时间里计算出对这个年龄来说相当困难、相当耗费时间的题目。思考：高斯用了什么方法？

（设计意图：创设该环境只是为了要将本节课的正题引出，因为对于这样的题，学生很容易回答出答案为5050；对50对构造成和101的数列求和（1+100，2+99，3+98…）也就是我们通常所说的首尾相加。）

接着，让学生简述解题过程。接着，引导学生思考：如果这道试题改为“对自然数从1到n的数进行求和？”会得到怎样的答案。即求1+2+3+4+…+（n-1）+n

学生1：延续高斯的首尾相加。

第一项和倒数第一项相加：1+n

第二项和倒数第二项相加：2+（n-1）=n+1

第三项和倒数第三项相加：3+（n-2）=n+1

……

第n项和倒数第n项相加：n+[n-（n-1）]=n+1

于是所有的前n项和为■

学生2：借助等差数列的通项公式。

设y=1+2+3+4+…+n

观察可以看出，该式子各项之间是等差为1的等差数列。

即an=n所以，y=a■+a■+a■+a■+…+a■（1）

y=a■+an-1+an-2+an-3+…+a■+a■（2）

将（1）+（2）=（a■+a■）+（a■+an-2）+（a■+an-3）+…+（a■+a■）=2y

（1+n）+[2+（n-1）]+…（n+1）=2y

y=■

所以，1+2+3+…+n=■

……

（设计意图：引导学生发挥自己的主观能动性，积极动手、动脑寻找解答的过程，这样一来不仅能够加深学生对相关知识的印象，提高学生的理解能力，而且对学生综合能力的提高也起着非常重要的作用。同时，该环节的设计是等差数列前n项和公式推导出来的前提。）

在学生给出不同的解答过程之后，我接着引导学生思考：如果对于一个等差数列，第一项未知用a1表示、公差未知用d表示，你能否推导出该等差数列的前n项和公式。（学生思考，并在上述解答的思路中给予证明。）

证明：先求出等差数列的通项：an=a■+（n-1）d

设前n项和为Sn，即Sn=a■+a■+a■+a■+…+a■=a■+（a■+d）+（a■+2d）+…+[a■+（n-1）d]

=a■+a■+d+a■+2d+…+a■+（n-1）d

=na■+[d+2d+…+（n-1）d]=na■+d[1+2+3+…+（n-1）]

=na■+■d

当然方法不止这一种，在此不再进行详细的介绍。总之，在对学生的解题过程给予肯定之后，我明确了等差数列前n项和公式，并板书该公式，而且导入环节的问题也随之得到了解决。

（设计意图：该过程的设计就是为了让学生自主动手推导出等差数列的求和公式，这样不仅能够加深学生的印象，而且对提高学生数学知识的应用能力也起着非常重要的作用。）

思考问题：（1）在等差数列{an}中，a3+a7-a10=8，a1-a4=4，则S13等于  ；  ；。

（2）设等差数列{a■}的前n项和为S■，若a■=S■=12，则{a■}的通项a■=  ；  ；。

（3）已知等差数列前m项和为30，前2m项和为100，求前3m项和为多少？

（4）设等差数列an的前n项和为S■，已知：a■=12，S■>；0，S■<；0，求公差d的取值范圍？

……

（设计意图：这几道试题从难度上来说，由简至难，既符合学生的认知规律，而且对学生知识应用能力的培养也起着非常重要的作用。）

六、教学反思

在本节课的设计中，我首先引导学生回顾了上节课的知识，既要起到复习的作用，又要为本节课的顺利开展打好基础。之后，借助学生熟悉的情境将学生引入本节课的学习当中。在整个过程中，我一直坚持“以学生的发展为中心”“学生是课堂主体”的思想，借助自主探究模式，给学生搭建自主展示、自主思考的平台，进而让学生在自主学习、自主探究的过程中掌握本节课的重难点内容，同时，为了能够最大限度地发挥学生的主动性，激发学生的学习热情。当然，也为了加深学生的印象，使学生体验自主学习带来的成功喜悦，我还设计了相关的问题，以促使高效课堂的顺利实现。